Lezione n. 23
Stati limite nel cemento armato
Stato limite delle tensioni in esercizio
La verifica con il metodo delle tensioni ammissibili
Le condizioni di esercizio nel C.A.
O
ZZ
A
In aggiunta alle verifiche rispetto alle condizioni “di rottura”, tipiche degli stati limiti ultimi, le
normative impongono il rispetto di ulteriori condizioni, che riguardano non tanto aspetti legati alla
resistenza ultima dell’elemento in cemento armato, ma alle condizioni di corretto funzionamento
della struttura in situazioni di esercizio.
In particolare si cerca, mediante tali verifiche, di preservare l’integrità della struttura in modo da
evitare che possano insorgere situazioni tali da indurre una limitazione nelle prestazioni della struttura (ad esempio per eccessiva deformazione della stessa) oppure in grado di condurre il materiale
ad un invecchiamento e ad un deterioramento eccessivo (quindi limitandone la durata nel tempo, o
come si dice in termini sintetici, la durabilità).
La attuali normative individuano quindi tre tipi di verifiche, che prendono il nome di verifiche agli
stati limite di esercizio:
1. verifica allo stato di limite delle tensioni di esercizio;
2. verifica allo stato limite per fessurazione;
3. verifica allo stato limite di deformazione.
Tali limitazioni vogliono preservare l’efficienza e la durabilità della struttura, cercando di evitare
che, per i carichi associati alle condizioni di vita “normale” della struttura, ossia per le situazioni
che la struttura dovrà affrontare nella maggior parte della sua vita, si possano creare situazioni particolarmente insidiose.
Le verifiche vengono condotte considerando il calcestruzzo e l’acciaio in fase elastica, quindi ricorrendo ad un calcolo in fase I (non fessurata) o in fase II (fessurata); spesso si farà riferimento alla
sezione nella condizione di fase II convenzionale, ossia ritenendo il calcestruzzo fessurato (e quindi
incapace di fornire una qualsiasi resistenza a trazione) già per valori molto piccoli del carico.
Le tre condizioni di carico che si analizzano corrispondono quindi ai valori frequenti, quasi permanenti e rari delle combinazioni di carico, definiti dalle relazioni seguenti:
B
combinazioni quasi permanenti:
combinazioni frequenti:
combinazioni rare:
i=n
Fd = G k + Pk + ∑ (ψ 2i Q ik )
i =1
i=n
Fd = G k + Pk + ψ11Q1k + ∑ (ψ 2i Q ik )
i=2
i =n
Fd = G k + Pk + Q1k + ∑ (ψ 0i Q ik )
i =2
In base ai valori dei carichi individuati si calcoleranno le sollecitazioni di progetto nella struttura
(Sd); le corrispondenti grandezze di confronto (ossia le resistenze di progetto, Rd) sono calcolate in
base alle resistenze di calcolo dei materiali, valutate attraverso i coefficienti parziali (o di ponderazione) posti uguali ad uno, ossia
γ c = γ s = 1.
Così procedendo, il confronto è di fatto tra i valori caratteristici delle sollecitazioni ed i valori caratteristici delle resistenze, quindi individuando una probabilità di insuccesso dell’ordine di 10-5.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.2
La durabilità nelle sezioni in C.A.
A
Per durabilità si intende la capacità del calcestruzzo di mantenere per tempi lunghi le sue caratteristiche funzionali al livello richiesto. In generale, il calcestruzzo può subire processi di degrado che
possono essere distinti in:
- Fisici: causati da variazioni termiche naturali come il gelo/disgelo, o artificiali come incendi;
- Meccanici: abrasione, erosione, urto;
- Chimici: attacco acido, solfatico, da acque pure, acque di mare, reazioni alcali aggregati.
Nel caso di sezioni in calcestruzzo armato, l’ulteriore problematica che si può presentare è offerta
dalla possibilità di corrosione delle armature. Uno dei fattori scatenanti la corrosione è la carbonatazione, che è un fenomeno legato alla presenza di anidride carbonica e al suo trasporto attraverso i
pori del cemento; la reazione che avviene è la seguente:
Ca (OH) 2 + CO 2 → CaCO 3 + H 2 O
B
O
ZZ
La trasformazione dell’idrossido di calcio in carbonato di calcio, non provoca di per sé danno nel
calcestruzzo ma crea condizioni sfavorevoli per le armature in quanto si crea una riduzione del pH
che può portare alla distruzione del film di passività, che ricopre ed isola il metallo, e alla propagazione della corrosione (la stessa azione viene esercitata anche dall’eventuale presenza di cloruri).
In generale, è comunque difficile attribuire il degrado del calcestruzzo e delle armature ad a una sola causa, poiché spesso più processi possono avvenire contemporaneamente.
Da un punto di vista costruttivo, si cerca di garantire la durabilità delle sezioni in cemento armato
cercando:
- di evitare il contatto diretto con l’acqua (allontanando quindi il più possibile la struttura
dall’acqua o dal terreno, oppure interponendo uno strato drenante);
- di curare il “mix design” del calcestruzzo, quindi prestando particolare cura nell’impasto del calcestruzzo, soprattutto per quanto riguarda il corretto rapporto acqua/cemento;
- di realizzare sezioni con opportune caratteristiche di protezione delle armature, attraverso prescrizioni specifiche sulla posizione delle barre all’interno della sezione (in particolar modo, attraverso regole specifiche sui valori del ricoprimento di armatura, ossia della parte di calcestruzzo esterna rispetto agli elementi di acciaio).
Da un punto di vista progettuale, invece, si cerca di garantire la durabilità delle sezioni in cemento
armato cercando soprattutto di contenere l’apertura delle fessure: a questo proposito si effettuano
verifiche specifiche, quali il contenimento delle compressioni in esercizio nel calcestruzzo e delle
tensioni di trazione nell’acciaio, nonché controllando i valori di apertura delle fessure.
Nel paragrafo successivo ci occuperemo della verifica delle compressioni in esercizio, mentre nel
capitolo seguente si tratterà della verifica a fessurazione.
Le verifiche vengono effettuate con modalità e limitazioni diverse in funzione delle possibili situazioni di “aggressività” dell’ambiente in cui si può trovare la struttura; la normativa individua tre tipologie di ambiente:
- ambiente poco aggressivo, caratterizzato da umidità relativa non elevata o da umidità relativa elevata per brevi periodi;
