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Fluidodinamica ambientale
turbolenza e dispersione
Claudio Cancelli, Maurizio Boffadossi, Pietro Salizzoni
Politecnico di Torino, maggio 2006
Dipartimento di Ingegneria aeronautica e aerospaziale
OTT
EDITORE
FLUIDODINAMICA AMBIENTALE
turbolenza e dispersione
Claudio Cancelli
Maurizio Boffadossi
Pietro Salizzoni
Otto Editore - Via G. Garibaldi 5 - 10122 Torino
www.otto.to.it
Claudio Cancelli, Maurizio Boffadossi, Pietro Salizzoni
Fluidodinamica ambientale – Turbolenza e dispersione
Prima edizione maggio 2006
È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato,
compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata.
2
INDICE
1. Correnti turbolente
7
1.1. considerazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. lineamenti delle correnti turbolente . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3. la turbolenza come moto autoeccitato . . . . . . . . . . . . .
44
2. Statistica delle correnti turbolente
61
2.1. descrizione statistica delle correnti turbolente . . . . . . . . .
62
2.2. qualche elemento di dinamica della turbolenza sviluppata . . .
86
2.3. appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3. Equazioni mediate. Modelli euleriani di dispersione
109
3.1. equazioni di bilancio mediate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2. modelli euleriani di diffusione turbolenta . . . . . . . . . . . 124
3.3. trasporto turbolento di quantità di moto . . . . . . . . . . . . 148
3.4. utilità della previsione dei valori medi diconcentrazione
4. Lineamenti di meccanica dell’atmosfera
. . . 156
169
4.1. condizioni statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.2. convezione naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3. configurazioni di moto di grande scala . . . . . . . . . . . . . 204
4.4. correnti termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.5. sistemi d’onda in un fluido stratificato . . . . . . . . . . . . . 247
4.6. appendici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3
5. Dinamica dello strato limite
265
5.1. energia cinetica turbolenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.2. leggi di similitudine per lo strato limite
. . . . . . . . . . . . 284
6. Dispersione e deposizione di inquinanti
303
6.1. morfologia dei pennacchi e dinamica degliinquinanti . . . . . 304
6.2. deposizione di inquinanti sul suolo . . . . . . . . . . . . . . . 328
7. Strumenti di calcolo
355
7.1. classificazione dei modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.2. modelli gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
modelli per il calcolo delle variabili meteorologiche . . . . . 376
7.4. modelli euleriani alle differenze o ai volumi finiti . . . . . . . 379
7.5. metodi lagrangiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.3.
8. Metodi e strumenti di misura
385
8.1. metodi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.2. strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
9. Dispersione di inquinanti in ambiente urbano
413
9.1. introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
9.2. elementi di climatologia urbana . . . . . . . . . . . . . . . . 416
9.3. scale spaziali caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
9.4. un cenno alle reazioni chimiche . . . . . . . . . . . . . . . . 430
A. Le equazioni della fluidodinamica
437
A.1. introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
A.2. l’equazione di bilancio per una generica variabile . . . . . . . 439
A.3. l’equazione di conservazione della massa . . . . . . . . . . . 439
A.4. l’equazione di bilancio della quantità di moto . . . . . . . . . 440
A.5. l’equazione di bilancio dell’energia meccanica . . . . . . . . 443
A.6. l’equazione di bilancio dell’energia . . . . . . . . . . . . . . 445
A.7. lo stato termodinamico ed il quadro conclusivo delle equazioni 446
A.8. l’umidità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
B. La classificazione di Pasquill
4
451
PREFAZIONE
Nel dominio della meteorologia applicata, sempre maggior interesse è rivolto
alla modellistica di dispersione di inquinanti, sia per gli oggettivi rischi sanitari connessi, sia per l’attuazione dei provvedimenti amministrativi volti al
rispetto dei limiti imposti dalla normativa europea. Ciò comporta la necessità di formazione per tecnici e ricercatori a vario titolo coinvolti nelle attività
di previsione, monitoraggio e mitigazione dell’inquinamento atmosferico, ma
la complessità della materia rende la didattica italiana decisamente povera di
punti di riferimento.
Questo lavoro, frutto dell’esperienza di alcuni tra i colleghi più competenti in
materia di fluidodinamica ambientale oggi attivi in Italia, vuole colmare tale
lacuna.
Turbolenza e dispersione è l’ideale seguito di Fluidodinamica ambientale,
pubblicato sempre da questo Editore nel 2003. Questo nuovo testo, attraverso
uno stile sufficientemente discorsivo per chiarire i concetti dal punto di vista
descrittivo, ma rigoroso sotto il profilo della trattazione matematica, fornisce
gli strumenti conoscitivi utili a orientarsi nel vasto e complesso campo della
turbolenza, con particolare attenzione ai moti atmosferici.
Dopo la presentazione dei fondamenti concettuali della materia, sono descritte
le peculiarità incontrate nello studio di correnti di interesse ambientale, sia a
scala locale, sia a scala sinottica. Infine vengono proposti tre capitoli con un
taglio maggiormente applicativo, dedicati alla presentazione dei più diffusi
modelli di calcolo oggi disponibili, alla strumentazione per la misura delle
variabili meteorologiche necessarie allo studio dei processi di dispersione, e
all’ambiente urbano.
Quest’ultimo capitolo rappresenta una novità, in quanto - pur rimanendo in
un ambito descrittivo - presenta le più recenti acquisizioni frutto di indagini
fluidodinamiche condotte per via numerica e sperimentale, finalizzate alla ge5
nerazione di codici di calcolo per la simulazione dei fenomeni di dispersione
di inquinanti in geometrie complesse.
Non ho dubbi che queste pagine saranno di guida per una nuova generazione
di ricercatori e professionisti delle scienze ambientali chiamati a contribuire alla soluzione dei gravi problemi di inquinamento che affliggono il nostro
territorio.
Luca Mercalli
Presidente Società Meteorologica Italiana
6
1. CORRENTI TURBOLENTE
7
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Fig. 1.1 – Schizzo di Leonardo.
1.1.
CONSIDERAZIONI PRELIMINARI
Accade spesso che le correnti di fluido mostrino lineamenti così variabili e
irregolari da far disperare chiunque voglia prevederle per via matematica, oppure descriverle con un numero limitato di misure. Non è necessario trovarsi
in laboratorio per osservare il fenomeno; la presenza di impurità, che agiscono da traccianti, può rendere avvertibile il carattere contorto e continuamente
mutevole delle configurazioni anche in molte situazioni naturali - nel getto
emesso da una ciminiera, o nella regione a valle di una rapida, tanto per citare
un paio di casi. È difficile dire che cosa esattamente l’occhio colga di queste correnti, o il cervello vi sovrapponga con la sua capacità di proiezione; le
linee di corrente e le traiettorie non coincidono e le figure percepite si vanno di continuo trasmutando. Eppure, può accadere che qualcuno afferri degli
aspetti essenziali del campo di moto e li restituisca in uno schizzo di straordinaria intuizione. In un famoso disegno di Leonardo, riprodotto in fig. 1.1, è
8
1.
CORRENTI TURBOLENTE
rappresentato lo sbocco di una condotta in una vasca, o in qualcosa di simile,
e il moto complesso che ne consegue. Le linee tracciate hanno un significato sfuggente, in termini rigorosi di cinematica, ma il loro groviglio trasmette
alcune informazioni basilari. Vi è l’idea di una scala geometrica esterna - si
noti il largo giro del vortice che circonda il tutto; vi sono rappresentati mulinelli di scala più piccola portati in braccio, per modo di dire, da quello di scala
maggiore; vi è, infine, il perdersi di struttura nel ribollire della zona interna,
ove con l’affinarsi delle scale1 va scomparendo qualsiasi forma riconoscibile
o senso di rotazione privilegiato.
Quello che lo schizzo non può riprodurre - ma forse fa intuire - è che la sequenza nel tempo delle figure presenta anch’essa una contaminazione di aspetti ordinati e casuali. Alcuni lineamenti vengono, grosso modo, ripetuti; altri
variano in modo irregolare. La scala geometrica esterna del campo rimarrà all’incirca costante, poiché dipende dalla dimensione trasversale della vasca. Al
suo interno continueranno a sussistere strutture vorticose di scala più piccola,
in accordo con quello che è un tratto qualitativo tipico delle correnti turbolente: la presenza di un insieme di figure riconoscibili di scala geometrica diversa
e la perdita di ordine che accompagna la progressiva diminuizione delle scale. Se un osservatore volesse tuttavia mettere a fuoco aspetti non qualitativi
- se volesse, ad es., stabilire la posizione reciproca dei vortici di scala più
piccola - non potrebbe che constatare che la configurazione del sistema si presenta sempre diversa, variabile secondo una successione non prevedibile; per
quanto abbia osservato la sequenza delle configurazioni per un tempo lungo
ad arbitrio, non sarà in grado di prevederne una futura. Inoltre, più si rivolge
1
Nel linguaggio usuale il concetto di scala è associato a quello di similitudine; quando si dice
che due figure hanno una scala diversa, si intende implicitamente che possono essere ricondotte
l’una all’altra modificandone le lunghezze in un rapporto costante. Nella descrizione delle correnti turbolente non è scontato che il nesso tra i due concetti sia così stretto, sebbene con molta
probabilità lo sia stato in origine. In effetti, uno dei presupposti della teoria della turbolenza
omogenea e isotropa è che qualsiasi particolare di un campo turbolento, debitamente ingrandito, risulti indistinguibile dalla configurazione intera, perché appare come una delle possibili
realizzazioni di questa; quindi, in questo particolare significato, le diverse scale si possono considerare simili. Non tutti gli aspetti delle correnti reali, tuttavia, possono essere compresi in
questa semplificazione. La parola scala viene pertanto usata piuttosto liberamente, per indicare
sia la dimensione lineare di qualsiasi struttura riconoscibile, sia in senso più astratto la distanza
a cui si può riferire in media una variazione di velocità di un dato ordine.
9
1.
CORRENTI TURBOLENTE
l’attenzione agli aspetti minuti, più questo carattere di imprevedibilità diviene
dominante. Le correnti che presentano un simile grado di complessità vengono
chiamate turbolente. Esse sono caratterizzate dalla compresenza di strutture
di scala geometrica diversa, che si intuiscono interagire tra loro2 , da una estrema varietà di configurazioni, da una evoluzione temporale sostanzialmente
imprevedibile.
Come definizione di una classe di correnti, quella che abbiamo dato non è
un miracolo di chiarezza, né di concisione. Uno probabilmente desidererebbe qualcosa di più netto, che permettesse di distinguere senza incertezze le
correnti turbolente dalle altre, che vengono chiamate laminari. Si potrebbe
ricorrere ad una delle tante definizioni rintracciabili sui libri di testo; il problema è che le varie definizioni semplici non sono riconducibili compiutamente
l’una all’altra, e che per ciascuna di esse si può trovare, con un po’ di impegno, qualche situazione in cui la definizione stessa non ha potere dirimente.
In realtà, si è finito per convenire che vi è un elemento soggettivo nel modo
in cui viene fissato di volta in volta il confine tra turbolento e non turbolento quest’ultimo essendo l’unico significato che è possibile dare del termine laminare, al di là di alcune stravaganze sul moto per lamine. Quando si decide che
la complessità del campo è tale da renderne desiderabile una semplificazione3,
la si effettua separando gli aspetti che si vuole conoscere da quelli che non si
vorrebbe neppure vedere, perché utili solo a confondere le idee, e si dichiara
turbolento il campo di moto.
Vi è una dose di arbitrarietà in questo modo di procedere. Eppure, se esso non
vale a stabilire in termini obiettivi in che cosa consista la natura turbolenta del
moto, può almeno servire a definire una classe di problemi che hanno in comune una stessa, insidiosa, difficoltà: come tener conto dell’influenza di quello
che si è soppresso su quello che si è mantenuto, visto che l’interazione tra i
diversi aspetti è inevitabile nei sistemi dinamici non lineari. In pratica, al fi-
2
È come minimo evidente che quelle di scala maggiore trascinano convettivamente quelle più
piccole; ma vi sono aspetti tridimensionali più difficili da individuare, quali lo stiramento dei
vortici, che hanno un ruolo dinamico importante.
3
Se non altro, al fine di non essere sommersi da una quantità di numeri di difficile interpretazione;
si pensi al numero di parametri che sarebbe necessario assegnare per definire l’esatta struttura
del ribollire di schiuma schizzato al centro del disegno di Leonardo.
10
1.
CORRENTI TURBOLENTE
ne di semplificare il campo si adotta al posto delle variabili originarie una loro
espressione mediata, ottenuta integrando nel tempo per un periodo sufficientemente lungo, o nello spazio in un volume sufficientemente esteso; oppure,
mediando tra un numero elevato N di campi, che si suppone essere soggetti alle stesse condizioni di controllo.4 In ogni caso, il modo di affrontare la
descrizione delle correnti turbolente ha un carattere statistico. Si introducono
grandezze medie, si decompone il campo di una generica quantità in un campo
medio e in uno fluttuante5 e si rivolge lo studio alla determinazione del primo.
Il che comporta l’eliminazione dal quadro delle variazioni che avvengono o
in tempi troppo brevi, nel caso che si adottino medie temporali, o in distanze
troppo corte, nel caso in cui si ricorra a medie spaziali. Poiché è consuetudine rappresentare un segnale generico tramite integrali di Fourier, la cosa viene
riassunta dicendo che si eliminano le componenti di alta frequenza nel primo
caso, o di elevato numero d’onda - di breve lunghezza d’onda - nel secondo.
Naturalmente, affinché il procedimento sia di qualche utilità, è necessario che i
valori medi misurati risultino definiti e ripetibili ogni qualvolta si riproducano
alcune condizioni globali, da cui si suppone dipenda la statistica del campo di
moto. Per essere chiari, in uno stesso impianto meccanico si dovranno avere
stessi valori medi ogni qual volta la pompa sia in funzione a uno stesso numero
di giri; nello strato limite terrestre, quando si abbiano le stesse condizioni di
scambio termico col terreno, di vento in quota, di rugosità superficiale, et cet.
Il senso della previsione teorica consiste nel correlare questi parametri, o un
insieme ad essi equivalente, con l’andamento dei valori medi che interessano.
La natura del problema è quindi tale da giustificare delle definizioni di moto
turbolento che insistono sul carattere aleatorio del processo da una parte, e
dall’altra sulla significatività dell’analisi statistica. Ne ricordiamo una. Hinze,
quasi mezzo secolo fa, propose una definizione che si trova spesso ripresa
4
Di questo insieme di N campi, uno è quello effettivamente realizzato; gli altri N -1 si possono
considerare copie mentali del primo, secondo una definizione di Schrödinger, Termodinamica
statistica, Boringhieri, 1961. L’approccio può sembrare eccessivamente astratto, ma ha una
sua logica formale, e le sue previsioni possono essere applicate alle correnti reali grazie ad una
ipotesi opportuna.
5
In fluidodinamica lo scarto fra valore medio e valore istantaneo, o tra valor medio e valore
locale, si chiama fluttuazione.
11
1.
CORRENTI TURBOLENTE
in testi successivi6: il moto turbolento di un fluido è caratterizzato da una
condizione irregolare della corrente in cui le varie quantità esibiscono una
variazione casuale con le coordinate di tempo e di spazio, tale che possano
essere individuati valori medi statisticamente distinti.
Trasporto di quantità di moto in una corrente turbolenta
Dovrebbe essere evidente, dopo questa premessa, che sussiste un’analogia tra
il problema della descrizione e previsione delle correnti turbolente e quello
delineato nel discutere le proprietà fondamentali del moto dei fluidi7 , quando si è ricordato per sommi capi quale sia lo schema logico che permette di
passare da un sistema discreto di molecole ad un medium, le cui proprietà variano in modo continuo nel tempo e nello spazio. Ricordiamo che le molecole,
che si trovano ad un istante t nell’interno di un arbitrario elemento sferico di
volume con centro in x, vengono considerate come un insieme distribuito statisticamente in funzione della loro velocità, e le velocità singole u sostituite
dal loro valore medio lineare u(x, t) =< u >, che viene attribuito alla posizione x del centro. Lo scarto u − u è chiamato velocità di agitazione termica,
e l’intensità di questo moto è misurata tramite il suo valore quadratico medio, la varianza σu2 =< (u − u)2 >, a cui risulta proporzionale una variabile
già nota dalla termodinamica classica, la temperatura assoluta del gas. Altri
momenti della distribuzione non sono richiesti, poiché la funzione di distribuzione è considerata gaussiana; il moto dell’insieme di molecole che si trovano
nelle immediate vicinanze di un punto dello spazio viene riassunto in termini statistici dai primi due momenti della distribuzione, quello lineare e quello
quadratico8 , il che implica che essi contengano tutte le informazioni necessarie a valutare qualsiasi effetto medio significativo9. Questa proprietà viene
6
J.O. Hinze, Turbulence, Mac Graw Hill Book Company, INC New York, 1959, p. 1.
7
Cfr. C. Cancelli: Fluidodinamica ambientale - equazioni e proprietà fondamentali, 2003,
OTTO editore, Torino, 1.1.
8
I momenti di ordine dispari di una distribuzione normale, o gaussiana, sono nulli per simmetria,
a parte il primo; quelli di ordine pari si deducono tutti dalla varianza.
9
Si rinuncia, come è ovvio, a descrivere il moto delle singole molecole.
12
1.
CORRENTI TURBOLENTE
riflessa nel modo con cui si esprimono i flussi di qualsiasi grandezza, dovuti
al moto di agitazione termica. Quella parte del flusso di quantità di moto, ad
es., che deriva da una disuniformità spaziale della velocità media u si scrive,
in un campo che per semplicità si è supposto a divergenza nulla10 :
∂ui
∂uj
(pij )dis = −ρν
+
1.1
∂xj
∂xi
Il prodotto della densità ρ per la viscosità cinemamica ν dà il coefficiente di
viscosità dinamica μ, la quale è una variabile di stato che dipende dalla sola
temperatura assoluta del gas. La 1.1 pertanto esprime il flusso di quantità di
moto in funzione delle variabili u(x, t), σu2 (x, t), essendo la temperatura proporzionale a quest’ultima. Nell’analizzare gli aspetti matematici del problema
(cfr. app. A) abbiamo visto che, adottando per i flussi delle varie quantità
relazioni del tipo 1.1, si ottiene un sistema completo di equazioni, il quale dovrebbe con opportune condizioni iniziali e di contorno permettere di prevedere
l’evoluzione del fluido.
L’applicazione del metodo alle correnti turbolente appare come una sua estensione legittima e, in senso lato, effettivamente lo è; del resto, se si adotta una
media spaziale come strumento per semplificare la complessità del campo turbolento, la nuova media appare come una iterazione di quella primitiva, eseguita questa volta su un volume di controllo di dimensione maggiore. In altre
parole, dopo avere mediato su un insieme di molecole per definire la proprietà della cosiddetta particella di fluido, si media ora su un insieme di particelle
fluide collocate all’interno di un volume più grande, un semplice cambiamento di scala. Il contesto concettuale non muta, tuttavia, anche nel caso che si
eseguano medie temporali - che si medi cioè tra le proprietà delle particelle
che passano per uno stesso punto in tempi diversi - oppure, medie di insieme
tra le teoriche N copie mentali di una corrente.
Per limitare il discorso al solo campo di velocità - ma esso vale per qualsiasi
altra grandezza - si sostituisce la funzione ut (x, t) con una sua media lineare U =< ut >11 , e si modificano le equazioni differenziali del campo, in
10
C. Cancelli, op. cit. 1.4.
11
Nel trattare le correnti turbolente, adotteremo il pedice t per indicare il campo istantaneo e locale, una lettera maiuscola per indicare un suo valore medio, e riserveremo le lettere minuscole
senza alcun pedice alla fluttuazione, o scarto.
13
1.
CORRENTI TURBOLENTE
modo che esse descrivano l’evoluzione della grandezza mediata. La difficoltà
nasce dal fatto che il sistema di equazioni che si ottengono risulta indeterminato, poiché vi compaiono come nuove funzioni incognite i flussi generati dalla
fluttuazione di velocità u = ut − U, quella stessa che si sarebbe voluta eliminare. Ad es., nell’equazione mediata della quantità di moto compare il tensore
incognito −ρ < ui uj >, ove il simbolo < ui uj > rappresenta il valor medio
del prodotto tra le componenti del vettore u. Da un punto di vista puramente
matematico la difficoltà può essere aggirata ponendo, in analogia con la 1.1:
∂Ui ∂Uj
ρ < ui uj >= −ρνt
+
1.2
∂xj
∂xi
Nella 1.2 le Ui rappresentano le componenti del campo medio U, mentre νt
è un nuovo coefficiente a cui si dà il nome di viscosità cinematica turbolenta. Si tratta di una grandezza che ha le dimensioni tipiche di un coefficiente di
diffusione [(m/s)m], e che dovrebbe dipendere unicamente dall’intensità del
campo della velocità fluttuante e da una sua lunghezza caratteristica, così come la viscosità cinematica molecolare di un gas dipende solo dalla velocità di
agitazione termica e dal cammino libero medio delle molecole. Il valore di νt
va considerato in genere variabile da punto a punto, e fatto dipendere empiricamente da quelle condizioni globali - scambio termico con il terreno, velocità
media del vento, altezza dello strato limite terrestre, ecc. - di cui abbiamo già
parlato. Oppure, al fine di calcolare almeno l’intensità della fluttuazione, si
può aggiungere un’equazione di bilancio dell’energia cinetica turbolenta media - la quale non è altro, a parte un fattore 1/2, che la varianza σu2 della parte
fluttuante del campo u. Nel contesto delle equazioni mediate, l’equazione di
bilancio di σu2 ha lo stesso ruolo che il bilancio di energia termica occupa nel
quadro delle equazioni del mezzo continuo.
La presunta parentela tra moto termico delle molecole e fluttuazione turbolenta delle particelle ha a suo favore un argomento indubitabile, giá messo in
evidenza da Boussinesq12. Entrambi i processi, grazie al loro carattere disordinato, tendono a rimescolare le proprietà del fluido e spingono il campo verso
uno stato di uniformità; la differenza è nella diversa intensità dei processi.
Questa considerazione è motivo conduttore di numerosi tentativi di modellare
per analogia l’effetto della fluttuazione turbolenta sulle grandezze medie.
12
A cui si deve anche l’introduzione dei coefficienti di viscosità turbolenta, in una memoria
presentata nel 1887 all’Accademia delle Scienze di Parigi.
14
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Il metodo non è tuttavia esente da difetti. Per giustificare l’adozione della 1.2
non è infatti sufficiente l’analogia appena ricordata; sono richieste precise condizioni matematiche, che nel caso della fluttuazione turbolenta non vengono
generalmente soddisfatte. Non vi è alcun motivo di ritenere che la statistica
di un campo turbolento sia sintetizzabile tramite due soli momenti della distribuzione, né che il flusso di qualsiasi grandezza sia, nella scala propria di
variazione delle grandezze medie, dovuto a un trasporto su così breve distanza da giustificare una espressione come la 1.2; in altre parole, generato dal
passaggio attraverso una generica giacitura tracciata per un punto di un insieme di particelle fluide con un valor medio di velocità che differisce da quello
del punto in oggetto di una quantità piccola13 . Questo aspetto è probabilmente
quello più critico per l’applicabilità della 1.2. In effetti, l’analisi statistica della
parte fluttuante del campo, rilevata sperimentalmente, mostra che le velocità di
fluttuazione risultano correlate fino a una distanza che è da considerare grande anche in una scala macroscopica; ad es., nella corrente turbolenta che si
svolge all’interno di un tubo, la lunghezza di correlazione risulta vicina al diametro, mentre nella scia di un ostacolo essa è all’incirca pari alla dimensione
lineare della sezione trasversale di questo, et cet. Tralasciando per ora quale sia l’esatto significato matematico dell’essere correlato - vi torneremo nel
seguito - possiamo dire che questo dato sta a indicare che la parte fluttuante
del campo ha una dimensione lineare caratteristica, una scala esterna14 che è
dello stesso ordine di quella su cui si sviluppano le variazioni di valori medi che si vogliono descrivere. Manca in questo caso una netta separazione di
scale, che permetta di trattare l’effetto della fluttuazione come un fenomeno
puramente locale. Il fatto che nel moto di fluttuazione siano coinvolti, e con
qualche grado di coerenza almeno in senso statistico, volumi di fluido grandi più o meno quanto una dimensione caratteristica del dominio fisico in cui
si svolge la corrente, rende inevitabile che questi atti di moto risentano delle
condizioni di contorno. Nei suoi aspetti di grande scala, il campo fluttuante ha
struttura e orientamento, che dipendono dalla configurazione globale del sistema; quindi, non possiede quel carattere del tutto destrutturato che è implicito
13
Condizione necessaria perché risulti accettabile l’approssimazione lineare tramite cui vengono
descritti i flussi, cfr. C. Cancelli, op. cit. 1.4.
14
Si veda, nel disegno di Leonardo, il vortice che circonda la zona centrale.
15
1.
CORRENTI TURBOLENTE
nella 1.2, dove l’influenza della parte fluttuante è sintetizzata dal valore locale di un semplice scalare, νt , funzione di punto. In conclusione, non sarebbe
possibile in linea di principio adottare la veste formale unificante 1.2. Se lo si
fa, come lo si fa, occorre predisporre correzioni empiriche, coefficienti numerici variabili che adattino i risultati di un calcolo non rigoroso alla situazione
presa in esame, oppure a una classe di situazioni simili.
Trasporto di inquinanti in una corrente turbolenta
Il comportamento irregolare delle correnti turbolente e la difficoltà di descriverne l’evoluzione hanno rilevanza in quello che rappresenta un argomento
classico dell’ingegneria dell’ambiente: la previsione e il controllo dei processi di inquinamento. Questi hanno un ciclo usualmente articolato in molte fasi,
dal momento dell’immissione nell’ambiente naturale di sostanze potenzialmente nocive, al momento in cui queste, trasformate o meno chimicamente,
interferiscono con l’attività biologica; ma nella maggior parte delle situazioni comprendono una fase di trasporto delle varie sostanze in seno a un fluido,
nel caso più comune nell’atmosfera. Conoscere la distribuzione e la concentrazione degli inquinanti è utile non solo a stabilirne la cosiddetta qualità dell’aria, secondo una terminologia comunemente adottata, ma anche a tracciare
la mappa della deposizione al suolo. È tuttavia irragionevole, per quanto è già
stato ricordato, sperare di seguire passo a passo il percorso delle varie sostanze
trasportate dal vento. Almeno nelle ore diurne, gli strati bassi dell’atmosfera
sono agitati da un moto turbolento, e questo fatto è sufficiente a escludere che
si possa dare del trasporto una descrizione deterministica. Si può ricorrere
invece - come in generale è vero per qualsiasi processo con una componente aleatoria - a una trattazione statistica, secondo lo schema già descritto più
volte. Se qt (x, t) rappresenta, nel dominio che è sede della corrente, la concentrazione di una data sostanza per unità di volume, la si scompone in valor
medio e fluttuazione, come si è già fatto per il campo di velocità: qt = Q + q ,
ove Q e q sono rispettivamente valor medio e scarto. Si dà inoltre per acquisito
il campo dei valori medi U di velocità e si cerca di prevedere la distribuzione
spaziale Q tramite un’equazione differenziale modificata, ottenuta mediando
l’equazione di bilancio di qt .
A questo punto del discorso, non dovrebbe venire come sorpresa la circostanza che il problema matematico si presenti indeterminato: nell’equazione di
bilancio di Q compare un nuovo vettore incognito < ui q >, dato dal valor
16
1.
CORRENTI TURBOLENTE
medio del prodotto delle fluttuazioni di velocità e di concentrazione. Il vettore
rappresenta un flusso convettivo dovuto all’accoppiamento tra le due fluttuazioni e la sua presenza nell’equazione mediata ha un fondamento fisico assai
solido; per di più è facile dimostrare, tramite una rapida analisi del suo ordine di grandezza, che non solo ha buon motivo di esistere ma anche influenza
decisiva nel determinare la distribuzione di Q. Non si può pertanto pensare di eliminarlo dal problema; né pensare di dedurlo da qualche principio di
massima. Si può solo ricorrere alla consueta analogia tra moto di agitazione
molecolare e fluttuazione turbolenta di velocità, e assumere di conseguenza:
∂Q
< ui q >= −Dt
1.3
∂xi
Nella 1.3 il flusso convettivo dovuto alle componenti fluttuanti è supposto proporzionale al modulo del gradiente della concentrazione media Q, e diretto
in senso opposto. Il coefficiente Dt appare come una proprietà della parte
fluttuante del campo di velocità ed è chiamato coefficiente di diffusione turbolenta, con una scelta infelice che alimenta l’equivoco tra due aspetti, entrambi
presenti nelle correnti turbolente e tuttavia non riconducibili l’uno all’altro.
Noi, nel seguito, lo chiameremo coefficiente di dispersione. L’adozione della 1.3 permette di scrivere una equazione nella sola incognita Q, identica alla
notissima equazione del calore, che può essere risolta analiticamente quando
Dt sia considerato costante o variabile nello spazio secondo leggi semplici,
oppure integrata numericamente quando Dt vari con legge qualsiasi. Dal procedimento derivano i modelli euleriani di dispersione, o diffusione, turbolenta,
che saranno discussi nel capitolo 7.
Non ci sembra il caso di spiegare che contro l’adozione della 1.3 militano tutti i motivi di dubbio ricordati contro la 1.2, con un’aggravante particolare nel
caso dei moti atmosferici, a cui l’applicazione della 1.3 è usualmente rivolta. Il metodo di calcolo accennato implica comunque un’operazione di media,
i cui risultati vanno confrontati con medie temporali di variabili misurate a
punto fisso; altro non è possibile, poiché le N − 1 copie mentali di Schrödinger non sono a portata di mano. Tuttavia, affinché dei valori mediati nel
tempo abbiano un significato, occorre che le condizioni globali che presiedono all’evolvere delle diverse configurazioni istantanee rimangano immutate,
in modo che il processo possa essere considerato stazionario almeno in senso statistico. In un impianto meccanico, o in una condotta, è probabile che i
parametri globali di controllo - numero di giri delle pompe, altezza del batten-
17
1.
CORRENTI TURBOLENTE
te, et cet. - vengano mantenuti costanti per un tempo sufficiente, affinché una
media temporale abbia senso; ma nell’atmosfera, e in particolare nello strato
limite terrestre, i dati globali - flusso di energia radiante, altezza dello strato
limite, vento in quota - che dovrebbero definire l’insieme delle configurazioni ammissibili del campo di moto, variano continuamente, e a volte in modo
brusco entro un tempo relativamente breve. Per fare un esempio, la transizione da brezza di monte a brezza di valle può avvenire nel giro di un’ora; nel
passaggio da uno stato all’altro la direzione del vento si inverte e i coefficienti
di dispersione, ammesso che si sia deciso di adottarli, dovrebbero essere cambiati di alcuni ordini di grandezza. In effetti, nella brezza di valle si ha una
dispersione molto vigorosa, mentre in quella di monte non se ne ha pressoché
alcuna. Quale sia l’interpretazione da dare a una media dei due processi non
è affatto chiaro, salvo il dato che nel farlo si possono prendere abbagli clamorosi. Può capitare che si introduca nel programma di calcolo la direzione
prevalente del vento, mediata nelle 24 ore, che spesso è diretta verso i monti,
e che in questo modo si ottenga un quadro della situazione che non prevede la
presenza di inquinanti in qualsiasi luogo che sia spostato, rispetto a una eventuale sorgente, verso lo sbocco della valle. Mentre nella realtà è più probabile
che accada esattamente il contrario: è verso valle che nelle ore notturne, in
piena brezza di monte, si possono avere le più gravi forme di inquinamento.
Abbiamo citato un errore particolarmente candido, e tuttavia non inventato.
La sua esegesi non richiede un grande sforzo: può accadere che chi opera con
lo strumento di calcolo non abbia un’idea del ciclo giornaliero delle brezze,
né delle loro proprietà di dispersione. Eppure, nella sua semplicità, l’esempio vale a mettere in luce l’esistenza di un problema di fondo. L’uso corretto
dei modelli, la loro applicazione alle diverse situazioni reali, l’interpretazione dei risultati non costituiscono affatto un procedimento da seguire a occhi
chiusi. La sensazione di potersi esimere dal giudicare, generata dalla presenza
del calcolatore - e dalla sua indiscutibile potenzialità nel presentare qualsiasi stupidaggine in una forma grafica di grande effetto scenico - può essere in
questo settore particolarmente ingannevole; il mestiere è irto di rischi. Per utilizzare con qualche efficacia un modello di dispersione è necessario possedere qualche conoscenza di fluidodinamica e meteorologia; occorre distinguere
con chiarezza i vari fenomeni che sono associati al carattere turbolento del
moto; avere in mente un’idea della configurazione dei venti e del loro evolvere; essere in grado di valutare, almeno in modo qualitativo, l’influenza sulla
18
1.
CORRENTI TURBOLENTE
dispersione di eventuali strutture coerenti del campo di velocità, generate da
particolarità orografiche o da ostacoli. E in base a questi elementi, decidere se
il modello è applicabile e se i suoi risultati sono attendibili; in quale misura, e
a qual fine.
Torneremo in seguito su questo tema, dopo avere descritto in maggiore dettaglio le proprietà delle correnti turbolente, e avere sviluppato alcuni aspetti
matematici della dispersione, indispensabili per approfondire l’argomento.
1.2.
LINEAMENTI DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Trasporto di inquinanti in una corrente turbolenta. Importanza del
numero di Reynolds
Richiamiamo alcuni dati sperimentali, prendendo come riferimento due tipi di
corrente, quella che avvolge un cilindro circolare dotato di notevole lunghezza
rispetto al diametro, posto con l’asse ortogonale alla direzione della velocità
indisturbata del fluido, e quella che transita all’interno di un tubo di sezione
retta circolare. Le due correnti si possono considerare esemplari, la prima
della classe delle correnti esterne e la seconda di quella delle correnti interne,
e sono state oggetto di innumerevoli studi. Limiteremo la digressione a quelle
situazioni ove non hanno importanza né la comprimibilità dei fluidi, né la
sua conducibilità termica - quindi a correnti con basso numero di Mach, e
prive di fenomeni termici rilevanti. In queste condizioni, la corrente presenta
come uniche grandezze significative una scala di lunghezza L - il diametro,
o il raggio nelle due correnti prese in esame - caratteristica della geometria
dell’impianto15 , una velocità U di riferimento, e le proprietà μ e ρ - viscosità
e densità - del fluido. L’unico numero puro che si possa costruire con queste
grandezze è il numero di Reynolds:
Re = ρU L/μ
La fenomenologia delle correnti attorno al cilindro, o quella della corrente interna a un tubo dovrebbero essere già note. Comunque, riassumendo in breve,
15
Si suppone che la lunghezza l del cilindro o del tubo sia talmente estesa rispetto al diametro, da
poter ritenere i dati sperimentali rappresentativi della situazione asintotica, quella che si avrebbe
nel limite l/L → ∞. In tal caso, è irrilevante quale sia l’esatto valore del fattore di forma l/L.
19
1.
CORRENTI TURBOLENTE
x2
(a)
U
P
x1
u2(P)
(b)
t
1
10-1
10-2
(c)
10-3
ωs
Fig. 1.2 – (a) Corrente attorno a un cilindro di grande allungamento per un numero di
Reynolds di poco superiore a 40 - (b) componente trasversale di velocità misurata in
un punto P interno alla scia - (c) spettro di ampiezza del segnale (b).
in entrambi i casi si può avere moto laminare o turbolento a seconda dei valori assunti dal rispettivo numero di Reynolds. La relazione non deve stupire,
perché il carattere di una corrente deve dipendere dal rapporto tra grandezze omogenee, quindi confrontabili, interne al processo; non può dipendere dal
valore assoluto di una o più grandezze, il quale rimanda a una scelta, arbitraria,
di unità di misura.
Abbiamo già visto che al numero di Reynolds si può dare, tra altri, il significato di rapporto tra velocità convettiva e velocità di diffusione16 ; possiamo
ritenere che sia questo rapporto a influenzare il passaggio da un regime all’altro. La transizione avviene nelle due correnti in modo diverso; tuttavia,
in entrambi i casi, si ha moto laminare quando il valore del numero di Reynolds è al di sotto di un valore critico, sufficientemente ben definito, mentre
col crescere di questo si passa prima o poi a regime turbolento.
16
C. Cancelli, op. cit. 3.2.
20
1.
CORRENTI TURBOLENTE
x2
(a)
U
P
x1
u2(P)
(b)
t
(c)
1
10-1
10-2
10-3
ωs
Fig. 1.3 – (a) Corrente attorno a un cilindro di grande allungamento per un numero di
Reynolds superiore a 400 - (b) componente trasversale di velocità misurata in un punto
P della scia - (c) spettro di ampiezza del segnale (b).
Transizione nella scia di un cilindro di grande allungamento
Nel caso del cilindro disposto con asse ortogonale alla corrente, la transizione
consiste in una sequenza relativamente ordinata di avvenimenti, che ha inizio
con la spontanea comparsa, per Re ∼ 40, di una componente non stazionaria del moto con andamento sinusoidale nel tempo (fig. 1.2); e che si conclude,
per Re ≥ 200, con la progressiva disintegrazione della scia, fino a quel momento strutturata in modo riconoscibile anche a grande distanza dal cilindro,
in una regione di moto apparentemente caotico. Nella fase intermedia vi sono avvenimenti certi e ripetibili - la formazione della scia di Kàrmàn, l’inizio
di una separazione obliqua, con un asse non parallelo a quello del cilindro,
delle strutture vorticose che si distaccano verso valle - e altri di cui è dubitabile persino che esistano, probabilmente perché il loro apparire o il loro modo
di presentarsi sono estremamente sensibili alla particolarità dell’esperimento.
È opportuno tuttavia notare che gli avvenimenti ricordati, quelli certi e quelli
ipotetici, hanno un tratto comune; non possono essere attribuiti in modo diretto a una variazione delle condizioni di contorno. Nel linguaggio venuto in
21
1.
CORRENTI TURBOLENTE
uso negli ultimi anni, si dice che rappresentano delle rotture spontanee di simmetria17 . La sequenza degli avvenimenti che scandiscono la transizione può
essere sintetizzata con efficacia, seguendo l’evoluzione dello spettro di un segnale qualsiasi, misurato in un punto fisso del campo; la forma dello spettro è
elemento discriminante nel definire la natura del campo di moto.
Ricordiamo che lo spettro di un segnale sinusoidale è dato da un picco centrato
sulla pulsazione ωs della sinusoide - alla lettera, da una funzione impropria di
Dirac δ(ω − ωs ). Immediatamente dopo la comparsa della prima instabilità
si ha quindi uno spettro formato da una sola riga, cfr. fig. 1.4, collocata in
corrispondenza della pulsazione ωs ∼ 0.4πU/L, valore ripetibile con discreta
precisione e usualmente presentato in forma adimensionata quale numero di
Strouhal:
fs L
St =
∼ 0.2
U
ove fs = ωs /(2π) sta a indicare la frequenza18, L il diametro del cilindro e U
la velocità indisturbata della corrente.
Col crescere del numero di Reynolds lo spettro tende a complicarsi; compaiono altri picchi che in parte possono essere attribuiti a elaborazioni non lineari
della instabilità iniziale, in parte alla comparsa di altre perturbazioni spontanee, della stessa natura ma indipendenti dalla prima. Considerazioni teoriche
vorrebbero che altre instabilità indipendenti effettivamente apparissero prima
della transizione a moto caotico, e probabilmente vi saranno, ma la loro individuazione sperimentale è impresa ardua. È comunque certo che lo spettro
17
Significa, tanto per intendersi con un esempio, che nella configurazione globale del sistema non
vi è niente che giustifichi il distacco obliquo dei vortici, non essendo possibile trovare una risposta alla domanda: perché inclinati di un angolo, e non del suo opposto? Tuttavia, mentre
nei campi di moto fino ad ora studiati, da considerazioni simili avevamo regolarmente dedotto
l’inesistenza di soluzioni che violassero la simmetria, nei campi di moto turbolenti dobbiamo
adottare una maggiore prudenza. Dobbiamo accettare il fatto che questi campi rivelano comportamenti in qualche modo arbitrari, e trasformare il ragionamento in una considerazione probabilistica: non vi è niente nelle condizioni macroscopiche del campo che renda più probabile
un angolo di inclinazione invece del suo opposto.
18
In italiano, frequenza è la grandezza f in cicli/s; la stessa grandezza misurata in rad/s è chiamata
pulsazione (ω). Poiché la diversità di nome va perdendosi, nel seguito conserveremo solo la
diversità di simbolo.
22
1.
regione
ingresso
CORRENTI TURBOLENTE
corrente
sviluppata
L
(a)
t
(b)
t
Fig. 1.4 – Corrente intubata turbolenta (Re ≥ 2300): (a) segnale intermittente di
velocità nella regione di ingresso - (b) segnale di velocità a valle della regione di
ingresso.
si arricchisce di nuovi picchi e che la larghezza degli stessi si va ampliando,
finché la sua forma non giustifica più il fatto che lo si consideri uno spettro a
righe. Lo spettro è divenuto continuo, e questa trasformazione segna il passaggio a moto turbolento (fig. 1.3). È facile immaginare che, nell’analisi di un
segnale sperimentale, il cogliere il momento di passaggio da spettro discreto a
spettro continuo richiede un elemento arbitrario di giudizio, essendo scontato
che qualsiasi spettro a righe risulterà indistinguibile da uno continuo, purché le
righe siano sufficientemente fitte. Eppure, la necessità di uno schema astratto
che permetta di inquadrare questa materia così sfuggente, consiglia di associare spettro continuo e moto turbolento, e considerare la distinzione come
discriminante. Il fatto che lo spettro sia continuo, d’altra parte, non impedisce
di riconoscere l’importanza nel processo di particolari componenti del moto.
Nel caso della scia del cilindro, la frequenza di Strouhal continua a essere riconoscibile - perché individua il massimo dello spettro - anche per numeri
di Reynolds estremamente elevati, ben al di sopra di quello (Re ∼ 400) che
segna la definitiva scomparsa dalla scia di ogni apparenza di ordine.
Transizione nella corrente all’interno di un condotto
Nella corrente che si svolge all’interno di un tubo circolare, il passaggio tra
i due regimi, osservato tramite tracciati temporali rilevati a punto fisso, non
23
1.
CORRENTI TURBOLENTE
presenta una articolata transizione da spettro discreto a spettro continuo. Si
ha invece una struttura spaziale che evolve nel tratto di ingresso del tubo. La
turbolenza si rivela inizialmente in una regione limitata, nel senso che piccoli
volumi di fluido, distribuiti irregolarmente nel tratto di ingresso in vicinanza
della parete, acquisiscono un moto dal carattere caotico. Questa sorta di grumi
di materia, il cui stato cinematico è diverso da quello del fluido che li circonda, vengono trasportati convettivamente verso valle, e nel mentre trasmettono
le caratteristiche del loro moto alle parti circostanti, occupando prima l’intera
sezione del condotto e quindi allungandosi nella direzione dell’asse. Nel tratto iniziale del condotto si hanno quindi segmenti alternati di moto turbolento
e di moto laminare; ma poiché i primi si vanno estendendo a spese dei secondi, si forma rapidamente una regione compatta di moto turbolento che occupa
tutto lo spazio a disposizione. Come conseguenza di questa struttura spaziale in movimento, se si effettuano delle misure a punto fisso nel tratto di imbocco del condotto, si registrano segnali intermittenti, caratterizzati da fasi di
quiete laminare, seguite da improvvise esplosioni di moto caotico (fig. 1.4(a));
spostandosi verso valle, da una certa sezione in poi si registrano segnali dall’aspetto interamente caotico (fig. 1.4(b)). Non vi è alcun punto, o alcuna fase
temporale del processo, in cui sia possibile rilevare andamenti sinusoidali, o
comunque corrispondenti a uno spettro discreto.
Il valore di Re che caratterizza la transizione è definito in questo caso molto male; varia in laboratorio di un paio di ordini di grandezza, tra ∼ 2 · 103 e
∼ 105 . La cosa può apparire strana, perché sembra smentire che Re sia l’unico parametro adimensionato significativo della corrente. In realtà Re è l’unico parametro significativo costruibile con le caratteristiche macroscopiche
del sistema; ve ne sono molte altre - forma e regolarità della regione di imbocco, rugosità superficiale, ampiezza della vibrazione accidentalmente trasmessa
dall’esterno - a cui l’esperimento risulta estremamente sensibile. La sorpresa,
se vogliamo, è costituita dal fatto che aspetti minori producano, attraverso un
meccanismo di amplificazione, uno stravolgimento dell’intero fenomeno.
Carattere autoeccitato del moto turbolento
L’inizio della transizione da moto laminare a turbolento è caratterizzato quindi
dalla comparsa di strutture, con configurazione spaziale e sequenza tempora24
1.
CORRENTI TURBOLENTE
le19 , non riconducibili a un intervento esterno. Il fenomeno ha inizio con la
prima instabilità che si rivela, ma esso permane ovviamente nel moto irregolare e caotico che caratterizza la turbolenza sviluppata; nella turbolenza sviluppata si susseguono configurazioni e sequenze temporali senza alcun ordine
apparente, che risultano svincolate dalle condizioni di contorno.
Quello che contraddistingue invece il regime subcritico - intendendo con questo termine il regime vigente prima della comparsa delle instabilità - è l’evidente correlazione tra il moto del fluido e le condizioni imposte dall’esterno.
A condizioni costanti nel tempo - si tratti della velocità a monte del cilindro,
ovvero del battente o del salto di pressione che mantiene il moto all’interno
del tubo - corrispondono campi di moto stazionari; un anemometro o un piezometro, posti in un punto qualsiasi del campo, darebbero un segnale del tutto
piatto. Se le condizioni al contorno vengono variate, la cosa viene riflessa
prontamente dallo strumento; in generale, a una perturbazione delle condizioni di contorno data da una semplice componente sinusoidale di frequenza
ω risponderà una perturbazione con componente della stessa frequenza, a cui
eventualmente possono aggiungersi armoniche e subarmoniche, che possono
essere interpretate come trasformazioni non lineari della prima. La comparsa di armoniche non è difficile da spiegare; se consideriamo, in una visione
generica, il sistema fluido come qualcosa che risponde a un segnale di ingresso, rappresentato dalle condizioni esterne che impongono il moto, dobbiamo
assegnare a questa sorta di trasduttore un comportamento non lineare, poiché
tali sono le equazioni che ne governano la dinamica. Tuttavia, finché il moto
rimane subcritico, l’impronta del segnale di ingresso è ben visibile in tutte le
componenti della risposta.
Quando, al crescere del numero di Reynolds, si passa a un regime instabile,
si perde una chiara corrispondenza tra condizioni al contorno e campo di moto. Compaiono all’interno del campo andamenti variabili nel tempo, anche
quando le condizioni di contorno vengano mantenute perfettamente costanti.
19
Aprendo una brevissima parentesi, è bene ricordare che le equazioni indefinite del campo legano le variazioni temporali alla distribuzione spaziale delle varie grandezze; quindi, l’esistenza
di struttura temporale implica l’esistenza di struttura nello spazio. È vero che, per stabilire quale sia l’esatto legame tra le due, occorrerebbe possedere l’insieme completo delle soluzioni,
mentre invece ne possediamo solo alcune particolari; ma il fatto in sé non può essere messo in
dubbio. Possiamo quindi abbracciare i due aspetti, tra loro complementari, nel generico termine
di struttura del campo.
25
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Si vedano le figure 1.2 e 1.4, dove sono riportati due segnali anemometrici, il
primo captato nella scia di un cilindro nella fase di transizione, e il secondo
all’interno di un tubo; in entrambi i casi le condizioni al contorno - velocità
asintotica a monte nel primo caso e salto di pressione tra le estremità nel secondo - erano del tutto stazionarie. Per recuperare una relazione tra il moto del
fluido e le condizioni imposte dall’esterno occorre rifarsi ai valori medi delle grandezze che caratterizzano la corrente. Si può verificare empiricamente
che tra i valori medi della corrente e le condizioni di contorno continua a sussistere un nesso - un incremento del salto di pressione che sostiene il deflusso
in un tubo dà luogo a un aumento della portata ecc. - anche se di struttura
matematica diversa rispetto a quella del caso laminare.
Per la componente variabile del campo, invece, la ricerca di un nesso con l’eventuale variazione delle condizioni di contorno si presenta senza speranza;
non vi è miracolo che permetta di trovare una relazione logica di dipendenza
tra delle condizioni di contorno che permangono stazionarie e la fluttuazione
che si realizza nel dominio. Occorre ammettere che, con la comparsa della
fluttuazione, il campo di moto rivela dei gradi di libertà suoi propri, e sviluppa sequenze temporali che non dipendono dalla variabilità o meno delle
condizioni imposte al bordo.
Questa osservazione permette di assegnare l’insieme di questi stati di moto
- sia quelli iniziali, relativamente ordinati, sia quelli della fase matura - alla
classe dei movimenti autoeccitati. In meccanica si indica con questo termine
- o con quello equivalente di oscillazione autoeccitata - lo stato di moto di
un sistema materiale che trae dall’esterno l’energia necessaria per svilupparsi
e mantenersi, ma che per il resto si presenta con forme e tempi suoi propri.
Come vedremo, è in questo carattere autoeccitato che si trova il primo indizio
utile a spiegare la sostanziale imprevedibilità delle correnti turbolente.
Turbolenza e vorticità
Un’altra osservazione che emerge dai dati sperimentali, è che lo stato di moto
turbolento può limitarsi ad alcune porzioni del fluido, senza interessare l’intero campo. Nel caso del cilindro, turbolenta diviene solo la regione lunga e
stretta, posta a valle dello stesso, che viene chiamata scia; nella regione di ingresso di un tubo, il moto turbolento si rivela inizialmente, e con andamento
saltuario, in volumi di fluido relativamente piccoli. In altre parole, il campo
26
1.
CORRENTI TURBOLENTE
ha la capacità di accomodare al suo interno isole di disordine, delimitate da un
confine sufficientemente netto.
Gli aspetti appena citati sono tutti fortemente legati alla dinamica della vorticità. Nel capitolo dedicato all’argomento20 abbiamo ricordato che la soluzione
non vorticosa ha prerogative non compatibili con le caratteristiche dei moti
turbolenti; è unica e strettamente controllata dalle condizioni di contorno. Ne
deriva che la presenza di vorticità è condizione indispensabile, fin dal primo
vagito di instabilità, perché il moto turbolento si sviluppi. Il vincolo tra i due
aspetti ha carattere puntuale; non basta, in altre parole, che vi sia vorticità in
qualche parte del campo, perché si abbia moto caotico da qualche altra parte.
Una considerazione di larga massima può essere utile a chiarire il concetto. La
comparsa di una oscillazione autoeccitata, o in generale il trasformarsi di una
configurazione in un’altra in modo del tutto inaspettato, implica un meccanismo di amplificazione che porti a scala macroscopica differenze inizialmente
irrilevanti. Il fenomeno richiede tuttavia un trasferimento di energia tra componenti in qualche modo diverse - per forma o scala - del campo di moto;
la crescita del piccolo, che finirà per stravolgere l’esistente, non può essere
spiegata altrimenti. Eppure, è proprio la possibilità di interazione tra componenti diverse del campo di moto quella che viene esclusa dalla ipotesi di
moto irrotazionale. Nel richiamare per sommi capi le proprietà dei campi dotati di potenziale di velocità, è stato mostrato come il problema matematico
della determinazione del potenziale, e quindi della velocità stessa, si riduca
alla soluzione di una equazione lineare, quella assai nota di Laplace. Nelle correnti irrotazionali, eventuali componenti diverse del campo evolvono in
modo del tutto indipendente; non è immaginabile tra loro alcun trasferimento
di energia. Questa proprietà negativa è evidente già nelle equazioni indefinite;
si tratta quindi di un fatto locale, valido punto per punto.
La presenza di vorticità all’interno di un volume di fluido va considerata quindi
condizione necessaria perché in quel volume si sviluppino i fenomeni tipici
dei moti turbolenti. Si può immaginare che la possibilità di rotazione, e di
intensificazione della stessa, permettano a quel volume di fluido di assumere
una grande varietà di componenti parassitarie di moto - che si comportano
come un pozzo per l’energia cinetica - indipendentemente dalle condizioni
che valgono al di fuori di esso. D’altra parte, l’accostamento tra turbolenza e
20
C. Cancelli, op. cit., 4.2.
27
1.
CORRENTI TURBOLENTE
(a)
(b)
ω=0
U
ω=0
Fig. 1.5 – (a) Accrescimento di un getto turbolento che emerge in un fluido inizialmente
in quiete - (b) configurazione ingrandita del bordo esterno del getto.
vorticità non ha valore puramente constatativo, poiché la vorticità ha una sua
dinamica, le cui prerogative permettono di distinguere le zone vorticose da
quelle non vorticose; quindi, quelle che possono divenire turbolente da quelle
che non possono.
Tra un volume di fluido dotato di vorticità caotica21 e una eventuale regione di
moto irrotazionale, si trova interposto uno strato di piccolo spessore - una sorta
di buccia - ove si ha raccordo tra campi di moto con caratteristiche cinematiche
diverse. In questa regione di raccordo - un velo, nella scala lineare del volume
di fluido turbolento - si ha un violento scorrimento (alto Dij ) e quindi una
elevata dissipazione; lo spessore del velo può essere considerato una tipica
scala dissipativa interna.
L’accrescimento del volume di fluido in preda al caos è subordinato all’estensione della regione vorticosa; i due processi si condizionano a vicenda. Per
effetto dello sviluppo di instabilità all’interno del volume di fluido vorticante, parti di questo vengono continuamente estroflesse e si protendono verso
21
È una delle tante definizioni di moto turbolento.
28
1.
CORRENTI TURBOLENTE
l’esterno avvolgendosi attorno a porzioni di fluido dotate di moto irrotazionale (fig. 1.5(b)). Questa cattura si conclude, via via che si fa più intima la
commistione tra parti inizialmente diverse per stato cinematico - rotazionale
e irrotazionale - in un processo di omogeneizzazione che incrementa la massa di fluido in moto vorticoso. L’agente ultimo del trasferimento di vorticità è
la diffusione molecolare, nella sua veste di viscosità. Eppure, la rapidità del
processo di accrescimento del volume non dipende da questa grandezza; dipende dalla velocità convettiva con cui l’immaginaria superficie che circonda
il grumo turbolento si dirama verso l’esterno catturando altro fluido nelle sue
spire. L’ordine di grandezza di questa velocità è quello della componente fluttuante del campo22 ; i processi diffusivi di omogeneizzazione seguono, come
le famose salmerie, adattandosi a un passo non dettato da loro.
I processi dinamici che hanno luogo all’interno della massa in moto turbolento
influenzano anche parti distanti del campo, mediante la propagazione di onde.
Nel moto vorticoso e caotico si producono brusche variazioni di pressione - in
modo più marcato nelle regioni vicine all’asse dei vortici che vengono stirati,
o in vicinanza della parete posteriore dell’ostacolo - e queste si propagano a
distanza. Le onde di pressione non trasportano tuttavia vorticità, e non sono
pertanto in grado di estendere il carattere turbolento del moto ad altre parti
del fluido. Ciò non toglie che si possano misurare, in un punto esterno alla
zona turbolenta del campo, segnali che riproducono il carattere aleatorio della
prima. Un segnale di pressione rilevato immediatamente all’esterno delle due
superfici di scorrimento che delimitano la scia di un cilindro indefinito - nel
punto P di fig. 1.6, ad es. - risulterà difficilmente distinguibile da uno rilevato
all’interno della scia, nel punto Q ad esempio.
La cosa non implica affatto che la natura del moto in P sia simile a quella in
Q. Nell’intorno del punto P si ha un campo irrotazionale, con una componente caotica che è immagine delle irregolari condizioni che la scia impone
al suo bordo. Non vi sono fenomeni di accoppiamento non lineare tra diverse
componenti del moto, né di amplificazione spontanea di piccole perturbazioni;
qualora le condizioni imposte dalla scia sul contorno del campo irrotazionale
fossero note, l’evoluzione del campo risulterebbe determinata. La distinzione
22
Per questo motivo abbiamo assunto la deviazione standard σu della velocità di fluttuazione come velocità lineare con cui si accresce un volume di fluido dotato di moto turbolento,
cfr. C. Cancelli, op. cit., 5.8.
29
1.
CORRENTI TURBOLENTE
ω=0
U
Q
L
P
ω=0
ω=0
Fig. 1.6 – Scia di cilindro ad alto numero di Reynolds: una regione di moto turbolento,
circondata da fluido in moto non rotazionale.
U
L
Fig. 1.7 – Linee di particelle marcate attorno alla sezione di un cilindro.
tra le due regioni non ha valore puramente concettuale; nella regione di campo irrotazionale mancano tutti gli aspetti del moto turbolento, che derivano
dall’amplificazione locale di differenze inizialmente piccole; non vi è, ad es.,
dispersione di traiettorie né accelerazione di processi diffusivi - due proprietà
delle correnti turbolente che descriveremo tra breve. Un semplice esperimento
di visualizzazione può mettere in evidenza il diverso comportamento del campo (fig. 1.7); ove il moto è irrotazionale, una linea di particelle marcate rimane
chiaramente visibile; ma se del colorante viene immesso in un punto situato in
una zona di moto turbolento, la sua traccia scompare in modo quasi istantaneo.
La propagazione di onde di pressione, generate da una corrente turbolenta,
al di fuori dallo spazio occupato dalla corrente stessa, dà luogo al rumore di
origine aerodinamica. In questo tipo di problema, la propagazione nella parte
del dominio esterna alla corrente turbolenta viene trattata con teorie lineari,
basate sulla piccolezza del segnale e sull’esistenza di una funzione potenziale
per le velocità - il moto infatti è supposto irrotazionale. La regione di moto,
vorticoso e altamente non lineare, che è all’origine della perturbazione, non
viene simulata numericamente, ma assunta come sorgente esterna di disturbo;
30
1.
CORRENTI TURBOLENTE
le sue proprietà statistiche figurano tra i dati di ingresso dei relativi programmi
di calcolo.
Cascata energetica. Accelerazione dei processi diffusivi
Venendo ora ai moti turbolenti sviluppati, essi hanno dei lineamenti propri,
alcuni dei quali non sono di immediata comprensione. Vi è un aspetto che può
essere posto in luce tramite un bilancio energetico della corrente:
– la potenza necessaria a mantenere un moto turbolento, riferita all’unità di volume del fluido interessato, tende a divenire proporzionale
a ρU 3 /L, invece che a μU 2 /L2 , come nel moto laminare.
Si tratta di un risultato a prima vista sorprendente, perché la formula che si riferisce al moto laminare riflette fedelmente, nella sua struttura, il ruolo della
funzione di dissipazione nel trasformare l’energia meccanica in energia termica, già stabilito in precedenza23. Ora la formula cambia struttura e fa comparire come proprietà significativa del fluido la densità ρ, una grandezza che
con la dissipazione non ha molto da spartire, al posto della viscosità dinamica.
L’apparente incongruenza trova spiegazione in una lunga catena di passaggi
dell’energia tra configurazioni di scala diversa, il cui stadio di ingresso, per
così dire, è controllato da configurazioni con scala geometrica talmente grande da avere una dinamica puramente convettiva. Rimane vero che l’energia
finisce con l’essere dissipata in calore, a una scala dissipativa interna, dalla
viscosità molecolare; ma poiché il processo è irreversibile sin dall’inizio, l’intensità del flusso di energia non dipende da questa grandezza. La dinamica del
processo porta il nome di cascata energetica. Il fatto che le configurazioni,
ove la velocità di fluttuazione è distribuita su grande distanza, abbiano una dinamica che non viene influenzata dalla viscosità, comporta che le stesse non
dipendano dal numero di Reynolds; in effetti, risultano sensibili unicamente
alla geometria del dominio. Quello che accade con il crescere di Re , è che
compaiono configurazioni di scala geometrica sempre più piccola, necessarie
per permettere alla funzione di dissipazione di equilibrare la crescente produzione di energia cinetica turbolenta. Queste idee sono rappresentate in fig. 1.8,
dove sono schizzati due getti emergenti da uno stesso condotto, a due diversi
23
C. Cancelli, op. cit., 1.6.
31
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Re1
Re2
Re2 > Re1
Fig. 1.8 – Getto a due diversi numeri di Reynolds.
numeri di Reynolds. Le grandi circonvoluzioni che determinano la forma del
getto sono uguali nei due casi. Il getto con un numero di Reynolds più alto,
tuttavia, possiede scale più minute; vi sono al suo interno zone ove si trovano differenze significative di velocità in distanze molto brevi. Un numero di
Reynolds opportunamente definito può dare una misura del rapporto che intercorre tra le scale più grandi, dipendenti dalla geometria della corrente, e la
scala dissipativa, che è determinata dalla dinamica del processo. Più alto è il
numero di Reynolds, più alto è il rapporto.
Un secondo aspetto, in realtà connesso al primo, delle correnti turbolente sviluppate può essere messo in evidenza con tecniche di visualizzazione. Già
Reynolds nei suoi esperimenti del 1883, aveva immesso al centro di una
corrente intubata un flusso continuo di colorante, con l’idea di indagare su
quali cambiamenti del campo di moto avvenissero in corrispondenza della
transizione di regime. Con un esperimento di questo tipo si può osservare
che:
– una linea marcata con origine nella zona di imbocco prosegue diritta
e rimane perfettamente visibile fino a grande distanza, finché il moto
è laminare. Il campo è ovviamente stazionario, e la linea è insieme
32
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Fig. 1.9 – Linea di particelle marcate nella regione di imbocco di una corrente
turbolenta.
traiettoria e linea di corrente. In regime turbolento la linea marcata,
anche se collocata all’imbocco e nel centro del tubo, ha vita breve;
dopo aver percorso qualche diametro, si distorce, si sfrangia, e poi
scompare quasi di colpo, divenendo indistinguibile dal fondo.
L’improvvisa involuzione della linea (cfr. fig. 1.9) rivela che le particelle marcate, da cui è formata, sono state artigliate da un grumo di fluido turbolento in
espansione; mentre la rapida scomparsa che segue non può che essere attribuita a una altrettanto rapida diluizione del colorante. D’altra parte, la diluizione
di qualunque grandezza trova nelle equazioni indefinite - che si spera continuino a valere - una sola spiegazione: la diffusione molecolare o browniana.
Ricordiamo che, se q è una densità qualsiasi, la relativa equazione di bilancio
può esser posta nella forma24 :
∂fj
Dq
=−
Dt
∂xj
ove f è il flusso prodotto, direttamente o indirettamente, dal moto di agitazione
termica; quindi, dalla diffusione molecolare o browniana. Se nelle correnti
turbolente la derivata materiale assume valori elevati in modulo e negativi, è
perché valori altrettanto elevati ha assunto la divergenza dei flussi. Non si può
che concludere che il regime turbolento provoca un’accelerazione dei processi
di diffusione; nel caso in oggetto, poiché si tratta della densità di un colorante,
della diffusione browniana.
Tornando per un attimo all’argomento della dissipazione di energia meccanica, conviene notare che il cambio di regime da laminare a turbolento porta
24
Il campo di velocità è supposto a divergenza nulla.
33
1.
CORRENTI TURBOLENTE
l0
Fig. 1.10 – Successive configurazioni di un volume marcato, inizialmente compatto.
con sé un innalzamento della potenza dissipata per unità di volume del fluido
- oltre che una diversa struttura della legge che lega la potenza dissipata alle
grandezze globali della corrente. E poiché tra diffusione di quantità di moto e
dissipazione di energia meccanica vi è un legame strettissimo25 , anche questo
fatto può essere considerato come una conferma della generale accelerazione
dei processi diffusivi nelle correnti turbolente. La quale ha, del resto, una spiegazione unificante; nel loro moto erratico, parti di fluido inizialmente di stato
termodinamico e cinematico molto diverso, vengono prima o poi a trovarsi vicine, e quindi danno luogo, sia pure in modo saltuario, a valori estremamente
elevati dei gradienti - e quindi dei flussi - di qualsiasi grandezza. Può essere
utile, per fissare le idee, immaginare di seguire l’evoluzione di un volume di
fluido inizialmente compatto, di scala lineare lo , distinguibile dalla rimanente parte del fluido per la variazione di una qualche proprietà. Se il volume è
soggetto a un campo di velocità fluttuante, con variazioni significative entro
distanze più piccole di lo - in altri termini, se al suo interno vi sono importanti differenze di velocità - esso si distorce rapidamente e si sfilaccia nello
spazio (cfr. fig. 1.10). Il processo di omogeneizzazione tra lo stato del fluido
all’interno e quello all’esterno del volume viene accelerato per due motivi:
– la superficie di scambio si estende rapidamente;
– particelle provenienti dalla zona centrale del volume vengono estroflesse verso l’esterno, e viceversa, portando a una intensificazione
dei gradienti.
25
Qualsiasi processo di livellamento di un campo di velocità, inizialmente disuniforme, comporta
una scomparsa di energia cinetica.
34
1.
CORRENTI TURBOLENTE
traiettoria media
S
Fig. 1.11 – Dispersione di traiettorie. La linea a tratto rappresenta la traiettoria media.
Dunque, i moti con una componente caotica esaltano i gradienti, in quanto
producono forti variazioni in breve distanza. È bene dare a questa proprietà
la dovuta enfasi, perché essa viene mascherata da una mediazione statistica di
lungo periodo. Si consideri, ad es., la dinamica atmosferica di breve periodo
- di qualche giorno - ove il movimento dei fronti di aria fredda o calda risulta
di decisiva importanza; una rappresentazione della temperatura atmosferica,
mediata su un periodo di qualche mese, cancellerebbe i fronti dal quadro.
Dispersione delle traiettorie e diffusione turbolenta
Infine, è interessante osservare il comportamento di una famiglia di traiettorie di particelle uscenti da uno stesso punto. La realizzazione sperimentale è
tutt’altro che semplice, ma noi non ci occuperemo degli aspetti pratici della
faccenda. Supponiamo di avere reso riconoscibili in qualche modo le particelle che passano per un punto S e di essere in grado di ricostruirne la traiettorie,
la famiglia di curve descritta dall’equazione:
dy = (V + v)dt
ove abbiamo indicato con il simbolo V il valor medio lineare delle funzioni
lagrangiane di velocità < vt > e con v la parte fluttuante.
Per effetto della componente fluttuante del campo, le particelle seguono un
cammino irregolare e le traiettorie si disperdono nello spazio. Se si traccia
come riferimento una immaginaria traiettoria media, la linea a tratto di fig. 1.11
di equazione:
dY = Vdt
35
1.
CORRENTI TURBOLENTE
l0
P2
P1
S
Fig. 1.12 – Dispersione di volumi di aria inquinata di dimensione lineare lo .
qt
q0
Q~q0
t
Fig. 1.13 – Misura della concentrazione qt , eseguita nel punto P1 .
si può osservare che nel loro intreccio disordinato, le traiettorie reali mostrano
almeno un connotato costante: al crescere della distanza da S , il loro scarto
quadratico medio dalla ipotetica traiettoria di riferimento continua a crescere26 . Finché non intervengono limiti imposti dall’esterno, il fascio di traiettorie che hanno un’origine in comune si dirama progressivamente, interessando
volumi sempre più vasti.
A questo aspetto delle correnti turbolente, che noi indicheremo con il termine dispersione per evitare equivoci, è legata una sorta di diluizione statistica
di eventuali inquinanti. Si immagini che le traiettorie rappresentino il moto dei baricentri di una successione di volumi di aria inquinata, di lunghezza
caratteristica lo , emessi da S con concentrazione iniziale qo . Per effetto della dispersione delle traiettorie, i baricentri dei volumi si distribuiranno in uno
spazio sempre più grande (fig. 1.12) e un eventuale valor medio temporale del-
26
Il che non esclude affatto che una singola traiettoria non possa riavvicinarsi alla linea media di
riferimento, o addirittura incrociarla più volte.
36
1.
CORRENTI TURBOLENTE
qt
Q<q0
t
Fig. 1.14 – Misura della concentrazione qt , eseguita nel punto P2 .
la concentrazione non potrà che registrare la conseguenza di questo fatto. Per
intendersi, una misura eseguita in una postazione che si trovi sottovento alla
sorgente, ma vicinissima a questa, ad es. nel punto P1 , darà il tracciato schizzato in fig. 1.13, a cui corrisponde un valor medio di concentrazione, con T
sufficientemente grande:
1 T
Q(P1 ) =
qt (t )dt ∼ qo
T 0
di poco inferiore al valore iniziale.
Nel punto P2 si avrà invece il tracciato della fig. 1.14 con valore medio Q(P2 )
decisamente più piccolo di qo , perché l’intervallo di tempo in cui lo strumento
si trova all’interno di una porzione di fluido inquinato rappresenta una percentuale ridotta del tempo di misura. Dunque il valor medio della concentrazione
è una funzione di punto Q(x), che decresce piú o meno rapidamente con la
lontananza dalla sorgente.
La variazione di concentrazione media con la posizione del punto di misura è quanto viene calcolato dai modelli di diffusione turbolenta, siano essi
euleriani o lagrangiani. I modelli hanno incorporato un termine che simula
direttamente, oppure tiene in conto, l’effetto del moto erratico dei baricentri
dei volumi inquinati. Il nome dato ai modelli induce una certa confusione tra
questo processo e l’accelerazione dei processi diffusivi che abbiamo in precedenza descritto. In realtà i due aspetti sono entrambi presenti nelle correnti
turbolente, ma né coincidono, né sono correlati in modo costante tra loro. È
vero che i volumi di fluido inquinato, mentre vengono trasportati verso valle,
quasi sempre si sfrangiano e si espandono per effetto diffusivo, di modo che la
concentrazione di inquinante al loro interno va diminuendo (fig. 1.10) rapidamente; ma questo processo non influenza in modo significativo il valore di Q.
Per distanze sottovento maggiori di lo , Q finisce con il dipendere unicamente
dalla dispersione delle traiettorie dei baricentri.
37
1.
CORRENTI TURBOLENTE
(a)
S
C
qt
t
(b)
S
C
qt
t
Fig. 1.15 – Configurazione istantanea di un pennacchio e tracciati di concentrazione
di un inquinante, registrati in una stessa posizione C, in due diverse condizioni atmosferiche: – (a) in presenza di sole fluttuazioni di lungo periodo – (b) in presenza di
fluttuazioni di lungo e di breve periodo.
Lo schizzo di fig. 1.15 può essere utile a chiarire la situazione; esso rappresenta
due pennacchi emessi da una ciminiera in due diversi campi di moto, il primo
provvisto solo di componenti fluttuanti di lungo periodo e grande scala, che
configurano il pennacchio in larghi giri; il secondo, dotato di energiche componenti di scala più breve della dimensione lineare lo del pennacchio stesso.
In questo secondo caso il pennacchio si sfrangia ed esplode quasi immediatamente per effetto della differenza di velocità e delle rotazioni al suo interno,
dando luogo a una nube ove la concentrazione varia in modo regolare nello
spazio; e, in uno stesso punto, in modo poco avvertibile al passare del tempo. I due pennacchi si presentano diversi alla vista e altrettanto diverse si
presenterebbero le eventuali registrazioni della concentrazione del gas emesso, misurate in uno stesso punto C . Nel caso (a) il valore di qt mostrerebbe
picchi pronunciati, in corrispondenza degli intervalli di tempo in cui il pennacchio passa per la stazione di misura, intervallati da periodi di concentrazione
nulla, o quasi; nel caso (b) si avrebbe una misura pressoché costante, con una
debole fluttuazione attorno al valor medio Q. È ovvio che i due tracciati non
sono equivalenti; non è detto tuttavia che il valor medio lineare Q risulti nei
38
1.
CORRENTI TURBOLENTE
due casi molto diverso. Sicuramente diversa risulterà la deviazione standard;
ma qualora lo spazio all’interno del quale serpeggia il pennacchio del caso (a)
- delimitato simbolicamente dalle due linee tratteggiate - fosse uguale a quello
stabilmente occupato dal pennacchio del caso (b), e la velocità media del vento fosse la stessa, i valori di Q risulterebbero quasi identici; ragionando sulla
media, si potrebbe dire che una stessa quantità di inquinante passa attraverso
una stessa sezione nello stesso tempo. D’altra parte, l’ampiezza del serpeggiamento del pennacchio e quindi dello spazio mediamente occupato, dipende
da quelle componenti della fluttuazione di velocità che sono di più lungo periodo, e di conseguenza di grande scala lineare; mentre l’eventuale eplosione
iniziale del pennacchio dipende da componenti di velocità con scala lineare
minore o uguale a lo . Si tratta di componenti diverse della parte fluttuante del
campo, le quali possono, oppure no, essere entrambe presenti. Nel problema
in esame, ad es., la coincidenza della regione dello spazio occupata in media
si spiega supponendo che nei due casi le componenti di grande scala siano simili; la diversità di forma delle configurazioni istantanee, con la mancanza di
quelle di piccola scala nel caso (a).
La possibilità che si abbia uno stesso valore di concentrazione media, con
tracciati di concentrazione istantanea molto diversi, pone dei limiti all’uso dei
modelli di dispersione. Essi calcolano in ogni caso il valore medio Q, più
esattamente il limite:
T
1
Q = lim
qt (t )dt
T →∞ T 0
un valore che possiamo ritenere rappresentativo di una media di lungo periodo27 . Vi sono problemi in cui il valore medio di lungo periodo è significativo;
se, ad es., si vogliono stimare le conseguenze sulle malattie polmonari croniche dell’inquinamento dell’aria da ossidi di azoto, oppure gli effetti mutageni
del particolato, i valori medi vanno benissimo, poiché si tratta di effetti cumulativi. Nel caso invece che si voglia valutare la situazione di pericolo derivante
27
Tanto è vero che per una verifica sperimentale delle previsioni occorre misurare per un periodo
sufficientemente lungo, il quanto lungo dipendendo dalle componenti del campo di moto e dalla
posizione del punto di misura rispetto alla sorgente. All’ingrosso, si può ritenere che la misura
in una posizione sottovento, a una distanza di ∼ 100 ÷ 200 m dalla sorgente, richieda un tempo
di misura di qualche minuto; se la distanza passa all’ordine del km, il tempo richiesto per una
misura significativa batte attorno alla mezzora, ammesso che le condizioni meteorologiche non
siano nel frattempo variate.
39
1.
CORRENTI TURBOLENTE
dalla fuga di un gas, o altamente tossico o infiammabile, è dubbio che il valor
medio di concentrazione Q ci dica qualcosa. Sarà significativo solo nel caso
che vi sia poca differenza tra valore medio di lungo periodo e valore istantaneo
o quasi; nel caso (a) di fig. 1.15 ad es., ma non nel caso (b). In effetti, la possibilità di innesco di una deflagrazione dipende dalla concentrazione istantanea
della miscela, la quale deve trovarsi all’interno di un intervallo di valori. In
una situazione meteorologica caratterizzata dall’assenza di componenti fluttuanti di piccola scala, come nel caso (a), la stima della concentrazione in C
eseguita tramite un modello di dispersione, può risultare errata per difetto. È
possibile pertanto che la concentrazione risulti in C , secondo le previsioni del
modello, al di sotto della soglia minima necessaria per l’innesco, mentre nella
realtà essa si trova ancora abbondantemente al di sopra, almeno negli intervalli
di tempo in cui il pennacchio sta passando per il punto in questione.
La situazione che abbiamo descritto si adatta a un evento esplosivo non infrequente, caratterizzato dal fatto che l’accensione della miscela avviene in una
zona lontana dal punto di origine della fuga, ove secondo i calcoli previsionali non avrebbe dovuto esservi rischio. Da essa si può trarre una lezione di
carattere generale. Ribadito il concetto che i modelli di dispersione o di "diffusione" turbolenta calcolano valori medi di lungo periodo, la loro capacità di
dare indicazioni sui valori medi di breve o brevissimo, che indicheremo con
, varia da caso a caso, e dipende da qualcosa che i modelli non
il simbolo Q
prendono in considerazione nella loro struttura logica, neppure come dato di
ingresso: la composizione spettrale del campo fluttuante. Sta a chi li applica
giudicare l’attendibilità dei risultati nelle diverse situazioni.
Senza pretendere di esaurire l’argomento, piuttosto vario, si può dare qualche indicazione di massima. In una fuga accidentale, o nell’emissione da un
camino o da una valvola di sfiato, si ha quasi sempre un primo tratto del getto emergente, ove la dinamica del fluido è determinata dall’energia cinetica
posseduta al momento dello sbocco, o dalla differenza di stato termodinamico rispetto all’esterno - di densità in un liquido, o di temperatura potenziale in
un gas - che genera strutture vorticose in presenza di campo gravitazionale28 .
Il getto può emergere all’aperto già turbolento; ma anche in caso contrario in
pochi diametri lo diviene, essendo la sua una configurazione altamente instabile. La scala esterna di questo campo turbolento è data dal diametro del getto
28
C. Cancelli, op. cit., 4.5.
40
1.
CORRENTI TURBOLENTE
e insieme a questo va crescendo via via che ci si allontana dal punto di sbocco.
Scale più piccole vengono generate dalla cascata energetica, fino a raggiungere la scala dissipativa. L’estensione della cascata dipende dall’energia cinetica
iniziale; ma, in ogni caso, il processo è caratterizzato in questa prima fase
da componenti di velocità fluttuante che sono o della stessa scala del getto o
più piccole, quindi tutte efficaci nel distorcere il volume di gas uscente e nel
frastagliarne la superficie. Ne segue un rapido mescolamento e quindi l’omogeneizzazione con il fluido catturato dall’esterno. Si ha in definitiva una
situazione simile a quella di fig. 1.15(b); il gas uscente si diluisce mentre si
allontana dallo sbocco e la concentrazione tende a distribuirsi in modo regolare all’interno di una specie di cono, senza bruschi salti o vuoti al suo interno.
In queste condizioni, appare ragionevole un calcolo approssimato della con , o anche di quella istantanea qt , basato
centrazione media di breve periodo Q
sull’ipotesi che essa si distribuisca in modo continuo e regolare all’interno del
cono29 . I modelli di dispersione turbolenta dei getti fanno esattamente questo
tipo di calcolo, e con l’aiuto di un paio di coefficienti empirici, fissati una volta
per tutte, danno dei risultati abbastanza attendibili. Tuttavia, mentre si allontana dalla sorgente, la massa di miscela si accresce e perde velocità, finché le
componenti del moto che traggono la loro origine dalle condizioni di sbocco,
non divengono insignificanti rispetto ai movimenti dell’atmosfera. Da questo momento comincia una seconda fase, che può essere importante qualora la
concentrazione della miscela sia ancora al disopra del valore limite inferiore;
nella nuova fase il trasporto convettivo e l’eventuale ulteriore diluizione dipendono dalla struttura della turbolenza atmosferica. Di questa, a priori, si può
dire solo che è estremamente variabile. Vi sono situazioni in cui sono presenti
componenti fluttuanti di scala geometrica molto corta. Una brezza di valle in
una giornata di sole, per ricordarne una, è formata da uno strato estremamente
agitato, complessivamente alto un paio di centinaia di metri e ricco di scale di
pochi cm. Qualunque cosa venga immesso al suo interno viene fulmineamente diluito, come nel caso di fig. 1.15(b). Nelle ore notturne invece si possono
avere campi di moto con lente oscillazioni, quasi sempre nel piano orizzontale, che con la turbolenza hanno poco in comune; la nube di miscela esplosiva,
29
Distribuzione continua non significa uniforme. Del resto, anche il valor medio d’insieme Q varia, sia pure senza bruschi salti; è massimo sull’asse del getto o del pennacchio e va decrescendo
con la distanza dalla sorgente, esattamente come qt .
41
1.
CORRENTI TURBOLENTE
sia pure oscillando lentamente, può essere trasportata dalla velocità media a
grande distanza senza essere diluita in modo apprezzabile. Si ricade nel ca può essere
so di fig. 1.15(a), ove la concentrazione media di breve periodo Q
notevolmente più alta di Q.
Questo quadro dà ragione di un fatto spesso riportato nei testi di analisi del
rischio industriale; fughe di gas esplosivo, impressionanti per la violenza del
getto, e il fischio lacerante, e la convoluzione della nube30 , esauriscono la loro
pericolosità normalmente entro un raggio di un centinaio di metri o poco più
dal punto di fuga31 . Mentre nella quiete notturna, fughe inavvertite danno
luogo a nubi di gas che migrano lentamente e possono trovare un innesco
accidentale anche a una distanza molto maggiore, dell’ordine del km. La cosa
viene spesso riportata con un tono di sorpresa; in realtà, non vi è motivo di
stupirsi.
Richiamo dei concetti essenziali
Concludiamo questa presentazione dei moti turbolenti e dei problemi connessi
con un richiamo dei punti principali.
– I moti turbolenti sono moti autoeccitati che possono svilupparsi in
seno a correnti vorticose. La parte fluttuante del campo assume
forme e sequenze temporali che sono indipendenti dalle condizione che vengono imposte ai contorni del dominio, e risulta per tanto
imprevedibile.
– Per effetto della componente aleatoria delle velocità, si ha un rimescolamento continuo delle diverse parti del fluido; volumi inizialmente compatti si sfilacciano, insiemi di particelle che a un dato
istante si trovavano tra loro vicine si disperdono, parti in condizioni
cinematiche o termodinamiche assai diverse vengono saltuariamente a stretto contatto. Questo ultimo aspetto dà luogo, in media, a una
30
Tragge Marte vapor di val di Magra, ch’è di torbidi nuvoli involuto. Citare la Commedia
(Inf. XXIV, 145) non è un esempio di stile misurato; però rende bene l’idea.
31
Si tratta di una stima empirica, che abbraccia all’ingrosso anche le più frequenti geometrie dello
sbocco.
42
1.
CORRENTI TURBOLENTE
forte accelerazione dei processi diffusivi32 . Applicata alla quantità
di moto, come grandezza trasportata e poi diffusa, la tendenza a riprodurre per convezione differenze significative su distanze sempre
più piccole, si chiama cascata energetica. La distanza minima a cui
il processo viene arrestato dalla diffusione molecolare rappresenta la
scala interna dissipativa.
– Un insieme di piccoli volumi di fluido, che passino in istanti diversi
per uno stesso punto S , si disperde nello spazio, perché i loro baricentri seguono diverse traiettorie. Questo fatto provoca una sorta
di diluizione statistica - fa sì che i valori medi nel tempo della concentrazione, misurati a punto fisso, risultino più bassi di quelli dei
singoli volumi, indipendentemente dal processo di diluizione degli
stessi, che è legato alla diffusione molecolare. La diluizione statistica è chiamata dispersione turbolenta o "diffusione turbolenta". I modelli di calcolo che si usano per studiare la dispersione di inquinanti
nell’atmosfera valutano questa diluizione; vanno quindi bene per stimare valori di concentrazione mediati su un periodo sufficientemente lungo, il quanto lungo dipendendo dalla variabilità del campo di
moto e dalla posizione del punto di misura rispetto alla sorgente.
– Nei problemi in cui risultano determinanti i valori medi di concentrazione di breve durata, i modelli di "diffusione turbolenta" sono
poco utili. È vero infatti che il moto turbolento accelera grandemente l’effetto della diffusione molecolare e tende quindi a diluire
rapidamente qualsiasi inquinante inizialmente contenuto in un volume limitato; ma i due aspetti, la diluizione dei volumi singoli e la
dispersione dell’insieme in una regione sempre più vasta, pur essendo simultaneamente presenti in una corrente turbolenta, non sono tra
loro così strettamente legati che valutando l’uno si possa, con certezza, farsi un’idea dell’altro. L’accelerazione del processo diffusivo
è legato alla rapida deformazione dei volumi, un fenomeno cinematico al cui fine sono efficaci le strutture del campo di moto con scala geometrica più piccola o paragonabile a quella dei volumi stessi;
32
Se il bordo del cucchiaino non fosse stato pensato da un qualche dio - Efesto, probabilmente per generare una scia turbolenta, ad addolcire il caffé si perderebbero le giornate.
43
1.
CORRENTI TURBOLENTE
la dispersione dell’insieme richiede strutture del campo di moto di
grande scala e grande periodo, che possono avere nei confronti dei
volumi singoli uno scarso, o addirittura nullo, potere di deformazione. In effetti, il calcolo della dispersione turbolenta si esegue ignorando questo secondo effetto: la cosa è particolarmente evidente nei
modelli lagrangiani, ove i volumi inquinati vengono trattati come se
fossero puntiformi, grani invarianti - una sorta di quanta - di contaminante; ma è implicita anche nei modelli di dispersione euleriani.
Queste considerazioni hanno conseguenze pratiche da non trascurare: l’uso di modelli di dispersione, al fine di valutare situazioni di
pericolo derivanti da fughe di gas o altamente tossici o infiammabili, costituisce un procedimento che richiede estrema prudenza e una
buona dose di scetticismo.
1.3.
LA TURBOLENZA COME MOTO AUTOECCITATO
Oscillazione autoeccitata in un sistema con un grado di libertà.
Imprevedibilità della fase
Diamo una breve descrizione del fenomeno delle oscillazioni autoeccitate, cominciando col richiamare come termine di confronto un caso di moto non
autoeccitato, ma sicuramente noto: il moto forzato di un oscillatore lineare.
L’equazione differenziale del moto di un sistema oscillante, lineare e con un
solo grado di libertà, soggetto a sollecitazione dall’esterno, è:
1 dy
d2 y
+
+ ωo2 y = G(t)
dt2
Ts dt
1.4
Se il sistema fisico a cui si riferisce l’equazione coincide con la massa vibrante
schematizzata in fig. 1.16, i simboli hanno il significato:
m
k
F (t)
Ts =
ωo2 =
G(t) =
c
m
m
ove m è la massa vibrante, k la costante elastica della molla, c un coefficiente di attrito viscoso - interno ed esterno, ma in ogni caso lineare - y lo scostamento della posizione di equilibrio, e F (t) rappresenta la forza applicata
dall’esterno.
Il moto dell’oscillatore ha due componenti che evolvono, grazie alla linearità,
indipendentemente l’una dall’altra; la prima, y1 (t), deriva da un eventuale
44
1.
k
CORRENTI TURBOLENTE
y
t
m
oscillazione libera
F(t)
Fig. 1.16 – Oscillatore meccanico.
k
Fn
m
Ω
y
Fig. 1.17 – Dispositivo per la generazione di oscillazioni autoeccitate dall’attrito.
perturbazione iniziale; la seconda, y2 (t), è imposta dalla forza esterna. In
formula si ha:
y(t) = y1 (t) + y2 (t)
1.5
Nella 1.5 y1 (t) sta per l’integrale dell’omogenea associata, che si può scrivere:
t
y1 (t) = Ao exp −
1.6
cos(ωo t + ϕ)
2Ts
avendo supposto che l’oscillatore sia debolmente smorzato:
1
1
2
ω0 Ts2
come accade nella maggior parte dei casi reali.
Il moto y2 (t) è quello imposto dall’azione esterna e può essere dedotto con
45
1.
CORRENTI TURBOLENTE
una tecnica simile a quella illustrata in nel testo sulle equazioni e proprietà
fondamentali33 . Una volta calcolata la risposta a una generica componente
sinusoidale, si ha per mezzo di un integrale di Fourier:
∞
G(ω)
y2 (t) = exp(iωt)dω
1.7
ωo2 − ω 2 + iω/Ts
o
ove G(ω) indica lo spettro del termine forzante G(t).
Si noti che y1 (t) rappresenta l’oscillazione libera del sistema; essa ha proprietà
intriseche - la forma sinusoidale e la pulsazione ω - mentre altre - l’ampiezza
A e la fase ϕ - derivano dalle condizioni iniziali. In un problema reale, le condizioni iniziali possono essere note con scarsa precisione, ma il moto da loro
generato tende ad estinguersi nello spazio di qualche Ts . Rimane il moto forzato y2 (t), che è determinabile con la stessa precisione con cui è nota l’azione
esterna G(t); non vi sono sorprese.
È tuttavia sufficiente introdurre una modifica a prima vista modesta, per avere un diverso comportamento. Nel sistema meccanico schizzato in fig. 1.17 la
forza esterna è trasmessa alla massa vibrante per attrito, ed è ottenuta premendo la massa sulla periferia di un disco che ruota con velocità angolare costante.
L’equazione del moto diviene:
1 dy
Fn
d2 y
+ ωo2 y = f
+
1.8
dt2
Ts dt
m
ove i nuovi simboli f e Fn stanno a indicare il coefficiente di attrito nel punto
di contatto e la componente normale della forza scambiata tra massa e disco
rotante. Questo dispositivo può generare oscillazioni autoeccitate, che sono
parenti di una larga classe di fenomeni simili, che svariano dallo stridere dei
freni a ceppi di una vettura tramviaria, al suono emesso dalla corda di violino.
L’elemento che innesca la vibrazione della massa, pur rimanendo i parametri
esterni di controllo - la forza Fn e la velocità angolare Ω del disco - del tutto costanti, è la variazione del coefficiente di attrito con la velocità di strisciamento
tra i due corpi. Sebbene in prima approssimazione si usi considerare costante
il coefficiente di attrito, esso va diminuendo con la velocità di strisciamento;
è sufficiente introdurre nell’equazione 1.8 questa proprietà, per mettere in luce una potenzialità di vibrazione spontanea. La legge decrescente f (vs ) può
essere linearizzata nell’intorno di un valore di riferimento fo (fig. 1.18) come:
33
C. Cancelli, op. cit., 2.2.
46
1.
CORRENTI TURBOLENTE
f
vso
vs
Fig. 1.18 – Variazione del coefficiente di attrito con la velocità di strisciamento.
f = fo − fo (vs − vso )
1.9
ove fo , vso sono i valori di riferimento indicati in figura, e fo è la derivata della
curva f (vs ) in quel punto, presa in valore assoluto. Nel nostro caso si ha:
dy
vs = Ωr −
dt
ove r è il raggio del disco, e la 1.9 diviene:
dy
f = fo + fo
1.10
dt
dal momento che si è assunto, come valore di riferimento della velocità
relativa, quello che si ha quando la massa vibrante sta ferma:
vso = Ωr
La 1.10 fa comparire a secondo membro della 1.8 un termine proporzionale a
dy/dt. Sostituendo e riordinando si ottiene:
1
dy
d2 y
Fn Ts
Fn
+
1.11
1 − fo
+ ωo2 y = fo
2
dt
Ts
m
dt
m
L’integrale della 1.11 può essere ancora scritto come somma:
y(t) = y1 (t) + y2 (t)
ove y1 (t) è l’integrale generale dell’omogenea associata, e y2 è un integrale particolare dell’equazione completa, che in questo caso risulta
immediatamente individuabile:
1 Fn
Fn
y2 = cost = 2 f0
1.12
= f0
k
ω0 m
47
1.
CORRENTI TURBOLENTE
L’integrale particolare y2 rappresenta uno spostamento costante, dovuto al
valore medio della forza di attrito fo Fn .
In questa caso, tuttavia, è l’integrale generale dell’equazione omogenea associata a riservare una sorpresa. Confrontando la 1.4 con la 1.11 si osserva che
quest’ultima è ottenibile dalla prima con la sostituzione
1
1
→ (1 − R)
Ts
Ts
ove
Fn Ts
R ≡ fo
m
Si deduce pertanto che l’integrale dell’omogenea associata della 1.11 può
ottenersi immediatamente dalla 1.6 con la stessa sostituzione:
t
cos(ωo t + ϕ)
y1 (t) = A exp −(1 − R)
1.13
2Ts
La novità della 1.13 consiste nel fatto che, qualora il parametro adimensionato
R risulti maggiore di 1, l’oscillazione cresce con legge esponenziale, amplificandosi rapidamente. È vero che le costanti A e ϕ dipendono dalla posizione
e dalla velocità iniziale della massa oscillante e che, in teoria, si può azzerare
y2 (t) supponendo quelle grandezze esattamente nulle. Ma esattamente nulle
è un concetto astratto, che nella realtà fisica non ha cittadinanza; se non altro
come conseguenza macroscopica del moto di agitazione termica, la presenza
di una fluttuazione minima è inevitabile34 .
In breve, quello che discrimina i due sistemi meccanici schizzati nelle fig. 1.16
e 1.17 è che il secondo possiede un meccanismo di amplificazione di una
perturbazione arbitrariamente piccola; in esso, date le opportune condizioni
(R > 1), una perturbazione produce un moto macroscopico, mentre nel primo
sarebbe rimasta inavvertita. Quello che abbiamo descritto è un archetipo di
moto autoeccitato. Si noti che il sistema oscillante è debitore verso l’esterno
solo della sorgente di energia; la frequenza di oscillazione ωo è una proprietà intrinseca e tale risulterebbe anche la distribuzione spaziale del movimento,
se la massa vibrante non fosse stata ridotta, per semplificare la trattazione, a
puntiforme; per fare un esempio, se avessimo considerato il moto di una corda
di violino.
34
In effetti, si sente spesso parlare di assoli di violino suonati da cane, ma di uno che sia abortito
nel più totale silenzio, perché la posizione e la velocità iniziale delle corde erano esattamente
nulle, a memoria d’uomo, non vi è ricordo.
48
1.
CORRENTI TURBOLENTE
t
Fig. 1.19 – Oscillazione autoeccitata.
In quanto alla crescita esponenziale, essa porta rapidamente il sistema fuori
dal campo di linearità e quindi cessa di essere valida; l’ampiezza dell’oscillazione si attesta ad un valore che dipende dalle caratteristiche del sistema stesso
e dal parametro R. L’andamento temporale dell’oscillazione è quello indicato
in fig. 1.19, e può essere descritto dalla relazione: y1 (t) = A(t)cos(ωo t + ϕ);
la parte di curva che corrisponde alla soluzione linearizzata 1.13 è ovviamente la prima, quella che si inarca verso l’alto. Il valore dell’ampiezza a cui si
stabilizza l’oscillazione può essere tuttavia calcolato, rinunciando alla rappresentazione linearizzata del fenomeno, quando si conoscano le caratteristiche
meccaniche delle varie componenti. Il valore stazionario corrisponde infatti al
verificarsi di una condizione ben precisa, che non dipende dalla storia del processo: una volta raggiunto lo stato stazionario, il lavoro assorbito dall’esterno
in un ciclo deve risultare pari a quello dissipato nello stesso periodo per attrito.
Il calcolo della fase ϕ è, invece, al di là delle nostre possibilità. Per conoscerla, dovremmo veramente ricostruire l’evoluzione temporale, a partire dalle immisurabili condizioni iniziali. Dunque, l’amplificazione di una perturbazione
arbitrariamente piccola, e comunque non controllata, rivela una sorta di grado
di libertà del sistema. Dal punto di vista della predicibilità, possiamo dire che
si ha indotto un grado di indeterminazione35, senza che per questo venga a cadere l’apparato formale del determinismo. Se conoscessimo in modo esatto le
condizioni iniziali...; se, appunto.
35
Il fatto che l’apparato uditivo non sia in grado di distinguere la fase, ha semplificato in notevole
misura il mestiere del violinista.
49
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Oscillazioni autoeccitate in un sistema fluido
Naturalmente, il comportamento di un sistema continuo quale è un fluido, retto
da equazioni intrinsecamente non lineari, è più complesso di quello descritto.
Rimane tuttavia vero che qualsiasi sistema dinamicamente instabile, intendendo con questo termine che esso amplifica piccole perturbazioni comunque
generate, risulta in termini pratici poco prevedibile, poiché eventi macroscopici possono essere generati da fatti che sfuggono alla conoscenza e, a maggior
ragione, al controllo. Si tratta di un tema che ha avuto negli ultimi anni larga divulgazione; i discorsi sul battito della farfalla nella giungla amazzonica
che può provocare un cataclisma a Pechino, o altre affermazioni dello stesso
tenore, suonano lievemente esagerate, ma riflettono una problematica reale.
L’oscillazione autoeccitata di un sistema a un solo grado di libertà può servire
da punto di partenza per una breve discussione della instabilità dinamica di un
sistema più complesso. Consideriamo una corrente all’interno di un dominio
spaziale assegnato, retta dalle consuete equazioni di continuità e di quantità di
moto. Adottate come unità di misura di lunghezza, velocità, tempo, pressione,
le scale:
L, Uo , L/Uo , ρU o 2
ove L e Uo indicano una lunghezza e una velocità caratteristiche del campo di
moto, e ρ è la densità del fluido, le equazioni possono essere poste in variabili
adimensionate:
∂uk
=0
1.14
∂xk
∂p
1 ∂ 2 ui
∂ui
∂ui
+ uk
+
−
=0
∂t
∂xk
∂xi Re ∂xk ∂xk
1.15
Uo L
1.16
ν
in modo che rappresentino un’intera classe di correnti simili36 .
Si può supporre che le equazioni precedenti, con le relative condizioni di contorno che qui non vengono specificate, ammettano una soluzione stazionaria
che indichiamo con [U(x), P (x)] - velocità e pressione. Non è detto che la
soluzione stazionaria sia stabile. È possibile che una piccola perturbazione
[û(x, t), p̂(x, t)], comunque indotta, tenda a crescere e quindi modifichi col
Re =
36
C. Cancelli, op. cit., 5.1.
50
1.
CORRENTI TURBOLENTE
passare del tempo la configurazione di partenza; in tal caso la soluzione stazionaria dovrà essere ritenuta puramente teorica. Per indagare se la soluzione
stazionaria sia stabile, si introducono nelle equazioni 1.14 e 1.15 le variabili
perturbate:
U(x) + û(x, t)
1.17
P (x) + p̂(x, t)
1.18
e quindi si studia l’evolvere nel tempo delle perturbazioni û(x, t) e p̂(x, t).
