Minimizzazione di reti
Liceo Scientifico “G. Galilei” – Erba (CO)
Classi 1C, 1D, 1E, 2A, 2C
Insegnante di riferimento: Raffaella Cetti
Ricercatrice: Federico Boniardi
Partecipanti: Noemi Beretta, Olga Bernasconi, Marco Corti, Andrea Gruffè,
Eugenio Mauri, Maddalena Molteni, Andrea Niedda, Tommaso Pina, Virginia Pina,
Marcello Pozzessere, Andrei Raducanu, Claudio Rigamonti, Tommaso Siviero,
Ottavia Terenghi.
IL PROBLEMA
Il problema che ci è stato proposto riguarda la minimizzazione di reti, ossia come
collegare alcune città tra loro che non sono poste su una retta. Una di esse possiede
energia da trasmettere alle altre. Il nostro compito è stato quello di trovare la via
più breve per trasmettere energia.
Quando le tre città si trovano ai vertici di un triangolo, nella maggior parte dei casi si
ottiene il miglior collegamento posizionando un nodo N all’interno del triangolo e
collegando questo nodo con i tre vertici A, B e C. La somma dei tre segmenti NA + NB
+ NC risulta minore di quella che si ottiene sommando AC con AB oppure AC con BC o
infine AB con BC.
Abbiamo fatto vari tentativi e misurazioni per scoprire dove collocare il nodo e
abbiamo capito che:
− il nodo, se presente, è uno solo;
− il nodo non può trovarsi sui lati.
Triangolo equilatero
Quando il triangolo è equilatero si ottiene la soluzione migliore fissando un nodo nel
punto di incontro delle altezze, che sono anche assi di simmetria per il triangolo.
INFATTI: Sapendo che il punto ottimale per porre il nodo è uno solo, se questo punto
non fosse sull’asse di simmetria ci sarebbe un altro punto simmetrico al primo rispetto
all’asse che avrebbe le stesse proprietà. In tal caso avremmo perciò due punti ottimali
in uno stesso triangolo. Dato che ci sono 3 assi di simmetria, il nodo si trova
nell’intersezione dei 3 assi.
2
Triangolo isoscele con angolo di 120°
Nel caso che il triangolo sia isoscele e possieda un angolo al vertice di 120°, il
percorso più breve per unire i tre vertici è AC + CB (passando cioè per il punto C)
e non è più conveniente collocare un nodo all’interno del triangolo.
Per dimostrare questo costruiamo un triangolo equilatero sulla base del nostro
triangolo di partenza. Sappiamo già trovare il punto ottimale in un triangolo equilatero
e notiamo anche che corrisponderà al vertice C del nostro triangolo isoscele.
Se si prende in considerazione un punto qualsiasi H appartenente a un asse di
simmetria del nostro triangolo equilatero (abbiamo già dimostrato che è inutile
prendere un punto che non appartiene a un asse di simmetria) possiamo dire che
AC+BC+DC < AH+BH+DH
perché vale ciò per il triangolo equilatero.
Sapendo però che il segmento DH è composto da DC + CH, allora:
AC+BC+DC < AH+BH+(DC+CH).
A questo punto DC si può elidere nei due membri della disuguaglianza, che diventa
perciò:
AC +BC < AH+CH+BH.
Abbiamo dimostrato così la nostra tesi, cioè che un nodo H interno al triangolo non
realizza il percorso minimo, perché il percorso che collega H con A con B e con C
risulta sempre maggiore di AB + BC (il percorso lungo i lati).
Questo risultato vale anche per triangoli con un angolo maggiore di 120°.
3
Triangolo isoscele con angolo al vertice minore di 120°
Abbiamo dimostrato che quando si considera un triangolo isoscele con angolo al
vertice minore di 120°, il suo punto ottimale si trova all’interno del triangolo, sull’asse
di simmetria e che forma con la base un triangolo isoscele con angolo al vertice di 120°
come nella figura.
Dimostrazione
Costruiamo sulla base del triangolo isoscele uno equilatero ABE, come nella figura.
Per prima cosa possiamo notare che il vertice E appartiene all’asse di simmetria (retta
per C), in quanto il triangolo equilatero ha la base in comune con quello isoscele.
Inoltre noi già sappiamo trovare il punto ottimale in un triangolo equilatero e notiamo
anche che nel nostro caso risulta essere il punto D.
Se si prende in considerazione un punto K al di sopra del punto D e appartenente
all’asse di simmetria del triangolo (abbiamo già dimostrato che è inutile prendere un
punto che non appartiene a un asse di simmetria) potremmo dire che
ED+AD+BD < EK+AK+BK
perché vale per il triangolo equilatero.
Sapendo che ED è uguale a EK+KD potremmo dire quindi che
(EK+KD) +AD+BD < EK+AK+BK
successivamente si elide EK e abbiamo così che
4
KD+AD+BD < AK+BK.
Aggiungiamo ai due membri il segmento CK ottenendo la seguente disuguaglianza:
CK+KD+AD+BD < AK+BK+CK.