- ambiente moderatamente aggressivo, caratterizzato da un’elevata umidità relativa in assenza di
vapori corrosivi;
- ambiente molto aggressivo, caratterizzato da presenza di liquidi o di aeriformi particolarmente
corrosivi.
Stato limite delle tensioni in esercizio
Le verifica riguarda il controllo delle tensioni sia nel calcestruzzo che nell’acciaio, imponendo limitazioni diverse in funzione dell’aggressività dell’ambiente in cui sono poste.
In particolare, per le strutture o parti di strutture esposte ad ambiente molto aggressivo, devono essere rispettati i seguenti limiti per le tensioni di compressione nel calcestruzzo:
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.3
- per combinazioni di carico rara: 0.50 fck;
- per combinazioni di carico quasi permanente: 0.40 fck .
Per le strutture o parti di strutture esposte ad ambiente moderatamente o poco aggressivo, tali limitazioni si modificano nelle seguenti:
- per combinazione di carico rara: 0.60 fck ;
- per combinazione di carico quasi permanente: 0.45 fck
Per quanto riguarda l’acciaio, indipendentemente dal livello di aggressività dell’ambiente, si richiede che la massima tensione di trazione sotto la combinazione di carichi rara non deve superare 0.70
fyk.
molto aggressivo
poco o moderatamente
aggressivo
combinazione
di carico
limite tensione
nel cls
rara
f c ≤ 0.50 ⋅ f ck
limite tensione
nell’acciaio
f s ≤ 0.70 ⋅ f yk
quasi permanente
f c ≤ 0.40 ⋅ f ck
---
rara
f c ≤ 0.60 ⋅ f ck
f s ≤ 0.70 ⋅ f yk
f c ≤ 0.45 ⋅ f ck
---
A
ambiente
quasi permanente
ZZ
Limitazioni di normativa delle tensioni in esercizio
B
O
Il controllo dei valori massimi delle tensioni in condizioni di esercizio assicura:
- per il calcestruzzo, che non si sviluppino fessure longitudinali in zona compressa (simili a quelle
che si formino nella prova a rottura di un provino soggetto a compressione) e che le deformazioni della struttura rimangano sufficientemente contenute nel tempo (ridurre la tensione in esercizio significa infatti operare una riduzione delle deformazioni viscose); inoltre, per livelli maggiori della compressione nel cls, il semplice modello di “viscosità lineare” illustrato per descrivere il
comportamento a lungo termine del calcestruzzo non è più applicabile;
- per l’acciaio, che le eventuali fessure che si possono formare nel calcestruzzo non raggiungano
valori troppo elevati di apertura a causa dello snervamento (e quindi della deformazione plastica)
dell’acciaio.
Nel calcolo delle tensioni è necessario considerare, se del caso, oltre agli effetti dei carichi anche
quelli delle variazioni termiche, della viscosità, del ritiro, e delle deformazioni imposte aventi altre
origini.
Da un punto di vista di calcolo, le tensioni debbono essere calcolate adottando le proprietà geometriche della sezione corrispondente alla condizione non fessurata (stato I) oppure a quella completamente fessurata (stato II), a seconda dei casi.
Deve, di regola, essere assunto lo stato fessurato se la massima tensione di trazione nel calcestruzzo
calcolata in sezione non fessurata sotto la combinazione di carico rara supera fctm.
Quando si adotta una sezione non fessurata, si considera attiva l’intera sezione di calcestruzzo, e si
considerano in campo elastico sia a trazione che a compressione il calcestruzzo e l’acciaio.
Quando invece si adotta la sezione fessurata, il calcestruzzo può essere considerato elastico in compressione, ma incapace di sostenere alcuna trazione: in via semplificativa si può assumere il comportamento elastico-lineare e per le armature il coefficiente di omogeneizzazione con il valore convenzionale n = 15.
Calcolo elastico lineare delle sezioni in c.a.
Nel calcolo elastico di sezioni in c.a., si utilizza la tecnica del “coefficiente di omogeneizzazione“,
già introdotto in precedenza. In altre parole, si considera la sezione omogeneizzata a calcestruzzo, il
che equivale a considerare le armature presenti come equivalenti ad aree di calcestruzzo di estensione maggiorata di n volte (n, coefficiente di omogeneizzazione).
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.4
Se si considera un elemento monodimensionale di c.a. soggetto a flessione semplice, la risultante
delle azioni interne ha come unica componente di sollecitazione un momento M agente in un piano
(normale alla sezione), contenente l’asse dell’elemento.
L’intersezione del piano del momento con la sezione individua l’asse di sollecitazione.
Nel caso di flessione semplice retta, ossia quando l’asse di sollecitazione coincide con un asse principale di inerzia della sezione, si può procedere al calcolo delle tensioni nel calcestruzzo e
nell’acciaio utilizzando la formula di Bernoulli-Navier:
M
⋅x
J ci
M
σa = n ⋅ ⋅ ya
J ci
ZZ
A
σc =
dove
Jci = Jc + n·Ja
con Jc momento di inerzia del conglomerato compresso rispetto all’asse neutro e Ja momento di inerzia dell’acciaio rispetto allo stesso asse neutro; x e ya rappresentano rispettivamente la distanza
dell’asse neutro dal lembo compresso e dal lembo teso della sezione.
Come si fa a determinare la posizione dell’asse neutro?
L’asse neutro è l’asse baricentrico della sezione ideale equivalente e si ricava imponendo che il
momento statico della sezione ideale omogeneizzata a calcestruzzo rispetto a esso sia nullo:
x
n
S x = ∫ y dA c + n ⋅ ∑ A ai y ai = 0
i =1
O
0
B
Sezione rettangolare
Si consideri una sezione rettangolare a doppia armatura, cioè con le barre disposte sia nella parte inferiore sia in quella superiore della sezione, come rappresentato in figura.
Si voglia verificare la sezione data soggetta a flessione semplice: si determina il baricentro di tutte
le armature (armatura inferiore e superiore)
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.5
A a d + A'a d'
A a + A'a
A
d0 =
ZZ
Determinazione della posizione dell’asse neutro
si indichi con x la distanza dell’asse neutro dal lembo superiore, si calcoli il momento statico Sx della sezione ideale rispetto all’asse neutro e lo si ponga uguale a 0:
1
S x = ⋅ b ⋅ x 2 − n ⋅ (A a + A'a ) ⋅ (d 0 − x ) = 0
2
n ⋅ (A a + A'a )
posto f =
l’espressione di Sx si semplifica nella seguente:
b
1
⋅ b ⋅ x 2 − b ⋅ f ⋅ (d 0 − x ) = 0
2
O
x 2 + 2 ⋅ f ⋅ x − 2 ⋅ f ⋅ d0 = 0
risolvendo l’equazione di 2° grado si ottiene:

