Laboratorio: “Il concetto di misura: approccio storico, teoria ed applicazioni” Relazione finale del coordinatore: prof.ssa Emma D’Aniello, Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche Naturali della SUN Persone coinvolte nel laboratorio: Delegato di Ateneo Piano Lauree Scientifiche: prof. Alessio Russo (Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali, SUN) Referenti del laboratorio: -‐ prof. ssa Anna Chiappini e prof. ssa Anna Maria De Caprio (Liceo Scientifico “Garofano” di Capua) -‐prof. ssa Alfonsina Iovene (Liceo Scientifico “Fermi” di Aversa) -‐prof. ssa Concetta Marino (Liceo Scientifico “Quercia” di Marcianise) -‐ prof. ssa Luigia Motti (Liceo Scientifico “Cortese” di Maddaloni) Studenti che hanno partecipato al laboratorio: -‐ Concilio Pasquale, Della Ventura Annarita, Di Caprio Vincenzo, Di Vico Francesca, Ferrara Costanza, Fiorillo Damiano Francesco Giuseppe, Iadicicco Gilda, Ramunno Valentina Rega Giovanni, Sparaco Rosa (Liceo Scientifico “Cortese” di Maddaloni) 1 -‐ d’Aniello Rossella, De Angelis Cesario, Di Pasqua Anna, Orefice Vincenzo, Pagano Francesca, Pellino Carmela, Pezone Elena (Liceo Scientifico “Fermi” di Aversa) -‐ Giada Dimitroff, Antonio Capolongo, Valeria Sorbo, Luigi Di Micco, Erica De Caprio, Angela Coretti, Vincenzo De Gennaro, Francesco Di Cecio, Marco Maione (Liceo Scientifico “Garofano” di Capua) -‐ Rossano Maria, Rossano Tommaso, Iodice Michela, Lasco Martina, Di Lillo Giovanni, Rossetti Daniele, Sparaco Michela, Golino Antonella, (Liceo Scientifico “Quercia” di Marcianise) Descrizione delle attività svolte La prima riunione del gruppo docente relativo al nostro laboratorio si è tenuta il 3.11.2010. Durante questo incontro abbiamo cominciato a discutere sui contenuti specifici e sull’organizzazione delle attività e, quindi, anche su come presentare il laboratorio durante la giornata inaugurale, fissata per il 20 novembre 2010. C’è stato un accurato confronto di idee che, dopo una attenta riflessione sul livello di preparazione atteso dagli studenti coinvolti che frequentano il terzo ed il quarto anno del liceo scientifico, ha portato al comune accordo di cominciare il progetto col proporre, nella giornata inaugurale, una breve rassegna e di elementi storici collegati al concetto di misura con particolare riferimento alla nozione di lunghezza prima e di area poi, e dei contenuti, e delle linee generali che ci proponevamo di seguire. La struttura e l’organizzazione del progetto sono, comunque, via via dipesi anche dalla risposta e dalla reazione degli studenti. Il 20 ottobre 2011 si è tenuta la giornata inaugurale che ha coinvolto tutti i docenti delle scuole partecipanti al progetto, durante la quale sono stati presentati i vari laboratori ed, in particolare, io ho illustrato a grandi linee l’organizzazione del laboratorio stabilita con i docenti referenti. Le attività si sono tenute da Novembre 2010 ad Aprile 2011. Il laboratorio è stato pensato per avvicinare gli studenti allo studio della matematica con la consapevolezza di come essa faccia parte della nostra vita, anche quando ciò non è completamente evidente. Misurare fa parte del nostro quotidiano: usando strumenti di misura descriviamo quantitativamente il mondo che ci circonda. Durante le varie fasi del laboratorio, gli studenti sono stati guidati ad affrontare gli argomenti in modo critico, ad investigare storicamente vari concetti di misura: lunghezza, area, peso, capacità, valore,tempo,etc. Ci siamo soffermati in particolare sui concetti di lunghezza e di area ed alla stima della consistenza dell’errore. Abbiamo accompagnato gli studenti in un percorso che li ha portati ad usare in modo intelligente, proficuo e ragionevolmente piacevole, strumenti matematici. 2 Le ore dedicate al laboratorio sono state suddivise come segue: Tempi Luogo Attività 14 ore Scuola Gli studenti hanno lavorato al laboratorio, coordinati dai docenti referenti. 2 ore Università Gli studenti dei diversi istituti si sono incontrati per confrontarsi sulle attività svolte a scuola, coordinati dai docenti referenti e dalla sottoscritta. 3 ore Università Giornata conclusiva delle attività. Gli studenti si sono incontrati con i partecipanti al laboratorio “La Matematica dell’incerto” ed hanno illustrato loro le attività svolte a scuola. Gli obiettivi perseguiti sono stati i seguenti: § § § § § § potenziamento delle capacità logico-deduttive, critiche, di analisi e di sintesi; stimolo al lavoro di gruppo e sviluppo della capacità di comunicare le conoscenze acquisite, tra studenti di una stessa scuola e di diversi istituti; sviluppo dell'interesse degli studenti verso un problema (operare direttamente fa sempre rendere meglio conto delle difficoltà), avvicinamento ad una mentalità di ricerca autonoma, con la creazione di un ambiente di indagine in cui ogni studente è stato invitato a fare osservazioni e a dare il proprio contributo; coinvolgimento, in prima persona, degli studenti nel processo di apprendimento; grazie all’approccio laboratoriale, gli studenti si sono sentiti protagonisti attivi