Qualora le perturbazioni tendano ad estinguersi, qualunque sia la loro forma,
la soluzione base [U(x), P (x)] risulta stabile. L’analisi viene semplificata mediante l’ipotesi che le perturbazioni û(x, t) e p̂(x, t) siano di piccola ampiezza,
così che i termini ove esse compaiono in modo non lineare possano essere trascurati. Ricordato che la corrente base U(x) e la pressione corrispondente
P (x) soddisfano, per definizione, le equazioni:
∂Uk
=0
∂xk
Uk
∂P
1 ∂ 2 Ui
∂Ui
+
−
=0
∂xk
∂xi Re ∂xk ∂xk
1.19
1.20
sostituendo le 1.17 e 1.18 nelle equazioni 1.14 e 1.15, e linearizzando nelle
variabili û(x, t), p̂(x, t), si ottiene:
∂ ûk
=0
∂xk
1.21
∂ p̂
1 ∂ 2 ûi
∂ ûi
∂ ûi
∂Ui
+ ûk
+
−
=0
+ Uk
∂t
∂xk
∂xk
∂xi Re ∂xk ∂xk
1.22
Nelle equazioni 1.21 e 1.22, la U(x) e le sue derivate spaziali figurano come
coefficienti noti - variabili con la posizione ma non con il tempo - perché concettualmente la U(x) è determinata dal sistema di equazioni 1.19 e 1.20, di
cui è soluzione. Funzioni incognite sono da considerare û(x, t) e p̂(x, t), e
il sistema di equazioni risulta lineare rispetto a queste variabili. Si può quindi, nel cercare la soluzione, ricorrere a una combinazione lineare di integrali
particolari di forma esponenziale nel tempo:
{f (x)exp(λt)}
1.23
riservandosi di sommarli in modo tale da soddisfare una generica condizione
iniziale û(x, 0) e p̂(x, 0) delle funzioni incognite. Il procedimento prevede
51
1.
CORRENTI TURBOLENTE
che si sostituiscano gli integrali particolari di forma 1.23 nelle 1.21 e 1.22, si
risolvano le equazioni differenziali che ne risultano nelle incognite f (x), e si
imponga il rispetto delle condizioni geometriche di contorno. Se operando
in questo modo si ottiene un insieme completo di funzioni ortogonali fn (n
= 1,2,3 ...), la soluzione generale, corrispondente a una perturbazione iniziale
qualsiasi della corrente, è data da una combinazione lineare di queste:
n
fn (x)exp(λn t)
1
n = 1, 2, 3...
In realtà il procedimento non è semplice; se si escludono situazioni in cui la
corrente di base gode di qualche proprietà di simmetria, non si hanno soluzioni esatte. In linea di principio è tuttavia accettabile - vista la natura del
problema - l’idea che l’evolvere temporale di una perturbazione generica sia
rappresentato da una sovrapposizione di componenti del tipo 1.23. È quindi
necessario, perché la perturbazione si estingua, che facciano altrettanto tutte
le componenti, essendo ovvio che una sola che cresca senza limite è sufficiente a rendere divergente la soluzione complessiva. Si noti che nella 1.23 λ è da
considerare quantità complessa:
λ = γ + iω
così che la soluzione particolare:
fn (x) exp(γn t) cos(ωn t + φn )
decade col passare del tempo quando è: γn < 0, mentre cresce senza limite
quando è: γn > 0. Dunque, affinché la configurazione di base risulti stabile, è
richiesto che tutti i valori ammissibili di λ abbiano parte reale negativa.
Senza spingersi troppo avanti negli aspetti tecnici, si può osservare che quando si sostituisce nelle 1.21 e 1.22, al posto delle funzioni incognite û(x, t)
e p̂(x, t) le forme un (x) exp(λn t), pn (x) exp(λn t), si ottengono delle equazioni differenziali senza derivate temporali, all’interno delle quali λn rimane
come parametro. In termini matematici il problema assume i lineamenti di
un problema agli autovalori: si hanno delle equazioni differenziali, contenenti
un parametro da definire, e delle condizioni al contorno che vanno rispettate
ai bordi del dominio. Queste ultime in genere possono essere soddisfatte solo per particolari valori λn del parametro; l’insieme dei valori ammissibili di
λ dà gli autovalori del sistema e le soluzioni particolari corrispondenti un (x)
52
1.
CORRENTI TURBOLENTE
e pn (x) portano il nome di autofunzioni, o modi. Da questo punto di vista,
si può dire che la configurazione stazionaria U(x), P (x) risulta stabile quando tutti gli autovalori che risultano da un’analisi pertubativa hanno parte reale
negativa.
Venendo ora al ruolo svolto dal numero di Reynolds, osserviamo che esso
è presente nelle equazioni di partenza e in tutte quelle successive, e pertanto influenza i risultati dell’analisi della perturbazione e in particolare l’insieme degli autovalori λn . Si può concludere dicendo che la stabilità della
configurazione U(x) è determinata dai seguenti fattori:
– la forma della corrente37 ;
– le condizioni al contorno;
– il numero di Reynolds.
Per quanto riguarda quest’ultimo, esso interpreta una caratteristica distintiva
della classe di correnti simili che vengono esaminate. Possiamo presumere
che per valori sufficientemente bassi di Re tutti gli autovalori presentino parte
reale negativa e la corrente di base risulti pertanto stabile. Si tratta di un’affermazione confortata dai dati sperimentali, e anche da quelli teorici, in quei casi
in cui il procedimento porta a conclusione. È anche sostenuta da una considerazione del tutto generale; quando una perturbazione si amplifica, non può che
derivare la sua energia dalla corrente di base, a cui risulta accoppiata tramite
i termini convettivi dell’equazione di quantità di moto, cfr. eq. 1.22. Sappiamo tuttavia38 che, per Re → 0, l’importanza dei termini convettivi tende ad
annullarsi in confronto a quella dei termini viscosi. Priva di accoppiamento
con la corrente di base, un’eventuale perturbazione non può svilupparsi; essa
è destinata a sparire per la dissipazione viscosa.
Col crescere di Re , e rimanendo assegnata la forma U(x), la situazione può
cambiare. I termini convettivi dell’equazione di quantità di moto si fanno
sempre più importanti, ed è possibile che la parte reale di uno degli autovalori,
37
Poiché le variabili sono adimensionate con delle scale interne, U(x) rappresenta una funzione
di forma.
38
C. Cancelli, op. cit., 1.6, p. 93.
53
1.
CORRENTI TURBOLENTE
inizialmente negativa, cresca fino ad annullarsi in corrispondenza di un valore critico Rec , per poi divenire positiva per un’ulteriore incremento di questo
parametro. In tal caso, nella miscela di modi che rappresenta la perturbazione
casuale, uno si stacca dagli altri e si rivela in termini macroscopici, poiché si
amplifica con legge esponenziale mentre tutti gli altri vanno decadendo. Nella fase iniziale del processo, infatti, il comportamento della perturbazione è
quello descritto dall’approssimazione lineare e le varie componenti si sviluppano in modo autonomo, l’una indipendentemente dalla presenza delle altre.
La comparsa di un autovalore con parte reale positiva si chiama biforcazione di Hopf; l’oscillazione che per prima emerge all’osservazione sperimentale
viene indicata col nome di modo più instabile. L’oscillazione sinusoidale che
si osserva nella scia del cilindro per Re > 40 - essendo 40 il valore critico - è
sicuramente di questa natura.
Tornando al confronto tra il comportamento di un oscillatore con un grado di
libertà e quello di una corrente di fluido, si può notare che esiste una chiara analogia tra il manifestarsi dell’oscillazione autoeccitata nell’oscillatore, e
la prima biforcazione della corrente attorno ad un cilindro indefinito. In entrambi i casi, fintanto che un parametro adimensionato di controllo rimane al
di sotto di una soglia critica, a condizioni esterne stazionarie corrispondono
configurazioni stazionarie del sistema:
fo Fn
y2 =
k
per l’oscillatore,
U = U(x)
per il campo di velocità del fluido.
Quando il parametro di controllo supera il valore di soglia compare, apparentemente dal nulla, una oscillazione di forma sinusoidale, la cui fase risulta
arbitraria agli occhi di un osservatore, e quindi imprevedibile. Nell’uno e nell’altro caso, la soluzione stazionaria continua teoricamente a sussistere anche
al di sopra della soglia39 ; quello che cambia è il comportamento di una perturbazione accidentale del sistema. In regime subcritico, la perturbazione è
destinata a smorzarsi; in regime supercritico, si amplifica fino a raggiungere
39
A parte la difficoltà di calcolarla, non vi è motivo di dubitare che si trovi, per qualsiasi valore di
Re , una soluzione U(x) raccordata con le condizioni di contorno.
54
1.
CORRENTI TURBOLENTE
A
Rec
Re
Fig. 1.20 – Ampiezza dell’oscillazione autoeccitata in funzione del numero di Reynolds.
Per Re minore di Rec , la corrente è stabile.
valori finiti. Se indichiamo con Rec il valore critico del parametro di controllo, considerazioni di carattere del tutto generale ci permettono di affermare
che l’ampiezza A dell’oscillazione autoeccitata va crescendo con la differenza
(Re − Rec ), vedi fig. 1.20, secondo la legge:
A = cost Re − Rec
ove la costante è da determinare caso per caso40.
Dall’instabilità alla turbolenza: cenno alle teorie di transizione
Qui si arresta l’analogia tra i due fenomeni. La molla di fig. 1.17 può oscillare in un solo modo; un campo di moto fluido rotazionale può accettare ben
più che un modo di oscillazione. Al crescere di (Re − Rec ) il nuovo campo
di moto che si è venuto instaurando diviene a sua volta instabile e genera dal
suo seno una seconda componente, con una nuova frequenza che risulterà incommensurabile alla prima41 per ragioni di probabilità. La parte fluttuante del
40
Si tratta di un risultato ottenuto per mezzo di una espansione in serie di potenze. Il significato
√
esatto della formula pertanto è che, per Re → Rec , A tende a zero come Re − Rec . Per
quale intervallo di (Re − Rec ) la formula dia una approssimazione accettabile, non può essere
stabilito a priori. Cfr. L. Landau, E. Lifshitz: Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford 1987,
p. 97.
41
Significa che uno non può attendersi che il rapporto tra le due frequenze - o tra i rispettivi periodi
- sia un numero razionale; non si può quindi trovare un tempo che sia multiplo comune dei due
periodi. Nel suo insieme l’oscillazione non risulta periodica, sebbene sia possibile ritornare,
infinite volte, vicino quanto si vuole ad una condizione qualsiasi; purché si abbia la pazienza di
attendere, ovviamente. I moti che mostrano questa caratteristica si chiamano quasi-periodici.
55
1.
CORRENTI TURBOLENTE
campo è ora data da due componenti oscillatorie di diversa frequenza e dalle loro eventuali armoniche; lo spettro del segnale è uno spettro a righe, dove
appaiono due frequenze tra loro non correlabili. Il nuovo campo fluttuante ha
acquisito una nuova fase arbitraria e, quindi, ha ora due gradi di libertà. La
perdita di stabilità di un moto oscillatorio, che si biforca in due componenti di
frequenza diversa tra loro indipendenti, è un fenomeno tipico della dinamica
dei fluidi, che in qualche misura può ritenersi sperimentalmente accertato42 .
Landau, nel 1944, pensò che le caratteristiche della parte fluttuante del campo di moto turbolento potessero essere spiegate supponendo una iterazione di
questo processo. Lasciamogli la parola43 : Quando il numero di Reynolds cresce ulteriormente, appaiono in successione sempre nuovi periodi. L’intervallo
del numero di Reynolds che passa tra un’apparizione e le successive, diminuisce rapidamente. Le nuove configurazioni hanno scala geometrica sempre
più piccola. Questo significa che l’ordine di grandezza della distanza su cui si
ha una variazione apprezzabile di velocità è tanto minore quanto più è recente l’apparizione del moto in questione. Per Re > Rec , pertanto, la corrente
diviene rapidamente complessa e confusa. Si dice allora che è turbolenta.
Il campo di moto ipotizzato da Landau ha uno spettro a righe; rappresenta, nel
linguaggio correntemente adottato, un fenomeno quasi-periodico. Tuttavia,
quando il numero di righe diviene elevato, la differenza tra spettro continuo e
spettro a righe non può essere apprezzata sperimentalmente, e la distinzione
stessa appare di natura accademica.
In questi anni la teoria di Landau non è più ritenuta credibile; il suo limite è
nell’aver immaginato che le successive instabilità lascino immutate quelle precedenti, che conservano il loro carattere periodico e la loro originaria frequenza. Questa, tuttavia, è più una prerogativa delle tecniche di analisi linearizzata
che si adottano nello studio delle instabilità - la configurazione di base è regolarmente assunta come immutabile - che non una proprietà dei sistemi fisici
dotati di dinamica non lineare. La meccanica offre molti esempi di interazione non lineare tra componenti periodiche diverse, che portano a modificare o
a distruggerne la periodicità. Diversi autori hanno studiato modelli matematici non lineari - per via teorica, o empirica attraverso la simulazione numerica
42
Lo scrivono tutti; sarà dunque vero.
43
L. Landau, E. Lifshitz, op. cit.
56
1.
CORRENTI TURBOLENTE
- in cui l’interazione tra i diversi modi genera fenomeni genuinamente non
periodici; le corrispondenti soluzioni, analizzate in termini di componenti di
Fourier, danno uno spettro continuo. La continuità dello spettro - l’esistenza di una sua parte almeno con supporto non nullo - è legata, come vedremo,
a una prevedibilità limitata nel tempo. In termini fisici, questo implica che i
sistemi dinamici di tal fatta mostrano una sensibilità patologica a una variazione delle condizioni iniziali. La più piccola variazione produce una evoluzione
del sistema che, in un tempo finito, diviene del tutto scorrelata da quella originale; insomma, le due sequenze temporali, dopo un intervallo di tempo più
o meno lungo, si comportano come se non fossero neppure lontane parenti,
nonostante l’origine quasi comune. È bene notare che, essendo la scelta del
tempo iniziale del tutto arbitraria, questa stessa proprietà può essere riferita
ad un istante qualsiasi. Questi sistemi mostrano pertanto uno stato di perenne instabilità; qualunque disturbo, comunque introdotto nella loro evoluzione,
porta in un tempo finito a stravolgerla. Attualmente, si ritiene che le equazioni dei fluidi posseggano queste caratteristiche e che il moto turbolento ne sia
la rivelazione. Chi più di altri lo ha proclamato a gran voce - un matematico
francese di nome Ruelle - ha dato il suo nome alla relativa teoria44 . Ruelle ha,
tra l’altro, mostrato che dopo un numero limitato di biforcazioni - al minimo
tre - l’interazione non lineare tra le componenti può trasformare il regime da
quasi-periodico in non-periodico, dando luogo a uno spettro continuo. Possono bastare quindi un numero limitato di gradi di libertà - le tre fasi arbitrarie
comparse nelle successive biforcazioni - a dar vita a un regime imprevedibile,
grazie all’accoppiamento non lineare delle diverse componenti. La constatazione sembra suggerire che i lineamenti principali della turbolenza possano
essere riprodotti modellando l’interazione di un numero ridotto di strutture del
campo, individuate come fondamentali, mentre tutto il resto può essere trascurato come un rumore di fondo. Su argomenti di questo tenore sono basati
i modelli di turbolenza con basso numero di dimensioni - ridotto numero di
variabili necessarie a definire, nei suoi aspetti essenziali, il campo fluttuante presentati in questi ultimi anni. A giudicare dai risultati, non si direbbe che
siano stati un successo. Del resto, neppure lo scenario di transizione proposto
44
D. Ruelle, F. Takens, 1978.
57
1.
CORRENTI TURBOLENTE
da Ruelle ha trovato decisiva conferma sperimentale45 ; altri scenari sono stati
proposti, e la discussione può considerarsi aperta.
Non entreremo nel merito di questo dibattito, troppo lontano dagli obiettivi di
questo corso. A noi interessa solo ricordare ancora una volta che, per opinione
comune, le correnti turbolente possiedono quel carattere di perenne instabilità
dinamica precedentemente descritto, e che questo fatto impone di formulare in
una nuova prospettiva il problema della predicibilità. Nel paradigma deterministico di Laplace, la conoscenza dello stato del sistema a un istante qualsiasi
permette di predirne il futuro, o di ricostruirne il passato. Non viene considerato alcun limite per questa capacità di proiezione, in entrambi i sensi dell’asse
del tempo; implicitamente si assume che l’incertezza inevitabile nella conoscenza dello stato presente renda incerta la previsione dello stato futuro nella
stessa misura - produca errori percentuali dello stesso ordine di grandezza ma non la annulli, per qualsiasi arco temporale. Nell’affrontare le correnti turbolente, o in generale nello studio di sistemi complessi e non lineari, occorre
accettare invece un punto di vista sostanzialmente diverso. Poiché non è possibile avere una conoscenza esatta dello stato del sistema a un istante generico,
la previsione o la ricostruzione temporale hanno valore solo per un periodo
limitato. Per fare un esempio, vi sono programmi di calcolo che prevedono
le variazioni meteorologiche; in realtà, la situazione atmosferica viene periodicamente aggiornata tramite l’osservazione; il calcolo permette soltanto di
precorrere di qualche decina di ore lo sviluppo futuro. Il programma agisce
come un viaggiatore che proceda con gli occhi bendati, e venga a intervalli
regolari riportato sulla via da percorrere da qualcuno che li ha ben aperti.
Rimane da chiarire quale senso abbia la trattazione statistica delle configurazioni possibili. In effetti, se ogni evoluzione è irripetibile e finisce con l’essere
scorrelata da qualsiasi altra, può venire il dubbio che anche il calcolo di valori medi abbia poco significato. Sperimentalmente le cose non stanno in questi
termini; i valori medi risultano ripetibili e correlati con le condizioni esterne
che controllano la corrente. Da un punto di vista teorico, si è mostrato che
45
Subito dopo il lancio della teoria, qualche ricercatore ne ha fulmineamente trovato conferma
sia nella scia del cilindro, sia nei moti convettivi di un fluido compreso tra due piani orizzontali
tenuti a diversa temperatura. Il problema è che nessuno è riuscito a ripetere l’esperimento. La
cosa, secondo una convenzione codificata circa quattro secoli fa nell’Inghilterra di Boyle, e non
ancora abrogata, non suona favorevole.
58
1.
CORRENTI TURBOLENTE
Re > 40
Re > 2300
Fig. 1.21 – Rappresentazione simbolica della transizione da laminare a turbolento nel
caso: (a) → (b), in una corrente esterna; (c) → (d), in una corrente all’interno di un
tubo.
esistono sistemi dinamici dissipativi in grado di conciliare i due aspetti apparentemente contradditori, l’instabilità delle soluzioni e la ripetibilità dei valori
medi46 . Si ritiene che le equazioni dei fluidi appartengano a questa classe.
Correnti instabili solo per perturbazioni che superano una data ampiezza
Concludiamo con un richiamo alla instabilità della corrente all’interno del tubo circolare, ove la transizione da laminare a turbolento mostra lineamenti
diversi da quelli che abbiamo descritto fino ad ora. In realtà, il comportamento della corrente nel tubo non può essere spiegato se non ammettendo che la
relativa soluzione stazionaria risulti stabile rispetto a perturbazioni arbitrariamente piccole. Volendo rappresentare in modo simbolico la diversità delle
situazioni, possiamo dire che nel caso della corrente attorno al cilindro si passa, quando viene superato il valore critico Re ∼ 40, da una condizione del
tipo (a) e una del tipo (b) (fig. 1.21); mentre, nel caso della corrente all’interno
di un tubo, si passa da una condizione di tipo (c) ad una condizione di tipo (d),
46
E.N. Lorenz, 1963.
59
1.
CORRENTI TURBOLENTE
per Re ∼ 2300. Nel correnti interne, la potenziale instabilità può innescarsi
solo se la perturbazione casuale ha una ampiezza sufficiente.
60
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
61
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
2.1.
DESCRIZIONE STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Momenti e densità di probabilità di un insieme di campi. Medie temporali
ed ergodicità
Poiché l’evolvere apparentemente caotico di una corrente turbolenta non è riconducibile a fattori che agiscano dall’esterno in modo macroscopico e controllabile, è necessario ricorrere a uno studio statistico al fine di trovarvi regolarità e ripetitività di comportamento. Da un punto di vista concettuale, questo
nuovo attacco implica un cambiamento di prospettiva: invece che a determinare la distribuzione istantanea di una grandezza - ad es., il campo1 ut (x, t)
- si mira ai suoi valori medi, o più in generale a calcolare con quale probabilità si possa, eseguendo una misura, trovare la grandezza stessa entro un dato
intervallo di valori.
Si considerino N campi ut (x, t), supponendo che il numero N possa crescere illimitatamente, in N domini fisici identici, condizionati ai bordi in uno
stesso modo. L’insieme degli N campi rappresenta un processo casuale e l’elaborazione statistica dell’insieme permette di calcolarne sia il valore medio
lineare:
N
1 lim
(ut )i ≡< ut >≡ U
N →∞ N
i=1
sia i momenti centrali di qualsiasi ordine (m = 2, 3, ...):
N
1 m
lim
((ut )i − U )
≡< (ut − U )m >
N →∞ N
i=1
Come abbiamo già ricordato, in fluidodinamica si usa adottare la
scomposizione:
ut = U + u
ove U sta per il valore medio lineare - spesso chiamato semplicemente valore
medio - e u indica la fluttuazione o scarto; con l’introduzione di queste grandezze, la statistica del processo viene espressa dai valori medi U e < um >. I
1
In questo capitolo tutti i campi saranno indicati come se fossero degli scalari, per semplificare
la notazione. Il discorso che viene sviluppato può intendersi riferito ad una grandezza qualsiasi,
velocità, pressione, temperatura et cet.; se lo si vuole riferito alla velocità, si può immaginare
che si parli di una sua componente.
62
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
momenti di vario ordine possono essere direttamente ricondotti a una funzione
ψ(ut , x, t), definita in modo tale che l’integrale:
ut +Δut
ψ(ut , x, t)dut
ut
rappresenti la probabilità di trovare in uno degli N domini, nel punto x e
all’istante t, la grandezza ut compresa tra ut ed ut + Δut . Se Δn è il numero
dei domini in cui la circostanza è verificata, si ha per definizione di ψ :
ut +Δut
Δn
ψ(ut , x, t)dut = lim
N →∞
N
ut
da cui deriva l’inevitabile vincolo:
+∞
ψ(ut , x, t)dut = 1
−∞
La funzione ψ(ut , x, t) si chiama densità di probabilità della variabile ut ; con
uno spostamento dell’origine si può trasformarla nella ψ(u, x, t), densità di
probabilità della fluttuazione u. I vari momenti della distribuzione possono
essere calcolati mediante ψ ; si possono facilmente dimostrare le relazioni:
+∞
U (x, t) =
ut ψ(ut , x, t)dut
−∞
< (ut − U )
m
m
>=< u
+∞
>=
−∞
(ut − U )m ψ(ut , x, t)dut
che sono basate sull’uguaglianza:
dn
N
D’altra parte, è vero anche che ψ può essere dedotta per via matematica tramite
i momenti della distribuzione; il legame tra i momenti e la funzione è biunivoco2 . Dunque, l’insieme degli infiniti momenti e la funzione continua ψ(u, x, t)
sono strumenti del tutto equivalenti, per quanto riguarda la descrizione statistica del processo casuale; la densità di probabilità ψ è una grandezza che ne
riassume compiutamente le proprietà statistiche. La funzione stessa dovrebbe
risultare univocamente determinata dalle condizioni di contorno che mantengono la corrente. Si recupera in questa forma una relazione di dipendenza;
non le evoluzioni istantanee, ma i valori medi (o ψ ) risulteranno ripetibili e
controllabili dall’esterno.
ψdut =
2
Cfr. H. Tennekes, J.L. Lumley, A First Course in Turbulence, 6.2, The MIT Press, Cambridge,
1972.
63
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
È evidente che questo modo di vedere le cose riecheggia un procedimento
consueto nella fisica delle particelle elementari. Vi è tuttavia una differenza di
notevole importanza pratica. Nel caso delle correnti turbolente non vi è modo
di trovare ψ per via teorica, né i relativi momenti; tutto quello che si può fare
è trarre qualche indicazione qualitativa dalle equazioni che si ottengono per i
momenti di ordine più basso. Le equazioni tuttavia risultano sottodeterminate,
e quindi insolubili, senza l’ausilio di ipotesi aggiuntive. La maggior parte delle informazioni sui moti turbolenti derivano da misure sperimentali di valori
mediati nel tempo, nell’unica realizzazione della corrente che lo sperimentatore ha avuto sottomano. La funzione della teoria è quella di collocare questi
dati in un contesto; la cosa richiede che si stabilisca una relazione tra medie di
insieme e medie temporali, e questo viene fatto attribuendo al processo casuale un carattere di ergodicità. Si inizia supponendo che la densità di probabilità
ψ non dipenda dal tempo, che sia quindi:
∂ψ/∂t = 0
In tale caso si dice che il processo è stazionario in senso statistico, o in media; anche i momenti U , < um > risulteranno indipendenti dal tempo. Vigendo questa condizione, si può assumere per ipotesi che le medie temporali
calcolate in uno qualsiasi degli N campi:
T
1
ut ≡ lim
ut (t )dt
T →∞ T 0
T
1
m
um ≡ lim
u (t )dt
T →∞ T 0
coincidano con le medie di insieme:
ut =< ut >≡ U
um =< um >
L’ipotesi invocata si chiama ergodica, e presume che la successione temporale delle configurazioni di un unico campo sia equivalente, da un punto di vista
statistico, all’insieme delle configurazioni istantanee degli N campi, considerati in un istante qualsiasi. La correttezza dell’ipotesi può essere dimostrata
nei sistemi con dinamica hamiltoniana, o conservativi; per un sistema dissipativo come un fluido in movimento non esiste dimostrazione. Visto lo stato
dell’arte, possiamo dire che non vi sono elementi per dubitare che l’ipotesi sia
vera.
64
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
L’ipotesi ergodica costituisce un ponte tra l’impostazione teorica e le misure.
Nell’indagine sperimentale l’attenzione è rivolta alla determinazione dei primi momenti, essenzialmente del valore medio U (x) - le cui variazioni nel
dominio rappresentano l’oggetto principale della ricerca - o della varianza
σu2 ≡< u2 >, che rappresenta una misura dell’energia cinetica della fluttuazione. A meno di un fattore numerico3 σu 2 è infatti l’energia cinetica media
del fluido per unità di massa, dovuta alla componente variabile del campo di
velocità; moltiplicata per ρ dà la densità di questa stessa grandezza.
La deviazione standard σu viene usata come scala di velocità per la costruzione
di indici adimensionati; ad es. il rapporto:
σu
U
è spesso usato come indice di turbolenza di una corrente4 .
I rapporti:
< u3 >
σu3
< u4 >
σu4
rappresentano dei fattori di forma della distribuzione; il primo rivela la presenza di una eventuale dissimmetria in ψ - è infatti nullo per le distribuzioni
simmetriche - il secondo, la cosiddetta curtosi, ha a che vedere con la minore
o maggiore altezza della curva.
È bene precisare che il tempo richiesto per misurare con qualche certezza i
momenti sale rapidamente con il loro ordine; quelli di ordine superiore infatti dipendono in modo significativo da fluttuazioni sempre più rare, perché
di grande ampiezza. Di solito, la misura dei primi due dà una sufficiente informazione. È solo ultimamente che si è acceso l’interesse per i momenti di
ordine superiore, al fine di verificare il minore o maggiore scostamento della
3
Uguale a 3/2, nel caso che u stia per una componente della fluttuazione di velocità in un campo
statisticamente isotropo.
4
Alla lettera, si tratta di una definizione insensata, poiché U dipende dalla scelta del sistema di
riferimento. In realtà, è implicito che il sistema di riferimento sia dato dall’impianto sperimentale; U sta quindi a indicare la variazione dalla velocità media del dominio, perché la velocità
sulle pareti è sicuramente nulla.
65
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
curva ψ(u) dalla gaussiana; sono stati quindi fatti notevoli sforzi sperimentali
per acquisire momenti di ordine elevato. Indipendentemente dall’argomento
in cui queste misure si collocano - e che esula dai confini di questo corso ricordiamo che non vi è motivo di ritenere che la ψ(u) debba avere una distribuzione normale (gaussiana). La distribuzione delle velocità verticali nello
strato limite terrestre sicuramente non lo è, tanto per citare un caso noto; la
presenza del terreno rende la distribuzione dissimmetrica.
Funzioni di correlazione
Il campo fluttuante presenta, a prima vista, un aspetto disorganizzato; eppure è possibile tramite l’analisi statistica portare alla luce l’esistenza di una
struttura nella variazione di una generica grandezza, un insieme di scale che
dipende dai parametri globali della corrente. La tecnica che si impiega consiste nello studiare la correlazione che passa tra due eventi separati nello spazio, per quanto riguarda la determinazione delle scale di lunghezza, oppure sfasati nel tempo, per quel che riguarda le scale temporali. Indichiamo
con ψ(u1 , x1 , t1 ; u2 , x2 , t2 ) la densità di probabilità bivariata che esprime la
probabilità congiunta dei due eventi:
– u1o < u1 ≤ u1o + Δu1 , al tempo t1 nella posizione x1
– u2o < u2 < u2o + Δu2 , al tempo t2 nella posizione x2
per mezzo dell’integrale definito:
u1o +Δu1
u2o +Δu2
du1
ψ(u1 , x1 , t1 ; u2 , x2 , t2 )du2
u1o
u2o
Detto di passaggio, la nuova distribuzione soddisfa le condizioni:
+∞
ψ(u1 ; u2 )du2 = ψ(u1 )
−∞
+∞
−∞
ψ(u1 ; u2 )du1 = ψ(u2 )
e quella globale:
+∞ +∞
−∞
−∞
ψ(u1 ; u2 )du1 du2 = 1
che rimangono valide per qualunque valore di x e t.
66
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
La nuova funzione permette di calcolare il valore medio dei prodotti:
+∞ +∞
< u1 u2 >=
u1 u2 ψ(u1 , u2 )du1 du2
−∞
−∞
i quali risultano in generale variabili con le posizioni x1 e x2 e con i tempi t1
e t2 . Conviene, prima di procedere, introdurre esplicitamente la distanza s tra
le due posizioni e il ritardo r tra i due tempi:
x2 − x1 = s
t2 − t1 = r
Le funzioni < u1 u2 > si possono pertanto considerare dipendenti dalla
posizione x1 e dal tempo t1 , che localizzano il primo evento:
u1o < u1 < u1o + Δu1
e dagli spostamenti s e r che permettono di collocare nello spazio e nel tempo
il secondo:
u2o < u2 ≤ u2o + Δu2
Si ha in breve:
< u1 u2 >= f (x1 , t1 , s, r)
Tuttavia, se il campo è stazionario in senso statistico, qualunque valore medio
non può dipendere da un tempo assoluto. Limitando pertanto la nostra analisi
agli insiemi di campi che godono di questa proprietà, avremo:
< u1 u2 >= f (x1 , s, r)
e la scomparsa di t1 nella relazione funzionale indica che il risultato dell’operazione di media dipende solo dallo sfasamento temporale r tra i due eventi, e
non dall’istante in cui il primo dei due ha avuto luogo.
Per il carattere ergodico che è attribuito al processo, si ha inoltre:
u1 u2 =< u1 u2 >
avendo indicato con la barra il valore medio temporale:
T
1
u1 u2 = lim
u1 u2 dt
T →∞ T 0
Le funzioni del tipo < u1 u2 > si chiamano correlazioni; oppure autocorrelazioni nel caso che u1 e u2 rappresentino la stessa variabile misurata in punti,
o in tempi, diversi. Dalla teoria della probabilità sappiamo che la correlazione tra due quantità che fluttuano attorno a valori medi in modo indipendente
67
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
è uguale a zero. In tale situazione il valore medio del prodotto è uguale al
prodotto dei valori medi:
< u1 u2 >=< u1 >< u2 >= 0
e si annulla poiché il valore medio lineare di uno scarto è zero per definizione.
Non è vera la relazione inversa; una correlazione può essere nulla per ragioni
di simmetria, anche quando i due eventi non siano affatto indipendenti. Si
immagini, per fare un esempio, che per ogni valore di u1 la fluttuazione u2 non
possa che assumere uno dei due valori u2 = ±u1 , con uguale probabilità. È
scontato che in tale caso si abbia < u1 u2 >= 0, sebbene il risultato nasconda
un legame assai stretto tra i due eventi. Tuttavia, in mancanza di ulteriori
informazioni, una correlazione vicina allo zero è normalmente assunta come
indice di indipendenza. La cosa non è certa; d’altra parte, la rinuncia alla
categoria della certezza è implicita in ogni approccio probabilistico5 .
Le funzioni di correlazione compaiono in vario modo nello studio delle correnti turbolente. Correlazioni tra due diverse grandezze, o tra componenti diverse
del vettore velocità, calcolate nello stesso punto e senza alcun ritardo temporale (s = r = 0), si presentano spontaneamente nelle equazioni di bilancio
mediate. Si tratta di flussi dovuti all’accoppiamento di due campi fluttuanti,
che hanno importanza fondamentale nel plasmare i fenomeni di trasporto. Ne
abbiamo già parlato nella introduzione e vi torneremo sopra in seguito.
Le autocorrelazioni danno il valore medio del prodotto di una grandezza moltiplicata per se stessa, sfasata nello spazio o nel tempo. Ad es., i prodotti
medi:
< u(x)u(x + s) >= f (x, s)
< u(t)u(t + r) >= g(t, r)
5
I numerosi cialtroni che per decenni si sono esibiti, dietro congruo pagamento da parte dell’industria del tabacco, nell’affermazione che tra vizio del fumo e cancro al polmone non vi
era dipendenza provata - o in qualche affermazione dello stesso tenore, a riguardo di uno dei
tanti problemi simili - speculavano su una diffusa incomprensione della natura dell’inferenza
statistica. In effetti, nel comune sentire si vorrebbe che "altamente probabile" o "scarsamente
probabile" fosse sostituito da un "sì", oppure da un "no". Pur condividendo in molti riguardi il
desiderio, chi scrive è costretto a ricordare che la cosa non è possibile per la maggior parte dei
casi di qualche importanza.
68
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
rappresentano, nell’ordine, un’autocorrelazione spaziale6 e un’autocorrelazione temporale. La prima funzione è definita come valore medio del prodotto dei
valori di una stessa variabile, misurati a uno stesso istante in due punti separati
dalla distanza s. Nel caso che il campo sia uniforme nello spazio - turbolenza
omogenea - la dipendenza dalla posizione x risulterà fittizia, e l’autocorrelazione dipenderà solamente dalla distanza s tra i due punti; si avrà anche, per
simmetria: f (−s) = f (s). La seconda è data dal valore medio del prodotto
dei valori di una stessa grandezza misurata nello stesso punto, ma a due istanti
diversi separati dall’intervallo temporale r ; se il campo è stazionario in senso
statistico, la funzione di correlazione non dipenderà da t, ma solo dal ritardo:
g = g(r). Si avrà inoltre, ancora per simmetria: g(−r) = g(r).
Struttura geometrica del campo fluttuante. Scala integrale e spettro di
potenza
Le funzioni di autocorrelazione spaziale possono essere usate per porre in evidenza l’esistenza di una struttura geometrica nella parte fluttuante del campo.
Si introduce una loro espressione adimensionata:
1
cs (s) = 2 < u(x)u(x + s) >
σu
a cui si dà il nome di coefficiente di autocorrelazione spaziale, il quale viene
misurato per valori variabili della distanza s. Poiché è:
< u(x)u(x) >≡ σu2
il valore del coefficiente è sicuramente pari all’unità per s = 0; quindi va
diminuendo al crescere della distanza. È connotato essenziale delle correnti turbolente l’esistenza di una distanza massima Lmax , al di là della quale
la fluttuazione di qualsiasi grandezza risulta scorrelata. Le curve cs (s) presentano la forma schizzata in fig. 2.1; per s > Lmax , si ha un coefficiente di
correlazione nullo, o comunque talmente piccolo da non essere apprezzabile
tramite la misura.
6
Che il mondo sia tridimensionale viene in questa breve descrizione trascurato. Se introducessimo le tre dimensioni dello spazio avremmo, come è ovvio, più funzioni di correlazione
spaziale e una struttura più complessa; ma non aggiungeremmo alcun aspetto concettuale alla
fenomenologia delle correnti.
69
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
1
Cs
£
s
Fig. 2.1 – Coefficiente di autocorrelazione spaziale.
Questo andamento del coefficiente di correlazione mette in evidenza come nelle correnti turbolente non si possa trarre alcuna informazione dalla conoscenza
del valore di una variabile fluttuante u nel punto x, su quanto sta accadendo
della stessa variabile nel punto di coordinata x + s, con s > Lmax , neppure in termini di maggiore o minore probabilità. È evidente l’importanza di
Lmax ; per distanze maggiori di questa, il campo fluttuante si presenta come
completamente disorganizzato.
Forse perché difficile da misurare, Lmax viene normalmente sostituita
dall’area sottesa alla curva cs (s). In effetti,
∞
£=
cs (s)ds
2.1
0
ha le dimensioni fisiche di una lunghezza, e prende il nome di scala integrale euleriana; £ fornisce una misura, all’incirca, della distanza massima di
correlazione.
Definita questa distanza globale, si ritiene opportuno introdurre una pluralità di scale minori; a tal fine si decompone la funzione di correlazione
f (s) =< u(x)u(x + s) > in una distribuzione di funzioni sinusoidali di
diversa lunghezza d’onda, tramite un integrale di Fourier:
f (s) = ∞
iks
F (k)e
dk
2.2
−∞
La variabile di integrazione k si chiama numero d’onda; è data da k = 2π/λ,
ove λ sta a indicare la lunghezza d’onda della generica sinusoide.
70
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Nella 2.2 la funzione F (k) rappresenta una densità di energia cinetica - energia
per intervallo di numeri d’onda - e prende il nome di spettro di potenza. Per
s = 0, dalla 2.2 si ha infatti:
∞
2
2
f (0) =< u >= σu =
F (k)dk)
2.3
−∞
la quale suggerisce che l’energia cinetica della fluttuazione7 possa essere considerata come una somma di contributi, ciascuno dei quali associato a un diverso pacchetto di numeri d’onda. In altre parole, la quantità F (k)Δk rappresenta
l’energia che si misurerebbe dopo avere filtrato la funzione u(x) con un filtro
passa-banda che elimini tutte le componenti, fuorché quelle con numero d’onda compreso nell’intervallo tra k e (k+Δk). Si può stabilire, infatti, un legame
diretto tra la densità spettrale F (k) e i coefficienti A(k) della decomposizione
in componenti di Fourier della funzione spaziale di velocità u(x + s). Si consideri un insieme di registrazioni u(x + s) in un intorno di x di lunghezza 2L
e le si esprima con il consueto integrale:
u(x + s) = ∞
iks
A(k, x)e
dk
−∞
In questa espressione x figura come parametro, s è la variabile corrente, e
A(k, x) exp(iks)dk rappresenta la componente sinusoidale di u(x + s) che ha
numero d’onda k e ampiezza A(k, x)dk. Si può dimostrare che al crescere di
L si ha il limite8 :
1
F (k) → < A2 (k) >
2.4
L
che mostra come lo spettro F (k) rappresenti una misura dell’ampiezza quadratica media di quella componente di u che ha numero d’onda k. Pertanto
l’eliminazione tramite filtraggio di tutte le componenti della u(x + s), tran-
7
Stiamo interpretando u come una componente della velocità, il che giustifica che si parli di
energia cinetica. Tuttavia il senso della trattazione è talmente generico, che può essere riferito a
qualsiasi grandezza. Nell’analisi statistica dei segnali, < u2 > si chiama energia e F (k) spettro
di potenza, qualunque sia la grandezza misurata.
8
Si veda J. Hinze, Turbulence, Mc Graw Hill Book Company, London 1959, pp. 54 e sgg, per
una dimostrazione che conduce a una formula del tutto simile, sebbene riferita nominalmente
a una scomposizione del segnale nel dominio delle frequenze, invece che in quello dei numeri
d’onda.
71
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
ne quelle il cui numero d’onda si trova in un intorno Δk di ko , dà uno spettro
diverso da zero solo in quell’intervallo, e un valore medio di energia cinetica:
< u2 (ko ) >= F (ko )Δk
La rappresentazione dei campi turbolenti o delle funzioni di correlazione mediante integrali di Fourier9 è entrata nel linguaggio comune, ed è difficile che
ne esca. Il fatto deriva probabilmente dall’ampio uso che si fa di questa tecnica matematica nello studio dei fenomeni lineari. Conviene tuttavia ricordare
che nei processi lineari le singole componenti sinusoidali rappresentano soluzioni matematiche particolari - che possono essere sovrapposte nella ricerca
di soluzioni di forma diversa - e che in generale è possibile assegnare loro
un significato fisico ben preciso10 . Non è altrettanto chiaro che cosa rappresentino le singole componenti di una grandezza in un processo altamente non
lineare come quello di cui stiamo parlando. Il merito della scomposizione
del campo in funzioni sinusoidale di diverso numero d’onda è quello di dare
forma matematica all’idea che le correnti turbolente sono caratterizzate dalla compresenza di strutture di diversa scala geometrica; non è l’unico metodo
pensabile, né il più significativo in ogni configurazione, ma è sicuramente il
più diffuso.
Descrizione delle correnti turbolente nello spazio dei numeri d’onda
In ogni caso, la corrispondenza che viene stabilita dalle trasformate di Fourier
tra lo spazio fisico, o il tempo, e i domini astratti dei numeri d’onda o delle frequenze, permette di parafrasare le caratteristiche dei campi turbolenti in
nuovi termini. Una proprietà nota di una coppia di trasformate f (s), F (k) è
che l’estensione nello spazio fisico di f (s) sia inversamente proporzionale a
quella della sua trasformata nello spazio dei numeri d’onda; se f (s) ha la forma stretta di un picco, F (k) sarà larga in k, e viceversa (cfr. fig. 2.2). Questa
9
10
Oppure di Stieltjes, nella forma: u(x + s) =
Fourier nel caso che G(k) sia derivabile.
R∞
−∞
eiks dG(k, x), che si riduce a quella di
Ad es., nella dinamica ondulatoria classica una componente sinusoidale rappresenta un’onda di lunghezza d’onda assegnata, la quale si estende all’infinito nello spazio; nell’interpretazione quantistica, lo stato di una particella con energia esattamente nota e posizione del tutto
indefinita, ecc.
72
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
f
F
s
f
k
F
s
k
Fig. 2.2 – Coppie di trasformate di Fourier: indicazione qualitativa del legame che
intercorre tra l’estensione delle funzioni nello spazio fisico e in quello dei numeri d’onda.
proprietà può essere facilmente dimostrata quando f (s) appartenga ad una famiglia di curve autosimili, ottenibili una dall’altra mediante un cambiamento
di scala11 ; ma in senso qualitativo vale anche per coppie di trasformate qualsiasi. In genere, se Δ(s) e Δ(k) rappresentano le misure nel senso di Lebesgue
dell’ampiezza degli intervalli in cui f (s) e F (k) sono significativamente diverse da zero, il prodotto delle due misure non può scendere al di sotto di una
costante:
Δ(s)Δ(k) ≥ cost
2.5
Il valore della costante dipende dal tipo di misura prescelto per la larghezza
delle due funzioni, ma il fatto che l’uno risulti inversamente proporzionale
all’altro permane.
È interessante notare che la larghezza Δ(k) di uno spettro a righe ha in ogni
caso misura nulla, e quindi comporta una misura duale Δ(s) che va ad infi-
11
Cfr. l’appendice a questo capitolo.
73
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
nito. Questa proprietà delle trasformate di Fourier spiega per quale motivo il
carattere turbolento delle correnti venga associato alla presenza di uno spettro
continuo - provvisto di un valore di Δ(k) diverso da zero. Se così non fosse,
la distanza di autocorrelazione della parte fluttuante del campo risulterebbe illimitata, in contrasto con il dato sperimentale; spettro continuo e lunghezza limitata di correlazione sono dunque due proprietà formali solo apparentemente
diverse, che esprimono un’unica caratteristica dei campi di moto turbolento.
Microscala di Taylor
Per motivi che descriveremo in seguito, nelle correnti turbolente lo spettro
F (k) si estende verso numeri d’onda sempre più alti, al crescere dell’intensità
della fluttuazione. Si potrebbe pensare che qualsiasi lunghezza caratteristica
della funzione di autocorrelazione si riduca, di conseguenza, di uno stesso rapporto. Nella realtà le cose sono più complesse; la funzione di autocorrelazione
non si trasforma al variare di σu in condizioni di similarità. Quando σu cresce, la curva cs (s) mostra una minore correlazione per valori piccoli di s - per
misure eseguite con coppie di punti tra loro vicini - ma la distanza massima,
al di là della quale la correlazione si annulla, rimane immutata. Il fatto è che
la lunghezza Lmax è definita dalla dimensione lineare della massa più grande
di fluido che può assumere un moto parassitario coerente - diciamo rotatorio,
tanto per semplificare. Poiché questa dimensione lineare non può essere molto
diversa dalla larghezza trasversale Le della corrente turbolenta, si ha:
Le ∼ Lmax
ove Le è fissata dalla configurazione geometrica dei contorni. Nel moto turbolento all’interno di un tubo Le è determinata dal diametro; nella scia di un
ostacolo, è vicina alla dimensione lineare dello stesso (fig. 2.3); nello strato limite terrestre, infine, la struttura ricircolante formata dalle correnti ascendenti
a da quelle discendenti ha come lunghezza caratteristica l’altezza dello strato
limite.
In questi esempi Le appare con una scala imposta dall’esterno, in gran parte
indipendente dall’intensità della fluttuazione. Quello che accade con l’intensificarsi del campo fluttuante è che compaiono sempre più spesso strutture di
piccola scala - distribuzioni di velocità caratterizzate da una significativa e irregolare variazione della velocità in breve distanza. Tenuto conto del carattere
contorto e non ripetitivo di queste configurazioni, la loro maggiore incidenza
74
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Le
Le
Fig. 2.3 – Distanze massime di correlazione in correnti turbolente.
statistica rende progressivamente meno utilizzabile la conoscenza di quanto
accade in un punto, agli effetti della previsione di quanto accade in un punto vicino; è questo il senso della altrettanto progressiva caduta del coefficiente
di correlazione per piccole distanze. Tuttavia, configurazioni coerenti di scala
più grande continuano a sussistere, più o meno mascherate da quelle più piccole12 e impediscono per distanze inferiori ad Le che il fenomeno appaia del
tutto scorrelato.
L’insieme di queste considerazioni possono essere sintetizzate in una rappresentazione grafica per tramite di una famiglia di curve normalizzate cs (s/Le ),
ove si è assunta la scala esterna Le come unità di misura delle lunghezze. Le
varie curve sono distinte in base ai parametri di similitudine della corrente; se
i fenomeni termici non hanno rilevanza, l’unico parametro di similitudine significativo è il numero di Reynolds σu Le /ν e la famiglia di curve presenta
l’aspetto qualitativo schizzato in fig. 2.4. Si noti che la larghezza della regione fortemente correlata si va restringendo al crescere del numero di Reynolds,
che a sua volta cresce con l’intensità σu della fluttuazione. Tuttavia, il punto
12
Non fa differenza dal punto di vista dell’analisi statistica che le variazioni di piccola scala si
sovrappongano a quelle di scala maggiore, oppure che si alternino ad esse nel tempo con una
frequenza relativa sempre più alta.
75
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
1
Cs
Re
s
Fig. 2.4 – Andamento delle curve di correlazione al variare del numero di Reynolds.
in cui l’autocorrelazione si annulla rimane all’incirca fisso (s/Le ∼ 1), mentre
il rapporto £/Le tra scala integrale e scala esterna va diminuendo13 .
La constatazione che le curve cs (s/Le , Re ) non si trasformano al variare di
Re in condizioni di similitudine - e che quindi le lunghezze non variano come
una sola di esse, assunta come norma - suggerisce di introdurre una seconda
lunghezza, diversa da Le , a caratterizzare il progressivo restringimento della
zona fortemente correlata. La funzione cs (s/Le ) è funzione pari rispetto alla
variabile s/Le , per simmetria, e ha derivata prima continua, pertanto uguale a
zero, nell’origine14 . La curvatura è sicuramente negativa e noi pertanto possiamo scriverla, avendo adottato la variabile adimensionata s = s/Le , nella
forma:
2
Le
d2 cs
2.6
2 = −2
λ
ds
Nella 2.6 è stata fatta comparire una nuova lunghezza λ, in modo tale che risulti tanto più piccola quanto è maggiore la curvatura del diagramma. La nuova
lunghezza si chiama microscala di Taylor, dal nome dello studioso che per pri-
13
La qual cosa rende in alcuni aspetti fonte di equivoco la consuetudine di usare l’una come
misura dell’altra.
14
Così deve essere per le proprietà di simmetria dello spettro, su cui non stiamo ad argomentare;
ma è opportuno ricordarlo, perché nella maggior parte delle rilevazioni empiriche il raggio di
curvatura di cs (s/Le ) nell’origine risulta così piccolo, da creare l’apparenza di una cuspide.
76
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
1
λ Le
1
s'
Fig. 2.5 – Significato geometrico della microscala di Taylor.
mo la introdusse. Ad essa si può dare una semplice interpretazione geometrica,
notando che la parabola osculatrice di cs (s ) nell’origine ha equazione:
2
∗ 2 Le
c (s ) = 1 − s
λ
e quindi la coordinata s = λ/Le individua il punto ove la parabola interseca
l’asse delle ascisse (cfr. fig. 2.5).
È evidente dalla figura che λ si presta a rappresentare la larghezza della regione fortemente correlata; essa va diminuendo in concomitanza dell’estensione
di F (k) verso gli alti numeri d’onda ed entrambe le cose avvengono in corrispondenza di un incremento del numero di Reynolds. Vedremo in uno dei
prossimi paragrafi che questo fatto ha una spiegazione dinamica relativamente semplice; per ora limitiamoci a constatare che, risultando λ/Le funzione di
σu Le /ν , è inevitabile che λ venga a dipendere dalla viscosità cinematica. Si
tratta, in altre parole, di una scala interna diffusiva.
Funzioni di autocorrelazione lagrangiana
Le funzioni di autocorrelazione spaziale sono state utili a mettere in luce come il campo fluttuante possieda una molteplicità di scale geometriche, la maggiore delle quali individua l’estensione lineare della massa di fluido che può
assumere un moto parassitario15 in qualche misura coerente. Tuttavia, l’informazione geometrica non ci dice alcuna cosa sui tempi di permanenza di queste
15
Si intende con tale termine che questo aspetto del moto non dà contributo al trasporto di massa.
77
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
1
Cl
Tl
r
Fig. 2.6 – Scala integrale lagrangiana.
strutture. È esperienza comune che le grandi strutture vorticose rimangono a
lungo riconoscibili anche se trasportate dalla corrente - si pensi ai mulinelli che si distaccano dai piloni di un ponte; ma per misurare quanto a lungo,
occorre seguire la massa di fluido in movimento. Nasce in questo modo l’esigenza di una statistica lagrangiana. Si considerino i consueti N campi e una
classe di funzioni lagrangiane di velocità:
vt = vt (x, t)
accomunate dal fatto di rappresentare la velocità delle N particelle di fluido
che transitano al tempo iniziale per la stessa posizione geometrica, di coordinata x, degli N domini spaziali. Se il processo è stazionario in senso statistico,
l’analisi di queste N traiettorie deve dare un risultato equivalente a quello ottenibile con lo studio delle traiettorie di particelle che passano, in tempi diversi,
per uno stesso punto di un solo dominio, sempre di coordinate x. L’insieme
delle N funzioni vt (x, t) viene in tal caso sostituito da un insieme di realizzazioni vt (x, tn + r), ove tn figura come parametro che coglie l’istante in cui
la particella passa per il punto in questione, mentre r è la variabile temporale, corrente a partire da tn . Per l’ipotesi di stazionarietà, i risultati dell’analisi
statistica devono essere indifferenti alla scelta dei tn ; l’equivalenza statistica dei due insiemi è la forma assunta in questo contesto dalla condizione di
ergodicità.
78
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
L’analisi del comportamento delle funzioni lagrangiane procede in perfetta
analogia con quello delle funzioni euleriane, a parte il fatto che lo studio
dell’autocorrelazione e la scomposizione dei segnali vengono ora eseguite
nel tempo e non nello spazio. Si definisce un valore medio della velocità
lagrangiana:
V ≡< vt >
si scompone il campo nella sua parte media e in quella fluttuante:
vt = V + v
e si rappresenta l’energia della fluttuazione tramite la sua varianza:
σv2 ≡< v 2 >
La funzione di autocorrelazione < v(x, t)v(x, t + r) > permette di farsi un’idea dei tempi di permanenza di una particella di fluido all’interno di un volume
dotato di un atto di moto coerente. Poiché il processo è stazionario in media,
la funzione di autocorrelazione non può dipendere da t e, se il campo è omogeneo, neppure dalla posizione del punto di partenza delle traiettorie. Si ha
quindi:
< v(x, t)v(x, t + r) >= gl (r)
a cui si può dare forma adimensionata introducendo il coefficiente di
autocorrelazione lagrangiana:
< v(t)v(t + r) >
cl (r) =
σv2
Il coefficiente cl (r) è pari a 1 per r = 0, e si annulla definitivamente quando r supera il tempo massimo di correlazione del moto di una stessa massa
fluida. Si può assumere come misura di questo valore l’area sottesa alla curva
cl (r), che ha le dimensioni di un tempo e prende il nome di scala integrale o
macroscala lagrangiana (cfr. fig. 2.6):
∞
Tl =
cl (r)dr
0
La scala integrale lagrangiana compare spontaneamente nella previsione dei
processi dispersivi. Quando il campo di moto è stazionario e omogeneo in
senso statistico, la si può considerare come una grandezza caratteristica della corrente turbolenta da cui dipendono sia la velocità di decorrelazione degli
atti di moto, sia la dispersione nello spazio delle particelle di fluido. In realtà non si trovano in natura correnti turbolente omogenee, anche se qualcosa di
79
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
G
ω
1
10
102
103
Fig. 2.7 – Spettro di potenza di una corrente turbolenta nel dominio delle frequenze.
simile può essere prodotto in laboratorio. Nello strato limite terrestre, ad es.,
una particella catturata nel largo ricircolo costituito dalle correnti ascendenti
di origine termica e dal moto di subsidenza che le circonda, può permanere in
questo moto in qualche misura strutturato per una decina di minuti, e anche
più. Passa tuttavia per regioni diverse dello strato limite, di diversa organizzazione e dinamica. In tal caso non è possibile attribuite a Tl il significato di un
parametro globale della corrente; la cosa più ovvia sembra quella di interpretare il suo inverso 1/Tl come un indice della rapidità di decorrelazione di un
insieme di traiettorie uscenti da un punto assegnato - in altre parole, come un
parametro locale.
Infine, la funzione di autocorrelazione può essere scomposta in funzioni
sinusoidali del tempo nel modo consueto:
+∞
gl (r) =< v(t)v(t + r) >= Gl (ω)eiωr dω
−∞
ove Gl (ω) assume il significato di un nuovo spettro di potenza, il quale rappresenta la funzione di autocorrelazione nel dominio delle frequenze. Nelle correnti turbolente lo spettro Gl (ω) è continuo (cfr. fig. 2.7), in perfetta
corrispondenza con il carattere limitato dell’autocorrelazione temporale.
Si noti che Gl (ω) e F (k) portano uno stesso nome, ma non sono la stessa
cosa; il primo rappresenta una scomposizione nel tempo, il secondo nello spazio, della fluttuazione di velocità. Solo se il campo è omogeneo sussiste una
80
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
relazione integrale che li lega; si ha infatti in tal caso σu2 = σv2 , e quindi:
+∞
+∞
G(ω)dω =
F (k)dk
−∞
−∞
Un tipo di analisi di dubbia interpretazione: l’autocorrelazione temporale
euleriana
Abbiamo ricordato che l’analisi lagrangiana delle traiettorie è direttamente
connessa con la dispersione delle particelle, quindi con la matematica dei relativi modelli. D’altra parte, la rilevazione sperimentale di una famiglia di
funzioni lagrangiane di velocità è tutt’altro che semplice; occorre marcare un
numero elevato di particelle di fluido in modo che siano riconoscibili, oppure immettere in un punto del dominio un numero di corpi estranei fedelmente
trascinati dalla corrente e quindi seguirli nel loro moto, rilevando istante per
istante le tre componenti della loro velocità. Si può fare, ma è impresa di
grande momento; richiede mezzi e tempo, e non promette risultati di grande
precisione, almeno in campo aperto.
Le misure temporali più frequenti riguardano in realtà il comportamento di
una variabile misurata in un punto fisso: ad es., la funzione euleriana di velocità u(x, t) rilevata in x come funzione del tempo. Per eseguire la misura è
sufficiente disporre di un anemometro, collocato nel punto che interessa, e di
un qualsiasi registratore di segnale. Dall’elaborazione del quale si ottengono
direttamente un’autocorrelazione temporale:
ge (x, r) =< u(x, t)u(x, t + r) >
il relativo coefficiente
ce (x, r) =
una scala temporale euleriana:
Te ≡
ge (x, r)
σu2
∞
ge (r)dr
0
ed infine la corrispondente densità spettrale di potenza
+∞
1
Ge (ω) =
ge (r)e−iωr dr
2π −∞
data come trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione.
Se la misura è semplice, e l’elaborazione automatica e immediata - è sufficiente disporre di un analizzatore di segnale collegato all’anemometro - il signifi81
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
U
SM
U
Le
Fig. 2.8 – Strutture spaziali del campo di velocità, di scala esterna Le , che passano
per il punto fisso di misura SM con una velocità media U . Per un ritardo maggiore di
∼ Le /U non si può ragionevolmente attendersi alcuna correlazione; le particelle di cui
si confronta la velocità appartengono a diverse strutture coerenti.
cato da attribuire alle grandezze così ottenute è perlomeno dubbio. Per chiarire
la problematica sottintesa partiamo da un caso limite, immaginando che non
si abbia nella corrente alcuna decorrelazione lagrangiana. In una corrente di
tal fatta le particelle, che a un dato istante costituiscono una massa di fluido
dotata di moto coerente, conserverebbero questa loro prerogativa per l’eternità, poiché il moto di ciascuna di esse risulterebbe autocorrelato per un tempo
altrettanto lungo. Tuttavia anche in questo caso una misura a punto fisso rivelerebbe una progresiva decorrelazione; il segnale registrato darebbe infatti
la velocità di un insieme di particelle diverse che passano in successione per
il punto di misura, e porrebbe in luce il carattere limitato della correlazione
spaziale. Quando l’intera massa dotata di moto coerente fosse transitata a valle del punto di misura, non si troverebbe più alcuna correlazione per il buon
motivo che si starebbe misurando le velocità di particelle appartenenti ad una
diversa struttura spaziale del campo di moto (cfr. fig. 2.8). Dovrebbe essere
intuitivo come, eseguendo una misura a punto fisso, in realtà si effettui in tal
caso un’indagine sulla struttura spaziale del campo, sotto l’apparenza di una
ricognizione di caratteristiche temporali.
La situazione è simile a quella che si produrrebbe qualora si volesse individuare il profilo y(x) di una sagoma rigida, facendola trascorrere con velocità costante c per una stazione di misura SM (cfr. fig. 2.9). La distribuzione spaziale
y(x) si tradurrebbe nella funzione del tempo y(ct); una generica componente sinusoidale sin(kx), di numero d’onda k, in una funzione sinusoidale del
82
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
y(t)
y(x)
SM
c
Fig. 2.9 – Rilevazione di una configurazione spaziale y(x), tramite il moto relativo dello
strumento di misura. Con velocità relativa c, la funzione y(x) viene registrata dallo
strumento come funzione del tempo: y(x) → y(ct).
tempo sin(kct) di frequenza ω = kc. In generale, uno spettro F (k) nello spazio dei numeri d’onda darebbe lo spettro G(ω) nel dominio delle frequenze,
ottenibile dal primo con il semplice cambiamento di scala: k → ω/c.
Nello studio di una corrente turbolenta, il problema è reso più complesso dal
fatto che si sta svolgendo un’analisi statistica di configurazioni continuamente
variabili. Si può tuttavia supporre che una componente del campo di velocità con numero d’onda k dia contributo essenzialmente alla componente del
segnale temporale di frequenza:
ω = kU
ove U è il valore medio della velocità che intercorre tra il fluido e la sonda.
È come se la configurazione u(x) della velocità nello spazio fosse vista dalla sonda come: u(x/U ) = u(t); l’approssimazione è tanto migliore quanto
più è piccolo il rapporto σu /U , poiché al diminuire di questo diminuisce l’importanza relativa, rispetto al valor medio, delle variazioni di velocità con cui il
fluido transita per il punto di misura. Con questa ipotesi, dovuta a Taylor, le
caratteristiche temporali del segnale rilevato con una sonda dotata di velocità
relativa rispetto al fluido - questo è il significato da dare alla frase convenzionale misura a punto fisso - rappresentano un’immagine fedele delle corrispondenti caratteristiche spaziali, a cui ci si può ricondurre con un cambiamento di
scale, secondo lo schema:
t → x/U
83
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
ω → Uk
Ge (ω) → F (U k)
Te → Le /U
Le sostituzioni valgono per σu /U 1. Quando viene assunta la validità di
queste relazioni si usa dire che si adotta un modello di turbolenza congelata.
Relazione tra macroscale temporali
Nella realtà il tempo di correlazione lagrangiana non è infinito, e pertanto il
processo di decorrelazione osservato tramite una misura a punto fisso viene
influenzato da due fenomeni che in senso lato si sommano: la decorrelazione
spaziale tra particelle diverse, e la decorrelazione lagrangiana del moto di una
stessa particella. Nella maggior parte dei casi in cui vengono eseguite le misure, questo secondo aspetto è tuttavia di minore importanza; il tempo Le /U
impiegato dalla sonda ad attraversare un grumo di fluido16 dotato di moto coerente è infatti generalmente minore della macroscala lagrangiana Tl . Quindi
la tecnica di misura a punto fisso è nella sostanza un modo, più o meno approssimato, di rivelare la struttura spaziale del campo, utilizzando una sola
sonda.
Nonostante questo, nella letteratura sulla diffusione di inquinanti nell’atmosfera ha grande risalto l’argomento di come si possa dedurre la macroscala Tl
da Te ; tanto è vero che al relativo rapporto viene assegnato il simbolo fisso
β come se fosse la costante di Planck, o qualcosa di simile. Vi è un motivo per questo interesse; in un campo di turbolenza omogenea si può dedurre
l’andamento asintotico della dispersione di un insieme di particelle, facendo
affidamento sulla matematica dei processi casuali. Per t/Tl → ∞, la dimensione lineare d delle nube di particelle cresce con la stessa legge che si avrebbe
in un processo di diffusione molecolare:
d ∝ Dt t
salvo il fatto che Dt è ora il coefficiente di diffusione turbolenta già ricordato in precedenza, il cui valore può essere espresso mediante due grandezze
16
La velocità U ha il significato di velocità media relativa tra sonda e massa di fluido e può essere
incrementata muovendo la sonda in senso opposto alla velocità di quello.
84
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
caratteristiche del campo di velocità fluttuante:
Dt = σv2 Tl
A dire il vero, la turbolenza dello strato limite atmosferico cambia rapidamente struttura con la quota, e pertanto queste formule non possono essere
usate così come sono, al meno che uno non si limiti a studiare un processo
di dispersione che ha luogo in un piano orizzontale, ammesso che qualcosa di
simile possa veramente accadere. Tuttavia può essere utile avere un’idea del
comportamento asintotico in campo omogeneo - se non altro come termine di
confronto - e questo richiede la conoscenza di σv e Tl .
Abbiamo già detto che si può misurare la scala integrale Tl solo con grande
dispendio di mezzi e con estrema difficoltà. In compenso è facile misurare
Te ; era inevitabile che la tentazione di stabilire un nesso tra le due divenisse
irresistibile17 . La connessione tra le due scale è stabilita per mezzo di una
relazione del tipo:
βi = cost
2.7
dove β ≡ Tl /Te ed il simbolo i sta per il rapporto σu /U , che viene chiamato
indice di turbolenza.
Non sorprendentemente, i valori della costante che compare nella 2.7 risultano nella realtà molto vari, compresi tra ∼ 0.35 e ∼ 0.80. Poiché un tipico
valore di i nella turbolenza atmosferica è 0.1, questi dati comportano che il
rapporto Tl /Te può variare tra qualche unità e una decina. La 2.7 è a prima vista una strana espressione, che parrebbe voler stabilire una legge fisica tramite
grandezze che dipendono dalla scelta del sistema di riferimento. Tali sono infatti Ue , Te ; ma il loro prodotto Le ∼ U Te è in realtà invariante, e la 2.7 più
ragionevolmente andrebbe scritta nella forma:
Tl σu
= cost
2.8
Le
che ha il merito di essere una relazione tra tre grandezze che soddisfano il
principio galileiano di relatività.
La 2.8, più chiaramente della 2.7, mostra quale è l’aspetto del problema che
si vorrebbe risolvere: quello di stabilire un nesso di valore universale tra la
struttura nello spazio e l’evoluzione nel tempo delle velocità di una massa di
17
Un quadro dettagliato dell’argomento è contenuto nel libro:
Atmospheric Diffusion, sec. 2, John Wiley & Sons, 1983.
F. Pasquill, F.B. Smith,
85
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
fluido, dotata di un moto turbolento di energia assegnata. Vi è sottintesa l’idea che esista un equilibrio statistico invariante, verso cui il moto turbolento
evolve, indipendentemente dalle condizioni che lo hanno generato o che lo
mantengono. La diversità di valori che si trova sperimentalmente per la costante della 2.8 è tuttavia troppo vasta perché l’ipotesi si consideri confermata.
I moti turbolenti sviluppati si assomigliano tutti, in senso generico, ma la richiesta di proprietà universali viene soddisfatta solo in modo sommario, tanto
per usare un eufemismo.
2.2.
QUALCHE ELEMENTO DI DINAMICA DELLA TURBOLENZA
SVILUPPATA
Trasferimento di energia tra configurazioni di diversa scala geometrica
Il tratto saliente di un campo di moto pienamente turbolento è dato dalla presenza di distribuzioni di velocità con diversa scala geometrica, interagenti tra
loro. Sembra che il primo a proporre questa visione del fenomeno sia stato
nel 1922 L. Richardson, a cui si deve anche il concetto di cascata energetica. Vi è nei moti turbolenti un continuo divenire di configurazioni, a causa del
quale una differenza di velocità inizialmente distribuita su una distanza dell’ordine di Le , si troverà a essere distribuita, pur essendo ancora di entità non
trascurabile, su distanze sempre più piccole. Il processo di riduzione delle scale prosegue finché la diffusione di quantità di moto, esaltata dalla crescita dei
gradienti, non interviene direttamente ad annullare la differenza di velocità.
Da un punto di vista energetico il processo si configura come un passaggio di
energia cinetica turbolenta - l’energia della parte fluttuante del campo - dalle grandi scale verso quelle più piccole, che si arresta a una scala interna così
ridotta da permettere la dissipazione in calore dell’energia stessa, con una rapidità sufficiente a mantenere il bilancio globale in equilibrio. Se si vuole dare
a questo insieme di avvenimenti, per amor di chiarezza, una sequenza temporale ordinata, si può immaginare che grumi di fluido della stessa dimensione della larghezza trasversale della corrente assumano movimenti parassitari
di rotazione in qualche misura coerenti, a cui viene associata una variazione
massima di velocità che è dello stesso ordine, o qualcosa di meno, della variazione di velocità media che ha luogo nel dominio; e che in seguito questo
blocco di fluido si frammenti in configurazioni rotatorie di scala minore, inducendo differenze di velocità ancora significative su distanze ben più piccole
86
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
di Le , fino a raggiungere la scala dissipativa. In realtà è improbabile che si
possa osservare una sequenza così ordinata di avvenimenti; le varie fasi si presentano in generale sovrapposte, e altrettanto si può dire delle variazioni di
velocità corrispondenti. Tuttavia la distinzione, in una trattazione statistica,
non è essenziale.
La scala interna dissipativa è comunemente indicata con il simbolo η ed è
chiamata scala dissipativa di Kolmogorov. Al crescere di un numero di Reynolds della corrente opportunamente definito, il rapporto η/Le diviene sempre
più piccolo; in buona parte delle situazioni dello strato limite atmosferico, ad
es., passano svariati ordini di grandezza tra la scala esterna del moto e quella
interna dissipativa.
La separazione del campo di velocità in componenti di diversa lunghezza caratteristica non ha valore meramente descrittivo. Essa è il punto di partenza di
un tentativo di interpretazione della dinamica della componente fluttuante del
campo di velocità, perché permette di distinguere le configurazioni che evolvono senza essere influenzate dalla viscosità - quelle di maggiore dimensione
- da quelle più piccole, ove la viscosità ha un ruolo determinante. Il fatto che
nella dinamica delle scale maggiori la viscosità possa essere trascurata, almeno nella maggior parte dei casi, porta a una riduzione delle variabili significative del problema, e questa a sua volta apre la strada verso alcuni risultati
interessanti, deducibili tramite considerazioni dimensionali.
Prima di procedere, spendiamo qualche parola su un aspetto semantico. Negli
scritti di teoria della turbolenza, l’articolazione del campo in strutture di diverse lunghezza viene introdotta affermando che esso è formato di eddies di
diversa misura. Eddy è parola inglese che andrebbe tradotta come mulinello
o vortice, se non fosse che i termini italiani si portano dietro un’idea di forma
che il termine inglese non ha, almeno nella convenzione dei testi di fluidodinamica; può essere utile conservare il termine anglosassone, considerandolo un
neologismo. Il nome non è tuttavia sufficiente a spiegare di che cosa si tratti;
in realtà molti autori avvertono che l’eddy è un concetto intuitivo, utile nella descrizione della dinamica della turbolenza, ma definito in modo piuttosto
vago18.
18
Cfr. D.J. Tritton, Phisical Fluid-dynamics, 20.8, Van Nostrand Reinholds Company, London
1977.
87
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
δu
δu
δun
Le
x(Ut)
ln
Fig. 2.10 – Campo di moto turbolento: distribuzione di velocità nello spazio, oppure
tracciato temporale di velocità misurato a punto fisso e ricondotto alla distribuzione
spaziale mediante l’ipotesi di Taylor. Sono indicate le variazioni di velocità misurabili a
due diverse distanze, quella della scala esterna della corrente e quella di un generico
eddy di ordine n.
Gli eddy non sono singole componenti di Fourier del segnale ma elementi
di una suddivisione più grossolana, in qualche misura arbitraria, che tuttavia
permetta di considerare vere le seguenti affermazioni:
– a ciascuno di essi è attribuibile una lunghezza caratteristica ln e una
differenza di velocità σun . Quest’ultima è scelta in modo da rappresentare l’ampiezza della variazione di velocità che si misurerebbe
avendo disposto due sonde nella corrente a distanza ln . Si osservi il diagramma di fig. 2.10; in esso è riportato qualitativamente uno
specimen di distribuzione istantanea di velocità di una corrente turbolenta, in funzione di x. Se indichiamo con δun la differenza tra le
velocità misurate a uno stesso istante dai due sensori posti a distanza
ln in uno degli N campi dell’insieme teorico, possiamo assumere come suo valore rappresentativo la radice del relativo scarto quadratico
medio19 < (δun )2 >. La velocità assegnata all’eddy di ordine n è
pertanto:
σun ≡ < (δun )2 >
19
Si può anche operare su un tracciato temporale u(t) registrato a punto fisso, purché si interpreti
la variazione di velocità che si misura nel periodo rn come una variazione spaziale distribuita
sulla distanza ln = U rn , in accordo con l’ipotesi di Taylor. La media di insieme può essere
quindi sostituita nella pratica da una media temporale.
88
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
(a)
x
(b)
x
Fig. 2.11 – (a) Segnale completo - (b) segnale filtrato.
– l’energia cinetica media della parte fluttuante del campo è data dalla
somma delle energie cinetiche dei diversi eddy:
2
< u2 > σun
σu2
≡
=
2
2
2
n
Assicurate queste proprietà, non è importante quale sia esattamente lo schema
di suddivisione seguito. Tuttavia, se si vuole uscire dal vago si può immaginare
di far coincidere la scala esterna della corrente con la lunghezza caratteristica
dell’eddy più grande: lmax ∼ Le , e quindi generare una cascata di eddy più
piccoli secondo uno schema di suddivisione comunemente adottato20 , del tipo:
ln = cn lmax
dove è:
n = 1, 2, 3......
e c è una costante compresa fra zero e uno; la successione si arresta quando si
raggiunge la scala dissipativa.
Le lunghezze ln permettono di individuare una successione ascendente di numeri d’onda: kn = 2π/ln . Si può dividere il supporto dello spettro di potenza
in bande centrate sui valori kn - di ampiezza proporzionale a kn , tale che sommando le bande si reintegri l’intero supporto - e attribuire all’eddy di ordine n
20
Cfr. U. Frisch, Turbulence, 7.3, Cambridge University Press, 1995.
89
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
tutte e sole le componenti dello spettro che si trovano all’interno della banda
corrispondente21. Ne deriva lo schema seguente:
– la lunghezza caratteristica degli eddy è 2π/kn , essendo kn il punto
centrale della banda;
– la variazione di velocità da esso prodotta in uno degli N campi è data
dalle componenti di Fourier appartenenti alla banda in questione;
– la sua velocità caratteristica è data dalla radice del valore quadratico
2 delle corrispondenti variazioni di velocità.
medio σun
In formula si ha:
2
σun
ove:
kn +Δkn /2
=
F (k)dk
2.9
kn −Δkn /2
Δkn ∝ kn
Si noti che non è superfluo assumere la larghezza di banda proporzionale a kn .
Si tratta di una condizione che vuole limitare l’escursione dei numeri d’onda
delle componenti di Fourier assegnate ad un eddy ad una percentuale costante
del valore del centro della banda, e serve a rendere di valore generale la discussione che segue sul carattere locale del trasferimento di energia. Infine, si
può osservare che il tutto ha l’aria di un modello a parametri concentrati.
Il considerare un solo eddy per volta è equivalente a filtrare i segnali che costituiscono il processo casuale, eliminando tutte le lunghezze d’onda molto
maggiori o molto minori di ln . Un segnale come quello rappresentato in
fig. 2.10 verrebbe trasformato dall’operazione di filtro in quello schizzato in
fig. 2.11(b); non è difficile comprendere come l’ampiezza del segnale filtrato
sia stretta parente della variazione δun , definita in precedenza sul segnale integro. Infine una generica particella di fluido sarà in generale soggetta a tutta
la famiglia di eddy e le sue variazioni di velocità saranno date da:
u=
δun
n
21
Nell’assegnare all’eddy un intero pacchetto di numeri d’onda, di larghezza Δk, si impone
a questa struttura di avere una dimensione spaziale limitata, cfr. 2.5. Una sola componente
sinusoidale si estenderebbe fino all’infinito in entrambe le direzioni.
90
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
mentre l’energia cinetica media per unità di volume risulterà:
2
ρσ 2
ρ ρσu2
un
=<
δun
>=
2
2
2
n
n
Nell’espressione dell’energia cinetica sono scomparsi i doppi prodotti, perché si ritiene che variazioni dovute a componenti di lunghezza d’onda molto
diversa siano tra loro indipendenti, il che implica:
per n = m.
< δun δum >= 0
Note le velocità e le lunghezze caratteristiche si può assegnare agli eddy un
tempo:
tn = ln /σun
che viene chiamato tempo di rivolgimento, o qualcosa di analogo22.
Il significato fisico che si può dare a tn dipende da quale aspetto del moto
fluido si consideri. Immaginiamo un grumo di fluido di dimensione lineare
ln , soggetto al moto dell’eddy corrispondente (fig. 2.12), quindi con variazioni
di velocità al suo interno mediamente di ordine σun . Se si considera l’aspetto di moto rigido del fluido, tn è vicino al tempo medio richiesto perché il
grumo ruoti su se stesso, la qual cosa probabilmente spiega il nome assegnatogli. Ma se si riflette sul moto di deformazione si può dare a tn un significato
più importante, quello di tempo necessario perché il volume di fluido cambi
forma in modo apprezzabile. Si immagini che il volume di fluido sia soggetto ad un moto di stiramento, sia pure saltuario, in una direzione qualsiasi
(cfr. fig. 2.13). Poiché il grumo di fluido va considerato di volume costante, o
quasi, l’allungamento in una direzione comporta il restringimento della sua sezione nel piano ortogonale, e quindi l’avvicinamento di particelle inizialmente
a distanza ∼ ln . Il tempo necessario perché la lunghezza nella direzione dello
stiramento vari in modo apprezzabile, diciamo con una variazione dell’ordine
di ln , è ancora in media: tn ∼ ln /σun .
Nella sua genericità, questo processo di deformazione è nella sostanza simile
a quello che abbiamo presentato come stiramento dei vortici23 . La compo-
22
In inglese, turnover time. Non ci siamo convertiti all’italo-americano che è di voga in questi
anni; è che manca in italiano una convenzione affermata su questi argomenti.
23
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 4.4.
91
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
ln
Fig. 2.12 – Moto di rotazione di un grumo di fluido di scala ln , considerato come un
corpo rigido.
l < ln
ln
Fig. 2.13 – Moto di deformazione di un grumo di fluido di scala ln .
nente del vettore vorticità parallela all’asse dello stiramento si intensifica e
l’avvicinarsi di particelle inizialmente a distanza ∼ ln , dotate di velocità relativa ∼ σun , può essere visto come una riduzione di scala geometrica nella
2 . Dividendistribuzione dell’energia cinetica coinvolta, la quale vale ∼ ρσun
do per il tempo in cui avviene il passaggio di energia, si ottiene la potenza del
trasferimento tra le diverse scale, che ha luogo in un volume unitario di fluido:
F∼
92
3
ρσun
ln
2.10
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
a cui si dà il nome di flusso, sebbene abbia le dimensioni fisiche [ML−1 T−3 ],
diverse da quelle [MT−3 ] del termine a cui noi abbiamo fino ad ora riservato
questo nome24 .
Prima di trarre delle conclusioni dalla 2.10 conviene soffermarsi su un paio di
aspetti:
– nel descrivere il moto di deformazione si è supposto che il grumo di
fluido di dimensione lineare ∼ ln sia soggetto soltanto al campo di
moto dovuto all’eddy di stessa scala. La cosa in sé è del tutto arbitraria, e più corretto sarebbe considerarlo soggetto simultaneamente a
tutti gli eddy. Si pensa tuttavia che questo non cambierebbe in modo
significativo l’analisi del moto di deformazione del grumo di fluido,
né quella del trasferimento di energia. Le componenti del moto con
lunghezza d’onda molto più grande di ln non danno contributo significativo al moto di deformazione, poiché ad esse sono associate
variazioni di velocità un poco più grandi di δun , ma distribuite su
distanze di gran lunga maggiori (cfr. in fig. 2.10 le variazioni di velocità di lunghezza d’onda ∼ Le con quelle di lunghezza d’onda ∼ ln );
risulta pertanto trascurabile il loro contributo alla velocità di deformazione, che è proporzionale a δun /ln . In altri termini, gli eddy di
scala maggiore di ln agiscono sul grumo di fluido, ma lo trasportano
quasi in blocco, senza ruotarlo né distorcerlo. In quanto alle componenti del campo di moto con lunghezza d’onda decisamente più
piccola di ln , il loro effetto globale è ugualmente poco significativo
sul moto di deformazione del grumo, poiché inducono al suo interno deformazioni di segno opposto, che sulla scala ln mediamente si
annullano. Su questi argomenti si basa in sostanza l’asserito carattere locale dell’interazione tra le componenti del campo; si ritiene
che lo scambio di energia sia dovuto all’accoppiamento non lineare tra componenti di lunghezza d’onda poco diversa, poco al sopra e
poco al di sotto di ln , e quindi all’espressione 2.10 si attribuisce validità generale. Da essa appare chiaramente come il trasferimento di
energia tra scale sia un processo che può essere riferito a un singolo
24
In molti testi si fa riferimento a una massa unitaria, invece che a un volume unitario; la diversa
convenzione comporta la scomparsa di ρ dalle formule.
93
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
eddy per volta, perché il trasferiemto che ha luogo a livello ln della
cascata dipende solo dalle grandezze ln e σun .
– una volta che sia accettato questo punto di vista, la 2.10 può essere
considerata come dedotta tramite pure considerazioni di omogeneità
dimensionale. In effetti la 2.10 è l’unica espressione dimensionalmente corretta per F , ottenibile con le grandezze ln , σun , ρ.
Campo omogeneo e isotropo
Il coefficiente numerico che dovrebbe comparire nella 2.10 è incognito e non
è detto a priori che debba essere uguale per tutti gli eddy. Potrebbe esservi
un fattore di forma, dovuto a una diversa incidenza statistica nei vari eddy di
configurazioni con particolare topologia, a renderlo variabile; ma se si suppone che il campo sia omogeneo e isotropo in senso statistico a qualsiasi scala,
anche questo possibile fattore di diversità viene a cadere. Gli eddy non risultano distinguibili che per le scale ln e σun , e il coefficiente della 2.10 dovrebbe
risultare una specie di costante universale.
In condizioni di equilibrio statistico, il flusso medio di energia attraverso i vari
eddy deve essere costante. Si ha pertanto, finché si rimane al di sopra della
scala dissipativa:
3
σun
= cost
ln
2.11
per qualsiasi n. E da questo, grazie alle considerazioni precedenti si deduce:
σun ∝ ln1/3
2.12
tn ∝ ln2/3
2.13
σun
∝ ln−2/3
ln
2.14
Le scale che obbediscono alle 2.11- 2.14 costituiscono il dominio inerziale, che
nel lessico di questo corso sarebbe meglio chiamare convettivo, caratterizzato
dalla irrilevanza dei processi viscosi.
Le 2.12, 2.13, 2.14 mostrano che le differenze di velocità e i tempi di rivolgimento si riducono più lentamente delle lunghezze caratteristiche, mentre i
gradienti di velocità vanno crescendo col diminuire di ln (cfr. 2.14). Le relazioni hanno il merito, non da poco, di dare forma a un aspetto delle correnti
94
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
turbolente più volte ricordato: particelle con proprietà diverse - in questo caso
con diversa velocità - inizialmente lontane tra loro vengono a trovarsi vicine,
sia pure saltuariamente, senza che la loro differenza di stato sia stata livellata.
È questo processo che porta come risultato medio all’esaltazione dei gradienti
e all’accelerazione dei fenomeni diffusivi.
Si possono riscrivere le relazioni precedenti facendovi comparire il valore medio della funzione di dissipazione; è vero infatti che in condizioni di equilibrio
la potenza del trasferimento di energia verso scale più piccole deve uguagliare la rapidità di dissipazione che in queste ha luogo. Conservando il simbolo
D per la funzione di dissipazione riferita all’unità di volume, e trascurando
l’indicazione di media < • > per non appesantire la scrittura, si ha:
3
ρσun
= D = cost
ln
per qualsiasi eddy, così che le 2.12 - 2.14 possono essere riscritte come:
ln D 1/3
σun ∝
ρ
2 1/3
ρln
tn ∝
D
σun
D 1/3
∝
ln
ρln2
F=
2.15
2.16
2.17
2.18
La nuova forma25 giustifica un concetto comunemente ripetuto, quello per cui
è il valore medio della funzione di dissipazione a determinare in modo univoco
la struttura della turbolenza omogenea e isotropa. La cosa è formalmente vera,
e ha alle sue spalle una lunga storia, ma non aiuta a ricordare il punto cruciale
di questa descrizione fenomenologica: l’assunzione a priori che la dinamica
delle grandi scale sia indipendente dalla viscosità, e quindi indipendente dalla
dissipazione. In questo quadro, il rapporto tra la dinamica delle grandi scale e la funzione di dissipazione andrebbe visto in una prospettiva rovesciata:
è la dinamica puramente convettiva delle prime - il flusso di energia verso il
basso - a determinare in modo univoco il valore medio della dissipazione. La
viscosità interviene in scale minori, ove blocca ogni ulteriore processo di ri-
25
Anche in queste formule si introduce spesso una funzione di dissipazione per unità di massa; il
che comporta semplicemente la scomparsa di ρ.
95
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
duzione delle lunghezze caratteristiche. L’ordine di grandezza η della scala
dissipativa può essere calcolato imponendo che a questo livello la rapidità del
processo diffusivo eguagli la rapidità del cambiamento di scala; ad es., imponendo che il tempo η/σuη con cui una differenza di velocità viene trasferita a
una scala minore sia all’incirca pari a quello η 2 /ν , impiegato dalla viscosità a
cancellarla. Dall’equivalenza dei due termini si ha:
ησuη ∼ ν
e con la sostituzione 2.16:
1
σuη ∼ (ηD/ρ) 3
si ottiene la scala dissipativa:
1/4
ρν 3
2.19
D
a cui si possono far corrispondere una velocità ed un tempo caratteristici,
tramite la 2.16 e la 2.17:
νD 1/4
σuη ∼
2.20
ρ
ρν 1/2
tη ∼
2.21
D
Le grandezze η , σuη , tη rappresentano delle scale interne, non dissimili in
senso lato da quelle trovate in altri settori della fluidodinamica; può essere
interessante esprimere il loro rapporto con le scale esterne Le , σu , Le /σu .
Poiché l’energia cinetica dei vari eddy cresce con la potenza 2/3 della scala
geometrica (cfr. 2.16), sono le scale più grandi a contenerne la maggior parte.
Si può quindi, in una stima a palmi, ritenere che quella contenuta nell’eddy di
scala Le sia come ordine di grandezza vicina a ρσu2 , essendo questa l’energia
per unità di volume dell’intero campo fluttuante. Allora, dalla 2.15 si ha:
η=
ρσu3
∼D
Le
che sostituita nella 2.19 permette di dedurre prima il rapporto:
η
∼ Re−3/4
Le
e quindi quelli:
σuη
∼ Re−1/4
σu
t η σu
∼ Re−1/2
Le
96
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Il simbolo Re sta a indicare in questo caso il numero di Reynolds costruito con
le scale esterne della corrente:
σu Le
Re =
ν
La prima di queste relazioni rivela che il processo turbolento si estende su un
ventaglio di scale, i cui estremi si vanno divaricando al crescere del numero di
Reynolds; e poiché la scala più grande è fissata da condizioni esterne, il fatto
implica che compaiano scale sempre più piccole.
Estensione della teoria statistica della turbolenza omogenea e isotropa alle
correnti reali
Le conclusioni che abbiamo tratto si basano sull’ipotesi che la corrente sia
omogenea e isotropa. In realtà nessuna corrente turbolenta reale ha caratteristiche così favorevoli alla semplificazione matematica. La fluttuazione turbolenta di scala integrale, che nella teoria citata appare come un dato, trova
nelle correnti reali alimento nelle differenze di velocità del campo medio. Il
primo passo della cascata energetica è dovuto al trasferimento di energia dal
moto medio alle componenti della fluttuazione di scala ∼ Le ; le scale maggiori vanno considerate moti parassitari, resi possibili dalla libertà di rotazione,
i quali interessano tutta la dimensione trasversale della corrente e quindi sono influenzati inevitabilmente dalla configurazione geometrica del dominio
all’interno del quale viene forzato il moto. Le grandi scale pertanto non sono né omogenee né isotrope; si può tranquillamente escludere che nel campo
di velocità ad esse associato le variazioni su una giacitura parallela alla parete
risultino statisticamente equivalenti a quelle che si trovano in direzione normale. La presenza di componenti del moto di più piccola scala può confondere la
visione istantanea; ma uno studio statistico, basato sulla correlazione di velocità tra punti diversi, permette di ritrovare figure tridimensionali chiaramente
influenzate dalla geometria del dominio. Per intendersi, le strutture tipiche di
una scia a valle di ostacoli - di una collina, o del pilone di un ponte - che possono essere considerate come esempi di dinamica vorticosa laminare, sussistono
anche se la corrente è turbolenta; sono semplicemente più difficili da individuare. Quello che accade nelle strutture di scala più piccola è meno certo;
poiché le scale minori sono generate a seguito di una complicata sequenza di
rotazioni e deformazioni del fluido, si può ritenere che in questo confuso processo gli elementi di caratterizzazione topologica contenuti nelle grandi scale
vadano persi, e che la struttura degli eddy di scala minore sia statisticamente
97
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
isotropa. Quanto debbano essere piccole le scale affinché questo si avveri non
può che dipendere dalla distanza che intercorre tra il punto in cui si analizza
il fenomeno e la parete che condiziona la corrente. Se LP è la distanza dalla
parete, è possibile che gli eddy locali di scala geometrica ln LP siano statisticamente isotropi e che la regione che li contiene possa essere considerata
omogenea; si può quindi attribuire loro le leggi di scala ricordate nel paragrafo precedente. In particolare, qualora la condizione ln LP lasci spazio a
scale ancora notevolmente più grandi della scala dissipativa - la cosa dipende
dal numero di Reynolds e dalla distanza dalla parete - si può immaginare che
esista localmente un dominio inerziale che obbedisce a leggi del tipo 2.16:
σun ∝
ln D
ρ
1/3
e simili, i cui coefficienti dovrebbero risultare delle costanti universali.
Vale la pena di ricordare che le relazioni citate in realtà escludono dal novero delle grandezze significative la viscosità, nonostante che la presenza della
funzione di dissipazione dia un potente contributo alla confusione delle idee;
quella trascritta è tuttavia la loro forma canonica. La presenza di D non toglie
che connotato essenziale di questa rappresentazione sia, anche in questo caso,
l’esistenza di un intervallo di scale - chiamato ancora dominio inerziale - che
è caratterizzato da una duplice condizione di indipendenza:
– non è influenzato dai confini della corrente e quindi si può
considerare isotropo ed omogeneo;
– non dipende dalla viscosità.
Lo schema del trasferimento di energia che vi corrisponde è delineato nello
schizzo di fig. 2.14; l’energia cinetica passa dal moto medio alla fluttuazione turbolenta tramite le strutture vorticose di grande scala - le quali sentono
l’influenza delle pareti - e finisce dissipata in calore nelle scale viscose. Nel
mezzo, se il numero di Reynolds è sufficientemente alto da consentire l’esistenza di un dominio intermedio, l’energia transita attraverso una successione
di strutture così piccole da ignorare la presenza delle pareti, e tuttavia ancora
così grandi da non sentire gli effetti viscosi. Le strutture di grande scala sono qualche volta indicate come gli eddy contenenti energia, poiché in effetti
possiedono buona parte di quella complessiva.
98
2.
Moto
medio
Strutture
vorticose di
grande scala
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
scala Le
scala ≤ Le
Dominio
inerziale
scala ln; Le >> ln >> η
Strutture
dissipative
scala η
Fig. 2.14 – Schema del trasferimento di energia in una corrente turbolenta.
Commento alla teoria statistica. Il problema dell’intermittenza
La descrizione della dinamica della turbolenza omogenea e isotropa è dovuta
a più autori che sono giunti nella sostanza alle stesse conclusioni. Essa viene
usualmente associata al nome di Kolmogorov, uno scienziato russo che vi ha
dedicato una serie di scritti a partire dal 1941. La scala dissipativa η porta il
suo nome, come la distribuzione dell’ampiezza delle variazioni di velocità in
funzione del numero d’onda k. Scritta in termini di spettro di potenza, questa
legge assume la forma:
2/3
D
F (k) ∝
k−5/3
2.22
ρ
e viene chiamata familiarmente la legge −5/3 di Kolmogorov, sebbene la si
rintracci per la prima volta in un lavoro di un allievo di questi26 .
26
Obukhov, 1941.
99
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
La 2.22 è del tutto equivalente alla 2.16, dalla quale si può facilmente dedurre
tramite la 2.9.
Il fatto che altri autori abbiano trovato gli stessi risultati indipendentemente,
sembra, da Kolmogorov - il quale scriveva in cirillico27 - non è strano. La
teoria si basa su pochi elementi essenziali; una volta accettata la compresenza
di strutture di scala diversa, già suggerita da Richardson, e la loro interazione
non lineare, rimangono:
– l’ipotesi che la dinamica delle grandi scale non sia influenzata dalla
viscosità;
– l’ipotesi che l’interazione non lineare sia dovuta principalmente a
componenti di scala poco diverse, da cui deriva il cosiddetto carattere
locale del trasferimento di energia;
– la constatazione che in condizioni stazionarie il flusso di energia
cinetica deve eguagliare la potenza della dissipazione viscosa.
Tutte le formule che ne conseguono possono essere dedotte in base a semplici
considerazioni di carattere dimensionale.
Le idee contenute nella teoria, a rigore valida solo in un’ipotetica corrente
omogenea e isotropa, sono per buona parte illuminanti anche nei confronti
delle correnti reali. Alcune proprietà note vi trovano immediata spiegazione;
ad es., nel quadro della teoria si inserisce senza alcuna difficoltà il fatto che
esista un limite finito, proporzionale a ρ U 3 /L (cfr. 1.2), verso cui tende la potenza dissipata da una corrente turbolenta quando si faccia tendere la viscosità
a zero, tutti gli altri parametri rimanendo costanti. Se il trasferimento di energia è un fenomeno unidirezionale, allora la potenza del processo è determinata
in modo univoco dall’interazione - sempre meno influenzata dalla viscosità al
crescere di Re - tra moto medio e vortici di grande scala.
Anche l’esistenza e l’importanza di una configurazione asintotica dei campi
di velocità, per Re → ∞, emerge con chiarezza. Al crescere del numero di
27
I lavori più importanti si trovano ora tradotti in molte lingue, cfr. Proc. R. Soc. Lond. A 434,
pp. 9-13, 1991, ibidem pp. 15-17, e il loro contenuto spiegato in lungo e in largo in molti
libri, cfr. U. Frisch, Turbulence. The Legacy of A. N. Kolmogorov., Cambridge University Press,
Cambridge 1995.
100
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Reynolds, la viscosità agisce solo su scale progressivamente più piccole, mentre l’ampiezza del dominio puramente inerziale si estende verso il basso, in
questo modo precisando in un dettaglio sempre più fine una struttura destinata a non modificarsi per ulteriori incrementi di Re . Si può osservare a questo
riguardo che anche l’esatta natura dei processi dissipativi si rivela al limite
insignificante, dal momento che influenza solo strutture destinate a divenire
sempre più piccole. Quindi - sembrerebbe di poter concludere - la configurazione delle correnti turbolente tende a una forma asintotica unica, qualunque
sia l’equazione costitutiva del fluido; che esso sia o no newtoniano, ad es., non
dovrebbe fare differenza. La cosa risulta vera in termini descrittivi.
D’altra parte, non tutti i fatti noti si inquadrano così facilmente in questo contesto. Il concetto che il dominio inerziale fosse indipendente dalla forma specifica di una data corrente - la sua pretesa universalità, per dirlo in parole consuete - era stato criticato nel 1944, appena dopo la sua comparsa, da Landau
in base a considerazioni teoriche. Il senso della critica di Landau non è così
chiaro, se è vero che quelli che la citano vi aggiungono immancabilmente una
loro personale interpretazione28 . Tuttavia, anche rimanendo sul piano dei risultati sperimentali, vi sono aspetti che non si collocano facilmente all’interno
della teoria.
Uno, assai noto e discusso, è la possibilità di rilevare non previsti fenomeni
di intermittenza nelle piccole scale. Secondo la concezione di Kolmogorov le
correnti turbolente con uno stesso flusso di energia, e quindi con uno stesso valore medio della funzione di dissipazione, dovrebbero risultare indistinguibili,
almeno per quanto riguarda le componenti di numero d’onda sufficientemente
elevato (piccola lunghezza d’onda), essendo tutte caratterizzate da una totale assenza di struttura. Anche la fluttuazione al livello di un eddy qualsiasi
dovrebbe risultare indistinguibile da quella di un altro, salvo il cambiamento
di scala per velocità e lunghezze; l’auto-similarità è conseguenza del carattere del tutto casuale del processo29. In realtà, se si elimina con un filtro dal
28
Cfr. U. Frisch, op. cit. 6.4.
29
L’informe non si distingue.
101
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
t
Fig. 2.15 – Tracciato di velocità turbolenta, da cui sono state eliminate le componenti
del dominio inerziale.
segnale turbolento le componenti di grande lunghezza d’onda, si finisce col
mettere in evidenza nelle scale più piccole un alternarsi irregolare di fasi di
grande intensità e di relativa quiescenza. Si ottengono tracciati come quello
indicato in fig. 2.15, dove è stato riprodotto a occhio un tracciato sperimentale
effettivo, registrato da Gagne con un filtro passa alto - alte frequenze e piccole
lunghezze d’onda vanno sottobraccio - in una misura a punto fisso30 .
Questa proprietà, chiamata intermittenza e già intuita negli anni 50 del secolo
trascorso, è sicuramente presente nelle scale dissipative, e ha un ovvio riscontro nell’esistenza di una struttura spaziale del campo. La si può interpretare
supponendo che la dissipazione di energia cinetica, invece di essere distribuita
all’interno del volume di fluido in modo quasi uniforme, si trovi concentrata in piccole regioni, ove sono localizzati vortici di grande intensità. Non è
chiaro se questa constatazione sperimentale infici le leggi di scala del dominio
inerziale, poiché non risulta sperimentalmente accertato se questa topologia a
buchi sia presente anche nelle scale corrispondenti.
