Prof. Gugliotta Calogero
Dalle equazioni di Maxwell alla relatività ristretta
Le quattro equazioni di Maxwell rappresentano una
formulazione matematica delle leggi elettriche e
magnetiche che erano state scoperte nei decenni
precedenti.
Esse sono state risolte dallo stesso Maxwell nel vuoto (cioè
in assenza di cariche elettriche).
In questo caso la soluzione prevede che debbano esistere
delle onde elettromagnetiche che si propagano nello
spazio vuoto con velocità costante.
Le equazioni di Maxwell
Forma integrale
Legge di Gauss per il campo
elettrico

Legge di Gauss per il campo
magnetico
S

S
Forma differenziale

*E 
0
q
E * dS 
0
B * dS  0
* B  0
Legge di Ampère-Maxwell

c
B * dl  0 (i   0
Legge di Faraday

c
E * dl  
dE
)
dt
dB
dt
  B  0 ( j   0
E
)
t
B
E 
t
Equazioni di Maxwell nello spazio libero
Nello spazio libero, le equazioni di Maxwell diventano:
*E  0
 * B  0  * H  0
E
0   H    B  0 0
t
B
H
E  
  0
t
t
Equazione risolvente il sistema
2

H
2
 H   0 0 2
t
Con meraviglia ci si accorge che la forma di questa equazione è
identica a quella di un’onda (di una corda o del mare) che si
propaga con velocità v.
2
1