d0
d 
= f  − 1 ± 1 + 2 0 
f
f 

scegliendo la soluzione positiva, si ha infine il valore di x che identifica la posizione dell’asse neutro:
B
x = −f ± f 2 + 2 ⋅ f ⋅ d 0 = −f ± f 1 + 2

d
x = f ⋅ −1+ 1+ 2 0

f





momento di inerzia della sezione ideale
1
2
2
J ci = ⋅ b ⋅ x 3 + n ⋅ A a ⋅ (d − x ) + n ⋅ A'a ⋅(x − d ')
3
tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio
M
M
(d − x ) σ'a = n M (x − d')
σc =
x
σa = n
J ci
J ci
J ci
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.6
ε
ε
σ
A
ε
ZZ
Sezione rettangolare a semplice armatura
Nel caso di semplice armatura si ha:
A’a = 0;
d0 = d;
f = n Aa / b;
O


2d  nA a 
 − 1 + 1 + 2bd 
x = f −1+ 1+ 0  =

f 
b 
nA a 

momento di inerzia della sezione ideale
1
2
J ci = bx 3 + nA a (d − x )
3
Dall’uguaglianza dei momenti statici, si ha
1
1
S x = ⋅ b ⋅ x 2 − n ⋅ A a ⋅ (d − x ) = 0 ⇒
⋅ b ⋅ x 2 = n ⋅ A a ⋅ (d − x )
2
2
per cui si ottiene
1
1
1
x 1

J ci = ⋅ b ⋅ x 3 + ⋅ b ⋅ x 2 ⋅ (d − x ) = ⋅ b ⋅ x 2 ⋅  d −  = ⋅ b ⋅ x 2 ⋅ z
3
2
2
3 2

B
dove si è posto il braccio della coppia interna pari a
x
z=d−
3
Alternativamente si ha
2
x

2
J ci = ⋅ n ⋅ A a ⋅ x ⋅ (d − x ) + n ⋅ A a ⋅ (d − x ) = n ⋅ A a ⋅ (d − x ) ⋅  d −  = n ⋅ A a ⋅ (d − x ) ⋅ z
3
3

tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio
Utilizzando i risultati appena ricavati si ottiene
M
2⋅M
M
M
σc =
⋅x =
σ a = n ⋅ ⋅ (d − x ) =
x
x
J ci
J ci


b ⋅ x ⋅d − 
Aa ⋅  d − 
3
3


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Lezione n. 23 – pag. XXIII.7
Verifiche con il metodo delle tensioni ammissibili
Nel metodo delle tensioni ammissibili, si controlla unicamente che i valori massimi della tensione
nell’acciaio e nel calcestruzzo non superino degli opportuni valori di riferimento che verranno descritti nel seguito.
Il calcolo si esegue, di norma, in fase II convenzionale, ossia ipotizzando il calcestruzzo fessurato
anche per valori molto bassi del carico; di conseguenza, nel caso di flessione semplice, si utilizzano
le espressioni appena trovate per la valutazione dello stato tensionale e si opera semplicemente attraverso un controllo del valore della tensione.
ZZ
A
Tensioni ammissibili nel conglomerato
Tensioni normali di compressione ammissibili
Sono definite con riferimento alla resistenza caratteristica Rck a 28 giorni:
R − 15
R − 150


σc = 6 + ck
N / mm 2  σc = 60 + ck
kg / cm 2 
4
4


Il valore di σc varia linearmente con la resistenza caratteristica da un valore minimo di 6 N/mm2
(per Rck = 15 N/mm2) ad un massimo di 16 N/mm2 (per Rck = 55 N/mm2).
Nei casi riportati nella seguente tabella deve essere assunto un valore ridotto della tensione normale
di compressione ammissibile:
solette di spessore inferiore a 5 cm
valore ridotto di σc
0,7 σc
travi a T con soletta collaborante di spessore s < 5 cm
0,7 σc
travi a T con soletta collaborante di spessore s ≥ 5 cm
pilastri a compressione semplice con s < 25 cm
(s = dimensione minima trasversale della sezione)
pilastri a compressione semplice con s ≥ 25 cm
(s = dimensione minima trasversale della sezione)
0,9 σc
0,7 [1-0,03 (25 – s)] σc
O
0,7 σc
B
Tensioni tangenziali ammissibili
Non è richiesta la verifica delle armature al taglio e alla torsione se le tensioni tangenziali massime
del conglomerato non superano il valore seguente:
R − 15
R − 150


τc0 = 4 + ck
τc0 = 0,4 + ck
N / mm 2
kg / cm 2 

75
75


Laddove questo valore sia superato è necessario predisporre apposite armature, affidando alle staffe
non meno del 40 % dello sforzo globale di scorrimento.
La massima tensione tangenziale per solo taglio non deve comunque superare il seguente valore:
R − 15
R − 150