Se lo fosse, se esistesse un grado di vuoto che si va approfondendo con il
numero d’ordine degli eddy, le relazioni 2.12, 2.13, 2.14 e seguenti dovrebbero
essere modificate. Esse sono state ottenute imponendo la costanza del flusso di
energia a tutti i livelli, una proprietà che rimane comunque vera per assicurare
l’equilibrio statistico in un sistema dissipativo. Tuttavia nel dedurle è stato implicitamente supposto che gli eddy di qualsiasi scala occupino uno stesso volume, poiché si sono eguagliate grandezze riferite a un volume unitario, quali
3 /l . In altre parole si è supposto un processo di frammentazione conρσun
n
servativo del volume totale, come quello rappresentato simbolicamente nella
parte sinistra della figura 2.16, invece che uno del tipo rappresentato a destra.
30
Y. Gagne, 1980, tracciato riprodotto in U. Frisch, op. cit.
102
2.
(a)
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
(b)
Fig. 2.16 – (a) Rappresentazione simbolica di un processo di suddivisione in cui le
parti, a qualsiasi livello di divisione, occupano lo stesso spazio dell’intero - (b) rappresentazione simbolica di un processo di suddivisione in cui lo spazio totale non è
conservato.
Ma se le strutture di piccola scala occupassero, come nello schema di destra,
una frazione progressivamente minore del volume del fluido, le leggi di scala
ricordate dovrebbero essere modificate, per tener conto del fatto che le scale
minori devono globalmente assicurare uno stesso flusso di energia pur occupando un volume più piccolo. Allo stato attuale delle conoscenze l’argomento
ha carattere speculativo, perché non è neppure certo che esistano fenomeni di
intermittenza nel dominio inerziale.
Rimane che si ha intermittenza nella regione dissipativa. Non è scontato che
l’alto livello di fluttuazione sia realmente associato a una dissipazione intensa. Sebbene la cosa venga spesso presentata in questi termini31 , sarebbe forse
più logico immaginare che si formino strutture vorticose di grande intensità
- quindi con alto livello di fluttuazione - ma poco dissipative, e che proprio
per questa loro caratteristica emergano dal fondo32 . La spiegazione può tro-
31
Cfr. D.J. Tritton, op. cit., 21.3.
32
La dissipazione dipende dal tensore delle velocità di deformazione, non da quello di vorticità,
cfr. C. Cancelli, op. cit., 1.6. In condizioni di isotropia non dovrebbe esservi differenza tra i
due, in termini statistici; ma qui stiamo parlando di una struttura organizzata.
103
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
varsi nello stiramento dei vortici33 , un processo che può rendere più marcata
una disuniformità di distribuzione iniziale; l’incremento della vorticità risulta
proporzionale alla vorticità stessa, a parte fattori di forma del campo, e il fluido interessato tende a restringersi attorno all’asse di rotazione. In effetti sono
sempre più frequenti risultati sperimentali e simulazioni numeriche che rivelano l’esistenza nelle correnti turbolente di lunghi filamenti vorticosi di scala
trasversale ridottissima, che danno luogo a picchi di depressione sull’asse. La
formazione saltuaria di queste strutture è quasi certamente all’origine del rumore emesso dalle correnti turbolente, o della cavitazione nei liquidi. Non è
certo invece quale sia la loro funzione nella dinamica della turbolenza; alcuni pensano che abbiano un ruolo determinante, anche se non chiarito, altri che
non ne abbiano alcuno. Sia vera l’una o l’altra cosa, il loro carattere strutturato e il grado di vuoto nella regione dissipativa non sono in accordo con quella
caduta verso l’informe che è al centro della teoria di Kolmogorov. E se a questo si aggiungono le numerose prove sperimentali sull’esistenza di strutture
coerenti di grande scala influenzate dalla forma del dominio, viene da concludere che il segno delle correnti turbolente è nell’ambiguità, nell’essere un
ibrido variabile di aspetti ordinati e casuali; una prerogativa da cui derivano la
mancanza di carattere universale e la difficoltà di previsione.
Trarre ispirazione dalla teoria statistica è poi particolarmente difficile quando
si affronti il comportamento dinamico della turbolenza di parete. Vale la pena di citare, come esempio illuminante, un fenomeno noto come effetto Toms.
Nel 1948 Toms34 riportò di avere osservato una rilevante caduta del coefficiente di attrito (∼ 40%) in correnti turbolente intubate di un liquido che conteneva appena tracce (∼ 10 parti per milione, o poco di più) di contaminanti
macromolecolari di lunga catena. La notizia venne come una sorpresa; sebbene l’idea di ottenere molto con poco faccia parte dell’immaginario collettivo,
accade raramente che il desiderio si avveri. I dati che accompagnavano gli
esperimenti - quelli di Toms e gli altri immediatamente seguiti - erano altrettanto intriganti. Da essi risultava che la riduzione diveniva sensibile a partire
33
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 4.4.
34
B.A. Toms, Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at
large Reynolds numbers, Proc. 1st Int. Congress on Rheology, vol. 2, p. 135, North Holland,
1948.
104
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
da un numero di Reynolds sufficientemente elevato, tale tuttavia che la corrispondente microscala di Kolmogorov risultava tuttora più grande, almeno di
un paio di ordini di grandezza, del raggio di girazione - la dimensione lineare
- delle macromolecole. Come potessero, questa specie di gomitoli presenti nel
liquido, influire su un campo di moto la cui scala lineare più piccola era di gran
lunga maggiore della loro, appariva del tutto oscuro, e tale è rimasto a mezzo
secolo di distanza. A parte questo, uno si sarebbe aspettato seguendo Kolmogorov che le macromolecole agissero in qualche modo sull’accoppiamento tra
moto medio e grandi scale vorticose, inibendo quel primo e irreversibile passo verso la dissipazione che è previsto dalla teoria statistica. Invece, in base
a una serie di misure che non riportiamo, ma di cui è difficile dubitare, risulta che la loro azione si esplica vicinissima alla parete, in una regione di
transizione tra uno strato puramente viscoso e la regione del moto turbolento sviluppato; in altre parole su scale molto più piccole di quella esterna della
corrente. Qualunque sia la dinamica del processo, si tratta di un fatto che poco
si accorda con la visione unidirezionale - dal grande verso il piccolo - della cascata energetica; qui sembra inevitabile considerare un qualche meccanismo
di retroazione. Può darsi che una teoria elaborata nell’ipotesi di omogeneità e
isotropia non si adatti a una situazione di turbolenza di parete, ove gli scambi
di energia tra regioni diverse - e non solo tra configurazioni di scala diversa hanno importanza determinante.
Spettro del campo fluttuante e trasporto di inquinanti
Torniamo ora, dopo essersi dilungati su alcuni problemi non definiti, agli
aspetti che interessano più da vicino la dinamica dell’atmosfera. In questo
campo la turbolenza di parete ha poca importanza, e alcune proprietà messe in evidenza dalla teoria statistica sono utili a comprendere i meccanismi
di dispersione delle traiettorie e di accelerazione dei processi diffusivi. È bene tenere in mente la compresenza di componenti di scala diversa, e le due
relazioni:
σun ∝ ln1/3
σun
∝ ln−2/3
ln
La prima spiega come la differenza di velocità tra due particelle vada crescendo con la loro distanza, e quindi come la dispersione delle traiettorie finisca
105
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
Fig. 2.17 – Effetto di campi di velocità con diversa composizione spettrale su un volume
di fluido inizialmente compatto: (a) campo di moto con componenti di scala mediogrande rispetto a lo ; (b) campo di moto con componenti di scala maggiore e minore
di lo .
con l’essere determinata dai vortici di grande scala. La seconda mette in evidenza come rotazione e deformazione si intensifichino con la diminuizione
delle scale; il processo di deformazione e sfrangiamento della superficie di
una nube, o di una sua parte qualsiasi inizialmente compatta, è dovuta alle
componenti di piccola scala (cfr. fig. 2.17). La presenza di queste componenti è quindi necessaria per una forte accelerazione dei processi diffusivi. Un
campo di moto provvisto di sole componenti di grande scala, ove grande e
piccola scala vanno intese in confronto con la dimensione trasversale della nube, può trasportare il volume inquinato di qua e di là, senza produrre diluizione
accettabile.
2.3.
APPENDICE
Trasformate di una famiglia di funzioni autosimili
Si consideri una famiglia di funzioni di autocorrelazione f (s), tali che l’una
si possa ottenere da un’altra mediante un cambiamento di scala della variabile
106
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
cs
F
(a)
1
(c)
(b)
(c)
(b)
(a)
s
k
Fig. 2.18 – Spettri di potenza e coefficienti di autocorrelazione al variare della scala integrale £: le curve (a) (b) (c) corrispondono a valori decrescenti della scala
integrale £.
indipendente. Possiamo adottare come scala delle lunghezze - come unità di
misura - la scala integrale £ e definire le variabili adimensionate:
s
s =
£
k = k£
Si ha, dalla definizione 2.1 di scala integrale:
∞
cs (s )ds = 1
2.23
0
mentre lo spettro:
σu2 ∞
cs (s)e−iks ds
2π −∞
può essere scritto, tramite un semplice cambiamento di variabili, nella veste:
1 ∞
F (k ) =
cs (s )e−ik s ds
2.24
2 −∞
F (k) =
ove F sta per F π/£σu2 .
La funzione F (k ) si può considerare uno spettro adimensionato con un valore massimo nell’origine normalizzato ad 1; per k = 0, non può che essere
minore di 1 e tende ad annullarsi per k → ±∞. Se si vuole valutare l’estensione di F nel dominio k , si può assumemere come misura l’intervallo di k
compreso tra l’origine e il valore kt , per cui F si è ridotta definitivamente al
di sotto di una percentuale prefissata del valore massimo, diciamo 10−2 , per
dare un numero. Il valore di kt dipende ovviamente dalla forma della cs (s ) e
107
2.
STATISTICA DELLE CORRENTI TURBOLENTE
non solo dal valore di soglia arbitrariamente fissato; ma una volta assegnata la
forma di cs (s ) e il valore di soglia, kt risulta determinato in modo univoco.
Le due funzioni adimensionate cs (s ) e F (k ) possono dare vita a un’intera
classe di funzioni di autocorrelazione cs (s) e di spettri corrispondenti F (k). È
sufficiente a questo fine variare la scala integrale £; le funzioni cs (s) si ottengono da cs (s ) con un cambiamento di scala dell’asse delle ascisse - una sorta
di stiramento - secondo la trasformazione:
s → s £ = s
mentre le F (k) si ottengono tramite un duplice stiramento degli assi:
F → F
£σu2
=F
π
2.25
k
=k
2.26
£
l’ultima delle quali vale, come è scontato, anche per la larghezza kt di F in k:
k
kt → t = kt
2.27
£
L’ultima relazione mette in evidenza come il prodotto kt £ = kt sia invariante,
così che la larghezza kt di F (k) risulta inversamente proporzionale a £. Quando £ va crescendo, F (k) si restringe attorno all’origine, (cfr. fig. 2.18). Al limite, per £ → ∞, la funzione c(s) diviene sempre più piatta e quella F (k) si
avvicina asintoticamente a una funzione impulsiva collocata nell’origine:
k →
F (k) → σu2 δ(k)
ove δ(k) indica la funzione impropria di Dirac; lo spettro si è ridotto ad una
riga.
Viceversa, quando £ diminuisce F (k) si avvicina sempre di più ad una distribuzione uniforme, nel mentre la sua ampiezza diminuisce con £; il processo
va acquisendo le caratteristiche del cosidetto rumore bianco, ove l’autocorrelazione tende ad annullarsi per qualsiasi valore dello sfasamento e lo spettro
di potenza si allarga uniformemente su tutti i numeri d’onda.
108
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI
DI DISPERSIONE
109
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
3.1.
EQUAZIONI DI BILANCIO MEDIATE
Valor medio lineare e varianza
Fino a questo punto non abbiamo fatto alcun uso delle equazioni differenziali,
nel descrivere le proprietà dei campi di moto turbolento. Tuttavia esse continuano ad essere valide e pongono vincoli alle evoluzioni possibili, quindi
anche al comportamento medio delle N correnti di una trattazione statistica.
In effetti è possibile scrivere equazioni di bilancio per i vari momenti statistici delle variabili indipendenti: si consideri l’equazione di una grandezza
qualsiasi, di densità qt , trasportata da un campo di velocità turbolenta ut :
∂
∂(q + Q)
=−
[(Uj + uj )(q + Q) + (Fj + fj )]
3.1
∂t
∂xj
Nella 3.1 si è già introdotta la scomposizione delle variabili in valor medio
lineare e fluttuazione:
qt = Q + q
ut = U + u
e si è indicato con
ft = F + f
il flusso di qt con origine molecolare o browniana, anch’esso debitamente
scomposto.
Si può pensare di scrivere la 3.1 per ciascuna delle N correnti, quindi sommare
membro a membro l’insieme delle equazioni e dividere per N . L’operazione
corrisponde ad applicare alla 3.1 l’operatore lineare:
< • >≡
N
1 (•)n
N
1
che gode della proprietà di commutare con gli operatori differenziali, come è
immediato vedere:
∂qt
∂ < qt >
∂Q
<
>=
=
∂t
∂t
∂t
et cet. L’operatore < • > ha anche altre proprietà; se qt è una variabile
aleatoria qualsiasi si ha:
< qt >= Q
< Q >= Q
< Q + q >=< Q > + < q >= Q
110
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
quindi:
< q >= 0
Se c è una costante dell’insieme si ha:
< cqt >= c < qt >= cQ
e se pt è una seconda variabile aleatoria: pt = P + p, si ha:
< qt pt >=< (Q + q)(P + p) >= QP + < qp >
In quest’ultima relazione i termini < Qp > e < P q > che deriverebbero dallo
sviluppo del prodotto scompaiono, perché Q e P si comportano come costanti
rispetto all’operatore < • >:
< Qp >= Q < p >
< P q >= P < q >
e il valor medio lineare delle fluttuazioni è zero.
Queste regole di calcolo sono dovute a Reynolds che le introdusse più di un secolo fa1 , sebbene non avesse in mente una media di insieme nel suo significato
attuale. Il risultato formale che si ottiene applicando un operatore di media alla 3.1 non dipende tuttavia dal significato logico dell’operatore, purché esso
soddisfi le regole appena ricordate. Si ha in modo pressoché immediato:
∂
∂Q
=−
(Uj Q + < uj q > + Fj )
3.2
∂t
∂xj
La 3.2 è una equazione evolutiva per il valor medio lineare Q, il primo momento della distribuzione di qt , ed indica che la rapidità di variazione di Q è
determinata dalla divergenza di tre termini di flusso, due convettivi - i primi
due entro parentesi - e il terzo di natura diffusiva.
Si può facilmente ottenere un’equazione evolutiva per la fluttuazione q
sottraendo la 3.2 alla 3.1:
∂
∂q
(Uj q + uj q + uj Q − < uj q > +fj )
3.3
=−
∂t
∂xj
Si noti che, se non apparisse nel secondo membro della 3.2 la correlazione
< uj q >, l’operazione di media avrebbe avuto come risultato quello di eli-
1
Nel 1895: O. Reynolds, On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the
determination of the criterion, Philos. Trans. R. Soc. A. t. 86, I, pp. 116-119, 1895.
111
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
minare dalla rappresentazione del processo la parte fluttuante dei campi. La
presenza di < uj q > non è tuttavia priva di significato; rivela l’impossibilità in un sistema dinamico non lineare di scomporre le variabili in componenti
e di determinare l’evoluzione di una di esse indipendentemente dalle altre; le
parti interagiscono. Nel caso particolare, la presenza nella 3.2 di < uj q >
mostra che l’evoluzione del valore medio Q non dipende solo dagli altri valori medi lineari, ma anche dall’accoppiamento delle componenti fluttuanti. In
modo complementare, la 3.3 indica che la dinamica di q è influenzata dalla
distribuzione spaziale dei valori medi.
La comparsa nella 3.2 della nuova funzione < uj q > complica l’aspetto matematico del problema, che in sostanza è divenuto indeterminato. Si immagini,
per precisare le idee, che si stia trattando del trasporto di uno scalare passivo2
in un campo di velocità turbolento, le cui proprietà statistiche siano assegnate;
in tal caso la U (x, t) va considerata nota. Non è tuttavia possibile pensare di
risolvere per Q la 3.2 con opportune condizioni di contorno, come in un problema di convenzione-diffusione di forma tradizionale; l’equazione 3.2 contiene
oltre a Q altre tre funzioni incognite, le tre componenti del flusso < uj q >. In
casi come questi, il procedimento ovvio sembrerebbe essere quello di scrivere
altre equazioni per le nuove incognite. La cosa è possibile, anche se tediosa, ma si rivela presto una strada senza sbocco: qualsiasi equazione evolutiva,
scritta per un momento statistico di qualsiasi ordine, contiene momenti di ordine superiore, e il numero delle incognite cresce più rapidamente di quello delle
equazioni. Nella equazione della correlazione doppia < uj q > compariranno correlazioni triple, et cet. Per concludere in qualche modo il procedimento,
occorre a un certo punto troncarlo e assumere le nuove incognite come note,
oppure ricondurle ad altre con qualche ipotesi più o meno fondata3 .
Dall’equazione 3.3 si può dedurre un’equazione per la varianza σq2 ≡< q 2 >,
per mezzo dei seguenti passi:
– si moltiplica primo e secondo membro della 3.3 per q , in modo da
2
Significa che la presenza dello scalare non influenza il campo di velocità.
3
Nel gergo degli specialisti, questo aspetto matematico è chiamato problema della chiusura.
112
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
ottenere la derivata di q 2 :
∂q
1 ∂q 2
=
∂t
2 ∂t
– si rielabora il secondo membro, ponendo in evidenza i termini di
flusso della nuova variabile; in altre parole, si riscrive il prodotto
∂
q
(•)
∂xj
portando sotto l’operatore di divergenza quanto è possibile, in questo
modo automaticamente individuando i termini di sorgente che non
possono essere ricondotti sotto l’operatore stesso;
q
– si media l’equazione così riscritta.
Al termine di questo procedimento si ottiene l’equazione per la varianza:
∂
∂ 2
σq = −
(Uj σq2 + < uj q 2 > +2 < qfj >)
3.4
∂t
∂xj
∂Q
∂q
+2 < fj
> −2 < uj q >
∂xj
∂xj
Per avere l’equazione in questa forma si è supposto che la derivata temporale
della densità sia trascurabile, e che il vettore velocità sia di conseguenza solenoidale. La proprietà si applica alla componente media e a quella fluttuante
separatamente; si ha infatti dall’equazione di continuità:
∂
(Uj + uj ) = 0
∂xj
da cui tramite l’operatore di Reynolds si deduce:
∂Uj
=0
3.5
∂xj
e sottraendo dalla precedente si ha:
∂uj
=0
3.6
∂xj
D’altra parte, se u è un vettore solenoidale, vale la relazione
∂
∂q
(uj q) = uj
∂xj
∂xj
e questa uguaglianza semplifica l’elaborazione dei termini del tipo:
∂
q
(•)
∂xj
113
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Ad esempio, si ha:
∂
∂
∂q
∂
∂
q
(Uj q) =
[(Uj q)q] − Uj q
=
(Uj q 2 ) − q
(Uj q)
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
da cui, confrontando il primo con l’ultimo membro, immediatamente si
deduce:
∂
1 ∂
q
(Uj q) =
(Uj q 2 )
∂xj
2 ∂xj
È appena il caso di notare che la 3.4 risulta insufficiente a determinare l’evoluzione di σq2 ; tutte le correlazioni che compaiono a secondo membro sono
ignote. Tuttavia, una discussione del significato di questi termini può aiutare
a comprendere il processo. Quei termini che sono raggruppati sotto il segno
di divergenza rappresentano flussi, trasporto di varianza per effetto della velocità media, della fluttuazione di velocità, del moto di agitazione molecolare
nell’ordine. La loro funzione è quella di ridistribuire la varianza σq2 all’interno della regione occupata dalla corrente turbolenta, ma non di modificarne il
valore globale, almeno fin quando la corrente non abbia uno scambio di fluido
con l’esterno; il loro integrale di volume, esteso ad un sistema isolato, è infatti
nullo per il teorema di Gauss. Gli ultimi due termini a secondo membro sono
invece termini di sorgente; sono in grado di far variare il valore globale di σq2 in
un sistema chiuso. Per approfondire l’analisi conviene distinguere il trasporto di uno scalare da quello di quantità di moto, ed esplicitare i corrispondenti
flussi molecolari.
Trasporto turbolento di uno scalare. Dispersione turbolenta
Il caso che più ci interessa è quella del trasporto di un contaminante4. In questo
tipo di problema si presume usualmente che la statistica del campo di velocità sia assegnata, e che la presenza di un inquinante con concentrazione qt non
la modifichi. La cosa non è sempre vera; fuoriuscite massiccie di gas pesanti,
quali il cloro, o particolarmente leggeri come il gas naturale, possono modificare il campo di moto almeno in una prima fase. Ad es., la rottura di un
serbatoio di cloro produce un campo di velocità che nella fase iniziale è pressoché determinato dal peso del cloro e dal suo allargamento sul terreno. Solo
4
La grandezza scalare trasportata può essere anche l’energia termica; in tal caso si ha la variante
turbolenta del noto problema di convezione e diffusione del calore.
114
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
dopo un energico processo di mescolamento con l’aria circostante, il cloro si
sarà così diluito da poter essere considerato come una quantità trasportata passivamente dai moti naturali dell’atmosfera. Dunque, la nostra descrizione del
processo si riferisca al trasporto turbolento di un inquinante sufficientemente
diluito. In tali condizioni il vettore U si considera noto, il flusso f può essere
esplicitato come:
∂qt
fj = −Dm
3.7
∂xj
così da ottenere:
∂qt
∂Q
Fj =< fj >= − < Dm
>= −Dm
∂xj
∂xj
e l’equazione 3.2 diviene:
∂
∂Q
∂Q
=−
3.8
Uj Q + < uj q > − Dm
∂t
∂xj
∂xj
dove Dm indica il coefficiente di diffusione molecolare, oppure browniana nel
caso che l’inquinante sia un particolato.
Ricordiamo che se l’insieme degli N campi è supposto stazionario in senso
statistico, il primo membro dell’equazione è nullo, perché sono tali le derivate temporali dei momenti di qualsiasi ordine. Il secondo membro uguagliato
a zero può essere considerato come uno strumento per determinare la distribuzione nello spazio del valore medio temporale della concentrazione di contaminante in un unico dominio soggetto a condizioni globali costanti, grazie
all’ipotesi ergodica.
Occorre tuttavia aggirare la difficoltà che deriva dalla presenza delle tre nuove funzioni incognite < uj q >. Poiché per ipotesi la presenza di inquinante
non influenza la fluttuazione di velocità, si potrebbe pensare che le due fluttuazioni q e u siano tra loro indipendenti, il che porterebbe a ritenere nulla
la loro correlazione. In realtà la direzione e il verso della velocità di un grumo di fluido, che transita attraverso una superficie immaginaria di separazione
nella massa fluida, individuano almeno qualitativamente la regione di provenienza del grumo e vincolano il corrispondente valore di q alla distribuzione
statistica dell’inquinante in tale regione. Un esempio schematico può aiutare a comprendere la dinamica dello scambio. Si osservi lo schizzo di fig. 3.1,
dove si è immaginato che per qualche miracolo esista ad un certo istante una
distribuzione di qt distinta in due zone, una inquinata in modo uniforme e l’altra del tutto pulita. Un grumo di fluido che attraversi dal basso la superficie
115
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
x3
uj > 0
q> 0
q< 0
u3 < 0
Fig. 3.1 – Scambio convettivo tra due zone con diversa concentrazione di inquinante.
di separazione porterà una concentrazione istantanea più alta di quella media
locale, che per ragioni di simmetria è qt /2, quindi darà luogo a una fluttuazione positiva; mentre accadrà esattamento l’opposto al passaggio di un grumo
proveniente dall’alto. Dunque, con riferimento alle convenzioni adottate in
fig. 3.1, in entrambi gli eventi si avrà flusso positivo - rivolto verso l’alto - perché le fluttuazioni accoppiate di velocità e di concentrazione hanno uno stesso
segno.
Sebbene chi scrive sia rimasto impressionato dal fiorire di miracoli che ha caratterizzato questa fine di secolo, deve ricordare che una distribuzione come
quella di fig. 3.1 è improbabile che si produca; l’esempio dovrebbe tuttavia
chiarire che la fluttuazione di velocità tende a trasportare l’inquinante da zone
con concentrazione mediamente alta (alto valore di Q) verso zone con concentrazione mediamente bassa (basso valore di Q), in questo modo spingendo
la distribuzione di Q verso l’uniformità. Se lo scambio attraverso una giacitura passante per un punto generico fosse determinato dalla distribuzione di Q
nelle immediate vicinanze del punto stesso - se, in altre parole, apparisse come un fenomeno locale, nel confronto con la scala globale del dominio - si
potrebbero ripetere le considerazioni già svolte per i flussi di natura molecolare, e concludere che anche il flusso turbolento di una grandezza qualsiasi è
proporzionale al gradiente del valor medio della stessa, e di segno opposto.
In realtà il trasporto turbolento non ha carattere locale; sappiamo che nelle correnti turbolente si trovano configurazioni coerenti di velocità che hanno come
lunghezza caratteristica quella stessa della dimensione trasversale della corrente e sono quindi in grado di trasportare di altrettanto un particolare valore
116
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
di qt . L’unica cosa certa è che il rimescolamento conduce Q verso l’uniformità; quando questa sia stata raggiunta in tutto il dominio, i flussi risulteranno
pari a zero in qualsiasi punto.
D’altra parte, in un dominio con concentrazione media disuniforme la correlazione < uj q > non è affatto nulla; non solo, ma essa risulta di gran lunga
più importante dei flussi diffusivi molecolari. Una semplice analisi degli ordini di grandezza dei rispettivi termini è sufficiente a dimostrarlo; l’ordine di
grandezza di < uj q > può essere stimato in σu σq , mentre quello del termine
Dm ∂Q/∂xj in Dm ΔQ/LQ , ove ΔQ è la variazione di Q ed LQ è la dimensione lineare della regione all’interno della quale risultano confinate le N
realizzazioni della nube di inquinante. Le variazioni ΔQ e σq non possono
tuttavia essere molto diverse tra loro, almeno come ordine di grandezza. In
effetti le configurazioni cinematiche di grande scala spostano grumi di fluido da una parte all’altra della nube senza modificare la loro concentrazione;
in un punto qualsiasi vengono pertanto registrate fluttuazioni di qt che sono
mediamente vicine alla massima variazione spaziale di Q. Ne deriva che σq
e ΔQ sono dello stesso ordine, e il rapporto tra termine diffusivo e termine
convettivo turbolento risulta:
∼ Dm /LQ σu
un numero usualmente molto piccolo, perché tale risulta il coefficiente di diffusione molecolare o, ancor peggio, browniana. Si può pertanto nella 3.8 sopprimere senza rimorsi il termine di diffusione5 , sebbene questo non risolva il
nostro problema matematico. Possiamo riscrivere la 3.8 nella forma:
∂
∂Q
=−
(Uj Q + < uj q >)
3.9
∂t
∂xj
e osservare che essa avrebbe potuto essere ottenuta direttamente median-
5
Rimane vero che la fluttuazione turbolenta si estingue nelle immediate vicinanze di una parete
rigida, dove il trasporto viene affidato alla sola diffusione molecolare; si ha la formazione di un
sottostrato a carattere diffusivo il cui spessore è estremamente più piccolo della scala esterna
della corrente turbolenta. Il fatto ha tuttavia un interesse puramente accademico, o quasi, nello
studio della dispersione di inquinanti, persino quando si studi il fenomeno della deposizione
al suolo. Sono infatti i fenomeni convettivi a determinare anche l’entità del trasporto verso il
suolo, così come nella cascata energetica sono i processi di instabilità convettiva a determinare
l’entità della dissipazione. I fenomeni diffusivi si adattano, modificando le loro scale, al flusso
imposto; lo subiscono ma non lo determinano.
117
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
do tra N correnti prive di diffusione molecolare; in altre parole applicando
l’operatore di Reynolds all’equazione convettiva:
∂
∂qt
[(ut )j qt ]
3.10
=−
∂t
∂xj
la cui soluzione lagrangiana è:
Dqt
=0
3.11
Dt
quindi:
qt = cost
lungo le traiettorie:
dyi = (vt )i dt
Questo è un punto importante, perché in esso risiede la giustificazione dei
metodi lagrangiani per il calcolo della dispersione turbolenta. I procedimenti
lagrangiani, invece di integrare l’equazione mediata 3.9, simulano numericamente un insieme di traiettorie negli N campi, ciascuna delle quali trasporta
dalla sorgente un grano invariato - un quantum - di contaminante. La determinazione del valor medio in un punto generico viene fatta a posteriori, contando
quanti sono i grani che hanno terminato la loro corsa in una cella di controllo,
posta attorno al punto stesso. I due modi di operare sono equivalenti; essi infatti sono rivolti a calcolare una stessa grandezza, il valore medio Q, e possono
considerarsi come due diverse elaborazioni formali di una stessa equazione di
partenza, la 3.10.
La 3.9 può scriversi nella forma:
∂
∂
∂
+ Uj
< uj q >
Q=−
∂t
∂xj
∂xj
3.12
che si può interpretare come l’equazione evolutiva di Q in un dominio fittizio
ove sono rappresentate solo grandezze mediate, e la distribuzione di Q varia
a causa di un moto fluttuante che non compare direttamente. L’operatore applicato a Q infatti calcola la velocità di variazione di questa grandezza - la sua
derivata rispetto al tempo - così come essa verrebbe misurata da uno strumento
che si muovesse nel dominio con velocità U. La presenza di un moto nascosto
è resa sensibile dalla correlazione a secondo membro; si noti l’analogia con il
moto di agitazione delle molecole.
Può essere utile confrontare questi aspetti formali delle equazioni mediate con
lo schizzo di fig. 3.2 che qui riproduciamo: in esso è rappresentata una famiglia
118
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
traiettoria media
S
Fig. 3.2 – Dispersione di traiettorie di particelle uscenti da uno stesso punto. La linea
tratteggiata rappresenta una ipotetica traiettoria media.
di traiettorie diverse che escono da uno stesso punto S , che si può considerare
come sorgente di una sostanza inquinante. Le traiettorie possono essere indifferentemente pensate come percorse da N particelle fluide rilasciate a uno
stesso istante negli N domini dell’insieme, oppure da N particelle diverse,
rilasciate a tempi diversi in un unico dominio, purché il processo sia statisticamente stazionario. Il significato dello schizzo è che le N particelle si disperdono attorno a una immaginaria traiettoria media, producendo un decremento
di Q rispetto al valore in S , ove è massimo. I modelli lagrangiani calcolano la
variazione di Q a posteriori, dopo avere riprodotto le N traiettorie6 e calcolato i corrispondenti punti di arrivo delle particelle uscite dalla sorgente. La 3.9
cerca di arrivare allo stesso risultato operando su grandezze medie e attribuendo la diminuizione di Q, riscontrabile da un osservatore che si muova lungo
la linea media tratteggiata, a un moto di fluttuazione nascosto che produce il
flusso < uj q >. Né l’uno né l’altro metodo tengono in alcun conto la diffusione molecolare. Le particelle degli N campi si muovono conservando la loro
concentrazione qt di contaminante; quella fittizia che si muove secondo la 3.12
con velocità media U, vede la concentrazione Q diminuire per effetto di un
fenomeno puramente convettivo.
Sarebbe tuttavia errato concludere da questi argomenti che i fenomeni di diffusione siano nelle correnti turbolente del tutto trascurabili; in realtà vi è nei
6
Occorre simulare un campo aleatorio di velocità con le stesse proprietà statistiche di quello
vero.
119
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
moti turbolenti una generazione di scale sempre più piccole, che esalta i flussi diffusivi. Quello che abbiamo dimostrato è che i processi di diffusione non
hanno influenza significativa sulla distribuzione nello spazio del valor medio
lineare di concentrazione; la 3.11 non è corretta in sé, ma solo agli effetti del
calcolo della distribuzione Q(x).
Nel moto reale il valore di concentrazione qt di una particella non si mantiene costante, ma varia più o meno rapidamente a seconda della composizione
spettrale del campo; più le scale sono ridotte, più rapida è la diluizione. Qualche informazione su questo aspetto del fenomeno può dedursi dall’equazione
della varianza7 . La 3.4, tramite la 3.7 diviene:
∂
∂ 2
∂ 2
2
2
σ =−
Uj σq + < uj q > −Dm
σ
3.13
∂t q
∂xj
∂xj q
∂Q
∂q ∂q
−2 < uj q >
− 2Dm <
>
∂xj
∂xj ∂xj
I termini che figurano a secondo membro dell’equazione sotto l’operatore di
divergenza sono flussi convettivi o diffusivi di varianza; ridistribuiscono questa variabile da una regione all’altra della corrente, senza generarla; come è
noto, il loro integrale di volume esteso a un sistema isolato è zero. Sono tuttavia presenti anche due termini di sorgente - gli ultimi due a secondo membro il cui integrale di volume non si annulla. I due termini sono infatti di segno
costante anche se opposto; il primo è sempre positivo, il secondo negativo.
Sul segno di quest’ultimo non ci sembra possano sussistere dubbi; il termine
mediato:
∂q ∂q
<
>
∂xj ∂xj
rappresenta il quadrato del modulo di ∇q , e il coefficiente di diffusione
molecolare Dm è sempre positivo.
Per quanto riguarda il primo termine di sorgente, esso è dato dal prodotto scalare del vettore di flusso < uq > per −∇Q, il gradiente della concentrazione
media cambiato di segno. Il flusso < uq > rappresenta l’intensità del trasporto convettivo medio dovuto alla fluttuazione; abbiamo già ricordato che esso è
7
Qualcuno la chiama equazione dell’energia perché dà il bilancio dell’energia cinetica
turbolenta, quando venga applicata alla densità di quantità di moto ( qt → ρut ).
120
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
B
A
D
C
Fig. 3.3 – Processo privo di una forte accelerazione dei fenomeni diffusivi.
diretto da zone ad alta concentrazione media verso zone di bassa concentrazione. Non è obbligatorio che < uq > abbia esattamente la stessa direzione del
gradiente, ma non può discostarsene molto, ed è certamente orientato in modo tale da essere concorde con −∇Q; quindi il prodotto scalare tra i due sarà
positivo e il relativo termine di sorgente anche, in ogni caso. Se poi dimenticassimo che il trasporto convettivo nelle correnti turbolente non ha carattere
locale, allora potremmo scrivere, in analogia con i flussi molecolari8 :
< uq >= −Dt ∇Q
avendo introdotto un coefficiente di diffusione turbolenta Dt , positivo per definizione. In questo modo i termini di sorgente della 3.13 prendono una forma
che rivela al primo sguardo il segno del loro contributo alla variazione di σq2 :
+Dt | ∇Q |2 −Dm | ∇q |2
Può sembrare strano che due processi indicati entrambi col nome di diffusione
producano risultati contrapposti. In realtà il prodotto scalare del flusso < uq >
per il gradiente ∇Q dà espressione matematica a un fenomeno convettivo che
può essere spiegato senza troppa difficoltà. Se una causa esterna - una sorgente
di inquinante ad es. - mantiene nel dominio una variazione spaziale, e quindi
un gradiente di Q, per un punto qualsiasi passano alternativamente particelle
con alta e bassa concentrazione, per effetto della componente fluttuante del
campo, e la cosa viene registrata nel punto di misura come un incremento di
8
C. Cancelli, op. cit., 1.4.
121
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Fig. 3.4 – Processo con forte accelerazione dei fenomeni diffusivi.
varianza; si veda a questo proposito la fig. 3.3. L’effetto può essere attenuato se
nell’intorno del punto di misura si ha una rapida omogeneizzazione del fluido,
per effetto della diffusione molecolare, come in fig. 3.4; questo è il significato
del termine negativo −Dm | ∇q |2 .
Non è detto tuttavia che questa attenuazione avvenga in misura rilevante. Per
essere ugualmente efficaci i due termini, quello che produce varianza e quello
che la elimina, richiedono scale diverse. Il primo dei due vale all’incirca
σu σq2 /LQ
mentre il secondo è
∼ Dm σq2 /lq2
ove si è indicata con lq la distanza minima su cui è possibile riscontrare una
variazione significativa di q . Il loro rapporto è:
σu LQ lq 2
∼
Dm
LQ
e la predominanza dei fenomeni convettivi risulta schiacciante, almeno che lq
non sia molto più piccola di LQ .
Poiché lo scalare è trasportato, nella nostra ipotesi, passivamente, le scale spaziali delle distribuzioni Q(x) e q(x) vengono determinate da quelle del campo
di velocità. Si possono avere situazioni diverse; quando le scale del campo
di velocità sono tutte più grandi della dimensione trasversale della nube, si
ha la situazione di fig. 3.3, ove il pennacchio viene sbandierato di qua e di là
da oscillazioni di lungo periodo senza esserne frantumato; quando il campo
122
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
di moto possiede scale così ridotte da produrre forti differenze di velocità e
violente rotazioni all’interno della nube, si producono configurazioni del pennacchio come quella di fig. 3.4. Nel primo caso vi è nell’equazione 3.13 una
prevalenza del termine convettivo di sorgente; nel secondo, la produzione di
varianza è limitata dal pozzo diffusivo.
L’influenza di questi termini sulla varianza può essere esplicitata integrando
la 3.13 sul volume di controllo ABCD di fig. 3.3, e usando l’equazione che ne
risulta per valutare il flusso di varianza in uscita dalla sezione BC, che è dovuto essenzialmente alla velocità media U; la cosa è lasciata come esercizio.
Il procedimento è solo formale, almeno che non si trovi un modo di valutare
all’interno del volume di controllo i termini di sorgente, dal cui integrale dipende la portata globale uscente attraverso la superficie che delimita il volume
stesso. La circostanza è un tratto ricorrente di questo tipo di problemi; senza considerazioni fenomenologiche aggiuntive, l’uso delle equazioni mediate
non porta lontano. È tuttavia possibile trarre una considerazione di carattere
generale dall’equazione di bilancio; quando all’interno del volume di controllo l’annichilazione diffusiva di varianza è più energica della produzione
convettiva:
+Dt | ∇Q |2 −Dm | ∇q |2 0
e la situazione è stazionaria in media, l’equilibrio richiede una forte prevalenza della portata di varianza entrante, attraverso la sezione di monte del pennacchio, su quella uscente attraverso una sezione di valle dello stesso. In altri termini, poiché la portata può essere valutata approssimativamente come
∼ σq2 U A, avendo indicato con A l’area della sezione media di passaggio del
pennacchio, questo prodotto deve diminuire rapidamente con la distanza dalla sorgente. Ma A va crescendo per effetto delle componenti di grande scala
del campo di moto, mentre la velocità media U rimane costante; la varianza pertanto non può che diminuire rapidamente sottovento. In effetti, si può
notare in un pennacchio immesso in un campo turbolento molto agitato, e
reso visibile dalla presenza di qualche impurità, una rapida perdita di struttura; a poche decine di metri dalla sorgente, il pennacchio può presentarsi come una distribuzione continua, variabile su tutta la sezione in modo graduale
(cfr. fig. 3.4).
Quando i termini di generazione convettiva prevalgono su quelli diffusivi, si
ha nella prima fase un aumento della varianza, e quindi una stabilizzazione.
Solo in seguito inizia una lenta fase diffusiva.
123
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
3.2.
MODELLI EULERIANI DI DIFFUSIONE TURBOLENTA
Equazione di convezione e diffusione. Soluzioni gaussiane
L’unico modo di rendere risolvibile l’equazione 3.12 è quello di esprimere le
tre componenti del vettore < uq > come funzioni del valore medio lineare
Q(x). In questo modo l’equazione 3.12 diviene un’equazione in una sola incognita, che con opportune condizioni di contorno può essere risolta9 . Si pone,
per necessità:
∂Q
< ui q >= −Dt
3.14
∂xi
come se il trasporto convettivo fosse un fenomeno puramente locale, così che
l’equazione 3.13 diviene:
∂
∂Q
∂Q
=−
3.15
Uj Q − Dt
∂t
∂xj
∂xj
La 3.9 è identica nella forma all’equazione non mediata di convezione
e diffusione di uno scalare; si può passare dall’una all’altra tramite le
sostituzioni:
qt → Q
ut → U
Dm → Dt
La stretta analogia rende evidente una parentela tra due diversi processi: la
ridistribuzione nello spazio del valor medio Q di una grandezza in una corrente turbolenta, pur essendo un fenomento puramente convettivo, assomiglia alla convezione e diffusione di uno scalare in un moto laminare; nel caso
turbolento, tuttavia, il coefficiente di diffusione risulta di gran lunga più grande.
L’equazione 3.15 viene chiamata equazione euleriana di diffusione turbolenta:
euleriana perché tale è la funzione Q(x, t) per cui viene risolta, di diffusione
turbolenta, perché il trasporto dovuto alla fluttuazione turbolenta viene trattato
come una diffusione molecolare potenziata.
9
Non parliamo di condizioni iniziali, né in generale di dipendenza temporale di Q, perché in
questo tipo di problemi si assume sempre, a torto o a ragione, che il processo sia statisticamente stazionario. In tal caso ovviamente le derivate temporali dei valori medi sono nulle; se
continuiamo a scriverle, è per conservare le equazioni nella loro forma più generale.
124
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Al contrario della 3.9, la 3.15 non è equivalente all’impostazione lagrangiana
delineata dalla 3.11; infatti, l’ipotesi che i flussi turbolenti convettivi mediati
possano essere messi in conto tramite una legge di gradiente e un opportuno
coefficiente di diffusione rappresenta una aggiunta arbitraria, rispetto al concetto di dispersione casuale di una famiglia di traiettorie. In realtà, l’attendibilità dell’ipotesi 3.14 può essere giudicata confrontando le proprietà della 3.15
con i risultati ottenibili mediante un attacco lagrangiano del problema. Studiando una famiglia di traiettorie, determinate da un campo di velocità fluttuante con tempo di correlazione limitato, ed elaborando statisticamente la
distribuzione nello spazio di particelle che ne consegue, si possono confrontare le proprietà di queste soluzioni con quelle della 3.15. Si può dimostrare che
in un campo di moto turbolento statisticamente omogeneo la 3.15 dà soluzioni
sempre più vicine a quelle lagrangiane, nel limite:
t/Tl → ∞
ove Tl è il tempo di autocorrelazione del moto stocastico sottinteso. In altre parole, la 3.15 descrive correttamente il comportamento asintotico della
dispersione di un insieme di particelle dotate di moto casuale. Il valore del
coefficiente di diffusione corrispondente risulta dato10 da:
Dt = σv2 Tl
Messo in questi termini - di relazione che intercorre tra un processo di dispersione di particelle, o grumi di qualsiasi cosa, soggetti a un campo di moto casuale da una parte, e la sua rappresentazione euleriana dall’altra - l’argomento
può tranquillamente essere riferito anche alla diffusione di molecole, e non solo alla dispersione turbolenta. La differenza è nei tempi di autocorrelazione.
Il tempo per cui una molecola prosegue mediamente la sua corsa indisturbata,
e quindi risulta dotata di moto autocorrelato, è il tempo libero medio; in aria
a temperatura ambiente è ∼ 10−8 s, ed è del tutto ovvio che agli effetti pratici
la condizione t/Tl → ∞ non abbia in questo caso il potere di limitare la validità delle soluzioni. Nel campo di velocità dello strato limite terrestre, invece
Tl può raggiungere nel periodo diurno ∼ 103 s. Per confrontare con successo
le previsioni del calcolo basato sulla 3.15 con i dati sperimentali, occorrerebbe
osservare la distribuzione di una nube a cui si è concesso di evolvere per almeno un’ora, in questo modo finendo per eseguire le misure a una tale distanza
10
Poiché il campo è statisticamente omogeneo, σu e σv coincidono.
125
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
dalla sorgente che i valori di concentrazione risulterebbero molto bassi, quindi
di scarso interesse11 . A breve distanza, ove i dati sono di maggiore importanza
pratica, le previsioni della 3.15 possono risultare notevolmente errate. Come
vedremo tra poco, si cerca di ovviare a queste difficoltà con criteri empirici.
La 3.15 è una equazione molto nota. Se la velocità media U del fluido è uniforme nel dominio di integrazione, è sufficiente assumere un sistema di riferimento in moto con tale velocità per eliminarla, e ricondurre l’equazione alla
classica forma dell’equazione del calore, quella di Fourier (1822):
∂Q
= Dt ∇2 Q
3.16
∂t
La 3.16, come del resto la 3.15, è lineare; si può quindi costruire configurazioni complesse sovrapponendo soluzioni semplici, calcolare l’inquinamento
dovuto a più sorgenti calcolando i contributi dovuti a ciascuna di esse e quindi
sommandoli, et cet. Vi è un gruppo di soluzioni della 3.15, usato per riprodurre fenomeni di inquinamento originati da sorgenti di varia forma, che si può
considerare come derivato da una soluzione semplice della 3.16, provvista di
simmetria sferica:
Q(r, t) = Mq (4πDt t)−3/2 exp(−r 2 /4Dt t)
3.17
Si tratta di una distribuzione spaziale di forma gaussiana, con massa totale di
contaminante Mq (kg) inizialmente concentrata nel centro della nube, e quindi
diffusa radialmente; il simbolo r indica la distanza dal centro.
Si noti che la larghezza della nube risulta alla lettera illimitata in qualsiasi
istante, fuorché in quello iniziale, per il consueto artefatto delle equazioni paraboliche. Se si adotta tuttavia, a rappresentare la larghezza della nube, la
deviazione standard del fattore di forma exp(−r 2 /4Dt t), si ritrovano le consuete leggi dei processi diffusivi, per quanto riguarda dimensione e velocità di
allargamento:
σr ∝ Dt t
vd ∝ Dt /t
con l’unica differenza che ora compare il coefficiente di diffusione turbolenta
Dt al posto di quello molecolare Dm .
11
Per non parlare del fatto che lo strato limite non è statisticamente omogeneo, o che è difficile
considerarlo stazionario per un periodo così lungo.
126
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Su una sovrapposizione di soluzioni di questa forma si basano numerosi modelli di calcolo della dispersione, che per questa loro origine vengono chiamati
modelli gaussiani. Ripristinando la velocità media del vento, si può rappresentare ad es. la dispersione di una nube che, emessa a un dato istante in un
punto sorgente, viene trascinata a valle nel mentre si allarga diluendosi. Oppure, se si considera una successione continua di nubi generate da un punto fisso
S , si ottiene il cosiddetto pennacchio gaussiano (cfr. fig. 3.5), utile a calcolare la concentrazione di una emissione continua da una sorgente puntiforme, o
che tale può essere considerata. Infine, distribuendo l’intensità della emissione
su una linea ortogonale al vento, si hanno modelli gaussiani per sorgenti lineari, tramite i quali si può stimare l’inquinamento di origine veicolare attorno a
una strada.
Per l’importanza che riveste in pratica, riportiamo l’espressione matematica
del pennacchio gaussiano, adottando i simboli con cui esso viene normalmente presentato. Sia S una sorgente puntiforme, che emette un inquinante con
portata Ṁq (kg/s), e si indichi con x la coordinata della direzione sottovento alla sorgente, con z la coordinata verticale e con y quella orizzontale, trasversale
al vento, fig. 3.5; l’equazione del pennacchio gaussiano, riferita a un sistema
di assi con origine in S , è:
Ṁq
z2
y2
Q(x, y, z) =
3.18
exp − 2 exp − 2
2πσy σz U
2σy
2σz
Si può controllare, per sostituzione, che la 3.18 è una soluzione stazionaria
della 3.15, purché si ponga:
x
σy2 = σz2 = 2Dt
3.19
U
e si consideri trascurabile il flusso di natura turbolenta nella direzione di x,
rispetto a quello dovuto alla velocità media U. In breve la 3.18, tramite la 3.19,
soddisfa l’equazione:
2
∂Q
∂2
∂
U
+
3.20
Q
= −Dt
∂x
∂y 2 ∂z 2
È facile manipolare la 3.18 in modo da mettere in conto l’effetto di superfici
riflettenti, dovute o alla presenza del suolo oppure a quella del bordo esterno
dello strato limite terrestre. Ad es., per calcolare l’effetto del suolo sulla concentrazione si può ricorrere alla nota tecnica dell’immagine, aggiungendo alla
sorgente reale una sorgente fittizia S di pari intensità, collocata in posizione
simmetrica rispetto alla superficie terrestre. La configurazione corrisponden127
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
z
S
y
U
x
Fig. 3.5 – Pennacchio gaussiano (cfr. fig. 7.3).
te risulta quella schizzata in fig. 3.6, che non necessita di grandi commenti;
nella situazione rappresentata il flusso di inquinante che attraversa la superficie orizzontale del terreno - dovuto ad entrambe le sorgenti, a quella reale S e
alla sua immagine S - è zero per simmetria. Con l’aggiunta di S viene pertanto simulata una distribuzione di concentrazioni, quale si avrebbe se il suolo
riflettesse completamente le particelle di inquinante12 . Formalmente, la presenza di S viene introdotta nel calcolo per pura sovrapposizione di soluzioni.
Spostata al suolo l’origine dell’asse verticale e indicata con hs l’altezza della
sorgente, l’equazione del pennacchio diviene:
Ṁq
(z − hs )2
(z + hs )2
y2
Q=
exp −
+ exp −
exp − 2
2πσy σz U
2σy
2σz2
2σz2
3.21
12
Si ottengono in questo modo risultati che non si curano della deposizione di inquinante al suolo.
Si tratta di una approssimazione accettabile nella maggior parte delle situazioni; è comunque
possibile affinare il calcolo per tener conto della deposizione con un procedimento iterativo.
128
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
S
z
hs
hs
S'
Fig. 3.6 – L’effetto di contenimento del suolo, che limita l’allargamento della nube, è trattato come una riflessione da parte del terreno per mezzo di una sorgente
immagine S .
In teoria, dunque, si potrebbero calcolare i coefficienti turbolenti di diffusione
Dt in base alle caratteristiche del campo di moto fluttuante u(x, t), e quindi
usare la 3.21 per determinare le concentrazioni medie. Nell’uso dei modelli
gaussiani si preferisce una strada più empirica; in effetti, le ipotesi che hanno permesso di presentare la 3.18 come dedotta dall’equazione mediata 3.2,
l’unica sicuramente corretta, sono poco affidabili. Il campo delle velocità turbolente dello strato limite terrestre non è omogeneo - le sue caratteristiche
variano rapidamente con la quota - l’ipotesi diffusiva 3.14 è corretta solo in
senso asintotico, il significato della scala temporale lagrangiana in un campo
non omogeneo è sfuggente. Pertanto si conservano le 3.18 e 3.21 nella loro
forma e si considerano le deviazioni standard σy e σz come dimensioni caratteristiche della sezione retta del pennacchio, la cui variazione con la distanza
sottovento va rilevata empiricamente.
È ovvio che la velocità con cui la nube si allarga dipende dalle condizioni
dinamiche dello strato limite terrestre; quindi occorre parametrare le curve
empiriche σy (x) e σz (x) con qualcosa che permetta di individuare in quali
condizioni lo strato limite si trovi. Le sei classi di stabilità di Pasquill, o le
sette proposte da altri, rispondono a questa esigenza (cfr. app. B). In base ad
129
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
σy(m)
A
BC
D E
F
103
102
10
1
102
103
104
x(m)
Fig. 3.7 – Andamento qualitativo della dimensione trasversale σy del pennacchio gaussiano in funzione della distanza sottovento. I simboli A, B, et cet., indicano le diverse
classi di stabilità dello strato limite terrestre (cfr. fig. 7.1).
alcune osservazioni - velocità del vento, copertura o meno del cielo, inclinazione del sole - si assegna la situazione in esame ad una delle classi di stabilità,
in genere indicate con le lettere A, B, C, D, E, F, e si calcola l’allargamento
della nube tramite i valori σy e σz dati dalle curve empiriche riportate in fig. 3.7
e 3.8; oppure, si calcolano σy e σz in base a formule di interpolazione numerica, che sono del tutto equivalenti alle curve. Il calcolo di Q avviene per mezzo
della 3.21, note σy e σz .
Torneremo in seguito sui processi dinamici dello strato limite terrestre, che la
classificazione proposta da Pasquill vuole sintetizzare. In questo momento è
solo il caso di notare che, una volta adottato questo procedimento empirico,
il legame tra il pennacchio gaussiano e la sua ascendenza matematica 3.20 è
divenuto molto debole. Le gaussiane che compaiono nella 3.21 sono funzioni
di forma che potrebbero essere sostituite da altre più o meno simili, senza
130
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
σz(m)
A
103
B
C
D
E
102
F
10
1
102
103
104
x(m)
Fig. 3.8 – Andamento qualitativo della dimensione verticale σz del pennacchio
gaussiano in funzione della distanza sottovento (cfr. fig. 7.2).
particolari problemi, purché la legge con cui si allargano sottovento venga
mantenuta13 . In realtà la correttezza della 3.21, o altre simili, risiede in due
elementi:
– la conservazione della massa di inquinante, espressa tramite la richiesta che quanto viene emesso dalla sorgente transiti verso valle, trascinato dal vento con velocità U , attraverso una sezione retta
qualsiasi del pennacchio, di area A:
QU dA
3.22
Ṁq =
A
– una ragionevole legge di allargamento sottovento della sezione
del pennacchio, dovuta al moto fluttuante, in dipendenza dalla
condizione dello strato limite terrestre.
13
Cfr. R.S. Scorer, Air Pollution, pag. 29, Pergamon Press, Oxford 1972.
131
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Si osservi che la 3.22, risolta per Q, è immediatamente riflessa dal primo fattore
a secondo membro della 3.21:
Ṁq
2πσy σz U
poiché l’area della sezione retta del pennacchio è proporzionale al prodotto
σy σz . Questo fatto ci permette di trarre una conclusione, che riguarda le concentrazioni al suolo. È evidente che il pennacchio può interessare la superficie
terrestre solo quando si sia allargato in modo tale da avere una dimensione
trasversale almeno pari all’altezza del punto di emissione; quindi quando si
abbia: σz ∼ σy ∼ hs . Per il calcolo approssimato della concentrazione al
suolo, Qs , si può scrivere semplicemente:
Ṁq
3.23
hs 2 U
formula che è valida, a parte un coefficiente numerico dell’ordine dell’unità, per la stima del valore massimo di Qs al suolo. A parità di emissione,
le concentrazioni al suolo risultano inversamente proporzionali al quadrato
dell’altezza della sorgente e al valore della velocità del vento.
Nella sua semplicità la 3.23 sintetizza un paio di fatti di importanza pratica. A
parità di U , il valore massimo di concentrazione al suolo non dipende dalle
caratteristiche della turbolenza atmosferica, ma è fissato dalla conservazione
della massa ( 3.22) e da una considerazione puramente geometrica. Se cresce
l’intensità dei processi di dispersione, il pennacchio si allarga con maggiore
rapidità; ma questo fatto comporta solo che la zona al suolo maggiormente colpita si avvicini alla sorgente. Il valore del massimo di concentrazione, invece,
rimane pressoché invariato; è determinato infatti dalla condizione che l’area
di passaggio dell’inquinante sia grosso modo14 ∼ πh2s . Né il valore massimo
dipende in modo significativo dalla forma gaussiana o meno, del pennacchio;
del resto, la 3.23 può farsi apparire in una espressione qualsiasi del pennacchio
semplicemente adottando l’altezza hs come unità di misura, e riscalando di
conseguenza le altre lunghezze. Si ottiene la 3.23 moltiplicata per una funzioQs ∼
14
Le cose possono cambiare se si presume che σy e σz varino con legge tra loro diversa in funzione di x, dando una sezione retta del pennacchio più o meno ellittica a seconda delle condizioni dell’atmosfera. Si tratta di una anisotropia molto sensibile in condizioni di forte stabilità, quando le fluttuazioni verticali vengono soppresse, mentre quelle orizzontali permangono;
cfr. fig. 3.7 e 3.8.
132
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
ne adimensionata di forma, che nel punto al suolo di massimo valore si riduce
a un numero15 .
Nel capitolo 7 introdurremo strumenti di calcolo della dispersione turbolenta
che si basano sull’equazione differenziale 3.20:
∂Q
∂Q
∂Q
∂
Dy
+ Dz
U
=−
∂x
∂y
∂y
∂z
scritta tenendo distinti i coefficienti di diffusione nelle diverse direzioni e risolta numericamente. La tecnica viene adottata quando il caso studiato non
rientra nella classificazione di Pasquill, per qualche motivo che rende i coefficienti Dy e Dz diversi da quelli consueti nello strato limite terrestre su terreno
piatto. Un caso tipico è quello della dispersione di inquinanti attorno a una
strada di grande traffico, ove la scia dei veicoli contribuisce in modo significativo alla turbolenza dell’aria. L’effetto della scia viene messo in conto,
modificando punto per punto i coefficienti di diffusione turbolenta; la forma
della soluzione non è, ovviamente, gaussiana.
Innalzamento del pennacchio
Dal quadro che abbiamo delineato appare evidente che le previsioni del calcolo possono risultare notevolmente diverse dalle misure sul campo; per essere
chiari, occorre accettare senza battere ciglio uno scarto del 100% sui valori
singoli misurati in un punto. D’altra parte più è lungo il tempo su cui si effettua la media, minore deve risultare la differenza tra previsione e misura, a
meno che non vi sia qualche errore sistematico.
Si possono avere tuttavia nelle vicinanze della sorgente errori ben più grandi,
nel senso che capita di trovare alte concentrazioni di inquinante in luoghi ove
secondo la previsione non avrebbe dovuto esservene traccia, o viceversa. Sono molti i fenomeni che possono contribuire all’errore, non ultimo il carattere
asintotico delle soluzioni diffusive, poco adatte a valutare concentrazioni me-
15
Nel caso del pennacchio gaussiano, si può cercare il massimo della 3.21, per z = y = 0, in
funzione di σz2 ; in corrispondenza di σz2 = h2s /2, si ha il valore: Qmax = 2Ṁq /(πh2s U e), ove
l’ultimo simbolo indica la base dei logaritmi naturali.
133
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
die a breve distanza dalla sorgente16 ; ma per esperienza le cause più frequenti
di errore sono più banali. Esse si riducono essenzialmente a due:
– l’aver dimenticato che il pennacchio gaussiano presume una velocità
media orizzontale su terreno piatto, e un moto di agitazione turbolenta del tutto isotropo. La presenza di edifici o di colline, può generare
strutture coerenti che vanificano l’una o l’altra ipotesi; gli schizzi di
fig. 3.9 dovrebbero essere sufficienti a illustrare la problematica, su
cui torneremo per qualche suggerimento pratico prima della fine del
corso.
– l’aver considerato come altezza del pennacchio quella geometrica
della sorgente, ignorando le cause che tendono a innalzarlo.
Spendiamo qualche parola su quest’ultimo argomento. La 3.23 mostra immediatamente quale sia l’importanza dell’altezza hs a cui si stabilizza l’asse del
pennacchio nei confronti della concentrazione al suolo dei vari inquinanti, la
quale è regolata per legge17 . Tuttavia l’altezza hs è spesso diversa da quella
geometrica ho della sorgente. Vi sono due fattori che tendono a modificarla: la
quantità di moto con cui il pennacchio è emesso verso l’alto, e la sua differenza di temperatura rispetto all’ambiente esterno; se il gas emesso dal camino è
più caldo dell’aria circostante, il pennacchio tende a salire. In genere si scrive:
hs = ho + Δh
ove Δh è l’innalzamento dovuto alla spinta di galleggiamento e alla quantità
di moto iniziale, e si usa questa altezza modificata per il calcolo delle concentrazioni al suolo. A dire la verità, che l’effetto delle condizioni di sbocco
- alta velocità e alta temperatura del gas emesso - si possano ricondurre a un
16
Se la distribuzione delle velocità fluttuanti non è gaussiana - e nello strato limite non lo è - vicino
alla sorgente neppure la concentrazione può essere distribuita nello spazio in questa forma. Più
lontano, tende a divenirlo.
17
L’influenza di una sorgente sull’inquinamento di media e grande scala è legato essenzialmente
alla portata di inquinante Ṁq , in altre parole a quelli che la legge definisce valori di emissione.
Il benessere di coloro che vivono nelle vicinanze della sorgente dipende, come è ovvio, dalle
concentrazioni locali al suolo - da quelli che nella legge italiana vengono chiamati valori di
immissione, per qualche misterioso motivo. Questi ultimi dipendono fortemente dall’altezza
effettiva del pennacchio.
134
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
R
R
R
Fig. 3.9 – Tre casi ove nel punto di ricezione R non avrebbe dovuto trovarsi, secondo il
pennacchio gaussiano, alcun contaminante emesso dalla sorgente S. I primi due sono
del tutto tipici; il terzo ha richiesto il talento del progettista di un laboratorio per la lavorazione di sostanze altamente tossiche; nel punto R si trovava la bocca di aspirazione
per l’impianto di ricircolazione dell’aria.
semplice innalzamento del pennacchio, è molto discutibile. Nella fase immediatamente successiva allo sbocco, il gas emesso non viene semplicemente
trasportato dalla turbolenza atmosferica, ma determina per buona parte il suo
stesso campo di moto. Per effetto della velocità di uscita la massa effluente
forma un getto rivolto verso l’alto, la cui evoluzione dinamica è in gran parte
indipendente dalle caratteristiche del moto atmosferico, almeno finché le velocità tipiche del fluido emesso risultano più alte di quelle dovute alla turbolenza
dell’aria che lo circonda. Si ha quindi una prima fase in cui il movimento dell’aria può essere ignorato; un getto che sbocca in un fluido altrimenti in quiete
provoca un campo di velocità caratterizzato da una portata globale di quan135
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Δh
h0
Fig. 3.10 – Innalzamento del pennacchio per effetto della velocità verticale di sbocco.
tità di moto, attraverso un piano ortogonale al suo asse, che non varia con
la distanza dalla sezione di sbocco. La portata di massa va invece crescendo
con la distanza dallo sbocco, poiché la corrente che emerge cattura e coinvolge nel suo moto vorticoso un volume crescente di fluido esterno. L’insieme
di queste due condizioni implica una progressiva perdita di velocità del getto,
che dopo una fase iniziale prima si inclina in direzione sottovento, quindi finisce con l’essere trasportato passivamente dai moti dell’atmosfera (fig. 3.10).
A questo punto, il fenomeno di innalzamento dell’asse del pennacchio, dovuto alla componente verticale della quantità di moto presente allo sbocco, può
considerarsi concluso.
Nel caso che il fluido emergente da una ciminiera sia più caldo dell’aria circostante, il pennacchio tende a salire anche per effetto della spinta di galleggiamento - la nota spinta di Archimede18. Il flusso di quantità di moto verticale
attraverso una sezione retta del pennacchio non rimane in questo caso costante; tende a crescere finché la spinta dovuta alla minore densità non si esaurisce
per effetto del rimescolamento con l’aria. Il campo di moto che ne deriva non è
di semplice configurazione, perché la massa calda non rimane compatta mentre si inclina sottovento, ma subisce un processo di biforcazione, come quello
schizzato in fig. 3.11.
18
Diamo per scontato che a una maggiore temperatura corrisponda una minore densità; la cosa
nella maggior parte dei casi risulta vera.
136
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Fig. 3.11 – Biforcazione del pennacchio per effetto termico.
Le sezioni del pennacchio inclinato si comportano all’incirca come termiche
bidimensionali; per l’effetto accoppiato dei gradienti di densità e del campo
gravitazionale19 si strutturano in due vortici controrotanti, che richiamano dall’esterno aria fresca nella regione di mezzo. L’aria transita dal basso verso
l’alto, mentre il gas caldo rimane relativamente confinato nelle strutture vorticose, che salgono più lentamente; la zona di più rapido mescolamento è quella
superiore, ove le traiettorie delle particelle di aria mediamente divergono20. Si
può calcolare all’ingrosso l’innalzamento del pennacchio basandosi su soluzioni autosimili - quella per il getto, o per la termica, o per il cosiddetto puff
o sbuffo, un grumo di fluido in moto turbolento dotato di quantità di moto rispetto al fluido che lo circonda. La difficoltà sta nel fatto che l’effetto termico
e quello della quantità di moto iniziale sono entrambi presenti, e che il gas
emesso dal camino interagisce con il moto dell’atmosfera, passando da una
19
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 4.5.
20
Le configurazioni con linee di corrente divergenti sono instabili.
137
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
configurazione simmetrica attorno ad un asse verticale, vicina a quella di un
getto, e a una finale simile a un puff o a una termica bidimensionale, così che
in realtà le condizioni di similitudine non sono globalmente rispettate. Occorre separare l’evoluzione in fasi distinte, fissando a buon senso il momento del
passaggio dall’una all’altra21 . Per farla breve, si ottiene per l’innalzamento
Δhqm , dovuto alla quantità di moto iniziale, una relazione del tipo:
2.2 wo
Δhqm
∼ √
3.24
do
i U
mentre per l’innalzamento termico Δht si ha:
wo do g Δρ
Δht
∼ 0.6 2 3
do
i U ρa
3.25
In entrambi i casi il calcolo di Δh viene svolto assumendo che il processo
di innalzamento del pennacchio sia terminato, nel momento in cui la velocità verticale w del gas emesso dal camino si è ridotta al di sotto della velocità
delle fluttuazioni verticali spontanee dell’atmosfera. Indicato con iU l’ordine
di grandezza di queste, ove U rappresenta la velocità media del vento, la fine della fase di innalzamento è caratterizzata dalla condizione: w ∼ iU . È
ovvio che l’influenza sul fenomeno del moto di agitazione dell’atmosfera è
rappresentata dal coefficiente i - un indice di intensità della turbolenza naturale; quando w è sceso al di sotto di iU , le peregrinazioni del pennacchio sono
sostanzialmente dovute alle componenti di grande scala del movimento dell’aria. I rimanenti simboli che compaiono nelle 3.24 e 3.25 stanno a indicare il
diametro do del camino, la velocità wo del gas allo sbocco, l’accelerazione di
gravità g, la densità ρa dell’aria, la differenza di densità Δρ ≡ ρa − ρg , ove
ρg è la densità della miscela di gas al momento dello sbocco.
Nella formula 3.24 non compare il rapporto ρa /ρg , perché lo si è supposto
vicino a 1. In buona parte dei casi, infatti, la massa molecolare media della
miscela emergente dal camino non è molto diversa da quella dell’aria, mentre
pressione e temperatura - la prima per ragioni di equilibrio, la seconda per
21
Una discussione di questa problematica si trova in R. Scorer, Environmental Aerodynamics,
John Willey & Sons, London, 1978, sec. 10.3.
138
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
ipotesi - sono considerate uguali all’interno e all’esterno del getto22 . Quando
si passa a considerare l’innalzamento termico, l’avere assunto che la differenza
del numero di massa molecolare sia irrilevante porta ad attribuire la differenza
di densità Δρ, tra gas e aria circostante, alla sola differenza di temperatura,
così che è possibile adottare la sostituzione:
ΔT
Δρ
−
ρa
Ta
Non è il caso di giurare sui coefficienti numerici che compaiono nelle 3.24, 3.25; d’altra parte, l’inesattezza eventuale dei coefficienti è resa del
tutto insignificante dalla indeterminazione dell’indice i. Questo è usualmente
nello strato limite terrestre dell’ordine di 0.1. Si possono tuttavia avere condizioni di vento molto debole in giornate solatie, nelle quali la velocità tipica
delle correnti ascendenti è dello stesso ordine di quella del vento, quindi i ∼ 1;
mentre in condizioni di grande stabilità, in genere di notte, vi sono correnti di
aria che scorrono, a partire da una decina di metri al di sopra di un terreno piatto, prive di fluttuazione verticale o quasi. Per un pennacchio di gas immesso
in una corrente di tal fatta, occorrerebbe adottare un valore bassissimo di i,
diciamo 10−3 tanto per ricordare un valore rintracciabile in letteratura. Ma è
immediato verificare che l’innalzamento termico risulterebbe, in questo caso
estremo, esorbitante. Si possono infatti adottare come riscontro alcuni valori
tipici di una grande centrale termica: Δρ/ρa ∼ 0.3, do ∼ 5 m, wo ∼ 3 m/s,
e infine U compreso tra 3 e 10 m/s. Per i = 10−3 , si ottiene dalla 3.25 un
innalzamento di origine termica variabile tra 5 · 106 m e 1.35 · 105 m, che è
chiaramente eccessivo.
In realtà, le formule 3.24 e 3.25 vanno bene nei casi intermedi, ove permettono
di trarre qualche considerazione di massima. Posto i = 0.1, ad es., la 3.24
mostra come nella maggior parte dei casi l’effetto della quantità di moto del
getto si esaurisca a distanza di poche decine di diametri dallo sbocco; ad es.,
con i valori U ∼ 5 m/s, wo ∼ 15 m/s, si ottiene:
Δhqm ∼ 20do
22
Vengono descritte condizioni tipiche dello sbocco da camino di prodotti di combustione; la
velocità è subsonica e questo assicura l’equilibrio di pressione. Diverso è il caso del getto provocato dall’apertura di una valvola di sicurezza di un impianto in pressione, che verrà discusso
in seguito.
139
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Fig. 3.12 – Camino con insufficiente velocità di uscita del gas: il pennacchio è catturato
dalla scia del camino.
Si noti che qualora wo risulti inferiore a U , viene a mancare la fase in cui il
getto si sviluppa nell’aria come se il movimento di questa fosse insignificante,
e la 3.24 non è applicabile. Le modifiche indotte sul campo di velocità dell’aria
dall’ostacolo rappresentato dal camino divengono importanti, ed è probabile
che il gas emesso venga coinvolto nella scia del camino stesso, che agisce sul
vento da corpo tozzo; in fig. 3.12 è schizzato l’effetto bandiera che ne deriva.
Naturalmente, nella maggior parte dei casi sono presenti entrambi gli effetti,
quello termico e quello di quantità di moto. Può essere interessante confrontare l’entità dei due innalzamenti mediante le 3.24, 3.25; uguagliando i secondi
membri delle equazioni si ottiene la condizione per cui i due innalzamenti
risultano identici:
3
Δρ gdo
∼ 3.5i 2
3.26
2
ρa U
da cui traspare ancora una volta l’importanza dell’indice di turbolenza i. Tuttavia, fissato l’indice, la relazione mette in evidenza l’importanza non solo
della variazione percentuale di densità Δρ/ρa −ΔT /Ta , ma anche quella
di un dato geometrico del camino, il diametro do . Quando il primo membro
della 3.26, infatti, diviene maggiore del secondo, la cosa sta a indicare la preponderanza dell’innalzamento di origine termica su quello di quantità di moto,
e viceversa. Usando l’accetta, si può dire che negli impianti termici di grande
potenza l’innalzamento di origine termica Δht è usualmente predominante si hanno alti d0 e ΔT /Ta - ed a maggior ragione lo è nelle ore notturne, quando si ha un basso valore di i. Mentre se si considera l’uscita di un gas da una
140
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
valvola, il cui diametro è sicuramente piccolo, allora il comportamento da getto puro è presente per un buon tratto - si ha sempre in questa situazione un
alto valore del rapporto wo /U - e non è certo che un’eventuale differenza di
densità allo sbocco risulti significativa in seguito. La fase di getto comporta infatti un rapido mescolamento e l’omogeneizzazione con l’aria circostante
che tende a livellare le differenze; in tale condizione è difficile la formazione
di una struttura organizzata come quella di una termica bidimensionale. Nei
casi intermedi si ha probabilmente quella sequenza di diverse configurazioni
e dinamiche, a cui abbiamo già accennato; nella fase iniziale il gas emergente si comporta come un getto classico, indifferente ai moti atmosferici; quindi
il pennacchio si inclina e assume la configurazione di una termica o di uno
sbuffo bidimensionale.
In questa breve esposizione non abbiamo ancora considerato quale effetto abbia sull’ascesa del pennacchio la variazione con la quota delle condizioni dell’atmosfera. Abbiamo assunto, a caratterizzare le condizioni esterne, solo una
velocità e un indice di turbolenza, nonché una densità dell’aria, come se lo
stato dell’atmosfera fosse omogeneo. Si tratta di una semplificazione accettabile quando la sorgente del pennacchio si trova all’interno di quella parte dello
strato limite che è chiamata di convezione , e che si estende in una giornata di
sole da qualche decina di metri fino al bordo esterno dello strato. È l’altezza
del bordo - e non la 3.25 - a definire, in condizioni normali, il valore massimo
di innalzamento del pennacchio, che non può sfondarlo di molto per l’effetto
di contrasto della forte stabilità atmosferica che vige al di sopra dello strato limite (cfr. fig. 3.13). Altro discorso varrebbe in condizioni eccezionali; il fungo
di un’esplosione atomica, per citare una meraviglia del progresso tecnologico,
sale molto più in alto.
Se si hanno condizioni di forte stabilità vicino a terra - nel linguaggio degli
iniziati si dice in tal caso che si ha inversione al suolo - il fatto limita l’innalzamento di origine termica del pennacchio. La cosa viene presa in conto
in alcune formule, come quelle di Briggs23 , in cui compare un parametro di
stabilità atmosferica, il cui ruolo nel calcolo dell’innalzamento è esattamente
quello ricordato. L’argomento sarà ripreso al capitolo 7.
23
G.A. Briggs, Plume rise, USAEC, Div. Tech. Info., 1969.
141
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
S
h
Fig. 3.13 – Innalzamento del pennacchio limitato dall’altezza h dello strato limite
terrestre.
Fig. 3.14 – Efflusso di gas più pesante dell’aria.
Non ci addentriamo nel confronto tra le diverse formule proposte per il calcolo dell’innalzamento, che risultano tra loro sorprendentemente diverse, almeno per quanto riguarda il calcolo di Δht . Noi abbiamo adottato una sorta
di collage di soluzioni autosimili, proposto da Scorer, che porta alle 3.24, 3.25,
e l’abbiamo riscritto in veste adimensionata perché ci è sembrato il modo più
rapido per mettere in evidenza l’importanza di alcune grandezze. In realtà, il
calcolo dell’innalzamento è automaticamente svolto dai programmi di simulazione numerica della dispersione, una volta che siano assegnate le condizioni
termodinamiche e cinematiche del gas allo sbocco, quelle dell’atmosfera, e
l’altezza dello strato limite terrestre. Non fa una grande differenza quale sia
142
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
il modello di comportamento del pennacchio adottato, dal momento che tutti
i codici di calcolo derivano la loro affidabilità dall’essere stati opportunamente tarati. L’innalzamento del pennacchio è solo un fattore di incertezza che
si aggiunge ad altri, già ricordati. È ovvio che tutti insieme rendono l’esattezza della previsione alquanto scarsa. Quello che ci si può attendere da una
misura di concentrazione di un contaminante emesso da una sorgente le cui
caratteristiche sono del tutto note - effettuata per qualche giorno in una stessa posizione, e mediata su tale periodo - è che il risultato sia il doppio o la
metà di quello previsto. Naturalmente, si può ottenere anche di peggio, senza
grande sforzo.
Infine, prima di chiudere questo paragrafo, ricordiamo che in alcune situazioni
il pennacchio può rapidamente abbassarsi dopo lo sbocco dal camino, anche
se il vento non ha componenti verticali, una volta che sia esaurita la velocità
iniziale; quando il gas è più pesante dell’aria, oppure quando lo divenga per la
rapida evaporazione di acqua polverizzata contenuta al momento dello sbocco
(cfr. fig. 3.14). Proseguiremo la trattazione nel capitolo 6.
Modelli a scatola
Si chiama modello a scatola - box model - un modo di calcolare la concentrazione di una sostanza immessa nell’ambiente, che è basato su un bilancio di
massa applicato in forma elementare a un volume finito di controllo. Si può
pensare che il modello a scatola derivi, quando non lo si assuma su base intuitiva, dall’equazione integrale di bilancio di una grandezza scalare di densità
qt , che qui trascriviamo24 :
∂qt
dV =
sqt dV −
Fqt · ndA
3.27
V ∂t
V
A
Se si applica il consueto operatore di media all’equazione 3.27, le variabili che
vi compaiono si trasformano nei rispettivi valori medi:
qt → Q ≡< qt >
sqt → Sq ≡< sqt >
salvo i termini di flusso di origine convettiva, che nel processo di media danno
24
Vedi app. A; il versore n rappresenta la normale esterna alla superficie.
143
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
luogo a termini aggiuntivi, derivanti dalla correlazione tra le variabili fluttuanti
u e q:
Fqt ≡ (Fqt )dif + (Fqt )con = (Fqt )dif + qt ut →< (Fqt )dif >+QU+< qu >
Come in tutti i problemi di dispersione, i flussi di origine diffusiva risultano
irrilevanti rispetto a quelli convettivi e il termine < (Fqt )dif > può essere
ignorato. Inoltre, il primo membro dell’equazione mediata si annulla se il
processo di dispersione è stazionario in senso statistico, come si assume che
sia in tutti i calcoli di questa natura. Si ha infatti:
∂Q
dV = 0
V ∂t
dal momento che il valor medio Q non varia nel tempo. L’equazione integrale
mediata diviene pertanto:
Sq dV = (QU+ < qu >) · ndA
3.28
V
A
alla quale si può dare un significato di facile comprensione: la 3.28 stabilisce
che la massa di contaminante immessa all’interno del volume di controllo V
- l’integrale a primo membro - fluisce verso l’esterno attraverso la superficie
di questo.
Poiché in questo tipo di problemi l’entità delle emissioni è assegnata, si può
porre:
Sq dV = Ṁq
V
ove Ṁq , in kg/s, rappresenta la portata complessiva delle sorgenti contenute
all’interno di V . Il calcolo della concentrazione Q deriva dall’esplicitazione
dell’integrale di flusso. Si può scegliere il volume di controllo in modo tale
da rendere irrilevanti i flussi dovuti alla componente fluttuante del campo di
moto; in genere, si immagina che il volume di controllo abbia la forma di un
parallelepipedo, con uno spigolo orientato nella direzione della velocità media
del vento, cfr. fig. 3.15 ove la direzione del vento è indicata con l’asse x. Se le
superfici laterali sono sufficientemente lontane dalle sorgenti non si ha alcun
flusso che le attraversi; la velocità media del vento non ha componente normale alle superfici, mentre la correlazione < qu > risulta nulla perché le due
144
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
z
y
x
Fig. 3.15 – Volume di controllo a forma di parallelepipedo. La direzione x è parallela
alla direzione media del vento.
fluttuazioni non sono correlate25 . In effetti, se le sorgenti sono lontane dalle
superfici laterali, non esiste nell’intorno di queste nessun effetto che sostenga una direzione privilegiata del flusso26 . Rimane da calcolare la portata che
transita attraverso le due superfici piane, ortogonali alla direzione del vento, la
cui area indichiamo con Ax . In questo caso il flusso dovuto alla componente
fluttuante del campo risulta trascurabile rispetto a quello dovuto alla velocità
media, semplicemente perché u è in modulo più piccola di U; si tratta della
stessa semplificazione adottata nelle soluzioni gaussiane, ove il trasporto della
25
Non si può affermare che la fluttuazione q sia nulla, perché in linea di massima la corrente a
monte sarà già inquinata.
26
Adottando la consueta approssimazione:
< uq >= −Dt ∇Q
si può affermare che il gradiente ∇Q è così piccolo, in corrispondenza delle superfici laterali,
da poter essere considerato nullo.
145
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
nube in direzione sottovento viene computato come se fosse dovuto alla sola
velocità media. Nella sezione di monte si ha dunque:
(QU+ < qu >) · ndA =
QU · ndA = −Qo U Ax
Ax
Ax
avendo supposto l’esistenza di una concentrazione di fondo Qo uniforme, e
una velocità media del vento poco variabile da punto a punto.
Per effetto delle immissioni di contaminante che avvengono all’interno del
volume di controllo è difficile che la concentrazione nella sezione di valle
risulti costante; tuttavia, se così fosse, si potrebbe scrivere anche nella sezione
di valle:
QU · ndA = QA U Ax
Ax
e l’equazione di bilancio 3.28 diverrebbe:
−Qo U Ax + QA U Ax = Ṁq
Quest’ultima può essere risolta in favore di QA ; si ottiene:
Ṁq
3.29
Ax U
La 3.29, o qualcosa di simile, viene usata per stimare la concentrazione media Q - tramite il calcolo di QA - in punti a valle della zona di immissione
di una sostanza, quando la distribuzione delle sorgenti sia di forma complessa; si conglobano allora le sorgenti all’interno di un volume di controllo, di
modo che l’unico dato significativo risulti la portata totale Ṁq , e si calcola la
concentrazione a valle mediante la 3.29.
QA = Qo +
A parte la presenza del valore di fondo Qo fino ad ora ignorato, ma che potrebbe essere aggiunto senza alcuna difficoltà a qualsiasi formula di dispersione,
la 3.29 mostra lineamenti comuni a tutte le altre: l’incremento della concentrazione QA , rispetto al valore di fondo Qo , risulta proporzionale alla portata
Ṁq delle sorgenti, e inversamente proporzionale sia alla velocità media U del
vento, sia all’area della sezione di passaggio. In realtà, la 3.29 non è poi molto
diversa dal pennacchio gaussiano (cfr. 3.18), salvo che per un fatto di convenzione, che tuttavia ha delle conseguenze. Nell’applicare l’equazione del
pennacchio, non risulta che a qualcuno sia mai venuto in mente di considerare costanti, e indipendenti dalla coordinata x, le dimensioni lineari σy , σz ,
che caratterizzano la sezione retta della nube; l’idea, giustissima, che la nube
si va allargando sottovento sembra ben radicata. All’apparenza, nell’applicazione dei modelli a scatola, le cose non sono altrettanto chiare; negli studi di
146
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
impatto ambientale si incontrano calcoli in cui l’area Ax risulta scelta, non in
base alla distanza sottovento del punto di ricezione e alle caratteristiche del
moto atmosferico, ma in base alle considerazioni più stravaganti, con il risultato di ottenere valori di (QA − Qo ) di fantasia. A costo di dire una banalità,
è bene allora ricordare che QA dipende dalla scelta di Ax , e che Ax dipende
da x - i pedici sono stati aggiunti volutamente. Per intendersi, se si assumono
dimensioni della sezione della scatola tre volte più grandi di quelle della sezione della nube, si ottiene una stima della concentrazione che è di un ordine di
grandezza, dieci volte, più piccola di quella reale, et cet., cfr. 3.29. In conclusione QA può essere considerato una stima accettabile di Q, solo se l’area Ax
è vicina a quella della sezione della nube, in configurazione opportunamente
mediata.
Rimane naturalmente la difficoltà di valutare la variazione sottovento di Ax ,
che presenta il consueto grado di incertezza. Un calcolo grossolano può essere
svolto secondo questo procedimento: indicate con l e h la lunghezza e l’altezza della sezione della nube - si presuppone che la nube, essendo inscatolata,
presenti una sezione rettangolare, così da avere S = lh - si può calcolare la loro variazione sottovento mediante un’approssimazione lineare, accettabile per
distanze relativamente brevi27 :
σv x
l = lo + σv t = lo +
3.30
U
σw x
h = ho + σw t = ho +
3.31
U
ove lo e ho rappresentano le dimensioni iniziali della sezione retta della nube,
t il tempo di volo dal momento dell’immissione, e σv e σw stanno a indicare
le deviazioni standard del campo di velocità fluttuante, rispettivamente nella
direzione orizzontale y e nella direzione verticale z .
Le 3.30 e 3.31 descrivono una nube la cui sezione si allarga linearmente, mentre si sposta sottovento con velocità U . Le dimensioni ho e lo possono essere
stimate solo conoscendo la disposizione delle sorgenti. Quando il processo
di dispersione si svolge nella immediata vicinanza del suolo, la fluttuazione
di velocità verticale σw è sicuramente più piccola di quella orizzontale σv ,
perché maggiormente limitata dalla presenza del terreno. Si può assumere
27
Quando il ricettore è lontano, le sorgenti possono essere considerate come un’unica sorgente
puntiforme e non rimane motivo per adottare un box model.
147
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
σw /σv = 1/2 per simulare una più rapida dispersione delle traiettorie in senso
orizzontale28 , e quindi scrivere le 3.30, 3.31 in funzione di un unico parametro
che caratterizza il campo di moto, ad es. del rapporto σw /U . Il che non riduce
di molto la complessità del problema, perché il parametro in questione risulta estremamente vario; si può dare soltanto qualche indicazione di massima.
Scelto come valore di riferimento della velocità media del vento U la velocità a 10 metri di altezza sul suolo, il più comune dato di σw /U risulta essere
∼ 0.1, in condizioni vicine alla stabilità neutra. In una giornata poco ventosa ma insolata - nelle condizioni che vengono definite fortemente instabili lo stesso rapporto può raggiungere valori vicini all’unità. Di notte, in condizioni fortemente stabili, o nelle brezze catabatiche, può essere così piccolo da
risultare irrivelante; in tal caso l’allargamento della nube può essere ignorato,
almeno finché si valutano le concentrazioni a breve distanza dalla sorgente.
3.3.
TRASPORTO TURBOLENTO DI QUANTITÀ DI MOTO
Viscosità turbolenta
Il procedimento adottato nel paragrafo precedente può essere applicato senza
molta difficoltà al bilancio della densità di quantità di moto ρut . Ovviamente,
in tal caso non può considerarsi assegnata la statistica del campo di velocità,
che è l’oggetto dell’indagine. Il modo di operare non presenta tuttavia differenze, se non formali, rispetto a quanto abbiamo già esposto a proposito dello
scalare qt . Sostituito qt con ρut , l’equazione di bilancio diviene:
∂
∂
[ρ(ui )t ] = −
[ρ(ui )t (uj )t + (fij )t ]
3.32
∂t
∂xj
che è quella già nota29 , salvo per il pedice t che è stato aggiunto al fine di
ricordare che il campo di moto è turbolento. Nella dinamica delle correnti turbolente la variazione di densità ha scarsa importanza; si può quindi trascurarla
28
Cfr. F. Pasquill, The dispersion of material in atmospheric boundary layer - The basis for
generalization, Lectures on air pollution and environmental impact analyses, American
Meteorological Society, Boston, 1975.
29
C. Cancelli, op. cit. 1.3.
148
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
e ritenere nulla, come conseguenza, la divergenza del campo di velocità:
∂uj
=0
∂xj
Con questa semplificazione il flusso di quantità di moto dovuto al moto
molecolare o browniano diviene:
∂
∂
(fij )t = pδij − μ
(ui )t +
(uj )t
∂xj
∂xi
ove p è la pressione di equilibrio termodinamico, come di consueto.
Applicando l’operatore < • > alla 3.32, si ottiene:
∂
∂
(ρUi Uj + ρ < ui uj > +Fij )
3.33
(ρUi ) = −
∂t
∂xj
che è l’equazione che descrive l’evolvere della media lineare U, primo momento della distribuzione di velocità negli N domini. Il flusso medio Fij che
vi compare è dato dalla relazione:
∂Ui ∂Uj
Fij ≡< (fij )t >= P δij − μ
+
∂xj
∂xi
in cui P rappresenta il valore medio < p > della pressione. È sufficiente uno
sguardo alla 3.33 per richiamare quanto è già stato affermato a proposito della
densità qt di una grandezza qualsiasi. L’evoluzione del valor medio lineare
della quantità di moto è regolata da un’equazione che è simile a quella che
descrive l’evoluzione istantanea della stessa variabile in uno qualsiasi degli N
domini. La sola novità deriva dalla comparsa della correlazione ρ < ui uj >
che rappresenta un flusso di quantità di moto generato dalla parte fluttuante
del campo, la quale influenza il cambiamento nel tempo e la distribuzione
spaziale del valore medio lineare ρU. Non staremo a ripetere quale sia la
ragione matematica, o il significato fisico, della comparsa del tensore doppio
ρ < ui uj >
il quale, con il segno cambiato, prende il nome di tensore degli sforzi di
Reynolds.
Come nel caso generale, la presenza delle sei componenti del tensore
ρ < ui uj > rende il problema indeterminato; né può essere perseguita la strategia di scrivere nuove equazioni per le nuove incognite, perché il numero
delle incognite cresce più rapidamente di quello delle equazioni. Per uscire da
questa situazione di stallo, occorre esprimere il tensore di Reynolds in funzione delle medie lineari già presenti nell’equazione 3.33. Il metodo più semplice
149
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
è quello proposto da Boussinesq, il quale introdusse più di un secolo fa l’idea
di un coefficiente di viscosità turbolenta. Seguendo Boussinesq si può adottare
la chiusura:
∂Ui ∂Uj
ρ < ui uj >= −ρνt
+
3.34
∂xj
∂xi
in cui νt assume il significato - e ha le dimensioni fisiche - di una viscosità cinematica legata alle caratteristiche del campo fluttuante. Le viene dato
usualmente il nome di viscosità cinematica turbolenta o apparente; al prodotto
μt ≡ ρνt
si riserva il nome di viscosità dinamica turbolenta. Adottando la 3.34, si
ottiene per la 3.33 una forma che può pensarsi derivata dall’equazione di
partenza 3.32 tramite le sostituzioni:
ut → U
p→P
ν → ν + νt
La 3.34 presuppone con tutta evidenza che il moto di fluttuazione condivida
sia il carattere locale, sia l’isotropia del moto termico delle molecole; l’espressione dei flussi convettivi ρ < ui uj > è infatti identica a quella dei flussi
molecolari.
Abbiamo più volte ricordato che tale stretta parentela non ha reale giustificazione; tra l’altro, la 3.34 implica che il valore medio della densità di energia
cinetica turbolenta ρ < uk uk /2 > sia nullo, il che è palesemente assurdo30.
Questa seconda difficoltà può essere rimediata modificando la 3.34 e aggiungendo come nuova variabile l’energia cinetica per unità di massa, o varianza
σu2 /2 ≡< uk uk /2 >. La cosa richiede che si aggiunga al modello matematico una nuova equazione, la quale a sua volta necessita di nuove e arbitrarie
chiusure.
Possiamo lasciar cadere l’argomento, che in ogni caso non dà risposta alle
obiezioni fondamentali che si possono muovere alla 3.34. Per i fini che ci proponiamo in questo paragrafo - una descrizione qualitativa dei campi di velocità
media - la formulazione di Boussinesq è sufficiente. Essa pone in luce il fatto
30
Per dimostrarlo è sufficiente contrarre la 3.34 e ricordare che il campo di velocità media è
solenoidale: i. e., ∂Uk /∂xk = 0.
150
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
che le fluttuazioni di velocità tendono a rendere uniforme il campo della velocità media, poiché rimescolano le particelle di fluido in modo simile a quanto
viene fatto, su scala enormemente più piccola e con intensità di gran lunga minore, dal moto termico delle molecole. L’effetto può essere assimilato a quello
di una viscosità apparente νt , purché si ricordi che questa grandezza dipende
dalla intensità e dalla struttura della componente fluttuante del campo di velocità, e che pertanto può variare in modo estremamente marcato da punto a
punto. È questa la proprietà che rende le distribuzioni di velocità media U dei
moti turbolenti statisticamente stazionari diverse da quelle dei moti laminari,
che si hanno nella stessa sede. Si consideri a titolo di esempio quanto accade
in un condotto a sezione circolare. Se la corrente che vi si svolge è laminare,
la distribuzione di velocità è determinata dall’equilibrio tra forze di pressione
e forze viscose. In linea teorica anche in questo caso occorrerebbe considerare
la viscosità molecolare μ come una grandezza variabile; ma essa dipende unicamente dalla temperatura assoluta del fluido, e sarebbe facile dimostrare che
nella maggior parte dei casi varia assai poco. La si assume pertanto costante,
e in questo modo si ottiene per la distribuzione di velocità la nota soluzione a
forma di paraboloide dovuta a Poiseuille (cfr. fig. 3.16(a)).
Passando al moto turbolento stazionario, è evidente che se fosse
μ + μt ∼ cost
si avrebbero per U soluzioni ancora paraboliche, anche se riscalate per effetto
della viscosità apparente31. In realtà non è possibile adottare tale semplificazione, poiché la viscosità turbolenta μt varia molto rapidamente nel dominio:
è nulla nelle immediate vicinanze della parete, ove oscillazioni di pressione e
forze viscose molecolari si fronteggiano direttamente, si sviluppa con grande
rapidità in uno strato di transizione, e finisce con l’assumere un valore molto
elevato, di gran lunga superiore a quello della viscosità molecolare, nella regione centrale del condotto. Il campo di velocità media che ne deriva ha la
forma di quello di fig. 3.16(b), piatto nel centro ed estremamente ripido vicino
alla parete, ove cade a zero in breve tratto.
Volendo proseguire nell’analogia tra moto medio turbolento e moto laminare,
si potrebbe interpretare il profilo di velocità di fig. 3.16(b) con quello laminare
31
A parità di salto di pressione, nella soluzione di Poiseuille le velocità risultano inversamente
proporzionali alla viscosità.
151
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
(a)
(b)
Fig. 3.16 – (a) Distribuzione di velocità di una corrente laminare all’interno di un condotto con sezione circolare - (b) distribuzione di velocità media di una corrente turbolenta
in un condotto.
di un fluido non omogeneo, estremamente più viscoso nella parte centrale che
non nelle regioni di parete, così che la prima scorra quasi in blocco su un
anulus fluido di piccolo spessore32.
Interpretazioni di simile tenore possono aiutare a fissare nella mente alcune
conseguenze della fluttuazione turbolenta anche in una corrente esterna. Ricordiamo, ad es., che l’esplodere della fluttuazione turbolenta nello strato limite che avvolge la regione anteriore di un corpo tozzo modifica la forma
delle linee di corrente della velocità media U che passano da quelle schizzate in fig. 3.17(a) a quelle di fig. 3.17(b). Si può attribuire questa modifica del
campo ad uno straordinario incremento di viscosità apparente nel fluido che
sfiora l’ostacolo, così che esso distaccandosi verso valle in questo suo nuovo
stato eserciti una violenta azione di trascinamento sul fluido stagnante della
scia. In realtà, in questa situazione la pretesa di correttezza matematica della 3.34 è particolarmente infondata; eppure, in termini puramente qualitativi,
32
È bene tuttavia non spingersi troppo lontano su questa strada. Il campo di velocità U(x) non
esiste fisicamente, è il risultato di una seriazione statistica tra N campi; μt non è una misteriosa
proprietà fisica del fluido; l’uniformità di U nella zona centrale è prodotta da strutture vorticose
di grande scala, le quali, negli N domini, spostano col loro moto rotatorio particelle di fluido da
un punto all’altro della sezione, senza modificare in modo rilevante la componente assiale della
loro quantità di moto.
152
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
(a)
(b)
Fig. 3.17 – Campo di moto turbolento attorno alla sezione retta di un cilindro di grande
allungamento. Linee di corrente della velocità media U nei due casi: (a) strato limite
laminare; (b) strato limite turbolento.
la rappresentazione racchiude due aspetti entrambi corretti:
– l’aumento di sforzo di attrito sulla superficie anteriore del corpo, un
elemento insignificante del quadro ma reale;
– il maggior recupero di pressione media nella parte posteriore, che
spiega la caduta del coefficiente di resistenza globale del corpo.
Energia cinetica turbolenta
Diamo un cenno all’equazione di bilancio dell’energia della fluttuazione. Sottraendo dalla 3.32 la 3.33, si ottiene l’equazione della fluttuazione u; quindi,
per la strada già seguita nel paragrafo 3.1, si giunge a un bilancio della varianza σu2 , o dell’energia cinetica media turbolenta per unità di massa. Torneremo
su questo argomento dopo avere modificato l’equazione di quantità di moto così che essa possa rappresentare, sia pure in forma approssimata, il moto
ascendente delle correnti termiche, le quali sono essenziali per descrivere la
153
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
dinamica dello strato limite terrestre. Le equazioni della fluttuazione di velocità e dell’energia cinetica che derivano dalla 3.32, così come è ora, si possono
tuttavia ottenere semplicemente adattando con buon senso le equazioni generiche 3.3 e 3.4 del paragrafo 3.1 alla sostituzione: qt → ρut . Per l’energia
cinetica, ricordando che il campo di u è solenoidale, con qualche passaggio si
ha:
∂ ρσu2
(
)=
∂t 2 ∂uj
∂ui
ρ
σu2
∂
+
)>
ρUj
+ < uj ui ui > + < puj > −μ < ui (
−
∂xj
2
2
∂xj
∂xi
∂Ui
− Df
− ρ < ui uj >
∂xj
3.35
2
3.35 σu
Nella
indica il valore medio del modulo, elevato al quadrato, della
velocità di fluttuazione u:
σu2 =< u21 + u22 + u23 >
e pertanto ρσu2 /2 sta per la densità di energia cinetica media del campo fluttuante, che viene usualmente chiamata energia cinetica turbolenta. A secondo
membro dell’equazione figurano i fattori che inducono un cambiamento locale
della densità di energia, raggruppati in due insiemi separati; vi sono i termini di flusso che compaiono sotto l’operatore di divergenza e due termini di
sorgente. I primi trasferiscono l’energia da una regione all’altra del dominio,
senza modificarne la cifra globale; integrati su tutto il volume di un dominio
isolato, danno un risultato nullo. I vari termini di flusso rappresentano aspetti di un processo di trasporto, in ultima analisi dovuto al moto delle molecole,
ma che si presentano distinti come conseguenza delle distinzioni da noi introdotte tra valor medio e fluttuazione di velocità, tra moto macroscopico e moto
termico, tra condizione di equilibrio e condizione di disequilibrio. Ai quattro
termini di flusso si può dare, nell’ordine, il significato:
– di trasporto di energia cinetica turbolenta da parte della velocità
media U;
– di trasporto di energia cinetica turbolenta da parte della velocità di
fluttuazione u;
– di potenza meccanica trasmessa dallo sforzo di pressione, per effetto
del moto fluttuante;
154
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
– di potenza meccanica trasmessa dagli sforzi viscosi, sempre per
effetto del moto fluttuante.