dell’arricchimento del loro bagaglio di apprendimento, coniugando teoria e pratica in uno spirito di problematizzazione, ricerca e progettazione di soluzioni; sperimentazione di che cosa significhi “fare matematica”, senza imporre agli studenti nozioni e tecniche non facenti già parte del loro bagaglio culturale; 3 § stimolo della curiosità e della voglia di confrontarsi, assaporando il gusto della ricerca in campo matematico, aiutando gli studenti a superare alcune convinzioni comuni errate riguardanti la matematica, spesso vista come disciplina teorica, lontana dalla vita quotidiana. Gli obiettivi specifici conseguiti sono stati i seguenti: • • • • • • • la nozione di misura, con particolare riferimento a quella di area, è stata trattata mediante un approccio metodologico di carattere storico ed interdisciplinare; gli studenti sono stati resi consapevoli delle difficoltà che si incontrano nella misurazione pratica di un’area e di come il processo di misurazione porti inevitabilmente ad un’incertezza sul risultato ottenuto; sono state studiate le relazioni tra le varie unità di misura e gli studenti sono stati messi in grado di effettuare il passaggio da una ad un’altra; gli studenti sono stati messi in grado di effettuare misure di aree con metodi diversi ed hanno imparato a stimare l’errore di misura; gli studenti sono stati guidati attivamente alla rivisitazione delle pietre miliari dello sviluppo storico-matematico del concetto di misura e resi, quindi, consapevoli di come la matematica si è evoluta nel corso dei secoli e come i problemi siano stati trattati in maniera differente ed hanno rielaborato le informazioni raccolte, realizzandone una sintesi in Power Point; è stata determinata l’area del settore parabolico mediante il metodo meccanico di Archimede ed il metodo di esaustione; è stato studiato il problema delle tassellazioni regolari del piano: in quanti e quali modi è possibile ricoprire un piano con piastrelle tutte uguali? Si è visto che triangolo equilatero, quadrato ed esagono regolare sono tutti e soli i poligoni regolari con cui si può piastrellare il piano con piastrelle tutte uguali. Ciò ha costituito lo spunto per rivedere concetti fondamentali di geometria euclidea, con particolare riferimento alle proprietà dei poligoni ed alle isometrie nel piano. Tale argomento, che ha diversi legami con il mondo reale (pavimentazione di una casa, alveari…), si è prestato, in qualche caso, a collegamenti interdisciplinari con la storia dell’arte, il disegno e le scienze, e si è anche accennato ad opere di Escher. Si è osservato che allora il fatto che le api costruiscano i loro alveari con cellette a sezioni esagonali non è casuale in quanto l’esagono è il poligono regolare tra i tre che a parità di perimetro ha area massima. Le api economizzano la cera con cui costruiscono l’alveare! Come facciano le api a “sapere” ciò è uno dei meravigliosi misteri della natura! Le metodologie utilizzate sono state essenzialmente le seguenti: ♦ ♦ ♦ ♦ problem solving didattica laboratoriale metodo di ricerca-azione cooperative learning Materiale utilizzato: v schede di lavoro v figure piane di vario genere ritagliate da cartoncini e sagome in plastica 4 v v v v carta millimetrata bilancia (a bracci uguali e digitale) calcolatrice, righelli, matite, forbici computer I docenti referenti ed io ci siamo riuniti altre due volte, in data 24.11.2010 ed in data 16.02.2011. Durante la seconda riunione abbiamo individuato gli obiettivi di apprendimento che gli allievi avrebbero dovuto raggiungere nel laboratorio, abbiamo predisposto gli argomenti da tenere in considerazione nella progettazione e le fasi delle attività da svolgersi a scuola. Le fasi delle attività nelle singole scuole sono state le seguenti: ♣ Questionario iniziale: gli studenti, suddivisi in piccoli gruppi, hanno fornito le risposte ad un questionario comune a tutte e quattro le scuole, allo scopo di sondare le loro conoscenze relative al concetto di misura. É stato poi loro fornito del materiale ed è stata compilata una scheda di lavoro, grazie alla quale gli studenti sono pervenuti al significato di misura di una grandezza, con particolare riferimento alla misura dell’area di una figura piana, al significato di “unità di misura” e “conversione” da un’unità di misura ad un’altra ed al concetto di “errore di misura”. Successivamente si è aperta la discussione, partendo dall’analisi delle risposte fornite. Al termine ogni gruppo ha rielaborato i dati raccolti fornendo la sua “versione conclusiva”. Il testo del questionario e la scheda di lavoro sono i seguenti: QUESTIONARIO INIZIALE 1. Che cosa significa per te effettuare una misura? ………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………… Spiega cosa, secondo te, è possibile misurare nei settori riportati in seguito, indicando anche in che modo sarebbe possibile effettuare tale misura: a) medico………………………………………………………………………………… ………………………………….. b) aeronautico….………………………………………………………………………… ……………………………….. c) astronomico…………………………………………………………………………… ……………………………….. d) telecomunicazioni…………………………………………………………………… ………………………………. e) economico…………………………………………………………………………… ………………………………….. f) meteorologico..