τc1 = 14 + ck
τc1 = 1,4 + ck
N / mm 2
kg / cm 2 

35
35


Nel caso di concomitanza di taglio e torsione il valore precedente può essere aumentato del 10 %.
Tensioni tangenziali di aderenza
Le tensioni tangenziali di aderenza delle barre, nell’ipotesi che abbiano un andamento costante, non
devono superare i seguenti limiti:
barre tonde lisce
τ b = 1,5 τ c0
barre ad aderenza migliorata
τb = 3,0 τ c0
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.8
Tensioni ammissibili negli acciai da c.a.
Il seguente prospetto elenca i valori delle tensioni ammissibili σa per tutti e quattro i tipi di acciaio
previsti dalla normativa per le barre da c.a. Sono inoltre riportati i valori dei rapporti tra la tensione
di snervamento fy e la tensione ammissibile σa .
acciai
da c.a.
σa
barre tonde lisce
Fe B 22 k
Fe B 32 k
2
155 N/mm2
115 N/mm
(1200 kg/cm2)
(1600 kg/cm2)
barre ad aderenza migliorata
Fe B 38 k
Fe B 44 k
2
215 N/mm
255 N/mm2
(2200 kg/cm2)
(2600 kg/cm2)
215 N/mm2
315 N/mm2
375 N/mm2
430 N/mm2
fy / σa
1.87
2.03
1.74
1.69
A
fy
Confronto con il metodo agli stati limite
ZZ
Osservando la semplicità del metodo alle tensioni ammissibili, se rapportato al numero ed alla maggiore difficoltà delle verifiche richieste nel metodo agli stati limite, risulta poco evidente come sia
possibile raggiungere in una struttura un grado di sicurezza confrontabile operando con due metodi
così diversi.
In altre parole, in che maniera il solo controllo dello stato tensionale in una sezione può garantire la
sicurezza nei confronti di situazioni in realtà molto diverse tra loro, quali quelli contemplate nelle
verifiche agli stati limite (rottura, fessurazione, tensioni in esercizio, etc.)?
In primo luogo occorre osservare che i tassi di lavoro che si assumono per i materiali nei due metodi
sono abbastanza diversi tra loro. Anche limitando l’attenzione al controllo della tensione in esercizio, nella combinazione di carico rara (che corrisponde più o meno alla condizione di carico che si
utilizza nel metodo delle tensioni ammissibili) si hanno i seguenti valori (riferiti ad un calcestruzzo
di classe Rck 30 e armature FeB44k in ambiente non molto aggressivo):
tensione massima acciaio
f s ≤ 0.70 ⋅ f yk = 301 MPa
O
tensione massima calcestruzzo
(1)
stato limite di tensione
in esercizio
f c ≤ 0.60 ⋅ f ck = 18 MPa
(2)
tensioni ammissibili
rapporto
(1)/(2)
σ c ≤ 9.75 MPa
1.85
σ a ≤ 255 MPa
1.18
B
Ossia operando con il metodo delle tensioni ammissibili si assumono valori tensionali massimi estremamente più contenuti (specialmente nel caso del calcestruzzo che presenta il maggior grado di
dispersione nei valori), e quindi si coprono le incertezze legate alle semplificazioni insite nel metodo con una congrua riduzione delle tensioni di lavoro (e quindi con un corrispondente sovradimensionamento della struttura).
In secondo luogo, la limitazione della tensione nell’acciaio comporta di fatto un controllo indiretto
nella condizione di apertura delle fessure (come risulterà più evidente nel capitolo successivo): in
altre parole, limitare la tensione di esercizio nelle armature tese comporta un contenimento nei valori di apertura delle fessure, anche se un calcolo più rispondente alla realtà fisica del fenomeno (come viene effettuato nella valutazione dello stato limite di fessurazione) comporta evidentemente un
livello di sicurezza maggiore.
In sintesi, operando con il metodo delle tensioni ammissibili si rinuncia ad un controllo puntuale
delle possibili cause di crisi o malfunzionamento di una sezione in c.a. operando indirettamente attraverso opportune riduzione nei massimi tassi di lavoro dei materiali: è chiaro che, in questo modo,
si raggiunge un livello di sicurezza che può essere paragonabile a quello che si ottiene con il metodo degli stati limite ricorrendo spesso ad un sovradimensionamento degli elementi strutturali.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.9
Prescrizioni con il metodo delle tensioni ammissibili
Alcune delle prescrizioni viste nel metodo degli stati limite, assumono espressioni e valori leggermente diversi se si utilizza il metodo delle tensioni ammissibili. Si riportano, nel seguito, le prescrizioni puntuali relative al calcolo dei pilastri e delle travi.
Pilastri
Nel calcolo dei pilastri, oltre ad adottare i valori ridotti della tensione ammissibile nel calcestruzzo,
occorre disporre un quantitativo minimo di armatura pari a:
La Normativa fissa dei quantitativi minimi per l’area di acciaio in funzione dell’area
Normativa di calcestruzzo:
A
− Aa ≥ 0,008 · Ac,min, dove Ac,min è l’area di calcestruzzo strettamente necessaria
per assorbire lo sforzo N [ossia, Ac,min=N/ σc, adm =N/(0.7⋅ σ c )]
− 0,003 · Ac,eff ≤ Aa ≤ 0,06 · Ac,eff, dove Ac,eff è l’area effettiva di calcestruzzo; il
limite inferiore (0,003 · Ac,eff) è imposto per assorbire eventuali momenti flettenti, mentre quello superiore (0,06 · Ac,eff) affinché il calcestruzzo sia in grado