Per quanto riguarda i due termini di sorgente che si trovano al di fuori dell’operatore di divergenza, uno è sempre positivo e l’altro è sempre negativo; nel
secondo di essi Df sta infatti per la funzione di dissipazione costruita con la
sola componente fluttuante u della velocità, e come qualsiasi funzione di questo tipo è sempre maggiore di zero33 ; il contributo di −Df all’energia cinetica
della fluttuazione è sempre negativo.
Il termine
∂Ui
∂xj
è invece sempre positivo, per un motivo analogo a quello illustrato nel
paragrafo precedente al fine di stabilire il segno del termine:
∂Q
− < uj q >
∂xj
Se si vuole dare evidenza formale all’argomento, si può porre seguendo
Boussinesq:
∂Ui ∂Uj
−ρ < ui uj >= μt
+
∂xj
∂xi
così da avere:
∂Ui
1
∂Ui ∂Uj
−ρ < ui uj >
= − ρ < ui uj >
+
∂xj
2
∂xj
∂xi
2
μt ∂Ui ∂Uj
+
>0
=
2 ∂xj
∂xi
−ρ < ui uj >
La chiusura suggerita da Boussinesq non è corretta, ma non è neppure così
lontana dal vero da vanificare questa conclusione qualitativa.
33
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 1.6:
“
”“
∂uj
∂uj
∂ui
+
+
Df =< (pij )dis Dji >=< μ2 ∂x
∂x
∂xi
j
i
“
”2
∂u
∂ui
< μ2 ∂x
+ ∂xji
>
j
∂ui
∂xj
”
>=
155
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Si noti che i due termini di sorgente sono strutturalmente simili, anche se di
segno opposto. Di fatto, stanno entrambi ad indicare un passaggio di energia
tra aspetti del moto di scala diversa; la funzione di dissipazione dà conto di una
scomparsa di energia che precipita, dalla scala di u, nel pozzo dell’agitazione
termica; la presenza della sorgente
∂Ui
−ρ < ui uj >
∂xj
esprime invece il fatto che il moto di fluttuazione trova alimento nelle disuniformità di più grande scala, che caratterizzano il campo medio U. La fluttuazione u, di scala intermedia, riceve energia cinetica da scale più grandi e la
riversa nel microscopico, con una dinamica sostanzialmente analoga.
3.4.
UTILITÀ DELLA PREVISIONE DEI VALORI MEDI DI
CONCENTRAZIONE
Dati sperimentali e considerazioni sulla varianza
Alla lettera, i modelli per il calcolo della concentrazione di uno scalare
permettono di assegnare un valore alla concentrazione media di insieme
Q ≡< qt >, che grazie alla consueta assunzione di ergodicità può essere
ritenuta coincidente con il valore medio nel tempo:
T
1
Q = lim
qt (t )dt
3.36
T →∞ T 0
Sotto questo punto di vista non vi è alcuna differenza tra i modelli euleriani e
quelli lagrangiani; si tratta di una proprietà che deriva dal carattere statistico
dell’analisi, il quale precede qualsiasi considerazione sul metodo di calcolo.
Dunque, i calcoli permettono di prevedere il valor medio Q di qt in un periodo
teoricamente infinito. È inevitabile che uno si chieda quale sia l’utilità pratica della conoscenza di tale dato. Come abbiamo già spiegato nel delineare
la differenza che intercorre tra dispersione turbolenta e accelerazione dei processi diffusivi (cfr. 1.2), la risposta non può essere univoca; dipende dal fine
verso cui si tende nel calcolare Q, e dalle caratteristiche obiettive del processo che si vuole studiare. È difficile che vengano rilasciate da un impianto in
condizioni usuali di esercizio sostanze in grado di provocare crisi acute; gli
inquinanti emessi sono tali, per natura chimica e concentrazione, da produrre
effetti nocivi apprezzabili solo dopo un certo lasso di tempo. Nel prevederne
156
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
le conseguenze sugli organismi viventi, il valore di Q calcolato con i modelli
di dispersione è affidabile; va inteso come una buona approssimazione di un
valor medio di lungo periodo.
D’altra parte il normale esercizio di una realtà industriale è spesso interrotto
da eventi anomali - provocati da cattivo funzionamento, apertura non prevista
di valvole di sfiato, o semplicemente rottura meccanica degli impianti - durante i quali vengono immesse nell’ambiente circostante prodotti o fortemente
tossici o infiammabili. In tali circostanze, lo abbiamo già detto, l’utilità di prevedere un valor medio di lungo periodo della concentrazione è discutibile. Vi
sono sostanze gassose che a concentrazione elevata possono provocare morti
pressoché istantaneee, per il loro carattere tossico, e nubi di gas che possono
deflagrare in qualche frazione di secondo; i danni che ne seguono e la perdita
di vite umane non possono essere calcolati come risultato medio di N fughe,
alcune delle quali deflagrano e altre no. Sarebbe auspicabile conoscere l’evoluzione della nube singola, al fine di stabilire, ad es. fino a quale distanza
dal punto di fuga vi sarà una concentrazione ancora così alta da produrre effetti tossici, o da deflagrare in presenza di una causa accidentale di innesco.
Per eseguire questo compito sarebbe tuttavia necessario calcolare le concentrazioni di breve o brevissimo periodo, diciamo istantanee per semplificare la
discussione34.
34
Tra le tante cose non perfettamente note di questo argomento vi è anche quale sia il periodo su
cui mediare la concentrazione, al fine di ottenere un valore fortemente indicativo. Uno studioso del settore afferma che in molti incidenti caratterizzati da fuga di gas pericolosi il valore più
significativo per l’analisi del rischio è quello mediato per ∼ 1 s (P.C. Chatwin - The use of statistics in describing and predicting the effects of dispersing gas clouds, in Dense gas dispersion,
ed. Britter and Griffiths, Elsevier, N.Y., 1982). Sarà probabilmente vero; rimane tuttavia che
il tema è complesso per la molteplicità delle situazioni e che darne un quadro unitario è difficile. Tra l’altro, neppure l’ipotesi che la deflagrazione e il volume di gas coinvolto dipendano
solo dalla concentrazione della nube, sembrerebbe così granitica da escludere il dubbio. Giudicando ad intuito, si direbbe che in certe configurazioni di nube sfilacciata dal vento sussista
anche un problema di sostenibilità o meno della propagazione di fiamma, e non solo quello di
un innesco accidentale in un punto ove la concentrazione si trovi all’interno dei limiti di infiammabilità. Come minimo, il volume di gas coinvolto nell’esplosione dovrebbe essere influenzato
da questo aspetto.
157
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
In realtà non è possibile effettuare un calcolo di questo tipo per causa del carattere aleatorio delle velocità dell’atmosfera. In genere, nel calcolare l’ampiezza
della zona di pericolo attorno a una fuga, ci si basa sulla conoscenza di Q e si
espande prudenzialmente il risultato ottenuto per mezzo di un coefficiente di
sicurezza di origine empirica. Il guaio è che il vincolo tra valore istantaneo e
valore medio di concentrazione è labile, e quindi il coefficiente risulta nei fatti
spesso inadeguato.
Un’idea non meramente qualitativa sulle difficoltà della previsione può aversi
studiando come vari il rapporto tra deviazione standard σq e valore medio Q
della concentrazione, nelle diverse situazioni fluidodinamiche. È facilmente
comprensibile che la sostituzione:
Q → qt
è tanto più accettabile quanto è minore il rapporto menzionato. Questo argomento è stato trattato più frequentemente negli ultimi decenni, nell’ambito
dell’analisi del rischio degli impianti industriali. I risultati tuttavia non sono
confortanti; in laboratorio sono stati ottenuti valori del rapporto σq /Q variabili tra ∼ 0.3 e ∼ 5 a seconda del tipo di esperimento e del punto della nube ove
è stata eseguita la misura35 . È probabile che l’estensione dell’indagine a casi
studiati all’aperto renderebbe ancora più incerta la situazione.
In effetti la dinamica della varianza è controllata da processi antagonisti, di
produzione e di annullamento, che sono affidati ad aspetti diversi del campo di moto. L’argomento è già stato analizzato nel paragrafo sul trasporto di
uno scalare, a cui si rimanda. Vogliamo solo mettere in evidenza, per quanto
riguarda la previsione delle conseguenze di eventi accidentali o la stima del rischio, che in questo caso si aggiunge alla variabilità delle condizioni atmosferiche, anche l’estrema variabilità dei modi in cui si realizza la fuga. Si possono
avere situazioni così diverse che il coefficiente di sicurezza prima menzionato non può, per motivi pratici, comprenderle tutte. In altre parole, se l’area di
interdizione attorno a una potenziale sorgente di fuga dovesse essere così larga da escludere che al suo esterno continui a sussistere il pericolo di fenomeni
tossici o di eventi esplosivi, in molte situazioni l’estensione del territorio non
35
Cfr. S.R. Hanna, P.J. Drivas, Vapor Cloud Dispersion Models, Center for Chemical Process
Safety, American Institute of Chemical Engineers, sec. 5, N. Y. 1987.
158
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
sarebbe sufficiente36. Sarebbe bene per onestà intellettuale modificare l’impostazione della normativa, introducendo il concetto di rischio accettabile al
posto della categoria della certezza37.
Casi particolari
Nell’ottica di rendere evidenti alcuni aspetti importanti dell’argomento può
essere utile descrivere un esempio di fuga relativamente semplice. Si immagini
che l’efflusso di gas avvenga attraverso un’apertura di sezione circolare, con
velocità iniziale molto più alta di quelle spontanee dell’atmosfera. È quanto
avviene frequentemente all’apertura di una valvola di sfiato di un impianto,
provocata da un rialzo di pressione all’interno; la velocità iniziale del getto è
usualmente sonica, e quindi di un paio di ordini di grandezza più alta di quella
dell’aria. Allora il campo di velocità è determinato in modo preponderante
dalle condizioni dinamiche di sbocco - la portata di quantità di moto attraverso
una sezione trasversale del getto è una costante del problema - e il processo di
mescolamento con l’aria circostante è influenzato solo in modo marginale dal
moto preesistente di questa. È inevitabile che tutte le velocità del getto vadano
decrescendo con la distanza dallo sbocco, nel mentre cresce la massa coinvolta
nel moto per effetto del progressivo trascinamento di aria; ma per un buon
tratto rimarranno più alte di quelle spontanee dei moti atmosferici. Il campo di
velocità e il processo di diluizione del gas possono essere descritti con buona
approssimazione come se fossero generati da un getto che emerge in un mezzo
in quiete; la circostanza permette di eliminare, come fonte di incertezza, la
variabilità delle condizioni meteorologiche. Se si suppone inoltre che il gas
36
Il problema è particolarmente grave nel nostro paese dove, tra caos urbanistico da una parte
e disprezzo dei diritti altrui dall’altra, si è prodotto un intreccio inestricabile di zone abitate e
impianti a rischio.
37
È probabile che un concetto di questo tipo provocherebbe un vivace conflitto di opinione tra chi
valuta il grado di rischio e coloro che sono destinati a conviverci. D’altra parte, il modo con cui
questo tema viene ora dibattuto presenta un rituale e un linguaggio da commedia di Ionesco; a
regolare scadenza si hanno incidenti, che vengono fulmineamente definiti come assolutamente
non prevedibili da parte di quelli stessi che fino a poco prima li avevano categoricamente esclusi.
Da lungo tempo, non svolazzando più neppure l’ombra di un nero cherubino, le contraddizioni
semantiche hanno cessato di costare l’inferno. Ancora La Commedia, Inferno, canto xxvii.
159
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
emergente abbia un numero di massa molecolare simile a quello dell’aria, e
che pressione e temperatura al momento dello sbocco non siano molto diverse
da quelle esterne, si entra nella teoria dei getti assialsimmetrici, perfettamente
adattati alle condizioni termodinamiche esterne, la quale presenta lineamenti
particolarmente semplici. Il campo di moto ha una sola dimensione lineare
e una sola velocità imposte, il diametro Do e la velocità Uo dello sbocco.
Adottando queste grandezze come unità di misura, la configurazione dei getti
e la distribuzione di velocità posssono essere poste in una forma invariante.
Nelle variabili adimensionate
x = x/Do
u = u/Uo
l = l/Do
ove con l si indicata una qualunque dimensione lineare del getto - ad es. la sua
larghezza comunque definita - si ha la soluzione unica:
u = f (x )
3.37
l = g(x )
3.38
L’unicità della rappresentazione in variabili adimensionate, implica che in variabili fisiche si possa passare dalla configurazione di un getto a quella di un altro38 , semplicemente riscalando velocità e distanze; tutti i getti risultano simili
nella geometria e nella cinematica (fig. 3.18).
Il fatto che la similitudine non dipenda neppure dal numero di Reynolds merita qualche commento. La mancata comparsa di questo numero nelle 3.37
e 3.38 rivela l’irrilevanza della viscosità tra le grandezze che caratterizzano
il fenomeno; basterebbe aggiungerla al gruppo delle grandezze significative,
infatti, per trasformare le equazioni citate in relazioni del tipo:
u = f (x , Re )
in base a pure considerazioni di carattere dimensionale. Poiché la corrente del
getto è turbolenta, l’ignorare la viscosità comporta che si rinunci a descrivere le scale interne viscose, e che la dinamica di queste non influenzi le scale
più grandi. La prima condizione rivela un criterio soggettivo; è indiscutibile
38
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 5.
160
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
Fig. 3.18 – Getti simili di diversa scala.
che i getti risultano tutti simili finché non si affina la descrizione a tal punto
da poterli distinguere in base alla diversa dimensione della scala dissipativa
(cfr. 1.2, fig. 1.8, ove sono disegnati due getti con diversa scala interna). Nel
caso di correnti libere - non confinate da pareti - la rinuncia non è grave, poiché in ogni punto del dominio sono le strutture vorticose di grande scala a
determinare gli aspetti macrospici del campo39. La seconda è un’ipotesi che
richiede l’esistenza di un ampio divario tra le scale esterne e quelle interne
della componente fluttuante. La condizione si invera sicuramente nel limite
Re → ∞; le relazioni 3.37 e 3.38, che rappresentano la soluzione asintotica, vengono pertanto adottate come approssimazione accettabile delle correnti
reali, caratterizzate da valori finiti, ma sufficientemente grandi, di Re . Nelle
situazioni che abbiamo in mente, il numero di Reynolds è normalmente alto e
l’ipotesi è del tutto realistica. Non solo quindi la distribuzione dei valori medi
di velocità, ma anche la gran parte delle strutture vorticose rispetta la similitudine; le coordinate dei punti omologhi variano proporzionalmente a Do e le
39
Non si può trascurare la viscosità nella regione di parete di una corrente confinata.
161
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
velocità corrispondenti in modo proporzionale a Uo , sia per quanto riguarda la
componente media, sia per quella fluttuante.
Se tra i fini dell’analisi vi è quello di determinare il processo di mescolamento di un eventuale sostanza contenuta nel getto40 , occorre aggiungere tra i dati
significativi la concentrazione media Qo della sostanza al momento dello sbocco. Si può adottare Qo come unità di misura delle concentrazioni, e definire la
variabile
Q = Q/Qo
la cui distribuzione nello spazio risulta anch’essa invariante:
Q = F (x )
3.39
Nella 3.39 sono ancora una volta assenti i coefficienti di diffusione, poiché il
processo è dominato dal trasporto convettivo. Quindi la distribuzione di Q
soddisfa condizioni di similitudine; al variare di Qo tutti i valori di concentrazione nei punti omologhi variano proporzionalmente. Dando uno sguardo
retrospettivo alla 3.12, è facile constatare che le sue soluzioni stazionarie in domini geometricamente simili possono essere ricondotte alla forma unificante
3.39, solo se la correlazione < uj q > dipende solo da Uo e Qo e scala proporzionalmente al prodotto delle due grandezze. Ma che le velocità fluttuanti
risultino proporzionali a Uo lo abbiamo già detto; e che la fluttuazione q sia
proporzionale al valore di concentrazione imposto allo sbocco, deriva dalla
linearità in qt dell’equazione di convezione e diffusione non mediata:
∂
∂qt
=−
[(ut )j qt + (ft )j ]
∂t
∂xj
la quale richiede che la concentrazione in un punto qualsiasi del dominio risulti
proporzionale al valore imposto al bordo di ingresso.
Vediamo ora quale uso si possa fare della 3.39 per prevedere il rischio derivante dalla fuoriuscita di un getto di gas infiammabile, o tossico. L’argomento è già stato delineato nel paragrafo sull’accelerazione dei processi diffusivi
(cfr. 1.2) e non vi è molto da aggiungere. La possibilità di valutare una con , tramite la conoscenza
centrazione di breve periodo, che indichiamo con Q
di quella asintotica, dipende dall’ampiezza della varianza. Se questa è piccola, tutti i valori sono vicini al al valor medio asintotico Q, compresi quelli di
40
Può costituire una componente, oppure la totalità del fluido del getto.
162
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
bassissimo periodo:
∼Q
Q
La configurazione dei getti è favorevole a questa semplificazione: le scale del
moto prodotte dalla cascata energetica risultano più piccole della dimensione trasversale del getto e quindi contribuiscono in toto alla frammentazione
fisica e al rimescolamento del gas con l’aria circostante, in un processo che
fatalmente innesca l’azione livellatrice della diffusione molecolare. Dunque
una relazione unica del tipo 3.39 può essere usata per valutare la diluizione
del gas emergente in qualsiasi punto del dominio, senza distinguere tra valori
medi di lungo e di breve periodo, o anche istantanei. Con l’esclusione dei punti vicino al bordo esterno del getto - ove si hanno fenomeni di intermittenza,
poiché si alternano casualmente volumi di aria pulita e volumi contaminati la previsione è sostanzialmente corretta.
Nella 3.39 il ruolo delle variabili dipendenti e indipendenti può essere scambiato, e la relazione così invertita può essere usata per trovare il luogo dei punti
in cui si trova un valore assegnato di concentrazione; quindi, anche la distanza
dalla sorgente al di là della quale la concentrazione si è abbassata al di sotto
del limite inferiore di infiammabilità o di tossicità acuta, il volume di miscela compreso tra i limiti superiore e inferiore di infiammabilità, et cet. Ad es.,
indicata con X la distanza nella direzione dell’asse a cui si raggiunge il limite
inferiore Qinf di infiammabilità, si ha in variabili adimensionate:
X = F −1 (Qinf )
e in variabili fisiche
X = Do F −1 (Qinf /Qo )
3.40
Si noti l’importanza che assume nelle relazioni del tipo 3.40 la lunghezza caratteristica Do . Tutte le dimensioni lineari risultano ad essa proporzionali;
le distanze di sicurezza scalano quindi con Do , la superficie radiante di una
eventuale massa che deflagri con Do2 , il volume di miscela che partecipa alla
deflagrazione, poiché si trova entro i limiti di infiammabilità, con Do3 . Infine,
sebbene non rientri tra gli argomenti di questo corso, può essere utile ricordare
che anche la distanza dal fronte di fiamma entro cui si possono avere lesioni o
morte per effetto radiante risulta proporzionale a Do . In una deflagrazione in
campo aperto gli effetti termici sono più pericolosi di quelli meccanici; a causa della radiazione si può avere lesione o morte entro una certa distanza dal
fronte di fiamma, così che l’ampiezza della regione interessata in modo grave
163
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
dall’evento va estesa oltre i confini della massa deflagrante. Tuttavia la distanza da aggiungere è in rapporto pressoché costante con le dimensioni lineari
della nube infiammabile. Il flusso termico radiante fq che investe un oggetto,
provenendo da una superficie di fiamma, è dato dalla relazione:
fq = Pe kta
ove fq è il flusso termico, Pe è la potenza di emissione della superficie, ta è il
coefficiente di trasmissione dell’aria, e k è un fattore geometrico di forma. Di
queste grandezze, ta dipende solo dalla presenza di vapor acqueo e di anidride carbonica nell’aria; la potenza di emissione Pe varia poco al variare delle
ipotesi che si possono fare sulla composizione della nube, e non dipende neppure dalla dimensione lineare della nube stessa, quando questa superi qualche
metro. Infine k è un coefficiente geometrico di forma che risulta costante in
punti omologhi di configurazioni tra loro geometricamente simili, anche se di
dimensioni assolute diverse. Ne consegue che il rapporto tra la distanza di
sicurezza dal punto di fuga e la lunghezza della regione occupata dalla massa esplosiva è da ritenere una costante, una volta fissati i criteri per la letalità
di fq .
Limiti applicativi del modello di getto turbolento adattato
Veniamo ora a discutere le carenze applicative del modello di getto turbolento:
– È possibile che il gas emergente abbia una massa molecolare molto diversa da quella dell’aria. Poiché questo comporta una densità
diversa, anche a parità di pressione e temperatura, la dinamica inerziale del getto ne è sicuramente affetta, almeno finché il gas non si
sia fortemente diluito. Da un punto di vista dimensionale, occorre
introdurre tra i parametri significativi il rapporto
κ ≡ Ma /Mg
tra massa molecolare dell’aria e massa molecolare del gas. Le relazioni 3.39 e 3.40 divengono pertanto:
Q = F (x , κ)
3.41
X = F −1 (Q , κ)
3.42
e la condizione:
κ = cost
164
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
assume il significato di vincolo da rispettare per la similitudine geometrica e cinematica. Non tutti i getti dunque risultano simili; tuttavia la dipendenza da κ è stata studiata in laboratorio e riassunta in
formule empiriche, che sono incorporate nei relativi programmi di
calcolo. Non vi è motivo di dubitare della loro affidabilità, finché le
velocità del getto rimangono elevate.
– Che il getto emerga con una pressione uguale a quella atmosferica è un’ipotesi del tutto improbabile. In una corrente supersonica
la pressione del gas al momento dello sbocco è determinata unicamente dalle condizioni termodinamiche a monte del condotto; nella
maggior parte dei casi si avrà dopo lo sbocco una espansione. In genere, questo fatto è messo in conto introducendo un diametro equivalente maggiorato De diverso da quello geometrico Do , secondo la
relazione:
1/2
ρo
De = Do
3.43
ρe
in cui ρo indica la densità del gas nel momento in cui emerge, e
ρe è la densità che assumerebbe una volta raggiunto l’equilibrio
termodinamico con l’atmosfera:
M pe
ρe =
R Te
essendo pe , Te pressione e temperatura esterne. La 3.43 ha il merito
di esprimere in modo semplice l’effetto di un processo complicato, ma non ha molte probabilità di risultare corretta, perché deriva
chiaramente da un bilancio di portata:
ρuD 2 = cost
che non tiene conto della variazione di velocità legata all’espansione. Si può tuttavia adottarla perché produce lunghezze caratteristiche
probabilmente maggiori di quelle reali, quindi cautelative.
– Nella maggior parte dei casi di rottura non è affatto chiaro quale
sia il valore da assegnare a Do , poiché raramente la fuga avviene
attraverso una apertura di forma circolare.
Per citare un caso estremo, è accaduto qualche anno fa che nel calcolare quale fosse il volume di miscela entro i limiti di infiammabilità in un caso di fuga
incontrollata da un pozzo petrolifero, gli esperti hanno dato numeri che diffe-
165
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
rivano di tre ordini di grandezza. In effetti era esploso un tubo del diametro di
∼ 10 cm, che presentava uno squarcio laterale lungo un metro, prima di una
piegatura ad angolo retto e la definitiva rottura, di forma questa volta circolare.
La discrepanza non era di minor peso, perché dipende dalla massa complessiva che deflagra la possibilità che la deflagrazione si trasformi in detonazione,
e produca un’onda d’urto di notevole intensità. Nella teoria d’altra parte non
si trovava una soluzione codificata del problema; in casi del genere occorre
immaginare la forma del campo di moto e ricordare che Do rappresenta la
dimensione iniziale di una sorta di getto equivalente.
Nonostante i motivi di incertezza che sono stati ricordati, il caso della fuga
con alta velocità iniziale rappresenta la situazione meno aleatoria. Quando la
velocità iniziale è bassa - o comunque quando le velocità tipiche del getto divengono inferiori a quelle dell’atmosfera prima che la concentrazione del gas
sia passata al di sotto della soglia per l’infiammabilità o la tossicità acuta - la
previsione della distanza di sicurezza, e in generale della forma e composizione della nube, diviene problematica. Per prima cosa, poiché quasi sempre in
caso di guasto il gas sfuggito non ha la stessa massa molecolare dell’aria, la
residua differenza di densità genera, tramite accoppiamento con il campo gravitazionale, strutture vorticose che innescano moti ascendenti o discendenti di
cui non è facile prevedere l’intensità.
A parte questo, è la condizione di forte stabilità atmosferica che caratterizza
spesso i periodi notturni che può dar luogo a situazioni difficili da valutare.
In un tale contesto, una volta cessato l’effetto di mescolamento dovuto alla quantità di moto iniziale, la nube può essere trascinata a grande distanza
senza essere ulteriormente diluita. A giudicare dai diagrammi di variazione
di σy e σz con la distanza sottovento nel pennacchio gaussiano (cfr. fig. 3.7
e 3.8), questa affermazione parrebbe priva di fondamento; anche in condizioni molto stabili (cat. E, F) l’area della sezione retta del pennacchio aumenta
di un paio di ordini di grandezza nel passare dai 100 metri al chilometro di distanza dalla sorgente, e quindi la concentrazione Q diminuisce di altrettanto.
Questi dati tuttavia riflettono in modo empirico una certa variabilità direzionale dei venti in condizioni di stabilità, che portano il pennacchio a oscillare
con bassa frequenza, per lo più nel piano orizzontale, ma non lo diluiscono
e Q non sono vicini
in modo apprezzabile. Ne deriva che in questo caso Q
tra loro; assumere l’uno per valutare l’altro può risultare errato. In condizioni di questo genere si sono avuti inneschi accidentali di miscele esplosive a
166
3.
EQUAZIONI MEDIATE. MODELLI EULERIANI DI DISPERSIONE
una distanza dal punto di fuga dell’ordine del chilometro, e la nube si è rivelata sufficientemente compatta e omogenea da permettere un ritorno di fiamma
fino al serbatoio di origine, che è esploso a sua volta in sequenza. Per valutare la distanza di sicurezza nell’eventualità di fughe con tali caratteristiche,
conviene rifarsi alla casistica di incidenti avvenuti in impianti in qualche modo simili, piuttosto che a programmi numerici per il calcolo della dispersione
turbolenta.
167
4. LINEAMENTI DI MECCANICA
DELL’ATMOSFERA
169
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
A2
A1
B2
p2 = cost
B1
p1 = cost
Fig. 4.1 – In equilibrio statico, la differenza di pressione tra due punti di due diversi piani
orizzontali è indipendente dalla scelta della linea verticale lungo cui viene calcolata:
Δp = p2 − p1 = cost.
4.1.
CONDIZIONI STATICHE
Equilibrio statico di un fluido pesante
Quando un fluido pesante si trova in condizione di riposo, la forza di gravità
che agisce su ogni elemento di volume unitario deve essere equilibrata dal
gradiente delle pressioni. Dall’equazione di quantità di moto:
Du
− ρg + ∇p − μ∇2 u = 0
ρ
Dt
per u = 0, si ottiene l’uguaglianza vettoriale:
∇p = ρg
4.1
la quale esprime la condizione necessaria per l’equilibrio statico. In equilibrio,
il gradiente delle pressioni risulta verticale e rivolto verso il basso come g,
l’accelerazione di gravità; la pressione ha un valore costante in tutti i punti
di uno stesso piano orizzontale e diminuisce col crescere della quota. Se si
assume un sistema di assi cartesiani ortogonali, con l’asse x2 rivolto verso
l’alto, si ha che la pressione dipende solo da questa coordinata, p = p(x2 ),
mentre la sua legge di variazione con la quota si ottiene proiettando la 4.1 sul
versore verticale:
dp
= −ρg
4.2
dx2
Si noti che la 4.2 richiede che anche la densità ρ, e non solo la pressione, sia
distribuita in modo uniforme nei piani orizzontali - quindi, che lo sia anche
qualsiasi altra variabile termodinamica, poiché solo due sono le variabili di
stato indipendenti. Se la pressione è costante nei piani orizzontali, infatti, la
170
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
p
Fig. 4.2 – Andamento della pressione di un liquido pesante in equilibrio statico, in
funzione della profondità.
differenza di pressione tra due piani non può risultare diversa a seconda della particolare linea verticale lungo cui si calcola la variazione, cfr. fig. 4.1; e
poiché la variazione stessa risulta, secondo la 4.2, proporzionale alla densità,
quest’ultima deve risultare costante a parità di quota. Per concludere, si può
avere l’equilibrio di un fluido pesante solo se lo stesso è organizzato per strati orizzontali omogenei; in tal caso tutte le variabili di stato termodinamico
variano soltanto con la quota x2 e l’insieme delle condizioni:
p = p(x2 )
4.3
ρ = ρ(x2 )
4.4
dp
= −ρg
4.5
dx2
definisce compiutamente la situazione. Qualunque scostamento dello stato del
fluido dalle 4.3, 4.4, 4.5 non è compatibile con l’equilibrio; niente di più, tuttavia, è richiesto. Nelle masse di acqua, la variazione di densità può essere trascurata nel calcolare la variazione di pressione con la quota; si ottiene allora,
integrando la 4.2, la nota legge della idrostatica:
p = po − ρgx2
secondo la quale la pressione va crescendo linearmente verso il basso,
cfr. fig. 4.2.
Nel caso dell’atmosfera, la densità non può considerarsi costante neppure
in primo approccio; tuttavia, per qualsiasi tipo di stratificazione di densità
ρ(x2 ), esiste una soluzione p(x2 ) della 4.2 che garantisce l’equilibrio statico;
171
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
(a)
(b)
Fig. 4.3 – Due diverse configurazioni di equilibrio statico: (a) Configurazione stabile: la
sfera spostata torna spontaneamente nella posizione di equilibrio. (b) Configurazione
instabile: la sfera spostata dalla posizione di equilibrio se ne allontana ulteriormente.
ad assicurare l’equilibrio, è sufficiente l’uniformità termodinamica sui piani
orizzontali.
Stabilità delle configurazioni di equilibrio statico
D’altro canto, non tutte le configurazioni di equilibrio statico si rivelano stabili. La distinzione è importante, poiché quelle instabili non sono osservabili
in natura; si tratta di soluzioni ipotetiche, il cui inverarsi richiederebbe due
requisiti che non appartengono alla realtà: una condizione iniziale esatta, e
l’assenza di fluttuazioni accidentali. Se per qualche miracolo si fosse realizzata una configurazione instabile, sarebbe sufficiente uno scostamento dallo
stato di equilibrio, per quanto piccolo, per provocarne lo stravolgimento. Per
vedere una sfera immobile nella situazione disegnata in fig. 4.3 (b), presa a
prestito dalla Meccanica, occorre rivolgersi a un buon prestigiatore.
L’argomento della stabilità delle soluzioni statiche è già stato trattato1 , nel discutere della generazione di vorticità in un fluido stratificato per effetto del
campo gravitazionale. In tale contesto avevamo concluso che le configurazioni di equilibrio statico dell’atmosfera sono stabili solo quando la temperatura
potenziale2 dell’aria, Θ, va crescendo con l’altezza. In queste pagine ripe-
1
C. Cancelli, op. cit., par. 4.5.
2
La temperatura potenziale di una particella di aria nello stato termodinamico (T , p) è data dalla
formula: Θ = T (po /p)(γ−1)/γ , ove po è una arbitraria pressione di riferimento.
172
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
h
x2
Fig. 4.4 – Massa di aria spostata dalla posizione x2 alla posizione x2 + h.
teremo l’analisi con una tecnica diversa, anche se concettualmente del tutto
simile; immagineremo di imporre, invece che una rotazione, uno spostamento
in verticale, verso l’alto o verso il basso, a una massa limitata di gas e ci chiederemo in base alle proprietà della soluzione statica se la massa tenda o meno
a tornare verso la posizione di partenza. Nel caso che tenda a tornare, la configurazione sarà da ritenersi stabile; altrimenti, instabile. Otterremo il risultato
già noto, come era desiderabile; questo secondo modo di studiare la stabilità
si presta tuttavia a porre in evidenza alcune proprietà dei processi fisici coinvolti nell’esperimento immaginario, la cui comprensione verrà utile anche in
altro contesto3 .
Veniamo quindi alla nostra massa di aria di volume finito, inizialmente in equilibrio alla quota x2 , e ora spostata alla quota x2 + h (fig. 4.4). In condizioni
statiche, una massa di fluido comunque circoscritta è soggetta a due forze tra
loro contrastanti, il proprio peso e la risultante delle azioni di pressione applicate alla superficie della massa dal fluido circostante - la forza che viene
chiamata spinta di Archimede. Se nella massa spostata verso l’alto la densità risulterà inferiore a quella dell’aria che la circonda nella nuova posizione,
la spinta di Archimede avrà il sopravvento sul peso e la massa tenderà a salire ulteriormente, in questo modo rivelando l’instabilità della configurazione di
partenza. Il problema è dunque nello stabilire quale sia la differenza di densità che può intercorrere tra il volume spostato e il resto del fluido che si trova
alla stessa quota, e da che cosa questa differenza derivi.
3
Si tratta inoltre della tecnica più comune.
173
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Prima di procedere, è bene chiarire che nella discussione compaiono funzioni
della quota x2 che hanno un diverso significato. Quelle che indicheremo senza
pedice - ρ(x2 ), Θ(x2 ) etc. - rappresentano la distribuzione in verticale delle
proprietà termodinamiche dell’atmosfera, lo stato fisico di strati diversi di aria.
Tali distribuzioni derivano dalla storia precedente dei processi atmosferici e in
questa analisi figurano come assegnate; lo scopo dell’analisi è nel giudicarne
la stabilità.
Le funzioni con il pedice m - ρm (x2 ), Θm (x2 ) etc. - rappresentano invece la
variazione con la quota delle proprietà termodinamiche della massa che viene
spostata, e vanno ipotizzate in modo ragionevole; devono infatti simulare con
buona approssimazione quanto accadrebbe in una situazione reale, a seguito di
uno spostamento verticale indotto da un momentaneo e casuale disequilibrio.
Per ipotesi, si assume che nello spostarsi la massa di gas si porti istantaneamente alla stessa pressione dell’aria che la circonda, mentre lo scambio di
energia termica tra la massa spostata e il fluido adiacente viene ritenuto così debole da risultare trascurabile - si immagina quindi una espansione o una
compressione adiabatica della massa considerata. La forma radicalmente diversa adottata nel rappresentare i due modi di interazione tra regioni adiacenti
di fluido, si giustifica con la diversa velocità dei processi che a questi modi
sono inerenti: la propagazione di onde - considerata istantanea - per quanto
attiene al livellamento delle pressioni, e la diffusione molecolare - considerata
lenta - per quanto riguarda lo scambio di energia termica4 .
La prima delle due ipotesi permette di scrivere la condizione:
pm (x2 + h) = p(x2 + h)
4.6
valida per qualsiasi h. La 4.6 implica che eventuali differenze di densità tra
la massa di aria spostata e quella circostante possano essere attribuite solo
a differenze di temperatura. Differenziando logaritmicamente l’equazione di
stato dei gas e la definizione di temperatura potenziale, si ottiene infatti, se la
pressione non varia:
4
A dire il vero, la velocità con cui scomparirebbe per diffusione molecolare una eventuale
differenza di temperatura dipende dalle dimensioni lineari del volume di gas spostato (cfr.
C. Cancelli, op. cit., par. 2.2) e tende a crescere senza limite quando queste dimensioni si
riducono a zero; ma già per dimensioni lineari di una decina di cm. risulta molto bassa. Proprio
per questo motivo, stiamo considerando una massa di gas con volume finito e non una particella.
174
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
δT
δΘ
δρ
4.7
=−
=−
ρ
T
Θ
Nella 4.7 il simbolo di variazione δ sta ad indicare la differenza di stato termodinamico tra la massa spostata e quella parte di atmosfera che si trova alla
stessa quota:
δρ = ρm − ρ
δT = Tm − T
δΘ = Θm − Θ
Le 4.7 vengono usate non solo nello studio della stabilità delle soluzioni stazionarie, ma anche in condizioni dinamiche, per porre in evidenza quale sia
l’effetto delle fluttazioni verticali di velocità, di origine termica, sulla intensità del moto turbolento. La loro legittimità deriva ancora dalla assunzione 4.6,
a sua volta resa credibile, anche in presenza di moto reale, dalla maggiore velocità di propagazione delle onde elastiche, in confronto alle modeste velocità
convettive - pochi m/s - che sono associate agli spostamenti verticali dell’aria
nello strato limite terrestre.
La trasmissione di calore, trascurata per ipotesi, è uno dei fenomeni che producono una variazione di entropia; l’altro è la dissipazione termica di energia
meccanica, espressa mediante la funzione di dissipazione, che sappiamo avere
scarso peso finché non si formano gradienti di velocità molto elevati. Poiché
non vi è motivo di pensare che si abbiano tali gradienti nell’esperimento immaginario di sollevamento della massa, le due potenziali sorgenti di entropia
possono essere entrambe considerate nulle. Di conseguenza, l’entropia della
massa spostata va ritenuta costante5; si ha pertanto:
sm (x2 + h) = sm (x2 ) = cost
e di conseguenza:
Θm (x2 + h) = Θm (x2 ) = cost
5
4.8
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 1.6; dall’equazione 1.45, trascurando la funzione di dissipazione e la
divergenza dei flussi termici, si ottiene:
Ds
∂
∂
(ρuk s) = ρ
(ρs) +
=0
∂t
∂xk
Dt
Ogni particella di fluido conserva la sua entropia specifica.
175
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Θm
x2
Θ
Θ
Fig. 4.5 – Condizione di equilibrio stabile: la curva Θ(x2 ) rappresenta la temperatura potenziale dell’atmosfera, mentre la curva tratteggiata rappresenta la temperatura
potenziale della massa spostata.
A questo punto, la stabilità dell’equilibrio statico dell’atmosfera può essere
giudicata in base alla sua stratificazione di temperatura potenziale. Come è
evidente nella figura 4.5 - ove sono riportate la stratificazione Θ(x2 ) dell’atmosfera con linea continua, e il cambiamento di stato Θm (x2 ) della massa di
prova con linea tratteggiata - quando è:
dΘ
>0
dx2
l’equilibrio risulta stabile. Una massa inizialmente in equilibrio alla quota x2 ,
che venisse spostata verso l’alto, si troverebbe a una temperatura potenziale
più bassa - e quindi a una densità più alta, cfr. 4.7 - dell’aria circostante; la
forza peso, prevalendo sulla spinta di Archimede, la ricondurrebbe verso la
posizione di partenza. Non è il caso di spiegare che considerando uno spostamento verso il basso si ottiene lo stesso risultato, o che si otterrebbe il risultato
opposto - una configurazione di equilibrio instabile - qualora fosse:
dΘ
<0
dx2
Gradiente verticale della temperatura atmosferica in condizione di
equilibrio neutro
Può essere interessante calcolare, quale elemento di discriminazione, il gradiente del profilo di temperatura T (x2 ) dell’atmosfera, per cui si avrebbe una
176
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
(a)
x2
(c)
(b)
T
Fig. 4.6 – Variazioni di temperatura con la quota. La linea (a) rappresenta l’adiabatica
dell’aria secca, o anche la variazione di stato di una massa eventualmente spostata
verso l’alto o verso il basso; la linea (b) rappresenta una configurazione atmosferica
instabile; la linea (c) rappresenta una configurazione atmosferica stabile.
condizione di equilibrio neutro. Affinché la forza peso e la spinta di Archimede si facciano comunque equilibrio, è necessario che la distribuzione di
temperatura potenziale Θ(x2 ) dell’atmosfera coincida con la trasformazione:
Θm (x2 ) = cost, della massa di prova, in questo modo rendendo nullo l’effetto
dinamico di uno spostamento qualsiasi della stessa. La condizione:
Θ(x2 ) = cost
individua una situazione atmosferica di omoentropia; per ottenere la variazione di temperatura corrispondente si può prendere il logaritmo della temperatura potenziale, e quindi derivare, tenendo conto che non solo la pressione po
di riferimento ma anche Θ è in questo caso costante. Si ottiene l’equazione:
γ − 1 1 dp
1 dT
=
T dx2
γ
p dx2
che lega il gradiente di temperatura a quello della pressione. Il gradiente di
pressione può essere espresso mediante la 4.2. Si ha:
cp − cv T ρ
dT
=−
g
dx2
cp
p
che tramite l’equazione di stato dei gas e la consueta definizione: cp = cv +
R/M, diviene infine:
g
dT
=−
4.9
dx2
cp
Poiché il calore specifico a pressione costante dell’aria è ∼ 103 m2 s−2 K−1 , il
gradiente 4.9 vale ∼ 10−2 K/m; in condizioni neutre la temperatura dell’aria si
177
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
15000
[m]
10000
5000
0,2
0,5
1
p[bar]
Fig. 4.7 – Pressione dell’atmosfera in funzione della quota: andamento qualitativo.
abbassa con la quota di circa 1 K ogni cento metri. Nei testi di meteorologia il
gradiente 4.9 viene chiamato gradiente adiabatico dell’aria secca, invece che
gradiente omoentropico, per motivi non del tutto chiari. L’averlo introdotto
permette tuttavia di riformulare in altri termini il problema della stabilità. Si
può dire che l’equilibrio è stabile quando l’atmosfera si raffredda con la quota con minore rapidità di quanto accadrebbe con il gradiente omoentropico,
mentre è instabile quando accade l’opposto, cfr. fig. 4.6.
In sintesi si ha:
4.2.
– equilibrio stabile:
dΘ
> 0;
dx2
dT
> −10−2
dx2
(K/m)
– equilibrio instabile:
dΘ
< 0;
dx2
dT
< −10−2
dx2
(K/m)
CONVEZIONE NATURALE
Stato dell’atmosfera
È pressoché impossibile che l’aria rimanga immobile in equilibrio statico. Può
darsi che in una conca protetta, sul finire della notte, si abbia una calma di
178
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
vento quasi assoluta; ma si tratta di avvenimenti limitati nel tempo e nello spazio. In genere, la condizione di perfetta stratificazione orizzontale richiesta
per l’equilibrio statico non sussiste; sono sempre presenti delle componenti
orizzontali del gradiente di temperatura, sia sulle grandi distanze, per ovvie
ragioni, sia su scala ridotta. L’aria è quasi del tutto trasparente alla radiazione solare incidente, ma scambia energia termica con il terreno e con il vapor
acqueo, nelle trasformazioni di stato che questo subisce. La temperatura della superficie terrestre dipende da molteplici fattori, oltre che dalla latitudine potere riflettente, trasparenza alle radiazioni, copertura vegetale, conducibilità termica del mezzo - i quali sono variabili da punto a punto. Tanto per dare
un’idea, la superficie di un terreno roccioso, o comunque asciutto, può presentare una variazione termica di alcune decine di gradi tra il giorno e la notte
- per non parlare di una superficie asfaltata - mentre l’escursione di temperatura dello strato superficiale di una distesa di acqua è nello stesso intervallo
di tempo praticamente inavvertibile. E per quanto riguarda il vapore acqueo,
le cui trasformazioni da vapore a liquido, e viceversa, rappresentano il motore della dinamica atmosferica, è facilmente intuibile che non sia distribuito in
modo uniforme. Sta di fatto che la velocità dell’aria non è mai nulla; le calme
di vento registrate dalle stazioni meteorologiche stanno ad indicare situazioni
in cui il modulo della velocità dell’aria è basso, al di sotto di 0.3 ÷ 1 m/s, e la
sua direzione variabile in modo irregolare.
L’analisi precedente non è tuttavia inutile. Per prima cosa la componente verticale 4.2 dell’equazione di equilibrio statico rimane valida anche in presenza
di moto dell’aria, poiché la componente verticale dell’accelerazione delle particelle di fluido è quasi sempre trascurabile in confronto all’accelerazione di
gravità6 . La pressione non risulta in genere costante sui piani orizzontali, ma
la sua variazione con la quota rimane di tipo statico; in altri termini, la pressione viene determinata comunque dal peso della colonna d’aria che sovrasta una
data posizione, pur essendo vero che le colonne possono presentare un peso
diverso col cambiare del punto considerato. Ne deriva che un centro di bassa pressione al suolo, ad es., non può che essere correlato alla presenza di una
6
Si possono avere eccezioni a questa regola, in violente correnti verticali che presentano regioni di convergenza o divergenza particolarmente accentuate. Si tratta tuttavia di situazioni
episodiche, che interessano regioni poco estese.
179
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
30
[km]
(a)
20
(b)
10
220° K
300° K
Fig. 4.8 – (a) Temperatura dell’atmosfera in funzione della quota. (b) Temperatura
potenziale dell’atmosfera in funzione della quota.
colonna di aria relativamente calda sulla sua verticale. Un andamento tipico
della pressione è indicato nella fig. 4.7.
Inoltre, permane l’importanza del profilo verticale di temperatura potenziale,
sebbene in un contesto diverso da quello in cui è stato introdotto. Un profilo di
temperatura di tipo stabile limita l’ascensione delle correnti termiche, e inibisce la fluttuazione verticale della velocità in una corrente turbolenta, in questo
modo confinando il carattere turbolento del moto a uno strato di aria adiacente al terreno, dello spessore di poche decine di metri. Eventuali inquinanti
emessi vicino alla superficie rimangono all’interno di questo strato.
Considerata nella sua globalità, l’atmosfera risulta stratificata in modo molto stabile. Un profilo di temperatura in funzione della quota è mostrato in
fig. 4.8 (a). Fino ad un’altezza che varia, a secondo della latitudine e delle stagioni, tra 9 ÷ 10 e 17 ÷ 18 km, la temperatura va diminuendo con un tasso che
si attenua progressivamente e si annulla in corrispondenza della tropopausa,
al di sopra della quale torna a crescere, sia pure con un gradiente poco marcato. Nei primi chilometri a partire dal suolo, il decremento di temperatura
è mediamente di 6 K/km. In condizioni di stabilità neutra la temperatura dovrebbe diminuire di 10 K al chilometro e quindi raggiungere lo zero assoluto
verso i 30 km di altezza; in realtà, la temperatura a quella quota è ancora attorno ai 240 ÷ 250 K. Il gradiente di temperatura è pertanto di gran lunga minore
180
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
di quello omoentropico; la temperatura potenziale aumenta con la quota, con
una pendenza che si fa sempre più marcata, come è indicato qualitativamente
in fig. 4.8 (b).
Ascesa di correnti termiche
Consideriamo ora la dinamica delle correnti ascendenti. In vicinanza del terreno si formano facilmente volumi di aria di minore densità rispetto a quella
media dello strato orizzontale di appartenenza. Poiché eventuali differenze di
pressione si annullano rapidamente, la differenza di densità (ρm − ρ) può essere prodotta o da una differenza di temperatura, o da un maggiore o minore
contenuto di vapor acqueo7. Nell’uno e nell’altro caso, i volumi di minore
densità tendono a sollevarsi a causa della spinta di Archimede e si assestano
alla quota ove la differenza di densità è divenuta insignificante. Per discuterne
la dinamica, supponiamo che la differenza iniziale di densità sia dovuta soltanto ad una differenza (Θm − Θ) di temperatura potenziale; per altro, anche
la presenza di vapor acqueo può essere introdotta nel calcolo mediante una
variazione virtuale di Θm , calibrata in modo da dare la variazione di densità
effettiva, in accordo con la 4.7. Ammettiamo inoltre che la massa iniziale più
calda non si mescoli con l’aria circostante; in tal modo, la densità della massa
in movimento verso l’alto si modifica con la quota solo per effetto della espansione isoentropica a cui è soggetta, e la differenza (ρm − ρ) si annulla quando
si annulla la differenza (Θm − Θ). La quota di equilibrio è individuata dall’intersezione tra il profilo Θ(x2 ), che rappresenta la temperatura potenziale
dell’atmosfera, e la linea verticale: Θm = cost, che caratterizza la variazione
di stato ad entropia costante della massa ascendente (cfr. fig. 4.9).
Nella situazione reale la dinamica della massa di aria ascendente è più complessa, anche nel caso che si tratti di una termica isolata. Fin dalla partenza,
per effetto stesso del moto di sollevamento, si forma attorno alla massa calda
un toro di linee vorticose (cfr. fig. 4.10), a causa del fenomeno di generazione di vorticità già descritto in precedenza8. Lo sviluppo successivo può essere
7
Un maggior contenuto di vapor acqueo comporta una minore densità della miscela, a parità di
pressione, perché la massa molecolare del vapore (18) è minore di quella dell’aria (∼ 29).
8
Cfr. 4.6, C. Cancelli, op. cit..
181
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Θ
quota di equilibrio
x2
Θm
Θ
Fig. 4.9 – Quota di equilibrio di una corrente ascendente di origine termica. Nel punto
P , ove la temperatura potenziale Θm della massa ascendente incrocia il profilo di temperatura potenziale Θ dell’aria circostante, la differenza di densità si annulla, e l’ascesa
ha termine.
delineato considerando il campo di velocità come indotto dai vortici avvolti ad
anello. Per effetto della circuitazione indotta, la velocità ascendente nel centro della massa è più elevata di quella della zona periferica e richiama aria più
fresca - estranea alla massa di aria calda iniziale - dal basso, la quale converge per passare nel centro dell’anello vorticoso, prima di allargarsi nuovamente
in orizzontale formando in alto una regione con linee di corrente divergenti.
Il campo di moto che si realizza è, più o meno, quello schizzato in fig. 4.11:
si ha un ricircolo di aria relativamente fresca che transita verso l’alto all’interno dell’anello e si richiude all’esterno in un largo giro discendente, come
è inevitabile che accada per la conservazione della massa; l’aria calda rimane
essenzialmente confinata all’interno del toro, ove circola strettamente. Di per
sé, il fatto che il campo si strutturi nel modo descritto non inficia la trattazione elementare dell’ascesa della massa di aria calda; ma anche la struttura ad
anello è instabile per due motivi:
– il meccanismo di generazione di vorticità, connesso alla presenza
di componenti orizzontali del gradiente di temperatura potenziale,
continua ad agire producendo vortici di scala sempre più piccola;
– le zone di divergenza, come quella al di sopra dell’anello, sono intrinsecamente instabili, anche in assenza di qualsiasi fenomeno di
stratificazione.
Ne deriva che il moto diviene turbolento, almeno al di sopra del toro, con tutti
gli effetti che ne conseguono: si ha un incremento continuo della massa coin182
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
u
ω
Fig. 4.10 – Anello vorticoso formato dall’innalzamento di una massa di aria calda.
Fig. 4.11 – Campo di moto indotto da un anello vorticoso.
volta nel moto turbolento, mescolamento di aria calda e fredda, accelerazione
dei processi diffusivi, livellamento tendenziale di ogni differenza. Quindi le
differenze di densità, o di temperatura, si ridurrebbero progressivamente, anche se non vi fosse l’espansione dell’aria calda al crescere della quota. L’ipotesi che la temperatura potenziale dell’aria ascendente si mantenga costante
rappresenta una semplificazione grossolana; rimane vero, dello schema elementare illustrato in fig. 4.9, che un forte gradiente positivo della temperatura
potenziale dell’atmosfera anticipa il raggiungimento dell’equilibrio, e quindi
limita la quota massima di innalzamento.
Variazioni di stato del vapor acqueo e dinamica delle correnti ascendenti.
Formazioni di nubi
Nel descrivere l’ascesa di volumi di aria calda, con l’inevitabile ricircolo verso
il basso che vi è associato, abbiamo fino ad ora ignorato la presenza nell’atmo183
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
sfera di vapor acqueo, o le conseguenze che derivano dalla sua condensazione
o evaporazione. In realtà, i cambiamenti di stato del vapor acqueo rappresentano il fattore dominante della dinamica dell’atmosfera, e la violenza dei
fenomeni che vi hanno luogo si spiega con il calore liberato dalla condensazione del vapore; questo si trasforma in energia termica dell’aria in un primo
momento, quindi in energia cinetica per mezzo del lavoro delle forze di galleggiamento. Per dare un’idea dell’entità dell’energia cinetica coivolta in questi
processi, si può ricordare che quella posseduta dall’aria in una formazione
temporalesca che si estenda in orizzontale per una decina di km può essere
dell’ordine di 106 ÷ 107 M J. Nel caso che il temporale raggiunga le dimensioni e l’intensità di un uragano, questo numero può essere moltiplicato ancora
per 105 ; sono dati che si commentano da soli. Il calore di condensazione che
porta alla comparsa di questa energia meccanica è in genere da dieci a cento
volte più grande9 . In effetti la circolazione in verticale di aria umida riproduce comportamenti da macchina termica - fortunatamente di bassa efficienza e l’energia termica catturata nel moto di ricircolo sotto forma di calore latente
associato al vapor acqueo viene trasformata in energia meccanica, prima che
la dissipazione viscosa non la riconduca alla sua forma originaria. In generale, il problema della relazione che intercorre tra i cambiamenti di stato del
vapor acqueo, la formazione e la dissolvenza delle nubi, la pioggia più o meno intensa da una parte, e i movimenti dell’aria dall’altra, è complesso e poco
trattabile. Il sistema fisico che si vorrebbe sottoporre ad analisi, ha carattere
non lineare e fortemente instabile; tutto interagisce con tutto, e l’evolvere dello stato del sistema è reso irregolare da una sequenza di catastrofi, nel senso
matematico e in quello comune del termine. Si ha un frequente esplodere di
instabilità strutturali, innescate da pertubazioni che si amplificano dal nulla, o
quasi; di conseguenza le evoluzioni singole del sistema non risultano prevedibili, né si riproducono esattamente. A queste caratteristiche è dovuta la grande
varietà delle configurazioni e dei fenomeni dell’atmosfera, nonché una certa
difficoltà nel distinguere uno sciamano da un serio studioso di meteorologia,
sebbene vadano vestiti in modo generalmente diverso. Gran parte di questa
scienza ha carattere descrittivo, al di là dell’apparenza, e mira a classificare
sistuazioni che più spesso di altre si ripetono in alcuni tratti caratteristici; la
classificazione delle nubi, ad es., ha questo contenuto.
9
Cfr. Louis J. Battan, Violenze dell’atmosfera, Zanichelli, 1976, Bologna.
184
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
hc
x2
Tr
Tm
T
Fig. 4.12 – Quota di condensazione del vapore acqueo contenuto in una massa di aria
ascendente.
Nelle righe che seguono ci limiteremo a dare un cenno dei fenomeni elementari che sono alla base della complessità. Torniamo all’innalzamento di un
volume di aria più calda di quella circostante, dando questa volta per certo che
esso contenga dell’acqua allo stato di vapore, quindi che la sua temperatura
iniziale Tm sia maggiore della temperatura di rugiada10 . Durante l’ascesa la
temperatura della massa di aria diminuisce con la quota; se supponiamo, per
semplificare la discusssione, che non si mescoli con l’aria circostante possiamo affermare che si raffredda per espansione isentropica, e quindi con tasso
di 10 K/km. Anche la temperatura di rugiada Tr della miscela di aria e vapore si modifica, per effetto del decremento di pressione; Tr diminuisce con il
crescere della quota, tuttavia con un tasso inferiore a quello della temperatura
reale. La differenza (Tm − Tr ) va pertanto diminuendo, mentre il volume di
aria calda e umida si innalza; alla quota per cui la differenza si annulla, ha inizio la condensazione e la termica ascendente si trasforma in nube. In effetti,
appena la temperatura dell’aria si abbassa al di sotto della temperatura di rugiada si formano, condensando attorno a nuclei igroscopici sempre presenti in
sospensione nell’atmosfera, un numero di piccole gocce di acqua sufficienti a
rendere visibile la massa di aria ascendente. Lo schema del processo è schizzato in fig. 4.12, ove sono rappresentate le variazioni di Tm e Tr e la quota hc
ove le due linee si intersecano; l’altezza hc , ovviamente, è la quota di condensazione. Se si vuole stimarla in modo grossolano, si può assumere che la
temperatura di rugiada diminuisca con l’altezza di circa 2 K/km, così che la
differenza (Tm − Tr )o , che caratterizza la condizione della massa di aria pri-
10
È, per definizione, la temperatura a cui inizierebbe la condensazione del vapore acqueo, se la
miscela di aria e vapore venisse raffreddata a pressione costante.
185
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
ma dell’inizio dell’ascesa, vada diminuendo con un tasso di 8 K/km. L’altezza
di condensazione, in metri, risulta quindi data dalla relazione:
hc ∼ 125(Tm − Tr )o
4.10
Tenuto conto delle numerose e poco giustificate approssimazioni, la 4.10 risulta spesso più attendibile di quanto uno si sarebbe atteso. Raggiunta la quota hc ,
l’ascesa dell’aria calda non si arresta, ma il successivo abbassamento di temperatura viene parzialmente contrastato dalla condensazione del vapore ormai
saturo; il fatto ritarda il raggiungimento dell’equilibrio statico. In effetti, la
condensazione libera calore e aumenta l’entropia del volume di aria che sale.
Pertanto, la curva che rappresenta la variazione di stato della massa ascendente
si discosta dalla linea verticale:
Θm (x2 ) = cost
di fig. 4.9; tra variazione di entropia e variazione di temperatura potenziale
sussiste infatti il vincolo:
ds
d(ln Θ) =
4.11
cp
il quale impone un aumento di temperatura potenziale come conseguenza dell’aumento di entropia. La rappresentazione dell’ascesa del volume di aria calda e umida si modifica, rispetto a quella schizzata in fig. 4.9, e diviene quella
di fig. 4.13; al di sopra del livello di condensazione, la temperatura potenziale
va crescendo, il che ritarda il raggiungimento della condizione di equilibrio. Il
punto di incontro tra la curva Θ(x2 ) - che rappresenta la stratificazione stabile
dell’atmosfera - e la curva Θm (x2 ) - che rappresenta l’evoluzione termodinamica della massa che sale - si sposta verso l’alto, passando dal livello h1 al
livello h2 .
Il fatto che, al di sopra della quota hc , la temperatura potenziale tenda a crescere, implica che la diminuizione della temperatura vera Tm sia meno rapida
dei 10 K/km previsti dal gradiente isoentropico. Il gradiente relativo si chiama
gradiente termico dell’aria satura; è sempre minore di 10 K/km e dipende dalla temperatura e dalla pressione della miscela, essendo funzione decrescente
della prima e crescente della seconda. Nelle condizioni tipiche dell’atmosfera risulta compreso tra 4 K/km e 7 K/km; la diminuizione più lenta si ha nelle
regioni calde del globo. L’innalzamento della massa di aria calda e umida che
abbiamo descritto produce la formazione di una nube a sviluppo verticale, che
porta il nome di cumulus. Le diverse fasi di formazione della nube sono rappresentate in successione, da sinistra verso destra, nella fig. 4.14; la massa di
186
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
h2
h1
Θ
Θm
hc
Θ
Fig. 4.13 – Ascesa e stabilizzazione di una massa di aria calda e umida. La curva Θ(x2 ) rappresenta la stratificazione dell’atmosfera; la curva Θm (x2 ) rappresenta la
variazione di stato della massa ascendente; la quota hc rappresenta la quota di condensazione, la quota h2 è la quota di equilibrio. La quota h1 rappresenta l’altezza a
cui si sarebbe arrestata la massa di aria, qualora non avesse contenuto del vapore
acqueo.
x2
hc
Fig. 4.14 – Fasi di formazione di una nube cumuliforme.
aria in ascesa rimane invisibile fin quando non raggiunge il livello di condensazione, quindi compare la nube che si estende in verticale - mentre il bordo
inferiore rimane fissato al livello hc - e raggiunge la sua altezza massima prima
di evaporare e scomparire.
È possibile vedere in una giornata di sole cumuli isolati, i quali rendono manifesta l’esistenza di correnti termiche. La nube non dà un’idea corretta del
campo di moto, poiché appare essenzialmente statica; la base è fissa al livello
di condensazione, mentre la testa - che ha la forma bozzuta di un cavolfiore palpita e si sfrangia in lembi che rapidamente svaniscono per essere sostituiti
da altri, così che essa continuamente si ricompone più o meno alla stessa al-
187
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
tezza. In realtà, l’aria penetra dal basso attraverso il bordo inferiore della nube
e fuoriesce in alto e lateralmente, mescolandosi con l’aria più secca circostante; è la rievaporazione delle gocce il fenomeno che definisce i bordi superiori
e laterali del cumulo. La nube contrassegna quella regione del campo di moto ove sussiste una popolazione di gocce, mentre risulta invisibile quella parte
del campo ove vi è solo vapore. L’aria acquisisce calore dal vapore acqueo al
momento della condensazione, e lo restituisce ad una temperatura più bassa di
quella a cui lo ha ricevuto, nel momento in cui le gocce trascinate rievaporano,
perché la corrente ascendente si mescola in alto con aria secca. L’evaporazione
produce una miscela con una temperatura più bassa di quella dell’aria circostante - quindi di maggiore peso specifico - la quale accelera verso il basso
acquistando energia cinetica. Sebbene siano complicati dalla intermediazione del campo gravitazionale e dalla presenza della dissipazione viscosa, questi
sono grosso modo i lineamenti di un ciclo termodinamico ove l’energia cinetica acquisita dall’aria svolge il ruolo del lavoro meccanico di una macchina
termica. Il rendimento del ciclo è basso, perché le temperature estreme non
sono molto diverse tra loro, il che spiega per quale motivo l’energia cinetica
coinvolta in un temporale sia di un ordine di grandezza più piccola del calore
liberato per condensazione.
Vale la pena di notare che la salita di una corrente termica e il conseguente
mescolamento lasciano una colonna di aria umida, caratterizzata da un gradiente termico sicuramente meno stabile di quello dell’atmosfera circostante;
una successione pertanto di masse di aria calda che si innalzano lungo una
stessa verticale, può portare a un notevole sviluppo verso l’alto della nube risultante. Le nubi possono raggiungere quote comprese tra i 10 e i 20 km; di
fatto vengono confinate verso l’alto dal forte gradiente stabilizzante che inizia con la tropopausa. Questi aggregati di nubi hanno forma complessa, che
spesso rivela una sequenza di eventi ascensionali successivi, e sono caratterizzati da una testa spiattita che sovrasta il tutto. La nube tende ad allargarsi in
orizzontale quando incontra un forte gradiente di temperatura potenziale, che
le impedisce un’ulteriore ascesa (fig. 4.15). Fotografata da un satellite, la testa
sembra che si allarghi, schiacciandosi sulla superficie di una sfera di vetro.
Piogge e deposizione di inquinanti
Nelle nubi si innescano le piogge; la dimensione lineare delle gocce inizialmente formatesi attorno ai nuclei di condensazione tende a ingrandirsi per un
188
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.15 – Formazione nuvolosa che si allarga in orizzontale a livello della tropopausa.
numero di meccanismi diversi - essenzialmente per collisione e coalescenza che sono favoriti dal carattere irregolare del moto delle correnti ascendenti.
Il processo è più rapido quando una frazione consistente di nuclei ha già in
partenza un diametro più grande di quello dei rimanenti. Nuclei con diametri
attorno ai 100 ÷ 200 μ m si ingrossano rapidamente per collisione, poiché sono dotati di moto relativo rispetto agli altri, essendo più grande la loro velocità
di discesa nell’aria. Quando coll’ingrossamento la velocità relativa delle gocce supera la velocità ascendente della termica, inizia la precipitazione. D’altra
parte, una popolazione di gocce distribuita in modo più uniforme, con diametri
al di sotto dei 20 μ m, può rimanere sospesa per lungo tempo.
L’inizio della pioggia genera nella nube correnti di aria rivolte verso il basso
per due motivi:
– vi è un effetto di trascinamento verso il basso esercitato dalle gocce
sull’aria, uno scambio di quantità di moto dovuto al moto relativo tra
gocce e mezzo fluido;
– quelle gocce che sono provviste di una forte velocità rispetto al
fluido, rievaporano almeno parzialmente e raffreddano l’aria che
attraversano, rendendola più pesante di quella esterna alla nube.
189
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Una volta iniziato, il moto discendente tende ad accelerare, e dà luogo a raffiche di notevole intensità; il vento si allarga sulla superficie del suolo, rappresentando nelle zone limitrofe una sorta di precursore del temporale in arrivo.
Nelle formazioni temporalesche di una certa entità le velocità di salita possono
raggiungere qualche decina di metri al secondo11; altrettanto si può dire delle
correnti discendenti. La presenza di velocità verticali così elevate, concentrate
in regioni relativamente ristrette, pone dei problemi di volo non solo agli appassionati di aquiloni e deltaplani, ma anche ai piloti degli aerei di linea. In
effetti, nelle regioni subtropicali si possono avere temporali violenti e raffiche
discendenti molto veloci; finirci dentro durante un decollo non è in generale
bene augurante, come una serie di incidenti avvenuti negli ultimi decenni ha
dimostrato.
Il fatto che le correnti ascendenti possano innescare piogge, ha conseguenze
sulla deposizione al suolo di inquinanti. La pioggia svolge un ruolo fondamentale nella deposizione di sostanze disperse in atmosfera, poiché i gas vengono
trascinati al suolo disciolti nelle gocce, e il particolato viene catturato e inglobato dalle stesse. Ne deriva che si trovano al suolo concentrazioni più alte
nelle aree ove più frequenti sono le precipitazioni. Un caso tipico è quello dei
pendii circostanti i rilievi montuosi; la presenza del rilievo provoca l’ascesa di
correnti termiche e la formazione di nubi cumuliformi in un primo momento, quindi temporali locali e deposizione al suolo (fig. 4.16). Poiché si tratta di
eventi che si ripetono nelle stesse aree, ne deriva una distribuzione di inquinanti al suolo molto meno uniforme della concentrazione in aria. Per citare un
caso noto, la nube prodotta nel 1986 dall’incidente di Chernobil ha prodotto
in alcuni luoghi delle prealpi una concentrazione al suolo di radionuclidi più
grande, tra cinque e dieci volte, di quella che si poteva rintracciare nel mezzo
della pianura padana; il fatto non non può essere attribuito a una disuniformità
dello stesso ordine della concentrazione nell’atmosfera circostante.
Strato limite terrestre: descrizione qualitativa
Si chiama strato limite terrestre quella regione dell’atmosfera aderente al suolo, che è sede di imponenti flussi verticali di quantità di moto e di energia
11
In alcuni testi, cfr. R.J. Battan, op. cit., si parla di velocità sino ad 80 m/s. Viste le dimensioni
eccezionali di alcuni chicchi di grandine, non c’è motivo di dubitarne.
190
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.16 – Pioggia localizzata dovuta ad un cumulo nembo.
termica. I flussi sono originati dallo scambio di quantità di moto o di energia
con la superficie terrestre ed hanno carattere convettivo, se si esclude quanto
accade in uno strato di qualche centimetro a diretto contatto con il terreno, ove
i fenomeni diffusivi hanno rilevanza. Sono, in altre parole, dovuti alla fluttuazione della componente verticale della velocità, che porta verso l’alto o verso
il basso masse di aria che conservano la propria temperatura potenziale, la propria quantità di moto e il proprio contenuto di vapor acqueo, rimescolando in
questo modo strati orizzontali in condizioni potenzialmente diverse. I lineamenti del moto sono quelli di una corrente turbolenta; torneremo su questo
argomento in seguito, con qualche pretesa di maggiore rigore.
Per ora ricordiamo che lo spessore dello strato limite varia ciclicamente nelle
24 ore, passando da qualche decina di metri nelle ore di maggiore raffreddamento della superficie - immediatamente prima dell’alba - ad un valore di un
paio di chilometri, sul finire di una giornata assolata. Il fenomeno che determina durante il giorno l’innalzamento del bordo superiore dello strato è l’ascesa
di masse di aria calda, con gli inevitabili ricircoli verso il basso che l’accompagnano. Si tratta di un campo di moto più complesso di quello determinato
da una termica isolata, di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente. In
questo caso, si ha un confuso ribollire di volumi di aria che tendono a rimescolare uno spessore progressivamente più alto di atmosfera, uniformando al
suo interno le variabili di stato trasportate convettivamente. A sua volta, il
fatto che lo strato assuma una temperatura potenziale uniforme, o quasi, ne
rende possibile l’accrescimento ulteriore, poiché facilita l’ascesa delle termiche successive; il processo è accompagnato da un continuo flusso di energia
191
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
1000 m
750 m
500 m
250 m
(a)
5
(b)
10
(c)
15
(d)
20
25 (°C)
Fig. 4.17 – Profili di temperatura potenziale in funzione della quota, in diverse ore del
giorno. Curva (a), ore 5 della mattina; curva (b), ore 8.40 della mattina; curva (c), ore
10.30 della mattina; curva (d), ore 17 del pomeriggio.
rivolto dagli strati inferiori verso quelli superiori. Con il calare del sole, l’ascesa di correnti termiche cessa (strato residuo con stratificazione neutra) e le
fluttuazioni della componente verticale di velocità vengono confinate in uno
strato adiacente al terreno, ove trovano origine in instabilità del vento di origine puramente meccanica. Nello stesso tempo, il raffreddamento del terreno
che irradia verso lo spazio esterno, particolarmente efficace in assenza di copertura di nubi, crea uno strato limitrofo freddo e relativamente pesante, che
tende a inibire ulteriormente la fluttuazione verticale e il mescolamento con gli
strati superiori. In queste condizioni, se la velocità del vento è bassa, il moto turbolento può ridursi a poca cosa - alle scie di eventuali ostacoli presenti
sulla superficie.
L’evoluzione diurna dello strato limite può essere seguito osservando i profili verticali di temperatura potenziale media12 . Alcuni andamenti tipici sono
rappresentati in fig. 4.17, che riproduce delle curve di interpolazione di dati ottenuti sul campo, con una tecnica di telerilevamento acustico, in agosto. Le
misure sono state effettuate in una regione piana di media latitudine dell’emisfero settentrionale, e la curva più spostata a sinistra - curva (a) - descrive la
condizione che precede il sorgere del sole (ore 05.00). Si ha il minimo della
12
Ricordiamo che le correnti turbolente non sono stazionarie; i tracciati di registrazione di qualsiasi grandezza risultano continuamente variabili nel tempo in modo irregolare, e vanno mediati
per dare loro significato e ripetività.
192
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
temperatura potenziale al suolo (∼ 7 ◦ C), e quindi una crescita con la quota,
con un gradiente positivo molto elevato nelle prime centinaia di metri. Non si
nota vicino a terra alcun tratto in cui la temperatura potenziale si mantenga costante, il che è sicuro indizio della mancanza di processi di mescolamento. La
temperatura potenziale è infatti una grandezza che viene trasportata inalterata
per convezione, e nei processi di mescolamento turbolento tende a distribuirsi
in modo uniforme nel volume interessato da questo tipo di moto. Nella curva (b), che interpola una serie di misure effettuate poco prima delle ore nove
del mattino, si vede chiaramente un tratto con temperatura potenziale più o
meno costante, che arriva fino a circa 200 metri, in questo modo rivelando che
si è formato uno strato mescolato di tale spessore. Al di sopra di questa quota,
la nuova curva è molto vicina a quella precedente, gli scostamenti essendo poco significativi. La curva, che si riferisce alla mezza mattina (ore 10.30 circa)
rivela uno strato limite con un’altezza di circa 400 metri, mentre nel tardo pomeriggio (curva (d), ore 17 circa) l’altezza dello strato limite supera l’altezza
massima sondabile con lo strumento, perché la temperatura potenziale risulta
pressoché costante in tutto il dominio della misura (∼ 103 m).
Si noti che in nessuna delle registrazioni compaiono gradienti negativi di temperatura potenziale, se non in un tratto dell’ultima curva, di poca rilevanza,
vicino a terra. Il che non toglie che situazioni come quelle della curva (c) o (d)
possano essere comunemente definite come instabili o fortemente instabili, secondo una terminologia introdotta da Pasquill per caratterizzare le condizioni
dello strato limite. In realtà il termine ha in questo contesto un diverso significato, rispetto a quello con cui è stato introdotto nei paragrafi precedenti;
non sta ad indicare una condizione statica instabile, ma una corrente turbolenta ove la componente fluttuante verticale, dovuta al moto delle termiche, è
elevata in confronto alle velocità orizzontali. Si definiscono come instabili, infatti, situazioni di forte insolazione del terreno e bassa velocità del vento; in
tali condizioni, il gradiente della temperatura potenziale può risultare o nullo,
o debolmente negativo13, ma mai fortemente inclinato in un senso o nell’altro;
13
Non ci pronunciamo sul problema se il debolmente negativo abbia a che vedere con con la dinamica dei fluidi o con la difficoltà delle misure a distanza. Capita tuttavia di vedere misure che
danno, nel pieno pomeriggio di una giornata assolata, gradienti fortemente negativi di temperatura potenziale, associati ad una condizione dello strato limite che viene definita fortemente
instabile. In questo caso, è certo che la dinamica dei fluidi non può essere invocata.
193
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
α
∇θ g
θa
θt
∇θ g
∇ω
∇ω
α
Fig. 4.18 – Corrente ascendente di pendio, Θt > Θa : ipotetica distribuzione laminare
di velocità.
il rimescolamento indotto dalla turbolenza non lo consentirebbe. Tornando alla figura 4.17, l’altezza in cui i profili mostrano un punto angoloso, perché da
quel momento la temperatura potenziale torna a crescere, si chiama quota di
inversione. Nel caso che il profilo di temperatura abbia l’andamento della curva (a) si dice che si ha inversione al suolo, intendendo con questo che il profilo
ha gradiente fortemente positivo anche a contatto col terreno; nel caso della
curva (c), invece, la quota di inversione si trova attorno ai 400 metri, et cet. In
generale, nei testi di meteorologia la parola inversione è usata con un criterio
un po’ vago, qualche volta per indicare la presenza di uno strato fortemente
stabile, qualche volta per indicarne il bordo inferiore.
Correnti di pendio. Regimi di brezza
Le correnti di pendio hanno molto in comune con le correnti termiche, a cui in
senso lato appartengono. Sono dovute a riscaldamento o raffreddamento dello strato di aria a contatto con una superficie in pendenza, hanno un ciclo di
24 h, e determinano movimenti di ricircolo con una scala geometrica di qualche decina di km. La superficie di un pendio insolato impone una variazione
di temperatura all’interno del fluido che la lambisce, con un gradiente diretto
dal fluido verso il terreno. Se la temperatura della superficie fosse uniforme, e
rappresentasse l’unico fattore perturbativo della temperatura dell’aria, il gradiente sarebbe orientato esattamente come la normale interna alla superficie,
194
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
α
∇θ
Δω
g
θa
θt
α
Fig. 4.19 – Corrente discendente di pendio, Θt < Θa .
per ragioni di simmetria. Si verrebbe pertanto a creare una situazione come
quella disegnata in fig. 4.18, in cui il gradiente di temperatura potenziale forma
con l’accelerazione di gravità un angolo pari all’inclinazione del terreno; l’effetto accoppiato del campo gravitazionale e del gradiente termico porterebbe
ad una variazione di vorticità, per unità di massa e di tempo14 , pari a:
1
− ∇Θ × g
Θ
Una produzione di vorticità negativa ad asse orizzontale, che avviene con intensità uniforme e stessa direzione in tutti i punti di uno piano parallelo alla
superficie calda, non può portare ad una corrente ascendente localizzata, come
quella delle termiche isolate. Può originare una corrente ascendente parallela all’unica giacitura significativa, che si estende quanto la superficie, e che
confina la vorticità vicino al suolo, ove si trova una rapida variazione della velocità con la distanza dalla parete, cfr. fig. 4.18. Nel caso che la superficie sia
più fredda dell’aria, gradiente di temperatura potenziale, vorticità generata e
velocità indotta cambiano di segno; si ha la situazione illustrata in fig. 4.19,
ove è schizzata una corrente discendente.
Nella realtà, correnti ascendenti e discendenti non sono simili, né tantomeno
simmetriche rispetto al ribaltamento dell’asse x1 , il quale rappresenta la linea
14
C. Cancelli, op. cit., 4.6.
195
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
U
H
α
Fig. 4.20 – Distribuzione di velocità medie in una corrente ascendente.
di massima pendenza. La configurazione ipotizzata per la corrente ascendente
è chiaramente instabile, poiché prevede un moto per lamine ove gli strati più
caldi si troverebbero al di sotto di quelli più freddi. Le correnti ascendenti che
lambiscono una superficie inclinata - si chiamano genericamente anabatiche risultano pertanto turbolente, caratterizzate da un continuo rimescolamento di
masse di aria che si spostano verso l’alto o verso il basso in senso normale alla superficie. La corrente parallela alla superficie è tuttora rintracciabile nella
distribuzione delle velocità medie; ma per effetto dello scambio di quantità di
moto tra i piani paralleli alla giacitura, dovuto alla fluttuazione, il profilo di velocità è notevolmente più piatto di quello ipotizzato inizialmente, cfr. fig. 4.20.
Le correnti anabatiche coinvolgono uno strato dello spessore di un paio di centinaia di metri, provvisto di un campo di velocità molto agitato. Adottando i
termini della classificazione di Pasquill, dovremmo definirle come altamente
instabili. Poiché in questo tipo di correnti compare un parametro sicuramente
rilevante - l’inclinazione α del terreno - che nella tradizionale classificazione
non si trova, il ricorso alle classi di stabilità è a rigore improprio15 . È tutta-
15
D’altra parte, uno che si trovi ad applicare in una situazione valliva un modello numerico
standard, basato sulle classi di stabilità, non può fare altro.
196
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
via vero che un contaminante, immesso in una corrente di questo tipo, viene
disperso e diluito in breve tempo.
Comportamento opposto mostrano le correnti discendenti, o catabatiche; in
esse la stratificazione di temperatura varia con la distanza dalla parete fredda
in modo da risultare stabilizzante, il che ha un effetto soppressivo sulle fluttuazioni di velocità normali alla parete. Anche eventuali strutture vorticose,
presenti nelle scie di ostacoli posti sul terreno, vengono strutturate in senso
bidimensionale con una drastica limitazione delle componenti di velocità perpendicolari al terreno stesso. Ne deriva una corrente discendente, laminare nel
senso proprio del termine, formata da strati che scorrono l’uno sull’altro verso
il basso: una lama di aria fredda, il cui spessore non supera, o supera di poco,
una decina di metri. Un inquinante viene trasportato da correnti di questo tipo
per lungo tratto, senza apprezzabile diluizione.
Le correnti ascendenti e discendenti danno luogo alle brezze, venti locali con
una cella di ricircolazione variabile con l’orografia, ma in genere inferiore ai
10 km. Il regime di brezza si manifesta ogni qual volta sono assenti, o comunque deboli, i venti di grande scala. In una valle si ha un regime con ciclo
giornaliero, consistente in una corrente diretta come l’asse (cfr. fig. 4.21), verso i monti di giorno - brezza di valle - e verso lo sbocco di notte - brezza di
monte - a cui si aggiunge una circolazione trasversale racchiusa entro il solco
vallivo. I due aspetti possono combinarsi in vario modo, a seconda dell’insolazione dei pendii, della natura dei terreni, dell’eventuale copertura nevosa.
In genere la componente del moto lungo l’asse della valle si richiude con una
corrente di ritorno poco al di sopra delle vette. Una descrizione classica, che
fa riferimento a uno schema canonico almeno per le valli alpine, è fornita da
Pinna16 .
Nel caso che la valle sia percorsa da una linea di comunicazione stradale con
grande intensità di traffico, inevitabilmente disposta sul fondo e più o meno
parallela all’asse, i problemi di inquinamento chimico possono manifestarsi
in modo particolarmente grave, non tanto nel periodo di insolazione dei versanti, quanto di notte. In una brezza ascendente, o di valle, i prodotti della
combustione dei motori bene o male vengono dispersi in uno strato di aria di
notevole spessore e trasportati in alto nei valloni che salgono verso le cime,
16
M. Pinna, Climatologia, UTET, Torino, 1977.
197
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.21 – Brezze di monte e di valle: la brezza di monte è indicata con tratto continuo.
i quali esercitano una funzione da camino. Nel periodo notturno, il raffreddamento del terreno che irradia verso lo spazio esterno innesca una brezza
catabatica. Una massa fredda scende lenta e compatta sul fondo, ove raccoglie
le emissioni di inquinanti come una fogna a cielo aperto; prima dello sbocco
dalla valle la concentrazione, pur risultando molto variabile da punto a punto a
causa dell’assenza di processi dispersivi, può raggiungere valori decisamente
più elevati rispetto a quelli che si hanno in pianura, nella vicinanza di un asse
stradale di pari intensità di traffico.
Brezze di lago: microclima lacustre
Regimi di brezza si hanno anche nelle zone costiere, oppure nell’intorno dei
laghi. Sono argomenti di non grande rilevanza pratica, per quanto riguarda la
qualità dell’aria17 ; ma una descrizione delle brezze di lago, sia pure schematica, può risultare utile quando si debbano valutare le conseguenze microclimatiche della costruzione di un grande invaso. Le brezze di mare e di lago
17
Non ci sembra che sia il pennacchio dei fumaioli a fare della miriade di petroliere un problema
per l’ambiente. L’inquinamento delle zone costiere è stato tuttavia ritenuto un tema interessante
da studiare; si trovano un buon numero di pubblicazioni scientifiche sull’argomento, in genere
simulazioni numeriche. Per una ricerca bibliografica, si può iniziare da Z.D. Christidis, Modeling of atmospheric pollutant transport and deposition in lakeshore environments, Computer
tecniques in environmental studies, Springer Verlag, Heidelberg, 1988.
198
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
hanno origine nella diversa temperatura del terreno solido rispetto a quella superficiale di una massa di acqua. L’uno e l’altra ricevono la quasi totalità della
radiazione solare, poiché l’atmosfera ne assorbe solo il 15% circa, ma la loro variazione di temperatura nelle ventiquattro ore è ben diversa. In terreni
asciutti di zone temperate si possono avere di giorno, per effetto della radiazione incidente, aumenti della temperatura superficiale di una cinquantina di
Kelvin; in una chiara notte di estate18 , l’abbassamento notturno rispetto alla
temperatura del tramonto può arrivare a circa 10 K19 . Rispetto a questa scala di
variazione le escursioni diurne della temperatura superficiale di una distesa di
acqua risultano del tutto trascurabili. L’acqua ha un calore specifico più grande di quello del terreno solido, di circa due volte, ma specialmente è coinvolta
fino a una maggiore profondità nello scambio di energia con l’esterno; durante il giorno, perché è trasparente alla radiazione in arrivo di piccola lunghezza
d’onda, di notte perché il raffreddamento superficiale provoca in essa una instabilità statica che porta ad un parziale rimescolamento tra strati di profondità
diversa20. L’escursione giornaliera di temperatura superficiale è pertanto dell’ordine di un grado e può essere trascurata in confronto a quella del terreno
solido. Pertanto di giorno il terreno è più caldo, e di notte più freddo dell’acqua che lo lambisce. È facilmente intuibile quale sia l’effetto di questa
differenza di temperatura sul movimento dell’aria circostante, perché del tutto analogo a quello descritto a proposito dell’innalzamento delle termiche. Si
forma un gradiente orizzontale di temperatura potenziale il quale genera una
famiglia di linee vorticose parallele al terreno, le quali seguono più o meno fedelmente il bordo del lago, o la costa; le strutture vorticose inducono un campo
di velocità come quello rappresentato in fig. 4.22.
Ovviamente, il senso di rotazione della vorticità, e le velocità indotte che ne
derivano, mutano di segno nel passare dal giorno alla notte.
18
Una spessa copertura di nubi riflette verso il basso la radiazione del terreno, di maggiore
lunghezza d’onda rispetto a quella incidente, limitandone il raffreddamento.
19
O.G. Sutton, Micrometeorology, p. 180, McGraw-Hill P.C. Ldt., London, 1953.
20
L’effetto può mancare; l’attivazione del processo richiede che lo strato che più rapidamente si
raffredda divenga più pesante di quelli sottostanti. Non è detto che accada, perché la densità
dell’acqua presenta un massimo alla temperatura di 4 ◦ C.
199
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
∇θ
∇θ
g
g
Fig. 4.22 – Brezza di lago.
Nella tarda mattina larghe strutture vorticosa con asse orizzontale si vanno formando sul fronte che divide l’aria riscaldata sul terreno insolato, da quella di
minore temperatura che sovrasta l’acqua; l’aria calda si innalza richiamando
aria fresca dal lago e il fronte di separazione si sposta verso l’entroterra; si ha
la brezza di lago. Al di sopra della distesa di acqua si innesca, a compensare
la brezza rivolta verso terra, un moto discendente, e la circolazione si chiude in alto con un vento che ha senso opposto a quello della brezza. Con il
raffreddamento del terreno che segue il tramonto, prima la brezza di lago si
attenua e scompare, poi il movimento grosso modo si inverte, perché l’aria
relativamente calda che lambisce la superficie dell’acqua si innalza.
Il regime di brezza genera un clima particolare in una regione limitrofa alle
sponde del lago, ove gli sbalzi temperatura e le variazioni di umidità relativa
vengono limitati, rispetto a quanto accade nell’entroterra. La dimensione della regione interessata dipende dall’estensione della cella ricircolante, e quindi
dal campo di moto. La forma esatta del campo, di giorno e di notte, risulta
piuttosto variabile, perché subisce l’influenza del vento di grande scala, non
essendo in genere i laghi protetti da rilievi montuosi, come invece accade per
un fondovalle. Tuttavia, esistono molti dati sperimentali e numerose simulazioni numeriche del campo di moto di una brezza di lago, almeno per quanto
riguarda laghi di grande superficie come quelli che si trovano al confine tra
Stati Uniti e Canada, e alcune caratteristiche generali possono essere enunciate. L’estensione della cella di ricircolo non supera di notte quella del lago stesso, mentre di giorno la profondità di penetrazione nell’entroterra della
brezza di lago è contenuta entro il 30% della dimensione lineare della distesa
di acqua. In un caso studiato con particolare cura, quello del lago Michigan
200
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
- estensione lineare di circa 100 km - la profondità di penetrazione massima,
in un giorno di piena estate e in assenza o quasi di venti di grande scala, risultava attorno ai 30 km, raggiunti nel pomeriggio inoltrato21 . Le variazioni
più significative si avevano ovviamente sul bordo; facendo riferimento a una
tipica giornata estiva, che agli occhi di un osservatore nell’entroterra sarebbe
apparsa di tempo caldo e asciutto, la temperatura massima sulle rive del lago
rimaneva alcuni gradi al di sotto di quella registrata lontano dall’acqua - risultava inferiore di 5 ÷ 6 K, nelle misure già ricordate - mentre il tasso di umidità
relativa non scendeva al di sotto del 60%, dato da paragonare con un minimo
del 20 ÷ 25%, registrato lontano dalla riva.
La differenza di temperatura nel periodo notturno è ancora più marcata; di notte, la temperatura dell’aria sul bordo del lago si abbassa di poco; nel momento
più freddo, prima dell’alba, può rimanere 7 ÷ 8 K più alta di quella dell’entroterra. Il tasso di umidità relativa raggiunge invece un massimo del 100% in
entrambe le regioni - certamente nel microclima di lago, quasi sempre anche
in quello continentale. Il dato non deve ingannare; è in realtà il diverso contenuto di vapor acqueo il fattore che determina la diversa escursione termica
nella fase di raffreddamento. In una notte con cielo non coperto e venti deboli,
la temperatura dello strato atmosferico adiacente al terreno scende con rapidità finché non inizia la condensazione del vapore in rugiada, la quale liberando
calore rallenta il processo. Vi sono tre distinti fenomeni che agiscono concordemente nel limitare l’abbassamento di temperatura in un microclima umido,
in confronto a quanto accade in un clima asciutto:
– è minore il flusso netto di energia radiante emessa verso lo spazio
esterno; più alta è la concentrazione di vapore acqueo nell’atmosfera,
infatti, maggiore è la percentuale di radiazione di grande lunghezza
d’onda riflessa verso il basso.
– a parità di energia emessa, la superficie dei terreni umidi si raffredda meno di quella dei terreni asciutti, perché i primi hanno una
maggiore conducibilità termica.
21
Sono dati sperimentali, cfr. W.A. Lyons, Turbulent diffusion and pollutant transport in shoreline environments, Lectures on air pollution and environmental impact analysis, American
Meteorological Society, 1975.
201
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.23 – Formazione di nubi e pioggia nelle vicinanze di un lago. Pennacchio
catturato dal moto di ricircolo.
– La condensazione di vapor acqueo, che ostacola ogni raffreddamento
ulteriore, inizia vicino al lago ad una temperatura dell’aria più alta.
Il maggior contenuto di vapore, comporta infatti una temperatura di
rugiada più elevata.
A questi aspetti di stabilizzazione della temperatura e dell’umidità relativa,
altri si aggiungono nel clima lacustre, anch’essi legati alla preponderante presenza dell’acqua. Piove frequentemente nella tarda mattina o nel primo pomeriggio; appena giunta sulla terraferma, la brezza di lago si innalza e così
facendo induce formazione di nubi e susseguenti piogge, cfr. 4.23. Durante la
notte, si possono avere sulla superficie del lago nebbie di evaporazione che derivano dall’incontro tra la superficie relativamente tiepida dell’acqua e l’aria
relativamente fredda e asciutta - povera di vapore acqueo in valore assoluto della brezza di terra. Sono nebbie compatte, che occupano strati di limitata
altezza - qualche metro - e che possono migrare verso le rive.
Questi sono all’incirca i tratti più tipici di un clima lacustre, indotto da un lago
di grande estensione. Laghi di modesta estensione possono avere anch’essi un
notevole effetto mitigante, qualora siano incassati in un avvallamento circondato da un giro di monti, come spesso accade nella regione subalpina. I rilievi
hanno un effetto protettivo rispetto ai venti di grande scala, e configurano la
struttura ricircolante della brezza come un sistema quasi separato dal resto22 ;
22
L’idea della cella di ricircolazione come di una regione dello spazio all’interno della quale le
masse di aria siano rigidamente confinate, è grossolana; per effetto della continua variabilità
del campo di moto, niente di simile esiste in senso stretto. Ma è pur vero che si possono
avere regioni all’interno delle quali i fenomeni di trasporto e di mescolamento sono accentuati,
202
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
l’area interessata coincide con l’estensione della conca, la quale a sua volta ha
spesso un’area di poco maggiore della superficie del lago. Poiché la radiazione emessa dalla superficie terrestre nella banda di lunghezza d’onda compresa
tra 5.5 e 7 μm, e in quella superiore a 14 μm, è completamente assorbita da
uno strato di aria umida di altezza inferiore a 50 metri, la pozza di aria umida
contenuta nella conca costituisce una sorta di serra, trasparente alla radiazione
incidente e relativamente opaca per quella uscente. Si possono avere in queste
condizioni temperature medie nei mesi invernali più alte di 2 ÷ 3 ◦ C rispetto
a quelle della vicina pianura padana; l’effetto più notevole rimane tuttavia la
limitazione nell’abbassamento della temperatura notturna; tra una zona nelle
immediate vicinanze del lago ed una esterna alla conca possono aversi nella
notte differenze di temperatura minima dello stesso ordine di quelle ricordate
per il lago Michigan.
Nell’impostare l’analisi delle conseguenze microclimatiche derivanti dalla costruzione di un bacino artificiale, le considerazioni precedenti possono servire
da orientamento; per gli strumenti effettivi di calcolo è bene consultare la letteratura specifica23. In generale, le variazioni microclimatiche degli invasi non
sembrano, a chi scrive, particolarmente severe per la salute e il benessere degli esseri umani. Conseguenze ben più gravi possono derivare da altri aspetti,
quali la stabilità dei pendii prospicenti l’invaso; i pochi superstiti di Longarone
potrebbero su questo tema rendere testimonianza. Unica parziale eccezione è
forse rappresentata dai bacini di raffreddamento delle grandi centrali di produzione di energia elettrica. In questo caso, la temperatura dell’acqua è sempre,
di giorno e di notte, più alta di quella atmosferica; quando la differenza di
temperatura supera i 6 ÷ 7 K si ha in autunno inverno formazione di nebbie
dense sulla superficie dell’acqua, che possono coinvolgere una regione attorno
al bordo della profondità di qualche centinaio di metri. Il livello di umidità relativa è vicino al 100%, com’è ovvio. Quello dei bacini di raffreddamento è un
argomento molto studiato. Va ricordato che, indipendentemente dalla tecnica
circondate da una regione più ampia ove gli stessi fenomeni sono usualmente ridotti. In questo
senso la massa di aria circondata da un giro di monti può essere ritenura una regione separata,
fortemente influenzata dalla condizione locale del terreno.
23
Un buon testo, a un tempo per l’inquadramento generale e per le procedure di calcolo, è: W.C.
Ackermann et al., Man-made lakes: their problems and environmental effects, Geophysical
Monograph 17, American Geophysical Union, Whashington, D. C., 1973.
203
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.24 – Struttura delle correnti termiche nello strato limite terrestre. Le correnti
ascendenti sono più veloci e quindi più strettamente localizzate di quelle discendenti.
prescelta, lo smaltimento del calore residuo delle grandi centrali ha comunque
delle implicazioni sull’ambiente.
4.3.
CONFIGURAZIONI DI MOTO DI GRANDE SCALA
Equazioni indefinite in un sistema rotante
Abbiamo già detto che la dinamica dell’aria negli strati bassi dell’atmosfera trova un elemento determinante nella fluttuazione della velocità verticale;
la fluttuazione può essere dovuta a una instabilità puramente meccanica del
campo di velocità, in una regione limitrofa al terreno dello spessore di qualche
decina di metri, ma nel periodo diurno è per la maggior parte costituita dagli
spostamenti verticali di masse di aria che occasionalmente si trovano ad essere
meno dense, o più dense, dell’aria circostante. Le variazioni di densità derivano da interazione dell’aria con il terreno, e sono il risultato di processi che
hanno luogo per gran parte nei primi metri di altezza dello strato limite. Le
masse di aria più leggera tendono a salire per effetto della spinta di galleggiamento - la spinta di Archimede - e innescano un moto di ricircolo, richiamando verso il basso, per ragioni di conservazione della massa, una equivalente
quantità di aria più fredda, cfr. fig. 4.24.
Si ha in questo modo un campo con velocità verticale in media uguale a zero
- se il terreno è piatto, ovviamente - e con una componente fluttuante, piuttosto
204
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
intensa in una giornata insolata, che ha le caratteristiche tipiche dei moti turbolenti. Il moto fluttuante verticale trasporta quantità di moto ed energia termica,
ridistribuendo queste grandezze tra strati orizzontali diversi, e così determina
la distribuzione verticale delle velocità medie orizzontali e delle temperature. La dinamica di questo processo non può essere descritta per mezzo delle
equazioni usate nel capitolo precedente (cap. 3), perché in esse mancava l’accoppiamento tra campo gravitazionale e variazione di densità, che è il motore
del moto convettivo verticale. Riscriviamo pertanto le equazioni fondamentali tenendo conto del campo gravitazionale, nella cosiddetta approssimazione di Boussinesq. L’approssimazione consiste nel mantenere la variazione di
densità solo nel termine di accoppiamento con il campo gravitazionale, ove è
indispensabile per non perdere l’essenza del fenomeno; in tutti gli altri termini continua ad essere trascurata, indipendentemente dal fatto che essa risulti o
meno di piccola entità.
Inoltre, ci decideremo a riconoscere che la terra non è un sistema inerziale,
poiché ruota attorno ad un asse24. Il fatto non impedisce di adottare un sistema di riferimento solidale all’orbe, purché si introducano nelle equazioni
di quantità di moto i termini inerziali dovuti alle accelerazioni complementari e di trascinamento, come se fossero forze esterne. Si tratta di una proprietà
facilmente deducibile dalla seconda legge di Newton:
ma = F
4.12
ove a rappresenta l’accelerazione della massa, misurata rispetto a un sistema
di riferimento inerziale Σ. Mediante la scomposizione:
a = ar + ac + at
ove ar rappresenta l’accelerazione misurata in un sistema di riferimento non
inerziale Σ , mentre ac e at sono l’accelerazione complementare e quella di trascinamento, dovute al moto di Σ rispetto a Σ, si può riscrivere
24
Fino ad ora abbiamo trascurato il fatto che un sistema di riferimento solidale alla terra, come
quello implicitamente assunto, non è inerziale. L’omissione è dovuta a motivi di pigrizia, non
di prudenza. È stato a lungo negato che la terra sia tonda, o che ruoti, da istituzioni di grande respiro culturale, quali la Chiesa Cattolica o la Flat Earth Society; ma negli ultimi tempi il
dibattito ha perduto l’asprezza che lo ha, a lungo, contraddistinto. In quanto alla pigrizia, possiamo ricordare come discriminante che nella dinamica di moti di piccola scala gli effetti che
derivano dalla rotazione della terra sono irrilevanti.
