Stabilità Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria Email: [email protected] Tel : 0984-494720 Stabilità Stabilità Stabilità Stabilità Risposta divergente: non esiste alcuna costante My positiva tale che l’ampiezza della risposta diventi limitata a partire da un certo istante di tempo. Essa cresce e diviene di ampiezza infinita oppure oscilla con ampiezza che cresce indefinitamente. Stabilità Stabilità Teorema Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema SISO lineare stazionario sia asintoticamente stabile è che la sua funzione di trasferimento presenti poli tutti a parte reale negativa. Stabilità Teorema Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema SISO lineare stazionario sia semplicemente stabile è che la sua funzione di trasferimento presenti uno o più poli semplici sull’asse immaginario e che tutti gli altri poli siano a parte reale negativa. Stabilità Teorema Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema SISO lineare stazionario sia instabile è che la sua funzione di trasferimento presenti uno o più poli multipli sull’asse immaginario oppure uno o più poli a parte reale positiva. Stabilità Un sistema asintoticamente stabile ha una risposta all’impulso convergente a zero. Un sistema semplicemente stabile ha una risposta all’impulso (oscillatoria o costante). Un sistema instabile ha una risposta all’impulso divergente. Esempi: 1 G (s) 2 s 2s 2 p1, 2 1 j s 1 G( s) s1 2s p1 0 G(s) G (s) s 1 2 1 2 1 s 2 2s 2 p 2 0 .5 Asintoticamente stabile Semplicemente stabile p1, 2 j p3, 4 j p1, 2 1 j Instabile Instabile Stabilità Un sistema SISO lineare tempoinvariante si dice stabile BIBO se, trovandosi in condizioni iniziali di quiete, ad ogni ingresso di ampiezza limitata esso risponde con una uscita di ampiezza limitata. u(t ) : u(t ) M u , t 0 M y : y(t) M y , t 0 Teorema Un sistema SISO lineare tempoinvariante è stabile BIBO se e solo se esso è asintoticamente stabile. Criterio di ROUTH Criterio di ROUTH Ipotesi: s 2 2s 3 0 INSTABILE Criterio di ROUTH Se: p( s) s an s n 1 an 1s n 2 a1 E’ presente un polo nullo, che, come è noto, non è motivo di instabilità. Criterio di ROUTH Quando non è necessario applicare ROUTH: qualche altro coefficiente, oltre al termine noto, è nullo, perché in tal caso la funzione contiene un polo multiplo nell’origine che è motivo di instabilità; i coefficienti non hanno tutti lo stesso segno. Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 s n 3 s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 n 3 s s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 an an 2 an 1 an 3 b1 an 1 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 n 3 s s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 an an 4 an 1 an 5 b2 an 1 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 n 3 s s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 an an 6 an 1 an 7 b3 an 1 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 n 3 s s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 c1 an 1 b1 an 3 b2 b1 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 n 3 s s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 c2 an 1 b1 an 5 b3 b1 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 n 3 s s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 an 1 an 7 b1 b4 c3 b1 Criterio di ROUTH sn s n 1 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 an 7 s n2 s n 3 s n4 b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 b4 s1 s0 Esempio: p(s) 2s 4 s 3 3s 2 5s 10 2 3 s4 s3 s2 s1 0 s 2 3 10 1 5 0 b1 b2 0 c1 0 0 d1 2 10 1 5 b1 7 1 1 b2 1 0 1 5 7 10 45 c1 7 7 7 10 45 45 0 10 7 10 d1 7 45 45 7 7 10 Esempio: s4 s3 s2 s1 s0 2 3 10 1 5 0 7 10 0 45 0 0 7 10 2 1 7 45 7 10 2 radici a parte reale positiva (V) 2 radici a parte reale negativa (P) P V V P Criterio di ROUTH
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