di contrastare efficacemente l’inflessione delle armature
Normativa
ZZ
Le altre prescrizioni (armature minime di spigolo e staffatura) sono le stesse nei due metodi.
Nel caso di verifica per sollecitazioni di presso-flessione si prescrive inoltre che
Nelle sollecitazioni di pressoflessione la tensione media dell’intera sezione non deve superare la tensione ammissibile per compressione semplice.
È inoltre ammessa una metodologia semplificata di calcolo nel caso eccentricità sufficientemente
contenute:
B
O
Se N è esterno al nocciolo centrale di inerzia, ma la trazione massima calcolata in
sezione interamente reagente non supera 1/5 della massima tensione di compressione, ossia
Normativa
σ c,max
σ t ,max ≤
,
5
si può ancora usare la formula che prevede la sovrapposizione degli effetti purché la
risultante delle trazioni venga assorbita da una apposita armatura, dimensionata per
sopportare la risultante delle trazioni ad una tensione convenzionale di:
- 1200 kg/cm2 per le barre tonde lisce,
- 1800 kg/cm2 per le barre ad aderenza migliorata.
Travi
Nelle travi le prescrizioni sono le stesse nei due metodi, salvo che per la disposizione delle armature
resistenti a taglio. Utilizzando il metodo delle tensioni ammissibili occorre
Normativa
Almeno il 40% dello sforzo di scorrimento deve essere assorbito da staffe (è quindi
sempre obbligatorio inserire una staffatura).
Anche in assenza di calcolo specifico per le armature a taglio, occorre comunque
disporre un’armatura a taglio minima di area almeno pari a 0,10 β* cm2/m, dove β*
è la larghezza corrispondente al raggiungimento della tensione tangenziale τc0
Le altre limitazioni (almeno tre staffe al metro, passo non superiore a 0.8 d, limitazioni del passo in
prossimità di carichi concentrati o zone di appoggio) sono le stesse nei due metodi.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.10
Esempi di calcolo con il metodo delle tensioni ammissibili
Esempio di progetto di un pilastro soggetto a sforzo normale semplice
Si progetti la sezione di un pilastro di c.a. per sopportare uno sforzo normale di compressione di
150000 kg. Si utilizzino materiali con le seguenti caratteristiche: calcestruzzo di classe Rck 300
kg/cm2, acciaio FeB44k.
A
97,5
ZZ
1. Area di calcestruzzo strettamente necessaria
Si può ricavare l’area strettamente necessaria di calcestruzzo imponendo che non venga superato il
valore della tensione ammissibile per sollecitazioni di compressione centrata, ed ipotizzando, come
valore di tentativo, un’area di acciaio pari a quella minima richiesta per regolamento, ossia pari allo
0.8% dell’area di calcestruzzo. Così operando, si può porre
Aci = Ac + n·Aa = Ac + 15·0.008·Ac =1.12·Ac
e quindi ricavare
150000
A c,min =
= 1962 cm 2
1,12 ⋅ 68,25
O
Si può quindi adottare una sezione di 45 cm x 45 cm (Ac = 45 · 45 = 2025 cm2)
B
2. Determinazione del quantitativo minimo di armatura
Il quantitativo d’armatura del pilastro deve soddisfare le seguenti disuguaglianze
− Aa ≥ 0,008 · Ac,min = 0,008 · 1962 = 15,696 cm2
− 0,003 · Ac,eff = 0,003 · 2025 = 6,075 cm2 ≤ Aa ≤ 0,06 · Ac,eff = 0,06 · 2025 = 121,5 cm2
mettendo insieme le due disuguaglianze si ha:
15,696 cm2 ≤ Aa ≤ 121,5 cm2
si adottano 4 φ 24 = 4 · 4,52 = 18,08 cm2
3. Tensioni normali nel cls e nell’acciaio
Aci = Ac + n·Aa = 2025 + 15 · 18,08 = 2296,2 cm2
La tensione normale nel calcestruzzo è pari a:
N
150000
150000
σc =
=
=
= 65,33 kg / cm 2 ≤ 68,25 kg / cm 2 .
A ci 2025 + 15 ⋅ 18,08 2296,2
mentre quella nell’acciaio vale:
N
σc = n
= 15 ⋅ 65,33 = 980 kg / cm 2 ≤ 2600 kg / cm 2
A ci
quindi le tensioni normali massime sono inferiori ai valori ammissibili.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.11
4. Staffe
Alla luce delle prescrizioni di normativa, occorre disporre staffe di diametro non minore di φ6 (che
corrisponde anche ad 1/4 dei ferri longitudinali), ad un passo non maggiore del minimo tra 25 cm e
36 cm (15⋅2,4=36, 15 volte il diametro dei ferri longitudinali). Si adottano pertanto staffe φ6/25” (la
notazione utilizzata si legge: staffe diametro 6, passo 25 cm).
Esempio di verifica di sezione rettangolare di c.a. soggetta a flessione semplice
Si verifichi una sezione rettangolare di c.a. soggetta a un momento flettente di 7000 kgm. La sezione ha dimensioni 30 cm x 50 cm ed è a doppia armatura, con l’armatura inferiore tesa formata da
4 φ 16 e quella superiore da 2 φ 16.
I materiali hanno le seguenti caratteristiche: calcestruzzo di classe Rck 300 ed acciaio FeB44k.
A
2φ16
ZZ
ε
ε
ε
4φ16
O
1. calcolo delle aree di armatura e del baricentro di tutte le armature
Aa = 4 · 2.01 = 8.04 cm2
A’a = 2 · 2.01 = 4.02 cm2
A d + A'a d' 8,04 ⋅ 46,4 + 4,02 ⋅ 3,6
d0 = a
=
= 32,13 cm
A a + A'a
8,04 + 4,02
B
2. determinazione della posizione dell’asse neutro
n ⋅ (A a + A' a ) 15 ⋅ (8,04 + 4,02 )
f =
=
= 6,03
b
30