205
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
l’equazione 4.12 come:
mar = F − mac − mat
4.13
Dal confronto tra la 4.12 e la 4.13, appare evidente che agli occhi di un osservatore solidale al sistema non inerziale Σ , la legge del moto si presenta come
quella di una massa m soggetta al sistema di forze:
F − mac − mat
La nostra equazione di quantità di moto non è altro che l’applicazione della 4.12 a una particella di fluido con volume unitario e massa ρ; quindi è
sufficiente, per considerare le conseguenze del moto di rotazione della terra,
aggiungere alla forza di gravità ρg le due forze inerziali −ρat e −ρac .
In realtà, l’introduzione di −ρat cambia poco o nulla; tale forza per unità
di volume è essenzialmente quella centrifuga del moto di trascinamento25 e
può essere sommata alla forza peso ρg dando luogo ad un campo di gravità apparente, poco variabile con la latitudine. Salvo il dover dare a g questo
nuovo significato - quello di accelerazione apparente di gravità, somma vettoriale del termine effettivamente dovuto all’attrazione gravitazionale e di quello dovuto all’accelerazione centripeta cambiata di segno - non vi sono altre
complicazioni.
La forza di inerzia dovuta all’accelerazione complementare, o accelerazione
di Coriolis, introduce invece nelle equazioni un termine qualitativamente diverso da quelli preesistenti, che può indurre comportamenti inaspettati nei moti di grande scala. L’accelerazione complementare di un punto in movimento
è infatti data dal prodotto esterno
ac = 2Ω × u
ove Ω rappresenta la velocità angolare del sistema di riferimento Σ - in questo
caso, della terra - e u la velocità del punto, relativa a Σ . La forza per unità di
volume che occorre introdurre nell’equazione è pertanto:
−2ρΩ × u
25
L’accelerazione di trascinamento è quella che la massa possiederebbe, se fosse solidale al sistema non inerziale Σ . Indicato con n un versore perpendicolare all’asse terrestre, rivolto verso
l’esterno, si ha quindi: at = −Ω2 rn, ove Ω è la velocità angolare della terra ed r la distanza
della massa dall’asse di rotazione.
206
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Ω
x1
P0
0
x2
x3
ϕ
Fig. 4.25 – Sistema di coordinate.
la quale agisce come una forza deviante che spinge la velocità u a ruotare in
senso opposto alla rotazione terrestre.
Con queste premesse, e ricordando l’approssimazione di Boussinesq,
possiamo adottare le equazioni differenziali (cfr. app. A):
ρ
∇·u=0
∂
+ u · ∇ u = −∇p + ρg − 2ρΩ × u + μ∇2 u
∂t
4.14
4.15
Si noti che nell’equazione di continuità sono state cancellate la derivata
rispetto al tempo e le derivate spaziali di ρ.
Rimangono da definire il dominio di integrazione e le condizioni di contorno. Per non complicare il problema con coordinate sferiche, adottiamo una
rappresentazione locale dello spazio, sostituendo alla superficie sferica il suo
piano tangente in un punto P0 . Quanto accade nell’intorno del punto, può
essere descritto con un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, affidando
ad una di esse (x2 ) il compito di rappresentare l’altezza sul suolo e alle altre due la distanza dal punto di contatto P0 , misurata come se il terreno fosse
piano. In altre parole torniamo alla filosofia della terra piatta, salvo il considerarla un piatto in rotazione con velocità angolare Ω sin ϕ (fig. 4.25), con ϕ a
rappresentare l’angolo di latitudine.
207
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Per quanto riguarda le condizioni al contorno, si ha sicuramente:
u=0
4.16
per x2 = 0. Per x2 → ∞, la velocità u deve raccordarsi con quella uv del
vento in alta quota, la cui forma è determinata dalle struttura di grande scala
del moto atmosferico; in effetti, in un sistema di riferimento solidale alla terra,
il moto dello strato limite appare come un moto indotto per trascinamento da
una corrente esterna. In termini stretti, la forma della corrente esterna uv non
è determinante per la dinamica della turbolenza nello strato limite; si potrebbe
considerare uv come una velocità uniforme assegnata e quindi assumerla come
scala delle velocità dell’intero campo. In realtà, la forma e l’evoluzione delle
strutture di grande scala finisce con l’influenzare, sia pure in modo indiretto,
la dinamica dello strato limite; conviene quindi spendere qualche pagina su
questo complesso argomento.
Anche il moto in alta quota è turbolento, con tutto quello che la parola si porta
dietro per quanto riguarda la mancanza di prevedibilità e di ripetitività delle evoluzioni. Vi sono tuttavia configurazioni di grande scala dotate di una
certa permanenza temporale, che tendono a riprodursi nei loro lineamenti di
massima, e che possono essere rappresentate in modo approssimato rendendo
estreme alcune loro caratteristiche. Queste configurazioni non corrispondono
mai, alla lettera, a una situazione effettiva; la comprensione delle loro proprietà e delle loro carenze rappresenta tuttavia un punto di partenza per un discorso più articolato, che finisca col catturare alcuni aspetti della circolazione
atmosferica.
Iniziamo con le configurazioni di vento geostrofico, la cui velocità ug
usualmente si assume come condizione al contorno delle equazioni 4.14 e 4.15:
u = ug
4.17
per x2 → ∞.
Vento geostrofico
Si chiamano configurazioni di vento geostrofico delle soluzioni particolari,
stazionarie e di grande scala geometrica, delle equazioni differenziali 4.14 e
4.15. È evidente che le due condizioni ipotizzate - moto stazionario e di grande scala - permettono di eliminare dall’equazione di quantità di moto le derivate rispetto al tempo e i termini dissipativi; ma se la scala geometrica è di
dimensione continentale, anche i termini convettivi non lineari spariscono di
208
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
fronte a quello che deriva dall’accelerazione di Coriolis. L’ordine di grandezza dei primi è infatti ∼ ρU 2 /L, mentre l’ordine di grandezza del secondo è
∼ ρU Ω, così che il rapporto tra i due vale:
U
Ro =
LΩ
ove L è la scala geometrica del moto e Ω il modulo della velocità di rotazione
della terra, ∼ 7.2 · 10−5 rad/s. Al rapporto viene dato il nome di numero di
Rossby26.
Per velocità dell’ordine di 10 m/s, una stima ragionevole per un vento di alta
quota, il numero di Rossby è ∼ 1, quando è L ∼ 105 m = 102 km. Per configurazioni di scala più grande - qualche migliaio di km - i termini convettivi
dell’accelerazione risultano trascurabili rispetto all’accelerazione di Coriolis,
la quale dà l’unico termine inerziale significativo dell’equazione di quantità
di moto. Si ha dunque un sistema il cui equilibrio dinamico è assicurato dal
bilanciamento tra forza risultante di pressione, forza di inerzia di Coriolis, e
forza peso. Quest’ultima è di gran lunga la forza dominante per l’entità, essendo g ∼ 104 volte l’accelerazione complementare, ma agisce solo lungo la
verticale; nel piano orizzontale si fanno equilibrio la risultante delle azioni di
pressione e la forza deviante di inerzia dovuta all’accelerazione di Coriolis.
Proiettando l’equazione di quantità di moto sull’asse verticale x2 si ottiene:
∂p
= −ρg
4.18
∂x2
mentre nel piano orizzontale si ha:
∇h (p) = −ρf i2 × ug
4.19
ove f , parametro di Coriolis, vale:
f = 2Ω sin ϕ
essendo Ω sin ϕ la proiezione di Ω sull’asse x2 , passante per un punto della superficie terrestre di latitudine ϕ, cfr. fig. 4.25. In quanto a ∇h (p) e ug ,
si tratta di vettori che giacciono sul piano orizzontale e che rappresentano
la componente orizzontale del gradiente della pressione e della velocità del
vento. L’equazione 4.18 conferma una cosa già detta più volte, che l’equili-
26
È quasi sempre scritto come U/Lf , ove f è il parametro di Coriolis, vedi righe successive.
Poiché il discorso va riferito alle medie latitudini - stiamo parlando di configurazioni di scala
continentale o quasi, collocate tra l’equatore e il polo - la differenza non è rilevante.
209
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
ρ f ug
ug
Ω sen ϕ
∇hp
Fig. 4.26 – Relazione tra velocità del vento geostrofico e gradiente delle pressioni.
bassa pressione
ug
ug
isobare
ug
alta pressione
ug
Fig. 4.27 – Isobare e velocità del vento geostrofico.
brio verticale dell’atmosfera è sempre di tipo statico, salvo situazioni locali e
transitorie. La 4.19 invece rivela una proprietà inaspettata, che deriva dal carattere non inerziale del sistema di riferimento. È indubbio che ∇h (p) e ug
debbano essere tra loro perpendicolari per assicurare l’equilibrio dinamico,
cfr. fig. 4.26; la velocità del vento risulterà pertanto parallela alle isobare, al
contrario di quanto avviene normalmente in laboratorio27 .
Risolvendo per la velocità, dalla 4.19 si ottiene l’equazione del vento
geostrofico:
1
ug =
4.20
i2 × ∇h (p)
ρf
Si ha un vento, parallelo alle isobare, che si intensifica ove le linee a pressione
costante si addensano - ove cresce il gradiente ∇h (p) - e che nell’emisfero
27
Anche il laboratorio ruota insieme alla terra; è la diversità di scala geometrica a fare la
differenza.
210
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
settentrionale28 corre avendo l’alta pressione alla propria destra (cfr. fig. 4.27).
Questa configurazione del campo non contempla componenti verticali della velocità. Assunta una terna di assi cartesiani ortogonali come quella
rappresentata in fig. 4.25, dalla 4.20 si ottiene:
∂
1 ∂p
∂
1 ∂p
∂ug1 ∂ug3
+
=
−
=0
∂x1
∂x3
∂x1 ρf ∂x3
∂x3 ρf ∂x1
che per l’equazione di continuità implica la condizione:
∂ug2
=0
4.21
∂x2
La componente verticale ug2 è tuttavia sicuramente nulla sulla superficie,
quindi per la 4.21 è nulla ovunque.
Le proprietà del vento geostrofico - parallelismo tra linee di corrente e linee
isobare, e assenza di componente verticale della velocità - non sono un artefatto della rappresentazione approssimata della geometria, trasformata da sferica
in piana; valgono anche su una superficie sferica, con il centro coincidente con
il centro della terra29 . Sulla sfera d’altra parte le linee a pressione costante non
possono che chiudersi su se stesse, attorno a centri di alta o di bassa pressione
(cfr. fig. 4.28). Il moto geostrofico pertanto si svolge su superfici sferiche, circolando in senso antiorario attorno a centri di bassa pressione, oppure in senso
orario attorno a centri di alta. Le configurazioni del primo tipo si chiamano
cicloniche, le seconde anticicloniche (cfr. fig. 4.29).
È scontato che, in qualsiasi momento le si osservi, le isobare presentano delle linee chiuse attorno a centri, di alta o bassa pressione; non lo è altrettanto
che il vento in quota abbia carattere geostrofico. In effetti, la soluzione geostrofica ha richiesto delle condizioni particolari, che in senso stretto non sono
mai rispettate. Il moto dell’atmosfera non è stazionario, ma evolve in modo continuo; la ricerca di soluzioni stazionarie assume pertanto il significato
28
Tutta la discussione che segue si riferisce all’emisfero settentrionale e le configurazione del
campo di moto vengono descritte come osservate dall’alto.
29
Lo spessore dello strato di atmosfera di cui stiamo parlando è molto piccolo rispetto al raggio
terrestre; la legittimità del passaggio da sfera a piano tangente, e viceversa, è assicurata al di
là degli sviluppi analitici dal criterio di massima che una superficie curva regolare può essere
sempre trattata come piana, quando gli eventi che si vuole descrivere si svolgono nelle sue
immediate vicinanze.
211
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.28 – Distribuzione di isobare (linee sottili) sulla superficie della terra.
di ricerca di configurazioni dotate di una certa capacità di permanenza in una
stessa regione, caratterizzate da una variazione temporale così lenta da potere
essere ignorata. Inoltre, come vedremo, la mancanza di componente verticale
di velocità prevista dalla soluzione non può essere in realtà soddisfatta. Delle due configurazioni possibili, tuttavia, quella anticiclonica è associata a un
lento moto di subsidenza, che non inficia in modo significativo il modello matematico del vento geostrofico. I centri di bassa pressione invece comportano
moti ascendenti e discendenti di notevole entità, e una dinamica così vivace
da rendere poco credibile la corrispondenza tra realtà e soluzione stazionaria. Situazioni anticicloniche sono frequenti nei periodi di maggiore stabilità,
in inverno o estate. Presentano l’apparente stranezza di un vento che circola attorno ad un centro di alta pressione, una situazione non osservabile in un
sistema di riferimento inerziale, ove la pressione si abbassa inevitabilmente
verso il centro di curvatura delle traiettorie per effetto centrifugo. D’altra par-
212
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
(b)
(a)
ug
Fig. 4.29 – Configurazioni cicloniche (b) e anticicloniche (a).
te neppure in un sistema rotante i termini centrifughi dovuti al moto relativo30
potrebbero essere ignorati, in confronto a quelli di Coriolis, nella zona centrale
della configurazione, dove la distanza dal centro di alta pressione si riduce al di
sotto del valore critico di 100 km. Nella realtà non si ha movimento significativo nella zona centrale di un anticiclone; il sistema è costituito da una regione
centrale quasi statica, con pressione poco variabile; soltanto a grande distanza
dal centro la pressione si abbassa in modo marcato e il vento assume velocità
elevata lungo traiettorie quasi rettilinee, in accordo con l’equazione 4.20.
Vento termico. Sistemi barotropici e baroclini
L’equazione 4.20 non contiene alcuna informazione esplicita su come vari il
vento in funzione della quota; tuttavia, se accoppiata con l’equazione di equilibrio verticale 4.18, può dare conto della variazione con l’altezza del vento, che
deriva da un maggiore o minore addensamento delle isobare nei diversi piani
orizzontali. Si può dimostrare che, in presenza di un gradiente orizzontale di
temperatura, si ha una distribuzione di isobare nei piani orizzontali che cambia
con la quota, a causa del diverso peso della colonna d’aria che separa i punti di una stessa verticale, in accordo con l’equazione di equilibrio statico 4.18.
La variazione di temperatura tra punto e punto di uno stesso piano orizzonta-
30
Sono dell’ordine di ρu2g /r, ove r è il raggio di curvatura delle traiettorie.
213
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
le induce una corrispondente variazione di densità, e quindi un modo diverso
di variare della pressione con la quota. Si ha infatti, dall’equazione 4.18 e
dall’equazione di stato dei gas perfetti:
M
1 ∂p
g
=−
p ∂x2
RT
quindi:
M
∂ ln p
=−
4.22
g
∂x2
RT
La 4.22 può essere integrata lungo la verticale, quando si conosca la temperatura T (x) dell’atmosfera e la distribuzione di pressione po (x1 , 0, x3 ) a livello
del mare. Si ottiene:
p = po exp [−F (x)] = po Φ(x)
ove:
x2
F (x) =
0
4.23
M
gdx2
RT (x)
La 4.23 permetterebbe, nota T (x), di calcolare la pressione su un generico
piano orizzontale, e pertanto anche la componente orizzontale ∇h (p) del gradiente che compare nella espressione 4.20 del vento geostrofico. Di fatto, in
meteorologia si trova più utile dare del campo di pressione una descrizione diversa dalla 4.23. Si considera nota la distribuzione po (x1 , 0, x3 ), che si avrebbe
su una superficie immaginaria i cui punti fossero tutti al livello del mare - ottenuta correggendo i valori effettivamente misurati sulla superficie reale, per
eliminare l’influenza della quota - e quindi si assegna l’altezza h, sulla verticale passante per il punto di coordinate (x1 , x3 ), a cui occorrerebbe portarsi
per trovare una pressione generica p. È un modo di organizzare i dati che probabilmente riflette l’uso di palloni sonda, fatti salire più o meno in verticale
per esplorare lo stato dell’atmosfera. Da un punto di vista formale si tratta di
uno scambio di variabile indipendente; la relazione
p = po Φ(x1 , x2 , x3 )
diviene:
x2 ≡ h = h(x1 , x3 , p, po )
4.24
la quale va letta come l’altezza h, misurata lungo la verticale passante per il
punto di coordinate (x1 , 0, x3 ), per cui la pressione è scesa da po , valore al
livello del mare, a p. La pressione p figura nella relazione 4.24 come indipendente. L’equazione 4.22 di equilibrio statico dell’atmosfera, risolta per la
214
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
p+Δp
x2
Δh ∝ T
p
x3
Fig. 4.30 – Altezza della colonna d’aria che separa due superfici isobare: l’altezza Δh
è proporzionale alla temperatura assoluta T dell’atmosfera.
nuova variabile dipendente h, si trasforma in:
RT
RT δp
δh = −
δ(ln p) = −
Mg
Mg p
4.25
La 4.25, ove il simbolo δ indica una variazione ottenuta mantenendo costanti x1 e x3 , mette in luce una proprietà degna di nota: l’altezza della colonna
d’aria, che separa due punti a diversa pressione, risulta proporzionale alla temperatura assoluta dell’aria stessa. La proprietà è illustrata in fig. 4.30, ove sono
rappresentate le linee di intersezione con un generico piano verticale di due diverse superfici a pressione costante; a parità di altre condizioni, la distanza in
verticale fra le due isobare risulta proporzionale a T . Ne deriva che, in assenza di componenti orizzontali del gradiente di temperatura, una stessa riduzione
percentuale di pressione richiederebbe uno stesso innalzamento δh.
L’assenza di gradiente non è ipotesi realistica; la temperatura dell’aria in vicinanza del suolo varia per interazione con il terreno, se non altro al variare
della latitudine. Assumiamo pertanto che esista un gradiente orizzontale di
temperatura, la cui direzione viene fatta coincidere con l’asse x3 , e vediamo
di riscrivere l’equazione del vento geostrofico in una forma coerente con il
nuovo modo di rappresentare il campo di pressione. Nell’equazione 4.20 del
vento geostrofico:
1
i2 × ∇h (p)
ug =
ρf
figura il gradiente orizzontale di pressione, calcolato mantenendo costante l’altezza h. La funzione 4.24, che noi supponiamo di conoscere, ci permette invece di trovare quale sia il gradiente dell’altezza h di una superficie a pressione
costante, che indichiamo con il simbolo ∇p (h). Al fine di individuare la re215
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
B'
A
p = ωst
B
i3
Δh(T)
x3
Δp(h)
Fig. 4.31 – Sezione di una superficie a pressione costante.
lazione che lega i due gradienti si consideri la fig. 4.31, ove è rappresentata
l’intersezione di una superficie isobara con un piano verticale, passante per un
generico punto A, che contiene la linea di massima pendenza della superficie
stessa; in altre parole, tale che la direzione x3 rappresenti in figura la direzione
di più ripida variazione di h, e quindi anche quella del gradiente orizzontale di
temperatura, che alla prima è strettamente legato (cfr. eq. 4.25).
Il gradiente orizzontale di pressione vale:
pB − pA
i3
∇h (p) = lim
B→A x3B − x3A
e il valore pA può essere sostituito con la pressione del punto B , che
appartiene alla stessa isobara del punto A. Si ottiene in questo modo:
pB − pB pB − pB
∇h (p) = lim
4.26
i3 = − lim
i3
B→A x3B − x3A
B→A x3B − x3A
La differenza (pB − pB ) che vi compare può essere espressa per mezzo
dell’equazione di equilibrio statico come:
pB − pB −ρg(hB − hB )
che nel limite B → A, diviene l’espressione esatta:
δp = −ρgδh
Sostituendo la differenza di pressione (pB − pB ) con la differenza di quota
nella 4.26, e andando al limite, si deriva la relazione cercata:
∇h (p) = ρg∇p (h)
4.27
La 4.27 mostra che i due gradienti sono paralleli e che a una maggiore pendenza del contorno isobarico, indicato in fig. 4.31, corrisponde un addensarsi di linee a pressione costante nel piano orizzontale. L’equazione del vento
216
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
α1
α0
p=p1
p=p0
x3
Fig. 4.32 – La velocità del vento geostrofico è proporzionale alla tangente dell’angolo
α di inclinazione dei contorni isobarici. Quando i contorni non sono tra loro paralleli
si ha una variazione dell’angolo di inclinazione con la quota, e quindi una variazione
corrispondente della velocità ug . Alla variazione di ug viene dato il nome di vento
termico.
geostrofico può essere ora espressa in una nuova forma:
g
ug = i2 × ∇p (h)
4.28
f
che non contiene la densità. La 4.28 ha il vantaggio di dare la velocità del
vento geostrofico in funzione di un unico parametro, la pendenza α del profilo
della superficie isobarica. Si ha infatti, cfr. fig. 4.32:
∇p (h) = (tan α)i3
ug =
g tan α
i2 × i3
f
4.29
Quando i contorni isobarici mostrano alle diverse altezze un’inclinazione variabile, come quelli che compaiono nello schizzo di fig. 4.32, si ha una variazione della velocità ug con la quota, a cui viene dato il nome di vento termico.
L’origine del nome può essere spiegata in poche parole. Si immagini che le superfici a pressione costante siano anche a temperatura costante; in tal caso, per
la proprietà messa in luce dalla relazione 4.25 e rappresentata nella fig. 4.30,
qualsiasi colonna d’aria verticale compresa tra due superfici isobare avrebbe
la stessa altezza, e i contorni isobarici sarebbero ottenibili gli uni dagli altri
con una traslazione. Non si avrebbe alcuna variazione della pendenza α con la
quota, né variazione di intensità del vento geostrofico. Una parte di atmosfera
che si trovi, almeno approssimativamente, in questa condizione viene indicata
col termine di sistema barotropico o quasi-barotropico. Si può osservare che,
217
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
vigendo questo forte vincolo, la densità dell’aria può cambiare solo nel passaggio da una superficie isobarica ad un’altra, il che giustifica l’esistenza di
una relazione univoca:
ρ = ρ(p)
In presenza di un forte gradiente orizzontale di temperatura, la condizione
barotropica non può sussistere. I contorni isobarici tendono ad aprirsi come un
ventaglio nel senso delle temperature crescenti, e l’angolo di inclinazione dei
profili isobarici cresce verso l’alto, come la velocità del vento. La situazione
viene definita baroclina, ed è rappresentata in fig. 4.33. Il vento geostrofico
varia con la quota, perché varia lungo la verticale l’inclinazione α dei contorni
isobarici. Il vettore utm che esprime la differenza tra le velocità geostrofiche
a due diverse altezze è dato dalla relazione:
g
utm = ug − ugo = (tan α − tan αo )i2 × i3
4.30
f
e viene chiamato vento termico, perché è legato all’esistenza di un gradiente orizzontale di temperatura31 . Uno schema riassuntivo della situazione dei
venti è rappresentato in fig. 4.34: il vento termico è orientato come l’asse x1 ,
in direzione perpendicolare alla componente orizzontale del gradiente di temperatura, si intensifica verso l’alto e corre avendo l’aria più calda alla propria
destra.
Finora si è supposto che la componente orizzontale del gradiente di temperatura mantenga una stessa direzione col variare della quota; in questo quadro,
il vento termico cresce verso l’alto, ma mantiene direzione costante. In generale, la direzione della componente orizzontale del gradiente termico cambia
con l’altezza e questo comporta una rotazione con la quota della direzione del
vento. Il modo di variare del vettore ug , nel passaggio tra una superficie a
pressione costante e un’altra, è dato dall’equazione differenziale:
R
∂ug
=−
[i2 × ∇p (T )]
4.31
∂(ln p)
Mf
ove ∇p (T ) rappresenta il gradiente di temperatura, misurato spostandosi su
una superficie isobara. La 4.31 si ottiene scrivendo la differenza che passa tra
le velocità del vento geostrofico, che si trovano lungo la stessa verticale su
31
Una variazione verticale di temperatura è sempre presente, pur non inducendo alcun processo
dinamico.
218
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
α2
x2
p2
p1
p0
α1
α0
Δh(T)
x3
Fig. 4.33 – Atmosfera baroclina: i contorni isobarici formano un ventaglio di linee
che si aprono nella direzione della temperatura più alta. L’angolo di inclinazione α
va crescendo verso l’alto.
due superfici a pressione costante, p e p1 , e quindi procedendo al limite per
p1 → p + dp.
Masse e fronti. Correnti a getto
In senso stretto, la condizione dell’atmosfera è sempre baroclina. Vi è una
variazione orizzontale di temperatura vicino al suolo, indotta dalla diversa
temperatura di questo. Trascurando le anomalie locali, la temperatura della
superficie terrestre va diminuendo dall’equatore al polo, per effetto della variabile inclinazione della superficie rispetto alla radiazione solare incidente, e
l’atmosfera ne subisce l’effetto. Se si rappresenta la situazione dell’atmosfera per mezzo di una distribuzione di grandezze mediate - nel tempo per un
periodo sufficientemente lungo, oppure sulla superficie per un’area sufficientemente estesa32 - il gradiente termico appare diretto lungo i meridiani, salvo
32
Non è importante al fine di una descrizione qualitativa che si distingua tra medie temporali e
medie di superficie. Le une e le altre sfumano le variazioni, eliminandone quelle componenti
che sono di più piccolo periodo o di più piccola scala. La rappresentazione appare come velata
da un fortissimo effetto diffusivo, implicito in qualsiasi operazione di media che venga applicata ad un moto con aspetti erratici; il concetto vale comunque, non solo per la dispersione di
inquinanti.
219
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
x1
Δh(T)
x3
Fig. 4.34 – Vento termico: la direzione x3 è quella di massima variazione orizzontale
della temperatura; il vento termico è diretto come x1 e il suo modulo cresce con la
quota x2 .
distorsioni dovute alla distribuzione delle terre e delle acque. In perfetta corrispondenza, si trova un vento diretto da ovest verso est, la cui intensità cresce
con la quota, e che raggiunge il massimo all’altezza della tropopausa, ove la
componente meridiana del gradiente termico si annulla. La zona di massima
intensità del vento viene indicata col termine di corrente a getto e si trova alle medie latitudini, spostata maggiormente verso sud nel periodo invernale,
quando la velocità del vento può raggiungere valori attorno ai 30 ÷ 40 m/s
(100 ÷ 140 km/h); l’asse del getto è collocato, più o meno, all’altezza della
tropopausa. Dunque, se si eliminano le variazioni di breve periodo, la relazione che intercorre tra la temperatura e il movimento dell’aria nella troposfera è
in buon accordo con la teoria del vento termico.
Quando si studia l’evolvere giorno per giorno della troposfera, si trova ovviamente una maggiore variabilità e complessità di configurazioni. Per darne
una descrizione in qualche modo soddisfacente conviene ricuperare la distinzione tra sistemi barotropici e sistemi baroclini, almeno in senso relativo, per
distinguere tra regioni che appaiono in condizioni quasi uniformi, per quanto
riguarda temperatura e contenuto di vapor acqueo - quindi barotropiche o quasi - ed altre in cui si hanno variazioni di stato molto intense in breve distanza,
ove breve va inteso in senso relativo alla dimensione orizzontale caratteristica
220
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
delle prime33 . Le masse relativamente omogenee sono originate da periodi di
residenza a contatto con superfici di temperatura poco variabile, superfici degli
oceani o continentali, e derivano le loro caratteristiche dal luogo di formazione; si hanno masse fredde e asciutte, temperate e umide, oppure calde e asciutte et cet., a seconda che questi estesi corpi di aria abbiano subito l’influenza
livellatrice del Canada o della Siberia, dell’oceano oppure dei deserti africani.
Quando uno squilibrio di pressione ne accelera il movimento, essi tendono a
migrare incuneandosi in regioni di condizioni diverse, e in questo modo determinano zone di transizione fortemente barocline, perché caratterizzate da forti
gradienti orizzontali; si tratta della consueta irregolare intensificazione dei gradienti che caratterizza i moti caotici. Nel linguaggio dei meteorologi i corpi
di aria in condizioni quasi uniformi vengono chiamati semplicemente masse,
dando spesso per sottinteso l’attributo di quasi-uniformità, mentre le regioni di
limitato spessore in cui avviene la transizione vengono chiamate fronti. Questa articolazione dello stato della troposfera permette una comprensione della
sua dinamica, almeno in senso largo.
Le regioni barotropiche sono essenzialmente stabili; in esse è difficile, se non
impossibile, che si sviluppi una perturbazione di grande intensità; manca in
un campo di velocità poco variabile la vorticità indispensabile per il trasferimento di energia tra componenti diverse del campo. Gli elementi dinamici
che determinano l’evoluzione del sistema si trovano nelle zone di transizione,
che hanno uno spessore compreso tra 100 e 200 km; in un fronte si incontrano due masse di aria di diversa densità, e quella di densità minore - in genere
quella di temperatura più alta - si innalza sopra la massa di maggiore peso specifico, portando alla formazione di nubi e quindi alla pioggia. Il passaggio di
un fronte provoca maltempo e cambiamento di condizioni climatiche, per il
semplice motivo che comporta la sostituzione di una massa con un’altra. La
regione del fronte è fortemente baroclina, quindi atta a fenomeni di intensificazione o indebolimento di strutture perturbative. Il gradiente di temperatura
induce la variazione dell’intensità del vento con la quota; nei pressi dei fronti,
e al di sopra di essi, si trovano le realizzazioni istantanee delle correnti a getto,
le quali sono orientate, grosso modo, in senso ortogonale al gradiente orizzon-
33
Nel parlare di variazioni si intende variazioni orizzontali.
221
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.35 – Sezione di una corrente a getto.
tale di temperatura, e quindi risultano approssimativamente parallele al fronte
stesso34.
Le correnti a getto si comportano, nei confronti dell’aria circostante, come la
corrente di un canale veloce che si immette in un fiume sonnolento, tanto per
citare un caso più facile da osservare; danno luogo ad una zona centrale di alta
velocità, circondata da regioni instabili, ove si formano strutture vorticose che
possono creare dei problemi agli aerei che vi volino all’interno. La fig. 4.35
cerca di rendere l’idea.
In effetti, le configurazioni di moto dell’atmosfera mostrano spesso i tratti delle correnti di scorrimento - shear flows, come generalmente vengono chiamate
con il loro nome inglese. Si hanno campi di moto ove la velocità è orientata
prevalentemente in una direzione, mentre il suo modulo varia in una direzione
ortogonale, cfr. fig. 4.36. Le instabilità di queste correnti, il cui studio rappre-
34
Può sembrare poco credibile che la proprietà di una soluzione stazionaria, come quella del
vento termico, trovi riscontro in una situazione in rapida evoluzione, come quella di un fronte.
Quello che si può chiedere a una soluzione stazionaria è di rappresentare la configurazione
verso cui si porta un sistema, quando un insieme di fattori, che nella soluzione stazionaria non
compaiono, tende a stabilizzarlo; in breve, l’equazione del vento geostrofico non spiega come
il vento si formi, né perché risulti stabile. Tuttavia, il fatto che si generi una variazione di
velocità con l’altezza, sotto l’azione del campo gravitazionale e di un gradiente orizzontale di
densità, può essere visto in una prospettiva più generale. Una variazione di velocità con la quota
comporta vorticità ad asse orizzontale, e la comparsa di questa grandezza può essere attribuita
al termine di produzione Sρ × g, che si trova nella equazione della vorticità (Cancelli, op. cit.,
4.3). Abbiamo già utilizzato questo argomento per spiegare come si formino, su una scala più
piccola, le correnti di pendio.
222
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x2
x1
Fig. 4.36 – Correnti di scorrimento (shear flows): la velocità è diretta nel senso di x1 ,
mentre il suo modulo varia lungo x2 . I profili di velocità sono resi instabili dalla presenza
di punti di flesso.
senta un capitolo classico della dinamica dei fluidi35 , hanno un ruolo nel determinare lo sviluppo delle pertubazioni atmosferiche. Anche la formazione
di un centro di bassa pressione nelle medie latitudini, sebbene sia un fenomeno a cui danno contributo numerosi fattori - corrente ascendente nella regione
di convergenza, vorticità secondaria e stiramento, formazione di nubi e precipitazioni piovose - e che può avere esiti molto diversi, almeno per quanto
riguarda la violenza, trae spunto da una instabilità all’inizio di natura meramente meccanica, caratteristica delle correnti di scorrimento. Lo schema di
sviluppo dell’instabilità è rappresentato in fig. 4.37, in proiezione orizzontale.
A bassa quota il campo di moto prodotto dai fronti è tridimensionale e complesso. Si hanno correnti ascendenti e discendenti, quindi inevitabilmente zone di convergenza o di divergenza delle linee di corrente nei piani orizzontali;
una corrente ascendente, ad es., richiede in basso una zona di convergenza
delle linee di corrente che la alimenti, e una di divergenza in alto ove torna ad
allargarsi in orizzontale. Il vento è tutt’altro che geostrofico; sia quello caldo, sia quello formato da aria fredda soffiano attraverso le isoterme verso il
fronte, ove tendono a concentrare le differenze di temperatura, innalzandone
il gradiente.
I fronti hanno dinamiche diverse, a seconda che sia l’aria fredda che avanza
rispetto alla superficie terrestre, incuneandosi sotto l’aria di maggiore temperatura, cfr. fig. 4.38, 4.39, oppure l’aria calda che, scorrendo sopra quella di
temperatura minore, la spinge indietro per trascinamento, cfr. figg. 4.40, 4.41.
35
Cfr. Tritton, op. cit., 17.6.
223
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
vento freddo
ω
C
vento caldo
vento freddo
C
vento caldo
posizione
iniziale
del fronte
vento freddo
C
vento caldo
C
Fig. 4.37 – Fase iniziale della formazione di un centro di bassa pressione. Nelle vicinanze del punto C, in una regione intermedia tra due strutture di moto circolanti
entrambe in senso orario, scorrono lungo la superficie di separazione volumi di aria
fredda in direzione ovest, e volumi di aria calda in direzione est, (a). Le masse hanno
un movimento che è coerente con l’appartenenza a due configurazioni anticicloniche,
con centri di alta pressione spostati verso l’equatore per l’aria calda, e verso il polo
per l’aria fredda; in C, ove la pressione è vicina al minimo, si incontrano alle medie latitudini aria di provenienza tropicale e aria di provenienza polare. Una perturbazione
casuale del fronte di separazione si amplifica spontaneamente, (b), (c), dando luogo ai
fronti freddo e caldo schizzati in (d), che tendono a ruotare in senso antiorario, avendo
C come centro .
Nel primo caso il fronte viene definito freddo, nel secondo caldo. In fig. 4.38,
schizzata senza pretese di generalità, l’aria fredda avanza verso destra sotto l’aria calda che è costretta ad alzarsi; il vapore contenuto nell’aria che sale
forma, condensandosi, la nube che sovrasta il fronte, e il carattere agitato della
corrente calda ascendente favorisce la pioggia. Si noti che la pioggia precipita
in gran parte nell’aria più fredda e più secca che si trova al di sotto, ove subisce
una parziale rievaporazione, raffreddando ulteriormente il cuneo che avanza;
224
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
superficie fronte
aria calda
aria fredda
A
B
C
Fig. 4.38 – Fronte freddo: la massa di aria fredda si incunea sotto l’aria più calda,
muovendosi verso destra. L’aria calda è sollevata in alto e respinta indietro; sollevandosi, provoca formazione di nubi e pioggia nella regione A. Nella regione B si ha una
corrente discendente di aria fredda che si allarga in orizzontale vicino al suolo, spingendosi fino a C ove anticipa l’arrivo della pioggia con un improvviso e forte colpo di
vento.
aria fredda
Fig. 4.39 – Rappresentazione simbolica del fronte freddo su un piano orizzontale.
si ha un elemento spontaneo di intensificazione della differenza di densità che
alimenta il moto.
Un tipico fronte caldo è disegnato in fig. 4.40; anche in questo caso il fronte
si sposta verso destra, e l’aria fredda si ritrae trascinata da quella calda che vi
scorre sopra. Manca il fenomeno di intensificazione spontanea che si trova nei
fronti freddi; la rievaporazione dopo la pioggia tende in questo caso ad agire
da freno.
Nelle carte meteorologiche il bordo anteriore di un fronte è indicato con una
linea continua, dotata di punte triangolari nel caso che il fronte sia freddo,
e di semicerchi nel caso sia caldo. La linea rappresenta l’intersezione tra la
225
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
aria calda
aria fredda
Fig. 4.40 – Fronte caldo: la massa di aria calda scorre sopra quella fredda,
costringendola a ritirarsi verso destra. L’ascesa di aria calda produce nubi e piogge.
Fig. 4.41 – Rappresentazione simbolica del fronte caldo.
superficie terrestre e la superficie che schematicamente divide due masse di
aria in condizione diversa; i triangoli o i semicerchi sono disposti nel verso di
avanzamento del fronte, cfr. fig. 4.39 e fig. 4.41.
Dei due tipi di fronte, quello il cui arrivo comporta il cambiamento più drastico e subitaneo è il fronte freddo, che in genere avanza più velocemente ed
è accompagnato da una pioggia intensa. Un fronte caldo porta quasi sempre una transizione più graduale; può provocare della pioggia moderata, ma
persistente.36
36
Vi possono essere piogge lievi anche con un fronte freddo, nel caso che un forte vento in quota
disperda rapidamente la nube che si viene formando al di sopra; in montagna si può notare un
fenomeno simile, quando il vento all’altezza delle punte dirada i cumuli prima che raggiungano
dimensioni minacciose, anche in una giornata di forti brezze ascendenti.
226
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
aria calda
aria fredda
aria fresca
Fig. 4.42 – Fronte occluso: incontro di tre masse con temperatura diversa.
~
fronte occluso
~
~
aria calda
aria fresca
~~~~
(a)
~~
aria fredda
(b)
Fig. 4.43 – Fronte occluso rappresentato in proiezione orizzontale: (a) massa di aria
calda imprigionata tra due fronti; (b) formazione di un fronte occluso.
Infine, si hanno sistemi in cui interagiscono tre masse di temperatura diversa,
quella più calda essendo costretta a sollevarsi per l’incontro delle altre due; la
situazione è schizzata in fig. 4.42. In tal caso si dice che il fronte è occluso,
e la sua posizione in proiezione orizzontale è rappresentata da una linea ove
triangoli e semicerchi si alternano, cfr. fig. 4.43.
A buon senso, si direbbe che l’occlusione rappresenti la fase finale di una
situazione abbastanza comune, quella che vede dell’aria calda insaccata tra
due masse di temperatura più bassa, imprigionata tra due fronti che ruotano
entrambi in senso antiorario, con un centro di bassa pressione dalle parti del
punto ove i due si intersecano, cfr. fig. 4.43. Poiché il fronte freddo si sposta
più rapidamente dell’altro, l’aria calda nel mezzo è costretta ad innalzarsi,
dando luogo a pioggia intensa, e finirà col trovarsi del tutto al di sopra della
superficie terrestre, cfr. fig. 4.42. Tuttavia, alcuni meteorologi ritengono che
227
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
non sia questa l’origine più frequente delle occlusioni; in questo campo, poche
cose sono certe.
L’arrivo di un fronte provoca un brusco abbassamento della concentrazione
di inquinanti nell’atmosfera, sia perché la pioggia accelera la deposizione al
suolo, sia perché correnti ascendenti e discendenti rimescolano il tutto in uno
strato di notevole altezza. Se si ha in programma una campagna di misure per
controllare la qualità dell’aria, o addirittura per verificare le previsioni di un
modello di dispersione, conviene evitare i giorni di passaggio di un fronte, e
quelli immediatamente successivi, per numerose e ovvie ragioni.
Influenza del terreno sul vento geostrofico. Spirale di Ekman
La superficie del suolo, imponendo la condizione di aderenza: ut = 0, sottrae
all’aria quantità di moto, come accade in qualsiasi corrente che scorra sopra
una parete. Nel caso che il terreno agisca su una configurazione di vento geostrofico, nelle sue vicinanze si ha un secondo effetto, meno prevedibile del primo: la velocità ruota rispetto a quella del vento in alto nello stesso senso della
rotazione terrestre, quindi in senso antiorario, quando la si osservi dall’alto
nell’emisfero settentrionale. Se l’interazione con la superficie fosse trasmessa all’interno del fluido per mezzo della viscosità molecolare, il passaggio da
velocità nulla a velocità geostrofica, rotazione compresa, si concluderebbe in
breve distanza, in uno strato alto un metro o poco più. In realtà, la trasmissione del deficit di quantità di moto arriva ben più in alto, perché è affidata alla
fluttuazione turbolenta dello strato limite; in parte originata da instabilità meccanica, in parte da convezione termica, la fluttuazione verticale di velocità è
più efficace della diffusione molecolare nel trasferire quantità di moto tra i piani orizzontali. È un esempio canonico di interazione tra moti di scala diversa;
la componente turbolenta del moto nello strato limite, di piccola scala in confronto a quella del vento geostrofico, influenza il modo con cui quest’ultimo
varia con l’altezza.
Per mettere in evidenza l’accoppiamento tra questi due aspetti, si può mediare
le equazioni del moto e adottare la velocità del vento geostrofico come condizione di contorno al di sopra dello strato limite. Il risultato dell’operazione di
media è sempre sostanzialmente identico, qualunque sia l’operatore adottato;
si ottengono delle equazioni evolutive per le grandezze mediate, all’interno
delle quali compaiono come funzioni incognite le correlazioni delle compo228
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
nenti fluttuanti, a testimoniare il fatto che non è possibile ignorarle37 . Poiché
tuttavia il vento geostrofico rappresenta una soluzione stazionaria, può sembrare coerente scegliere una media temporale di lungo periodo, in modo da
trascurare le derivate rispetto al tempo.
Sostituendo alle grandezze istantanee i loro valori medi temporali, e aggiungendo agli sforzi viscosi il tensore degli sforzi di Reynolds, secondo lo schema
di sostituzioni illustrato in 3.3:
ut → U
p→P
μ → μ + μt
si ottengono dalle equazioni 4.14, 4.15 quelle mediate:
∇·U=0
4.32
(ρU · ∇)U = −∇P + ρg − 2ρΩ × U + (μ + μt )∇2 U
4.33
a cui si aggiungono le condizioni di contorno:
U = Ug
U=0
per x2 → ∞
4.34
per x2 = 0
4.35
Nello scrivere le 4.32 e 4.33 si sono ignorate le derivate parziali rispetto al tempo e si è considerata costante la densità. Inoltre, si è espresso il tensore degli
sforzi di Reynolds nel modo più semplice, cfr. 3.3, introducendo la viscosità
dinamica turbolenta, e quindi trattando anche questa grandezza come se fosse
una costante, in perfetta analogia con quanto si fa usualmente con la viscosità molecolare. Non è affatto vero che la viscosità turbolenta sia poco variabile
in quella parte dello strato limite più vicina al suolo; e in quanto alla densità, sono le sue variazioni orizzontali quelle che producono il vento termico.
Nel contesto di questa analisi, tuttavia, le approssimazioni adottate risultano
accettabili.
37
Se l’operatore non soddisfa le condizioni di Reynolds, cfr. 3.1 - come nel caso che si effettui
la media su un elemento di volume finito, ad es. - si hanno differenze formali di poco conto; i
lineamenti essenziali del problema rimangono inalterati.
229
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
La 4.33 può essere semplificata, considerando l’ordine di grandezza dei suoi
vari termini. Nel problema sono presenti le scale orizzontali di distanza e di
velocità, L ed Ug , del moto geostrofico imposto al bordo superiore del dominio, a cui si aggiunge come nuova scala geometrica l’altezza h dello strato
limite. Poiché h è dell’ordine di 102 ÷ 103 m, si ha:
h
1
L
il che giustifica che si conservi, del laplaciano che compare nella 4.33, solo
la derivata seconda rispetto ad x2 , se questa indica come di consueto la coordinata verticale. I termini convettivi che compaiono a primo membro sono
anch’essi trascurabili in confronto a quelli inerziali che derivano dall’accelerazione complementare, come nell’equazione del vento geostrofico. È vero
che ora compare una velocità media verticale U2 , che non è detto sia nulla come nel vento geostrofico; ma l’equazione di continuità permette di calcolarne
l’ordine di grandezza, che risulta ∼ Ug h/L; pertanto, termini della 4.33 del
tipo:
∂U1
U2
∂x2
risultano tuttora:
∼ U2
Ug2
Ug
∼
h
L
trascurabili in confronto ad ΩUg . Infine, la proiezione dell’equazione di
quantità di moto sul versore verticale dà come sempre l’equazione statica:
∂P
= −ρg
4.36
∂x2
perché l’accelerazione di gravità risulta più elevata di qualsiasi altra.
Per quanto riguarda il moto sui piani orizzontali, si ottiene - nella variabile
incognita Uh , componente orizzontale di U - un’equazione simile a quella del
vento geostrofico:
∂ 2 Uh
4.37
∂x2 2
salvo per la presenza di un termine apparentemente viscoso, che permette il
rispetto di entrambe le condizioni di contorno, 4.34 e 4.35. Il sistema che stiamo studiando è sicuramente barotropico, dal momento che sono state ignorate
le variazioni orizzontali di densità; quindi la componente orizzontale del gradiente di pressione ∇h (P ) è la stessa in tutti i piani orizzontali, ed è uguale a
− ∇h (P ) − ρf i2 × Uh + (μ + μt )
230
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
π/6
π/3
π/2
45
Uh
Ug
π
Fig. 4.44 – Spirale di Ekman: modulo e direzione della velocità Uh del vento, al variare
del rapporto x2 /δ, riportato come parametro sui punti della curva. Ug rappresenta il
vento geostrofico, in grandezza e verso.
quella del vento geostrofico che vige in alta quota:
∇h (P ) = −ρf i2 × Ug
4.38
Sostituendo la relazione 4.38 nella 4.37, e ricordando che Ug non dipende da
x2 , si ottiene l’equazione vettoriale piana:
d2
(Uh − Ug ) = 0
4.39
dx2 2
in cui il vettore incognito Uh − Ug è funzione di x2 , e la viscosità molecolare,
molto più piccola di quella turbolenta, è stata ignorata. La 4.39 può essere
risolta analiticamente, si veda l’appendice a questo capitolo. La soluzione è
chiamata spirale di Ekman e prevede che la velocità del vento passi da Ug
a zero, con l’avvicinarsi al suolo, e nel contempo ruoti in senso antiorario
rispetto alla direzione del vento geostrofico fino ad un angolo massimo di π/4.
Il modo più immediato di rappresentare la soluzione è quello di dare un diagramma polare di Uh , come quello disegnato in fig. 4.44. Nella soluzione
analitica, cfr. appendice I, si vede facilmente che il vettore Uh varia in funzione del rapporto x2 /δ, ove δ è una tipica lunghezza diffusiva, definita in modo
simile a quello consueto38:
2νt
δ=
f
poiché f ha le dimensioni di una velocità angolare. La parte significativa della
curva è quella che corrisponde a valori x2 /δ minori di π , ove si nota il comρf i2 × (Uh − Ug ) − μt
38
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 2.2.
231
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
portamento già descritto, decremento e rotazione di Uh . La lunghezza δ rappresenta pertanto lo spessore dello strato adiacente al suolo, chiamato strato
di Ekman, al cui interno si esaurisce l’effetto della condizione di aderenza.
Le ipotesi che hanno permesso di costruire una soluzione per via analitica
- sistema barotropico, coefficiente di viscosità turbolenta costante, vento in
quota esattamente geostrofico - sono troppo restrittive perché tra la spirale
e la realtà misurata si trovi un accordo soddisfacente nei dettagli. Si veda la
fig. 4.45, ove sono riportati la soluzione teorica e alcuni dati ottenuti sul campo;
l’accordo non è eccellente, nonostante che l’altezza dello strato di Ekman sia
stata fatta coincidere con quella misurata.
Un paio di aspetti della teoria sono tuttavia così robusti da sfidare la critica, almeno in senso qualitativo. Uno è il ruolo dominante della fluttuazione turbolenta nell’assicurare il flusso di quantità di moto tra piani paralleli.
Se il moto fosse laminare, infatti, l’espressione di δ rimarrebbe valida, ma
in essa comparirebbe la viscosità cinematica dell’aria ν ; in tal caso, essendo
ν ∼ 1.5 · 10−5 m2 /s, ed f ∼ 10−4 rad/s, si avrebbe:
δ ∼ 0.6 m
un risultato senza alcun riscontro. Per ottenere valori di δ ragionevoli, compresi tra 102 e 103 metri, occorre moltiplicare il coefficiente di diffusione di
un fattore compreso tra 104 e 106 , e questo può essere ottenuto solo invocando una viscosità cinematica turbolenta, νt , che in effetti ha nel periodo diurno
valori di quest’ordine di grandezza.
Il secondo aspetto è la comparsa vicino al suolo di una componente non geostrofica del vento, che può essere meglio intesa quando la si consideri come
ortogonale alle isobare, e diretta dalle alte verso le basse pressioni; il vento
geostrofico ipotizzato in alta quota è infatti parallelo alle isobare e presenta
invariabilmente la bassa pressione alla sua sinistra. L’esistenza di questa componente, che in alcuni testi è definita antitriptica - contro l’attrito - si spiega con la perdita di importanza vicino al suolo della forza deviante dovuta
all’accelerazione di Coriolis, che decresce come Uh . Indebolendosi la forza
deviante, compare una componente di moto diretto verso la zona di bassa pressione, come accadrebbe di una qualsiasi corrente priva di effetti centrifughi in
un riferimento inerziale. La componente antitriptica del vento ha pertanto una
giustificazione fisica solida, che non dipende dalle ipotesi assunte al fine di
cercare una soluzione delle 4.32 e 4.35.
232
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
100
+
+
+
+
300
+
+
600
+
Uh
Ug
Fig. 4.45 – Spirale di Ekman: curva teorica in tratto continuo, e valori misurati indicati
con crocette. I numeri rappresentano la quota a cui sono state eseguite le misure.
Il tempo nelle configurazioni anticicloniche e cicloniche
La componente antitriptica del vento vicino a terra, ortogonale alle isobare, ha
implicazioni sia per le configurazioni anticicloniche, sia per quelle cicloniche.
Nel caso di circolazione attorno a un centro di alta pressione, la componente
della velocità perpendicolare alle isobare è diretta verso l’esterno, e quindi
crea in pianta orizzontale delle linee di corrente divergenti, cfr. fig. 4.46; una
tale configurazione richiede, per soddisfare la conservazione della massa, un
moto discendente nella zona centrale dell’anticiclone.
Il moto discendente ha velocità di piccola ampiezza, attorno al cm/s (∼ 1 km
al giorno), ma è sufficiente a determinare gli aspetti tipici del tempo nella
regione interessata. L’aria che si abbassa ad entropia costante - quindi conservando la propria temperatura potenziale - si scalda per compressione di 10 K
nelle ventiquattr’ore; le nubi eventualmente presenti si diradano e scompaiono
evaporando. Si ha cielo soleggiato e limpido, e forte irradiazione del terreno;
il bel tempo estivo nell’Europa meridionale e nell’area mediterranea è spesso
associato a un anticlone con centro collocato dalle parti delle Azzorre. Vi è
tuttavia nei periodi di alta pressione un aspetto meno desiderabile. L’avvicinamento al suolo di aria con temperatura potenziale elevata, proveniente dalla stratosfera, finisce col produrre un gradiente dΘ/dx2 fortemente positivo,
cfr. fig. 4.46 (c). Si genera pertanto una stratificazione molto stabile, che limita
l’ascesa di correnti termiche, e quindi la dispersione verso l’alto degli inquinanti emessi vicino al suolo. Questo aspetto è probabilmente di minor importanza nel periodo estivo, sia perché gli impianti di riscaldamento sono spenti
e le emissioni minori, sia perché il forte riscaldamento del terreno rinforza le
233
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
isobara
alta
pressione
Uh
(b)
(a)
A
B
x2
B'
C
A'
(c)
Θ
Fig. 4.46 – (a) Zona di divergenza al suolo in una regione di alta pressione. (b) Moto
discendente al centro. (c) Variazione del profilo di temperatura potenziale, a seguito
del moto discendente. Le particelle A e B in alto discendono a temperatura potenziale
costante, portandosi in A e B ; la variazione di temperatura al suolo - punto C - è
invece limitata per effetto dell’interazione con il terreno. Il risultato complessivo è una
maggiore pendenza del profilo di temperatura potenziale, che tende a divenire più
stabile.
termiche, in parte compensando gli effetti della elevata stabilità dell’atmosfera. Nel periodo invernale, d’altra parte, i periodi di regime anticiclonico sono
sempre accompagnati da un alto livello di inquinamento atmosferico. Il fenomeno può assumere particolare rilievo in una valle, oppure in generale in
una regione chiusa da alti monti39 . Durante i periodi di alta pressione, nelle
valli vige un regime di brezza limitato dalla forte stabilità e, in periodo invernale, anche dall’innevamento dei pendii che annulla l’oscillazione termica del
suolo. Può accadere che la cella di circolazione dell’aria risulti interamente
racchiusa nel solco vallivo; in tale caso, aria già contaminata passa più volte
per le stesse sorgenti, dando luogo a un progressivo accumulo di inquinante.
Si raggiunge egualmente una condizione di equilibrio, poiché il sistema non
39
Ad es., nel settore più occidentale della pianura Padana, ove Alpi, Appennini e colline torinesi
circondano la piana.
234
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
bassa
pressione
Fig. 4.47 – (a) Zona di convergenza al suolo in una regione di bassa pressione. (b)
Moto ascendente al centro, stiramento e intensificazione della vorticità.
mai è del tutto isolato, ma la concentrazione di equilibrio può risultare molto
più alta di quella usuale.
Quando la circolazione è attorno ad un centro di bassa pressione, le linee di
corrente al suolo convergono verso il centro, il che implica in tale regione l’esistenza di una corrente ascendente, cfr. fig. 4.47. La situazione che si presenta
non è tuttavia simmetrica rispetto a quella anticiclonica. È dubbio che la soluzione di Ekman abbia a che vedere con la circolazione effettiva attorno a
un centro di bassa pressione, anche solo come punto di partenza del processo.
Convergenza al suolo e corrente ascendente sono due aspetti indissolubilmente legati, per motivi di conservazione della massa; ma che sia la componente
antitriptica del vento geostrofico a produrre l’ascesa è poco credibile. È più
probabile che avvenga il contrario; nella formazione dei centri di bassa pressione, si trovano commiste masse di aria calda e masse di aria fredda, e l’innalzamento della prima può essere prodotto dall’interazione tra le due. L’aria
che sale è dotata di vorticità verticale positiva - ruota in senso antiorario - che
nell’ascesa viene energicamente stirata, intensificandosi. La velocità convettiva verticale è infatti nulla al suolo - non può essere altro - e cresce inizialmente
con l’altezza, dando luogo ad un veloce allungamento dell’asse della vorticità.
Si ha, nei nostri simboli consueti:
∂U2
>0
∂x2
235
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
e quindi40 :
Dω2
∂U2
= ω2
>0
Dt
∂x2
Da una certa quota in poi la velocità verticale deve inevitabilmente a diminuire; la colonna ascendente vorticosa rallenta il suo moto di rotazione, e si
allarga di nuovo in senso orizzontale. Ma nel tratto più vicino a terra, l’intensificato moto di rotazione provoca una ulteriore caduta di pressione sull’asse
per effetto centrifugo, la quale a sua volta richiama aria dal basso e dall’alto. L’aria che sale è calda e umida; si ha condensazione di vapore acqueo,
liberazione di calore che prolunga e intensifica l’ascesa dell’aria, formazione
di nubi e piogge, nonché incontro tra masse ascendenti e discendenti dotate
di caratteristiche termodinamiche diverse - temperatura e contenuto di vapore.
L’esito del processo può essere molto vario per intensità e dimensione; si va
dal semplice maltempo al ciclone, all’uragano. L’unica cosa certa è la pioggia.
Per quanto attiene infine alla qualità dell’aria, la presenza di un centro di bassa
pressione porta a un rapido miglioramento.
4.4.
CORRENTI TERMICHE
Correnti termiche nell’approssimazione di Boussinesq
La categoria delle correnti termiche abbraccia sia le correnti progettate per
il trasporto di energia termica, sia quelle che da qualche fenomeno termico
sono originate spontaneamente. Nel primo caso si parla di convezione forzata,
intendendo con questo che il campo di moto è imposto con mezzi diversi dal
disequilibrio termico. Può invece accadere che le variazioni di temperatura,
generate all’interno di un corpo fluido, siano esse stesse causa di disequilibrio
dinamico, e quindi di movimento; quando questo accade si parla di convezione
libera, un argomento che è di interesse nello studio dell’atmosfera.
Le variazioni di temperatura non agiscono in modo diretto sulla dinamica del
fluido, ma modificano delle proprietà di questo che figurano nell’equazione
di quantità di moto; hanno quindi un’influenza indiretta. Il caso più noto è
quello che vede, come elemento determinante del fenomeno, la variazione di
densità di particelle soggette ad un campo gravitazionale. Quali che siano
40
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 4.2.
236
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
le cause che producono una disuniformità della temperatura - possono essere
molte, una variazione di temperatura imposta sui contorni, condensazione di
vapor acqueo, assorbimento di energia radiante, e anche, in linea di princpio,
dissipazione viscosa - la variazione di temperatura si traduce in una variazione
δρ di densità, e quindi in una variazione di forza peso per unità di volume pari
a gδρ che compromette l’equilibrio statico; al termine gδρ viene dato il nome
di forza di galleggiamento. Le particelle di fluido che si trovano ad essere più
leggere del fluido che le circonda vengono spinte verso l’alto dalla risultante
delle azioni di pressione, non più equilibrata dalla forza peso, e innescano in
questo modo il moto di ricircolo che caratterizza la convezione termica.
L’analisi della dinamica delle correnti termiche, la loro classificazione, e lo
studio delle condizioni di similitudine tra correnti, vengono usualmente condotti con un insieme di relazioni semplificate a cui si dà il nome di approssimazione di Boussinesq. Abbiamo già fatto uso in più contesti di elementi di
questo modello semplificato; è opportuno per una volta riportarlo per esteso.
Il modello approssimato di Boussinesq prevede che la variazione di densità
venga tenuta in conto nel termine di accoppiamento col campo gravitazionale, ove rappresenta il motore del processo, e trascurata altrove. Scomposta la
densità del fluido in una parte costante e una variabile:
ρ = ρ̂ + δρ
ove ρ̂ rappresenta un valore medio caratteristico dello strato di fluido soggetto
a convezione, le equazioni di continuità e di quantità di moto si scrivono nella
forma:
∂uj
=0
4.40
∂xj
∂
∂p
∂ 2 ui
∂
+ uj
ρ̂
+ (ρ̂ + δρ)gi + μ
4.41
ui = −
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
Conviene, per mettere in evidenza il ruolo decisivo di δρ, eliminare dall’equazione di quantità di moto la pressione ps che corrisponde all’equilibrio statico,
la quale viene definita dalla relazione:
−
∂ps
− ρ̂g = 0
∂x2
4.42
237
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
La 4.42 si ottiene supponendo che la velocità u sia ovunque nulla, e quindi prendendo la componente dell’equazione 4.41 nella direzione verticale,
individuata dall’asse x2 .
In presenza di moto la pressione p risulterà diversa da ps ; possiamo indicare
con pd lo scarto di origine dinamica che passa tra la pressione effettiva p e la
pressione di equilibrio statico ps , scrivendo:
p = ps + pd .
Quando si inserisce questa scomposizione di pressioni nella 4.41, si elimina dall’equazione vettoriale il termine ρ̂gi , in realtà presente solo nella
componente verticale dell’equazione. Si ottiene grazie alla 4.42:
∂
∂pd
∂ 2 ui
∂
+ uj
ρ̂
+ gi δρ + μ
4.43
ui = −
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
Se la variazione δρ fosse nulla, il campo gravitazionale risulterebbe scomparso dalle tre componenti dell’equazione di quantità di moto. Salvo che la pressione ps , che contiene g, non torni nelle condizioni di contorno, il modello
matematico che descrive l’evoluzione dlle grandezze ui , pd , ignora l’esistenza
del campo di gravità. Abbiamo già incontrato questa proprietà formale; essa
sta ad indicare il fatto che il campo ui e la pressione dinamica pd non sono
influenzati dalla forza peso, quando le variazioni di densità sono trascurabili.
Fanno eccezione a questa regola quelle configurazioni in cui la forza di gravità
esercita un ruolo nel definire le condizioni di contorno, come accade nel caso
in cui si abbia una superficie libera perturbata41 . Escluse tuttavia queste situazioni, i campi ui (x, t) e pd (x, t) risultano definiti da un insieme di relazioni in
cui non compare l’accelerazione di gravità; in quanto alla pressione statica ps ,
può essere calcolata indipendentemente tramite la 4.42, e quindi aggiunta a pd
per la completezza della rappresentazione.
Si può osservare che l’eliminazione di g, per mezzo della 4.42, non richiede
che la densità sia propriamente una costante. Una eventuale variazione con
la quota, ρ = ρ(x2 ), non introduce nessun cambiamento formale nel procedimento seguito per l’eliminazione di g; è solo quando la densità risulta variabile
con le coordinate orizzontali, che il procedimento di eliminazione si rivela inconcludente. Scomparso dalla proiezione verticale dell’equazione di quantità
41
C. Cancelli, op. cit, 5.2, p. 252.
238
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
di moto, a seguito della 4.42, il campo gravitazionale ritorna in tal caso nelle
proiezioni orizzontali tramite il gradiente di ps , che lo contiene. Si ha infatti:
∂ps
∂ps
ρ = ρ(x1 , x3 ) → ps = ps (x1 , x3 ) →
= 0;
= 0
∂x1
∂x3
Queste considerazioni permettono di fissare alcuni lineamenti del problema:
– sono le variazioni orizzontali di stato termodinamico del gas quelle che, in presenza di campo gravitazionale, rendono inevitabile il
movimento;
– δρ interpreta, nello schema di Boussinesq, le variazioni orizzontali
di densità;
– la scomposizione ρ = ρm + δρ, adottata nei paragrafi precedenti
per descrivere il moto turbolento, rientra in questo schema, la densità media ρm essendo per ipotesi variabile solo con la quota, a causa della supposta omogeneità statistica del campo di moto nei piani
orizzontali.
Un secondo carattere distintivo dell’approssimazione di Boussinesq risiede
nell’ipotesi che le variazioni di densità del fluido dipendano solo dalle variazioni di temperatura, e non dalle variazioni di pressione. Si adotta la
relazione 4.44:
δT
δρ
=−
4.44
ρ̂
T̂
al posto della relazione completa:
δT
δp
δρ
=−
+
ρ̂
p̂
T̂
sottintendendo che la variazione percentuale di pressione nei piani orizzontali
sia più piccola della variazione percentuale di temperatura42 . Coerentemente,
le variazioni di pressione vengono trascurate sia nello stabilire la relazione tra
temperatura T e temperatura potenziale Θ, che viene scritta come:
δΘ
δT
4.45
=
T̂
Θ̂
42
Qui, e in tutti i passaggi successivi, si è trattato il fluido come se fosse un gas perfetto. Quando
non lo è, si può porre δρ/ρ̂ = −κδT , ove κ è il coefficiente di espansione volumica; tutte le
formule che seguono possono essere adattate al caso di un fluido qualsiasi con la sostituzione:
1/T̂ → κ.
239
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
sia nel formulare l’equazione di bilancio dell’energia termica, che è necessario
aggiungere a quelle di quantità di moto e di continuità, affinché il sistema di
equazioni risulti determinato43 . Per l’energia termica si pone usualmente:
∂
∂2T
∂
+ uj
ρ̂cp
+s
4.46
T =λ
∂t
∂xj
∂xj ∂xj
Nella 4.46 i coefficienti cp e λ rappresentano calore specifico a pressione costante e conducibilità del fluido, mentre s indica un termine generico di sorgente, attribuibile a una, o più, delle cause già menzionate - condensazione di
vapore, dissipazione, etc.
Compare nel primo membro dell’equazione il calore specifico cp , invece che
quello a volume costante cv , perché il termine a primo membro congloba al
suo interno la variazione di energia interna della particella e il lavoro compiuto, nell’unità di tempo, dalla particella stessa mentre si espande a pressione
costante contro il fluido che la circonda. In altre parole, la 4.46 si giustifica
con l’ipotesi che la variazione di pressione non siano importanti, esattamente
come le 4.44, 4.45; il procedimento con cui la si deduce è identico a quello già
seguito per arrivare all’equazione diffusiva dell’entalpia44 , salvo il fatto che
questa volta non vengono ignorate né la velocità di convezione, né il termine
di sorgente. In realtà, la dissipazione viscosa nelle correnti atmosferiche non
produce variazione significativa di temperatura; se si escludono fenomeni di
condensazione o di evaporazione, il termine di sorgente può essere ignorato,
così che il modello assume la forma matematica qui riprodotta:
∂uj
=0
4.47
∂xj
∂pd
ρ̂
∂ 2 ui
∂
∂
+ uj
ρ̂
− gi δT + μ
4.48
ui =
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
T̂
∂2T
∂
∂
+ uj
ρ̂cp
4.49
T =λ
∂t
∂xj
∂xj ∂xj
43
Non esiste, in questo tipo di correnti, una variabile termodinamica che possa essere assunta, a
priori, come nota.
44
C. Cancelli, op. cit., 2.4, p.124.
240
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Condizioni di similitudine delle correnti termiche
Le equazioni 4.47, 4.48, 4.49 rappresentano un sistema completo di equazioni
nelle 5 funzioni incognite ui , pd , δT , e possono essere usate per molti scopi, ivi compreso quello di stabilire le condizioni di similitudine delle correnti
termiche e i relativi parametri caratteristici. Supponiamo che le condizioni di
contorno permettano di individuare una velocità imposta U , una lunghezza L,
un salto di temperatura ΔT ; aggiungendo la densità ρ del fluido, si può definire un sistema di unità di misura interne al sistema, le scale U , L, L/U , ρ̂,
ρ̂U 2 , ΔT , rispettivamente di velocità, lunghezza, tempo, densità, pressione,
temperatura. Si segue quindi lo schema già adottato per lo studio della similitudine nelle correnti prive di effetti termici45 ; si introducono nelle equazioni le variabili adimensionate ottenute dividendo quelle originarie per le scale
corrispondenti, e si indaga su quali condizioni siano necessarie perché il sistema matematico risulti invariante. Le novità consistono nella presenza di una
equazione termica, che nei problemi già analizzati non compariva, e nella presenza del termine −ρ̂gi δT /T̂ in quella di quantità di moto. Dall’equazione di
bilancio dell’energia termica 4.49 emerge l’importanza del numero di Péclet:
U Lcp ρ̂
Pe =
λ
il cui inverso compare come coefficiente del laplaciano della temperatura nell’equazione ridotta alla sua forma essenziale. Tenuto conto che λ/cp ρ̂ è un
coefficiente di diffusione, il numero di Péclet sta ad indicare il rapporto tra la
velocità di convezione e quello di diffusione dell’energia termica46 .
Dall’equazione di quantità di moto si ottengono il numero di Reynolds, una
vecchia conoscenza, il cui inverso compare come coefficiente del laplaciano
della velocità adimensionata, e infine il numero ΔT gL/T̂ U 2 , che compare
come coefficiente della variazione δT della temperatura adimensionata. Il
nuovo numero può scriversi come:
Δρ gL
1
ΔT gL
=−
= 2
2
2
ρ̂ U
Fri
T̂ U
45
C. Cancelli, op. cit., 5.2.
46
Alla lettera, dell’entalpia; cfr. C. Cancelli, op. cit., 2.4.
241
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
avendo indicato con Δρ la scala delle variazioni di densità corrispondente a
ΔT , secondo la 4.44, e con
U
Fri = −gLΔρ/ρ̂
il cosiddetto numero di Froude interno, che si distingue da quello già noto per
la presenza sotto radice del rapporto −Δρ/ρ̂.
La similitudine delle correnti termiche richiede pertanto la costanza dei tre
parametri Pe , Re , Fri ; oppure, con formulazione equivalente, la costanza di
Re , Fri e del numero di Prandtl:
μcp
Pe
Pr =
=
Re
λ
Quando la corrente è progettata per il traporto di energia termica, una variabile
importante è il flusso di energia che passa tra la corrente e le superfici che
la delimitano; indicato con F tale flusso - potenza riferita ad una superficie
unitaria di scambio - nelle unità di misura adottate le sue dimensioni risultano
λΔT L−1 , così che la quantità:
FL
Nu =
λΔT
è un numero puro, che non varia nel passaggio da una corrente all’altra, finché
permangono le condizioni di similitudine. Il numero Nu si chiama numero di Nusselt. Fuori della similitudine, il numero di Nusselt risulta funzione
dell’insieme dei numeri caratteristici della corrente:
Nu = f (Re , Pr , Fri ).
Per quanto riguarda il numero di Froude, il suo quadrato può essere letto come rapporto tra l’ordine di grandezza ρ̂U 2 L−1 delle forze di inerzia, e quello
gδρ delle forze di galleggiamento, riferite entrambe a una particella di volume unitario; oppure in altri modi, come sempre accade con i parametri di
similitudine. Il suo significato è tuttavia univoco; esso misura la relativa importanza, agli effetti della determinazione del campo di velocità, dei fenomeni
che derivano dall’imposizione al fluido di una differenza di velocità di scala
U , rispetto a quelli che derivano dall’imposizione di una variazione di temperatura di scala ΔT . La condizione asintotica Fri → ∞ sta quindi ad indicare
una situazione in cui il campo di velocità non è influenzato dai fenomeni termici, ed è pertanto uguale a quello che si avrebbe se questi fenomeni fossero
assenti. Per valori sufficientemente elevati di Fri si ha una classe di correnti
il cui campo di moto varia poco con Fri stesso, perché il campo è comunque
242
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
vicino a quello della corrente priva di effetti termici. Si dice allora che si ha
convezione forzata, e i risultati in forma adimensionata non dipendono, per
un ampio intervallo di valori, da ulteriori variazioni di Fri . Si può pertanto
scrivere, per la convezione forzata:
Nu = f (Re , Pr )
Si noti che il numero di Prandtl rappresenta un rapporto tra proprietà del fluido, e può variare passando da un fluido all’altro; ma nel caso di gas, è pressoché costante. In quanto a Re , esso dipende dalla scala delle velocità, da
una lunghezza caratteristica L, e dalla viscosità cinematica del fluido. Trascurando l’influenza delle variazioni di temperatura su quest’ultima grandezza,
si può dire che le condizioni di similitudine non dipendono dalla scala delle
temperature, così che al variare di questa si ha:
FL
Nu =
= cost
λΔT
e di conseguenza:
F ∝ ΔT
Il flusso termico scambiato tra la corrente e le superfici che la delimitano è
proporzionale al salto di temperatura imposto; per essere chiari, questa legge
attribuita a Newton, stabilisce che una corrente con temperatura iniziale T1 ,
portata a lambire uno scambiatore le cui superfici sono mantenute alla temperatura T0 , cederà o assorbirà calore con intensità proporzionale alla differenza
(T1 − T0 ). Si tratta di una proprietà comune a qualsiasi fenomeno di trasporto di una grandezza scalare in seno a un fluido, quando la maggiore o minore
densità dello scalare trasportato non influenza il campo di moto. È vero per
il trasporto di energia termica, finché si rimane nell’ambito della convezione
forzata; è sempre vero, o quasi, nel trasporto di un contaminante, perché in
genere la presenza del contaminante non modifica la velocità del fluido. In
tutti questi casi, poiché le velocità sono da considerare assegnate, l’equazione di trasporto è lineare nella densità della grandezza trasportata; quindi le
variazioni di densità, i gradienti che ne derivano, e di conseguenza i flussi,
risultano tutti proporzionali al salto imposto alla variabile in questione, tramite le condizioni al contorno. Tornando all’energia termica, quando vigono
le condizioni di convezione forzata, l’equazione di trasporto 4.49 può considerarsi disaccoppiata dalle 4.47 e 4.48, e trattabile a posteriori, una volta che
sia noto il campo delle velocità; la linearità dell’equazione nelle variazioni di
temperatura appare evidente.
243
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
T2
T1
Fig. 4.48 – Corrente convettiva di fluido delimitato tra piastre orizzontali tenute a diversa temperatura. La temperatura T1 della piastra inferiore è più alta di quella T2 della
piastra superiore; il moto inizia quando il numero di Rayleigh raggiunge il valore 1700.
All’altro estremo di una classificazione delle correnti termiche si trovano quelle correnti che si instaurano nel fluido senza che venga imposta una variazione
di velocità al contorno; il moto è conseguenza di uno squilibrio interno, nasce
da una distribuzione non equilibrata staticamente di forze di galleggiamento,
indotte dalla disuniformità della temperatura. Si parla allora di convezione naturale. Un caso tipico è quello della corrente convettiva che può nascere in
uno strato di fluido contenuto tra due piastre orizzontali, tenute a diversa temperatura; quando la temperatura della piastra inferiore è più alta di quella della
piastra superiore, e la differenza è sufficientemente alta, il fluido si mette in
movimento formando celle di ricircolazione, cfr. fig. 4.48. Nei problemi di
convezione naturale manca una scala esterna di velocità; se ne può dedurre
una in base a considerazioni dinamiche, richiedendo che l’ordine di grandezza
dei termini convettivi ρ̂uj ∂ui /∂xj che compaiono nell’equazione di quantità
di moto sia lo stesso del termine di galleggiamento ρ̂gi δT /Tˆ, cfr. eq. 4.48. Si
ha:
ΔT
U2
∼ ρ̂g
ρ̂
L
T̂
da cui si può ottenere una scala ΔU di velocità
ΔT 1/2
U ≡ ΔU = Lg
T̂
derivata da una scala di temperatura ΔT imposta dall’esterno.
Per trovare la condizione di similitudine di questa classe di correnti non è ne244
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
cessario ripetere il procedimento di normalizzazione delle equazioni del moto; è sufficiente sostituire nei parametri di similitudine già trovati la nuova
espressione di U . così, dal numero di Reynolds si ottiene un nuovo numero
puro:
1/2
ΔT 1/2 L
UL
3 ΔT 1
= Lg
= L g
ν
ν
T̂
T̂ ν 2
al cui quadrato si dà il nome di numero di Grashof:
ΔT 1
Gr = L3 g
T̂ ν 2
Il numero di Froude interno,
1/2
1/2 ρ̂U 2
T̂ U 2
Fri = −
=
ΔρgL
ΔT gL
invece scompare dall’insieme dei parametri di similitudine. Con la nuova
definizione della scala di velocità
ΔT 1/2
U = Lg
T
Fri si riduce infatti a una costante, come è immediato verificare per
sostituzione. Rimane il numero di Prandtl
μcp
Pr =
,
λ
che non dipende dalla scala delle velocità; l’invarianza di Gr e Pr assicura la similitudine tra correnti diverse, purché appartenenti alla classe della
convezione naturale.
Il fatto che i parametri di similitudine si siano ridotti a due, dai tre che figurano
nel caso più generale, è una conseguenza diretta della mancanza, nelle correnti di convezione naturale, di una variazione di velocità imposta indipendentemente dalla variazione di temperatura. È proprietà nota dall’analisi dimensionale, e facilmente intuibile, che con il diminuire del numero delle grandezze
indipendenti che regolano un fenomeno, diminuisca anche il numero di gruppi
adimensionati indipendenti che con le stesse si possono costruire.
In questo campo, che presenta una inflazione di nomi e di definizioni, la coppia
Gr , Pr viene spesso sostituita da un’altra, che dalla prima si può considerare
derivata. Si dà il nome di numero di Rayleigh al prodotto Gr Pr :
ΔT 1
Ra = Gr Pr = gL3
T̂ νk
ove k rappresenta la diffusività termica λ/ρ̂cp . La nuova coppia di nume-
245
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
ri, Ra e Pr , può sostituire quella formata da Gr e Pr . L’uso del numero di
Rayleigh si giustifica con l’importanza che questo parametro ha nei confronti
della stabilità di strati orizzontali di fluido, soggetti a gradiente termico verticale instabilizzante, come quello rappresentato in fig. 4.48. Affinché il fluido
si metta spontaneamente in moto, è necessario che il numero Ra raggiunga il
valore critico di 1700, più o meno; per valori inferiori, non ostante la presenza
del gradiente termico instabilizzante, una casuale fluttuazione di temperatura - che produca una componente orizzontale del gradiente stesso - non è in
grado di innescare un moto macroscopico che si automantenga. La diffusione
molecolare livella le differenze, annullandole; il ruolo della diffusione spiega, almeno qualitativamente, la presenza di entrambi i coefficienti, ν e k, a
denominatore del numero di Rayleigh.
Al di sopra del valore critico, è ancora Ra a scandire le variazioni successive del campo di moto, mentre Pr ha un ruolo minore. Detto di passaggio, e
senza entrare nel dettaglio, l’evoluzione del campo di moto in funzione del parametro principale di controllo presenta delle analogie con la transizione, da
stato stazionario a moto turbolento, delle correnti esterne. Anche qui si ha,
per valori del parametro di controllo sufficientemente bassi, una configurazione stazionaria, che in questo caso coincide con quella di equilibrio statico:
u = 0, non essendovi campo di moto imposto dall’esterno. Al raggiungimento del valore critico del parametro, si manifesta un’instabilità sotto forma di un
moto cellulare, cfr. fig. 4.48, a cui si dà il nome di configurazione di Bénard;
il moto di Bénard è stazionario e regolare, ha una scala geometrica ben definita in termini di altezza del meato, ma presenta sin dall’inizio un aspetto di
indeterminazione. Il senso con cui ruotano le celle adiacenti, in un campo di
moto già instauratosi, non può che essere alternato, affinché le distribuzioni
di velocità risultino compatibili nelle regioni di confine; ma il suo segno non
è prevedibile a priori. In effetti, se invertissimo tutti i sensi di rotazione indicati in fig. 4.48, otterremmo una configurazione del tutto equivalente a quella
schizzata, sotto il profilo della compatibilità con le condizioni di contorno; l’esito dell’instabilità, per quanto riguarda il senso dei moti rotatori, non può che
essere casuale.
Col crescere del parametro di controllo, la configurazione del campo di moto
si complica, assume aspetti tridimensionali, vede la comparsa di scale incommensurabili rispetto a quelle della instabilità iniziale, diviene non stazionaria.
Lo stadio finale è quello di un moto turbolento sviluppato; la struttura cellula-
246
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
re si dissolve, per tradursi in una irregolare e imprevedibile sequenza di getti
di fluido caldo dal basso verso l’alto, con gli inevitabili e altrettanto imprevidibili ricircoli. Come nella scia delle correnti esterne, si ha un progressivo
avvicinamento a una situazione caotica.
4.5.
SISTEMI D ’ ONDA IN UN FLUIDO STRATIFICATO
Onde interne
L’approssimazione di Boussinesq non può rendere, neppure in modo grossolano, la propagazione di onde acustiche; il modello matematico che ne deriva
sopprime a priori, ponendo:
δT
δρ
=−
ρ̂
T̂
quello che è l’elemento dinamico essenziale di quel sistema di onde, l’accoppiamento tra variazione di pressione e variazione di densità della particella
di fluido. Può tuttavia dar conto di un diverso fenomeno ondulatorio, che si
può instaurare all’interno di un fluido stratificato per piani orizzontali in modo
stabile.
Per afferrare la dinamica di questo nuovo sistema di onde, si può partire da una
trattazione elementare, che deriva in modo diretto dall’analisi di stabilità delle configurazioni statiche, cfr. 4.1. Abbiamo visto che, quando la temperatura
potenziale cresce con l’altezza, una particella di fluido spostata dalla sua posizione di equilibrio tende a tornarvi, richiamata dalla differenza tra spinta di
galleggiamento e forza peso. È evidente che questo meccanismo di richiamo
può innescare un fenomeno oscillatorio attorno alla posizione di equilibrio.
Indichiamo con h lo spostamento della particella, che supponiamo di massa unitaria, dalla posizione di equilibrio; la forza di richiamo corrispondente
sarà:
ρm − ρ
−g(ρm − ρ)vm = −g
ρm
e produrrà un’accelerazione di senso opposto allo spostamento:
ρm − ρ
d2 h
= −g
4.50
dt2
ρm
Nelle equazioni, il simbolo vm indica il volume specifico, quindi il volume
della nostra massa unitaria; la presenza o meno del pedice m ha ancora il
significato attribuitogli nella discussione della stabilità delle soluzioni statiche.
247
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Se la stratificazione è stabile, una massa di fluido spostata verso l’alto si troverà ad essere più densa dell’aria circostante (ρm > ρ), e verrà accelerata verso
il basso. Conviene far comparire nell’equazione differenziale appena scritta una misura del grado di stabilità dell’atmosfera, introducendo il profilo di
temperatura potenziale Θ(x2 ). Con la consueta ipotesi sulla rapidità di livellamento della differenza di pressione tra masse d’aria contigue a una stessa
quota, si può porre, nell’approssimazione lineare:
Θm − Θ
ρm − ρ
=−
.
ρm
Θm
in modo da esprimere la forza di richiamo in funzione della differenza di
temperatura potenziale che passa tra la particella e l’esterno. La differenza
(Θm − Θ) è facilmente calcolabile, quando sia nota la distribuzione Θ(x2 )
che caratterizza l’equilibrio dell’atmosfera. Indichiamo con x2 la posizione di
equilibrio della particella e con (x2 +h) la sua quota in una generica posizione
spostata; per l’ipotesi di trasformazione isoentropica che denota la variazione
di stato termodinamico della particella, si ha allora:
Θm (x2 + h) = Θm (x2 ) = Θ(x2 )
4.51
mentre la variazione nell’intorno di x2 della temperatura potenziale
dell’atmosfera può essere resa per mezzo dell’approssimazione lineare:
dΘ
dΘ
Θ(x2 + h) = Θ(x2 ) +
h = Θm +
h
4.52
dx2
dx2
Dalle relazioni 4.51 e 4.52 si ottiene l’espressione:
ρm − ρ
Θm − Θ
g dΘ
g dΘ
g
= −g
=
h=
h
ρm
Θm
Θm dx2
Θ(x2 ) dx2
che, introdotta nella 4.50, dà infine un’equazione differenziale nella sola
variabile h(t):
g dΘ
d2 h
+
4.53
h=0
dt2
Θ dx2
La 4.53 è la classica equazione di un oscillatore lineare con un grado di libertà, la cui frequenza di oscillazione dipende dal coefficiente di h, sicuramente
positivo per la stabilità della stratificazione; il coefficiente riflette la stabilità
dell’atmosfera alla quota x2 . Posto:
g dΘ
2
ωbn
=
Θ dx2
la 4.53 assume la forma consueta:
d2 h
2
+ ωbn
h=0
dt2
248
4.
(a)
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
(b)
(c)
m
Fig. 4.49 – Fenomeni oscillatori analoghi: (a) massa e molla, (b) corpo galleggiante su
superficie liquida, (c) particella di fluido in un’atmosfera stratificata stabilmente.
il cui integrale generale è una funzione armonica di pulsazione (frequenza in
rad/s) ωbn , a cui viene dato il nome di frequenza di Brunt-Väisälä:
h = hmax sen(ωbn t + ϕn )
La forma matematica del fenomeno oscillatorio mette in evidenza l’analogia
che lega il moto della particella di fluido, spostata dalla posizione di equilibrio
in un ambiente statificato stabilmente, e un caso assai noto: il moto di una
massa richiamata verso la posizione di equilibrio da una molla. L’equivalente
della forza di richiamo della molla è dato, nel nostro problema, dalla differenza
tra spinta di galleggiamento e forza peso. Questa, e un’altra ovvia analogia
sono schizzate in fig. 4.49.
Tuttavia, il campo di moto che abbiamo delineato non è soddisfacente da un
punto di vista fluidodinamico; la particella non può muoversi in alto e in basso
senza indurre alcun movimento nel fluido circostante, e la distinzione tra particella in moto e fluido a riposo è del tutto arbitraria. Per ottenere una descrizione più credibile, occorre considerare il sistema in movimento con una res
extensa, e dedurre le proprietà di eventuali processi ondulatori dalle equazioni
indefinite, opportunamente semplificate. Qui viene utile l’approssimazione di
Boussinesq, in favore della quale parla il modello di moto oscillatorio appena
analizzato; sebbene sia molto grezzo, il modello ad un grado di libertà mette
in luce che l’accoppiamento tra variazione di densità e campo gravitazionale
è il fattore determinante del moto, e mostra come un paio di ipotesi semplificative - trasformazione isoentropica dello stato della particella e variazione di
densità espressa in funzione della sola variazione di temperatura potenziale siano compatibili con l’essenza del fenomeno.
249
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
α
g
λ
k
u
vϕ
p
p
p
p
Fig. 4.50 – Onda interna. Sono indicati in figura i piani p a fase costante, la lunghezza
d’onda λ, la velocità di fase vϕ , il vettore numero d’onda k, la velocità della particella
u trasversale alla velocità di fase, l’accelerazione g di gravità.
Le equazioni indefinite, modificate di conseguenza, e rese lineari tramite l’ipotesi che la perturbazione dello stato di equilibrio sia di piccola ampiezza,
ammettono come integrali particolari delle onde trasversali piane, variamente inclinate rispetto alla verticale47 . Gli elementi caratteristici di una di queste
soluzioni particolari sono rappresentati in fig. 4.50; il piano della figura è scelto in modo da contenere l’accelerazione di gravità e il vettore della velocità di
fase, e i piani a fase costante lo intersecano lungo un fascio di rette parallele
inclinate dell’angolo α rispetto alla verticale. La velocità con cui si spostano i
piani a fase costante, quella che per definizione è la velocità di fase, è ortogonale alla giacitura dei piani, mentre la velocità fisica delle particelle di fluido è
parallela alla giacitura. Il fatto che l’oscillazione delle particelle sia ortogonale alla velocità di fase, giustifica l’attributo di trasversale che viene assegnato
all’onda.
47
Cfr., per i dettagli, appendice II.
250
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
I piani la cui traccia è rappresentata in figura 4.50 sono distanziati di λ/2, ove
λ indica ora la lunghezza d’onda, e la fase relativa è sfalsata pertanto di π .
La geometria dell’onda può essere riassunta introducendo il vettore numero
d’onda, indicato con il simbolo k. Il modulo del vettore vale:
k = 2π/λ
la sua direzione individua la giacitura dei piani a fase costante, essendo a questa ortogonale, e il suo verso è parallelo alla velocità di fase. Poiché il vettore
k può avere direzione qualsiasi, si possono avere moti oscillatori con orientamento altrettanto generico, al contrario di quanto avveniva nel modello con
un solo grado di libertà, ove lo spostamento della particella era concepito solo
lungo la direzione verticale. Nelle onde interne la direzione dello spostamento delle particelle può formare con la verticale un angolo α compreso tra 0 e
π/2, cfr. fig. 4.50; la dinamica dell’onda non è tuttavia isotropa, e la sua frequenza varia in funzione di α, come era scontato che accadesse per la presenza dell’accelerazione di gravità, quale elemento che caratterizza la dinamica
del sistema. Il vettore g introduce nel processo una direzione privilegiata; in
effetti, al variare di α, la frequenza dell’onda varia secondo la legge:
ω = ωbn cosα
ove ωbn è ancora la frequenza di Brunt-Väisälä. Si ottiene la stessa frequenza del modello ad un grado di libertà, solo nel caso che l’oscillazione sia
verticale; in tutte le altre configurazioni si ha una frequenza minore.
Parlando in termini generali, si tratta di un risultato prevedibile. Tutti i fenomeni oscillatori hanno una dinamica che comporta nel ciclo lo scambio di
energia tra la forma cinetica e la forma potenziale, e la frequenza di oscillazione risulta tanto più alta quanto maggiore è, a parità di spostamento, la
variazione di quest’ultima. Nel caso delle onde interne, indicata con h l’ampiezza dello spostamento della particella in una direzione generica, è solo la
componente verticale hcosα a indurre variazioni di energia potenziale. Si ha
una variazione massima per movimenti verticali (α = 0), e una variazione
nulla per movimenti orizzontali; la frequenza muta di conseguenza.
Soluzioni particolari come quella illustrata possono essere sovrapposte alla ricerca di campi di moto che soddisfino particolari condizioni al contorno. Si
ottiene una miscela di moti oscillatori, ciascuno con propria geometria e frequenza, a cui può essere aggiunto un campo di velocità uniforme, come è sem-
251
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
Fig. 4.51 – Formazione di nubi stazionarie sottovento a una linea di colline.
pre possibile per il principio di relatività galileiana; lo strumento matematico
viene utile per descrivere una varietà di situazioni meteorologiche48 .
Qui ci limitiamo a ricordare un caso curioso; la tendenza a oscillare in verticale
di masse di aria trasportate dal vento, in una atmosfera stabile, permette di
spiegare l’esistenza di una intrigante configurazione di nubi. Al di sopra, e a
valle di una catena montuosa o di una linea di colline, si può a volte notare una
successione di nubi con una regolare spaziatura, fantasmi immobili malgrado
il vento. La superficie è luminosa e liscia - non sfrangiata da componenti
erratiche del moto - e la forma è quella tipica delle nubi lenticolari; quando
sono allungate, tendono a disporsi parallele al crinale dei rilievi, cfr. fig. 4.51.
In realtà non vi sono masse di aria che resistano al vento, come è ovvio. La
spiegazione del paradosso è rappresentata in fig. 4.52; a valle della linea dei
monti si forma un’onda stazionaria, seguendo la quale le particelle di fluido
si alzano e si abbassano in modo periodico, mentre la loro temperatura oscilla
in corrispondenza. Quando le particelle superano la quota di condensazione
48
Cfr. R.S. Scorer, Environmental Aerodynamics, Ellis Horwood Limited, London 1978, sec. 5.
252
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
hc
Fig. 4.52 – Moto oscillatorio dell’aria e fenomeni di condensazione e rievaporazione
nella scia di una catena di monti.
del vapore acqueo contenuto49 divengono visibili per la formazione di gocce
al loro interno; quando si abbassano nuovamente al di sotto, scompaiono alla
vista. La nube è costituita da un insieme continuamente variabile di particelle;
il suo bordo inferiore individua la quota di condensazione.
4.6.
APPENDICI
I. La spirale di Ekman: soluzione analitica
I vettori che figurano nell’equazione differenziale 4.39, che trascriviamo:
d2
(Uh − Ug) = 0
4.54
dx2 2
sono tutti paralleli alla giacitura orizzontale; hanno pertanto solo due componenti e possono essere descritti da un numero complesso, secondo una tecnica
usuale nello studio dei problemi di cinematica piana. La 4.54 contiene un prodotto vettoriale, che comporta la rotazione di (Uh − Ug ) di un angolo pari
a π/2 in senso antiorario. In campo complesso, lo stesso risultato si ottiene
moltiplicando il numero complesso che rappresenta il vettore (Uh − Ug ) per
l’unità immaginaria ı; le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare conservano il loro significato vettoriale; per trattare un’equazione lineare
non è richiesto altro. Indicato con v il numero complesso corrispondente alla
differenza Uh − Ug , la 4.54 diviene pertanto:
ρf i2 × (Uh − Ug ) − μt
ıf v − νt
49
d2 v
=0
dx2
4.55
Cfr. fig. 4.12.
253
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
a cui vanno aggiunte le condizioni al contorno:
v=0
per
v = −ug
per
x2 → ∞
x2 = 0
4.56
4.57
Le 4.56 e 4.57 si ottengono dalla 4.34 e 4.35, tenuto conto della relazione:
v = uh − ug
4.58
ove uh ed ug sono i numeri complessi corrispondenti ai vettori Uh e Ug .
L’equazione 4.55 è un’equazione omogenea, a coefficienti costanti, la cui soluzione è data da una combinazione lineare di integrali particolari di forma
esponenziale. Posto v = c exp(λx2 ), si ottiene per sostituzione nella 4.55
l’equazione caratteristica:
ıf − νt λ2 = 0
le cui radici definiscono i valori accettabili di λ. Si ha:
ı+1 f
ı+1
λ=± √
=±
νt
δ
2
avendo introdotto per comodità la scala diffusiva:
2νt
δ=
f
Dei due valori di λ compatibili con l’equazione differenziale, quello con segno
positivo risulta incompatibile con la condizione al contorno 4.56, perché dà un
integrale particolare:
v = c exp[(1 + ı)x2 /δ]
che cresce senza limite al crescere di x2 . Rimane la radice con segno negativo
e l’integrale corrispondente:
v = c exp[−(1 + ı)x2 /δ]
da cui, scegliendo per la costante che vi figura il valore −ug , si ottiene la
soluzione:
v = −ug exp[−(1 + i)x2 /δ]
4.59
la quale soddisfa l’equazione differenziale e le condizioni di contorno.
La velocità del vento alle varie quote è data dunque dall’espressione:
uh = ug + v = ug − ug exp[−(1 + i)x2 /δ]
dedotta dalla 4.58; la velocità uh si ottiene sottraendo alla velocità geostrofica
ug un vettore che varia in ampiezza e orientamento con x2 /δ; la relazione
254
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
v
uh
v
ϕ
ug
Fig. 4.53 – Spirale di Ekman: in figura è indicato il vettore v, che deve essere sottratto
al vento geostrofico ug , per ottenere il vento uh ad una quota generica.
tra uh , ug e v è indicata in fig. 4.53. Per x2 /δ = π , i due vettori in realtà
si sommano nella stessa direzione del vento geostrofico; ma per x2 /δ < π ,
v tende a ruotare in senso antiorario, ed uh diminuisce in modulo sino ad
annullarsi per x2 /δ = 0.
Per quanto riguarda l’anomalia φ di uh , se indichiamo con uh1 e uh2 la parte
reale e il coefficiente dell’immaginario del numero complesso, si ha:
uh2
exp(−x2 /δ) sin(x2 /δ)
tan φ =
=
uh1
1 − exp(−x2 /δ) cos(x2 /δ)
che per x2 /δ = 0 appare indeterminata. Il limite di φ, per x2 /δ → 0, si
ottiene senza difficoltà sviluppando prima le varie funzioni che compaiono
nell’espressione indeterminata come serie di potenze delle quantità piccola
x2 /δ, e quindi eseguendo il passaggio al limite. Si ha:
lim (tan φ) = 1
(x2 /δ)→0
La rotazione antioraria massima di uh vicino al suolo è pertanto π/4.
II. Onde interne: frequenze dell’onda, relazione di dispersione,
propagazione dell’energia
L’espressione matematica delle onde interne può essere dedotta dalle equazioni indefinite, scritte nell’approssimazione di Boussinesq. Supponiamo di avere come situazione di partenza una soluzione stazionaria e stabile [U, ps , Θ]
delle equazioni del moto, e di perturbarla con una variazione di piccola ampiezza [u, δp, δΘ]. Nella soluzione stazionaria la velocità uniforme U può
essere ritenuta nulla, senza limitare la validità dell’analisi; la cosa richiede
semplicemente la scelta di un opportuno sistema di riferimento. Le variabili
255
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
termodinamiche Θ e ps variano invece con la quota per l’equilibrio statico, e
la condizione di stabilità implica che il gradiente della temperatura potenziale
sia rivolto verso l’alto.
Dalle equazioni 4.47 e 4.48 si ottiene, sostituendo al posto delle variabili quelle
della soluzione stationaria perturbata, Θ + δΘ etc., e quindi linearizzando in
base all’ipotesi che la perturbazione sia di piccola ampiezza:
∂uj
=0
4.60
∂xj
ρ̂
∂
∂ui
ρ̂
∂ 2 ui
+
=0
(δp) + gi δT − μ
∂t
∂xi
∂xj ∂xj
T̂
4.61
L’equazione di quantità di moto può essere ulteriormente semplificata; si può
trascurare il termine viscoso, in accordo con una impostazione tradizionale
nello studio delle onde di piccola ampiezza, e sostituire la variazione percentuale di temperatura con la variazione percentuale di temperatura potenziale,
seguendo Boussinesq:
δΘ
δT
=
T̂
Θ̂
Infine, l’equazione di bilancio dell’energia termica viene ricondotta alla condizione che la temperatura potenziale di una particella di fluido in movimento
si mantenga invariata:
∂
∂
D
∂
∂Θ
(Θ + δΘ) = (δΘ) + uj
(Θ + δΘ) (δΘ) + uj
=0
Dt
∂t
∂xj
∂t
∂xj
come conseguenza diretta dell’aver trascurato i fenomeni dissipativi.
Introdotto il consueto sistema di coordinate cartesiane ortogonale, con l’asse
x2 rivolto verso l’alto, si ottiene il sistema di equazioni:
∂uj
=0
4.62
∂xj
δΘ
∂ui 1 ∂
(δp) +
gi = 0
+
∂t
ρ̂ ∂xi
Θ̂
4.63
∂
∂Θ
(δΘ) + u2
=0
∂t
∂x2
4.64
Si noti che Θ̂ e ∂Θ/∂x2 sono grandezze caratteristiche della soluzione
stazionaria, e che ∂ Θ̂/∂x2 deve risultare positivo per la stabilità. Poniamo:
∂Θ
s=
>0
∂x2
256
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
e consideriamo questo valore costante nel dominio, così da simulare un grado di stabilità uniforme. Le 4.62, 4.63, 4.64 costituiscono un sistema di cinque
equazioni nelle cinque funzioni incognite ui , δp, δΘ. Il sistema, essendo lineare e a coefficienti costanti, ammette soluzioni esponenziali, purché siano
soddisfatti alcuni vincoli. Possiamo cercare una soluzione particolare di forma
sinusoidale:
ui = [Vi exp(ıφ)]
4.65
δp = [P exp(ıφ)]
4.66
δΘ = [Tp exp(ıφ)]
4.67
la cui fase si suppone variare nello spazio e nel tempo in modo lineare, secondo
la legge:
φ = ωt − kj xj = ωt − k · x
4.68
ove ω è uno scalare e k un vettore, entrambi costanti.