……………………………………………………………………… ……………………………….. 5 2. Se pensi che il concetto di misura sia applicabile in altri campi, fornisci ulteriori esempi ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… 3. Come effettueresti la misura di lati, perimetro ed area di una figura piana? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… 4. Di che cosa ritieni di aver bisogno per effettuare le misure precedenti? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… SCHEDA DI LAVORO Usando come unità di misura i vari oggetti che ti sono stati forniti, misura l'area A della superficie rettangolare che hai a disposizione. Trova cioè il numero di oggetti che ricoprono la superficie. Misura anche i lati a, b della superficie. Compila poi la seguente tabella. Area A lato a lato b Area a · b a/b Oggetto 1 Oggetto 2 Oggetto 3 • Che differenza noti nell’utilizzo dei vari oggetti? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… • Come si può risolvere l’eventuale difficoltà derivante dal fatto che il bordo dell’oggetto non si allinea perfettamente con il bordo della figura? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… • La misura della grandezza è la stessa se si cambia l’unità di misura? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… 6 • Il rapporto tra le misure dei lati dipende dall’unità di misura? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… • Come pensi che si possa effettuare il passaggio da un’unità di misura ad un’altra? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… • Nel momento in cui si effettua una misura pratica è possibile fornire un risultato “esatto”? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… • Cosa rappresenta per te l’errore su una misura? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… • È possibile quantificare questo errore? Se sì, come? ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… COMMENTI E RIFLESSIONI SULL'ATTIVITÀ SVOLTA. ♣ Misurazione di aree di figure regolari e di figure “strane”: gli studenti si sono cimentati nella determinazione dell’area di vari poligoni, a partire da quelli regolari fino ad arrivare a poligoni di forme “strane”, utilizzando vari metodi: con carta millimetrata (utilizzando quadrettature diverse), mediante il teorema di Pick (sono stati, quindi, guidati nella ricerca della relazione esistente tra l’area della figura ed i punti sul perimetro e quelli interni), ecc... In alcuni casi è stata proposta anche la misura di aree mediante somma di rettangoli interni ed esterni di dimensioni diverse, consentendo l’introduzione in maniera intuitiva del concetto di integrale. Per ognuna delle misure effettuate si è fornita una valutazione dell’errore commesso ed un conseguente confronto delle incertezze ottenute con le differenti metodologie. ♣ Ricerca storica: gli studenti, nell’aula di informatica, hanno effettuato una ricerca storica sulla teoria della misura e su come si sia evoluta nel corso dei secoli, a partire da Eudosso ed Archimede. Nell’ottica di un approccio interdisciplinare, in qualche caso, si è fatto anche cenno al concetto di misura nella fisica moderna. Sulla base dei dati raccolti, gli studenti hanno realizzato una presentazione in Power Point di cui potranno usufruire anche altri alunni. 7 ♣ Un’ area “celebre” (il segmento parabolico): gli studenti, sotto la guida dell’insegnante hanno determinato l’area di una figura delimitata da una parabola ed una linea secante mediante il metodo meccanico di Archimede (quadratura della parabola) e mediante il metodo di esaustione. Ciò ha costituito anche un modo per rivedere concetti di geometria elementare ed analitica, nonché, talvolta, di fisica. ♣ Un problema concreto: ricerca delle piastrellazioni o (tassellazioni) regolari del piano. C’è stato un continuo confronto ed aggiornamento via e-mail tra me ed i referenti riguardo allo svolgimento delle attività. Durante la terza riunione abbiamo fatto il punto delle attività in corso ed abbiamo stabilito di fare elaborare agli studenti, sotto forma di presentazione, la sintesi delle attività svolte, da presentare nel successivo incontro del 16.03.2011, che ha visto coinvolti sia gli studenti che i docenti referenti. Durante tale incontro, ciascuno dei quattro gruppi di studenti ha illustrato agli altri, in circa 20 minuti, con una presentazione Power Point, le attività svolte a scuola nell’ambito del Laboratorio e ad ogni presentazione sono seguite domande e discussioni. Il giorno 11.04.2011 c’è stato un incontro conclusivo che ha visto coinvolti sia il Laboratorio “Il concetto di misura: approccio storico, teoria e applicazioni”, che il Laboratorio “La matematica dell’incerto”, coordinato dal prof. Bruno Carbonaro. In tale occasione i partecipanti a ciascun laboratorio hanno illustrato ai partecipanti all’altro le attività svolte, mettendo in risalto le linee comuni e le differenze. Caserta, 19 aprile 2011 Emma D’Aniello 8
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