32,13 
 = 14,56 cm
x = 6,03 ⋅  − 1 + 1 + 2

6
,
03


N.B. se non si ricorda la formula sopra, si può ricavare x per via diretta, ripercorrendo quanto fatto
nella trattazione generale:
1
S x = bx 2 − nA a (d − x ) + nA' a (x − d ') = 0
2
1
S x = 30 x 2 − 15 ⋅ 8,04 ⋅ (46,4 − x ) + 15 ⋅ 4,02 ⋅ (x − 3,6) = 0
2
15 x 2 − 5596 + 120,6 ⋅ x + 60,3 ⋅ x − 217 = 0
15 x 2 + 180,9 ⋅ x − 5813 = 0
risolvendo si ricava x = 14,56 cm.
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3. calcolo del momento di inerzia
J ci =
bx 3
+ nA'a (x − d ')2 + nA a (d − x )2 =
3
= 10 ⋅ 14,56 3 + 15 ⋅ 4,02 ⋅ (14,56 − 3,6 )2 + 15 ⋅ 8,04 ⋅ (46,4 − 14,56 )2 =
= 30.866 + 60,3 ⋅ 120,1 + 120,6 ⋅ 1.013,8 = 160.372 cm 4
4. calcolo delle tensioni
σc =
M
700.000
x=
14,56 = 63,55 kg / cm 2 ≤ 97,5 kg / cm 2
.
J ci
160 372
A
M
700.000
(d − x ) = 15 . (46,4 − 14,56) = 2085 kg / cm 2 ≤ 2600 kg / cm 2
σa = n
J ci
160 372
Β
O
Α
ZZ
Esempio di verifica di sezione a T soggetta a flessione semplice
Si consideri una trave semplicemente appoggiata di luce 6,00 m, soggetta ad un carico uniformemente distribuito costante di 4500 kg/m. La trave abbia una sezione a T, le cui dimensioni e armature sono indicate nella figura seguente:
4φ22
B
N.B. Nell’esempio si immagina che la trave sia a semplice armatura; nella realtà in tutte le travi
sono sempre presenti anche armature superiori, che assolvono tra l’altro anche il compito di reggistaffe, cioè di ferri che sostengono le armature trasversali al taglio, di cui si dirà più avanti. Tali
armature vengono usualmente ignorate nel calcolo di verifica della trave.
Il momento massimo si ha in mezzeria e vale:
4500 ⋅ 6 2
= 20250 kgm
8
L’armatura è costituita da 4 barre di 22 mm di diametro:
M max =
A a = 4 ⋅ 3,80 = 15,2 cm 2
La verifica a flessione della sezione di mezzeria si esegue ipotizzando inizialmente che l’asse neutro
tagli la soletta superiore. Se dai calcoli questa ipotesi risulta soddisfatta, allora la soluzione trovata è
corretta, altrimenti se l’asse neutro taglia l’anima, occorre ripetere il calcolo.
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A
1. Asse neutro che taglia la soletta
il baricentro dell’armatura dista d dal lembo superiore:
d0 ≡ d
f assume il seguente valore:
nA a 15 ⋅ 15,2
f =
=
= 3,8
B
60