Prima di procedere nello sviluppo analitico, vale la pena di osservare che nello
stabilire la 4.68 si è configurata la soluzione come onda piana; la condizione
che individua, infatti, i punti che a un dato istante sono caratterizzati dalla
costanza della fase:
k · x = cost
rappresenta una famiglia di piani ortogonali a k, cfr. fig. 4.54. La forma particolare è giustificata dall’uniformità o quasi della soluzione statica, che si
traduce nella costanza dei coefficienti 1/ρ̂, 1/Θ̂, s, che compaiono nelle equazioni differenziali. Tuttavia l’onda piana può essere considerata, in generale,
come un’approssimazione locale di un’onda di forma qualsiasi, accettabile
nella maggior parte dei casi in una regione limitata.
In fig. 4.54 sono rappresentati gli elementi geometrici rappresentativi, dell’onda e del mezzo in cui l’onda si propaga. La geometria dell’onda è riassunta
nel vettore numero d’onda k, la cui direzione individua i piani a fase costante,
essendo ad essi ortogonale, e il cui modulo, che indichiamo con k, definisce
la lunghezza d’onda λ secondo la relazione:
λ = 2π/k
Per la geometria del mezzo, è significativo il solo vettore g, la cui presenza rende il processo di propagazione sicuramente non isotropo, poiché individua una
direzione particolare. In figura è indicato anche l’angolo α, compreso tra la di257
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
a
u
g
k
α
x
k.x
k
a
Fig. 4.54 – Proprietà geometriche dell’onda. Il piano (a − a), perpendicolare a k,
rappresenta un piano a fase costante.
rezione di g e la traccia dei piani a fase costante, che verrà utile nell’esprimere
la frequenza dell’onda.
Un risultato preliminare può essere ottenuto sostituendo la 4.65 nella equazione
di continuità 4.62. Si ha:
ıkj Vj exp(φ) = 0 → kj uj = 0
la quale esprime una condizione di ortogonalità tra i vettori k e u:
k·u =0
4.69
La condizione 4.69 impone che le velocità delle particelle siano perpendicolari al vettore k e rivela il carattere trasversale dell’onda, illustrato in fig. 4.54.
Il moto delle particelle è contenuto nella giacitura individuata dai vettori g e
k. Per dimostrarlo, si può immaginare di far ruotare il nostro sistema di riferimento attorno all’asse x2 , fino a far coincidere il piano (x1 , x2 ) con quello
della figura, in modo che contenga g e k; in questo nuovo sistema di coordinate, il vettore k ha solo due componenti, k1 e k2 , e le variabili che definiscono
l’onda dipendono solo da x1 e x2 . Sostituendo la 4.65 nella proiezione lungo
258
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
x3 dell’equazione di quantità di moto, si ottiene:
ıωV3 = 0
da cui si deduce immediatamente che V3 è zero. La velocità delle particelle
non ha componente ortogonale al piano della figura.
Per il resto, il procedimento di soluzione segue uno schema classico della ricerca dei modi di oscillazione di un sistema continuo. Sostituendo le 4.65,
4.66, 4.67 nelle equazioni differenziali 4.62, 4.63, 4.64, ed eliminando l’esponenziale che risulta a fattore di tutti i termini, si ottiene un sistema omogeneo
di equazioni algebriche nelle cinque incognite Vi , P , Tp , che è sicuramente
soddisfatto dalla soluzione nulla:
Vi = P = Tp = 0.
La soluzione nulla è anche l’unica, almeno che una delle equazioni non sia
una combinazione lineare delle altre. Quindi, il modo di trovare delle soluzioni che siano significative consiste nel richiedere che una delle equazioni risulti
combinazione lineare delle altre, operando sui coefficienti del sistema, tra cui
compaiono sia la frequenza ω , sia le componenti ki del numero d’onda, oltre
alle proprietà Θ̂ ed s del mezzo. Come è noto, la condizione di dipendenza
lineare tra le equazioni di un sistema viene rivelata dall’annullarsi del determinante dei coefficienti. Imponendo che il determinate si annulli, si scrive
una equazione che può essere risolta per ω , in modo da trovare la frequenza
ammissibile di una perturbazione di lunghezza d’onda assegnata; per ogni k,
si ha un corrispondente valore di ω . E per ciascuna di queste frequenze, le
equazioni algebriche risultano ora linearmente dipendenti; una volta che una
sia stata scartata, le altre permettono di determinare non i valori assoluti delle incognite Vi , P , Tp , ma i loro rapporti; ad es. V2 /V1 , P/V1 , T /V1 . Questi
lineamenti sono del tutto generali; un’onda piana con un dato numero d’onda
mostra una frequenza propria e dei rapporti fissi tra le variazioni di stato che
la caratterizzano. Si usa parlare di frequenze e modi propri di oscillazione.
Sebbene rientri in questo quadro, il caso delle onde interne presenta alcuni tratti specifici interessanti, che possiamo mettere in evidenza. Teniamo per buono, per abbreviare il calcolo, il sistema di coordinate in cui k3 risulta uguale
a zero; sostituendo nelle equazioni 4.62, 4.63, 4.64 la forma dell’onda corrispondente, ed eliminando l’esponenziale comune a tutti i termini, si ottiene il
259
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
sistema algebrico:
k1 V1 + k2 V2 = 0
ωV1 −
ıωV2 − ı
k1
P =0
ρ̂
k2
g
V2 + Tp = 0
ρ̂
Θ̂
ıωTp + sV2 = 0
che ammette chiaramente nelle incognite V1 , V2 , P , Tp , una soluzione nulla.
Per trovarne altre, è necessario che si annulli il determinante dei coefficienti.
Con un paio di passaggi, si ottiene per il determinante l’espressione:
k1 2
gs
ω 2 k2 2
2
ω +
−
−
ρ̂
ρ̂
Θ̂
che uguagliata a zero, dà la la relazione che stiamo cercando:
12
k12
ω = ωbn
4.70
k12 + k22
ove ωbn rappresenta la frequenza di Brunt-Väisälä:
gs
ωbn =
Θ̂
Come si vede, la frequenza dell’onda dipende dalle componenti di k. La 4.70
nasconde tuttavia una dipendenza molto semplice dalla geometria del sistema; introdotto l’angolo α compreso tra la verticale e la direzione del moto
oscillatorio, la relazione diviene:
ω = ωbn cos α
4.71
Il fenomeno oscillatorio non è isotropo; la frequenza dell’oscillazione dipende, a parità di condizioni del mezzo, dall’angolo formato tra l’accelerazione
di gravità e la direzione degli spostamenti indotti dall’onda. La frequenza
raggiunge il suo valore massimo, quello di Brunt-Väisälä, quando lo spostamento delle particelle avviene in direzione verticale (α = 0), mentre tende
ad annullarsi quando lo spostamento si dispone sopra un piano orizzontale
(α = π/2)50 . Nel caso limite che l’onda abbia componenti solo orizzontali (k1 = 0), si ha: ω = 0, e l’onda si rivela una perturbazione staziona-
50
Si può dare una interpretazione fisica a questa proprietà, che è già stata abbozzata nel par. 4.6.
260
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
ria; si traduce in una distorsione permanente della configurazione di partenza
[U, ps , Θ].
Concludiamo con una riflessione sulla velocità di fase e sulla propagazione di
energia in questo sistema di onde. Per definizione, si chiama velocità di fase di
un’onda piana la velocità con cui si vedono spostarsi i piani a fase costante o,
se lo si preferisce, le creste e i nodi dell’onda. La velocità di fase è un vettore
orientato come k, di modulo:
ω
vf =
4.72
k
Per ottenere rapidamente la 4.72 conviene scegliere un sistema di riferimento
con un asse, poniamo l’asse x, parallelo a k. In questo sistema di coordinate
la variazione della fase è data in funzione della sola x:
φ = ωt − kx
e il valore della velocità di fase può essere calcolato cercando la velocità con
cui occorrerebbe spostarsi lungo x per misurare un valore di φ costante nel
tempo. Ponendo:
∂φ
∂φ
+ vf
= ω − vf k = 0
∂t
∂x
e risolvendo per vf , si ha la 4.72.
Nelle onde interne, pertanto, vf risulta:
ωbn
λ
cos α = ωbn
cos α
vf =
k
2π
Le creste si muovono nella direzione di k con una velocità che cresce linearmente con la lunghezza d’onda λ. Si tratta di un risultato che può lasciare
perplessi, per quanto riguarda la sua connessione con la propagazione dell’energia, se non altro perché il flusso di energia meccanica associato all’onda
risulta dato da uδp, un vettore perpendicolare a k.
In realtà, la velocità di fase è una velocità apparente che non ha uno stretto
legame con la velocità di propagazione dell’energia dell’onda; l’energia si
propaga con una velocità diversa, a cui si dà il nome di velocità di gruppo,
vg . Le due velocità coincidono soltanto quando la relazione ω(k), che viene
chiamata relazione di dispersione, ha la forma lineare:
ω = Ak
Per citare un esempio molto noto, questo è il caso delle onde acustiche; nelle
onde acustiche si ha:
ω = cs k
261
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
∇ω = vg
ω = cost
k2
vϕ
P
k
β k
1
k2
k1
Fig. 4.55 – Onde interne: relazione tra velocità di gruppo e velocità di fase nello spazio
dei numeri d’onda.
e quindi:
vg = vf = cs
ove cs indica la velocità del suono.
Quando la relazione di dispersione non è lineare, la velocità di gruppo è un
vettore di componenti:
∂ω
(vg )i =
4.73
∂ki
che non coincide con vf ; in linea di massima ne differisce sia in modulo, sia
in direzione51 .
La curiosa relazione che intercorre tra velocità di fase e velocità di gruppo nelle onde interne può essere colta rapidamente nello spazio dei numeri d’onda.
In questo spazio vettoriale, la 4.73 definisce la velocità di gruppo come il gradiente di ω ; considerato pertanto un punto P dello spazio, le cui coordinate ki
rappresentano un vettore numero d’onda, si può tracciare la superficie con ω
costante passante per P , e quindi prendere la normale alla superficie; la direzione così ottenuta è la stessa di vg . Venendo alle onde interne, la condizione
che ω sia costante porta nel piano (k1 , k2 ) a individuare delle rette passanti per
l’origine, parallele a k. Si ha infatti:
k1
ω
= cost → cos β = cost
= cost →
ωbn
k
51
Per la propagazione in mezzi non omogenei, cfr. J. Lighthill, Waves in fluids, 4, Cambridge
University Press, Cambridge, 1978.
262
4.
LINEAMENTI DI MECCANICA DELL’ATMOSFERA
essendo β l’angolo compreso tra il vettore k e la sua componente k1 ,
cfr. fig. 4.55. Dunque vg è perpendicolare a k, cfr. fig. 4.55, e pertanto anche a
vf . Non solo le onde interne costituiscono un esempio di sistema dispersivo,
ma presentano anche la notevole proprietà che in esse l’energia viene propagata in direzione esattamente ortogonale a quella in cui si spostano le creste
dell’onda.
263
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
265
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
5.1.
ENERGIA CINETICA TURBOLENTA
Fattori di generazione e di soppressione dell’energia cinetica turbolenta
L’energia cinetica della componente fluttuante della velocità nello strato limite terrestre deriva in parte dal moto orizzontale imposto dal vento di grande
scala1 , in parte da un processo di generazione innescato dall’ascesa di masse
di aria calda. Per avere un confronto tra i due processi, e un’analisi del loro
ruolo, conviene scrivere un’equazione per l’energia cinetica turbolenta, deducendola da un’equazione di quantità di moto che contenga l’accoppiamento
tra il campo gravitazionale e la variazione di densità del fluido, che è il fattore
determinante del moto verticale delle masse d’aria.
Si può partire dall’equazione di quantità di moto del modello di Boussinesq,
cfr. eq. 4.15, trascurando sin dall’inizio il termine inerziale di Coriolis; il moto fluttuante che ci interessa presenta infatti una molteplicità di scale, nessuna
delle quali può tuttavia superare l’altezza dello strato limite2 , trattandosi in
definitiva di moti di ricircolo. Quindi la scala massima del campo fluttuante
è di un paio di ordini di grandezza più piccola del valore critico (∼ 105 m),
cfr. 4.3, e il carattere non inerziale del sistema di riferimento può essere ignorato3 . L’unica differenza significativa, rispetto al procedimento che ha portato
all’equazione 3.35, consiste nella comparsa nell’equazione iniziale di quantità
di moto della forza per unità di volume:
ρgi = (ρm + δρ)gi
1
Attraverso una dinamica di instabilità delle configurazioni del campo, che è del tutto analoga a
quella che produce l’esplosione della turbolenza nelle correnti che lambiscono una parete senza
alcun scambio termico.
2
Sono le configurazioni del moto medio orizzontale che possono raggiungere una scala
continentale.
3
In alcuni testi capita di trovare scritto che l’acqua contenuta nei lavandini dell’emisfero settentrionale ruota sempre in uno stesso verso, mentre il lavandino si svuota, perché il senso di
rotazione è determinato dalla forza deviante dovuta all’accelerazione di Coriolis. Se così fosse,
il criterio di massima che vuole insignificante la distinzione tra terra ferma e terra rotante nei
moti di piccola scala, risulterebbe errato; ma non è vero.
266
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
ove ρm indica il valore medio e δρ la fluttuazione di densità - in questo paragrafo le fluttuazioni delle variabili termodinamiche verranno indicate con il
simbolo δ. Operando nel modo consueto, cfr. par. 3.1 e 3.3, si ottiene una
equazione per la velocità media U, una per la componente fluttuante u, e infine un’equazione per la densità di energia cinetica media ρm σu2 /2 del moto
turbolento. Rispetto al caso già noto, compaiono come novità nella prima
equazione il termine ρm gi , nella seconda il termine gi δρ, e nell’equazione
dell’energia cinetica turbolenta il termine di sorgente:
< ui δρ > gi
poiché nel contesto di questa analisi l’unica equazione che ha importanza è
l’ultima, scriviamo solo questa per esteso:
∂ ρm σu2
=
∂t
2
∂uj
ρm
∂ui
∂
σ2
< uj ui ui > + < uj δp > −μ < ui (
ρm Uj u +
+
)>
−
∂xj
2
2
∂xj
∂xi
∂Ui
− Df
+ < ui δρ > gi − ρm < ui uj >
∂xj
5.1
Prima di discutere l’influenza del nuovo termine, adattiamo la 5.1 a una condizione ragionevole di strato limite. Supponiamo che il vento scorra su una
superficie piana, con caratteristiche superficiali omogenee; in tal caso anche
il campo di moto dovrà risultare omogeneo sui piani orizzontali, per ragioni di simmetria. Poiché stiamo trattando di un moto turbolento, la simmetria
comporta un condizionamento non delle configurazioni istantanee, ma delle
grandezze medie, le quali potranno variare solo in funzione della distanza dal
suolo. Adottato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, con l’asse
x1 coincidente con la direzione media del vento e l’asse x2 perpendicolare al
terreno e rivolto verso l’alto, si avrà una velocità media U con la sola componente U1 e un’accelerazione di gravità con la sola componente g2 = −g;
inoltre, le derivate spaziali saranno nulle, fuorché quelle calcolate rispetto alla coordinata verticale x2 . L’equazione 5.1 può essere riscritta nella forma
semplificata:
∂ ρm
∂ ρm σu2
= −
< u2 ui ui > + < u2 δp >
∂t
2
∂x2 2
∂U1
− < u2 δρ > g − ρm < u1 u2 >
− Df
5.2
∂x2
267
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
ove i flussi dovuti alla viscosità molecolare sono stati cancellati del tutto, perché considerati ininfluenti. I due termini di sorgente già noti conservano il
significato fisico già illustrato nel discutere l’equazione 3.35: il termine
∂U1
−ρm < u1 u2 >
∂x2
sempre positivo, rappresenta la rapidità con cui l’energia cinetica viene trasferita, per unità di volume, dal moto medio al moto fluttuante; il termine −Df ,
sempre negativo, la rapidità con cui la dissipazione viscosa elimina l’energia
cinetica della fluttuazione.
La specificità dello strato limite terrestre è rinchiusa nella correlazione
< u2 δρ >, la quale cambia di segno quando si inverte il senso dello scambio termico dell’aria con il terreno. Per illustrare questa connessione si può
seguire Boussinesq, il quale assunse per ipotesi che le variazioni di densità δρ
- o almeno quella parte di esse correlata con la fluttuazione di velocità u2 fossero dettate dalle sole variazioni di temperatura dell’aria. Posto:
δT
δρ
=−
ρm
Tm
si ottiene l’espressione:
ρm
− < u2 δρ > g =
< u2 δT > g
5.3
Tm
la quale mette in luce come il nuovo termine di sorgente risulti proporzionale
al flusso convettivo medio di energia termica4 :
Fc = ρm < u2 cv δT >
Il termine 5.3, che si può scrivere come:
g
Fc
cv Tm
4
Ovviamente, il termine di sorgente risulta anche proporzionale al flusso convettivo medio di
entalpia: Fe = ρm < u2 cp δT >, il quale può sostituire Fc in tutta la discussione che segue,
purché si sostituisca il calore specifico cv con quello a pressione costante cp . In genere si adotta
questa seconda scelta, definendo Fe come flusso di calore sensibile, probabilmente perché Fe
compare direttamente in un bilancio di energia della superficie terrestre, da cui si può sperare
di dedurre il flusso, e quindi la correlazione < u2 δT > che figura nel termine di sorgente
dell’equazione dell’energia cinetica, cfr. 5.3. In questo testo si è preferito introdurre Fc , perché
il continuo ricorrere ai flussi di entalpia, senza ricordare che questi integrano il flusso termico
con un flusso di energia meccanica, finisce col confondere le idee, a parere di chi scrive, sul
primo principio.
268
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
è positivo ogni qual volta lo strato limite è attraversato da un flusso convettivo
di energia termica rivolto verso l’alto, mentre è negativo quando il flusso è
rivolto verso il basso. L’espressione
− < u2 δρ > g
rappresenta il lavoro per unità di tempo e di volume della fluttuazione della
forza di galleggiamento - della spinta di Archimede - mediato su un lungo
periodo. L’ipotesi di Boussinesq consente tuttavia di associare questo processo
meccanico di produzione di energia cinetica all’esistenza di un flusso termico,
e pertanto noi lo indicheremo come un processo di produzione di energia di
origine termica, indicandone la potenza con il simbolo Pt :
ρm
Pt ≡
< u2 δT > g
Tm
per tenerla distinta da:
Pm ≡ −ρm < u1 u2 >
∂U1
∂x2
che chiameremo potenza di produzione di energia di origine meccanica. La
scelta dei vocaboli vale se non altro a fissare nella mente l’idea che il primo
dei due processi scompare, quando viene a mancare il flusso di calore.
La dinamica dello strato limite terrestre, e il suo carattere ciclico nelle ventiquattr’ore, sono spiegabili con il gioco dei tre termini di sorgente Pt , Pm e
D , che compaiono nell’equazione di bilancio dell’energia cinetica turbolenta.
In una giornata di sole si ha un flusso convettivo di calore rivolto verso l’alto, dagli strati aderenti al terreno verso gli strati sovrastanti; la produzione di
energia di origine termica è positiva e si aggiunge alla produzione di origine meccanica. L’eccesso di produzione comporta sia un aumento locale della
densità di energia cinetica turbolenta:
∂
σu2
ρm
>0
∂t
2
sia un flusso verso l’alto della stessa grandezza. Per afferrare questo secondo
aspetto, si può considerare uno strato di aria vicina a terra di altezza h, e
immaginare che abbia raggiunto uno stato quasi stazionario in senso statistico,
così da poter considerare trascurabile la derivata parziale rispetto al tempo del
valor medio della densità di energia. Un eccesso di produzione:
Pt + Pm − Df > 0
269
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
h
Fig. 5.1 – Innalzamento del bordo dello strato limite terrestre per effetto delle correnti
termiche. L’aria relativamente calda che penetra al di sopra di h, quota momentanea
del bordo esterno dello strato, è dotata di moto turbolento; quindi estende lo spessore
dello strato limite, per il solo fatto di portarsi in una regione ove il moto in precedenza
turbolento non era. Attraverso i piani orizzontali si ha un flusso convettivo di energia
cinetica turbolenta diretto verso l’alto.
è tuttavia compatibile con la 5.2 purché si abbia, al livello h, un flusso di
energia rivolto verso l’esterno pari a:
h
1
(Pt + Pm − Df )dx2
ρm < u2 ui ui > + < u2 δp >=
2
0
Il flusso alla quota h ha una componente convettiva, quasi sicuramente dominante rispetto al flusso di energia meccanica < u2 δp >5 ; la componente
convettiva
1
ρm < u2 ui ui >
2
esprime, in termini di trasporto di energia, la conseguenza del passaggio verso l’alto di una massa d’aria dotata di moto turbolento; quindi è un aspetto
del tutto coerente con il progressivo accrescimento dello strato coinvolto nel
moto di fluttuazione. Si tratta del processo che porta, nel periodo diurno,
all’innalzamento del bordo esterno dello strato limite, cfr. fig. 5.1.
I due termini di sorgente Pt e Pm variano con la quota in modo diverso, così che il loro rapporto e la reciproca rilevanza risultano altrettanto variabili. Il
termine di produzione meccanica ha un massimo nelle immediate vicinanze
del suolo, e quindi decade rapidamente con la quota; al confronto, il termine
5
Non si vede per quale motivo le fluttuazioni di pressione dovrebbero essere correlate con le
fluttuazioni della velocità verticale, dando luogo a un valore significativo di < u2 δp >.
270
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
di origine termica può essere considerato in prima approssimazione costante.
L’analisi dei relativi ordini di grandezza rivela che nelle immediate vicinanze
del terreno il termine Pm è più grande di Pt ; ma poiché il primo diminuisce
velocemente, si raggiunge una quota in cui i due effetti sono dello stesso ordine, e quindi una regione superiore dello strato limite ove la relazione tra i due
si inverte, l’importanza di Pm essendosi ridotta a niente. Il fatto che l’importanza relativa dei due processi sia variabile permette di articolare la struttura
dello strato limite in regioni diverse; l’articolazione può essere più o meno
dettagliata, in funzione della maggiore o minore propensione dell’autore all’analisi6 , ma comunque deve prevedere una regione alta, ove la fluttuazione
è dovuta unicamente al ricircolo di correnti termiche, e una regione aderente al terreno ove la produzione di energia cinetica turbolenta è essenzialmente
di origine inerziale. Alla regione alta si dà il nome di strato limite convettivo;
a quella bassa, il nome di strato superficiale. L’altezza a cui i due termini di
produzione Pm e Pt si equivalgono, si chiama altezza di Monin-Obukhov. Un
quadro schematico della situazione è schizzato in fig. 5.2.
Quando è presente un flusso termico rivolto verso l’alto, con l’incremento nella produzione di energia cinetica turbolenta che esso comporta, si definisce
la condizione dell’atmosfera come instabile, introducendo di fatto un criterio
diverso da quello usato per discutere la stabilità delle soluzioni statiche. Si
dice fortemente instabile uno strato limite ove il processo termico prende rapidamente il sopravvento sul processo meccanico di produzione dell’energia
cinetica turbolenta, riducendo lo strato superficiale ad uno spessore di una decina di metri; in una giornata di sole, con venti in quota deboli, si ha questa
situazione.
Quando il flusso termico è limitato a causa di una spessa copertura di nubi,
e il vento in quota è relativamente forte, il termine Pt può essere irrilevante
rispetto a Pm in tutto lo strato limite. Lo spessore dello strato risulterà ridotto
per l’assenza di significative correnti termiche; in tal caso, si definisce neutra
la stabilità dello strato limite.
Col calar del sole l’ascesa di correnti di aria calda si esaurisce; nella parte alta dello strato limite questo fatto comporta la scomparsa della fluttuazione, il
6
Nonché a considerare il campo di moto turbolento come un collage di situazioni locali, invece
di un sistema indivisibile in cui tutto interagisce con tutto.
271
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
U
h
H
Fig. 5.2 – Strato limite di altezza complessiva h, diviso in due regioni dall’altezza H di
Monin-Obukhov. Al di sopra di H si ha lo strato limite convettivo, con struttura di moto
di origine termica e scala integrale ∼ h , chiaramente riconoscibili. Al di sotto di H si
ha lo strato superficiale, dominato dalle instabilità meccaniche.
cui residuo viene dissipato dalla viscosità. La corrente torna progressivamente laminare; lo strato convettivo si dissolve e l’equazione 5.1 perde significato,
poiché i suoi termini divengono tutti nulli. Vicino al suolo, la fluttuazione
turbolenta permane per opera delle instabilità inerziali - quindi di Pm - che
traggono alimento dal gradiente della velocità media U. Il progressivo raffreddamento del terreno, tuttavia, genera una stratificazione termica con gli
strati di minore temperatura potenziale in basso, e quindi una situazione in
cui il termine Pt agisce come un pozzo, sottraendo energia cinetica al campo
fluttuante. L’effetto si somma alla dissipazione viscosa nel ridurre l’ampiezza della fluttuazione; l’altezza dello strato caratterizzato da moto turbolento di
entità significativa si riduce, e in alcuni casi non va molto al di là della scia
degli ostacoli presenti sul terreno. La struttura del campo di moto si modifica; poiché l’effetto soppressivo agisce sulla componente verticale della fluttuazione - è dovuto al campo gravitazionale, in definitiva - le configurazioni
di grande scala tendono a modellarsi come strutture bidimensionali, nei piani
orizzontali. L’insieme di questi effetti viene riassunto affermando che il campo è divenuto stabile, il molto o poco dipendendo dall’entità del gradiente di
temperatura.
272
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
Le situazioni di più rapido ed energico raffreddamento della superficie si hanno di notte su terreni asciutti, con cielo privo di nubi. La presenza infatti di una
spessa copertura crea un equilibrio radiante tra il terreno e la superficie inferiore delle nubi, che si rimpallano la radiazione di bassa frequenza. È esperienza
comune che in una notte nuvolosa l’abbassamento di temperatura dell’aria sia
molto contenuto.
Validità dell’approssimazione di Boussinesq per il calcolo del termine di
sorgente
Il discutere la validità dell’approssimazione di Boussinesq in generale è compito complesso, perché molto varie sono le situazioni in cui l’approssimazione
viene adottata. In questo contesto, ci limitiamo a considerare le conseguenze
dell’approssimazione sul modo con cui viene valutato il termine di produzione termica nell’equazione di bilancio dell’energia cinetica turbolenta, eq. 5.2.
L’approssimazione di Boussinesq permette di legare l’intensità della sorgente
al flusso termico convettivo, tramite la sostituzione:
δT
δρ
=−
5.4
ρm
Tm
che rende le due grandezze direttamente proporzionali:
ρm
− < u2 δρ > g =
< u2 δT > g ∝ Fc
Tm
E poiché la correlazione < u2 δρ > è difficile da misurare, nella prassi si
assume il flusso termico convettivo, che viene stimato in modo più o meno
indiretto7 , come parametro significativo della condizione della turbolenza atmosferica, proprio in virtù di questa relazione immediata; la cifra del flusso
termico viene letta come misura dell’intensità del termine di sorgente.
In generale, la relazione corretta tra variabili di stato non è la 5.4, ma la:
δp
δT
δρ
=
−
ρm
pm Tm
e quindi l’attendibilità del procedimento richiede che sia:
1
1
5.5
pm < u2 δp > << Tm < u2 δT >
7
La tecnica più usata consiste nella misura, tramite un radiometro differenziale, delle differenza
tra flusso radiante diretto verso la superficie terrestre e flusso riemesso, nella convinzione che
tale differenza sia uguale, all’incirca, al flusso convettivo nell’atmosfera (cfr. fig. 8.7).
273
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
Vi sono un paio di motivi per credere alla 5.5. Il primo deriva dalla constatazione che le variazioni percentuali di temperatura dell’aria a una stessa quota
sono di consueto più elevate di quelle di pressione. Nello strato limite diurno,
con forti fenomeni termici, possono esservi variazioni di temperatura di 1 o K ,
così che un tipico valore di δT /Tm è 0.003, diciamo in generale dell’ordine di
10−3 . Le fluttuazioni dinamiche di pressione possono essere stimate in base
alle fluttuazioni di velocità, per mezzo dell’equazione di quantità di moto, che
trascriviamo:
∂p
∂ 2 ui
∂
∂
ui = −
ρ
+ (ρ + δρ)gi + μ
+ uj
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
La scala temporale delle variazioni di qualsiasi grandezza fluttuante in una
corrente turbolenta è ∼ l/U , per l’ipotesi di Taylor8 sul trasporto delle strutture vorticose, ove U rappresenta la velocità media ed l la scala geometrica della
struttura del campo che viene considerata. Indicato con σu l’ordine di grandezza della fluttuazione di velocità di scala l, i termini inerziali dell’equazione
di quantità di moto possono essere stimati come ρm U σu /l e quelli di pressione come δp/l; uguagliando i due ordini di grandezza, si trova la fluttuazione
di pressione associata. Si ha:
δp
U σu
U 2 σu ∼ ρm
= ρm
l
l
l
U
da cui si ottiene una variazione percentuale di pressione, che in realtà non
dipende dalla scala geometrica della struttura vorticosa:
ρm 2 σu δp
∼
U
5.6
pm
pm
U
Il valore più tipico dell’indice di turbolenza (σu /U ) è nello strato limite ∼ 0.1,
mentre la velocità media orizzontale è dell’ordine di 10 m/s; di conseguenza
si ha una variazione percentuale di pressione:
δp
∼ 10−4
pm
più piccola di quella della temperatura di circa 10 volte.
Questa conclusione può risultare dubbia in caso di forte vento e debole riscaldamento della superficie. La 5.5 rimane probabilmente valida, tuttavia, perché
le fluttuazioni di pressioni risultano debolmente correlate con le velocità verticali, al contrario di quanto accade delle fluttuazioni di temperatura. Quello che
8
Cfr. 2.1: l’autocorrelazione temporale euleriana.
274
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
rende fortemente correlate la fluttuazione di temperatura con quella di velocità
verticale è il fatto che le particelle di fluido, nello spostarsi in alto o in basso, conservano la loro temperatura potenziale. Se la temperatura potenziale è
più alta nelle vicinanze del terreno di quanto non lo sia nel mezzo dello strato
limite - il terreno è più caldo dell’aria - una particella che provenga dal basso, e quindi possieda velocità verticale positiva, ha molte probabilità di avere
una temperatura più alta di quella delle particelle che la circondano alla stessa
quota. È la conservazione della temperatura potenziale, la proprietà che attribuisce alla particella una memoria dello stato termodinamico della regione di
provenienza.
È poco credibile che accada altrettanto della fluttuazione di pressione; è vero
che esiste un gradiente statico di pressione, e che pertanto una particella che
parta dal basso ha inizialmente una pressione più alta di quella media vigente
a una quota più alta. Le differenze di pressione tuttavia si annullano attraverso la propagazione di onde sonore, un processo dinamico che nel modello di
Boussinesq è stato soppresso, ma che tuttavia esiste e ha una velocità di propagazione più alta della velocità convettiva verticale, di più ordini di grandezza.
È difficile immaginare che una particella, che traversi un piano orizzontale
provenendo dal basso, abbia una pressione più alta dell’aria alla stessa quota,
solo perché più alta è la pressione della regione da cui proviene. Se vi è variazione δp di pressione, pertanto, è da attribuire a una configurazione del campo
di moto in atto nel momento in cui la particella attraversa il piano orizzontale.
Non si vede il motivo per cui tali fluttuazioni dovrebbero risultare strettamente
correlate con il senso della velocità verticale9
Numeri di Richardson e flussi di energia termica
Poiché la mutevole relazione tra Pt e Pm determina le caratteristiche del campo di moto turbolento, appare ragionevole assumere il loro rapporto come numero caratteristico della corrente. Si chiama numero di Richardson di flusso il
rapporto adimensionale:
Rif =
9
Pt
g
< u2 δT >
=
−Pm
Tm < u1 u2 > dU1 /dx2
5.7
Sebbene non lo si possa escludere in modo tassativo, poiché le configurazioni di moto
ascendente non sono simmetriche rispetto a quelle discendenti, cfr. fig 4.24.
275
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
scelto in modo tale che il numero risulti negativo quando i due processi di produzione, quello di origine meccanica e quello di origine termica, si sommano;
in tal caso si ha
Fc > 0; Pt > 0; Pm > 0; Rif < 0
e la condizione dello strato limite viene indicata come instabile. Quando Pt
agisce come fattore di soppressione del moto fluttuante, essendo il flusso termico rivolto verso il terreno, Rif è invece positivo e lo strato limite viene detto
stabile. Valori positivi di Rif sufficientemente elevati inducono una transizione inversa, da turbolento a laminare, del campo di moto; il valore critico al
di sopra del quale avviene la rilaminarizzazione, è compreso tra 0.2 e 0.25,
secondo quanto è riportato in letteratura.
Le due correlazioni che compaiono a numeratore e denominatore della 5.7 sono grandezze tipiche di un moto turbolento sviluppato, e non hanno alcun significato in un moto laminare. Si parla tuttavia di numero di Richardson anche
in un contesto diverso, quello della stabilità di un campo di moto laminare con
profilo di velocità variabile con la quota e stratificazione termica per piani orizzontali. È un argomento che si può considerare come un’estensione dello studio della stabilità della soluzione statica (u = 0), a cui deve ricondursi quando
il profilo di velocità sia uniforme. Si suppone di avere una soluzione stazionaria U1 (x2 ), classico moto di scorrimento, e si analizza quale sia l’influenza del
profilo di temperatura potenziale Θ(x2 ) sulla stabilità della configurazione; in
effetti vi sono perturbazioni di U1 (x2 ), che in presenza di una stratificazione
neutra (dΘ/dx2 = 0) si sarebbero amplificate per una dinamica puramente
inerziale, le quali vengono inibite quando la stratificazione ha carattere stabilizzante (dΘ/dx2 > 0), per effetto della forza peso. Se questo avviene, e in
quale misura, dipende dalla soluzione stazionaria [U1 (x2 ); Θ(x2 )]; si dimostra, ai fini della stabilità, l’importanza di un nuovo parametro adimensionato,
a cui si dà il nome di numero di Richardson, questa volta senza attributi:
g dΘ/dx2
Ri =
5.8
Θ (dU1 /dx2 )2
Le soluzioni stazionarie in cui il parametro è superiore a 0.25 si rivelano,
grazie alle consuete tecniche di analisi lineare, stabili; il risultato è dovuto
a Taylor10 . Si noti che nel delineare quest’ultimo argomento siamo tornati a
10
G.I. Taylor, Effect of variation in density on the stability of superposed streams of fluids, Proc.
Roy. Soc., London, 1931.
276
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
intendere il concetto di stabilità nel senso più comune, come stabilità di una
soluzione stazionaria.
Sebbene portino lo stesso nome, Rif e Ri sono due parametri diversi, definiti
nel contesto di diversi problemi. Per stabilire un legame tra i due parametri,
e quindi anche tra la dinamica dei due problemi, si riformula l’espressione di
Rif eliminando le correlazioni, che non hanno alcun corrispettivo nel moto
laminare, e si interpreta il moto medio della corrente turbolenta come se fosse
il moto laminare che compare nella 5.8. Per farla breve, si pone:
δΘ
δT
=
Tm
Θm
1
1
1
dΘm
< u2 δT >=
< u2 δΘ >= −
kt
Tm
Θm
Θm dx2
< u1 u2 >= −νt
Rif =
dU1
dx2
kt g
kt
dΘ/dx2
= Ri
2
νt Θm (dU1 /dx2 )
νt
5.9
La sostituzione di δT /Tm con δΘ/Θm rientra nello schema generale dell’approssimazione di Boussinesq e si giustifica con il supporre che le variazioni
percentuali di pressione siano più piccole, di almeno un’ordine di grandezza,
rispetto alle variazioni percentuali di temperatura, così da poter essere trascurate11 . Introdotta come scarto rispetto al valor medio temporale, la variazione
di pressione δp può essere interpretata come scarto rispetto al valor medio delle pressioni che si possono misurare, a un dato istante, su uno stesso piano
parallelo al terreno; avendo supposto che il moto turbolento sia omogeneo sui
vari piani orizzontali, non vi è in effetti motivo di ritenere che i due insiemi
- quello dei valori che si susseguono nel tempo in uno stesso punto, e quello
dei valori che si trovano a uno stesso istante nei punti di una stessa superficie orizzontale - siano statisticamente diversi. Dunque, l’ipotesi di Boussinesq
prevede che la pressione vari in verticale per effetto della legge di equilibrio
statico, ma non in orizzontale, passando da un punto ad un altro dello stesso
piano, se non in misura irrilevante.
11
Cfr. la discussione svolta nel precedente paragrafo.
277
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
p2
T2
Θ
T2
T1
T1
T2
p2
p1
p1
p2
Θ
Θ
Θ
Θ
p1
T1
Θ
Fig. 5.3 – Scambio di posizione tra due masse di fluido in un sistema con temperatura
potenziale uniforme. Le due masse si scambiano tra loro le variabili termodinamiche;
il sistema fluido, a scambio avvenuto, è indistinguibile da quello iniziale; il flusso di
energia tra regioni diverse è nullo.
Il flusso < u2 δΘ > è stato espresso con una legge di gradiente:
dΘm
5.10
dx2
come se fosse dovuto a diffusione molecolare; l’analogia si basa sul concetto
che la temperatura potenziale è una grandezza che viene trasportata inalterata
dalle masse d’aria che si spostano in verticale, una proprietà che non è condivisa da altre grandezze termodinamiche, quali la temperatura o la pressione.
È implicito nella formula 5.10 che il flusso termico si annulli quando la temperatura potenziale media è uniforme nell’intorno della giacitura considerata,
poiché in tal caso si ha: dΘm /dx2 = 0.
In effetti, una distribuzione uniforme di temperatura potenziale nel fluido comporta una condizione di omoentropia, essendo le due variabili strettamente legate12 , e lo scambio di posizione tra due masse d’aria, inizialmente l’una al
di sopra e l’altra al di sotto di una data quota, non induce alcuna variazione
dello stato del fluido. Poiché nel modello di Boussinesq la pressione è controllata dall’equilibrio statico, e quindi dipende solo dalla quota, lo scambio di
< u2 δΘ >= −kt
12
Cfr. Cancelli, op. cit., par. 4.5.
278
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
posizione tra le due masse porta a un semplice scambio delle relative pressioni; e di conseguenza, poiché l’entropia rimane inalterata, anche a quello delle
altre variabili termodinamiche. Per chi osserva il fluido nel suo complesso,
non è avvertibile alcuna variazione di stato tra la configurazione di partenza e
quella finale. In particolare, non vi è alcun cambiamento nella distribuzione
spaziale dell’energia; pertanto, il flusso di energia associato allo spostamento
delle masse va considerato nullo. Il ragionamento delineato per lo spostamento di due sole masse può essere esteso ai complessi spostamenti di un campo
turbolento, che comunque possono essere ricondotti ad un insieme di scambi
semplici, e dà ragione del fatto che i flussi siano nulli quando la temperatura
potenziale è ovunque uniforme. Una volta accettato questo punto di vista, la
relazione 5.10 può essere considerata un’approssimazione locale dell’intensità
del trasporto.
Altrettanto si può dire, per quanto riguarda il trasporto di quantità di moto, per
l’espressione:
dU1
< u1 u2 >= −νt
dx2
la quale rappresenta, a meno della densità, una componente del tensore degli sforzi di Reynolds. Infine, i simboli kt e νt indicano due coefficienti di
diffusione turbolenta - diffusività termica e viscosità cinematica - e la loro
comparsa deriva dall’aver adottato delle leggi di gradiente per l’espressione
dei flussi.
Se si accetta che il rapporto tra i due coefficienti di diffusione turbolenta dipenda unicamente da Rif , la 5.9 diviene una relazione tra i due numeri di
Richardson, che li lega in modo biunivoco; Ri può sostituire Rif , nel valutare
l’importanza relativa dei fenomeni termici nella produzione di energia cinetica
turbolenta. Il primo a seguire questa linea di pensiero - che di fatto stabilisce
un nesso tra il problema lineare della stabilità delle soluzioni stazionarie e
quello non lineare della dinamica di un moto turbolento sviluppato - è stato
Richardson nel 192013 . Per la rilaminarizzazione di un campo turbolento, ad
esempio, Richardson suppose che la transizione avvenisse a un valore critico
di Rif , stimabile come:
(Rif )c = (Ri )c = 1
13
L.F. Richardson, The supply of energy from and to atmospheric eddies, Proc. Roy. Soc. London,
A97, 1920.
279
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
In genere, si difende l’uso di Ri come parametro generale di similitudine al
posto di Rif , ricordando che Rif è difficile da misurare perché contiene delle funzioni di correlazione14. Il che è incontestabile, ma non toglie che nella
relazione 5.9 compaiano grandezze inafferrabili; i due coefficienti di diffusione infatti traggono la loro legittimità da una ipotesi, quella del carattere locale
dei flussi, che non ha fondamento. Inoltre l’uso di Ri , e la sovrapposizione
dei due problemi, induce aspettative del tutto errate su quello che dovrebbe
essere il profilo di temperatura potenziale media in uno strato limite turbolento. Viene pressoché istintivo, dato il lessico, immaginare che all’interno di
uno strato limite turbolento, caratterizzato da un intenso flusso termico rivolto verso l’alto, si abbia ovunque un gradiente negativo di Θm . In letteratura
si trovano schizzati, a scopo pedagogico, alcuni esempi di tale situazione; il
problema è che non si trova un insieme di misure ben fatte che la confermi. È
sufficiente uno sguardo alle misure di figura 4.17 per rendersi conto di quale
sia l’aspetto di un caso reale; in pieno pomeriggio, con flusso termico elevato
e rivolto verso l’alto, il gradiente di Θm nello strato convettivo risulta nullo,
o lievemente positivo. Rimane vero che da qualche parte vicino a terra deve
trovarsi una regione di fluido con temperatura potenziale più alta - qualcosa di
simile si scorge nel tracciato spostato a destra; il ragionamento sull’impossibilità di un flusso in una condizione di omoentropia globale è tuttora valido.
Ma le misure escludono che nello strato convettivo il flusso possa essere calcolato come se fosse dovuto a una variazione locale di Θm ; in realtà, la scala
integrale delle correnti termiche è più o meno pari all’altezza dell’intero strato
limite, e la separazione di scale su cui le leggi di gradiente si fondano non può
essere invocata. Mentre, invece, la distribuzione quasi uniforme di Θm rilevabile sperimentalmente conferma una proprietà di carattere generale da tenere
ben presente: nei moti turbolenti qualsiasi variabile trasportata inalterata per
convezione15 in un dominio limitato si avvicina tendenzialmente a una distribuzione uniforme, si tratti della concentrazione di un inquinante, o del vapor
acqueo, o dell’anidride carbonica, oppure di variabili di stato quali l’entropia
e la temperatura potenziale.
14
I.A. Businger, op. cit., p. 23.
15
Per cui si possa scrivere: D/Dt = 0
280
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
Altezza di Monin-Obukhov
I vari termini che si trovano a numeratore e denominatore di Rif , cfr. eq. 5.7,
variano con la quota, e quindi il numero di Richardson fa altrettanto. Vi è tuttavia nelle leggi di variazione una regolarità sufficiente per permettere alcune
affermazioni di carattere generale; nelle immediate vicinanze del terreno il termine di produzione meccanica è più forte di quello di origine termica che ha,
in questo spazio limitrofo, un ruolo poco rilevante. In presenza di flusso termico la situazione si modifica con la quota, in genere in modo piuttosto rapido,
poiché il termine di produzione meccanica diminuisce molto più rapidamente
di Pt ; si raggiunge quindi un’altezza in cui i due termini di produzione sono
dello stesso ordine. Questa altezza si rivela un’utile scala geometrica - secondo
un’intuizione di Obukhov, 194616 - per una rappresentazione invariante, in forma autosimile, dello strato limite; porta il nome di altezza di Monin-Obukhov
e noi la indicheremo con il simbolo H.
Al di sopra di questa quota, il carattere del campo di moto cambia radicalmente in funzione del segno di Pt . Quando il flusso termico è rivolto verso il
basso - quindi quando Pt ha segno negativo e tende a sopprimere la fluttuazione - il moto turbolento si estingue al di sopra di H insieme ai flussi che lo
accompagnano; lo strato limite può considerarsi terminato a tale quota.
Una diversa situazione si ha quando il flusso di calore è rivolto verso l’alto;
in questo caso il raggiungimento della quota H sta semplicemente ad indicare
che da questa quota in poi le instabilità di tipo inerziale risultano insignificanti, e la struttura del campo di moto è determinata dalla configurazione e dalla
dinamica delle sole correnti termiche. Lo strato limite, come regione caratterizzata da forti flussi trasversali alla direzione del moto medio, prosegue al di
sopra di H fino alla quota massima di innalzamento delle masse di aria calda,
cfr. fig. 5.2.
L’altezza di Monin-Obukhov è definita dalla relazione implicita:
Rif (H) = 1
e il calcolo di H può essere svolto in modo approssimato, considerando costanti le due correlazioni < u1 u2 > e < u2 δT >, e variabile con la quota la
16
A.M. Obukhov, Turbulence in an atmosphere with a non-uniform temperature, Boundary Layer
Meteorol., 2, 1971.
281
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
derivata della velocità media dU1 /dx2 . Le prime infatti sono grandezze che
cambiano molto più lentamente della seconda; radicalizzando la differenza di
comportamento, si scrive per le correlazioni:
< u1 u2 >= −u2∗ ∼ cost
1
1
< u2 δT >=
< u2 δΘ >∼ cost
Tm
Θm
come se si mantenessero uguali al valore posseduto nelle immediate vicinanze
del terreno, mentre la rapida variazione della velocità media viene espressa
tramite la legge:
u∗
dU1
=
5.11
dx2
κx2
La velocità
√
u∗ = − < u1 u2 >
si chiama velocità d’attrito ed è chiaramente, a parte l’omissione della densità, una misura del flusso di quantità di moto, sempre negativo, scambiato tra
aria e terreno. La 5.11 è una legge molto nota - si chiama legge logaritmica di
parete - la quale ha, almeno in una regione limitata, una spiegazione fisica su
cui torneremo; κ è una costante, detta di von Kármán, e vale all’incirca 0.4.
In questo contesto useremo la legge logaritmica al di là della sua regione di
pertinenza, semplicemente perché la sua forma si presta a un calcolo approssimato. Sostituendo l’espressione dei flussi e la 5.11 nel numero di Richardson,
si ottiene:
g < u2 δΘ >
Rif = −
κx2
Θm
u3∗
da cui si ha, ricordando la definizione di H:
−
g < u2 δΘ >
κH ∼ 1
Θm
u3∗
e quindi:
H=−
Θm
u3∗
κg < u2 δΘ >
5.12
Si osservi che H è definita in modo tale da avere un segno, il che va al di là del
suo significato fisico di altezza sul suolo, per cui i due processi di produzione
di energia cinetica turbolenta sono dello stesso ordine. In effetti si vuole che
H conservi la distinzione di segno, esattamente come Rif , per distinguere tra
282
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
le situazioni in cui la produzione di energia turbolenta di origine termica si
somma a quella di origine meccanica:
Fc > 0; Rif < 0; H < 0
e quelle in cui invece si sottrae:
Fc < 0; Rif > 0; H > 0.
Ne deriva che, nelle cosiddette configurazioni stabili, H risulta positiva, mentre in quelle instabili risulta negativa; e poiché è inversamente proporzionale al flusso termico, cfr. 5.12, il suo modulo appare tanto più piccolo quanto
maggiore è l’effetto stabilizzante o instabilizzante della stratificazione. In una
giornata di sole, con vento debole, si può avere ad es. H ∼ −10 m, ma un
numero simile, sebbene di segno contrario, ad es. H ∼ 10 m, si può trovare
anche nella situazione opposta, in una notte serena e senza vento. Quanto accade al di sopra della quota di 10 metri è tuttavia ben diverso; nel primo caso,
al di sopra di 10 metri vi è un campo di moto turbolento strutturato da correnti ascensionali di origine termica; nel secondo, si ha sopra i 10 metri un
campo di moto in cui la turbolenza è stata soppressa, e i flussi convettivi sono
pressoché scomparsi.
Moduli elevati di H indicano invece una condizione neutra, in cui i fenomeni termici sono irrilevanti; in effetti, si può vedere dalla 5.12 che |H| cresce in
modo illimitato, quando il flusso termico tende a zero. Che cresca per valori positivi o negativi, non fa differenza. Vi sono procedimenti di calcolo che
permettono di trovare H in funzione di alcuni parametri dello strato limite, in
genere la velocità media ad una data altezza e la temperatura dell’aria misurata a due diverse quote. Può capitare che variazioni minime di questi parametri
inducano variazioni inaspettate di H, la quale può passare da un alto valore positivo a un valore negativo, altrettanto alto in modulo; non è il caso di stupirsi,
perché il fatto sta semplicemente ad indicare che le correnti termiche sono
trascurabili. Per essere chiari, valori quali H = 1300 m, H = −1450 m,
che sembrano contrapposti, contengono una stessa informazione: indicano
entrambi una condizione neutra, o quasi, dello strato limite.
La 5.12, infine, pone in luce la forte influenza della velocità media del vento
sull’altezza di Monin-Obukhov; la velocità di attrito u∗ si può considerare
all’incirca proporzionale alla velocità media U1 , e quindi H risulta crescere
con la terza potenza della velocità del vento. Si possono avere condizioni
fortemente stabili, o fortemente instabili, solo con venti deboli.
283
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
5.2.
LEGGI DI SIMILITUDINE PER LO STRATO LIMITE
Introduzione
Per calcolare i valori medi di concentrazione di un inquinante immesso nello strato limite terrestre, occorre preventivamente conoscere quali siano i lineamenti statistici del campo di moto. Una tipica equazione di dispersione
turbolenta, come quella trascritta:
∂
∂
∂Q
∂Q
∂Q
=
Dty
+
Dtz
U
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
può essere risolta per la variabile Q quando si conoscano i valori della velocità media U e i coefficienti di diffusione turbolenta trasversale e verticale
Dty e Dtz , punto per punto17 . Sembra pertanto che occorra effettuare un buon
numero di misure, prima di eseguire i calcoli, oppure determinare per via numerica anche le caratteristiche del campo di moto. In realtà il procedimento
seguito usualmente richiede solo un insieme limitato di dati, grazie ad una ipotesi semplificatrice che risulta accettabile in molte situazioni. Si assume che il
campo turbolento dello strato limite possa essere suddiviso in regioni diverse,
ciascuna delle quali obbedisce a leggi di similitudine, così che la sua descrizione venga ricondotta a una forma invariante tramite l’adozione di opportune
scale. Una volta che queste leggi universali siano state costruite rielaborando
i dati sperimentali di più campagne di misura, effettuate in condizioni diverse
dell’atmosfera, i valori che si riferiscono a una situazione particolare possono
essere dedotti dalle leggi generali, purché si conoscano le scale del momento;
il che richiede un numero limitato di misure. Per intenderci con un esempio,
si ammette normalmente che, nelle correnti che scorrono lambendo una parete, esista una regione vicino alla superficie solida ove vale la legge logaritmica
di variazione della velocità media:
z
1
U
= ln
5.13
u∗
κ
zo
ottenibile per integrazione dalla 5.13. È immediato osservare che, qualora si
17
In questo paragrafo torniamo ai simboli comunemente usati nei manuali di istruzione dei programmi di calcolo; la direzione sottovento è indicata come asse x, quella verticale è data da z,
e quella trasversale al vento da y; le componenti corrispondenti delle velocità fluttuanti sono
u, w, v.
284
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
scelgano come unità di misura u∗ e zo , la 5.13 può essere posta nella forma
invariante:
1
U = ln(z )
κ
essendo:
U = U/u∗
z = z/zo
Da un punto di vista pratico, l’esistenza della 5.13 permette di ricondurre il
problema di determinare la funzione U (z) a quello della misura di due soli
parametri, u∗ e zo ; oppure, con scelta equivalente, alla misura di un solo valore
di U a una altezza z , quando sia nota zo . La 5.13 è valida solo in una parte,
più o meno estesa in verticale, dello strato limite; per dare una descrizione
completa del campo delle velocità nell’intero strato occorre fare riferimento
a più leggi e prevedere più misure; l’ipotesi di similarità permette tuttavia
di contenerne il numero. Anche il procedimento di Pasquill, che suddivide
l’insieme delle situazioni atmosferiche in un numero limitato di categorie - le
classi di stabilità - e quindi assegna la situazione in esame ad una di queste in
base a un numero altrettanto limitato di osservazioni, trova in ultima analisi la
sua giustificazione più forte nell’esistenza delle leggi di similitudine.
Legge logaritmica di parete
Tornando alla 5.13, essa può essere giustificata in vario modo. Per dedurla si
può partire dalla constatazione empirica che, in vicinanza del suolo, si possono
osservare per le varie grandezze leggi di variazione molto diverse; la velocità
media U passa da zero a valori vicini al valore massimo in breve distanza,
mentre lo sforzo tangenziale varia così lentamente nello stesso intervallo da
poter essere considerato quasi costante. Pertanto la condizione:
−ρ < wu >= ρu∗ 2 = cost
è compatibile18 con una rapida variazione di U . Per essere esatti, alla parete
le fluttuazioni di velocità non possono che annullarsi, e quindi lo sforzo tangenziale sarà di natura viscosa; ma lo sviluppo di −ρ < wu > avviene in
18
La velocità u∗ rappresenta la velocità di attrito, già definita nel paragrafo precedente.
285
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
modo così rapido,appena ci si allontana dalla parete, che l’esistenza di una regione viscosa può essere trascurata. Dopo questo primo passo, che ha un’evidenza sperimentale, si possono seguire una serie di considerazioni fortemente
ipotetiche:
– si assume che lo sforzo tangenziale sia esprimibile mediante una
legge di gradiente:
dU
−ρ < wu >= ρu∗ 2 = ρνt
dz
– si assume che l’unica lunghezza significativa, alla distanza z dalla
parete, sia z stessa;
– si suppone che il campo fluttuante presenti una sola scala di velocità, a cui tutte le componenti, comunque definite, risultano
proporzionali.
La viscosità cinematica turbolenta νt che compare nella legge di gradiente, è
un tipico coefficiente di diffusione e ha le dimensioni fisiche del prodotto di
una velocità per una lunghezza:
νt ∼ σu l
essendo σu ed l due proprietà della parte fluttuante del campo, che misurano l’intensità e la dimensione lineare delle strutture vorticose. Scelta come velocità di riferimento la velocità di attrito u∗ , per le ipotesi fatte si può
scrivere:
σu = k1 u∗
l = k2 z
ove k1 e k2 sono due costanti sconosciute. Sostituendo queste espressioni
in quella della viscosità cinematica turbolenta νt , dalla legge di gradiente si
ottiene:
u∗
dU
=
5.14
dz
κz
ove il simbolo κ - la costante di von Kármán - ha sostituito il prodotto k1 k2 .
Per integrazione della 5.14 si ha infine la legge logaritmica 5.13.
La lunghezza zo che vi compare è una costante di integrazione - alla lettera
indica la quota in cui la velocità media si annullerebbe se la legge fosse valida
fino in parete - e porta il nome di altezza geometrica di rugosità superficiale.
286
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
In effetti, il profilo delle velocità nelle immediate vicinanze della parete non
può che essere influenzato dalla geometria della superficie, la cui caratterizzazione porta ad un unico parametro, una misura della rugosità superficiale,
nel momento stesso in cui si nega importanza alla forma tridimensionale degli ostacoli19 . Quindi zo dipende dalla rugosità della superficie; non è tuttavia
detto che la misuri correttamente. In genere zo risulta più piccola, di circa 10
volte, dell’altezza media quadratica della rugosità.
La legge logaritmica è stata ottenuta da più autori, e la si può vedere come
una applicazione della teoria della lunghezza di mescolamento, sviluppata da
Prandtl negli anni venti del secolo passato. La teoria di Prandtl è una teoria
generale del trasporto turbolento, ricalcata sulle proprietà della diffusione molecolare; al posto delle molecole si hanno le particelle di fluido, al posto di
una misura delle velocità di agitazione termica si ha una misura delle velocità
di fluttuazione turbolenta, e al posto del cammino libero medio si ha una lunghezza di mescolamento, che nella nostra ottica potremmo considerare come
una lunghezza massima di correlazione, o qualcosa di simile. Oltre alla difficoltà, più volte ricordata, di dare forma matematica a un’analogia - quella tra
gli effetti del moto termico delle molecole e gli effetti della fluttuazione turbolenta delle particelle - solo qualitativa, l’applicazione del modello diffusivo
di trasporto turbolento è particolarmente debole quando la grandezza trasferita
da una regione ad un’altra è la quantità di moto della particella, poiché questa
grandezza non viene trasportata inalterata per convezione. Se vengono analizzate, le proposizioni che ci hanno permesso di dedurre la legge logaritmica si
rivelano discutibili singolarmente e incoerenti nel loro insieme. La legge appare tuttavia in buon accordo con i risultati sperimentali, e viene considerata
usualmente un successo della teoria. Deve la sua solidità a motivi più generali, e più astratti, del particolare fenomeno invocato per darne spiegazione.
In realtà, l’unica proposizione essenziale riguarda l’esistenza di una regione
del campo di moto, ove si ha come unica scala significativa di lunghezza la
distanza z dalla parete, e come unica scala significativa di velocità la velocità di attrito. Una volta accettata questa affermazione, la legge logaritmica può
19
Se decidessimo di tener conto della forma degli ostacoli - colline, edifici, et cet. - non potremmo
supporre il campo di moto omogeneo nei piano orizzontali.
287
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
essere dedotta in molti modi diversi, compreso quello semplicissimo di constatare che il secondo membro della 5.14 è l’unica espressione dimensionalmente
corretta che si possa costruire con le scale u∗ e z .
L’affermazione dell’unicità delle due scale ha delle implicazioni in negativo
che conviene mettere in evidenza. Il campo di moto di cui stiamo parlando
è determinato in alto da una velocità Ue imposta all’altezza h, ed è limitato in basso da una superficie che impone la condizione di aderenza: U = 0.
La superficie solida presenta un’altezza di rugosità superficiale hs , in generale molto più piccola di h. Ipotizzare la presenza di una regione del campo di
moto in cui l’unica lunghezza significativa è la distanza z della parete, è come negare che h e hs abbiano, in tale regione, alcun ruolo. La regione con il
profilo logaritmico appare quindi come una zona intermedia, la cui dinamica
è determinata da strutture turbolente troppo grandi per essere influenzate da
hs e troppo piccole per accorgersi dell’altezza h dell’intero strato. Vi è una
evidente analogia tra la regione del profilo logaritmico nelle correnti di scorrimento e il dominio inerziale della turbolenza omogenea20. Entrambi i domini
risultano da una scomposizione del campo, in un caso nello spazio fisico e
nell’altro nello spazio dei numeri d’onda, e sono caratterizzati da scale di lunghezza che sono ad un tempo molto più piccole della scala esterna e molto più
grandi della scala minima della corrente, così da risultare indipendenti dall’una e dall’altra. Se considerassimo liscia la superficie che delimita la corrente,
potremmo sostituire all’altezza di rugosità la scala diffusiva: δ = ν/u∗ , essendo ν la viscosità cinematica molecolare, e l’analogia tra le due situazioni
risulterebbe ancora più stringente. Naturalmente, l’esistenza di un dominio
intermedio con tali caratteristiche richiede che le scale estreme siano diverse
tra loro per più ordini di grandezza; ma quando questa condizione è soddisfatta è ragionevole attendersi che il dominio intermedio sia indipendente da
entrambe, e quindi descrivibile mediante leggi universali. In particolare, la
legge logaritmica posta nella forma adimensionata:
1
U = ln(z )
κ
non può variare passando da una corrente a un’altra, purché entrambe scor-
20
A.K. Blackadar, H. Tennekes, Asymptotic similarity in neutral barotropic planetary boundary
layer, J. Atmos. Sci., 25, 1968.
288
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
rano su una superficie; il che richiede che la costante di von Kármán risulti
effettivamente tale21 .
A questo insieme di riflessioni si può dare forma matematica seguendo un
procedimento che è stato adottato negli ultimi decenni in gran parte dei testi
sull’argomento22 . Ne diamo un breve cenno. I parametri globali che definiscono il campo sono l’altezza h dello strato limite, l’altezza geometrica hs della
rugosità superficiale, e la velocità Ue imposta in alto. Se si parla di strato limite terrestre, privo di flussi termici e con vento geostrofico in alta quota si
ha:
Ue = Ug
e si può porre:
h=
Ug
f
essendo f il parametro di Coriolis.
Ammettiamo inoltre che i processi viscosi siano trascurabili, il che equivale a
dire che non siamo interessati a descrivere le scale dissipative nel cuore della
corrente e che riteniamo lo spessore della regione viscosa aderente alla parete
molto più piccolo di hs , come accade usualmente sulla superficie della terra.
Allora, in base a pure considerazioni dimensionali, potremmo scrivere:
z h
U (z)
;
=g
Ue
h hs
una formula sicuramente corretta, ma di scarsa utilità. Il campo infatti è caratterizzato da scale geometriche e da leggi di variazione così diverse che una
legge unica risulta inadeguata a descriverle. Nella regione di parete si propone naturalmente, come scala geometrica con cui misurare le distanze, non
l’altezza h dello strato limite ma l’altezza di rugosità hs , e come variabile adimensionata significativa il rapporto z/hs . D’altra parte, la scala delle velocità
21
L’affermazione è vera solo in prima approssimazione, come del resto tutti gli aspetti di una
teoria che di fatto implica la scomposizione del campo turbolento in un insieme di sottosistemi
in equilibrio locale, come se fossero indipendenti.
22
Introdotto da C. Millikan nel 1939, ha finito col dar vita a una teoria matematica autonoma,
quella dell’analisi dei problemi con molte scale.
289
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
più opportuna per valutare la variazione della velocità media, appare essere la
velocità di attrito u∗ , se non altro perché le variazioni di velocità sono intrinsecamente legate al moto fluttuante delle particelle di fluido. La velocità di
attrito non è una variabile indipendente; si può considerare determinata dalla velocità imposta Ue e dalle due scale geometriche del problema; in forma
adimensionata si ha pertanto:
u∗
h
= g1
5.15
Ue
hs
Con queste riflessioni nella mente, si può ritenere opportuno dare una descrizione dello strato limite per tratti, riservando alla regione superficiale una
legge di variazione interna ove le distanze vengono misurate rispetto ad hs :
U
z h
= gin
;
5.16
u∗
hs hs
e alla rimanente parte la legge di variazione esterna:
z h
U
= gex
5.17
;
u∗
h hs
ove la scala prescelta per la misura delle distanze è l’altezza h dell’intero
strato23 .
Da un punto di vista matematico la scomposizione del dominio presenta una
difficoltà: partiti alla ricerca di una soluzione unica in grado di soddisfare entrambe le condizioni al contorno, ci si trova con una ipotesi di soluzione che
prevede due leggi separate, a nessuna delle quali si può chiedere di rispettare
entrambe le condizioni ai bordi, poiché la loro validità non si estende all’intero
dominio. Per uscire dall’indeterminazione occorre imporre in qualche regione intermedia un raccordo tra la soluzione interna e quella esterna; la tecnica
adottata viene comunemente chiamata raccordo asintotico. In effetti, come
primo passo si considera il problema nel limite24 per h/hs → ∞. Se il limi-
23
La legge di variazione esterna viene usualmente presentata nella forma:
„
«
U − Ue
z h
= gex
;
u∗
h hs
e prende il nome di legge del difetto di velocità.
24
Come è ovvio, i procedimenti asintotici derivano la loro utilità dalla supposizione che le
situazioni reali siano sufficientemente vicine a quella limite.
290
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
te esiste, le 5.15, 5.16, 5.17 divengono espressioni universali, perché prive di
qualsiasi parametro. Si ha:
u∗
= cost
5.18
Ue
U
= gin (ζ)
u∗
5.19
U
= gex (η)
5.20
u∗
ove i due nuovi simboli indicano le variabili adimensionate: ζ = z/hs ; η =
z/h. Il raccordo tra la 5.19 e la 5.20 si ottiene imponendo che le due espressioni
abbiano la stessa pendenza:
dU
dgin dζ
dgex dη
= u∗
=
u∗
dζ dz
dη dz
dz
nel doppio limite per η → 0 e ζ → ∞. La scelta del doppio limite non deve
sorprendere: se il rapporto h/hs tende ad infinito, è inevitabile che variazioni pur molto grandi di ζ corrispondano a variazioni insignificanti di η , e che
lo spessore della regione superficiale venga, nella prospettiva della scala esterna, ridotto a un niente. Il concetto che quanto appare un universo in una scala
microscopica, possa essere visto in una scala macroscopica come un semplice
punto, non è una elemento specifico della teoria dello strato limite; è stato usato a partire dall’inizio del novecento in molti e diversi contesti. Uguagliando
le due espressioni delle derivata dU/dz si ha :
1 dgex
1 dgin
=
hs dζ
h dη
da cui si ottiene, moltiplicando entrambi i membri per z :
dgex
dgin
=η
ζ
dζ
dη
Affinché sussista il limite del primo membro per ζ → ∞, è necessario che per
valori di ζ sufficientemente grandi si abbia:
dgin
= cost
ζ
dζ
e da questa relazione si deduce ancora una volta la legge logaritmica di parete. Il procedimento ha il merito di mostrare in modo rigoroso quali siano le
proprietà della regione caratterizzate dal profilo logaritmico di velocità: una
regione intermedia, che risulta lontanissima dalla parete se la distanza è misurata in multipli di hs (z/hs → ∞) e vicinissima alla stessa se la distanza è
misurata in frazioni di h (z/h → 0).
291
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
[km]
<w δΘ> mK
s
(a)
2
0.3
1
(b)
0.2
0.1
0.0
9
10 11 12 13 14 15 16
t [ore]
19
Fig. 5.4 – (a) Andamento diurno dell’altezza h dello strato limite. (b) Andamento diurno
della correlazione tra velocità verticale w e fluttuazione δΘ di temperatura potenziale
vicino al suolo.
Strato limite con flussi termici
La teoria precedente è raramente applicabile allo strato limite terrestre, perché
questo non si presenta in genere privo di flussi termici. La situazione reale
più vicina alla descrizione del paragrafo precedente è quella di un vento che
corre su una pianura, sotto una estesa e pesante copertura di nubi. Mancando
questa condizione, gli scambi termici tra aria e terreno modificano in modo
sostanziale la struttura dello strato limite, la cui altezza viene a variare nelle
ventiquattro ore in modo periodico. Una tipica variazione dell’altezza h(t)
dello strato limite è mostrata in fig. 5.4, in funzione del tempo, nel periodo
diurno di una giornata estiva. Nella figura è rappresentata anche la variazione
di < wδΘ > - una correlazione proporzionale al flusso termico, cfr. par. sui
flussi di energia termica - che della variazione di h è causa diretta.
Nella prima mattina, con la comparsa di un flusso termico rivolto verso l’alto,
l’altezza h(t) che nella notte si era ridotta ad un paio di decine di metri torna a crescere. La rapidità di salita, massima nel mezzo del giorno, si attenua
progressivamente nel tardo pomeriggio quando l’altezza dello strato limite si
stabilizza attorno a una quota che, in estate e alle medie latitudini, risulta di
un paio di km. La legge di variazione di h(t) dipende non solo dallo scambio termico con il terreno, ma anche dal gradiente di temperatura potenziale
dell’aria che sovrasta lo strato limite. Indicato con χ il gradiente, positivo, di
temperatura potenziale, cfr. fig. 5.5:
dΘ
χ=
dz atm
292
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
z [km]
2.4
h
χ
1.6
0.8
0.0
292
294
296
298
Θ[K]
Fig. 5.5 – Temperatura potenziale all’interno e al di sopra dello strato limite.
la legge di variazione di h è data da una relazione del tipo:
h2
Cu∗ 2 Θ
dh
< wδΘ >
+
=
(1 + 2A)h − 2BκH χg[(1 + A)h − BκH] dt
χ
5.21
ove κ è la costante di von Kármán, mentre A, B , C sono parametri da determinare per via empirica25 . Se i parametri venissero assunti tutti uguali a zero,
l’equazione 5.18 si ridurrebbe a:
1 < wδΘ >
dh
=
dt
h
χ
un’espressione che ha poche probabilità di risultare accurata, ma è sufficiente
a rendere qualitativamente l’andamento di h illustrato in fig. 5.4.
In realtà, il fatto che h vari nel tempo non ha implicazioni sulla struttura
del campo di moto turbolento, perché si ipotizza che il processo sia quasistazionario, in altri termini che esso sia descrivibile come una successione di
configurazioni di equilibrio. L’ipotesi comporta che si misuri il valore di h corrispondente alla situazione in esame, ma esclude dall’insieme delle grandezze
che determinano le proprietà statistiche del campo di moto un tempo caratte-
25
Cfr. E. Batchvarova, S.E. Gryning, An applied model for the height of the daytime mixed layer
and the entrainment zone, Boundary Layer Meteorology, 71, 1994.
293
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
ristico del ciclo. Le grandezze che influenzano il campo di moto continuano
ad essere quelle già note - h, hs (oppure zo ), u∗ (oppure Ue ) - con l’aggiunta
del flusso termico convettivo Fc . La presenza di questo nuovo termine rende
più articolata la struttura dello strato limite; Monin e Obukhov hanno tuttavia
proposto una estensione della teoria di similitudine26 , mostrando come l’introduzione di una nuova scala di distanze - l’altezza H già definita - permetta
di esprimere l’effetto del flusso termico sulle varie funzioni che descrivono il
campo di moto. Senza entrare nel merito, ci limitiamo a ricordare quali siano
le varie scale che permettono, secondo la teoria, di dare una rappresentazione
adimensionata invariante della corrente turbolenta. Occorre innanzi tutto distinguere tra la regione al di sotto del valore assoluto dell’altezza di Monin Obukhov, ove si ha:
z <| H |
e quella al di sopra, ove si ha:
| H |< z < h
Nella prima, che prende il nome di strato superficiale, le scale da adottare
risultano:
– per la misura delle distanze, l’altezza H presa in segno, positiva
quando il flusso termico è rivolto verso il basso e negativa quando
il flusso termico è rivolto verso l’alto;
– per la misura delle velocità, la velocità di attrito u∗ ;
– per la misura delle temperature, una temperatura caratteristica:
< wδΘ >
Θ∗ = −
u∗
definita in modo da risultare negativa, quando il flusso termico è
rivolto verso l’alto, e positiva nel caso opposto.
Le leggi di variazione delle varie grandezze, poste in forma adimensionata adottando le scale ricordate, dovrebbero risultare universali nel dominio:
z <| H |. Ad es., la legge di variazione con la quota della velocità media viene
26
A. Monin, A. Obukhov, Basic laws of turbulent mixing in the atmosphere near the ground, Tr.
Akad. Nauk. SSSR Geofiz. Inst., 24 , 1954.
294
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
spesso presentata nella forma:
κz dU
= Φ(ς)
5.22
u∗ dz
ove il secondo membro è una funzione universale della variabile
adimensionata:
z
ς=
H
La 5.22 può essere immediatamente riscritta come:
1
dU = Φ(ς)
dς
κ
introducendo anche a primo membro le variabili adimensionate ς
e U ≡ U/u∗ ; la teoria prevede che la relazione U (ς) rimanga identica in tutti
gli strati limite.
In modo analogo si esprime la legge di variazione della temperatura
potenziale:
κz dΘ
= Ψ(ς)
u∗ dz
per cui vale, senza alcuna modifica, quanto è stato appena detto per la velocità
media.
A prescindere dalla correttezza o meno dell’ipotesi di similarità, nella scelta
delle scale si legge facilmente come la dinamica della regione turbolenta al di
sotto di H sia caratterizzata dalla contemporanea presenza di flussi verticali
di quantità di moto e di energia termica; l’importanza dell’altezza di MoninObukhov si spiega con il fatto che il modulo di questa grandezza segna il
confine, al di sopra del quale si esaurisce il processo di generazione meccanica
dell’energia cinetica turbolenta, mentre il suo segno permette di distinguere il
ruolo a volte soppressivo (H > 0), a volte attivo (H < 0), del termine di
origine termica. Al crescere di | H | la struttura dello strato superficiale si
espande verso l’alto, pur rimanendo simile.
In quanto al profilo logaritmico di parete, esso non è scomparso, ma si è raggrumato in una regione in cui ς può essere considerata in prima approssimazione costante e uguale a zero, o perché siamo in vicinanza del terreno - valori
modesti di z - o perché | H | è molto grande - condizione quasi neutra della stratificazione termica. In tal caso, poiché è: Φ(0) = 1, per definizione
di Φ(ς)), dalla 5.22 si deduce ancora una volta la legge logaritmica. Poiché
295
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
Φ
5
4
3
2
1
-2.0
-1.0
ς ≡ z /H
0
1.0
2.0
Fig. 5.6 – Funzione universale Φ(ς): misure sul campo, e curva di interpolazione di
Businger et al.
in condizioni di forte stabilità, o instabilità, | H | può risultare di un paio di
decine di metri, o anche meno, l’estensione della regione del profilo logaritmico sembrerebbe ridursi a poca cosa. In realtà, i valori di velocità media
si accordano discretamente con la legge logaritmica anche al di sopra dello
strato dominato da fenomeni puramente meccanici di instabilità, per non parlare di quella frazione dello strato che si può legittimamente ritenere a sforzo costante. Sembra che la legge logaritmica, come strumento empirico di
interpolazione di dati, sia più valida dei suoi fondamenti teorici.
In generale, la conferma della teoria di similitudine è affidata alla verifica sperimentale che le misure, nelle opportune variabili adimensionate, si dispongano su un’unica curva, indipendentemente dalle condizioni dell’atmosfera. La
regione al di sotto di | H | è stata molto studiata, e i risultati sono in buon accordo con le previsioni teoriche. Nelle fig. 5.6 e 5.7 sono riportate sia le misure
sul campo delle funzioni Φ(ς) e Ψ(ς), sia le curve di interpolazione proposte
da Businger27, per valori positivi di ς - condizioni di stabilità - e per valo-
27
J. Businger e altri, Fluxprofile relationships in the atmospheric surface layer, J. Atmos. Sci.,
28, 1971.
296
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
6
Ψ
5
4
3
2
1
-2
-1
ς ≡ z /H
0
1
2
Fig. 5.7 – Funzione universale Ψ(ς): misure sul campo, e curva di interpolazione di
Businger et al.
ri negativi - condizioni di instabilità. Le curve di interpolazione di Businger
vengono usate, nell’integrazione numerica delle equazioni di dispersione, per
calcolare la velocità media U e i coefficienti di diffusione Dty e Dtz , una volta che siano note le scale della situazione specifica, o un insieme di misure ad
esse equivalenti.
Al di sopra di | H |, occorre distinguere le situazioni stabili (Fc < 0) da quelle
instabili (Fc > 0). Nel caso che la superficie terrestre sia più fredda dell’aria
che la lambisce (Fc < 0), il lavoro della spinta di galleggiamento ha un effetto
soppressivo sulla fluttuazione turbolenta, e le correnti ascendenti di origine
termica non possono svilupparsi; il moto turbolento scompare e lo strato limite
può considerarsi terminato poco al di sopra dell’altezza: z = H. Per valori
alti e positivi di ς , le due funzioni universali Φ e Ψ tendono a divenire simili a
semirette per l’origine:
Φ∝ς
Ψ∝ς
il che corrisponde a un gradiente costante con la quota delle grandezze medie.
297
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
Si ha infatti, poiché è ς = z/H,
u∗
dU
∼
dz
H
Θ∗
dΘ
∼
dz
H
un andamento tipico delle correnti laminari.
Se invece si hanno correnti termiche ascendenti (Fc > 0), il moto turbolento
si estende ben al di sopra di | H |. Si sviluppa quella parte dello strato limite
che viene denominata strato limite convettivo, oppure ben mescolato28, la cui
dinamica tende a divenire indipendente dalle grandezze tipiche, u∗ e zo , dello
strato superficiale. Se il rapporto h/ | H | è sufficientemente alto, i risultati dello strato convettivo possono essere raggruppati in una rappresentazione
unica adottando le scale:
– l’altezza h dello strato limite per la misura delle distanze;
– la velocità convettiva:
uc =
< wδΘ >
hg
Θ
1
3
per la misura delle velocità;
– la temperatura caratteristica:
Θc =
< wδΘ >
uc
per la misura delle temperature.
Nello strato ben mescolato l’andamento della temperatura potenziale è uniforme, cfr. fig. 5.5, come approssimativamente è quello della velocità media,
cfr. fig. 5.8. Le altre variabili significative, rese adimensionate con le opportune scale, dovrebbero risultare funzioni invarianti del rapporto z/h; ad es.,
il rapporto tra i coefficienti di diffusione e il prodotto uc h, oppure quello
2 /u2 , tra la varianza della velocità verticale e il quadrato della rispettiva
σw
c
scala, dovrebbero disporsi in funzione di z/h su un’unica curva, cfr. fig. 5.9.
28
Il nome ben mescolato fa riferimento alle proprietà dello strato di distribuire in modo uniforme
le grandezze che vengono trasportate per convezione, cfr. fig. 5.5 e fig. 5.8.
298
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
h
z
0
U
Fig. 5.8 – Tipico profilo di velocità media nello strato limite convettivo.
1.2
z
h
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
10-2
σ2w
u2w
10-1
100
Fig. 5.9 – Varianza normalizzata della velocità verticale, all’interno dello strato limite
convettivo; si noti la dispersione dei dati.
I dati sui moti turbolenti nello strato limite convettivo sono meno completi di
quelli sullo strato superficiale, e non sempre in accordo con la teoria di similitudine. Risultati ottenuti da Willis e Deardorff in laboratorio, e da Deardorff
mediante simulazione numerica29 , sembrano confermare la bontà del tentati-
29
Si veda, per una rassegna completa di dati sull’argomento e la relativa bibliografia: S. Caughey,
Observed characteristics of the atmospheric boundary layer, in Atmospheric turbulence and air
pollution modelling, 4, D. Reidel Publishing C., Dordrecht, 1984.
299
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
vo di unificazione basato sulle scale ue , h, Θe , purché h sia più grande di H,
di almeno un ordine di grandezza:
h
> 10
|H|
ed uc sia abbastanza alto rispetto alla velocità in alta quota Ue :
uc
> 0.15 ÷ 0.2
Ue
Se queste condizioni non sono soddisfatte, si può ritenere in linea di principio
che i rapporti h/ | H | ed uc /Ue siano da prendere in conto come parametri,
nelle leggi di variazione di qualsiasi grandezza adimensionata, ad es. ponendo:
2
z h uc
σw
;
;
=f
u2c
h | H | Ue
ma su leggi così articolate non si hanno osservazioni sistematiche. Per concludere, ricordiamo che la suddivisione canonica dello strato limite in regioni
separate, prevede due altri strati oltre a quelli già ricordati:
– uno strato di convezione libera, collocato al di sopra dell’altezza di
Monin - Obukhov, ma nella parte bassa dello strato limite - diciamo,
per z/h < 0.1 - per cui viene proposta come scala delle lunghezze la
distanza z dal suolo, invece che l’altezza globale h, mentre la scala
delle velocità rimane la stessa dello strato ben mescolato;
– una regione di interfaccia tra le correnti termiche e il vento in quota,
ove vengono scambiate massa, quantità di moto e energia, tra l’interno e l’esterno dello strato limite; questa regione si estende all’incirca
tra 0.8h e 1.2h.
Il tentativo di individuare nello strato di convezione libera una regione autonoma, dotata di leggi proprie, trova poca conferma nei risultati sperimentali. In
quanto alla regione di interfaccia - di entrainment per usare il termine inglese la sua dinamica è sicuramente dominata da parametri che non rientrano nella
descrizione dello strato limite, quale il gradiente χ di temperatura potenziale
dell’atmosfera che lo sovrasta; non può quindi essere compresa in una teoria
di similitudine dello strato convettivo.
Parlando in generale, l’idea di separare lo strato limite in regioni tra loro autonome, che obbediscono a leggi universali, è una semplificazione della realtà
che ha una ratio più pratica che teorica, e non sempre è confermata dalle misure. perché sia applicabile occorre fare riferimento a situazioni vicine a quelle
300
5.
DINAMICA DELLO STRATO LIMITE
asintotiche, e a configurazioni geometriche molto semplici; in altri termini, occorre immaginare una pianura estesa e uniforme, con un forte riscaldamento
della superficie, in modo da avere rapporti h/ | H | elevati, dell’ordine di 102 ;
il che sembra escludere che la si possa applicare, ad es., al vento che scorre
sopra una distesa liquida. In realtà la si applica quasi sempre, perché le proprietà delle teorie di similitudine sono incorporate, in un modo o in un altro,
negli strumenti di calcolo. Il fatto è che, se si rinuncia agli schemi della teoria,
non si può dire molto: non vi è un soffio di vento che sia uguale ad un altro30 .
La cosa è vera, ma non permette di fare previsioni.
30
Vi sono stati personaggi di vasta esperienza che hanno fatto di questa affermazione un grido
di battaglia, come il più volte citato Scorer o Carlo Mortarino, uno studioso di aerodinamica
sperimentale di cui uno degli autori di questo testo è stato allievo e amico, tra una burrasca e
l’altra. Il punto di vista di Scorer e Mortarino è difficile da mettere in pratica nella maggior
parte delle situazioni, se non altro per una mancanza di tempo da dedicare all’osservazione del
caso specifico; ma va tenuto presente, prima di sbattere a occhi chiusi in qualche cantonata, per
eccessiva fiducia nel potere interpretativo degli schemi.
301
6. DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
303
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
6.1.
MORFOLOGIA DEI PENNACCHI E DINAMICA DEGLI
INQUINANTI
Due situazioni estreme
Il modo con cui un volume finito di aria inquinata, o il pennacchio emesso
in modo continuo da una sorgente, vengono trasportati e dispersi dal vento
varia con le condizioni dell’atmosfera. I rapporti tra le scale della fluttuazione
turbolenta e la scala della nube inquinata, o del dominio spaziale in cui la
nube evolve, determinano il carattere del processo. Conviene, per motivi di
chiarezza espositiva, fare riferimento a due situazioni estreme:
– quella in cui la dispersione è dovuta a moti turbolenti di scala spaziale più piccola di qualsiasi altra lunghezza significativa, si tratti della
dimensione lineare della nube di inquinante o quella della sezione
del pennacchio, oppure dell’altezza da terra della sorgente;
– quella in cui il moto dell’aria inquinata è dovuto quasi esclusivamente a strutture vorticose di grande scala, la cui dimensione lineare
eccede le altre lunghezze significative.
Nel primo caso la dispersione turbolenta può essere trattata come se fosse una
diffusione molecolare di grande intensità; la dispersione nello spazio dell’inquinante deriva da una successione di spostamenti delle particelle di fluido,
tra loro scorrelati, esattamente come avviene nella diffusione delle molecole.
In questo caso estremo divengono del tutto corrette le proprietà dei modelli
gaussiani, già delineate in 3.2, che qui ricordiamo:
– il flusso di una generica quantità trasportata dalla fluttuazione
turbolenta è esprimibile con una legge di gradiente:
∂Q
< uj q >= −Dt
∂xj
– il coefficiente di diffusione turbolenta Dt in una generica direzione
vale:
Dt = σv2 Tl
ove σv2 è la varianza della componente della velocità secondo la direzione considerata, σv2 =< v 2 >, e Tl è la scala integrale lagrangiana
del campo;
304
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
– i profili di concentrazione nella sezione trasversale sono di forma
gaussiana;
– il pennacchio si allarga sottovento con legge parabolica, cfr. fig. 3.5:
x
σy2 = 2Dty t = 2Dty
U
x
σz2 = 2Dtz t = 2Dtz
U
Queste relazioni potrebbero essere dedotte considerando la dispersione di un
insieme di particelle come un processo casuale, in una prospettiva lagrangiana, e quindi confrontando i risultati che si deducono dalla trattazione statistica
delle traiettorie con quelli ben noti dell’equazione euleriana diffusiva. Tralasciando la dimostrazione, ci limitiamo a ricordare che il punto essenziale
di questo modo di procedere risiede nell’avere ipotizzato che esista una netta
separazione di scale tra il campo delle concentrazioni medie che si vuole descrivere, e il campo di moto turbolento che è agente della dispersione. Con la
supposizione che le strutture vorticose siano tutte più piccole delle dimensioni
lineari della nube o della sezione del pennacchio di inquinante, si rende questo
processo formalmente indistinguibile da quello della diffusione molecolare1 .
Nel secondo caso, la grande dimensione delle strutture vorticose che trascinano il volume di aria inquinata - e quindi la notevole durata del tempo Tl di
correlazione - rende interessante uno studio della dispersione limitato a intervalli di tempo t molto minori di Tl . Con un’ipotesi di questo tipo, il processo
può essere visto come quasi-stazionario - la dispersione di un insieme di particelle che si muovono nello spazio conservando la velocità iniziale. I lineamenti del processo sono diversi da quelli della diffusione classica; per porli
in evidenza, possiamo iniziare con lo studio di un caso piano, ove il piano
del moto contiene la direzione media del vento e una componente di velocità
trasversale.
Si consideri un insieme di particelle marcate che transita per un punto sorgente S ; le particelle hanno una componente di velocità nella direzione sottovento
1
Salvo per il fatto che una molecola possiede un moto del tutto correlato tra un urto e quello successivo, la perdita di correlazione avvenendo in modo discontinuo nell’urto, mentre una
particella di fluido è dotata di un moto la cui correlazione va annullandosi progressivamente; la distinzione comporta soltanto, tuttavia, che l’analogo turbolento del tempo libero medio
molecolare sia Tl /2 e non Tl .
305
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
poco variabile, che si può ritenere pari alla velocità media del vento, la parte
fluttuante risultando nel confronto trascurabile; mentre in direzione trasversale
presentano una velocità variabile da particella a particella, distribuita secondo
una legge di probabilità che è caratteristica della struttura locale della turbolenza. Torniamo, per ragioni di economia, alla notazione indiciale, riservando
i simboli yi e vi alle funzioni lagrangiane che rappresentano spostamento e
velocità delle particelle e quello ui (x) alla funzione euleriana che descrive il
campo di velocità. Scelto l’asse x1 nella direzione del moto medio e l’asse x2
nella direzione trasversale, si ha per ciascuna particella:
dy1 = (V1 + v1 )dt ∼ V1 dt = U1 dt
dy2 = v2 dt
ove U1 rappresenta la velocità media del vento. Poiché per ipotesi le velocità
si considerano poco variabili nell’intervallo di tempo considerato, le relazioni
differenziali si traducono nelle leggi:
y1 = U1 t
6.1
y2 = v2 t
6.2
Il simbolo t rappresenta l’intervallo di tempo trascorso dall’istante in cui la
particella è transitata per l’origine S ; la traiettoria della particella è quella di
un punto che si muove a velocità costante.
Consideriamo ora l’insieme delle N particelle; per ciascuna di esse la velocità nella direzione sottovento risulterà la stessa, essendo essenzialmente data
dalla velocità media dell’aria; la velocità traversale risulterà invece diversa da
particella a particella, secondo una distribuzione statistica che è prerogativa
del campo di moto; l’insieme delle traiettorie formerà un ventaglio di semirette uscenti da S , cfr. fig. 6.1. Mediando le equazioni 6.1 e 6.2 si ottengono gli
spostamenti medi:
< y1 >≡ Y1 = U1 t
< y2 >≡ Y2 = 0
mentre la dispersione trasversale della nube si deduce ancora dalla 6.2, dopo
averla elevata al quadrato:
< y22 >≡ σy2 = σv2 t2
6.3
La 6.3 esprime la dispersione spaziale delle particelle in funzione della dispersione σv2 ≡< v22 > delle velocità trasversali del fluido nel punto S . Esatta306
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
v₂t
S
U₁t
v₂t
v₂t
Fig. 6.1 – Dispersione di particelle in moto con velocità costante; alla distanza x1 sottovento, la distribuzione trasversale delle particelle dipende dalla distribuzione statistica
della velocità v2 .
mente come nel pennacchio gaussiano si può assumere la deviazione standard
σy come dimensione trasversale della nube di particelle; si ha, invece della
legge parabolica del caso gaussiano, la legge lineare:
σy = σv t = σv x1 /U1
ove si è indicato con x1 la distanza sottovento, misurata a partire dalla sorgente. In quanto alla distribuzione di particelle nella direzione y2 , essa presenta
una forma che è ricalcata, a parte un fattore 1/t, sulla distribuzione delle velocità trasversali del fluido. Se si indica con ψv (v2 ) la densità di probabilità
della variabile aleatoria v2 nel punto S , e con ψy (y2 , t) la densità di probabilità
dello scostamento y2 delle particelle al tempo t, si ha:
ψv (y2 /t)
U1
= ψv
ψy (y2 , t) =
6.4
t
x1
La percentuale dn/N di particelle che transitano per S con velocità compresa
tra v2 e v2 +dv2 sarà uguale, infatti, alla percentuale di quelle che si troveranno
dopo il tempo t nell’intervallo compreso tra y2 e y2 + dy2 :
dn
= ψv dv2 = ψy dy2
N
purché le variabili y2 e v2 rispettino la legge del moto:
y2 = v2 t
Combinando le due ultime relazioni, si ottiene la 6.4.
Per ogni intervallo di tempo t, purché sia minore di Tl - oppure, il che è lo stesso, in qualsiasi stazione x1 sottovento alla sorgente, purché sia x1 < Tl U1 la distribuzione spaziale delle particelle è determinata in modo univoco dal307
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
la statistica delle velocità verticali v2 alla sorgente. La qual cosa implica che
la distribuzione può avere forma diversa, come diversa può essere nello strato limite la funzione ψv . In effetti, la densità di probabilità ψv delle velocità
verticali non è in genere gaussiana e varia nello strato limite con l’altezza da
terra. In fig. 6.2 sono riportate due tipiche distribuzioni di velocità verticale
nello strato limite convettivo, a due diverse quote; né l’una, né l’altra hanno
forma gaussiana, non essendo simmetriche. Inoltre, le due sono chiaramente diverse fra loro: quella a quota più alta - a 3/4 dell’altezza h dello strato
limite - presenta un picco più accentuato di probabilità per valori negativi di
v2 . L’una e l’altra curva indicano una maggiore probabilità che le particelle di
fluido abbiano, nel passare per il punto di rilevamento, una velocità verticale
negativa, poiché è per entrambe:
∞
0
ψv dv2 >
ψv dv2
−∞
0
La maggior parte delle particelle che transitano per la sorgente risulta pertanto
essere diretta verso il basso, sebbene la velocità di quelle che transitano verso
l’alto sia generalmente più alta, così da soddisfar e la condizione che il valor
medio delle velocità verticali risulti nullo:
∞
< v2 >=
−∞
ψv v2 dv2 = 0
Nel modello di dispersione lineare le proprietà della distribuzione di velocità vengono fedelmente riflesse nella distribuzione delle concentrazioni a valle
della sorgente; in particolare, la concentrazione di particelle marcate - proporzionale alla densità di probabilità di trovare una di esse nell’intorno di una data
posizione - presenta un massimo per valori negativi di y2 , cfr. fig. 6.3.
Per passare al caso tridimensionale è sufficiente ripetere il procedimento, aggiungendo una componente di moto aleatorio lungo la direzione
orizzontale x3 :
y3 = v3 t
Definite le densità di probabilità bivariate ψv (v2 , v3 ) per le velocità, e
ψy (y2 , y3 ) per la posizione delle particelle, si ottiene senza difficoltà la legge
di diluizione sottovento:
ψv
U2
ψy = 2 = ψv 12
6.5
t
x1
La concentrazione numerica delle particelle emesse dalla sorgente puntiforme
varia sottovento come 1/t2 ∼ U12 /x21 ; la forma del pennacchio è quella di un
cono con vertice in S .
308
6.
(a)
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
ψv
(b)
-1
1
2
v₂/uc
Fig. 6.2 – Densità di probabilità della velocità verticale v2 a due diverse altezze nello
strato limite convettivo, di altezza h: (a) x2 /h = 0.75; (b) x2 /h = 0.25. La velocità v2 è
resa adimensionata con la velocità convettiva uc .
Le situazioni reali
Come era probabilmente immaginabile, le due situazioni estreme or ora descritte non si presentano mai, o quasi mai, nitidamente. Le correnti turbolente
sono connotate dalla presenza di una molteplicità di scale, e nello strato limite si hanno in linea di massima sia scale più grandi, sia scale più piccole della
dimensione lineare della nube di aria inquinata.
Si può tuttavia dimostrare che, se la turbolenza fosse omogenea, i due comportamenti estremi si troverebbero come situazioni limite di uno stesso processo
di dispersione. Nel limite per t/Tl → 0, si avrebbe il comportamento lineare:
forma del pennacchio conica e concentrazione variabile nella sezione del pennacchio in modo dipendente dalla distribuzione delle velocità fluttuanti. Per
t/Tl → ∞, invece, il processo di dispersione acquisirebbe lineamenti diffusivi: pennacchio che si allarga con legge parabolica e distribuzione gaussiana
di concentrazione al suo interno2 . La soluzione gaussiana rappresenta il modello asintotico verso cui tende la configurazione del pennacchio col passare
2
Buona parte di questi risultati è dovuta a Taylor: G.I. Taylor, Diffusion by continous movements,
Proc. London Math. Soc. 20, 1921.
309
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
ψv
y₂
(b)
(a)
v₂
S
Fig. 6.3 – (a) Distribuzione di velocità verticali.
sottovento alla sorgente, in due diverse stazioni.
(b) Concentrazione di particelle
del tempo; la sequenza di spostamenti scorrelati delle particelle di fluido cancella progressivamente l’informazione sul campo di velocità, e le particelle si
avvicinano a una distribuzione della forma più destrutturata possibile3 .
Nella maggior parte delle situazioni reali le due condizioni limite sono tuttavia
poco utilizzabili: quella che prevede t < Tl risulterebbe di fatto applicabile
solo in una regione nelle immediate vicinanze del punto di sbocco del camino,
ove i fenomeni di innalzamento del getto, biforcazione, e mescolamento con
l’aria circostante, rendono poco realistici sia lo schema della sorgente puntiforme, sia l’ipotesi che la distribuzione delle velocità verticali sia identica a
quella dell’atmosfera. Per avvicinarsi al limite opposto, occorrerrebbe invece spostarsi troppo a valle della sorgente; tenuto conto che negli strati limite
convettivi Tl è dell’ordine delle decine di minuti, e che la velocità media del
vento è dell’ordine dei 10 m/s, per apprezzare il comportamento asintotico del
pennacchio nel limite t/Tl → ∞ sarebbe necessario spostarsi a valle della
sorgente di svariati km, ove in generale il problema dell’inquinamento non si
3
La distribuzione gaussiana, o normale, richiede un solo parametro, la varianza, per essere
compiutamente individuata.
310
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
presenta in modo critico4 . Oltre a queste difficoltà, altre derivano dalla mancanza di omogeneità del moto turbolento nello strato limite, e dalla variabilità
in modulo e direzione della velocità media. La variazione nello spazio delle velocità medie agisce spesso da amplificatore dei fenomeni dispersivi, nel
senso che particelle inizialmente vicine possono essere portate dalla fluttuazione su linee di corrente dotate di velocità media notevolmente diversa, e
quindi allontanate rapidamente le une dalle altre. Può accadere in un contesto collinare, ad es., che il materiale inquinante venga trasportato in alto dalla
componente verticale della fluttuazione, e qui incontri un vento con una forte componente ortogonale rispetto alla direzione riscontrabile sul fondo della
valle. L’inquinante può finire in zone non prevedibili da chi studia il processo
senza conoscere, come quasi sempre accade, l’intero campo di moto.
Anche in situazioni di pianura il forte gradiente verticale della velocità media,
che si incontra vicino a terra, influenza in più modi la dispersione. Nello strato
superficiale, e nelle immediate vicinanze della sorgente, il pennacchio tende
a inarcarsi verso l’alto; a causa del valore positivo della derivata ∂U1 /∂x2 , le
masse di aria che passano per il punto sorgente provenendo dal basso hanno
in genere una velocità orizzontale minore di quelle che eseguono il passaggio inverso, e quindi impiegano un tempo più lungo a raggiungere una data
postazione sottovento. A parità di modulo delle velocità verticali quindi, e
di posizione x1 sottovento alla sorgente, le masse dotate di moto ascendente si allontanano di più dalla quota di partenza di quanto non facciano quelle
discendenti, cfr. fig. 6.4; il fatto produrrebbe un inarcamento verso l’alto dell’asse del pennacchio anche se la distribuzione delle velocità verticali fosse
simmetrica.
D’altra parte, anche la variazione dell’energia cinetica turbolenta nella direzione verticale produce vicino a terra un innalzamento del pennacchio, perché
comporta un incremento della velocità verticale delle particelle che transitano
per S dirette verso l’alto. In notazioni lagrangiane si può porre:
t
∂y2
∂v2
= v2 (xs , 0) +
dt
∂t
0 ∂t
4
Tralasciando il fatto che a tale distanza valori medi che siano rappresentativi del lungo periodo
possono essere valutati solo attraverso misure che si estendono nel tempo per una durata eccessiva, se confrontata col periodo in cui il campo di moto può essere considerato statisticamente
stazionario.