X
2
 X 2 2
v t
In cui X può essere lo spostamento. Dal confronto delle due equazioni si vede
che deve essere:
Con i valori accettati della costante
1
dielettrica e della permeabilità magnetica,
vc
si ottiene la velocità della luce:
 0 0
c=2,9979*10^8 m/sec
Come nascono le onde elettromagnetiche
Se in un punto dello spazio si verifica una variazione del campo
elettrico, dovuta, per esempio, ad una carica accelerata, nei punti
vicini nasce, per la terza equazione di Maxwell, un campo
magnetico, anch’esso variabile nel tempo.
Il campo magnetico variabile fa nascere nelle vicinanze, per la quarta
equazione di Maxwell, un campo elettrico a sua volta variabile e
così via.
Nasce quindi un’onda elettromagnetica, con la natura e la velocità
prevista dalla soluzione puramente matematica delle equazioni di
Maxwell nel vuoto.
Vedi l’applet Onde Elettromagnetiche
La crisi della fisica alla fine del XIX secolo
Alla fine del 1800 inizio 1900 il dibattito scientifico era incentrato su due
questioni:
• La velocità delle onde elettromagnetiche prevista dalle equazioni di
Maxwell rispetto a quale sistema di riferimento doveva essere
considerata?
• Le equazioni di Maxwell non sono invarianti rispetto alle
trasformazioni classiche galileiane. Dobbiamo quindi ritenere che
mentre le leggi della dinamica sono covarianti in sistemi di riferimento
in moto rettilineo uniforme, viceversa le leggi dell’elettromagnetismo
cambiano?
Maxwell stesso aveva ritenuto di rispondere alla prima questione, affermando
che la velocità della luce (onda elettromagnetica) era riferita all’etere (una
sostanza impalpabile, penetrante, rigida) che era supporto della luce, così
come l’acqua del mare è il supporto delle onde che in esso si propagano).
Per la seconda questione erano state trovate (empiricamente) delle formule da
Lorentz (le trasformazioni di Lorentz) che rendevano invarianti le leggi
dell’elettromagnetismo, anche se non se ne comprendeva il significato.
Le trasformazioni di Lorentz
Esse mettono in relazione le coordinate spazio-temporali di uno stesso
evento in due sistemi di riferimento K e K’ se gli assi coordinati sono
coincidenti nell’istante t=t’=0 ed K’ si muove di moto rettilineo uniforme
rispetto a K con velocità v nella direzione comune degli assi x e x’.
x
x ' vt '
2
y  y'
z  z'
t
v
1 2
c
t  vx '/ c 2
v2
1 2
c
Supponiamo di applicare le trasformazioni di Lorentz per misurare l’intervallo di
tempo Δt che intercorre tra due eventi nel sistema K’ visti dal sistema K:
t1 
t '1  vx '/ c 2
2
v
1 2
c
t2  t1  t 
t2 
t '
v2
1 2
c
t '2  vx '/ c 2
2
v
1 2
c
sottraendo
La dimostrazione della (non)esistenza dell’etere
L’esperimento di Michelson e Morley
Immaginiamo di viaggiare sul cosiddetto "treno
di Einstein" un ipotetico treno futuribile che si
muove a 240.000 Km/s; accendendo i fari, la
loro luce dovrebbe viaggiare a:
300.000 + 240.000 = 540.000 Km/s
Se l’etere esiste anche la Terra si muove (con velocità di 30 Km/s) intorno al
Sole in mezzo all’etere, che per conto suo è rigorosamente fermo. Il moto
della Terra si dovrebbe manifestare come un vento d’etere.
Se c è la velocità della luce nel sistema di riferimento dell’etere, la velocità
della luce dovrebbe essere:
• c-v (se la luce si propaga nel verso del moto terrestre);
• c+v (se la luce si propaga nel verso opposto)
L’esperimento di Michelson e Morley
Fra i 1881 e il 1887 Michelson e Morley tentarono con esperimenti molto precisi di mettere in evidenza
l’esistenza dell’etere. Essi utilizzarono un interferometro
In esso, un raggio di luce
colpisce uno specchio
semiargentato; in parte esso
é riflesso su di uno specchio
(in alto), che lo riflette
nuovamente, in parte lo
attraversa ed é riflesso su un
altro specchio. Il primo di
questi raggi attraversa lo
specchio semiargentato, il
secondo è da questo riflesso
in direzione ortogonale,
cosicché i due raggi si
sovrappongono prima di
giungere ad uno schermo (in
basso). Qui producono delle
frange alternativamente
luminose e scure.
L’esperimento di Michelson e Morley
Se però si ruota l'interferometro di 90°, anziché al raggio orizzontale la
velocità orbitale della Terra si sommerà al raggio verticale, e dunque la
differenza di cammino ottico fra i due raggi varierà; si dovrà quindi avere
uno spostamento nelle frange di interferenza
Per quanti sforzi fecero, né loro, né altri che hanno ripetuto
l’esperimento sono riusciti a mettere in evidenza l’esistenza
dell’etere. L’etere non esiste
La relatività ristretta
•
Primo postulato: il principio di relatività
Le leggi della fisica sono covarianti (hanno la stessa forma) in tutti i
sistemi di riferimento inerziali.
•
Secondo postulato: la costanza della velocità della luce
La velocità della luce nel vuoto è c=2,9979*10^8 in tutti i sistemi di
riferimento inerziali a prescindere dal moto della sorgente rispetto
all’osservatore
L’orologio a luce e la dilatazione del tempo
Un orologio a luce presenta un flash F, uno specchio S e, posto vicino a F, un
fotomoltiplicatore M.
Il flash emette un lampo di luce, la luce raggiunge lo specchio di fronte a distanza a,
ritorna indietro, colpisce il fotomoltiplicatore, che lo conta e lo rimanda indietro.
Funziona cioè come un orologio a pendolo (nell’orologio a luce un lampo di luce va
avanti e indietro così come in un pendolo una massa va avanti e indietro).
S
a
MF
Supponiamo che sulla terra vi siano tanti orologi e uno a luce tutti sincronizzati fra di
loro.
Supponiamo che su un’astronave vi siano tanti orologi e uno a luce tutti sincronizzati fra
di loro e sincronizzati con quelli sulla terra.
L’astronave parte e dopo un certo tempo viaggia di moto rettilineo uniforme rispetto alla
terra.
L’orologio a luce e la dilatazione del tempo
Per chi sta sull’astronave l’orologio funziona perfettamente (anche per lui la velocità è c).
L’orologio per ogni andata e ritorno della luce segna un intervallo di tempo:
2a
t ' 
c
S
h
h
a
MF
d
d
Un osservatore sulla terra vede la situazione di destra. Nel tempo che
l’astronave percorre 2d=v*Δt la luce percorre 2h e quindi si ha:
2h
a2  d 2
t 
2
c
c
ct
vt 2
c 2 t 2
v 2 t 2
2
2
 a (
) e quadrando
=a 
2
2
4
4
2a
2
2
c v
t '
c
t 2  a 2
t 
t 
4
v2
v2
1 2
1 2
c
c
Ritroviamo una delle trasformazioni di Lorentz comprendendone
ora il significato fisico.
Vedi l’applet La dilatazione del tempo.
La contrazione delle lunghezze
Per una astronave che viaggia con velocità v la distanza tra due
eventi è:
2
2
v
v
l '  vt '  vt 1  2  l 1  2
c
c
La lunghezza di un corpo è minore se esso è visto
in movimento con velocità v.
La composizione relativistica delle velocità
Riprendiamo le trasformazioni di Lorentz:
x
x ' vt '
2
v
1 2
c
=
(u 'x  v)t '
2
v
1 2
c
t
t  vx '/ c 2
2
=
(1  vu '/ c 2 )t '
v
1 2
c
v2
1 2
c
Facendo il rapporto membro a membro:
u 'x  v
x
ux = =
t 1  vu 'x / c 2
Si vede che quando u’x e v sono vicine a c l’ultima formula diventa:
cv
c(1  v / c)
ux 

c
2
1  vc / c
1 v / c
La composizione delle velocità non supera mai la velocità
della luce, in accordo con il postulato di Einstein.
Le prove più significative della teoria della relatività ristretta
• La vita media dei mesoni μ
• L’esperimento di Hafele e Keating
• L’effetto doppler trasverso