d 
57 
= 17,36 cm > s (= 16 cm )
x = f  − 1 + 1 + 2 0  = 3,8  − 1 + 1 + 2


f 
3,8 


essendo x>s, l’asse neutro taglia l’anima, per cui occorre procedere diversamente, considerando una
sezione rettangolare larga b, con un’armatura fittizia superiore di area equivalente a quella delle ali
della sezione a T
B
O
ZZ
2. omogeneizzazione delle ali ad acciaio
L’area delle ali, omogeneizzata ad acciaio, è pari a:
(60 − 20) ⋅ 16 = 42,67 cm 2
A *a =
15
s
A a d + A *a
2 = 15,2 ⋅ 57 + 42,67 ⋅ 8 = 20,87 cm
d0 =
*
15,2 + 42,67
Aa + Aa
si ricava:
15 ⋅ (15,2 + 42,67 )
f =
= 43,40
20

20,87 
 = 17,39 cm
x = 43,40 ⋅  − 1 + 1 + 2

43
,
40


passiamo ora al calcolo del momento di inerzia della sezione ideale equivalente:
3
20 ⋅ 17,39 3
2
2 (60 − 20 ) ⋅ 16
J ci =
+ 15 ⋅ 15,2 ⋅ (57 − 17,39 ) + 15 ⋅ 42,67 ⋅ (17,39 − 8) +
=
3
12
= 35041,5 + 357775,27 + 56398,5 + 13653,3 = 462868,6 cm 4
le tensioni nel cls e nell’acciaio risultano pari a:
M
2025000
σc =
x=
17,387 = 76,07 kg / cm 2 < 0,90 ⋅ 97,5 = 87,75 kg / cm 2
J ci
462868,6
(la tensione di compressione nel calcestruzzo della soletta va confrontata con un valore della tensione ammissibile ridotto del 10 %, come prescritto dalla normativa per sezioni a T con soletta di spessore superiore a 5 cm)
M
(d − x ) = 15 2025000 (57 − 17,387 ) = 2599,5 kg / cm 2 < 2600 kg / cm 2
σa = n
J ci
462868,6
La verifica è soddisfatta.
Tensioni ammissibili:
progetto di una sezione rettangolare in c.a. a flessione semplice
Si voglia progettare una sezione rettangolare soggetta a flessione semplice. I dati del problema sono:
- forma della sezione (rettangolare)
- distanza delle armature dal lembo compresso (d, d’)
- momento flettente di calcolo M
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A
- tensioni ammissibili dei materiali ( σ c , σ a )
Le incognite del problema sono 5:
- dimensioni della sezione (b, h)
- quantitativo di armatura inferiore Aa e superiore A’a
- posizione dell’asse neutro x
ZZ
Le equazioni che si possono scrivere sono tre:
- 2 equazioni di equilibrio
- 1 equazione di congruenza
Si consideri il caso di sezione a semplice armatura (Aa ≠ 0, A’a = 0), le incognite del problema di
riducono pertanto a quattro: b, h, Aa, x, una in più delle equazioni disponibili. Per ridurre le incognite a tre, quante sono le equazioni, è sufficiente fissare una delle due dimensioni della sezione (b
oppure h).
Si fissi allora il valore della larghezza b della sezione; si assumano inoltre le tensioni massime nei
due materiali uguali a quelle ammissibili ( σ c = σc , σ a = σ a ), dove σ c è la tensione al lembo superiore compresso.
B
O
Equazione di congruenza
Indicando ancora con d l’altezza utile della sezione (distanza del baricentro dell’armatura dal lembo
superiore), dall’ipotesi di conservazione delle sezioni piane si ricava la seguente relazione tra la deformazione εc del calcestruzzo al lembo superiore e quella εe delle barre di armatura:
εc
x
ε
=
(dalla similitudine dei triangoli ODA e BAC)
d εc + εa
ponendo
εc
K=
εc + εa
risulta:
σc
εc
Ec
σc
σc
n σc
K=
=
=
=
=
σc σa
E
σ
εc + εa
n σc + σa
+
σc + c σa σc + a
Ec Ea
Ea
n
da cui:
x = Kd
ε
N.B. K dipende solo dalle tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell’acciaio, pertanto note queste
ultime è noto il legame tra la posizione dell’asse neutro e la distanza d delle armature dal lembo
superiore compresso.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.15
ZZ
A
Equazioni di equilibrio
equilibrio alla traslazione in direzione ortogonale al piano della sezione
equilibrio alla rotazione
Indicate con C e F le risultanti delle compressioni nel calcestruzzo e delle trazioni nell’acciaio e con
z la distanza tra i loro baricentri (vedi figura) nelle barre di armatura, le condizioni di equilibrio sono espresse delle seguenti equazioni:
C=F
C · z = M (oppure F · z = M)
σ
o equivalentemente:
C·z=M
F·z=M
La risultante C delle compressioni nel calcestruzzo è pari a:
1
C = ⋅ b ⋅ x ⋅ σc
2
che, utilizzando la relazione x = Kd, si può riscrivere:
1
C = ⋅ b ⋅ K ⋅ d ⋅ σc .
2
B
O
La risultante delle trazioni nell’acciaio è invece pari a:
F = A a ⋅ σa .
Imponendo l’equilibrio alla rotazione intorno al baricentro dell’armatura:
C·z=M
(1)
La quantità z (braccio della coppia interna) è data dalla seguente espressione:
x
d  K
z = d − = d − K ⋅ = 1 −  ⋅ d = η ⋅ d
3
3 
3
K
avendo posto η = 1 − .
3
Sostituendo nella equazione di equilibrio (C · z = M) l’espressione di z e quella di C, si ottiene:
1
⋅ b ⋅ K ⋅ d 2 ⋅ σc ⋅ η = M
2
da cui si ricava:
2⋅M
M
d=
= r⋅
b ⋅ σc ⋅ K ⋅ η
b
dove
2
r=
.
σc ⋅ K ⋅ η
A questo punto rimane da determinare l’area di acciaio; a questo scopo si utilizza l’equazione di equilibrio alla rotazione intorno al baricentro del calcestruzzo compresso:
F⋅z = M
⇒
A a σa ⋅ η ⋅ d = M
da cui si ricava:
M
Aa =
.
σa η d
Inoltre, dato che
M
d=r
b
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.16
la formula precedente può anche essere messa nella forma
M
b
Aa =
= t M⋅b
σa ⋅ η ⋅ r M
dove si è posto
1
t=
σa ⋅ η ⋅ r
Il valore di η assume valori compresi tra 0,84 e 0,96, per valori di σc variabili
tra 20 e 150 kg/cm2, pertanto si può adottare in prima approssimazione un valore pari a 0,9.
A
Il problema di progetto a flessione semplice di una sezione rettangolare di c.a. è completamente risolto una volta determinate le tre grandezze: K, r e t, che dipendono solo dalle tensioni ammissibili
nei due materiali.
ZZ
Riepilogo
Si riepiloga il procedimento da seguire per il progetto di una sezione rettangolare di c.a. a semplice
armatura soggetta a flessione semplice:
O
1. calcolo delle tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell’acciaio
σ c e σa
2. calcolo di K, r, η e t:
nσc
K
2
1
,
r=
,
η = 1−
t=
K=
σc ⋅ K ⋅ η
3
σa ⋅ η ⋅ r
nσc + σa
3. calcolo della distanza d dell’armatura dal lembo compresso
M
d=r
b
4. calcolo della posizione dell’asse neutro
x = Kd
5. calcolo del quantitativo minimo di armatura
A a = t Mb .
I testi sul cemento armato riportano delle tabelle dove sono elencati i valori dei coefficienti K, r, η e
t in funzione delle tensioni ammissibili dell’acciaio e del calcestruzzo.
B
I valori di K e η sono adimensionali, r ha le dimensioni di una lunghezza per una
forza elevata a ½, mentre t ha le dimensioni di una lunghezza divisa una forza elevata a ½.
Pertanto nel progetto di una sezione inflessa di c.a. occorre prestare attenzione ad
utilizzare tabelle nelle quali r e t siano espresse nelle stesse unità di misura nelle
quali si lavora !!!!