Sapendo che CK + KD = CD si ottiene:
CD+AD+BD < AK+BK+CK
Risulta cosi che il punto D è sempre "migliore" di un qualsiasi altro punto K per
collegare i tre punti A, B, C. Lo stesso si può dire se si sceglie un punto H al di sotto
del punto D.
Caso generale
Dopo una serie di analisi e sperimentazioni abbiamo capito che in qualsiasi triangolo
con tutti gli angoli minori di 120° il punto ottimale forma con i vertici di tali triangoli
tre angoli di 120°, però non siamo stati in grado di dimostrare questo risultato.
Abbiamo trovato però la costruzione geometrica precisa che permette di trovare il
punto ottimale all’interno del triangolo: si deve utilizzare il teorema degli angoli al
centro e degli angoli alla circonferenza.
Costruzione del punto ottimale (per un triangolo con angoli tutti minori di 120°)
5
Si costruisca su un lato del triangolo in considerazione, ma all’esterno di esso, un
triangolo con due angoli di 30° (come nella figura il triangolo AOB) e si tracci una
circonferenza che abbia come centro O e passi per i due vertici A e B.
Osservando la figura possiamo affermare che il triangolo convesso AOB, avendo due
angoli di 30°, avrà il terzo angolo AOB di 120° e che l’altro angolo al centro (il suo
esplementare) sarà di 240°. Di conseguenza, tutti i punti appartenenti all’arco AB
della circonferenza (l’arco che sta all’interno del triangolo) formano con i vertici A e B
un angolo uguale alla metà dell’angolo al centro concavo AOB, quindi di 120° (perché
l’angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro).
Successivamente si ripetano gli stessi passaggi con il secondo lato e poi anche con il
terzo. Potremo notare che le tre circonferenze costruite avranno un solo punto in
comune all’interno del triangolo, in quanto già sappiamo che il punto ottimale è unico e
non è mai all’esterno del triangolo, e che forma con i vertici A, B e C tre angoli di 120°.
Esso sarà il nostro punto ottimale.
6
Il problema di Steiner
Al termine del nostro lavoro abbiamo scoperto che il problema da
noi affrontato si chiama “problema di Steiner”.
Jakob Steiner (Berna, 18 marzo 1796 – Berna, 1º aprile 1863) è
stato un matematico svizzero che si è occupato principalmente di
geometria come docente all’Università di Berlino. Il suo lavoro è
stato molto importante perché ha posto le basi della geometria
sintetica moderna.
Tornando al nostro problema, esso era già stato posto in precedenza da Fermat
(matematico francese vissuto nel 1600); la formulazione del problema da parte di
Steiner può essere riassunta così: tre villaggi A, B, C devono essere collegati da un
sistema di strade di minima lunghezza totale. Egli arrivò alla sua soluzione
nel 1838 utilizzando un processo chiamato simmetrizzazione di Steiner.
La soluzione del problema ha molte utilità pratiche: le reti da minimizzare possono
essere di diverso tipo (di fibre ottiche, oleodotti, autostrade etc.) per connettere un
insieme di siti (uffici, pozzi petroliferi, città etc.). Rendere minima la rete che li
collega significa trovare la soluzione più vantaggiosa dal punto di vista economico (cioè
minimizzare i costi).
Per quanto riguarda il problema di Steiner, è possibile realizzare un modello con
lamine di sapone. Si considerino due lamine di plastica, distanziate da alcune sbarrette
uguali, fissate nei punti che si vogliono collegare. Se si immerge il tutto nell’acqua
saponata e poi lo si estrae, si osserva che tra le diverse sbarrette si formano delle
lamine saponate. Dopo qualche secondo, necessario per raggiungere l’equilibrio, è
possibile osservare in che modo la lamina si sia disposta.
Nel caso in cui i punti da collegare siano tre, posti ai vertici di un triangolo con angoli
tutti minori di 120°, la disposizione delle lamine di sapone è quella che abbiamo
spiegato, cioè con la presenza di un nodo all’interno del triangolo in corrispondenza del
quale si formano tre angoli di 120°.
Per concludere
Il laboratorio pomeridiano “Math en Jeans” è stato giudicato da tutti noi ragazzi
un’esperienza positiva, che ci è servita a scoprire aspetti della matematica in modo
diverso e ci ha fatto conoscere persone nuove e simpatiche. Riportiamo qui alcune
delle impressioni più significative:
“Il Math en Jeans ci ha dimostrato che la matematica non è studio infruttuoso o
regole a memoria: è il lavoro di persone che si sono impegnate per raggiungere un
risultato” Claudio
“Incredibile, emozionante e allo stesso tempo interessante, la migliore esperienza di
matematica” Marco
7
“... ci ha insegnato a ragionare e a utilizzare tutte le nostre risorse e possibilità”
Ottavia
“… è stata dapprima un’impresa ardua e difficile, ma si è rivelata col tempo
un’esperienza utile ed interessante che ha stimolato le nostre capacità di
ragionamento” Noemi e Maddalena
“Questa iniziativa ci ha avvicinato alla matematica in un modo diverso e più
coinvolgente” Marcello
“… ci ha permesso di sviluppare le nostre capacità di ragionare ma soprattutto è stato
utile il fatto di lavorare in gruppo e dover confrontare idee diverse” Eugenio
8