311
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
U₁
S
x₁
Fig. 6.4 – Diverso scostamento in verticale delle masse di aria ascendenti, rispetto
a quelle discendenti, dovuto alla diversità della velocità media orizzontale, e quindi
al diverso tempo impiegato per raggiungere la postazione x1 ; la massa ascendente,
dotata di una velocità orizzontale più bassa, ha più tempo a disposizione per salire.
ove y2 (xs , t) rappresenta la posizione di una generica particella passata per
xs al tempo t = 0, e v2 (xs , 0) la velocità verticale nell’istante del passaggio.
La derivata ∂v2 /∂t dà la derivata materiale della velocità della particella in
notazioni lagrangiane; volendo esprimerla mediante le funzioni euleriane che
descrivono il campo di moto, si può porre:
∂u2
∂v2
∂u2
∂u2
=
+ U1
+ uj
∂t
∂t
∂x1
∂xj
ove:
∂u2
uj
=
∂xj
∂
∂
∂
u1
+ u2
+ u3
∂x1
∂x2
∂x3
u2
∂
∂
∂
+ u2
+ u3
u1
u2 =
∂x1
∂x2
∂x3
∂
1 ∂u22
∂
∂u1 ∂u3
(u1 u2 ) +
(u2 u3 ) − u2
+
=
+
=
∂x1
∂x3
∂x1 ∂x3
2 ∂x2
∂
∂u2
∂
(u1 u2 ) +
(u2 u3 ) + 2
=
∂x1
∂x3
∂x2
l’ultimo passaggio essendo conseguenza della condizione di incomprimibilità:
∂u2
∂u1 ∂u3
+
=−
∂x1 ∂x3
∂x2
312
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Consideriamo ora il consueto insieme di N particelle in N campi, omogenei
in senso statistico nei piani orizzontali. Mediando tra le N particelle si ottiene:
< v2 >=< u2 >= 0
∂
∂
< u1 u2 >=
< u2 u3 >= 0
∂x1
∂x3
t
∂
∂
< u22 > dt
< y2 >=
∂t
0 ∂x2
e l’ultima equazione può essere approssimata come:
∂
∂
2
< y2 >=
< u2 > t + o(t)
∂t
∂x2
per valori piccoli del tempo. Quando la derivata ∂ < u22 > /∂x2 è positiva
- come accade nella parte bassa dello strato limite convettivo, cfr. fig. 5.9 - il
baricentro della nube sale verso l’alto con velocità crescente.
Non è chiaro, almeno per chi scrive, che rilievo abbiano nella dinamica del
pennacchio questi aspetti messi in evidenza con una approssimazione lineare, tanto più che nella vicinanza della sorgente sono destinati a confondersi
con altri più rilevanti, già ricordati, dovuti allo sbocco del getto dal camino
o dall’eventuale valvola di sfiato che emetta all’aperto una sostanza pericolosa. Tuttavia essi sono in accordo - come lo è la constatazione che la velocità
verticale delle particelle che salgono è in genere più grande in modulo della
velocità verticale delle particelle che scendono5, cfr. fig. 6.2 - con una configurazione istantanea del pennacchio spesso osservabile in condizioni instabili
dell’atmosfera, e schizzata in fig. 6.5. Si osserva spesso un pennacchio, emesso nella regione bassa dello strato limite, che dopo una oscillazione poco accentuata vicino alla sorgente sembra inerpicarsi di colpo verso l’alto, a una
distanza tale dallo sbocco che l’effetto non può più attribuirsi a una maggiore
temperatura del gas all’uscita dal camino. Per interpretare il disegno, occorre
ricordare che le particelle di fluido non seguono, nel loro movimento, la traccia sinuosa del pennacchio - la figura rappresenta una istantanea di un campo
5
È una conseguenza delle proprietà delle correnti termiche ascendenti, che risultano più strettamente localizzate del ricircolo verso il basso che le compensa nel bilancio di massa. Occupando, in una generica sezione ottenuta con un piano orizzontale, un’area di passaggio minore, le
correnti ascendenti non possono che presentare velocità verticali nettamente più alte.
313
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
A
Fig. 6.5 – Pennacchio in atmosfera instabile. La traiettoria della particella A, emessa
dalla sorgente, è indicata con la linea spezzata.
non-stazionario e l’asse del pennacchio costituisce una linea marcata6 - ma
percorrono traiettorie che il fumo non rende visibili; in particolare le particelle che si trovano, all’istante della rappresentazione, nella zona del pennacchio
in alto a destra, sono state emesse dal camino all’interno di una termica ascendente trascinata a valle dal vento, e da quel momento hanno continuato a salire,
salvo fluttuazioni di piccola scala.
Pennacchio in condizioni neutre dell’atmosfera
Come abbiamo fatto per le configurazioni meteorologiche di grande scala,
conviene classificare alcune forme tipiche di pennacchio che si presentano
frequentemente7. In situazioni caratterizzate da scarsa rilevanza delle correnti
termiche, quindi con vento teso in periodo notturno, oppure sotto una spessa
6
Cfr. C. Cancelli, 1.5, op. cit.
7
Nella letteratura messa in circolazione dall’Ente federale di Controllo dell’Ambiente degli Stati Uniti (EPA) queste configurazioni ricorrenti vengono etichettate con nomi particolari: con
la nota disinvoltura del gerundio inglese, la forma del pennacchio in atmosfera neutra viene
chiamata coning, quella in atmosfera fortemente instabile looping, quella in condizioni fortemente stabili fanning et cet., cfr. S.B. Carpenter et al., Principal Plume Dispersion Models:
TVA Power Plants, J. Air Pollution Control Association, vol. 21, 8, 1971.
314
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.6 – Tipico pennacchio in condizione neutra dell’atmosfera; la forma è all’incirca
conica, con un angolo di apertura variabile tra 10o e 20o .
copertura di nubi in periodo diurno, la forma tipica del pennacchio è quella
disegnata in fig. 6.6 e giustifica il suo nomignolo inglese, coning. A giudicare dai dati delle campagne di misura, questo è il caso che meglio si accorda
con le previsioni del modello gaussiano. La concentrazione massima al suolo
si può calcolare con la tecnica della sorgente immagine, la quale dà nei punti
vicini alla superficie una concentrazione doppia di quella che vi sarebbe se la
superficie non vi fosse, cfr. 3.2. Il valore teorico del massimo è (cfr. nota 12,
p. 131):
Qmax =
2 Ṁq
Ṁq
∼
e πh2s U
πh2s U
6.6
Può essere interessante esprimere Ṁq mediante i dati di emissione del camino;
indicato con ro il raggio di questo, con wo la velocità di uscita del gas, e
con Qo la concentrazione al momento dello sbocco del particolare inquinante
considerato - il valore di emissione - si ha:
Ṁq = Qo wo πro2
Sostituendo questa espressione nella 6.6 si ottiene la formula:
2
ro
Qmax
wo
=
6.7
Qo
hs
U
che fornisce il massimo della concentrazione al suolo in funzione delle condizioni di emissione. Occorre tuttavia ricordare che hs non rappresenta l’altezza
geometrica ho del camino, ma l’altezza ho + Δh dell’asse del pennacchio;
l’innalzamento Δh può essere valutato con le formule riportate in 3.2.
315
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
S
Fig. 6.7 – Forma istantanea di un pennacchio immesso nello strato limite convettivo, in
una situazione atmosferica caratterizzata da venti deboli e forti correnti termiche.
Pennacchio in condizioni instabili dell’atmosfera.
inquinanti nello strato limite convettivo
Distribuzione di
Quando il vento è debole, con una velocità di pochi metri al secondo8, mentre gli scambi termici dell’atmosfera con il terreno sono vigorosi - giornata
insolata e terreno asciutto - il pennacchio di un impianto di grande potenza
viene usualmente immesso ad altezza tale da trovarsi in pieno strato limite
convettivo. La dinamica del pennacchio viene dominata dalle grandi strutture ricircolanti, di scala geometrica pari all’altezza h dello strato limite o di
poco inferiore, innescate dall’ascesa di masse di aria calda. La forma istantanea del pennacchio mostra grandi volute, ovviamente non stazionarie, che si
presentano ad un osservatore nel modo illustrato in fig. 6.7.
Se si vuole trovare una configurazione che riveli qualche parentela con il cono o con il paraboloide di cui abbiamo spesso parlato, occorre considerare la
sovrapposizione di forme istantanee che si succedono nel tempo, e la concentrazione media che ne deriva. Anche operando in questo modo, tuttavia, si
ottengono risultati che sono nella vicinanza della sorgente in povero accordo
con le previsioni del modello gaussiano. Il fatto è che, con questo tipo di pen-
8
Deve avere una velocità inferiore a 2 m/s ad una altezza dal suolo di 10 metri, ad es., perché
la situazione possa essere definita fortemente instabile, secondo il criterio di classificazione di
Pasquill.
316
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.8 – Forma istantanea di un pennacchio immesso nello strato limite convettivo: l’inquinante è trasportato al suolo a breve distanza dal camino da una struttura
vorticosa di scala ∼ hs .
nacchio, si hanno frequentemente situazioni come quella schizzata in fig. 6.8,
con l’inquinante trascinato al suolo a breve distanza dal piede del camino da
una struttura vorticosa di scala ∼ hs .
Si hanno elevate concentrazioni al suolo di carattere intermittente, cfr. fig. 6.9,
i cui valori di picco sono vicini a quelli che si troverebbero sull’asse del pennacchio, se questo fosse orizzontale, a una distanza dallo sbocco pari, più o
meno, alla lunghezza dell’arco descritto dal pennacchio curvo - linea a tratto e
punto di fig. 6.8. Vale anche in questo caso la legge che vuole la concentrazione al suolo variabile con l’altezza del camino come 1/h2s . Poiché la struttura
vorticosa che piega il pennacchio verso il basso è di grande scala, si può adottare il risultato del modello lineare di dispersione, che prevede una densità di
particelle proporzionale a 1/t2 , essendo t il tempo di volo. Posto nella 6.5:
t ∼ hs /σv , ove σv rappresenta la deviazione standard della fluttuazione verticale, si ottiene per il valore di picco una espressione della forma già nota.
Il valore medio della concentrazione dipende invece dalla frequenza con cui
si presentano nell’intorno di S strutture vorticose di scala ∼ hs ; quelle decisamente più grandi e quelle decisamente più piccole sono per opposti motivi inefficaci nel precipitare l’effluente al suolo nella posizione considerata.
I modelli gaussiani non danno buoni risultati nella previsione di questi valori medi; qualcosa di più preciso si può ottenere con i modelli lagrangiani, i
quali richiedono tuttavia che si conosca la distribuzione statistica delle velocità verticali nella regione della sorgente. I modelli lagrangiani riproducono
un insieme di traiettorie di particelle basandosi sulla statistica delle velocità
317
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
qt
t
Fig. 6.9 – Concentrazione istantanea al suolo in vicinanza del camino, in una
situazione fortemente instabile dell’atmosfera.
fluttuanti del fluido; la concentrazione si calcola a posteriori in base alla distribuzione dei punti di arrivo delle traiettorie, attribuendo ad ogni punto un
quantum di inquinante9 . L’argomento sarà ripreso al capitolo 7.5.
Nello strato limite convettivo l’innalzamento dell’inquinante si arresta al bordo superiore dello strato, che può essere considerato come una superficie riflettente, esattamente come il suolo, e messo nel conto con la tecnica dell’immagine. Quando l’altezza dello strato limite è relativamente modesta10 , al di
sotto dei 500 m, la limitazione dell’ascesa produce una asimmetria nel pennacchio a cui viene dato il nome di trapping, cfr. fig. 6.10. Sembra che in
tale configurazione si trovino al suolo valori di concentrazione da due a tre
volte più alti di quelli previsti senza riflessione in alto, vedi S.B. Carpenter
et al., op. cit. È probabile che l’affermazione si riferisca a misure effettuate al suolo a una certa distanza dalla sorgente, e non ai valori massimi che
si trovano relativamente vicino. In effetti, procedendo verso valle, la distribuzione dell’inquinante confinato tra il terreno e la quota di inversione, come
viene comunemente chiamata l’altezza h dello strato limite, si avvicina a uno
condizione di uniformità. Il comportamento asintotico del pennacchio prefigura dunque uno stato di concentrazione uniforme con la quota, il cui valore
9
10
Una presentazione delle proprietà dei modelli lagrangiani e un esempio di applicazione particolare - lo studio del pennacchio di un inceneritore - si trovano in: C. Cancelli, A. Cenedese,
G. Leuzzi, Modelli lagrangiani per la valutazione della dispersione di inquinanti, Ingegneria
Sanitaria, 4, 1989.
Accade in regime anticiclonico, sopratutto durante ilperiodo invernale.
318
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.10 – Pennacchio intrappolato dal bordo superiore dello strato limite.
non dipende dall’altezza hs del camino, ma da quella h dello strato limite. La
concentrazione continua a diminuire con la distanza dalla sorgente, sia pure
con legge diversa, perché la dimensione trasversale del pennacchio continua
a crescere, anche quando quella verticale rimane costante. Vi è una transizione tra quanto avviene in punti vicini al camino, ove la concentrazione al suolo
dipende dall’altezza hs , e quanto avviene in punti più lontani ove la concentrazione al suolo non dipende dalla posizione della sorgente, ma dall’altezza
globale dello strato limite. La distribuzione uniforme con l’altezza rappresenta una condizione di equilibrio statistico, in cui ogni particella di inquinante
ha la stessa probabilità di trovarsi in ogni luogo accessibile. Si tratta di una
proprietà generale che si riferisce a un insieme di particelle dotate di moto erratico all’interno di un dominio limitato; è valida anche per lo strato limite
convettivo. La condizione di pari probabilità dell’altezza delle particelle implica che risultino distribuite in modo uniforme con l’altezza tutte le grandezze
trasportate dalle particelle per convezione, per cui si possa scrivere:
D
(•) = 0
6.8
Dt
Si noti che la 6.8 vale per la temperatura potenziale, o per la concentrazione di
qualsiasi sostanza, purché la concentrazione sia espressa in unità di massa di
sostanza per unità di massa di miscela, oppure in numero di moli per numero
di moli, oppure ancora in unità di massa per normal metri cubi. Tutte queste
misure non sono influenzate dalla variazione di densità dell’aria, che si ha nello strato limite per effetto della variazione statica della pressione con la quota.
Non vale per le densità q(kg/m3 ), a cui noi usiamo fare riferimento, che sono
invece influenzate dalla variazione con la quota della densità dell’atmosfera.
319
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Dalla relazione (cfr. app. A):
∂
∂q
+
(uj q) = 0
∂t ∂xj
sicuramente vera in assenza di processi di diffusione molecolare, si ottiene
infatti:
∂uj
1 Dρ
1 Dq
=
=−
= 0
q Dt
∂xj
ρ Dt
da cui risulta come q non soddisfi la 6.8, mentre la soddisfa la concentrazione
massica:
q
c=
ρ
Pennacchio in condizioni fortemente stabili. Fumigazione
Nel periodo notturno, con venti al di sotto di 2 ÷ 3 m/s, l’attività turbolenta
è quasi inesistente, o comunque limitata a qualche metro di altezza sul terreno. La temperatura potenziale ha gradiente positivo ovunque; si usa dire che si
ha inversione al suolo. Un pennacchio emesso da camino si trova in atmosfera stratificata stabilmente, in un campo di moto che di fatto non è turbolento.
Una volta che sia esaurita la fase iniziale, in cui viene dissipata l’energia cinetica del getto dovuta alla velocità di emissione e livellata la differenza di
temperatura, il processo di dispersione può ritenersi concluso, e il pennacchio
viene trascinato lentamente a valle come un nastro compatto, con qualche lenta oscillazione o deriva nel piano orizzontale. La forma del pennacchio, che
viene etichettata fanning, è schizzata in fig. 6.11. Durante la fase notturna non
si ha dispersione fino al suolo, almeno che non si abbia una discesa per gravità di particolato di peso specifico maggiore di quello dell’aria; ma sul far della
mattina, si trova usualmente un nastro compatto di inquinante che si prolunga, più o meno serpeggiando in orizzontale, per svariati chilometri. Quando
il terreno si scalda per la radiazione solare, iniziano a formarsi delle correnti
termiche che si estendono progressivamente verso l’alto; giunte all’altezza del
pennacchio, lo afferrano nel loro moto di ricircolo e lo trascinano a terra, cfr.
fig. 6.12. A questo fenomeno, che ha luogo due o tre ore dopo il sorgere del
sole, si dà il nome di fumigazione. Le fumigazioni producono concentrazioni elevate al suolo, con una durata tipica compresa tra trenta minuti e un’ora,
poiché con il passare del tempo i moti di ricircolo crescono di scala e disper-
320
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.11 – Pennacchio in atmosfera molto stabile; dopo una prima fase di mescolamento, dovuta all’energia cinetica del getto e alla differenza di temperatura tra il getto e
l’aria circostante, il pennacchio viene trasportato da un campo di moto sostanzialmente
laminare, senza ulteriore variazione di concentrazione.
hs
Fig. 6.12 – Dinamica della fumigazione: con il procedere del riscaldamento del terreno,
le correnti termiche che si vanno sviluppando giungono ad afferrare il pennacchio,
stabilizzatosi ad altezza hs , e lo disperdono fino al suolo.
dono l’inquinante in strati sempre più alti. Per il calcolo della concentrazione
di picco al suolo si può considerare che una distribuzione lineare di massa,
con massa per unità di lunghezza pari a Ṁq /U , venga dispersa da strutture
vorticose di scala hs su una superficie h2s :
Qh2s =
Ṁq
U
da cui si ottiene la consueta relazione:
Ṁq
6.9
h2s U
Nel considerare la 6.9, occorre tuttavia tener conto che U rappresenta questa
volta la velocità notturna del vento, spesso molto bassa, e hs l’altezza a cui si
è stabilizzato l’asse del pennacchio:
Q=
321
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
hs = ho + Δh
ove l’innalzamento Δh rispetto alla sorgente può essere calcolato con la formula di Briggs, o con una delle altre comunemente usate per questo scopo11.
Sebbene le varie formule diano spesso risultati diversi, l’innalzamento del pennacchio in una condizione di forte stabilità - in quella che viene qualche volta
indicata come una forte inversione - risulta poca cosa, fra dieci e venti metri,
anche in impianti di ragguardevole potenza. Di conseguenza la 6.9 può dare
alte concentrazioni transitorie al suolo, in una fascia di terreno che si snoda per
un paio di decine di km, della larghezza di due o trecento metri. Il fenomeno
della fumigazione ha poca incidenza, per motivi di durata, sulle medie giornaliere, ma può porre delle difficoltà quando vengano prescritti valori orari di
concentrazione, da non superare nell’anno se non in un numero limitato di occasioni, come accade ad es. per gli ossidi di azoto. Vi sono situazioni orografiche in cui si incontrano spesso le condizioni più sfavorevoli; per citarne una,
nella piana racchiusa dall’arco delle Alpi occidentali e dall’Appenino, le correnti catabatiche che fluiscono dallo sbocco delle valli formano nella stagione
invernale una pozza di aria estremamente stabile e quasi immota, cumulando
i due fattori più critici per la fumigazione successiva.
Interferenza con ostacoli
Il quadro si complica ulteriormente quando la corrente che trasporta il materiale inquinante incontra un ostacolo: qui si ha formazione di punti di arresto in
parete, convergenza o divergenza delle linee di corrente della velocità media,
interazione con strati limite superficiali, cattura di inquinante nella regione di
scia, rapida variazione della struttura del campo fluttuante. L’argomento è stato molto studiato con risultati che non sempre concordano; per avere un’idea
dei problemi e delle linee di ricerca che riguardano lo studio delle correnti con
struttura complessa si può leggere la rassegna di Hunt, 198512 .
11
Si veda, per una rassegna sull’argomento, G.A. Briggs, Plume rise predictions, Lectures on Air
Pollution and Environmental Impact Analysis, 4, American Meteorological Society, Boston,
1975.
12
J.C. Hunt, Turbulent diffusion from sources in complex flows, Ann. Rev. Fluid Mech., 17, 1985.
322
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.13 – Pennacchio catturato dalla scia.
Dei vari aspetti, ci limitiamo a ricordarne due che riguardano entrambi il comportamento dell’inquinante a valle dell’ostacolo. Il primo deriva dalla cattura
dell’inquinante nella scia: le strutture vorticose di piccola scala che separano
la corrente esterna dalla scia, trasferiscono il materiale inquinato all’interno
di questa regione di fluido ricicolante, ove si disperde su tutta la sezione, cfr.
fig. 6.13. Quando la particella di inquinante viene a trovarsi in quella parte della scia più vicina all’ostacolo, ove la velocità media di trasporto verso valle è
quasi nulla, è possibile che vi rimanga per molti cicli; se è di massa specifica
maggiore di quella dell’aria, può impattare sulle pareti. L’impatto è facilitato dalla presenza di vortici di piccola scala, i quali producono configurazioni
istantanee di linee di corrente con forte curvatura. In effetti, la traiettoria di
una particella solida deve, per intersecare una superficie lambita dal fluido,
tagliare le linee di corrente del campo di velocità del fluido stesso, che alla superficie sono necessariamente tangenti; la cosa può accadere solo per effetto
centrifugo. A questo fenomeno è probabilmente da attribuire il fatto curioso
che sono spesso le pareti a contatto con la scia, invece di quelle investite frontalmente dal pennacchio, a sentire maggiormente le conseguenze dell’impatto,
qualunque esse siano, annerimento, corrosione, et cet.
Più lontano dall’ostacolo, le particelle di inquinante sono trasportate verso valle dalle strutture vorticose che si distaccano, e vengono energicamente disperse prima che l’energia cinetica della scia si esaurisca. L’effetto complessivo
consiste in una accelerazione del processo dispersivo, rispetto a quanto accadrebbe se l’ostacolo non vi fosse, e quindi in un maggiore allargamento della
sezione retta del pennacchio. In valli profonde, o in canyons dalla geometria contorta, sono stati misurati coefficienti di dispersione turbolenta più alti
di quelli previsti dalla classificazione di Pasquill; è probabile che l’effetto sia
dovuto alla presenza di numerose scie interagenti fra loro.
Un secondo effetto che merita di essere ricordato è l’abbassamento del pennacchio, che si può avere come conseguenza dell’interazione con un ostacolo,
323
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
U₁
(a)
x₂
δ
ω
U₁
ω
ωs (b)
ω
ω
(d)
(a)
ωs
ωs
Fig. 6.14 – Interazione di uno strato limite di altezza δ con un ostacolo che lo sovrasta: (a) vista laterale; (b) vista prospettica della deformazione del filetto vorticoso; (c)
mulinello generato dallo stiramento dell’asse del vortice, in vista laterale, ed erosione
nell’intorno del punto di arresto della corrente; (d) sezione ortogonale alla corrente, vista da valle, ove due strutture controrotanti di vorticità secondaria inducono un moto
discendente dietro l’ostacolo.
quando la stratificazione dell’atmosfera è stabile o neutra. L’importanza della diminuizione di hs si legge facilmente in formule come la 6.6, sebbene in
questa discussione la 6.6 non vada presa alla lettera, non essendo vero che si
possono ottenere concentrazioni arbitrariamente grandi, riducendo hs a poco
o niente. Esiste un limite per l’incremento della concentrazione al suolo, che
deriva dal fatto che nessun spostamento o distorsione della nube di inquinante può produrre concentrazioni più alte di quella massima esistente all’interno
della nube nello stato iniziale del processo. In ultima analisi, il processo di-
324
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
spersivo ha le stesse proprietà qualitative della diffusione molecolare: non
esiste evento che possa portare all’innalzamento dei picchi. Il peggio che possa accadere è che il volume di fluido con massima concentrazione di inquinante, che si trovava sull’asse del pennacchio, venga estroflesso e abbattuto
verso terra. Detto questo, la diminuizione di altezza dell’asse di un pennacchio compatto può produrre concentrazioni al suolo più grandi alcune volte di
quelle teoriche calcolabili nell’ipotesi che l’asse del pennacchio si mantenga
orizzontale. Il caso di abbassamento del pennacchio illustrato in fig. 3.9, ove è
schizzato un impianto collocato sottovento a una linea di colline, si commenta
da solo. Il calcolo della concentrazione massima al suolo può farsi come per i
punti vicini al camino nello strato limite fortemente instabile, cfr. fig. 6.8, solo che ora la configurazione curva è, o può essere, quasi stazionaria, e quindi
i valori medi di lungo periodo risultano più alti di quelli che si trovano nello
strato limite convettivo su terreno piano.
Si può avere un abbassamento del pennacchio anche in situazioni meno ovvie,
quando il vento investe un ostacolo isolato. Si consideri una regione vorticosa
- uno strato limite di ridotto spessore - aderente a terra, che investe un ostacolo
alto perpendicolare al terreno. In fig. 6.14 (a) è schizzato il caso in questione;
il cilindro investito può rappresentare il pilone di un ponte, se il fluido è acqua,
oppure una torre, o un palo di notevole altezza, se il fluido è aria. La regione vorticosa è quella di spessore δ, caratterizzata da una rapida variazione di
velocità con la distanza da terra.
In senso qualitativo, la dinamica dell’interazione dello strato limite con l’ostacolo può essere afferrata trattando il sistema fluido come un sistema a parametri concentrati, e interpretando il processo dinamico come interazione tra
campo di velocità e campo vorticoso. Nello schema, le linee vorticose dello
strato limite vengono raggruppate in un unico filetto perpendicolare al piano
del moto, e questo si considera trasportato per convezione come se fosse una
linea materiale13 , finché non si imbatte nel cilindro, ove incontra inevitabilmente un punto di arresto, cfr. fig. 6.14 (b). Ma poiché le ali del filamento,
non trovando ostacoli, continuano ad avanzare come la cavalleria di Annibale
a Canne, la linea d’asse del vortice si deforma come è indicato in figura, con
due conseguenze:
13
Si veda il breviario posto a conclusione del cap. 4, C. Cancelli, op. cit.
325
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
– si ha un forte stiramento dell’asse, e quindi intensificazione della
vorticità nell’intorno del punto di arresto, la quale si rivela nella
comparsa di un mulinello che può erodere il terreno, cfr. fig. 6.14 (c);
– la linea vorticosa a valle dell’ostacolo assume un’inclinazione che fa
comparire una componente ωs di ω , parallela alla direzione originaria del vento. Questa componente di vorticità inizialmente inesistente prende il nome di vorticità secondaria, e induce un moto nel piano
della sezione retta della corrente, si veda fig. 6.14 (d).
Il mulinello può, se il terreno non è coerente, creare problemi di stabilità a un
pilone; ma l’effetto che interessa il moto di un eventuale pennacchio è il secondo. Ai due lati dell’ostacolo la vorticità secondaria dà luogo a due strutture
controrotanti, che inducono al centro della figura un moto discendente.
L’effetto che abbiamo appena descritto è puramente inerziale; può essere interessante analizzare quanto avviene nell’incontro di una corrente con un ostacolo in grado di innescare fenomeni dinamici di origine termica. Consideriamo
una corrente che investe una collinetta, la cui superficie sia una volta più fredda, e l’altra più calda dell’aria che la lambisce. I campi di moto reali sono quasi
sempre complessi, ma noi possiamo ricorrere a una rappresentazione schematica. Cominciamo col dividere, memori del comportamento dello strato limite
terrestre, la corrente incidente in una regione bassa, dominata dall’effetto inerziale appena descritto, e in una regione alta ove gli effetti termici sono più
importanti di quelli inerziali. Facendo riferimento alla fig. 6.15, ove è schizzata una sezione della collina ottenuta con un piano ortogonale alla direzione
del vento, vista da valle, si possono individuare quattro settori. Nei settori I
e IV si ritiene che l’effetto dominante sia quello inerziale, e che si abbiano
pertanto due strutture controrotanti di vorticità secondaria concordi nel produrre una velocità discendente nella parte centrale della figura; nei settori II e
III, ove il gradiente di temperatura potenziale Θ tende a disporsi ortogonale ai
fianchi della collina, si ha un campo di moto determinato dalla generazione di
vorticità, con tasso:
1
Δω
= − ∇Θ × g
Δt
Θ
dovuta all’accoppiamento tra il gradiente di temperatura potenziale e l’accelerazione di gravità. Anche questo secondo fenomeno produce due vortici controrotanti, nei settori II e III essendo di segno opposto l’inclinazione dei fianchi
326
6.
II
ŲƓ
I
Ɠs
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
III
ŲƓ
Ɠs IV
Fig. 6.15 – Strutture vorticose nel piano ortogonale alla corrente, vista da valle, attorno
a una collina più fredda dell’aria circostante.
Fig. 6.16 – Pennacchio in atmosfera stabile, deviato lateralmente e verso il basso da
un rilievo montuoso.
della collina; ma il loro effetto sul moto secondario dipende dalla temperatura della superficie solida. Quando la temperatura della superficie è minore di
quella dell’aria sovrastante, ∇Θ è rivolto verso l’atmosfera, e il senso della vorticità generata è tale da indurre una ulteriore discesa della corrente, cfr.
fig. 6.15. In questo caso gli effetti delle quattro strutture vorticose si sommano nell’abbattere verso il suolo un eventuale pennacchio incidente. Sebbene la
discussione sia stata svolta con una brutale semplificazione, essa può servire
a comprendere configurazioni come quella schizzata in fig. 6.16, ove un pennacchio in condizioni di atmosfera molto stabili viene deviato lateralmente e
verso il basso da un rilievo montuoso.
Naturalmente, la situazione cambia quando la superficie della collina è più calda dell’aria. Possiamo immaginare che le strutture vorticose in basso conservino almeno il senso di rotazione del caso precedente, ma quelle in alto inevitabilmente lo invertono, innescando sulla cima della collina un moto ascendente,
come in fig. 6.17. Si noti che nella regione intermedia tra le strutture inferiori
e quelle superiori si ha un flusso diretto verso la zona centrale che compensa
l’innalzamento di aria al di sopra. In forma elementare, quello descritto è il
327
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
II
ŲƓ
I
III
ŲƓ
Ɠs
Ɠs
IV
Fig. 6.17 – Strutture vorticose in un piano ortogonale alla corrente, viste da valle,
attorno a una collina più calda dell’aria circostante.
processo di involo di una termica; l’eventuale pennacchio seguirebbe la stessa
sorte, cfr. fig. 6.18.
6.2.
DEPOSIZIONE DI INQUINANTI SUL SUOLO
Gran parte delle sostanze inquinanti immesse nell’atmosfera finisce col depositarsi al suolo, che viene progressivamente contaminato. Detto per inciso, è
questo l’aspetto più inesorabile, insieme alla contaminazione delle falde, del
problema dell’inquinamento; molte sostanze sono infatti bioindegradabili o
quasi - hanno tempi di emivita molto lunghi - e quindi si accumulano progressivamente, avvelenando una percentuale crescente della superficie disponibile.
Il materiale inquinante liberato in atmosfera può presentarsi in fase gassosa,
oppure nella forma di particelle solide o liquide di piccole dimensioni, il cosiddetto particolato; in entrambi i casi, prima di depositarsi al suolo gli inquinanti
hanno una storia in genere complessa, di trasformazioni fisiche e chimiche, in
tempi molto variabili; si va dai pochi minuti di sospensione, prima di precipitare al suolo, del particolato più pesante, alle decine di giorni di vita nel regno
ampio dei venti della frazione più leggera. Inoltre, il materiale depositato può
essere risospeso dalle raffiche di vento - esattamente come la polvere che si al-
328
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.18 – Involo di un pennacchio nell’incontro con un rilievo montuoso, in una
condizione instabile dell’atmosfera.
za in mulinello agli angoli delle strade - e trasportato da qualche altra parte; ad
es., l’allargamento progressivo della fascia contaminata da metalli pesanti che
si trova a cavallo dei grandi assi di traffico avviene attraverso questo effetto
meccanico, che non è tenuto in conto nei modelli di calcolo della dispersione.
Gli inquinanti sospesi in atmosfera subiscono trasformazioni chimiche, che
vengono usualmente suddivise in due tipi diversi, a secondo della sorgente di
energia: le reazioni termiche e quelle fotochimiche. Subiscono anche trasformazioni fisiche, poiché condensano ed evaporano, coagulano per collisione di
particelle diverse, si rompono in parti per l’azione meccanica dell’aria che le
circonda, se questa è dotata di velocità relativa sufficiente. L’insieme delle
trasformazioni può ricevere una veste formale ineccepibile, nel senso che si
possono scrivere le equazioni evolutive14 di ciascun componente del sistema
14
Si tratta di bilanci di massa delle varie grandezze, che hanno la forma consueta, salvo per la
presenza di numerosi termini di sorgente. I termini di sorgente rappresentano la rapidità con
cui la massa di una determinata specie, contenuta in una particolare fase, varia per effetto o
delle reazioni chimiche o delle trasformazioni fisiche a cui abbiamo accennato. Per una sintesi
dell’argomento, si veda: J.M. Hales, Atmospheric transformations of pollutants, Lectures on air
pollution and environmental impact analyses, American Meteorological Society, Boston, 1975.
329
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
materiale, in fase acquosa o in aria. Il sistema delle equazioni così ottenuto
è tuttavia troppo complesso perché possa essere risolto; le equazioni possono
essere utili per comprendere alcuni processi elementari. In effetti, i modelli in commercio per il calcolo della dispersione si limitano a calcolare, e non
sempre, gli effetti delle trasformazioni chimiche più immediate, rinunciando a
descrivere l’evoluzione a lungo termine degli inquinanti.
Per tornare alla deposizione al suolo, si usa distinguere tra deposizione secca
e deposizione umida. Con il primo termine si indica il processo di rimozione di particelle e gas dall’atmosfera che avviene vicino al suolo, su superficie
asciutta o bagnata, per effetto del moto turbolento dell’aria, o del moto di caduta gravitazionale delle particelle pesanti. Per deposizione umida, si intende
la ripulitura intermittente dell’atmosfera che è opera della pioggia; catturati dalle gocce, gli inquinanti vengono trascinati al suolo. Cominciamo con il
primo argomento che presenta molti aspetti attinenti alla dinamica dei fluidi.
Deposizione secca
Si assume che il flusso Fd con cui una determinata sostanza si deposita al
suolo, in assenza di piogge, si possa esprimere come:
Fd = vd Qs
6.10
ove Qs rappresenta la concentrazione media della sostanza in vicinanza della superficie. Quando la 6.10 è usata in un procedimento di previsione, si
adotta per Qs il valore di concentrazione al suolo15 fornito dal calcolo della
dispersione dell’inquinante in atmosfera:
Qs = Q(x, y, 0)
15
Nel calcolo della dispersione di una sostanza in atmosfera si assume che il suolo si comporti
come una superficie riflettente; detto in termini più aderenti alla realtà fisica, si suppone che tutte le particelle o molecole di inquinante che giungono sulla superficie, tornino in sospensione.
Pertanto il calcolo di Q(x) viene svolto come se fosse: Fd = 0, e di conseguenza fosse altrettanto nullo il flusso convettivo turbolento immediatamente al disopra. Il profilo calcolato delle
concentrazioni medie presenta una tangente verticale, cfr. fig. 6.19, nel punto di incontro con
il terreno, il che rende la scelta dell’altezza in cui assumere Qs poco critica. Un metro più in
alto, o più in basso, non fa grande differenza.
330
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Z
Q
Fig. 6.19 – Profilo di concentrazione di un inquinante vicino al suolo. Nell’ipotesi che
si abbia una completa risospensione, la componente verticale del flusso turbolento
(−Dt ∂Q/∂z) non può che annullarsi vicino al suolo, il che comporta che la tangente al
profilo Q(z) risulti verticale.
Nelle indagini sperimentali, Qs è usualmente misurato ad un metro di altezza
al di sopra del terreno, oppure al di sopra della copertura arborea, nel caso che
questa sia presente; nel caso di misure effettuate sulla superficie del mare, Qs
è misurato ad una altezza di 10 ÷ 15 m.
Nella 6.10, il termine vd ha le dimensioni di una velocità caratteristica, a cui si
dà il nome di velocità di deposizione. Poiché vd non dipende da Qs , la 6.10 è
una relazione lineare, e come tale asserisce che la probabilità di una particella, o molecola, di depositarsi sul terreno non è influenzata dalla presenza delle
altre. A parte questa premessa, che si presenta come benevola, la semplicità della 6.10 è ingannevole; la velocità di deposizione vd risulta dipendere da
un numero molto alto di fenomeni, caduta per gravità, dispersione turbolenta e diffusione browniana, effetti di inerzia, effetti vari di foresi16 , attrazione
elettrostatica. Anche se si limita il confronto ai risultati di una stessa campa-
16
Si indicano con questo termine i fenomeni che producono una forza risultante su una particella,
a causa di condizioni varie di disuniformità nel suo intorno. Nelle immediate vicinanze di
una superficie, si hanno gradienti di temperatura, di umidità assoluta, di campo elettrico; tutti
agiscono, almeno in teoria, sulla dinamica della deposizione.
331
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
gna di misure - stessa superficie e stesso inquinante - si trovano nei valori di
vd variazioni di un ordine di grandezza; mentre se si considera l’insieme dei
risultati sperimentali si trovano, per i gas, variazioni di quattro ordini di grandezza, e per il particolato di almeno tre. È del tutto evidente che sia il processo
di impatto delle particelle, sia quello di cattura da parte del terreno - se vi è
risospensione, la deposizione risulta nulla - dipendono in modo critico, e non
del tutto chiarito, da un numero di fattori che usualmente non sono noti, né a
maggior ragione sotto controllo17 . Qualche volta il calcolo di Fd viene affrontato adottando un valore di vd pari a 10−2 m/s, scelto apparentemente con il
criterio di stare in mezzo, più o meno, alle velocità di deposizione di particelle
con un diametro compreso tra 1 e 10 μm.
In alcuni dei modelli più recenti, la velocità di deposizione viene calcolata secondo un procedimento che introduce l’idea della resistenza alla deposizione.
Ne diamo un breve cenno. Si comincia col mettere in conto il fatto che la deposizione è influenzata, quando la particella è più densa dell’aria, dalla gravità,
e si introduce una velocità terminale di caduta, vg , dovuta al campo gravitazionale. La velocità vg è la velocità stazionaria di caduta che la particella
raggiungerebbe in aria ferma, in assenza di tutti i fenomeni appena ricordati;
si può pertanto calcolare con considerazioni puramente meccaniche, con un
notevole grado di certezza. Tutto il resto è riassunto in una seconda velocità vd , che non ha un nome specifico, mentre la velocità di deposizione vd è
espressa o come semplice somma delle due:
vd = vd + vg
oppure con una formula di interpolazione del tipo:
vg
vd =
1 − exp(−vg /vd )
che non è poi molto diversa dalla prima; entrambe le formule danno:
vd = vd
per vg /vd → 0, e tendono asintoticamente verso:
vd = vg
al crescere di
17
vg /vd .
Si veda, per una rassegna sull’argomento: G.A. Sehmel, Particle and gas deposition: a rewiew,
Atmospheric Environment, 14, 1980.
332
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
La difficoltà del problema è ricondotta alla discussione dei fattori che
influenzano vd ; si usa porre:
1
= ra + rsl + rs
6.11
vd
e i tre membri a secondo membro, che hanno le dimensioni fisiche dell’inverso
di una velocità, vengono chiamati rispettivamente: resistenza aerodinamica
(ra ), resistenza del sottostrato laminare (rsl ), e resistenza di superficie (rs ).
A parte la discutibile scelta semantica18, la 6.11 proviene chiaramente dalla
teoria delle reti elettriche, e vuole mettere in chiaro che per giungere ad essere
catturata dalla superficie, una particella deve attraversare tre strati dominati da
processi fisici diversi. Come accade in una disposizione in serie di resistori,
è lo strato dotato di resistenza più alta quello che limita l’ordine di grandezza
della velocità di deposizione vd .
Delle tre forme di resistenza, quella che viene chiamata aerodinamica riguarda
lo strato più lontano dalla superficie ed è dettata dalle proprietà della dispersione turbolenta; risulta tanto più piccola, quanto più efficace è il trasporto
dovuto al moto fluttuante. Dipende pertanto dalle grandezze caratteristiche
del moto nella regione di profilo logaritmico: velocità di attrito u∗ , altezza di
rugosità superficiale zo , quota di riferimento zs per la misura di Qs . Sembra
dai risultati sperimentali che anche la stabilità dello strato limite abbia un’influenza, sia pure minore, sul fenomeno, nel senso che in situazioni fortemente
instabili (H ∼ −10 m) si ha una velocità di deposizione lievemente superiore
- quindi con valore di ra lievemente inferiore - a quella che si trova in situazioni fortemente stabili19 (H ∼ 10 m). L’effetto, probabilmente dovuto alla forte
anisotropia del moto fluttuante in condizioni molto stabili, può essere tenuto
in considerazione introducendo l’altezza di Monin-Obukhov H nel calcolo di
ra , con formule del tipo20 :
1
zs
zs
ra =
ln
+ 4.7
κu∗
zo
H
18
Non esistono nelle correnti turbolente sottostrati laminari; esiste vicino alle pareti un sottostrato,
ove le fluttuazioni di velocità vengono direttamente dissipate dalla viscosità, senza dar luogo a
processsi non lineari.
19
Cfr. G.A. Sehmel, op. cit.
20
La formula è ripresa da un codice di calcolo in commercio.
333
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
che si assume essere valida per situazioni stabili, H > 0. In realtà, tenuto conto della generale incertezza che domina l’argomento, l’influenza della stabilità
può essere tranquillamente ignorata.
La resistenza rsl del sottostrato laminare riguarda l’attraversamento di un piccolo strato, dell’ordine di qualche millimetro, ove la fluttuazione turbolenta
non è efficace; il trasporto è dovuto alla diffusione molecolare, nel caso di un
inquinante gassoso, oppure alla diffusione browniana nel caso del particolato.
Vi sono anche altri effetti, quello dovuto all’inerzia delle particelle che impattano sullo strato, importante per particelle di diametro compreso tra 2 e 20 μm,
oppure quelli dovuti a vari fenomeni di foresi, che tuttavia risultano in genere
trascurabili.
Infine, la resistenza di superficie rs deriva dalla presenza o meno di meccanismi di cattura dell’inquinante da parte della superficie; una cattura certa comporta un valore nullo di rs . Per fare un esempio, l’acido HN O3 reagisce molto
rapidamente con la maggior parte delle superfici, e pertanto la sua resistenza
rs è usualmente considerata nulla - se le venisse assegnato un valore basso,
cambierebbe poco del calcolo di vd , cfr. 6.11; l’ossido di carbonio CO, invece,
non è molto reattivo, e quindi il valore corrispondente di rs è alto.
Vale la pena di notare che il fenomeno sintetizzato dalla resistenza aerodinamica è di natura meccanica, e quindi la specie chimica dell’inquinante non ha
alcuna influenza su ra ; la resistenza rsl dipende dalla diffusività in aria delle
varie specie, o dei vari aerosol, mentre la resistenza di superficie è dominata
dall’affinità tra l’inquinante e il materiale che costituisce il terreno; rs è quindi
il termine che più dipende dalla natura chimica dell’inquinante.
A parità di sostanza inquinante, sia la diffusività browniana sia la velocità
di sedimentazione gravitazionale vg dipendono fortemente dal diametro delle
particelle solide o liquide. Per diametri dell’ordine di 0.1 μm, e al di sotto,
la deposizione è essenzialemte controllata dal moto browniano nel sottostrato;
per diametri superiori a 1 μm, la velocità di deposizione cresce e si avvicina
tendenzialmente alla velocità di discesa gravitazionale vg . Prima di dare un
quadro riassuntivo della relazione che intercorre tra velocità di deposizione
vd e dimensione lineare del particolato, conviene analizzare il comportamento
dinamico di una particella che cade in un fluido altrimenti in quiete, sotto
l’azione del proprio peso.
334
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
R
S
P
Fig. 6.20 – Raggiunta la condizione di moto uniforme, il corpo che cade è in equilibrio
sotto l’azione di tre forze, peso P, spinta di Archimede S, e resistenza aerodinamica R.
Caduta di una particella pesante in un fluido in quiete
Consideriamo un corpo che cade in un fluido sotto l’azione del proprio peso. Qualunque sia la sua velocità iniziale, il corpo tende asintoticamente ad
assumere una velocità relativa al fluido costante, a cui viene dato il nome di
velocità terminale di sedimentazione per gravità. Una volta raggiunta approssimativamente questa condizione, la forza di inerzia del corpo risulterà trascurabile e l’equilibrio dinamico verrà assicurato dall’annullarsi del sistema
di forze esterne, costituito dal peso proprio del corpo, dalla spinta di galleggiamento (o di Archimede) e dalla resistenza aerodinamica, ove per resistenza
aerodinamica si intende la forza generata dal moto relativo tra fluido e oggetto.
Resistenza aerodinamica e spinta di galleggiamento sono forze di superficie,
entrambe scambiate tra fluido e corpo immerso, che tuttavia non interagiscono
tra loro; la semplice sovrapposizione delle due forze rappresenta un procedimento esatto, perché l’esistenza o meno di un gradiente statico di pressione,
responsabile della spinta di galleggiamento, non modifica in alcun modo né il
campo di moto del fluido, né gli sforzi che del moto relativo sono conseguenza21 . Il sistema di forze in equilibrio è indicato in fig. 6.20; se le forze vengono
proiettate su un versore diretto verso il basso, si ottiene l’equazione scalare:
P −S−R=0
21
C. Cancelli, op. cit., 5.2, p. 254.
335
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
n
t
U
R
L
j
Fig. 6.21 – Corrente uniforme con velocità U, che avvolge un corpo fermo. La forza
risultante applicata dal fluido al corpo è la resistenza aerodinamica R.
ove P rappresenta il peso della particella:
P = ρp V g
S la spinta di galleggiamento:
S = ρV g
ed R la resistenza aerodinamica. Le densità ρ e ρp sono rispettivamente quella
del fluido e del materiale della particella solida, e V è il volume di questa.
La resistenza R dipende dalla velocità vg di sedimentazione gravitazionale; si
può porre l’equazione di equilibrio nella forma:
R(vg ) = (ρp − ρ)gV
6.12
da cui si può dedurre vg , una volta che la relazione R(vg ) sia stata esplicitata. Il problema è quindi ricondotto ad un argomento classico della dinamica
dei fluidi, quello del calcolo della forza scambiata tra un fluido e un corpo
immerso, dotati di moto relativo rettilineo uniforme.
Resistenza aerodinamica di un corpo: correnti viscose
Consideriamo un corpo di scala geometrica L, in movimento con velocità uniforme, e rendiamo stazionario il campo di moto del fluido che lo avvolge,
tramite la scelta di un sistema di riferimento solidale al corpo. In questo sistema di riferimento, il fluido è in moto da sinistra verso destra con velocità
U e avvolge la particella ferma, cfr. fig. 6.21; la forza applicata dal fluido al
corpo è indicata con R; l’accelerazione di gravità è ignorata, poiché la presenza del campo gravitazionale non influenza il calcolo di R. Come sappiamo, il
parametro di similitudine di questo tipo di corrente è il numero di Reynolds:
Re = U L/ν , che può essere interpretato come rapporto tra velocità di con336
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
vezione U e velocità di diffusione ν/L. Al variare di Re , la relazione R(U )
cambia non solo valore quantitativo, ma anche struttura; passa dalla forma:
R ∝ μU L
valida per Re → 0, a quella:
R ∝ ρU 2 L2
che si ottiene per valori di Re sufficientemente alti. È evidente che si ha una
transizione tra regimi diversi, dotati di diverse dinamiche.
Cominciamo con l’analizzare il comportamento del sistema nel limite per
Re tendente a zero. Diminuendo progressivamente la velocità convettiva,
i termini non lineari uk ∂ui /∂xk dell’equazione di quantità di moto divengono evanescenti, e il sistema di equazioni indefinite si riduce alla forma
linearizzata:
∂uk
=0
∂xk
∂ 2 ui
∂p
−μ
=0
∂xi
∂xk ∂xk
a cui vanno aggiunte le condizioni di contorno all’infinito:
ui = Ui
e sulla superficie del corpo22 :
ui = 0
Poiché il sistema è lineare, possiamo assumere che le scale di variazione di una
generica grandezza all’interno del fluido siano dello stesso ordine di quelle
imposte dall’esterno per la presenza del corpo; la scala L sarà pertanto l’unica
scala geometrica del problema. Allora, dall’equazione di quantità di moto si
ottiene:
U
p − po
∼μ 2
L
L
che permette di valutare l’ordine di grandezza delle variazioni di pressione in
funzione delle variazioni di velocità:
U
p − po ∼ μ
6.13
L
22
Le correnti che obbediscono a questa rappresentazione semplificata si chiamano correnti
viscose, oppure di Stokes.
337
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
ove po indica un qualsiasi valore di riferimento.
La forza scambiata tra corpo e fluido è dovuta sia agli sforzi viscosi, sia alle
variazioni di pressione sulla superficie del corpo; integrando gli uni e le altre
su tutta la superficie, e proiettando nella direzione del moto relativo, si ottiene:
∂u1
R=
t · j dS
6.14
(p − po )n · j + μ
∂ξ2
S
Il versore n rappresenta nella 6.14 la normale esterna alla superficie e t il versore tangente, orientato nella direzione dello sforzo viscoso; la coordinata ξ2 è
una coordinata curvilinea perpendicolare alla superficie, mentre u1 è la componente della velocità del fluido nella direzione di t; l’integrale di una pressione costante come po , esteso a una superficie chiusa, dà contributo nullo.
La relazione 6.14 può essere riscritta, adottando come scala delle variazioni di
pressione il termine μU/L, suggerito dalla 6.13, e come scale di lunghezza,
area e velocità, i valori L, L2 , U. Si ha:
∂u1
p n · j + t · j dS R = μU L
6.15
∂ξ2
S
ove i simboli con l’apice indicano le variabili adimensionate. Si osservi che
le variabili con l’apice non possono in questo caso dipendere da Re , perché
rappresentano la soluzione limite per Re → 0; quindi l’integrale che compare
a secondo membro della 6.15 è un puro fattore di forma geometrica - cambia
solo se si modifica la forma dell’ostacolo. Si ottiene, in conclusione:
R = cμU L
6.16
ove c è un coefficiente numerico; la relazione presenta la struttura già annunciata. Per queste correnti si conosce anche una soluzione esatta dovuta a Stokes, quando il corpo immerso è di forma sferica, con diametro d; in tal caso si
ha:
R = 3πμU d
che dà per la costante c della 6.16 il numero:
c = 3π
Resistenza aerodinamica di un corpo: genesi della resistenza di forma
Le soluzioni viscose attorno a corpi dotati di simmetria di forma tra prora e
poppa, cfr. fig. 6.22, presentano una configurazione di linee di corrente altrettanto simmetrica, invariante rispetto al ribaltamento della regione di monte
338
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.22 – Linee di corrente di un moto di Stokes, attorno ad un ostacolo dotato di
simmetria sinistra-destra; le linee di corrente sono analogamente simmetriche.
in quella di valle. Come si vede in fig. 6.22, la metà destra è una immagine
speculare della metà sinistra. Questa proprietà può essere spiegata in termini
matematici, come una conseguenza della linearità in u del sistema di equazioni che definiscono la soluzione23; ma ha anche una interpretazione fisica, che
permette di discutere l’evoluzione del campo al crescere di Re . Dei tre processi fondamentali che plasmano il campo di moto, convezione, diffusione e
propagazione, solo il primo permette di distinguere la regione di monte rispetto a quella di valle, perché introduce nel problema una direzione privilegiata e
un senso del moto relativo. Le configurazioni delle correnti di Stokes rappresentano una situazione limite, verso cui le correnti reali convergono quando
la velocità di convezione perde progressivamente importanza, rispetto alle velocità di diffusione e di propagazione; è pertanto comprensibile che il campo
acquisisca proprietà di simmetria, poiché viene a essere determinato da due
processi, propagazione e diffusione, del tutto isotropi.
Col crescere del numero di Reynolds, la convezione comincia a farsi sentire; la simmetria monte-valle si rompe, e la configurazione del campo mostra
sempre più chiaramente l’influenza di un noto fenomeno non lineare: il tra-
23
Poiché le equazioni differenziali sono lineari nella velocità, se u(x) è soluzione, anche −u(x)
lo è, purché si cambi nel suo opposto la velocità del fluido all’infinito. Dunque, le linee di corrente non si modificano invertendo il senso del moto relativo; se l’oggetto è anche simmetrico,
non vi è niente che possa permettere di distinguere la regione di monte da quella di valle.
339
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.23 – Comparsa di strutture ricircolanti a valle dell’ostacolo, per valori di Re
maggiori di 1.
sporto per convezione della vorticità. La vorticità viene immessa nel campo
per diffusione dalla superficie dell’ostacolo, ma appena in seno al fluido viene
trascinata verso valle con il fluido stesso. È comprensibile che la distribuzione
della vorticità - e quindi la forma del campo di moto - divenga sempre meno
simmetrica tra monte e valle; a monte dell’ostacolo il campo risulta plasmato
dalla propagazione di onde e la vorticità tende a sparire24 , mentre si accumula
a valle.
Per numeri di Re compresi tra 1 e 10, il trasporto verso valle della vorticità
si rivela nella comparsa di regioni di fluido ricircolante, attaccate alla poppa
dell’ostacolo, cfr. fig. 6.23. Si tratta dell’embrione di una struttura del campo, la scia, che ha un grande ruolo nel determinare la resistenza aerodinamica
a valori elevati di Re ; la vorticità che viene diffusa da parete non è in grado
di risalire a monte per diffusione, e viene trasportata a valle, ove si accumula
in due strutture controrotanti, da cui diffondono l’una entro l’altra, annichilendosi, vorticità di segno opposto. Con l’ulteriore aumento della velocità di
convezione, le zone di ricircolazione si allungano, fino a divenire alcune volte
la dimensione trasversale dell’ostacolo, si veda fig. 6.24; ma ad un certo momento inizia una progressiva sequenza di instabilità - per Re ≥ 40, nel caso
più noto, quello della scia di un cilindro indefinito, già descritta per sommi
capi in 1.2 - la quale porta alla disintegrazione della regione di valle e alla
formazione di una scia turbolenta. Per Re > 200 il processo può ritenersi
concluso; la configurazione assunta dal campo di moto è quella schizzata in
fig. 6.25 e contiene tutti gli elementi strutturali necessari per comprendere e
valutare la resistenza di forma.
24
Finché il numero di Mach è minore di 1, le onde di pressione risalgono la corrente; ma non
trasportano vorticità, cfr. Cancelli, op. cit., 4.6.
340
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Fig. 6.24 – Scia allungata, prima dell’inizio delle instabilità inerziali.
ω=0
U
ω≠0
ω=0
Fig. 6.25 – Campo di moto attorno ad ostacolo con scia turbolenta; il campo è diviso
in due regioni, una interna di moto vorticoso - nello strato limite e nella scia - e una
esterna dotata di moto irrotazionale.
Vi sono due aspetti della configurazione di fig. 6.25 che permettono una
comprensione sbrigativa del fenomeno che ci interessa:
– il campo di velocità è diviso in due regioni distinte; quella che aderisce all’oggetto e si prolunga nella scia, la quale è sede di un moto
vorticoso, e quella esterna, che è dotata di moto irrotazionale. La
vorticità si trova nelle immediate vicinanze della superficie, per effetto della diffusione, e all’interno della scia, ove è trasportata per
convezione. Il campo della regione esterna è modellato invece dalla
propagazione di onde di pressione e risulta pertanto irrotazionale.
– La distribuzione delle pressioni sulla superficie dell’ostacolo è dettata dalla dinamica del moto irrotazionale, per quanto questo non
lambisca la superficie. La variazioni di pressione attraverso lo strato limite sono infatti trascurabili, a causa del limitato spessore di
questa regione; il salto di pressione in direzione normale alla superficie, che si realizza attraverso uno strato aderente di spessore h, può
341
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
essere valutato come25 :
h
6.17
rc
ove rc rappresenta il raggio di curvatura delle linee di corrente. Poiché le variazioni di pressione che si hanno sulla superficie sono dell’ordine di ρU 2 /2, come vedremo tra poco, al confronto la quantità
δp risulta trascurabile, per la piccolezza del rapporto h/rc . In quanto
alla scia, essa è sede di un moto non stazionario, che produce variazioni temporali di pressione - il bordo esterno della scia, superficie
di separazione tra campi di moto con caratteristiche diverse, è fortemente instabile - ma non presenta al suo interno aspetti di moto
così organizzati e ricorrenti da sostenere gradienti medi significativi
di pressione. In altre parole, il valor medio della pressione all’interno della scia è vicino al valore medio della pressione che si trova
immediatamente al di fuori della superficie che la delimita, in pieno
campo irrotazionale.
δp ∼ ρU 2
Con queste considerazioni in mente, l’analisi della distribuzione delle pressioni può essere ricondotta allo studio di una corrente irrotazionale che scorre
sulla superficie anteriore dell’ostacolo - lo spessore dello strato limite è poca cosa - e lungo la superficie esterna della scia, cfr. fig. 6.26. La scia figura
in questo schema come una regione di fluido stagnante, separata dalla corrente esterna per mezzo di una superficie che è di discontinuità per le velocità
tangenziali, ma di perfetta continuità per le pressioni. Lo schema, dovuto a
Helmholtz, spiega la resistenza di forma. Poiché il campo di moto esterno ammette potenziale di velocità, obbedisce alla relazione di Bernoulli; trascurando
le variazioni temporali, mediamente poco significative, si può quindi scrivere:
1
p + ρu2 = cost
6.18
2
una relazione che mette in evidenza come si abbia pressione alta ove la velocità è bassa, e viceversa. In particolare, si avrà sulla superficie dell’ostacolo
una pressione massima pmax nella zona di prora ove si ha velocità nulla, e una
pressione minima pmin sul dorso dell’ostacolo, nella zona di massimo spessore, ove la velocità è alta inevitabilmente a causa del restringimento della
sezione retta dei tubi di flusso. La presenza della scia impedisce ai tubi di
25
Cfr. Cancelli, op. cit. 4.4, p. 224.
342
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Pmin
A
≅ Pmin
Pmax
L
j
Fig. 6.26 – Corrente irrotazionale che scorre in un dominio delimitato dalla superficie
anteriore dell’ostacolo e dalla superficie esterna della scia. La pressione all’interno
della scia è uguale a quella che si ha all’esterno.
flusso di tornare ad allargarsi nella regione posteriore, e quindi previene il recupero di pressione che ne sarebbe conseguenza; la pressione del fluido che
agisce sul retro dell’ostacolo rimane vicina al valore pmin che si ha sul dorso.
Nasce in questo modo un evidente squilibrio di pressione tra la parte anteriore e la parte posteriore del corpo, il quale produce sul corpo stesso una forza
risultante, diretta nel senso del moto del fluido. L’integrale:
R=
pn · jdS
6.19
S
costituisce la resistenza di forma.
Qualunque fenomeno che modifichi la dimensione trasversale della scia, modifica anche la resistenza. D’altra parte, un noto risultato della teoria dei campi
di moto con potenziale di velocità - porta il nome di paradosso di d’Alembert afferma che la resistenza R sarebbe nulla, qualunque sia la forma dell’oggetto, qualora la corrente irrotazionale lo abbracciasse completamente26, vedi
fig. 6.27(a). Configurazioni come quella di fig. 6.27(b) hanno quindi una resistenza più alta di quelle di fig. 6.27(c), per il motivo che nel secondo caso le
linee di corrente tendono a richiudersi attorno all’ostacolo, e pertanto si ha un
parziale recupero di pressione a valle.
26
Nel caso che il corpo immerso sia dotato di simmetria di forma tra parte anteriore e parte
posteriore, il paradosso di d’Alembert si può dimostrare in base alla linearità nel potenziale Φ
del modello matematico, poiché questa proprietà implica una indifferenza delle linee di corrente
al senso del moto relativo; R non può che essere nulla, per la simmetria monte-valle dei valori
di u2 , da cui dipende la pressione. Esiste tuttavia anche una dimostrazione generale, vedi: B.
Finzi, Lezioni di Aerodinamica, VIII, Libreria Editrice Politecnico Tamburini, Milano, 1960.
343
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
a
b
c
Fig. 6.27 – (a) Corrente irrotazionale chiusa attorno a un ostacolo: R = 0; (b) configurazione con linee di corrente molto aperte verso valle, scia larga: R elevata; (c)
configurazione con linee di corrente che parzialmente si richiudono a valle, scia di
spessore ridotto: R ridotta.
Tralasciando i fattori che possono influenzare la minore o maggiore apertura
della scia27 , lo schema di Helmholtz permette di calcolare rapidamente sia la
struttura di R, sia il suo ordine di grandezza, facendo riferimento alla fig. 6.26.
Sulla faccia anteriore dell’ostacolo agisce una pressione variabile tra pmax e
pmin , che dà una forza diretta verso valle all’incirca uguale a:
pmax + pmin
L2
2
ove L2 è una misura dell’area della sezione maestra dell’oggetto - il termine
n·jdS , che compare nell’integrale 6.19, rappresenta la proiezione, su un piano
ortogonale alla direzione del moto relativo, dell’elemento di area dS della
superficie esterna. Sulla faccia posteriore agisce una pressione costante pari a
pmin , e quindi una forza diretta verso monte, pari a:
pmin L2
Sottraendo le due forze, si ottiene quella risultante:
1
R ∼ (pmax − pmin )L2
6.20
2
Il valore massimo di pressione si ha nella regione di prora, nel punto A ove
la linea di corrente impatta ortogonalmente la superficie, vedi fig. 6.26; qui la
velocità è nulla per simmetria e dalla 6.18 si ottiene:
27
L’unico fenomeno spontaneo - la transizione da moto laminare a moto turbolento nello strato
limite che lambisce la parete anteriore dell’ostacolo - avviene ad un numero di Re troppo elevato, ∼ 105 ÷ 106 , per avere influenza sulla deposizione; gli altri sono accorgimenti artificiali
da tecnica aeronautica.
344
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
1
pmax = po + ρU 2
2
essendo po e U la pressione e la velocità del fluido lontano dall’ostacolo. Sul
dorso dell’ostacolo si ha, per l’addensarsi delle linee di corrente, la velocità
massima umax , e quindi sempre per la 6.18 la pressione minima:
1
1
pmin = po + ρU 2 − ρu2max
2
2
Sostituendo le due pressioni estreme nella 6.20, si ottiene:
u
1
1
max 2 2
R ∼ ρu2max L2 = ρU 2
L
4
4
U
Il rapporto tra la velocità massima e quella minima dipende solo dalla forma
dell’ostacolo28 ; se il rapporto fosse pari a 2, si avrebbe semplicemente:
R ∼ ρU 2 L2
6.21
che possiamo ritenere corretta in prima approssimazione per corpi di forma
qualsiasi, a meno di un coefficiente compreso tra 0.1 ed 1 - per la sfera si ha
circa 0.4, per R ∼ 100.
La 6.21 dà un valore del coefficiente di resistenza:
R
cR =
ρU 2 L2
che non dipende dal numero di Reynolds; nella realtà cR non è costante, ma
per un ampio intervallo di valori di Re varia relativamente poco - sempre per
una sfera, ad es., si dimezza nel passare da Re = 102 a Re = 103 . Nell’ambito
di questa discussione possiamo ritenere che la 6.21 rappresenti correttamente
la resistenza di un corpo, dopo la formazione della scia. Tra l’altro, la 6.21
spiega per quale motivo la struttura fisica della resistenza cambi al crescere di
Re , passando da una forma μU L a una ρU 2 L2 ; gli sforzi viscosi continuano ad
agire sulla superficie anteriore del corpo, anche dopo la formazione della scia,
ma l’ordine di grandezza della loro risultante rimane μU L, una quantità che
diviene presto insignificante rispetto alla resistenza di forma, la quale cresce
proporzionalmente al quadrato della velocità. Dividendo la resistenza viscosa
per la resistenza di forma, si ottiene infatti:
1
μU L
=
2
2
ρU L
Re
28
I campi di moto irrotazionali non dipendono dal numero di Reynolds, perché la viscosità del
fluido risulta ininfluente, vedi C. Cancelli, op. cit. 4.2.
345
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Velocità di caduta di una particella pesante
Sostituendo nella 6.12 le due leggi di resistenza appena trovate, e risolvendo l’equazione per la velocità di sedimentazione gravitazionale vg , si ottiene
finché il moto è viscoso (Re → 0):
ρp − ρ gL2
1
(ρp − ρ)gL2 =
μ
ρ
ν
mentre per numeri di Reynolds sufficientemente alti vale la legge:
1/2
ρp − ρ
vg ∝
gL
ρ
vg ∝
6.22
6.23
Si noti l’influenza della dimensione lineare della particella; finché il numero di
Reynolds rimane basso - poniamo per Re < 1, tanto per avere un valore discriminante - vale la relazione 6.22 e la velocità di sedimentazione cresce con il
quadrato della dimensione lineare L; mentre per valori di Re sufficientemente
alti, superiori a 100, vg cresce molto più lentamente, risultando proporzionale
a L1/2 , come appare dalla 6.23.
Nella regione intermedia, si ha un raccordo tra le due leggi. Si può dare dell’intera evoluzione di R un’espressione unificante, introducendo anche per il
moto di Stokes il coefficiente di resistenza più convenzionalmente usato:
1
R = cR ρvg2 Am
6.24
2
ove Am indica l’area della sezione maestra. La scelta nasconde la vera natura della resistenza in un moto viscoso, ma è formalmente ineccepibile. Ovviamente, per abbracciare il fenomeno nel suo complesso, cR dovrà risultare
variabile come 1/Re per Re → 0, mentre sarà costante per valori elevati di
Re ; è sufficiente confrontare la 6.24 con la 6.16 e la 6.21 per rendersene conto.
Facendo riferimento ad un corpo di forma sferica, la legge cR (Re ) risulta in
regime viscoso
24
cR =
Re
e la velocità di sedimentazione:
1 ρp − ρ gd2
vg =
6.25
18
ρ
ν
La velocità di caduta risulta anche proporzionale alla variazione percentuale di densità (ρp − ρ)/ρ. Supponiamo, per fissare qualche valore numerico,
che la densità ρp della particella sia vicina a quella dell’acqua, così da porre:
(ρp − ρ)/ρ ∼ 103 . Allora, per d = 1 μm, dalla 6.25 si ottiene:
346
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
vg ∼ 3.7 · 10−5 m/s = 3.7 · 10−3 cm/s
avendo adottato come viscosità cinematica dell’aria quella corrispondente a
20o C :
ν = 1.5 · 10−5 m2 /s
Il numero di Reynolds corrispondente vale:
vg d
= 2.5 · 10−6
ν
il che significa che ci troviamo in pieno regime di Stokes. Tuttavia, poiché
vg è proporzionale a d2 , il numero di Reynolds cresce con d3 , quindi di 103
per ogni variazione di d di un ordine di grandezza. Per d = 102 μm, si arriva
più o meno sul confine del regime viscoso e gli effetti di scia cominciano a
farsi sentire; si ha, per la velocità di caduta gravitazionale, qualcosa meno del
valore:
vg = 3.7 · 10−1 m/s
che corrisponderebbe al regime di Stokes. Infine, per valori maggiori del diametro d si entra in una regione di transizione e il calcolo può essere fatto in
modo iterativo, usando la curva sperimentale29 cR (Re ).
In fig. 6.28 sono riportate in scala logaritmica le velocità di caduta gravitazionale di una particella, di supposta forma sferica e con densità pari a quella
dell’acqua, in funzione del diametro. Finché il regime è viscoso, la velocità
vg risulta proporzionale alla variazione percentuale di densità della particella
rispetto all’aria, cfr. 6.22; per ottenere la velocità di una particella di diversa
densità ρp è sufficiente moltiplicare la velocità di una particelle di acqua per il
rapporto (ρp − ρ)/(ρp − ρ), almeno finché i valori del diametro sono inferiori a ∼ 50 μm; al disopra, occorre tener conto dell’influenza del numero di Re
sul coefficiente di resistenza cR .
Si può osservare che, delle grandezze che influenzano la caduta della particella, la più significativa è la dimensione lineare L che compare al quadrato
nella 6.22; è sufficiente una diminuizione di circa tre volte nella dimensione lineare per compensare un eventuale aumento di densità di un ordine di
grandezza. Tenuto conto dell’ampia usuale variazione della lunghezza caratteristica del particolato, ha poco fondamento la speranza che le particelle si
29
Per la variazione del coefficiente di resistenza in funzione del numero di Reynolds in corpi di
varia forma, si può vedere B.S. Massey, Mechanics of Fluids, 10.8.3, van Nostrand Reinhold,
London 1979.
347
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
10 ²
10
vg [cm/s]
1
10 -¹
10 -²
d [Ƈm]
10 -³
10 -¹
1
10
10 ²
10 ³
Fig. 6.28 – Velocità di caduta in aria immobile di particelle pesanti di forma sferica; la
densità della particella è supposta uguale a quella dell’acqua.
depositino vicino alla sorgente a causa del loro peso. Il processo di dispersione dipende ovviamente dalle condizioni dell’atmosfera; ma in condizioni
instabili, con velocità ascensionali dell’ordine di 1 m/s, particelle di piombo o di cadmio, o per quel che vale di uranio, vengono trascinate ovunque30,
purché abbiano un diametro inferiore ai 50 μm.
30
Negli anni 80, e forse anche ora, si usavano coformulanti al piombo da aggiungere alle soluzioni acquose di anticrittogamici, per rendere possibile che queste venissero sparse su filari di
vite da un elicottero, senza disperdersi in aria e sui campi, o sulle abitazioni vicine. Queste sostanze, a cui veniva dato il nome fantasioso di prodotti antideriva, avrebbero dovuto, per virtù
di miracolo, rendere compatibile con l’ambiente l’uso dell’elicottero, proibito in tutto il mondo
civile, in una zona di piccoli appezzamenti collinari quale l’astigiano.
348
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
Tornando alle particelle di acqua, i dati di fig. 6.28 possono essere applicati, almeno in prima approssimazione, alle gocce che costituiscono le nubi, le
nebbie, le piogge, sebbene non sia vero che le gocce di acqua in moto relativo
si comportino come sfere rigide. Uno sguardo al diagramma permette tuttavia
di cogliere, per i valori tipici delle varie formazioni, i valori di velocità ascendente dell’aria che sono necessari per mantenere le formazioni in quota. La
dimensione lineare delle gocce che costituiscono le nubi variano tra ∼ 10 μm
nelle formazioni più alte - stratocumulus e altocumulus - e i ∼ 70 μm dei
cumulonimbus, a cui corrispondono velocità comprese tra 0.1 ÷ 0.2 cm/s e
∼ 10 cm/s. Quando la goccia raggiunge il diametro di 103 μm comincia la
pioggia, che presenta velocità di caduta comprese tra i 4 m/s delle cosiddette
piogge lievi - diametro delle gocce di poco superiore a 103 μm - e gli 8÷ 9 m/s
delle piogge pesanti. Il diametro delle gocce di pioggia non può superare
5 · 103 μm, perché alle velocità corrispondenti di caduta si ha frammentazione
delle gocce per effetto meccanico.
Si noti infine che in condizioni di grande stabilità atmosferica, la sedimentazione gravitazionale può essere importante non solo nei confronti della deposizione al suolo, ma anche dell’evoluzione del pennacchio. In una brezza
valliva notturna vi possono essere moti con componente verticale delle velocità di pochi cm/s; in tali condizioni la velocità di caduta per gravità può essere
importante nel trascinare il pennacchio, o una parte di esso, verso il suolo.
Velocità di deposizione di particelle pesanti
Combinando la velocità di caduta gravitazionale con la velocità vd secondo la
formula:
vd = vd + vg
In realtà, l’unico parametro che avesse una qualche influenza sulla dispersione era il diametro
delle gocce; se la pressione degli ugelli veniva regolata in modo tale da produrre una popolazione di gocce con diametro attorno ai 300 ÷ 400 μm, si aveva una caduta rapida delle gocce
per gravità, le quali tuttavia non riuscivano a coprire la faccia inferiore delle foglie; se si abbassava il diametro medio a 150 μm, si aveva una buona copertura, perché le gocce seguivano
traiettorie caotiche, ma si disperdeva nell’ambiente circostante più della metà di quanto veniva
gettato.
349
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
10 ²
vd [cm/s]
10
1
c
10 -¹
b
a
10 -²
d [Ƈm]
10 -¹
1
10
10 ²
Fig. 6.29 – Velocità di deposizione di un particolato con densità di 103 kg/m3 , da un’altezza sul suolo di 1 m, con resistenza di superficie nulla e velocità di attrito u∗ = 2m/s.
Altezza di rugosità superficiale: (a) zo = 0.001 cm; (b) zo = 0.1 cm; (c) zo = 10 cm.
si ottiene l’andamento della velocità di deposizione. Nel diagramma di
fig. 6.29, ripreso dal lavoro di G.A. Sehmel, op. cit., è rappresentata la variazione di vd in funzione del diametro della particella, calcolata con l’ipotesi
che questa abbia la densità dell’acqua. La velocità di deposizione è riferita a
un’altezza sul suolo di 1 m, con una velocità di attrito di 2 m/s, e a diversi valori dell’altezza di rugosità superficiale zo . La resistenza superficiale rs è stata
considerata nulla, così che la dinamica della deposizione risulta dominata dalla velocità gravitazionale, per d > 50 μm, e dalla dispersione atmosferica e
dal moto browniano al disotto di questo valore.
Si noti che al crescere di d, per valori superiori a 50 μm, la velocità di deposizione diviene indistinguibile da quella vg di caduta per gravità. Per valori inferiori del diametro, vg cade rapidamente e cominciano ad essere significativi
350
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
i processi di dispersioni turbolenta e di diffusione browniana. Le curve mostrano un minimo nell’intervallo compreso tra 0.1 e 1 μm, ove probabilmente
nessuno dei meccanismi di deposizione è efficace; scendendo ulteriormente d,
il cefficiente di diffusione browniana aumenta - il che spiega la fase di risalita di vd - prima di assestarsi su un valore costante per valori così piccoli del
diametro, non mostrati in figura, da rendere la diffusione browniana simile a
quella molecolare. Sembra che la velocità di deposizione sia influenzata anche dalla stabilità dello strato limite; ammesso che il fenomeno sia reale, il
cambiamento di stabilità non comporta variazioni tali della velocità di deposizione da dover essere messe in conto, almeno finché si rimane nell’ambito
della dispersione di inquinanti. La velocità di deposizione dipende invece in
modo marcato dalla velocità di attrito, di cui risulta una funzione crescente;
nel passaggio di u∗ da 10 a 102 cm/s, ad es., la curva vd (d) si innalza di circa
un ordine di grandezza.
Deposizione umida
Gli inquinanti sospesi in aria sono rimossi o attraverso il processo di deposizione che si ha in vicinanza del suolo - la deposizione secca - oppure perché
vengono catturati o disciolti in fase acquosa nell’insieme delle idrometeore
presenti in atmosfera, nubi, gocce di pioggia, cristalli di ghiaccio. I processi di
dissoluzione di un inquinante gassoso in acqua, o di inglobamento di una particella solida in una goccia, avvengono sia all’interno delle nubi che al di sotto.
Quando si ha la pioggia, gli inquinanti contenuti nelle gocce cadono al suolo: si ha deposizione umida. Per quanto riguarda i gas, la loro concentrazione
nella singola goccia può variare, durante la caduta, in funzione della differenza di concentrazione nelle due fasi, aria e acqua, e della solubilità del gas. Le
particelle di aerosol cadono invece con le gocce, senza poter sfuggire. Volendo riassumere l’intero ciclo, si può dire che gli inquinanti: vengono trasportati
dalle correnti ascendenti all’interno delle nubi, ove si mescolano; quindi vengono catturati dalle idrometeore all’interno delle nubi; infine precipitano al
suolo con la pioggia.
La ripulitura degli strati bassi dell’atmosfera da parte della pioggia è un fenomeno intermittente, ma decisivo nel rendere accettabile la qualità dell’aria in
molte aree urbane; prolungati periodi di siccità, e di alta pressione, in genere finiscono per produrre alti livelli di inquinamento atmosferico, che vengono
risolti dall’arrivo della pioggia. Poiché il numero di particelle solide catturate
351
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
- e quindi sottratte - nell’unità di tempo e per unità di volume, dalle gocce che
cadono, risulta proporzionale al numero di particelle che si trovano in un volume di riferimento, la legge con cui varia la concentrazione di un inquinante
sospeso è di tipo esponenziale:
Q = Qo exp(−t/T )
6.26
come sempre accade in processi di questo tipo. Nella 6.26 Qo rappresenta il
valore di concentrazione che si avrebbe in un dato punto dello spazio se non
ci fosse stata la pioggia, t il tempo trascorso dall’inizio della precipitazione, e
T è un tempo caratteristico, al cui inverso λ si usa dare il nome di coefficiente
di ripulitura:
1
λ=
T
La deposizione al suolo influenza il modo con cui le concentrazioni di un pennacchio di inquinante variano sottovento. Nei modelli di dispersione fino ad
ora ricordati, la portata che transita attraverso una generica sezione perpendicolare all’asse del pennacchio è considerata costante, e pari alla portata Ṁq
emessa dalla sorgente. Se vi è deposizione, la portata che transita nelle successive stazioni sottovento non può che diminuire. Nel caso che si abbia solo
deposizione secca, l’effetto può essere usualmente trascurato; ma quando il
pennacchio si snoda sotto una forte pioggia, conviene considerare la diminuizione di portata. Si possono usare, per il calcolo delle concentrazioni, le
formule consuete - quella del pennacchio gaussiano, ad es. - salvo il fatto che
la portata Ṁq va considerata variabile con la distanza x dalla sorgente; la legge
di variazione di Ṁq è ancora di forma esponenziale:
x 6.27
Ṁq (x) = Ṁq (0) exp −
TU
Nella 6.27 Ṁq (0) rappresenta la portata alla sorgente, U la velocità media del
vento, e T lo stesso tempo caratteristico incontrato nella 6.26. La 6.27 si giustifica osservando che la diminuizione di portata che si ha tra due diverse stazioni
- tra due valori di x - deve risultare uguale alla portata di inquinante che si è
depositato nel terreno nello stesso intervallo, per ragioni di conservazione.
Il coefficiente di ripulitura può essere calcolato, in teoria, quando sia dato
l’insieme delle gocce che costituiscono la pioggia, ordinate statisticamente in
funzione del loro raggio. Si scrive:
∞
λ=
F EAdr
0
352
6.
DISPERSIONE E DEPOSIZIONE DI INQUINANTI
ove A(r) è l’area della sezione maestra delle gocce, F (r) è il loro flusso - numero di gocce che transitano per unità di superficie e di tempo e per intervallo
unitario di raggio r - ed E(r) è un coefficiente che rappresenta l’efficienza
della goccia nel catturare le particelle incontrate sul suo cammino. La discussione di E(r) non è tuttavia immediata. Limitiamoci a ricordare, come criterio
di orientamento, che una pioggia di media intensità (5 ÷ 50 mm/h), della durata di un paio di ore, è generalmente sufficiente a ridurre la concentrazione
degli inquinanti di un ordine di grandezza.
L’importanza della deposizione umida, inoltre, spiega come si possano trovare
massimi relativi di concentrazione di inquinanti al suolo anche a notevole distanza dalla sorgente. Si tratta di zone ove le precipitazioni sono più frequenti,
essendo innescate dall’ascesa di masse di aria calda e umida. A partire da una
data altezza, i suoli dei versanti montani presentano questa proprietà.
353
7. STRUMENTI DI CALCOLO
355
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
Introduzione
Le problematiche di gestione e controllo della qualità dell’aria possono venire
affrontate mediante tre differenti metodologie:
– la misurazione diretta delle concentrazioni, effettuata con stazioni fisse o con laboratori mobili e l’eventuale aggiunta di altre
metodiche, come i campionatori passivi ed il biomonitoraggio;
– la compilazione degli inventari delle emissioni
– l’applicazione di modelli di dispersione e di trasformazione chimica
degli inquinanti.
L’ultimo metodo fornisce la tecnica ottimale per studiare il problema. L’uso dei modelli matematici presenta infatti un vantaggio che difficilmente può
essere ottenuto con altre tecniche. Esso consiste nello stabilire una relazione diretta fra le emissioni ed i campi di concentrazione (o di deposizione al
suolo). Mediante gli strumenti di calcolo si possono studiare scenari emissivi differenti e stabilire l’influenza delle diverse condizioni meteorologiche.
In combinazione con le altre due metodologie, essi permettono di arrivare ad
un’analisi più esauriente del problema, ottenendo una sintesi più profonda e
completa di tutte le informazioni disponibili.
Mediante l’applicazione dei modelli è possibile:
– valutare campi di concentrazione anche dove non esistono punti di
misura;
– suggerire la localizzazione ottimale delle stazioni di rilevamento;
– stimare l’impatto di inquinanti non misurati dalla rete di
monitoraggio;
– discriminare i contributi provenienti delle diverse sorgenti;
– analizzare scenari emissivi ipotetici.
La simulazione modellistica è caratterizzata da un livello di affidabilità che in
alcuni casi può diventare molto scarso. Le cause di incertezza provengono dall’impossibilità del modello di descrivere compiutamente i fenomeni chimicofisici in gioco e dalla scarsa conoscenza delle caratteristiche emissive ed atmosferiche. Per applicare correttamente gli strumenti di calcolo offerti dalla
356
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
modellistica è necessaria la conoscenza delle teorie matematiche e degli algoritmi numerici implementati nei codici di calcolo. Le formulazioni teoriche
devono venire confrontate con i processi in gioco: il trasporto e la diffusione in atmosfera, i fenomeni meteorologici locali, le modalità di deposizione
e di rimozione degli inquinanti, la natura fisico-chimica delle sostanze coinvolte e le reazioni di formazione degli inquinanti primari e secondari. L’uso
efficace ed affidabile dei programmi informatici forniti dalla modellistica non
può perciò prescindere dalla continua comparazione tra i risultati del calcolo
e le misure effettuate sul campo. Questa operazione viene indicata in gergo
come validazione o taratura1 ed è indispensabile per verificare l’attendibilità
dei modelli. Le capacità di simulazione di uno specifico codice non devono
venire generalizzate: la taratura eseguita per alcune particolari situazioni, non
garantisce risultati ottimali in tutte le altre possibili circostanze.
7.1.
CLASSIFICAZIONE DEI MODELLI
Nelle pagine che seguono sarà presentata una sintetica descrizione dei modelli matematici che si possono adottare per lo studio dei problemi di dispersione
atmosferica. Saranno trattati unicamente gli aspetti fluidodinamici, dedicando ai numerosi programmi di calcolo che da essi derivano solo qualche breve
accenno. Per aiutare il lettore a districarsi nel panorama assai vasto dei codici informatici2 , verrà fornita una semplificata classificazione delle diverse
formulazioni. Con tale scopo saranno ripresi e precisati alcuni degli sviluppi
analitici già presentati nei precedenti capitoli.
Nonostante il gran numero di modelli matematici sviluppati per lo studio
dell’inquinamento atmosferico, la formulazione del problema chimico-fisico
si esprime in maniera semplice per tutti i codici di calcolo. Essa consiste
nel determinare la distribuzione spaziale e temporale della concentrazione
1
Si intende la determinazione del valore ottimale di alcuni parametri che compaiono nel calcolo,
al fine di migliorare le capacità previsionali del modello nello scenario in esame.
2
Si veda: F. Lollobrigida, G. Brusasca, M. Clemente, R. De Maria, M. Deserti, F. Desiato, F.
Lena, G. Tinarelli, G. Zanini, Linee guida per la selezione e l’applicazione dei modelli di dispersione atmosferica per la valutazione della qualità dell’aria, RTI CTN ACE 4/2001, Agenzia
Nazionale per la Protezione dell’Ambiente.
357
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
media e della deposizione al suolo di inquinanti, rilasciati da sorgenti di
caratteristiche emissive e posizione perfettamente note.
Se il moto dell’atmosfera fosse uniforme nel tempo e nello spazio, il territorio
pianeggiante e non vi fossero reazioni chimiche, le concentrazioni degli inquinanti rimarrebbero uguali a quelle successive al rilascio; la fluidodinamica
dei modelli di dispersione tratterebbe solo la fase di mescolamento del getto e
diventerebbe una scienza, non facile, ma senz’altro più circoscritta.
L’atmosfera è invece caratterizzata da moti capricciosi ed imprevedibili, continuamente volubili perché prodotti dalla mutevolezza delle condizioni meteorologiche, dalla natura del territorio, o anche dal solo ciclo di evoluzione diurna e stagionale. Essi sono caratterizzati da scale spaziali distribuite su parecchi
ordini di grandezza (da quella molecolare, a quella sinottica, fino a quella planetaria) e scale temporali altrettanto variabili. Anche la natura dell’inquinante
contribuisce a complicare la trattazione. Raramente si tratta di una sostanza
gassosa inerte. Più facilmente si tratta di composti che danno vita ad elaborate reazioni chimiche di trasformazione e di rimozione. Tali composti sono
spesso gassosi, talvolta - è il caso dei cosiddetti microinquinanti - vengono
rilasciati anche sotto forma di particelle liquide o solide, soggette al fenomeno del decadimento ed a quello del dilavamento da parte delle precipitazioni
atmosferiche.
A partire dalla prima guerra mondiale, quando ebbero inizio i primi studi pioneristici sulla dispersione di sostanze chimiche nell’atmosfera (che ovviamente, dati i tempi, consistevano nei gas velenosi per impiego bellico) la conoscenza dei fenomeni in gioco è andata largamente aumentando. Possiamo ora
ritenere che sul piano concettuale non vi siano significativi ostacoli al tentativo di includere l’intera pluralità di processi coinvolti nel fenomeno in un
unico, omnicompressivo, super-modello matematico. E si potrebbe farlo nella convinzione che la straordinaria complessità caratterizzante l’operazione
possa essere adeguatamente gestita da una rete di calcolatori sufficientemente
potenti.
Sconsigliamo però il lettore dal lasciarsi tentare dall’idea. Per riuscire nell’impresa dovrebbe essere capace di racchiudere all’interno dei microchip anche
“il battito delle ali delle farfalle” e questa, nonostante la sempre più eleva-
358
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
ta potenza degli elaboratori moderni, sembra ancora una bella presunzione3.
Non resta dunque che accontentarsi di formulare modelli ridotti e semplificati, nella speranza che in essi sia conservata la parte essenziale del problema;
l’affidabilità dei risultati andrà valutata caso per caso.
Conviene iniziare la nostra rassegna distinguendo tra i modelli puramente
statistici e modelli propriamente fluidodinamici.
Modelli statistici
Esiste un approccio che permette di tenere conto di una notevole complessità
di fenomeni senza doverli considerare in dettaglio. Tale approccio è costituito dai cosiddetti modelli statistici. Ci limitiamo solo ad un breve accenno4 , dicendo che essi considerano variabili stocastiche ed algoritmi di calcolo
black-box, basati su teorie di correlazione, anziché su esplicite dipendenze da
causa a effetto. Poiché la conoscenza del problema avviene attraverso l’analisi di serie storiche, questa categoria di metodi è adatta allo studio di impianti,
aree industriali, agglomerati urbani esistenti da tempo e per i quali siano già
state predisposte reti di rilevazione dei parametri meteorologici e di concentrazioni degli inquinanti. In queste circostanze, teorie regressive e modelli di
correlazione permettono di prevedere sulla base delle sole esperienze passate
le probabili situazioni critiche future. Proprio per questo motivo i metodi statistici sono particolarmente adatti alla previsione in tempo reale e le reti per
il monitoraggio ed il controllo dell’inquinamento nelle grandi metropoli sono
corredate da algoritmi di questo tipo. I modelli statistici non sono però in grado di distinguere il contributo proveniente dalle diverse sorgenti. Inoltre, non
potendo trattare nuovi impianti o infrastrutture, non sono adeguati a supportare studi di impatto ambientale, per i quali è indispensabile ricorrere ai metodi
di tipo fluidodinamico.
3
Oltre che un pensiero crudele, essendo molto meglio ammirarle volare libere nei prati!
4
Per un loro approfondimento si consideri: G. Finzi, G. Brusasca, La qualità dell’aria: modelli
previsionali e gestionali, Masson, 1991.
359
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
Modelli a scatola o box-model
Tra i modelli fluidodinamici, la categoria più elementare è senz’altro rappresentata dai modelli a scatola, o box-model. Si tratta di metodi adatti ad una
stima molto grossolana dell’inquinamento che un insieme numeroso di sorgenti produce in una vasta area. La loro formulazione richiede la sola ipotesi
che all’interno della scatola la turbolenza sia sufficiente a rendere uniforme la
concentrazione. Questa condizione si verifica tipicamente durante il giorno;
l’applicazione del metodo è invece da scartare per la fase notturna, anche se
in corrispondenza degli agglomerati urbani un certo grado di rimescolamento permane durante la notte. La formulazione dei modelli è già stata discussa
nel paragrafo 3.2, ma qui sarà ripresa per meglio evidenziarne i limiti e le
possibilità applicative.
La scatola considerata dal modello è un parallelepipedo (cfr. fig. 3.15) che
deve racchiudere tutte le sorgenti significative esistenti nella zona ed avere la
faccia di entrata perpendicolare alla velocità U del vento (che viene supposto
uniforme e costante). Nella scatola entra aria pulita5 ; la turbolenza rimescola
la portata di inquinanti Ṁq complessivamente immessa nell’unità di tempo
dalle sorgenti presenti nella scatola6 ; dalla faccia opposta a quella di ingresso
uscirà aria inquinata con un concentrazione media:
Q=
Ṁq
LhU
L’espressione si ricava facilmente dal bilancio elementare di conservazione
dell’inquinante: Ṁq = QLhU , essendo L la larghezza della scatola ed h la
sua altezza.
5
Oppure con concentrazione di inquinante nota, perché pari al valore di fondo esistente nella
regione. In tal caso l’applicazione del modello fornirà l’incremento causato dalle emissioni che
avvengono all’interno della scatola (cfr. eq. 3.29).
6
La misura diretta delle emissioni inquinanti può venire effettuata solo per le principali infrastrutture industriali; per le sorgenti distribuite finemente sul territorio (traffico autostradale ed
urbano, impianti di riscaldamento, piccole attività industriali, ecc...) è necessario ricorre a metodologie che consentano di valutare, mediante l’uso di opportuni fattori di emissione, la produzione di inquinanti da parte delle diverse categorie di attività antropiche e biogeniche presenti
sul territorio. Tra le procedure più utilizzate a questo scopo citiamo la metodologia CORINAIR,
preparata dall’European Environment Agency (EEA).
360
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
Il problema delle dimensioni da attribuire alla scatola, quando il ricettore è
vicino, è già stato discusso in 3.2. Quando il ricettore è sufficientemente lontano dalle sorgenti, l’altezza può essere fatta coincidere con quella dello strato
limite rimescolato. La quota di inversione che lo delimita costituisce infatti
una barriera insormontabile per gli inquinanti prodotti al suolo e rappresenta
il limite superiore dei processi di mescolamento in condizioni convettive. Per
rappresentare la tipica evoluzione diurna e mettere in conto il progressivo aumento di spessore dello strato convettivo si potrebbe formulare il metodo in
termini non stazionari. Ciò avrebbe anche il vantaggio di poter valutare una
produzione di inquinanti variabile, non troppo velocemente, nel tempo. Le
ipotesi con cui è stato formulato l’algoritmo sono però così limitanti che non
vale la pena di forzare troppo la capacità del modello.
In mancanza di precise informazioni e volendo studiare le condizioni più critiche si potrebbe assumere per h un centinaio di metri o poco più. La larghezza
della scatola dovrebbe venire definita sulla base della dispersione laterale. Ciò
non è richiesto per una sorgente di tipo lineare, schematizzabile come una
striscia notevolmente allungata, perpendicolare al vento. Valutando infatti la
portata di inquinante per unità di larghezza:
ṁq = Ṁq /L
si ottiene di far sparire L dalla formulazione del problema. Negli altri casi
conviene considerare una larghezza sufficiente a contenere tutte le sorgenti,
che devono essere numerose e ben distribuite per consentire di trascurare gli
effetti della dispersione laterale. La faccia di uscita sulla quale ritenere uniforme la concentrazione, dovrebbe venire individuata con le considerazioni già
esposte nel paragrafo 3.2.
Il modello ha il vantaggio della semplicità; è adatto a stime grossolane dell’ordine di grandezza delle concentrazioni degli inquinanti7 , oppure a porre
in evidenza il ruolo di alcuni parametri meteorologici sui processi globali di
inquinamento: la velocità del vento e l’altezza dello strato di inversione. Il
metodo ha comunque un suo valore didattico e se la fluidodinamica del modello è inesistente, non c’è nulla che impedisca di aggiungere la chimica del
fenomeno. Proprio con questo intento, ipotizzando che le concentrazioni del-
7
Naturalmente gli inquinanti che risultassero con concentrazioni molto inferiori ai limiti di legge
potrebbero venire tralasciati nel successivo calcolo con modelli più sofisticati.
361
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
le varie specie siano uniformi all’interno della scatola, sono stati sviluppati
alcuni schemi di calcolo in grado di studiare in via preliminare le reazioni chimiche tra inquinanti primari e secondari, che sono caratteristiche dei fenomeni
di inquinamento fotochimico nei centri urbani. L’argomento sarà trattato nel
paragrafo 9.4.
Modelli fluidodinamici: generalità
Per avere una stima dettagliata e precisa del campo di concentrazione è indispensabile tenere conto di tutti i fenomeni fluidodinamici che vengono coinvolti nel processo di dispersione. A tal fine si possono adottare due punti di
vista: quello euleriano, in cui l’osservatore rileva l’evoluzione temporale delle diverse grandezze fisiche in un punto fisso del campo di moto, e quello
lagrangiano nel quale l’osservatore insegue le particelle fluide nel loro movimento. Da questi due approcci scaturiscono due differenti tipologie di metodi:
i metodi euleriani e i metodi lagrangiani, (chiamati anche alle particelle).
Iniziamo col considerare i primi, distinguendo tra modelli gaussiani e modelli
a griglia, o alle differenze finite. Per entrambi il punto di partenza è rappresentato dall’equazione di trasporto e dispersione di un inquinante, già dedotta
nel paragrafo 3.1. Essa esprime la variazione nel tempo della concentrazione media Q come il risultato di due fenomeni: il trasporto provocato dal moto
medio e la dispersione turbolenta, rispetto alla quale la diffusione molecolare
può essere ritenuta trascurabile. Il primo effetto si può esprimere, grazie all’equazione di continuità, come prodotto scalare della velocità media U per
il gradiente della concentrazione media Q(x, y, z, t), il secondo calcolando la
divergenza dei flussi turbolenti, ovvero delle correlazioni tra le componenti
fluttuanti della velocità e della concentrazione < ui q >. Omettendo la presenza di termini di sorgente e di eventuale rimozione, l’equazione può essere così
scritta:
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
= − Ux
+ Uy
+ Uz
−
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ < ux q > ∂ < ux q > ∂ < ux q >
−
+
+
∂x
∂y
∂z
I flussi turbolenti sono grandezze incognite; per calcolarne il valore occorrerebbe conoscere la statistica congiunta delle due fluttuazioni in tutto il
362
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
dominio, una richiesta in grado di disorientare qualunque persona di buon
senso.
Dal punto di vista formale, ciò può essere evitato ricorrendo alla cosiddetta
chiusura del primo ordine, ovvero alla legge del gradiente:
∂Q
< ui q >= −Dt
∂xi
L’equazione è stata proposta nel paragrafo 3.2, al fine di esprimere i flussi
turbolenti in funzione del campo medio di concentrazione. È consuetudine
della letteratura sui modelli distinguere tra le tre direzioni dello spazio. Introduciamo i simboli Kx , Ky , Kz , per rappresentare tre componenti diverse del
coefficiente di dispersione o diffusione turbolenta, precedentemente considerato uno scalare. L’equazione euleriana di trasporto e diffusione turbolenta
diviene:
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
= − Ux
+ Uy
+ Uz
+
7.1
∂t
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
∂Q
∂Q
∂Q
+
Kx
+
Ky
+
Kz
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
I nuovi termini sono tanto problematici quanto lo erano le precedenti correlazioni statistiche. La loro comparsa rende tuttavia l’equazione determinata
nella variabile Q e lascia presagire il passo successivo verso la soluzione. Supponendo infatti di conoscere in tutto il dominio di calcolo la velocità del vento
U(x, y, z, t) e di disporre di ricette8 per stimare i coefficienti K(x, y, z, t), è
possibile tentare una risoluzione numerica del problema. A tal fine basta:
–
–
–
–
introdurre nel dominio di calcolo una griglia tridimensionale;
sostituire alle derivate i corrispondenti rapporti tra differenze finite;
precisare le condizioni al contorno e quella iniziale;
integrare numericamente l’equazione.
Ciò dovrebbe essere sufficiente per trovare il campo di concentrazione media Q. Data la dipendenza dal tempo, tutti i valori medi devono essere intesi
8
In gergo si chiamano parametrizzazioni, e consistono in relazioni semiempiriche basate sulle
teorie di similitudine, in grado di calcolare le quantità incognite sulla base di alcuni parametri
meteorologici.