Di seguito si riporta la tabella dei coefficienti K, r, η e t per due diversi valori della tensione ammissibile nell’acciaio, σa =2200 kg/cm2 (FeB38k) e σa =2600 kg/cm2 (FeB44k).
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.17
Le tensioni sono espresse in kg/cm2.
Tabella 1
σa = 2600 kg/cm2 (FeB44k)
K
0.120
0.146
0.170
0.193
0.214
0.235
0.254
0.273
0.290
0.307
0.323
0.338
0.353
η
0.960
0.951
0.943
0.936
0.929
0.922
0.915
0.909
0.903
0.898
0.892
0.887
0.882
t
0.000508
0.000629
0.000747
0.000863
0.000977
0.001088
0.001198
0.001306
0.001411
0.001516
0.001618
0.001719
0.001818
r
1.001
0.814
0.689
0.600
0.533
0.481
0.439
0.405
0.377
0.352
0.331
0.313
0.297
K
0.103
0.126
0.148
0.168
0.188
0.206
0.224
0.241
0.257
0.273
0.288
0.302
0.316
η
0.966
0.958
0.951
0.944
0.938
0.931
0.925
0.920
0.914
0.909
0.904
0.899
0.895
t
0.000398
0.000493
0.000587
0.000679
0.000769
0.000858
0.000946
0.001032
0.001117
0.001201
0.001284
0.001365
0.001445
0.270
0.367
0.878
0.001916
0.283
0.329
0.890
0.001524
0.259
0.248
0.380
0.393
0.873
0.869
0.002012
0.002107
0.271
0.260
0.342
0.354
0.886
0.882
0.001602
0.001679
0.243
0.399
0.867
0.002154
0.254
0.360
0.880
0.001718
0.239
0.230
0.405
0.417
0.865
0.861
0.002201
0.002293
0.250
0.240
0.366
0.377
0.878
0.874
0.001756
0.001831
0.222
0.429
0.857
0.002384
0.232
0.388
0.871
0.001905
0.215
0.209
0.203
0.197
0.192
0.187
0.182
0.178
0.439
0.450
0.460
0.470
0.479
0.488
0.497
0.506
0.854
0.850
0.847
0.843
0.840
0.837
0.834
0.831
0.002473
0.002562
0.002649
0.002735
0.002821
0.002905
0.002988
0.003070
0.224
0.217
0.211
0.205
0.199
0.194
0.189
0.184
0.399
0.409
0.419
0.429
0.438
0.447
0.455
0.464
0.867
0.864
0.860
0.857
0.854
0.851
0.848
0.845
0.001978
0.002050
0.002122
0.002193
0.002263
0.002332
0.002400
0.002467
A
r
0.932
0.760
0.645
0.563
0.501
0.453
0.415
0.383
0.357
0.334
0.315
0.298
0.283
B
O
kg/cm2
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
Rck 250
90
95
97.5
Rck 300
100
105
110
Rck 350
115
120
125
130
135
140
145
150
σa = 2200 kg/cm (FeB38k)
ZZ
σc
2
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.18
Di seguito si riporta la stessa tabella dei coefficienti K, r, η e t da utilizzare se le tensioni sono espresse in N/mm2.
Tabella 2
σa = 215 N/mm (FeB38k)
σa = 255 N/mm2 (FeB44k)
K
0.120
0.146
0.170
0.193
0.214
0.235
0.254
0.273
0.290
0.307
0.323
0.338
0.353
η
0.960
0.951
0.943
0.936
0.929
0.922
0.915
0.909
0.903
0.898
0.892
0.887
0.882
t
0.001607
0.001988
0.002362
0.002728
0.003088
0.003441
0.003788
0.004129
0.004464
0.004793
0.005117
0.005436
0.005750
r
3.164
2.574
2.180
1.898
1.687
1.522
1.390
1.281
1.191
1.114
1.048
0.991
0.941
K
0.103
0.126
0.148
0.168
0.188
0.206
0.224
0.241
0.257
0.273
0.288
0.302
0.316
η
0.966
0.958
0.951
0.944
0.938
0.931
0.925
0.920
0.914
0.909
0.904
0.899
0.895
t
0.001259
0.001560
0.001856
0.002146
0.002433
0.002714
0.002991
0.003264
0.003533
0.003798
0.004059
0.004316
0.004570
0.855
0.367
0.878
0.006059
0.896
0.329
0.890
0.004820
0.818
0.785
0.380
0.393
0.873
0.869
0.006363
0.006663
0.857
0.821
0.342
0.354
0.886
0.882
0.005067
0.005311
0.770
0.399
0.867
0.006811
0.805
0.360
0.880
0.005432
0.755
0.728
0.405
0.417
0.865
0.861
0.006959
0.007250
0.789
0.760
0.366
0.377
0.878
0.874
0.005551
0.005789
0.704
0.429
0.857
0.007538
0.733
0.388
0.871
0.006024
0.681
0.660
0.641
0.623
0.607
0.591
0.577
0.563
0.439
0.450
0.460
0.470
0.479
0.488
0.497
0.506
0.854
0.850
0.847
0.843
0.840
0.837
0.834
0.831
0.007821
0.008101
0.008377
0.008650
0.008919
0.009185
0.009448
0.009707
0.709
0.687
0.666
0.647
0.629
0.613
0.598
0.583
0.399
0.409
0.419
0.429
0.438
0.447
0.455
0.464
0.867
0.864
0.860
0.857
0.854
0.851
0.848
0.845
0.006255
0.006484
0.006710
0.006934
0.007155
0.007373
0.007589
0.007803
B
O
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
Rck 250
9.0
9.5
9.75
Rck 300
10.0
10.5
11.0
Rck 350
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
14.5
15.0
r
2.946
2.403
2.040
1.780
1.585
1.433
1.311
1.211
1.127
1.057
0.996
0.943
0.896
A
N/mm
2
ZZ
σc
2
N.B. Per determinare i valori di K, r, η e t corrispondenti a valori della tensione nel cls non contemplati nelle precedenti tabelle si può utilizzare l’interpolazione lineare, senza commettere errori
significativi.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.19
Esempio di progetto a flessione semplice di sezione rettangolare di c.a.
Si progetti una sezione rettangolare di c.a. soggetta ad un momento flettente di 12000 kgm. Si utilizzi un calcestruzzo di classe Rck≥300 kg/cm2 e un acciaio tipo FeB44k.
ε
A
ε
ZZ
1. Tensioni ammissibili dei materiali
La tensione ammissibile di compressione del calcestruzzo è pari a:
R − 150
σ c = 60 + ck
= 97,5 kg / cm 2
4
mentre la tensione ammissibile dell’acciaio è pari a:
σa = 2600 kg / cm 2 .
Si fissa b = 25 cm (di solito la larghezza della sezione di una trave è imposta da esigenze di natura
architettonica)
O
dalle tabelle precedenti per σ c = 97,5 kg / cm 2 e per σa = 2600 kg / cm 2 si ricava:
K = 0,360
r = 0,254
η = 0,880
t=0,001718
pertanto si ha:
M
1200000
d=r
= 0,254
= 55,65 cm (1)
b
25
x = K d = 0,36 · 55,65 = 20 cm
B
A a = t Mb = 0,001718 ⋅ 1200000 ⋅ 25 = 9,41 cm 2
In alternativa all’utilizzo del coefficiente t, si può anche utilizzare la formula
M
1200000
Aa =
=
= 9,42 cm 2
σa η d 2600 ⋅ 0,88 ⋅ 55,65
che fornisce risultati (a meno delle inevitabili approssimazioni dovute al troncamento delle cifre decimali) identici.
Se per calcolare Aa si fosse utilizzato il valore di η approssimato a 0,9, si sarebbe ottenuto:
M
1200000
Aa =
=
= 9,22 cm 2
σ a η d 2600 ⋅ 0,9 ⋅ 55,65
cioè si sarebbe commesso un errore sull’area di acciaio di solo il 2 % !!!
2. Scelta delle caratteristiche della sezione
Si adotta pertanto un’altezza di 60 cm e 4 barre di 18 mm di diametro; così facendo si ha:
d = 60 – 2 – 1,8/2 = 57,1 cm > 55,65 cm
(1)
Da notare che il valore del momento flettente è stato espresso in kgcm, essendo le dimensioni geometriche espresse
in cm.
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Lezione n. 23 – pag. XXIII.20
A
Aa = 4 · 2,54 = 10,16 cm2 > 9,41 cm2.
ZZ
N.B.: Se si esprimono i valori delle tensioni in N/mm2, occorre utilizzare la Tabella 2, dalla quale
risulta:
K = 0.360
r = 0.805
η = 0.880
t=0.005432
pertanto si ha:
M
120.000.000
d=r
= 0,805
= 557,72 mm = 55,77 cm (2)
b
250
B
O
A a = t Mb = 0,005432 ⋅ 120.000.000 ⋅ 250 = 941 mm 2
(2)
Il valore non coincide perfettamente con quello ricavato sopra per l’errore di troncamento presente nel valore di r.
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