STATISTICA ESERCITAZIONE
Dott. Giuseppe Pandolfo
18 Maggio 2015
Esercizio 1 Stima puntuale: la media campionaria
Il tempo necessario per completare gli esercizi per casa di statistica segue una distribuzione
normale di media 100 minuti e deviazione standard di 20 minuti.
a) Calcolare la percentuale di studenti che completeranno tutti gli esercizi entro 2 ore.
b) Quanto tempo è necessario affinché il 95% degli studenti completino l’esercitazione?
Si estrae un campione casuale di 25 studenti iscritti al corso:
c) Calcolare il valore atteso e l’errore standard della v.c. tempo medio impiegato del gruppo di
studenti estratto. Indicare qual è la distribuzione della v.c. tempo medio percompletare gli
esercizi. Motivare la risposta.
d) Calcolare la probabilità che il tempo medio impiegato dal gruppo di studenti per completare gli
esercizi differisca da 100 minuti per più dell’11%.
Soluzione
a) Indichiamo con X il tempo per completare gli esercizi
b) Il tempo necessario affinché il 95% degli studenti completino gli esercizi corrisponde
a:
1
per cui:
c) Il tempo medio impiegato dal gruppo di studenti per completare gli esercizi è identificato dalla
v.c. media campionaria:
Essendo nota la distribuzione della popolazione allora anche
sarà distribuita normalmente, in
particolare:
d) La probabilità che il tempo medio impiegato dal gruppo di studenti per completare gli esercizi
differisca da 100 minuti per più dell’11% corrisponde a:
Esercizio 2 Stimatore media campionaria: applicazioni
Da un recente studio nazionale sulle condizioni lavorative dei dipendenti pubblici, emerge che
per un certo segmento ampio di popolazione e per un dato anno il numero medio di giorni di
assenza dal lavoro per malattia è di 5.4 con una deviazione standard di 2.8 giorni. Si estrae un
campione casuale di 49 persone
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a) Proporre uno stimatore non distorto per il valore atteso dei giorni di assenza dal lavoro per
malattia e definirne le proprietà.
Calcolare la probabilità che il campione di persone estratto da questa popolazione abbia una
media di assenze:
b) Maggiore di 6 giorni
c) Fra 4 e 6 giorni
d) Fra 4 giorni e mezzo e 5 giorni e mezzo
Soluzione
a) La media campionaria è uno stimatore non distorto della media dei giorni di assenza dal lavoro
per malattia.
La distribuzione della popolazione non è nota, tuttavia abbiamo un campione sufficientemente
grande (
) e per il TLC lo stimatore media campionaria si distribuisce in modo
approssimativamente normale:
b) Sapendo che
3
La probabilità che un campione casuale di 49 persone abbia una media di assenze maggiore di 6
giorni è pari a:
c) La probabilità che un campione casuale di 49 persone abbia una media di assenze tra 4 e 6
giorni è pari a:
d) La probabilità che un campione casuale di 49 persone abbia una media di assenze tra 4 giorni e
mezzo e 5 giorni e mezzo è pari a:
Esercizio 3 Applicazioni del Teorema di Chebyshev
Supponiamo che una banca riceva in media 70 clienti al giorno con uno scarto di 10. Si vuole
calcolare:
a) la probabilità che nella giornata di domani, la banca riceverà meno di 40 clienti oppure più di
100 clienti
b) la probabilità che nella giornata di domani, la banca riceverà tra i 55 ed gli 85 clienti.
Supponiamo ora che il numero di clienti che riceve la banca si distribuisca secondo una legge
normale con stessa media e stesso scarto. Calcolare:
c) la probabilità che nella giornata di domani, la banca riceverà tra i 55 e gli 85 clienti
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Soluzione
Enunciato [1] – Il Teorema di Chebyshev
Se una distribuzione di probabilità ha media μ e scarto quadratico medio _, allora la probabilità
che il valore di una variabile casuale con tale distribuzione differisca da μ per più di kσ è
inferiore a
.
Sappiamo che:
(a)
a) In questo caso dobbiamo determinare
Utilizzando il risultato in (a) e sapendo che:
da cui:
allora:
b) In questo secondo caso dobbiamo determinare:
Ragionando per complemento rispetto all’ Enunciato [1] la probabilità cercata si ricava come
segue:
in forma compatta:
(b)
a partire dal risultato in (b) Sapendo che:
da cui:
5
Allora:
Con una probabilità del 55% la banca riceverà domani tra i 55 e gli 85 clienti.
c) Se il numero di clienti che riceve la banca si distribuisce secondo una legge normale con media
pari a 70 e scarto quadratico medio 10 allora:
la probabilità che nella giornata di domani, la banca riceverà tra i 55 e gli 85 clienti è pari a:
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