363
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
come il risultato di una media di insieme; oppure occorre immaginare che l’operazione di media sia stata eseguita su intervalli temporali molto più piccoli
di quello tipico di variazione delle condizioni emissive o meteorologiche. I
metodi euleriani a griglia9 sono algoritmi complessi, che richiedono calcolatori elettronici di adeguata potenza e personale con esperienza. Ecco perché
negli anni cinquanta vennero sviluppati approcci differenti da quello che abbiamo descritto, e sul quale torneremo più avanti. Come è già stato mostrato
nel paragrafo 3.2, basta introdurre alcune ipotesi per ottenere schemi di calcolo analitici più semplici e poco esigenti (i cosiddetti pennacchi gaussiani).
Grazie alle numerose estensioni che hanno ricevuto via via nel corso del tempo, essi costituiscono la base di molti codici di calcolo ancora oggi largamente
utilizzati.
7.2.
MODELLI GAUSSIANI
La soluzione più semplice
Se supponiamo di considerare:
– fenomeni stazionari,
– coefficienti di diffusione turbolenti costanti,
– vento uniforme e costante, allineato all’asse x,
– territorio perfettamente omogeneo e pianeggiante,
– diffusione turbolenta lungo l’asse x trascurabile rispetto al semplice
trasporto provocato dal vento nella stessa direzione,
l’equazione di diffusione e trasporto si riduce alla semplice forma:
Ux
9
∂Q
∂2Q
∂2Q
= Ky 2 + Kz 2
∂x
∂y
∂z
Sono chiamati anche alle differenze finite, con riferimento alla tecnica numerica al momento più
frequentemente adottata. Nulla però vieta di utilizzare altri schemi numerici: volumi o elementi
finiti, oppure metodi spettrali.
364
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
che ammette una soluzione analitica:
Ṁq
−U
Q (x, y, z) = e 4x
4π Ky Kz
“
y2
Ky
2
z
+K
”
z
Tale funzione può essere facilmente interpretata come il campo di concentrazione, prodotto da una sorgente isolata collocata all’origine degli assi e con
portata di inquinante Ṁq . Perché rappresenti l’emissione di un camino di altezza h, basta effettuare un semplice trasferimento di assi e sostituire a z la
differenza z − h; per riconoscere la soluzione come un pennacchio gaussiano
è invece sufficiente introdurre le deviazioni standard di dispersione laterale σy
e verticale σz :
2Ky x
σy2 =
7.2
U
σz2 =
2Kz x
U
Si ottiene così la ben nota espressione:
−1
Ṁq
e 2
Q (x, y, z) =
2πσy σz U
7.3
„
y2
2
σy
2
+ (z−h)
σ2
z
«
7.4
Essa è caratterizzata, cfr. fig. 3.5, da:
– un profilo trasversale di concentrazione media Q(y) di forma gaussiana, centrata sulla direzione del vento (y = 0) e con larghezza
(deviazione standard) pari a σy ;
– un andamento verticale di concentrazione media Q(z) anch’esso
gaussiano, centrato sull’asse del pennacchio (z = h allo sbocco
camino) e con ampiezza (deviazione standard) pari a σz .
Le deviazioni standard del pennacchio10 dipendono dai coefficienti di dispersione, dalla distanza x e dalla velocità del vento U . Per darne una stima,
anziché usare la definizione 7.2 e 7.3, si preferisce ricorrere ad alcune relazio-
10
Abbiamo preferito usare questi termini perché ci sono sembrati più corretti nel loro significato
di quanto appaiano i vocaboli coefficienti di dispersione laterale e verticale del pennacchio
comunementi utilizzati in letteratura.
365
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
10000
1000
ƍy [m]
A
B
100
C
D
E
F
10
1
100
1000
10000
100000
Distanza dalla sorgente [m]
Fig. 7.1 – Andamento della deviazione standard laterale del pennacchio in funzione
della distanza dalla sorgente, per le diverse classi di stabilità.
ni empiriche, distinte in base alla classificazione di Pasquill ed eventualmente
anche al tipo di territorio: urbano o rurale.
L’andamento delle deviazioni standard del pennacchio è sempre crescente con
x, tanto più quanto è maggiore l’instabilità dell’atmosfera, come mostrano i
diagrammi delle fig. 7.1 e 7.2. Questa circostanza riduce la concentrazione
massima man mano che ci si allontana dal camino e assicura che la portata
di inquinante, attraverso ogni sezione perpendicolare all’asse del pennacchio,
resti costante e pari a quella di emissione.
La soluzione 7.4 ha però alcuni inconvenienti, il più evidente dei quali è quello
di non considerare la presenza del terreno. La gaussiana continua ad allargarsi
sottovento, il che porterebbe ad una sottostima delle concentrazioni in prossimità del suolo. La tecnica delle riflessioni consente di correggere l’indesiderato comportamento. Aggiungendo una sorgente sotterranea fittizia, speculare
rispetto al terreno (cfr. fig. 3.6), si compensa la perdita di concentrazione di inquinante, che si manifesterebbe nel progressivo allargamento del pennacchio.
Dal punto di vista matematico, si tratta di aggiungere alla formula del pennac366
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
10000
1000
ƍz [m]
A
B
100
C
D
E
F
10
1
100
1000
10000
100000
Distanza dalla sorgente [m]
Fig. 7.2 – Andamento della deviazione standard verticale del pennacchio in funzione
della distanza dalla sorgente, per le diverse classi di stabilità.
chio gaussiano un nuovo esponenziale che simula la presenza di una sorgente
alla quota di −h, per correggere il profilo verticale di concentrazione:
„ «
“
”
“
”
2
(z−h)2
(z+h)2
1
1
− 12 σy2
Ṁq
−
−
2
2
y
e
Q (x, y, z) =
+ e 2 σz
e 2 σz
2πσy σz U
L’espediente è particolarmente utile nello studio della concentrazione al suolo
Qo (x) = Q(x, y = 0, z = 0). Tale grandezza partirà da un valore inizialmente nullo, proprio ai piedi del camino, e crescerà fino a raggiungere un valore
massimo Qmax ad una certa distanza dalla sorgente. Per scoprire come l’andamento al suolo di Q dipenda dalle condizioni meteorologiche, è utile eseguire
una serie di calcoli che prendano in esame gli effetti su σz e σy delle cinque
o sei classi di stabilità considerate nello schema di Pasquill. Il procedimento
si rivela utile per uno studio preliminare di impatto della sorgente emissiva11.
11
L’operazione di variare i parametri del problema che non si conoscono esattamente è sempre
una procedura consigliata.
367
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
Anche le formule analitiche, seppure approssimate, possono servire allo scopo; il valore massimo di concentrazione al suolo può essere stimato con la
relazione12 :
2Ṁq σz
2Ṁq
Qmax =
∼
2
eπU h σy
eπU h2
che ci mostra una dipendenza dal quadrato dell’altezza del camino: se si
raddoppia l’altezza, la concentrazione massima si riduce a un quarto.
Innalzamento del pennacchio: formule di Briggs
Non sempre è possibile costruire alte ciminiere. Si può tuttavia aumentare in
modo virtuale la quota di sbocco del pennacchio, sfruttando l’effetto di galleggiamento causato da temperature di emissione dei fumi più alte di quella
dell’ambiente. Un risultato simile si ottiene anche soffiando i fumi verso l’alto
per mezzo di ventilatori, in modo da creare un getto dotato di forte energia cinetica. L’emissione con velocità modeste, diciamo inferiori a un paio di volte
la velocità del vento, può invece provocare un effetto di abbassamento: la scia
del camino aspira il pennacchio di fumo e riduce la quota di emissione effettiva. Quando la velocità di uscita dal camino, o la differenza di temperatura,
sono sufficientemente elevate, il pennacchio si innalza mentre viene trascinato
sottovento e il suo asse descrive una linea che si incurva verso valle (fig. 7.3).
In generale, il problema di come vadano calcolate l’altezza finale dell’asse e
la distanza dalla sorgente a cui tale altezza viene raggiunta, rappresenta uno
degli argomenti più confusi della teoria della dispersione. Esiste una pletora
di formule, ottenute interpolando i risultati di osservazioni visive, che spesso
sono prive di coerenza dimensionale; vanno considerate come aggiustamenti
del tutto empirici, in grado di dare risultati accettabili, se l’emissione che si
sta studiando ha caratteristiche simili a quelle considerate per l’elaborazione
delle formule13 . Alcuni lineamenti possono tuttavia essere ricordati:
12
Il massimo è ottenuto analiticamente dalla 7.4, supponendo che il rapporto σz /σy sia costante,
e ricordando che l’effetto di riflessione raddoppia la concentrazione al suolo. Poiché in realtà
il rapporto σz /σy varia con la distanza sottovento, cfr. figg. 7.1 e 7.2, la formula costituisce
un’approssimazione.
13
Si tratta quasi sempre di impianti di grande potenza.
368
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
z
Origine virtuale
del pennacchio
ra nto
Sov lzame
a
n
In
h
Concentrazione media Q
nel generico punto (xp yp zp)
y
yp
ino
Cam
Q (xp yp z)
P
zp
xp
x
Fig. 7.3 – Campo di concentrazione media di un pennacchio gaussiano con
valutazione degli effetti di sovrainnalzamento.
– dei due effetti che producono innalzamento del pennacchio - alta
velocità di uscita del getto e differenza di temperatura del gas rispetto all’ambiente - negli impianti di grande potenza è dominante il
secondo, specialmente nelle ore notturne14 ;
– nel caso dell’innalzamento di origine termica, la grandezza in funzione della quale le varie relazioni sono ordinate è il cosiddetto
fattore di spinta di galleggiamento:
Fg =
V̇ g ΔT
π Ta
ove V̇ è la portata volumica (m3 /s) del camino, g l’accelerazione di gravità, Ta la temperatura dell’aria in gradi Kelvin, e ΔT
14
Cfr. 3.2, Innalzamento del pennacchio.
369
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
la differenza di temperatura tra gas e ambiente circostante, ΔT =
Tg − Ta ;
– la situazione più chiaramente definita è quella di un gas caldo emesso in atmosfera stabile. Il pennacchio rimane relativamente compatto e la posizione del suo asse può essere individuata con ragionevole approssimazione. Poiché l’ascesa di una massa di aria calda
in atmosfera stabile è contrastata dal gradiente positivo di temperatura potenziale, la dinamica del fenomeno risulta influenzata da un
parametro di stabilità:
g dΘa
s=
Θa dz
in cui si riconosce facilmente il quadrato della frequenza di BruntVäisälä, cfr. 4.5:
2
s = ωbn
Per l’innalzamento dell’asse del pennacchio, la formula più comune è:
1/3
Fg
Δh = 2.6
7.5
Us
La distanza xf a valle della sorgente, per cui si raggiunge la massi√
ma elevazione, può essere stimata in multipli della lunghezza (U/ s);
giudicando in base alle osservazioni fatte da più autori si può porre15:
√
xf ≈ 3 ÷ 6(U/ s)
– Nel caso che l’emissione di gas avvenga all’interno di uno strato limite turbolento, non si ha gradiente di temperatura potenziale e quindi il
parametro s non ha ruolo nel definire l’innalzamento. D’altra parte,
neppure l’asse del pennacchio è individuabile con certezza; si usano in
queste situazioni, che vengono chiamate instabili o neutre, formule del
tipo:
Δh = 1.6
Fg1/3 x2/3
U
7.6
La 7.6 dà l’innalzamento del pennacchio in funzione della distanza sottovento
e ha il merito di essere dimensionalmente corretta. Poiché Δh non può cre-
15
Cfr. G.A. Briggs, Plume rise predictions, Lectures on Air Pollution and Environmental Impact
Analysis, 4, American Meteorological Society, Boston, 1975.
370
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
scere senza limite con x, l’ascesa viene arrestata per valori di x che superano
un valore critico xf , che è normalmente espresso mediante formule prive di
coerenza dimensionale. Si tratta in definitiva di uno dei tanti parametri liberi,
con cui vengono calibrati i modelli gaussiani affinché producano dei risultati accettabili. Le formule 7.5 e 7.6 vengono usualmente chiamate formule di
Briggs.
La modellazione del fenomeno è completata da una modifica del valore iniziale delle larghezze di dispersione σy e σz del pennacchio, per simulare l’effetto
del più elevato livello di turbolenza, dovuto all’energia cinetica di sbocco e
al lavoro della spinta di Archimede. La variazione dei parametri di calcolo
permetterà di stabilire l’influenza del processo di mescolamento iniziale sui
risultati al suolo.
Presenza di uno strato di inversione
Nello studio del fenomeno di sovrainnalzamento termico occorre tener conto
della eventuale presenza in quota di uno strato di inversione, che i fumi nella
loro risalita potrebbero non riuscire a superare. Anche per questo caso sono
state elaborate alcune formule empiriche. La presenza di uno strato di inversione basso, impedendo la dispersione verso l’alto del pennacchio, cfr. fig. 7.4,
comporta concentrazioni al suolo particolarmente elevate. La circostanza viene genericamente indicata col termine molto espressivo di fumigazione. Il
vocabolo si riferisce tuttavia ad un fenomeno particolare, di breve durata, già
descritto nel paragrafo 6.1. Gli inquinanti emessi in quota durante la notte vengono improvvisamente raggiunti dalle correnti convettive, che nascono nello
strato rimescolato durante le prime ore del mattino, e trasportati in prossimità
del suolo. Il fenomeno si attenua nel corso della giornata quando lo spessore
della regione rimescolata aumenta ben oltre la quota di emissione. Da notare come le condizioni di forte stabilità atmosferica, caratteristiche della fase
notturna, consentano ai fumi di venir trascinati a distanze anche molto elevate
dalla sorgente senza apprezzabile diluizione.
Trattandosi di un fenomeno evolutivo, la fumigazione non può venire correttamente analizzata da un modello gaussiano che, in virtù dell’ipotesi di partenza,
può trattare solamente condizioni stazionarie. Se si prescinde da questa circostanza, la presenza di strati di inversione può essere facilmente messa in
conto con un espediente già visto: la tecnica delle immagini. La trattazione
371
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
y
z
STR
ATO
D
hi
I IN
VER
SIO
NE
O
OL
SU
x
Fig. 7.4 – Campo di concentrazione media di un pennacchio gaussiano in presenza di
un basso strato di inversione (cfr. fig. 6.10).
analitica diventa più complessa di quella usata per rappresentare il suolo. L’introduzione del piano di riflessione per simulare la quota di inversione produce
l’effetto analogo a quello di due specchi posti uno di fronte all’altro, che creano un gioco inesauribilie di riflessioni. Dal punto di vista analitico non è però
sufficiente un solo nuovo termine, ma occorre un’intera serie matematica per
tener conto delle infinite riflessioni; in pratica bastano i primi cinque o sei addendi per ottenere una convergenza di calcolo del risultato di gran lunga più
attendibile di tutte le altre approssimazioni in gioco.
Non stazionarietà in media delle variabili meteorologiche
La limitazione dovuta alla stazionarietà del modello gaussiano consente di
trattare scenari con intervalli temporali di un’ora o due, durante i quali le variabili meteorologiche restano ragionevolmente costanti, per regioni non troppo estese - qualche decina di chilometri. L’applicazione del modello in questo
contesto si definisce con il termine inglese di short-term. Le concentrazioni
che si ottengono sono da intendere tipicamente come medie orarie. Il metodo è
perciò poco adatto per studiare scenari emissivi associati ad incidenti di breve
372
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
durata e caratterizzati da inquinanti tossici o esplosivi, la cui pericolosità è associata, tra l’altro, alle concentrazioni istantanee e non ai valori medi calcolati
dal metodo. Se si desidera considerare tempi decisamente maggiori dell’intervallo orario, si deve utilizzare un’altra modalità di calcolo del modello, quella
chiamata long-term. Si tratta allora di scomporre l’evoluzione temporale in
una successione di stati stazionari e di mediare sul lungo periodo le concentrazioni calcolate per ciascun stato. Dal punto di vista computazionale, occorre
preparare un’elaborazione statistica che si definisce climatologica, nella quale
l’intensità del vento, la direzione (in genere su 16 settori della rosa dei venti) e le condizioni di stabilità sono divise in classi. Una tabella di probabilità
congiunta, la cosiddetta JFF (Joint Frequency Function) può fornire la percentuale con cui ogni combinazione di intensità del vento, direzione e classe di
stabilità dovrebbe verificarsi sul totale. Questa tabella deve essere costruita
sulla base di rilevazioni locali, e perché sia davvero rappresentativa deve considerare una statistica meteorologica che si riferisca a più anni, almeno cinque
secondo l’ente statunitense di protezione dell’ambiente EPA.
Il programma di calcolo che implementa il modello gaussiano può analizzare
ogni singola combinazione di parametri e produrre per ciascuna di esse una
mappa di concentrazione. La media pesata di tutte le mappe, con un peso dato
dalla tabella di frequenza congiunta, fornirà l’andamento della concentrazione
media sul periodo considerato, che tipicamente si riferisce ad un intero anno.
Il caso peggiore
I programmi possono essere usati anche per trovare la condizione peggiore,
che in mancanza di adeguate e più complete informazioni meteorologiche
fornisce, in via preliminare, uno studio di impatto ambientale della sorgente. Questa logica ha suggerito lo sviluppo di alcuni codici di calcolo, detti
di screening, basati proprio sul modello gaussiano. Il vantaggio fondamentale che essi offrono è quello di non richiedere altre informazioni oltre quelle
essenziali. I risultati saranno ovviamente approssimati, ma in genere portano
ad una sovrastima dell’inquinamento. Appartiene a questa categoria il codice
SCREEN3, che permette una valutazione preliminare dell’inquinamento prodotto da una sorgente isolata. SCREEN3 è disponibile al Support Center for
Regulatory Air Models del sito www.epa.gov, insieme agli altri programmi
consigliati dall’ente statunitense di protezione dell’ambiente per lo studio di
problemi di qualità dell’aria.
373
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
Modelli gaussiani più complessi
Per raffinare la successiva indagine sono stati sviluppati, sia da EPA sia da
altri centri di ricerca (l’ENEA in Italia, ad esempio), modelli più sofisticati.
Essi, rimuovendo le limitazioni connesse con la formulazione base del modello gaussiano, estendono considerevolmente il campo di applicazione. A
partire da questi modelli alcune società commerciali, specializzate nella produzione e nella vendita di programmi ad uso scientifico, hanno realizzato codici particolarmente amichevoli dal punto di vista dell’utente. I singoli moduli
di calcolo sono stati incorporati in pacchetti integrati, che prevedono cartografia, inventario delle emissioni, statistica delle condizioni meteorologiche e
presentazione grafica dei risultati. Numerose sono le estensioni che possono
venire aggiunte al modello gaussiano; senza entrare nel dettaglio elenchiamo
i relativi argomenti:
– il trattamento di più sorgenti, anche di tipo distribuito su una linea o un’area, per valutare l’inquinamento di strade o agglomerati urbani; data la linearità del modello è sufficiente applicare la
sovrapposizione degli effetti;
– le conseguenze di un terreno non pianeggiante16;
– la presenza di ostacoli, come ad esempio edifici, i cui effetti
di ricircolo della scia si possono valutare con l’uso di specifici
algoritmi;
– i fenomeni di deposizione, secca o umida, talvolta con le reazioni chimiche più elementari; la presenza nei fumi di particolato di dimensioni differenti è valutata mediante la granulometria, cioè una suddivisione in classi sulla base della velocità di
sedimentazione vg 17 ;
– il trattamento delle calme di vento.
16
Gli opuscoli usati dai venditori, al fine di pubblicizzare il codice, usano con enfasi il termine
orografia complessa, ma gli aggiustamenti possibili sono minimi.
17
Questa velocità verticale discendente, combinandosi col vento, ha l’effetto di inclinare verso
il basso l’asse del pennacchio di una quantità che dipende dalle dimensioni delle particelle.
La dispersione delle particelle più grossolane, aventi vg > 1 m/s, deve venire calcolata con
algoritmi balistici.
374
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
La calma di vento rappresenta la situazione più critica per un modello di dispersione gaussiano. Venendo meno il trasporto dovuto al moto medio, gli effetti dispersivi associati alla velocità di uscita dalla sorgente e alla turbolenza
atmosferica diventano preponderanti in tutte le direzioni - manca la direzione sottovento - e devono venire calcolati esplicitamente con algoritmi, la cui
validità generale non è certa.
Per chiudere l’argomento, possiamo elencare solo alcuni dei tanti codici di
calcolo gaussiani, come ISC (Industrial Source Complex) di EPA giunto alla
versione 3, la sua versione migliorata AERMOD e quella commerciale ISCAERMOD View della Lakes Environmental Software. Un prodotto italiano è
DIMULA, sviluppato da ENEA, giunto ora alla versione 2. Tra le tante altre opzioni disponibili in commercio, segnaliamo ADMS, adatto a studiare
situazioni urbane. Esistono anche modelli gaussiani sviluppati per trattare casi particolari. È il caso di VALLEY, che prevede algoritmi semplificati per
simulare effetti di interazione tra i pennacchi e i fianchi dei rilievi montuosi;
oppure di HIGHWAY2, per lo studio di autostrade, in cui la dispersione iniziale dovuta alla scie delle autovetture è messa in conto con una modifica dei
coefficienti di dispersione.
Modelli a puff
Una delle fondamentali limitazioni dei modelli gaussiani è l’impossibilità di
considerare situazioni non stazionarie e campi di vento non uniformi. Per rimuovere questi inconvenienti, senza alterare troppo la semplicità d’uso e complicare eccessivamente la formulazione, sono stati sviluppati i modelli a puff.
Si tratta di una classe di metodi derivati dai gaussiani nei quali il pennacchio
viene simulato da una successione di nuvolette trasportate dal vento. Variando
la frequenza di rilascio dei puff, o la massa di inquinante associata a ciascuno
di essi, si possono mettere in conto emissioni non stazionarie; inoltre il movimento di ciascun puff avviene indipendentemente, è perciò facile considerare
anche situazioni meteorologiche variabili. Ciascuna nuvoletta è caratterizzata
da una distribuzione gaussiana tridimensionale di inquinante e si sposta trascinata dal vento che via via incontra. La dispersione attorno al centro di massa
è simulata da una semplice espansione, funzione del tempo di volo e della turbolenza locale. L’ingrandimento della nuvola avviene sia nella direzione verticale sia sul piano orizzontale. Per trattare quest’ultimo processo è necessario
introdurre oltre a σy anche la dimensione lineare σx , col vantaggio di simu375
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
lare in qualche misura le situazioni di calma di vento, impossibili da trattare
nei modelli gaussiani classici. L’espansione in direzione verticale può avvenire sia in forma gaussiana, attraverso la dimensione lineare σz (e la già citata
tecnica delle riflessioni) sia in modo più corretto, valutando l’effettiva e disomogenea struttura verticale dell’atmosfera. Quest’ultimo approccio permette
infatti di considerare le reali condizioni sul terreno e la presenza in quota di
strati di inversione, col vantaggio di trattare le situazioni convettive fortemente instabili, che sfuggono alla formulazione classica dello schema gaussiano.
Il prezzo che occorre pagare per l’applicazione dei modelli a puff è la necessità di conoscere come variano da punto a punto la velocità media del vento e
l’intensità della fluttuazione turbolenta; l’uso di pre-processori meteorologici
permette di risolvere la questione. Segnaliamo il più famoso codice a puff, il
californiano CALPUFF col suo pre-processore CALMET oppure per restare
in Italia SAFE-AIR, con l’annesso programma di ricostruzione del campo di
vento WINDS.
7.3.
MODELLI PER IL CALCOLO DELLE VARIABILI METEOROLOGICHE
Le informazioni meteorologiche normalmente disponibili per lo studio dei
problemi di dispersione consistono nelle misure fornite da un certo numero
di stazioni fisse (cfr. capitolo 8). Nei casi più fortunati si dispone anche di un
sondaggio verticale, ottenuto col lancio di palloni o con l’applicazione delle
tecniche di rilevazione a distanza. Questi pochi dati devono venire interpolati,
per ricostruire l’andamento spazio-temporale delle variabili meteorologiche in
tutto il dominio di interesse. A tal fine si possono utilizzare semplici modelli
diagnostici, oppure i più sofisticati modelli prognostici. I modelli diagnostici contengono solamente l’equazione di conservazione della massa; per tale
motivo essi vengono indicati come mass-consistent. Le misure di cui si dispone vengono interpolate su una griglia tridimensionale di punti, che in genere
segue l’andamento verticale del terreno; successivamente i valori così trovati sono adattati per assicurare la conservazione della massa in ogni cella del
dominio di calcolo. La correzione può essere eseguita modificando il solo
campo delle velocità orizzontali, oppure considerando anche le componenti verticali della velocità. Per migliorare la ricostruzione del campo di moto
si possono includere gli effetti dell’orografia e la configurazione del territorio, anche se le pendenze trattate non possono essere elevate e la morfologia
376
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
non eccessivamente disuniforme. Naturalmente la bontà dei risultati dipende in modo significativo dalla quantità e dalla precisione dei dati di ingresso. I pre-processori diagnostici operano in condizioni statiche, considerando
l’evoluzione temporale come una successione di stati stazionari.
Un approccio più realistico è quello dei pre-processori meteorologici di tipo
prognostico, che sono capaci di simulare l’evoluzione dei fenomeni atmosferici attraverso l’integrazione di un modello fisico-matematico più completo
della semplice conservazione della massa. Tale modello include i bilanci di
quantità di moto, di energia e di umidità e ciò consente di ricostruire le variabili meteorologiche con maggiore accuratezza di quanto sia possibile con
un semplice processo di interpolazione. Fatta salva la scala di interesse, che
per gli scopi ambientali è in genere limitata, la distinzione con i programmi utilizzati per le previsioni meteorologiche è labile. I modelli prognostici
sono in grado di stimare l’evoluzione futura dell’atmosfera a partire dai dati iniziali. Per migliorare la stima si possono includere anche le condizioni
al contorno provenienti da modelli di calcolo meteorologico che operano su
scala maggiore.
L’utilizzo di un pre-processore prognostico è perciò particolarmente complesso, sia per il maggiore onere di calcolo, sia per la necessità di inserire l’uno
dentro l’altro domini di calcolo con scale diverse, utilizzando programmi di
previsione meteorolgica planetaria18 per l’aggiornamento delle condizioni al
contorno da applicare al modello prognostico. Rispetto ai programmi di previsione meteorologica planetaria, i modelli prognostici offrono un grado di
dettaglio più elevato, indispensabile per l’applicazione dei codici di dispersione degli inquinanti; tale grado è del tutto analogo a quello offerto dai modelli
meteorologici per area limitata, con cui i prognostici sono strettamente imparentati. È sempre più frequente il caso in cui lo stesso codice viene impiegato
con scopi differenti: meteo-previsionale, oppure ambientale.
Al fine di contenere l’impegno di calcolo, nella formulazione dei modelli prognostici sono incluse alcune approssimazioni. È il caso di quella aerostatica19 ,
18
Per esempio, quello utilizzato al ECMWF, il centro europeo di previsioni meteorologiche a
medio termine, che a sede a Reading, in Gran Bretagna.
19
Avvertiamo il lettore che talvolta questa stessa assunzione viene indicata col curioso aggettivo
di idrostatica.
377
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
con la quale viene assunto l’equilibrio verticale dell’atmosfera come se fosse
in quiete, oppure quella di Boussinesq, con la quale si trascurano le fluttuazioni
di densità, se non quelle legate agli effetti di galleggiamento.
Quest’ultima approssimazione può ritenersi sempre ben verificata, mentre
la prima può essere accettata solo nel caso di terreni piuttosto pianeggianti. Quando si usano infatti sistemi di coordinate curvilinee (ad esempio terrain following) per tenere conto di una orografia complessa, è meglio adottare
modelli non aerostatici, più onerosi, ma più affidabili in presenza di rilievi20 .
Tutti i fenomeni che non possono venire considerati in modo esplicito nella
formulazione (i flussi turbolenti di calore, di quantità di moto, di umidità,
il comportamento termico del suolo, l’evoluzione delle nuvole, i fenomeni
di precipitazioni, ecc...) sono trattati mediante opportune parametrizzazioni,
cioè algoritmi semiempirici, più o meno sofisticati in funzione del grado di
realismo che si vuole considerare nel modello.
Per quanto riguarda la descrizione del campo di moto turbolento, vogliamo segnalare la possibilità di ricorrere alla cosiddetta simulazione ai grandi vortici,
la Large Eddy Simulation. Si tratta di una tecnica di simulazione di correnti
turbolente che prevede di separare la strutture di grande scala da quelle di scala piccola, introducendo un’arbitraria lunghezza discriminante. Le strutture
di grande scala vengono trattate integrando numericamente le rispettive equazioni, in modo da ricostruirne la dinamica; l’effetto delle strutture di scala
più piccola sulla dinamica di quelle più grandi viene invece messo in conto come se si trattasse di un effetto diffusivo, secondo il consueto schema di
Boussinesq. L’idea sottintesa è che il comportamento delle strutture di piccola
scala si possa ritenere universale. Dato il consistente impegno di calcolo richiesto, l’applicazione della LES è al momento limitata a scopi di ricerca e a
situazioni con geometrie confinate.
Per quanto concerne i codici meteorologici disponibili attualmente sul mercato, segnaliamo tra i pre-processori diagnostici i già citati CALMET e WINDS,
a cui possiamo aggiungere il francese MINERVE. Tra i prognostici vogliamo
menzionare i modelli meterorlogici ad area limitata LAMBO (aerostatico) ed
i più sofisticati LOKAL MODELL e RAMS.
20
Per approfondire l’argomento si veda: R.A. Pielke, Mesoscale Meteorological Modeling,
Academic Press, 1984.
378
7.
7.4.
STRUMENTI DI CALCOLO
MODELLI EULERIANI ALLE DIFFERENZE O AI VOLUMI FINITI
La conoscenza della velocità media e dell’intensità di fluttuazione turbolenta
del vento, fornita da un codice meteorologico, può consentire l’integrazione numerica dell’equazione 7.1. La tecnica di sostituire ai differenziali delle
differenze finite è certamente la più classica e storicamente anche quella che
venne tentata per prima. Altri schemi numerici sono però possibili: elementi
finiti, volumi finiti oppure tecniche spettrali. Non entriamo nel merito dell’argomento che è oggetto dell’Analisi Numerica. In tutti i casi occorre introdurre
un grigliato tridimensionale di punti a spaziatura fissa o variabile, cartesiana oppure adattata al terreno, che deve essere continuamente fornito ai nodi
dei valori di velocità media del vento e dei coefficienti di diffusione turbolenta. L’impegno computazionale si presenta perciò ben superiore ai metodi
gaussiani, ma con il vantaggio di poter aggiungere modelli sofisticati e completi per le reazioni chimiche. Diventa così possibile seguire l’evoluzione di
ciascuna specie chimica, la formazione e la rimozione di inquinanti primari
e secondari. La circostanza può incidere considerevolmente sui tempi di calcolo ed in alcuni casi si possono preferire modelli chimici in versione ridotta.
Nei metodi euleriani a griglia è inoltre possibile trattare le deposizioni secche
ed umide, e la formazioni di aerosol. A parte il consistente onere computazionale, che la crescente potenza dei calcolatori rende via via meno influente, i
metodi a griglia richiedono una laboriosa preparazione dei dati di ingresso.
Errori ed imprecisioni iniziali possono facilmente falsare i risultati del calcolo; molto delicata risulta pertanto la fase iniziale di assimilazione dei dati
di ingresso. I metodi euleriani a griglia presentano l’inconveniente di diffondere tutto l’inquinante nel volume della cella e tale circostanza può portare
ad una sottostima delle concentrazioni. Proprio per questo motivo sono strumenti adatti allo studio di episodi di inquinamento su vaste regioni, potendo
considerare sorgenti molteplici e più inquinanti reagenti tra loro. Oltre ai preprocessori meteorologici, sono stati sviluppati anche sofisticati pre-processori
emissivi, in grado di generare i cosidetti campi di emissione21.
21
La valutazione delle emissioni in atmosfera costituisce un’operazione complessa della catena
modellistica, soprattutto se si intende considerare un territorio vasto e densamente popolato.
Essa consiste nello stimare i flussi di materia immessi dalle differenti tipologie di sorgenti,
facendo riferimento alla loro distribuzione sul territorio ed alla loro evoluzione nel tempo. Per
ottenere il sufficiente dettaglio spaziale e temporale richiesto dall’applicazione del modello, si
utilizza un procedimento di disgregazione degli inventari fino alle scale desiderate.
379
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
Le applicazioni tipiche dei codici euleriani a griglia riguardano la simulazione di episodi critici di smog fotochimico su scala regionale22, per una durata
di qualche giorno. In questo contesto i codici più famosi sono CALGRID e
UAM. Non sono adatti per studi di lungo periodo.
Sono stati sviluppati modelli alle differenze finite anche per trattare situazioni
specifiche, caratterizzate dalla presenza di turbolenza non di origine atmosferica, come nelle scie di ostacoli o di autoveicoli in movimento. Appartiene
a questa tipologia ROADWAY, un codice alle differenze finite sviluppato per
studiare l’inquinamento del traffico autostradale su territori pianeggianti, nel
quale la modellazione dei coefficienti di diffusione turbolenta è ottenuta dal
contributo di due termini: il primo tiene conto delle scie prodotte dalle automobili e si attenua progressivamente man mano che ci si allontana dal tracciato stradale; il secondo è invece calcolato in funzione dei parametri di stabilità
dello strato limite.
7.5.
METODI LAGRANGIANI
Nel paragrafo 3.1 avevamo visto che il risolvere l’equazione euleriana di
trasporto turbolento, semplificata con l’eliminazione dei termini diffusivi:
∂
∂Q
(Uj Q + < uj q >)
=−
∂t
∂xj
è equivalente a trattare in senso statistico un insieme di traiettorie, lungo le
quali si conserva invariato un grano della sostanza che si disperde. Su questa proprietà si basano i modelli lagrangiani per il calcolo della dispersione,
i quali simulano direttamente un insieme di traiettorie, e quindi derivano le
variazioni di concentrazione media dal modo in cui i vari grani si sono distribuiti nello spazio. Questo approccio mette in evidenza sin dall’inizio che la
diffusione molecolare non è considerata; l’inquinante si disperde perché i baricentri delle particelle che lo contengono si allontanano tra loro, per effetto
della componente caotica del moto. Nello studio dei problemi di dispersione,
il trascurare la diffusione molecolare non costituisce un problema, perché gli
effetti dell’agitazione molecolare sono importanti solo per scale estremamente
22
Ad esempio nella Pianura Padana, con particolare riferimento ai centri urbani di Milano e
Bologna.
380
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
più piccole di quella della nube di inquinante; l’approccio lagrangiano si rivela il più idoneo a trattare problemi di qualità dell’aria in situazioni complesse
per motivi topologici.
Nei modelli lagrangiani, l’emissione delle sorgenti inquinanti viene simulata da un grande numero di particelle indipendenti. L’inquinante può essere in
fase gassosa, oppure solida o liquida come aerosol, ma la distinzione non è rilevante per il calcolo. Le particelle dei metodi lagrangiani sono entità fittizie
alle quali è associata una certa quantità di massa di inquinante, e rappresentano solo un accorgimento per valutare la dispersione nel dominio di calcolo.
Il campo medio di concentrazione associato alle particelle deve sempre venire
riferito ad un grigliato tridimensionale. L’operazione di calcolo della concentrazione locale può presentare delle difficoltà, soprattutto nelle regioni dove
esistono forti gradienti di densità delle particelle; in linea di principio è sufficiente contare il numero di particelle presenti in ogni cella del grigliato per
determinare la massa di inquinante da dividere per il volume della cella, al fine
di ottenere la concentrazione.
Il principale vantaggio della formulazione lagrangiana è quello di poter direttamente mettere in conto le caratteristiche cinematiche del moto turbolento,
senza dover ricorrere a coefficienti turbolenti di dispersione. L’idea di base è
semplice. A ciascun passo temporale del calcolo, le particelle vengono spostate con una velocità che è somma di due termini: il primo è assegnato in
modo deterministico, perché rappresenta la velocità media dell’aria; il secondo consiste in una fluttuazione attorno al valore medio ed è il risultato di una
generazione di numeri casuali, con funzione densità di probabilità assegnata. I
momenti delle distribuzioni di probabilità, da cui sono estratte le fluttuazioni,
sono direttamente legati alle caratteristiche della turbolenza.
Al modello lagrangiano vero e proprio va dunque aggiunto un codice meteorologico, in grado di fornire il campo medio di velocità ed una stima almeno
dell’intensità della turbolenza, quando non si possieda un consistente insieme di misure al suolo e in quota. La formulazione che è alla base dei metodi
lagrangiani può essere così illustrata:
– la generica componente di velocità di ciascuna particella viene
scomposta nella somma di due termini:
vt = V + v
381
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
ove V costituisce la velocità media del vento e v la velocità di
fluttuazione;
– la componente fluttuante v della velocità può essere descritta in vario
modo, anche se in genere si fa ricorso all’equazione di Langevin, la
quale permette di simulare un processo stocastico con macroscala
lagrangiana assegnata23;
– lo spostamento della particella si calcola come:
Δy = (V + v)Δt
Rispetto ai modelli euleriani, quelli lagrangiani permettono di considerare un
numero maggiore di lineamenti statistici della fluttuazione turbolenta effettiva;
i modelli euleriani, nel momento stesso in cui esprimono i flussi dovuti alla
fluttuazione con una legge di gradiente:
< qu >= −Dt ∇Q
ove Dt è uno scalare dato da σv2 Tl , assumono che la fluttuazione di velocità
sia isotropa, con distribuzione di forma gaussiana. In realtà, la distribuzione
delle velocità fluttuanti nello strato limite non può ritenersi tale, specialmente per quanto riguarda la componente verticale della velocità. In condizioni
convettive diventa asimmetrica, a causa di velocità ascensionali mediamente
più elevate di quelle discendenti. I modelli lagrangiani possono simulare senza difficoltà distribuzioni di velocità non simmetriche, i.e. con momento terzo
diverso da zero. La proprietà è importante per il calcolo della concentrazione
in punti vicini alla sorgente.
Lo sviluppo e la verifica dei modelli lagrangiani rappresentano un importante
filone di ricerca24 . Pur essendo più onerosi degli schemi gaussiani, i metodi
a particelle consentono risultati più affidabili in situazioni complicate, per ragioni sia orografiche, sia meteorologiche. Al contrario dei codici euleriani a
23
Cfr. Anne F. de Baas, Some properties of the Langevin model for dispersion, RisøNational
Laboratory, DK-4000 Roskilde, Denmark, 1988.
24
Si veda ad esempio G. Tinarelli, D. Anfossi, M. Bider, E. Ferrero, S. Trini Castelli, "A new high
performance version of the Lagrangian particle dispersion model SPRAY, some case studies",
Air Pollution Modelling and its Applications XIII, Gryning and Batchvarova eds., Plenum Press,
2000.
382
7.
STRUMENTI DI CALCOLO
griglia, i metodi lagrangiani non soffrono del fenomeno della diffusione artificiale, particolarmente critico nel caso di griglie troppo grossolane. Per contro,
non possono trattare reazioni chimiche. Tra i diversi codici disponibili in commercio citiamo SPRAY con i suoi pre-processori meteorologici: MINERVE
per la ricostruzione del campo medio, METPRO e TURKEY per la stima dei
parametri di turbolenza.
383
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
385
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
8.1.
METODI DI MISURA
Scelta del tempo di misura per la rilevazione dei valori medi
Volendo individuare lo stato di una corrente turbolenta per via sperimentale,
si registra in un punto fisso una generica grandezza per un intervallo finito
di tempo, oppure si misura la stessa grandezza contemporaneamente in punti
diversi di un medesimo volume. Dopo di che si calcolano, nel primo caso la
media temporale dei valori misurati, nel secondo la media spaziale. Attribuiti
ad un punto nello spazio ed ad un certo istante, si presume che questi valori
rappresentino lo stato della corrente; non è tuttavia immediatamente chiaro
quale relazione intercorra tra i valori medi così ottenuti e quelli che compaiono
nella descrizione teorica.
La discussione che segue tratta di questo argomento, secondo linee che rimangono sostanzialmente inalterate, qualunque sia il tipo di media preso in
considerazione; noi faremo riferimento a medie temporali di tracciati rilevati a
punto fisso - si tratta del caso di gran lunga più comune - fermo restando che i
risultati possono essere letti come se si riferissero ad altri tipi di media, grazie
ad una banale reinterpretazione dei simboli1 .
Consideriamo quindi il valor medio temporale:
1 T
QT =
qt (t )dt
8.1
T 0
ottenuto integrando per il tempo T la variabile turbolenta qt . Il limite di QT
per T → ∞, ammesso che esista, rappresenta il valore medio temporale Q,
che in una corrente stazionaria in senso statistico viene considerato uguale alla
media di insieme < qt >, grazie all’ipotesi di ergodicità. In formula si scrive:
lim (QT ) = Q ≡ qt =< qt >
T →∞
8.2
facendo riferimento ai simboli già usati, cfr. 2.1. Il valore QT può essere
considerato come una stima di Q, il cui grado di approssimazione dipende dal
tempo di integrazione T .
1
Le funzioni di autocorrelazione euleriana e i relativi tempi integrali si trasformano nelle corrispondenti grandezze lagrangiane, se la misura è eseguita seguendo una massa di aria nel suo volo; le funzioni di correlazione temporale e le scale temporali si trasformano nelle corrispondenti
grandezze spaziali, se si tratta di una media di volume.
386
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Si può valutare quale debba essere T per ottenere un grado di approssimazione voluto, sia pure in termini di probabilità, come è inevitabile che accada
in un processo casuale. Iniziamo con l’osservare che T deve essere superiore, di un ordine di grandezza, alla scala integrale Te del processo2. Il vincolo
è implicito nella 8.2; l’ipotesi ergodica suppone che la successione temporale
delle configurazioni di un unico campo sia statisticamente equivalente all’insieme delle configurazioni che si potrebbero avere, ad uno stesso istante, in
un numero sterminato di correnti condizionate ai bordi nello stesso modo. Ma
le configurazioni di questo insieme immaginario sono tra loro indipendenti;
l’ipotesi ergodica richiede pertanto che anche l’unico tracciato della corrente
reale si possa considerare come una successione di tratti limitati, tra loro indipendenti in senso statistico. La proprietà si estende ovviamente all’intervallo
T di misura, se QT deve essere una stima attendibile di Q; al suo interno deve
essere possibile immaginare un numero n di sottointervalli, sufficientemente
distanziati tra loro da dare tracciati qt indipendenti; la condizione richiede che
sia:
T Te
Quando questa condizione è rispettata, QT si può considerare come una stima
di Q, ottenuta con un campione di durata T estratto casualmente dal tracciato
di durata teoricamente infinita; QT rappresenta il valore medio del campione,
ottenuto sommando i contributi di n integrali tra loro indipendenti:
1
T
T /n
qt (t )dt
0
con intervallo di integrazione T /n. Siamo tornati a un tema classico della
teoria della probabilità, quello dell’inferenza statistica; abbiamo un campione
di ampiezza data approssimativamente da: n = T /Te , e in base a questo
vogliamo stimare i parametri medi dell’intero processo. La teoria dei campioni
viene in aiuto; se si considera l’insieme delle possibili realizzazioni, ottenibili
ripetendo all’infinito la misura 8.1, sappiamo dalla teoria che il valore medio
QT del campione tende a distribuirsi secondo una distribuzione normale, con
2
L’esistenza delle scale integrali, quindi il carattere limitato del tempo o della distanza di
correlazione, è condizione necessaria perché l’argomento non perda significato.
387
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
valor medio Q e varianza:
σq2
n
ove n rappresenta l’ampiezza del campione e σq2 la varianza del processo
globale:
1 T
1 T 2 σq2 = lim
(qt − Q)2 dt = lim
q dt
T →∞ T 0
T →∞ T 0
< (QT − Q)2 >≡ σT2 =
Il simbolo q che compare nell’ultimo integrale rappresenta come di consueto
la fluttuazione:
q = qt − Q
Qualora si ponesse:
T
8.3
Te
si otterrebbe per la varianza della distribuzione dei valori medi campionari:
Te
σT2 = σq2
T
Il risultato non è esatto, perché nel processo che stiamo considerando la
decorrelazione avviene in modo progressivo, invece che in modo discontinuo ogni Te secondi, come la 8.3 vorrebbe. Il risultato corretto può dedursi
sviluppando3 il secondo membro dell’espressione:
T
T
1
2
< (QT − Q) >=< 2
q(t )dt
q(t )dt >
T 0
0
n∼
Si ottiene la formula:
Te 2
σ
8.4
T q
che differisce da quella precedente per un fattore 2. Il contesto logico rimane
tuttavia quello della teoria dei campioni. Si può affermare pertanto, basandosi
sulle note proprietà della distribuzione normale, che il valore medio misurato
QT ha una probabilità pari a circa 0.68 di trovarsi in un intervallo di larghezza
2σT , posto a cavallo del valor medio vero Q, una probabilità pari all’incirca a
σT2 = 2
3
Per il calcolo si fa affidamento sulla proprietà degli operatori di media e di integrazione di
commutare tra loro, e su quella di simmetria delle funzioni di autocorrelazione < q(t )q(t ) >
rispetto allo scambio di t e t . Si veda per un calcolo del tutto simile: J.O. Hinze, Turbulence,
1.9, McGraw Hill Book Company, London 1959.
388
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
0.95 di trovarsi in un intervallo di larghezza 4σT , sempre attorno a Q, etc. Si
può anche fissare in termini percentuali quale sia la banda di errore all’interno della quale si vuole, con una data probabilità, rimanere, e determinare di
conseguenza il tempo T di misura. Indicato con s l’errore percentuale che si
ritiene accettabile
σT
s=
Q
dalla 8.4 si ha:
2Te σq 2
T = 2
8.5
s
Q
Per essere usate, la 8.4 e la 8.5 richiedono la conoscenza di grandezze quali
σq , Q, Te , che si riferiscono al processo globale e non al campione; quindi si
tratta di dati che non sono noti. Per una stima possono essere tuttavia sostituiti
con i valori che risultano dal campione stesso, σq2 con la varianza e Q con il
valor medio del campione, con un procedimento del tutto consueto in questo
campo. Un tipico rapporto ad es. tra deviazione standard e valor medio di
segnale, che si incontra nelle registrazioni di variabili fluidodinamiche in uno
strato limite turbolento, è 0.1. Ponendo σq /Q ∼ 0.1, ed s = 0.05, dalla 8.5 si
ottiene:
T = 8Te
In quanto alla scala integrale Te , essa può essere valutata per il periodo diurno
in modo indiretto, in base alla sua interpretazione fluidodinamica. In uno strato
limite di altezza h, le strutture vorticose di maggiore dimensione presentano
una scala di lunghezza che è dello stesso ordine e transitano per una postazione
fissa di misura con una velocità all’incirca pari a quella media del vento. Si
può porre quindi:
Te ∼ h/U
ove l’altezza h dello strato limite è dell’ordine di 103 metri e la velocità U del
vento dell’ordine di 10 m/s. Dalla relazione precedente si ottiene T ∼ 800 s,
una stima il cui significato può essere reso affermando che, al fine di caratterizzare con misure sensate lo stato medio dello strato limite, occorre spendere
nella misura qualche decina di minuti.
Per concludere possiamo osservare che:
– il tempo di misura T cresce come 1/s2 al diminuire di s, la larghezza della banda di incertezza accettata. L’idea di diminuire drastica389
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
mente l’incertezza aumentando T , si scontra con la necessità di non
superare con il tempo di misura il periodo in cui lo stato dello strato
limite può essere considerato approssimativamente stazionario.
– D’altra parte, non ha senso pensare di diminuire T al di sotto di
un certo limite, aumentando l’errore percentuale s. La condizione
che il tempo di misura sia maggiore, almeno alcune volte, della scala integrale Te , non può essere aggirata; essa è parte integrante del
procedimento che porta all’equazione 8.4.
– La discussione precedente è stata rivolta ad analizzare i problemi che
sorgono nella stima, eseguita per mezzo di un campione di durata limitata, del valore medio lineare di una data grandezza. L’analisi può
essere estesa alla stima dei momenti di ordine superiore, ripetendo il
procedimento; ad es., partendo dalla variabile q 2 (t), al fine di stimare
il valor medio della varianza. Il risultato può essere riassunto dicendo che per avere una stima dei momenti di ordine superiore con una
precisione ragionevole, occorrono tempi di misura molto lunghi, nella sostanza improponibili, perché superano il periodo di tempo per
cui la corrente si può considerare stazionaria; e la situazione va rapidamente peggiorando al crescere dell’ordine dei momenti. Si tratta
di una proprietà che era prevedibile; al crescere del loro ordine, il
valore dei momenti è sempre più influenzato da rare fluttuazioni di
grande ampiezza. Prima che sia trascorso il tempo necessario alla
loro registrazione, le condizioni dello strato limite sono già mutate.
Separazione di scale temporali: variazione veloce e variazione lenta dei
campi
In chiusura del paragrafo precedente, abbiamo accennato alle difficoltà che
possono derivare dal fatto che le correnti atmosferiche reali non sono stazionarie, neppure in senso statistico4 . In questo caso, non è in discussione la
minore o maggiore accuratezza della stima, ma l’interpretazione della grandezza stimata. L’impianto teorico della descrizione statistica della turbolenza
4
Oppure, se si sta parlando di grandezze ottenute eseguendo una media su un volume finito, dal
fatto che le correnti non sono omogenee.
390
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
permette di fare previsioni su grandezze che rappresentano valori medi o di
un insieme infinito di correnti soggette alle stesse condizioni di vincolo, oppure di un’unica realizzazione che si svolga nel tempo, essendo stazionaria in
media. Poiché l’insieme infinito di correnti è pura astrazione, e l’unica reale non è stazionaria, la descrizione statistica non può che offrire un quadro
imperfetto della realtà. Il problema è valutare quale sia il grado di approssimazione del quadro che si ottiene; oppure, rovesciando il discorso, con quali
criteri si possa decidere se la corrente reale è sufficientemente vicina allo stato
stazionario affinché la teoria risulti applicabile. Il tema sollevato è, nelle sue
linee generali, sostanzialmente identico a quello con cui è iniziato questo corso di lezioni, a riguardo della legittimità di rappresentare lo stato di un fluido
con funzioni continue e derivabili delle coordinate spaziali e del tempo, quando con tutta evidenza le variabili di stato richiedono per essere definite che si
medi tra un numero elevato di molecole contenute in un volume finito5 . Ed
esattamente come allora, la risposta è che lo schema teorico è accettabile se
il sistema reale presenta due scale estreme, molto lontane tra loro, così che
sia possibile scegliere nell’intervallo che le divide una scala su cui eseguire
le operazioni di media, senza che la scelta risulti critica per il risultato. Nella
discussione del fluido come mezzo continuo, le due scale estreme erano date
dalla distanza intermolecolare e dalla scala delle variazioni macroscopiche del
campo; le grandezze mediate su una scala intermedia potevano essere adottate come funzioni continue delle coordinate spaziali, al fine di descrivere la
variazione macroscopica.
In modo del tutto analogo, se la corrente atmosferica possedesse una scala di
variazione lenta Tl incomparabilmente maggiore di Te :
Tl >>> Te
sarebbe possibile scegliere una scala di integrazione T intermedia tra le due:
Te T TL
tale che il risultato della misura:
1 T
QT =
qt (t )dt
T ρ
risulti pressoché costante per ampie variazioni di T . Stando così le cose, l’e-
5
Cfr. C. Cancelli, op. cit., 1.1.
391
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
voluzione della corrente si può considerare come una successione di stati stazionari in senso statistico, QT si può interpretare come un’approssimazione
del valore Q ≡ qt , che risulterebbe qualora la variazione lenta venisse annullata nel momento della misura, e T venisse fatto crescere senza limiti. Dopo
di che, con apparente paradosso, le grandezze mediate possono essere ancora
considerate variabili nel tempo, Q = Q(t), al fine di descrivere la variazione
lenta; le funzioni Q(x, t) rendono l’evoluzione del campo, cancellando tutte le
componenti con frequenza f > 1/T . Vale la pena di osservare che Te , essendo
la scala integrale, è più grande di tutte le altre scale della fluttuazione turbolenta6 ; quindi, lo schema che abbiamo delineato presume che il campo fluttuante
abbia scale temporali tutte di gran lunga più piccole - frequenze più alte della variazione lenta, il che suggerisce che questa possa essere trattata come un fenomeno deterministico, una volta risolto il problema dell’interazione
nonlineare con la componente stocastica.
Rimane da stabilire se le correnti atmosferiche presentino lineamenti di questo
tipo. In senso assoluto, la risposta è sicuramente negativa: qualsiasi registrazione reale mostra una molteplicità di scale, senza alcun intervallo vuoto tra
gli estremi. In senso relativo, di accettabilità o meno del modello per un calcolo approssimato, le opinioni sono varie. Lumley e Panofsky sembrano ritenere
lo schema accettabile, se non altro in vista delle previsioni meteorologiche7,
e basano la loro opinione sull’elaborazione di misure sperimentali della velocità del vento effettuate nella regione orientale degli Stati Uniti8 . Lo spettro
di potenza del segnale registrato mostra in effetti una separazione abbastanza
netta, uno spazio quasi vuoto - spectral gap - tra due picchi accentuati, il primo
dei quali si riferisce chiaramente a moti di masse di aria di dimensione continentale, o quasi, con scale temporali caratteristiche dell’ordine di qualche
giorno, mentre il secondo mostra le tipiche scale temporali della turbolenza
6
Purché si riferiscano allo stesso tipo di misure, ovviamente. La distinzione tra macroscala
lagrangiana e macroscala euleriana non è in questo argomento pertinente.
7
I.L. Lumley, H.A. Panofsky, The structure of atmospheric turbulence, 1.15, J. Wiley & Sons,
London, 1964.
8
I. van der Hoven, Power spectrum of horizontale wind speed in the frequency range from 0.0007
to 900 cycles per hour, J. Meteorol., 1, 14, 1957.
392
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
dello strato limite, tutte inferiori all’ora. Poiché nel mezzo non sembrano esservi componenti di rilevante ampiezza - salvo quelle legate al ciclo diurno,
che tuttavia dai diagrammi di van Hoven appaiono di minore importanza - si
può pensare di usare delle grandezze medie, calcolate su base oraria, per descrivere la variazione di bassa frequenza. Altri autori, come Scorer, negano
che esista questo intervallo vuoto nello spettro, e ne deducono la scarsa razionalità dei modelli previsionali che basano il loro formalismo sull’esistenza dei
gap spettrali.
Si tratta di un giudizio sull’attendibilità o meno di un procedimento approssimato da applicare ad un sistema che è dinamicamente instabile, al fine di
prevederne l’evoluzione; poiché comunque la previsione va riportata periodicamente in linea, tramite l’osservazione di quanto realmente accade, la divergenza di opinioni è probabilmente meno critica di quanto potrebbe apparire.
Occorre tuttavia ricordare che vi sono fasi di transizione rapide, durante le
quali si possono misurare valori reali che non sono confrontabili con quelli
teorici9 . Una concentrazione media, ad es., ottenuta misurando la concentrazione per la più o meno canonica mezz’ora, nel mezzo del periodo di transizione di una brezza, o nella fase di fumigazione di un pennacchio, dà valori
che derivano da una miscela di condizioni fluidodinamiche diverse, tra loro
pesate in modo a priori sconosciuto.
Parametri caratteristici dello strato limite terrestre
La teoria della similitudine, presentata in 5.2, definisce un quadro che permette di conoscere la dinamica dello strato limite terrestre, misurando un numero
limitato di parametri, dai quali è possibile risalire a qualsiasi variabile che interessi. Una strada consiste nel misurare i valori medi di velocità e temperatura
a diversa altezza, e quindi cercare i valori di u∗ e Θ∗ oppure H, che danno la
migliore interpolazione dei profili ottenuti. Noti questi parametri, tutte le altre grandezze medie si deducono dalle curve autosimili, finché si rimane al di
sotto dell’altezza di Monin-Obukhov. Per completare la descrizione al di so-
9
Il che non comporta che siano privi di significato. Se una concentrazione media oraria di una
qualche sostanza inquinante supera la soglia prevista per legge, la cosa ha valore in sé, indipendentemente dal fatto che il dato non sia prevedibile tramite un modello di dispersione
turbolenta.
393
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
pra di H, occorre misurare l’altezza h del bordo superiore dello strato limite,
il che può essere realizzato o con un pallone sonda, o con uno strumento di
misura a distanza, quale il lidar.
Un metodo alternativo alla misura delle temperature dell’aria a quota diversa,
si basa su una stima del cosiddetto flusso di calore sensibile10:
Fe = ρcp < wδT >
ottenibile per mezzo di un bilancio di energia applicato alla superficie terrestre. Dell’energia radiante che incide sulla superficie del suolo, una parte viene riflessa o riemessa nella forma ancora di energia radiante; quanto rimane
si divide tra energia trasmessa al terreno sottostante, energia di evaporazione
dell’acqua contenuta nel suolo o nella vegetazione, ed energia trasferita all’aria che lambisce la superficie. In condizioni stazionarie, questa distribuzione
si traduce in un equilibrio di flussi; si può scrivere:
Fn − (Fs + Fl + Fe ) = 0
8.6
ove Fn rappresenta il flusso netto di energia radiante, differenza tra flusso incidente e flusso riflesso o riemesso, Fs il flusso di energia termica trasmesso per
conduzione dalla superficie verso il suolo, Fl il flusso di energia assorbita dall’evaporazione, e infine Fe è il flusso di energia, termica e meccanica, ceduta
dalla superficie del suolo all’aria sovrastante. Poiché l’evaporazione alimenta
un flusso di massa di vapor acqueo, rivolto dalla superficie verso l’atmosfera,
si può porre:
Fl = cl < wδρv >
ove cl sta a indicare il calore di evaporazione dell’acqua e δρv la fluttuazione
della densità di vapore acqueo; a Fl si dà il nome di flusso di calore latente.
L’equazione 8.6 può essere risolta per Fe , ottenendo la relazione:
Fe = Fn − (Fs + Fl )
8.7
da cui si può calcolare Fe , e quindi la correlazione < wδT >, una volta che
siano misurati o stimati i flussi che compaiono a secondo membro. Nota la
10
Si tratta del flusso di entalpia, somma del flusso convettivo di energia termica e del flusso di
energia meccanica.
394
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
covarianza < wδT >, si può trovare la temperatura caratteristica11 , cfr. 5.2:
< wδT >
T∗ = −
u∗
e quindi utilizzare la forma invariante delle soluzioni autosimili, al fine di
avere i profili verticali delle grandezze medie. I termini a secondo membro
della 8.7 possono essere misurati, o stimati empiricamente. In genere Fs e Fl
si stimano con l’aiuto di tabelle, come percentuali di Fn , in base alla natura
del terreno, il suo grado di umidità, la copertura vegetale o arborea, etc... Il
flusso Fn , che rappresenta la forzante dell’intero processo di scambio, invece
si misura per mezzo di un radiometro differenziale.
Il procedimento di caratterizzazione dello strato limite superficiale può essere
affinato ricorrendo alla misura diretta delle componenti fluttuanti delle varie
grandezze e delle loro covarianze. Le funzioni di covarianza che è necessario
conoscere, per applicare la teoria della similitudine, sono:
– la correlazione delle componenti orizzontale e verticale della velocità fluttuante, uw , a cui risulta proporzionale il flusso medio di
quantità di moto:
τ = ρuw ≡ ρu∗ 2
e da cui si può dedurre la velocità di attrito u∗ ;
– la correlazione della componente verticale di velocità fluttuante e
della fluttuazione di temperatura, wδT , a cui risulta proporzionale la
temperatura caratteristica e il flusso medio di energia termica:
Fc = cv wδT
oppure quello di entalpia.
La conoscenza di u∗ e Fc permette di calcolare l’altezza di Monin-Obukhov H,
e quindi di usare le leggi di similitudine. Di notevole interesse è anche la mi-
11
Poiché ci si muove nell’ambito dell’approssimazione di Boussinesq, le fluttuazioni di temperatura non sono distinguibili da quelle di temperatura potenziale; altrettanto si può dire delle
relative scale, T∗ o Θ∗ .
395
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
sura della correlazione tra componente verticale di velocità fluttuante e fluttuazione della concentrazione di vapor acqueo wδρv , a cui risulta proporzionale
il flusso medio di calore latente Fl :
Fl = cl wδρv
Il flusso di calore latente è importante per valutare quale sia l’altezza di
livellamento delle correnti termiche ascendenti.
Il metodo basato sulla misura delle correlazioni è diretto, ma richiede per la
misura delle componenti fluttuanti che vengano utilizzati sensori a risposta
rapida12 , che sono costosi e necessitano di accurate operazioni di taratura e
manutenzione. Inoltre, gli errori relativi compiuti nella misura delle singole
variabili si sommano nel calcolo delle correlazioni.
8.2.
STRUMENTI DI MISURA
Gli strumenti di misura impiegati per la rilevazione di parametri meteorologici
possono essere classificati in base a diversi criteri; tipicamente gli elementi di
distinzione sono:
– la posizione dello strumento rispetto al punto in cui viene effettuata la misura, che porta a distinguere tra sensori diretti - quelli che
effettuano misure là dove sono posizionati - e sensori remoti, che
effettuano misure in zone distanti da quella in cui si trovano;
– la velocità di risposta dello strumento, che porta alla distinzione tra
sensori a risposta rapida, capaci di registrare un segnale di elevata
frequenza e sensori a risposta lenta, le cui caratteristiche permettono
di misurare solamente il valor medio del parametro.
Per gli strumenti che registrano l’andamento temporale di una variabile, un parametro importante è rappresentato dalla frequenza di taglio, che è la frequenza più alta del segnale che lo strumento è in grado di registrare e riprodurre.
Nelle misure eseguite a punto fisso, questa frequenza massima può essere tradotta, grazie all’ipotesi di Taylor cfr. 2.1, in una lunghezza minima del campo
12
La frequenza di acquisizione dello strumento deve essere almeno doppia della frequenza
massima del segnale che si vuole misurare.
396
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Fig. 8.1 – Sensori per la misura della velocità nel piano orizzontale: anemometro a
coppe (al centro), banderuola (a destra) e anemometro sonico biassiale (a sinistra).
di moto - la scala minima delle variazioni di velocità - quando sia nota la velocità media del vento. In alcuni casi gli strumenti registrano una variabile che
è integrata su una data distanza, invece che misurata in un punto, si veda ad
es. l’anemometro sonico; in tal caso la distanza di integrazione rappresenta
la lunghezza d’onda minima del campo di moto che possa essere rilevata. Le
lunghezze d’onda inferiori vengono automaticamente filtrate.
A partire dai sensori diretti, verranno presentati nel seguito gli strumenti di
misura delle più significative variabili atmosferiche (velocità del vento, temperatura, umidità, pressione, precipitazioni e radiazione solare), distinguendo
per ogni variabile tra sensori a risposta lenta e sensori a risposta rapida.
397
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Sensori diretti
Strumenti per la misura della velocità del vento
Gli strumenti più utilizzati per la misura del valor medio della componente orizzontale della velocità e della sua direzione, sono gli anemometri a coppe o ad elica e la
banderuola.
L’anemometro a coppe è costituito da due o più superfici cave (coppe) collocate attorno all’asse dello strumento, cfr. fig. 8.1; la configurazione più diffusa è quella costituita da tre coppe di forma conica. Le coppe presentano un diverso coefficiente
di resistenza aerodinamica a seconda che il vento ne investa la parte concava oppure
convessa.
All’inizio, la diversa resistenza aerodinamica delle coppe investite dal vento porta
in rotazione lo strumento, che accelera finché non raggiunge una velocità di regime,
caratterizzata dall’annullarsi del valore medio del momento rispetto all’asse. Si perviene così ad una condizione di equilibrio dinamico, nella quale la coppa che presenta
al vento la superficie convessa compensa con la maggiore velocità relativa - data dalla
somma della velocità del vento e della velocità periferica dello strumento - il minore
coefficiente di resistenza. Viceversa, per la coppa investita dal vento sulla superficie
concava, l’effetto della rotazione si traduce in una riduzione della velocità relativa, a
vantaggio del maggior coefficiente di resistenza. La velocità di rotazione periferica
delle coppe risulta essere, in condizioni di equilibrio, una frazione della velocità del
vento, che non varia al variare dell’intensità di questo; rappresenta quindi una costante
dello strumento, che può essere determinata mediante una opportuna taratura dell’anemometro. La misura della velocità di rotazione permette di risalire alla velocità del
vento. In presenza di vento non stazionario, gli anemometri a coppe hanno la tendenza
a sovrastimare la misura, inducendo errori compresi tra il 5% ed il 10%. Tale sovrastima è imputabile, in parte al fatto che lo strumento mostra di essere sensibile alle
componenti verticali delle velocità, in parte all’isteresi che si manifesta nella risposta
alle rapide variazioni di velocità del vento.
L’anemometro a coppe ha il vantaggio di fornire una misura della componente orizzontale della velocità del vento, indipendentemente dalla direzione. Per determinare
anche la direzione si è soliti accoppiarlo ad una banderuola: un’asta metallica libera
di ruotare nel piano orizzontale, provvista ad un estremo di appendici aerodinamiche
che inducono l’asta a disporsi parallelamente alla direzione del vento.
L’anemometro a elica (in inglese propeller) è invece un piccolo rotore provvisto di
un numero variabile di pale, che ruota con una velocità proporzionale alla velocità
del vento. A differenza dell’anemometro a coppe, l’anemometro a elica non tende
a sovrastimare la misura ed ha una risposta più rapida. Essendo in grado di misurare l’intensità della componente del vento parallela al proprio asse di rotazione, deve
398
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Fig. 8.2 – Anemometro ad elica.
essere montato su un anemometro a banderuola, che mantenga l’asse di rotazione
costantemente parallelo alla direzione del vento (cfr. fig. 8.2).
La velocità di rotazione delle coppe o dell’elica è convertita in un segnale elettrico
per mezzo di opportuni trasduttori; in questo modo è facile integrare lo strumento in
una stazione meteorologica automatica. Questi sistemi sono poco costosi e piuttosto
robusti e richiedono modesti interventi di manutenzione o taratura. Il maggior difetto di questi strumenti è legato alle parti meccaniche in movimento, che possiedono
una resistenza all’avvio non trascurabile; la velocità minima del vento necessaria per
il funzionamento è pari a circa 0.5 m/s. Al di sotto di questo valore gli strumenti
non sono in grado di registrare in modo attendibile la velocità del vento e tale condizione è detta calma di vento. In base alla classificazione proposta, gli anemometri
descritti sono tutti a risposta lenta e non permettono di misurare in modo completo le
caratteristiche della parte fluttuante del campo di moto.
Per quanto riguarda gli anemometri a risposta rapida, il più diffuso nell’ambito delle misure atmosferiche è senza dubbio l’anemometro sonico. L’anemometro sonico
è uno strumento costruito in modo tale da poter misurare la velocità del vento trasmettendo e ricevendo segnali acustici lungo una o più direzioni ortogonali prefissate;
399
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
questi strumenti infatti possono essere monoassiali, biassiali (cfr. fig. 8.1) o triassiali.
Gli anemometri triassiali sono i più utilizzati in ambito meteorologico e consentono
la misura della velocità media, della temperatura, della deviazione standard delle tre
componenti della velocità, nonché delle correlazioni ui uj e uj δT , ovvero dei flussi turbolenti di quantità di moto e di calore sensibile, a cui le due correlazioni sono
proporzionali.
Il principio di funzionamento consiste nel valutare l’influenza del vento sulla velocità
di propagazione di segnali acustici che viaggiano in direzioni opposte. La velocità di
propagazione di un segnale acustico, rispetto a un sistema di riferimento fisso, è data
dalla somma vettoriale della velocità del suono e della velocità del vento; un impulso pertanto impiega un tempo diverso a percorrere la stessa distanza, a seconda che si
muova in senso concorde o discorde con la velocità dell’aria. L’anemometro sonico
misura la differenza del tempo impiegato da due impulsi per percorrere la stessa distanza in senso opposto, in modo da poter determinare quale sia la componente della
velocità dell’aria lungo tale tratto. È anche possibile, calcolando la velocità media di
propagazione nei due sensi, trovare la velocità del suono, e quindi risalire alla temperatura dell’atmosfera13. Non avendo parti meccaniche in movimento, l’anemometro
sonico garantisce una risposta molto rapida alle fluttuazioni della velocità del vento.
È però uno strumento molto più sofisticato e costoso degli anemometri meccanici. Gli
anemometri sonici possono essere di due tipi, a seconda che emettano impulsi sonori oppure un segnale continuo. Nel primo caso si valuta la differenza tra i tempi di
percorrenza dei due impulsi, nel secondo viene valutata la differenza di fase tra i due
segnali. Lo strumento permette di avere frequenze di campionamento fino a 100 Hz.
Per completare il quadro degli strumenti di misura della velocità del vento, citiamo
l’anemometro a filo caldo, uno strumento rapido nella risposta in grado di registrare
segnali con frequenza fino a 104 Hz. È stato per anni il principale strumento di misura
utilizzato in laboratorio per lo studio delle correnti turbolente, ma risulta poco adatto alla misura in ambiente esterno; si tratta di uno strumento delicato, che necessita
di continue operazioni di taratura. Per gli studi in atmosfera sono state sviluppate anche sonde a film caldo che presentano una frequenza di taglio più bassa, ma risultano
decisamente più robuste. L’elemento sensibile di un anemometro a filo caldo è costituito da un filamento sottile (2 ÷ 5μm) di materiale resistivo (tipicamente tungsteno, o
platino), lungo circa 1 mm, teso tra due supporti e riscaldato dal passaggio di una corrente elettrica. Il filo, esposto al vento, è inserito in un ponte elettrico, che si sbilancia
13
La velocità del suono dipende anche dall’umidità relativa, perché la presenza di vapor acqueo diminuisce la massa molecolare della miscela; quest’effetto è usualmente trascurato, ma potrebbe
venir facilmente messo in conto con l’uso di un igrometro.
400
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
filo di Cu
temperatura
dell’aria
voltmetro
filo di Fe
temperatura di riferimento
Fig. 8.3 – Esempio di termocoppia.
quando la resistenza elettrica del filo viene modificata per effetto di una variazione
di temperatura. Il principio di funzionamento risiede nella relazione che intercorre
tra velocità del vento e intensità di scambio termico tra fluido e sonda. Il sistema
può operare in due modi diversi: mantenendo costante la temperatura del filo tramite
una variazione di intensità della corrente, oppure mantenendo inalterata l’intensità di
corrente, e registrando le variazioni di potenziale che derivano dalle variazioni di resistenza. In entrambi i casi si ha un segnale elettrico che dipende dalle variazioni di
velocità dell’aria. Poiché la relazione tra velocità e flusso termico non è lineare, va
determinata mediante taratura dello strumento.
Strumenti per la misura della temperatura
Oltre all’anemometro sonico esiste un buon numero di strumenti per la misura della
temperatura. In base al principio fisico adottato, si possono distinguere tra termometri
a dilatazione - tutti in grado di rilevare solo il valor medio della temperatura - e
termometri elettronici, che possono eventualmente fornirne anche i valori fluttuanti.
Nei termometri a dilatazione la misura è ottenuta sfruttando le proprietà di espansione
termica di uno o più materiali, siano essi liquidi, come nei classici termometri a mercurio ed ad alcol, o solidi. Il termometro bimetallico è un sensore costituito da due
barre di metallo, solidali l’una all’altra, con un estremo ancorato ad un supporto rigido. Alla temperatura di riferimento il sensore si manterrà diritto, mentre col variare
della temperatura la diversa dilatazione di una delle due barre lo indurrà a flettersi. Lo
scostamento dell’estremo libero dalla sua posizione originaria, debitamente amplificato, è in grado di muovere una lancetta lungo una scala opportunamente graduata per
fornire la variazione di temperatura rispetto al valore di riferimento.
Nonostante la robustezza e l’economicità di questi termometri, la richiesta di accuratezze elevate e la necessità di un’acquisizione automatica, rendono preferibile l’u401
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
tilizzo di strumenti elettronici. Il principo fisico coinvolto può essere quello di una
variazione di resistenza elettrica, indotta da una variazione di temperatura (termoresistenze e termistori) o di una generazione di potenziale elettrico tra conduttori diversi
(termocoppie).
Nel caso delle termocoppie, la trasformazione della temperatura in segnale elettrico
si fonda sul principio secondo il quale si stabilisce una forza elettromotrice tra due
metalli diversi posti a contatto, che dipende dalla temperatura della giunzione14. L’inserimento dello strumento di misura - il voltmetro - pone dei problemi che vengono
risolti con una seconda giunzione, mantenuta a temperatura nota e costante, in modo
che lo strumento venga inserito tra due conduttori dello stesso metallo, cfr. fig. 8.3. Il
voltmetro misura una differenza di potenziale elettrico, che è correlata alla differenza
di temperatura nelle due giunzioni. I termometri che usano termoresistenze o termistori si basano invece sulla variazione di resistenza elettrica indotta dalla temperatura;
l’elemento sensibile è inserito in un circuito elettrico, in modo che le variazioni di
temperatura si traducano in variazioni di potenziale o di corrente. Le termoresistenze
sono costituite da materiali conduttori quali il rame, il tungsteno, il nichel e soprattutto
il platino, per i quali la resistività aumenta con l’aumentare della temperatura; i termistori sono invece costituiti da materiali semiconduttori ottenuti per sinterizzazione, la
cui resistività diminuisce all’aumentare della temperatura.
È particolarmente importante, per quanto riguarda la misura della temperatura dell’aria vicino a terra, che i sensori siano protetti da strutture adeguate, in modo da
schermarli dalla radiazione (cfr. fig. 8.4). Le schermature devono avere preferibilmente superfici di colore bianco, in modo da aumentare l’albedo e ridurre al minimo
la radiazione assorbita; per misure molto accurate è opportuno che nel condotto in
cui è posto il sensore termometrico venga anche aspirata l’aria esterna, di cui si deve
misurare la temperatura.
Strumenti per la misura dell’umidità dell’aria
La misura della quantità di vapor acqueo presente nell’atmosfera è una misura di difficile realizzazione. Tra gli strumenti a risposta lenta vi sono l’igrometro, lo psicrometro
ed i sensori a punto di rugiada. Si veda anche l’appendice A.
L’igrometro è concepito in modo tale da convertire una variazione dell’umidità relativa
14
La scoperta fu fatta in modo accidentale nel 1822, da Thomas Seebeck, un fisico estone.
402
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Fig. 8.4 – Sonda per misure di temperatura con sensore al platino PT100, mostrata nel
centro della fotografia e circondata dai vari elementi che costituiscono la schermatura.
dell’aria nella variazione delle caratteristiche fisiche - la lunghezza15, la densità, la
resistenza o la capacità elettrica (cfr. fig. 8.5) - di una sostanza.
Uno psicrometro (fig. 8.6) si basa invece sulla misura di differenza di temperatura che
intercorre tra due termometri identici esposti all’aria, uno dei quali ha il bulbo ricoperto da una garza imbevuta d’acqua (il cosiddetto bulbo umido). Un termometro misura
la temperatura della aria Ta , l’altro la temperatura del bulbo umido Tu . Il termometro con il bulbo umido si raffredda, in seguito all’evaporazione dell’acqua che lo
circonda; poiché il tasso di evaporazione è tanto maggiore quanto minore è l’umidità relativa dell’aria, la variazione di temperatura del termometro bagnato, rispetto alla
temperatura dell’altro termometro che serve da riferimento, diviene una misura indi-
15
Come accade con il classico igrometro a capelli.
403
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Fig. 8.5 – Sensore igrometrico di tipo capacitivo e relativa schermatura di protezione.
retta del contenuto di vapor acqueo dell’aria. Se l’aria fosse satura - 100 % di umidità
relativa - non si avrebbe né evaporazione, né variazione di temperatura tra i due termometri. Come accade in tutti gli strumenti di misura che si prefiggono di misurare
delle proprietà termodinamiche dell’aria è necessario predisporre dei sistemi di protezione degli elementi sensibili dalla radiazione solare; in questo caso occorre anche
assicurare che il bulbo umido rimanga effettivamente tale ed eventualmente prevedere un sistema di ventilazione controllato. L’accuratezza della misura è normalmente
discreta, eccetto il caso in cui l’umidità relativa dell’aria risulti molto bassa.
I sensori a punto di rugiada determinano il contenuto di vapor acqueo presente nell’aria misurandone la temperatura di rugiada, ovvero la temperatura alla quale il vapor
acqueo condensa. Il principio su cui si basa è semplice e consiste nel misurare la temperatura di una superficie raffreddata progressivamente, uno specchio ad esempio, sul
quale si possa cogliere l’appannamento dovuto al primo processo di condensazione.
Per la misura delle fluttuazioni dell’umidità dell’aria vengono utilizzati strumenti
a risposta veloce, il cui funzionamento è legato all’assorbimento da parte del vapor acqueo di radiazioni con particolari frequenze. L’igrometro Lyman-alpha e l’igrometro krypton valutano l’assorbimento da parte del vapor acqueo della radia404
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Fig. 8.6 – Psicrometro. Il termometro a bulbo umido è quello sulla sinistra.
zione ultravioletta; altri valutano l’assorbimento della radiazione nella banda degli
infrarossi16 .
Strumenti per la misura della pressione atmosferica
I più semplici ed antichi strumenti per la misura della pressione atmosferica sono i
barometri di Torricelli, il cui funzionamento è basato sul bilanciamento della pressione atmosferica da parte di una colonna di mercurio. Numerosi accorgimenti (si veda
ad esempio il barometro di Fortin) sono stati introdotti nel corso degli anni per facili-
16
J.C. Kaimal, J.J. Finnigan Atmospheric boundary layer flows - Their structure and
measurement, Oxford University Press, Oxford, 1994.
405
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
tare il trasporto e la lettura, migliorare la precisione e tener conto delle variazioni di
temperatura.
Altro strumento di ampia diffusione è il barometro aneroide, nel quale la misura è affidata all’espansione o alla contrazione di una camera elastica che separa un gas rarefatto, il cui stato termodinamico è noto dall’atmosfera esterna. Il diaframma che funge
da sensore è una capsula circolare, dotata di particolari proprietà elastiche (la capsula
di Vidie, dal nome dell’inventore); le deformazioni della capsula vanno a muovere una
lancetta lungo una scala che deve essere tarata per confronto con un barometro a mercurio. In alternativa, si possono trasformare le deformazioni in un segnale elettrico di
cui è certamente più facile l’acquisizione e la registrazione automatica.
La misura delle fluttuazioni di pressione è invece un’operazione difficile, poiché qualsiasi strumento di misura introdotto nella corrente d’aria induce variazioni di pressione
non trascurabili, direttamente proporzionali al quadrato delle variazioni di velocità. Le
fluttuazioni indotte dallo strumento stesso investito dal vento sono tipicamente di un
ordine di grandezza superiore rispetto a quelle che si vorrebbero misurare. In via sperimentale, sono stati comunque messi a punto sistemi di misurazione, per i cui dettagli
si rimanda a Kaimal e Finnigan, op. cit.
Strumenti per la misura dell’intensità delle precipitazioni
Lo strumento tradizionale per la misura dell’intensità di una precipitazione piovosa è
il pluviometro, un recipiente cilindrico graduato in grado di valutare l’altezza dell’acqua depositatasi al di sopra di una superficie piana ed impermeabile. Gli strumenti
professionali sono forniti di un dispositivo automatico di misurazione basato su di una
vaschetta basculante, tarata per contenere una certa quantità di liquido. Essa, raggiunto il livello stabilito, ruota scaricando l’acqua accumulatasi fino a quel momento: dal
conteggio delle oscillazioni della vaschetta si risale alla quantità di pioggia caduta. Per
rilevare in modo corretto anche le precipitazioni nevose è necessario un opportuno sistema di riscaldamento. Lo strumento deve essere ovviamente posizionato lontano da
ostacoli ad almeno un metro d’altezza dal suolo, per evitare che vi confluiscano gocce
d’acqua dovute ai rimbalzi. Si considerano trascurabili i fenomeni di evaporazione.
Vi sono anche sensori remoti per la misurazione dell’intensità delle precipitazioni, fatte con l’ausilio di tecniche radar o laser; queste tecniche forniscono anche
informazioni sulla dimensione delle idrometeore17.
17
Un’ampia descrizione degli strumenti adatti a misurare l’intensità delle precipitazioni si può reperire in T.P. DeFelice, Meteorological Instrumentation and Measurement Prentice Hall, Upper
Saddle River, 1988.
406
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Strumenti per la misura dell’intensità della radiazione
Gli strumenti rivolti alla misura di un flusso di energia radiante si chiamano in generale radiometri. Si suddividono in due categorie: termici e fotovoltaici. I primi misurano
il flusso di energia radiante tramite la differenza di temperatura che si stabilisce tra un
corpo esposto alla radiazione e un corpo non esposto, o perché riparato o perché protetto da una superficie riflettente. L’uso di termocoppie o di termoresistenze permette
di tradurre la variazione di temperatura in segnale elettrico. I radiometri fotovoltaici utilizzano invece il silicio come elemento fotosensibile; esposto alla radiazione, il
silicio genera una differenza di potenziale elettrico.
I radiometri sono costituiti principalmente da tre componenti: un elemento fotosensibile, a cui è affidata la rilevazione del flusso radiante, il trasduttore ed un elemento
di copertura dello strumento. L’elemento di copertura svolge la funzione di riparare
il componente fotosensibile dalla deposizione di polveri e impurità e di evitare che la
presenza di vento influisca sulla misura.
Gli errori di misura possono essere dovuti essenzialmente alla deposizione di polveri
sulla calotta ed alla formazione di vapor acqueo all’interno.
Per il calcolo del flusso di calore sensibile, che permette di individuare lo stato dello
strato limite, cfr. 8.1, occorre misurare la differenza che intercorre tra flusso incidente
sulla superficie terrestre e flusso di energia riemessa o riflessa. La misura si esegue con
un radiometro differenziale, uno strumento che dispone di due captatori, uno rivolto
verso l’alto e il secondo verso la superficie del suolo, cfr. fig. 8.7.
Palloni sonda
Per eseguire delle misure in quota si può effettuare un radiosondaggio. Esso consiste
nel rilasciare un pallone sonda, provvisto di sensori capaci di rilevare durante la salita
la temperatura, la pressione e l’umidità dell’aria, i cui valori vengono trasmessi via
radio a una stazione a terra18 . Lo spostamento del pallone dalla verticale della stazione
permette di ricavare la direzione e la velocità orizzontale del vento. La posizione del
pallone è rilevata con un radar (se non fornita dal pallone sonda stesso, munito a
questo scopo di un dispositivo GPS); in questo modo si possono definire in modo
18
I radiosondaggi vengono effettuati regolarmente presso alcuni aeroporti (in Italia: MilanoLinate, Udine-Rivolto, Pratica di Mare, Brindisi, Cagliari-Elmas, Trapani-Birgi, CuneoLevaldigi e S.Pietro Capofiume) da due a quattro volte al giorno, in corrispondenza di orari
sinottici prestabiliti: 00, 06, 12, 18 UTC. Le radiosonde sono anche chiamate rawinsonde, dalla
contrazione dei termini radio-wind-sounding-device; i palloni sono gonfiati con elio o idrogeno
e raggiungono la quota di 30 km.
407
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Fig. 8.7 – La faccia superiore di un radiometro differenziale, con l’elemento fotosensibile di cattura della radiazione proveniente dall’alto. Da notare la piccola livella a bolla
circolare necessaria per montare lo strumento perfettamente orizzontale.
diretto i profili verticali (sounding) delle grandezze misurate, nonché trovare l’altezza
dello strato limite atmosferico.
Sensori remoti
I sensori remoti sono strumenti in grado di eseguire misure a distanza. Si basano sulle proprietà della propagazione di onde all’interno di un mezzo dotato
di moto turbolento19 . Le variazioni di stato del fluido, prodotte dal moto, si
traducono in variazioni della velocità di propagazione dell’onda, e quindi de-
19
Cfr. V.I. Tatarski, 1961: Wave Propagation in a Turbulent Medium, McGraw Hill, New York,
1961.
408
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
gli indici di rifrazione del mezzo20. La tendenza dei campi di moto turbolento
a concentrare le variazioni di qualsiasi grandezza in spazi sempre più piccoli,
porta alla formazione di strati di quasi discontinuità per l’indice di rifrazione,
i quali agiscono da superfici riflettenti. Incontrando queste strutture, l’energia
dell’onda incidente viene dispersa in tutte le direzioni, ma in parte viene riflessa in un’onda rispedita verso la sorgente. Il segnale retrodisperso può essere
raccolto e analizzato; le sue caratteristiche dovrebbero risultare correlabili con
la struttura e i valori tipici del campo di moto del fluido.
I sensori remoti possono venire suddivisi tra attivi, nel caso in cui dispongano sia di emettitori sia di ricevitori di onde, e passivi, nel caso in cui possano
unicamente registrare segnali prodotti da altre fonti; le onde possono essere
acustiche, oppure elettromagnetiche in diverse bande di frequenza. I sensori
remoti hanno, rispetto ai sensori diretti, il vantaggio di non perturbare il campo di moto e di permettere in tempi brevi un’indagine su quanto avviene in
volumi ampi di fluido; però sono costosi, complessi da utilizzare e di grandi
dimensioni. I sensori diretti sono più semplici da manovrare e da mantenere
in buone condizioni di funzionamento; hanno inoltre la capacità di acquisire
segnali senza alti rumori di fondo, una proprietà che non contraddistingue le
misure effettuate con sistemi remoti.
A tutt’oggi, le misure eseguite in remoto sono troppo poco accurate per permettere una descrizione dettagliata delle proprietà locali della turbolenza atmosferica. Il loro utilizzo è finalizzato alla misura di profili verticali di velocità
media o di temperatura dell’atmosfera, alla rilevazione dell’altezza dello strato
limite e all’individuazione di strati caratterizzati da forte inversione termica.
Sodar
Il sodar21 è uno strumento che funziona emettendo e ricevendo onde acustiche. Nell’incontrare strutture turbolente di piccola scala, l’onda viene retrodispersa con uno
20
L’indice di rifrazione è definito come rapporto tra una velocità di riferimento - la velocità della
luce nel vuoto, ad es. per le onde elettromagnetiche - e la velocità di propagazione dell’onda
in un dato mezzo; dalla variazione degli indici dipendono i fenomeni di riflessione e rifrazione
delle onde.
21
Acronimo di sound detection and ranging.
409
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
spostamento in frequenza, che dipende dalla velocità con cui le strutture riflettenti vengono trasportate da quelle di scala maggiore. È quindi possibile misurare la
componente, secondo la direzione del raggio acustico, della velocità di convezione
di queste strutture piccole, con il tradizionale effetto Doppler. Anche l’intensità dell’onda restituita nella stessa direzione dell’onda emessa è importante, perché dipende
quasi unicamente dalla disomogeneità della temperatura, e risulta pertanto correlabile alla struttura termica della regione che riflette. Molte strutture tipiche dello strato
limite, le correnti convettive ascendenti, i fronti di raffica, gli strati di inversione contengono disomogeneità di temperatura che riflettono il suono, ciascuna di esse con
una sua riconoscibile impronta22. L’intensità dell’onda riflessa decresce rapidamente
con la distanza dalla sorgente della zona di riflessione, così che la portata utile dello strumento risulta limitata a qualche centinaio di metri. L’attenuazione dell’energia
dell’onda presenta un minimo con un’atmosfera in condizioni medio-alte di umidità
relativa; mentre raggiunge il suo massimo in aria secca, con un’umidità relativa attorno al 15 ÷ 20 per cento. Neppure in presenza di forti precipitazioni, il sodar è in grado
di fornire dati attendibili.
Un sistema sodar può essere in configurazione monostatica o bistatica. Nel primo
caso una stessa antenna viene usata per emettere e per ricevere l’onda sonora; in tale
configurazione, l’ampiezza del segnale riflesso dipende unicamente dalle fluttuazioni
di temperatura.
Nella configurazione bistatica un’antenna è utilizzata per emettere il treno di onde
acustiche, mentre la ricezione è affidata ad una seconda antenna, collocata in una posizione diversa, in modo tale che la direzione di ricezione formi con quella di emissione un angolo diverso da 180 gradi. L’ampiezza dell’onda restituita è più forte, perché
è dovuta anche alle fluttuazioni di velocità, con un contributo delle fluttuazioni di temperatura notevolmente inferiore. Con un sodar bistatico si ha un più alto rapporto tra
segnale e rumore, quindi a parità di altre condizioni un maggior raggio di indagine. In
realtà, per ragioni di costo e di semplicità d’uso, quasi tutti i sodar in circolazione sono monostatici. Alcune sorgenti sonore possono disturbare in maniera considerevole
il corretto funzionamento di un sodar. Nella scelta di un sito adatto per il posizionamento di un sodar, vanno considerati i problemi che possono derivare dalla riflessione
del segnale, dovuta alla presenza di edifici, camini, torri, e persino alberi presenti nelle
vicinanze.
22
Così dicono gli esperti, cfr. W.D. Neff, R.L. Coulter, Acoustic remote sensing, in Probing the
Atmospheric Boundary Layer, American Meteorological Society, Boston, 1985.
410
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
Lidar
Il lidar23 è un sistema di rilevazione che usa onde elettromagnetiche nella banda del
visibile, secondo uno schema di funzionamento simile a quello del sodar. La tipica
lunghezza d’onda della banda visibile fa sì che l’onda restituita sia molto sensibile
alla presenza di particelle di aerosol disperse nell’aria, oppure alle gocce di acqua
presenti nelle nubi. Il lidar richiede, per il suo buon funzionamento, che l’atmosfera
risulti inseminata; la concentrazione di aerosol nello strato limite terrestre è in genere sufficiente; tuttavia, in condizioni di aria particolarmente pulita, il rapporto tra
segnale e rumore può abbassarsi molto, mettendo in dubbio l’operatività del sistema.
Il lidar è spesso usato per determinare l’altezza del bordo esterno dello strato limite
convettivo, ove è in grado di rilevare l’alto gradiente di concentrazione di particelle
sospese. Vi sono anche modelli più complessi di lidar, chiamati DIAL24 , che possono
essere utilizzati per determinare le concentrazioni di una specie chimica in atmosfera. Utilizzano segnali emessi su due frequenze diverse, l’una assorbita dalle molecole
della specie chimica di interesse, l’altra no; la differenza di intensità dei due segnali
di ritorno fornisce una misura indiretta della concentrazione della specie chimica.
Radar Wind Profiler
Con il termine wind profiler si indica un sistema di emissione e ricezione di onde
radio, che opera ad alta frequenza. A parte la diversa natura delle onde, e il diverso dominio di frequenze usate, il sistema opera con i principi generali già descritti; in
particolare misura la velocità del vento, basandosi sull’effetto Doppler. Con una emissione di onde di lunghezza d’onda dell’ordine del cm, si ha retrodiffusione del segnale
per opera di particelle con lunghezza caratteristica dell’ordine della frazione del centimetro, quali sono le gocce di pioggia; i radar meteorologici sono utilizzati per avere
informazioni sulla velocità di avanzamento dei fronti temporaleschi. Gli wind profiler
sono particolarmente utilizzati per la determinazione dell’altezza dello strato limite,
poiché il segnale riflesso decade rapidamente a zero oltre questa quota, per segnali
emmessi su 915 MHz.
23
Acronimo di light detection and ranging.
24
DIfferential Absorption Lidar.
411
8.
METODI E STRUMENTI DI MISURA
RASS
I sistemi RASS25 - combinano le tecniche di emissione e ricezione di segnali radar e
acustici, per definire profili di velocità del suono - quindi di temperatura - nello strato
limite terrestre. Un generatore di onde acustiche invia un treno d’onda verso l’alto; la
velocità di propagazione dell’onda acustica viene continuamente rilevata mediante un
radar, grazie all’effetto Doppler. Le onde radio vengono retrodisperse dalle variazioni
di indice di rifrazione prodotte dall’onda acustica, con uno spostamento in frequenza
che dipende dalla velocità di quest’ultima. Per massimizzare l’intensità del segnale
di ritorno, viene emessa un’onda acustica con una lunghezza d’onda pari alla metà di
quella dell’onda radio; questa condizione è detta condizione di risonanza di Bragg. La
massima quota raggiungibile con misure RASS si aggira attorno ai 750 m dal suolo.
25
Radio Acoustic Sounding System.
412
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE
URBANO
413
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
9.1.
INTRODUZIONE
L’inquinamento dell’aria va di pari passo, da un punto di vista storico, all’urbanizzazione e all’industrializzazione. In particolar modo, nel corso del
XX secolo, l’inquinamento atmosferico ha riguardato principalmente la qualità dell’aria delle città, a parte alcuni eventi su scala regionale - o addirittura
continentale (Chernobil). Nella prima metà del secolo il principale fattore
inquinante era rappresentato dai prodotti della combustione dei combustibili
fossili, ai quali ricorrevano massicciamente tutte le città fino a circa quarantacinquant’anni fa. Nel corso del secolo, la città di Londra è stata sede di numerosi episodi di picchi di inquinamento per tale causa, che culminarono con
il celeberrimo big smoke, nelle giornate dal 4-10 dicembre del 1952. In quei
giorni la bassa temperatura, l’assenza di vento ed il perdurare di una inversione
termica contribuirono alla formazione di una tale quantità di fumi che anche le
persone di buona salute avevano difficoltà a respirare. Tale situazione fu letale per le persone con salute più cagionevole e affette da patologie polmonari,
tanto che si contarono all’incirca 4000 decessi imputabili direttamente all’inquinamento dell’aria. La gravità della situazione fu comunque tale da indurre
gli organi di governo ad assumere drastiche iniziative, che portarono all’abbandono dell’uso del carbone a favore di quello del gas, e che attenuarono di
molto il problema del fumo londinese (per il quale era stato coniato il termine smog) dalla fine degli anni ’50. In altri casi sono state invece le emissioni
di impianti industriali ad essere responsabili di gravi episodi di inquinamento dell’aria, tanto da costituire un rilevante problema politico e amministrativo. Tali furono i casi di numerosi distretti industriali nel mondo intero, quali
quello della città di Pittsburgh, fortemente inquinata dalle acciaierie e dalle
zincherie situate nei paraggi, o del distretto industriale della Ruhr, in Germania, ove le emissioni di ferriere, acciaierie ed industrie chimiche rendevano,
fino alla fine degli anni cinquanta, l’ambiente particolarmente insalubre1 . Oggi sono invece le emissioni di autoveicoli a rappresentare il principale fattore
inquinante in tutti i grandi centri abitati. Sono numerose le città che, a causa
dell’effetto combinato di elevate emissioni da traffico veicolare e particolari
regimi meteoclimatici, devono fronteggiare i problemi legati all’inquinamento
1
J.R. McNeill, Qualcosa di nuovo sotto il sole - Storia dell’ambiente nel XX secolo, Einaudi,
Torino, 2002.
414
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
atmosferico. I fenomeni di inquinamento urbano possono essere divisi in due
principali categorie:
– in ambienti caldi fortemente insolati, allorché radiazione ultravioletta e emissioni di prodotti della combustione di idrocarburi sono
intensi, si ha la formazione del cosiddetto smog fotochimico;
– quando la radiazione ultravioletta è meno intensa e i prodotti delle
combustioni sono immessi in un ambiente con alta umidità relativa,
si creano le condizioni favorevoli per la formazione dello smog propriamente detto, un insieme di particelle liquide e solide sospese in
aria - il cosiddetto particolato.
Los Angeles, Santiago del Cile e Atene sono note per essere afflitte dal primo problema, così come Città del Messico, situata in una conca a 2000 m
di quota sul mare e soggetta di frequente a situazioni di inversione termica.
Parigi, New York e Tokio, sebbene non siano in sfavorevoli condizioni meteoclimatiche, soffrono ugualmente, a causa della loro estensione e della quantità
di emissioni, di problemi di inquinamento atmosferico. In Italia, Torino e
Milano soffrono di entrambi i fenomeni di inquinamento sopra descritti. In
inverno, a causa dell’abbassarsi dell’altezza dello strato limite per il perdurare di condizioni anticicloniche, le emissioni inquinanti sono intrappolate in
uno strato d’aria spesso qualche centinaio di metri e l’alto tasso di umidità
relativa favorisce la produzione del particolato, o smog londinese. In estate,
le alte temperature e la radiazione solare contribuiscono a creare le condizioni ottimali per la produzione dello smog fotochimico. In entrambi i casi, il
perdurare di giornate con calma di vento aggrava la situazione, facendo aumentare la concentrazione di fondo, tanto che i picchi di concentrazione di
inquinanti registrati in un parco non si discostano di molto da quelli registrati
in corrispondenza di una strada trafficata.
Nel corso del XX secolo l’avanzare dell’industrializzazione e dell’urbanizzazione ha portato ad una rapida crescita dell’inquinamento atmosferico, il quale
si è intensificato progressivamente sulla scala della città e dei comparti industriali ed ha ampliato i suoi effetti su scala regionale e globale (effetto serra,
buco dell’ozono, etc.). Tuttavia, sulla scala della città, nella seconda metà
del secolo si sono avute delle mitigazioni, per ragioni economiche, politiche e
geografiche. Da un punto di vista economico, la riduzione del prezzo del pe415
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
trolio e del gas naturale, in seguito all’abbattimento dei costi di estrazione e di
trasporto, dovuto alla costruzione di oleodotti e super-petroliere, ha portato alla sostituzione del carbone come combustibile per il riscaldamento domestico
e la produzione di energia. Meno importanti, ma comunque influenti, furono
gli effetti politici delle prime proteste di carattere ambientale, che indussero i
governi di molti paesi ad adottare legislazioni che ponevano vincoli e limiti alle emissioni di alcuni inquinanti2 . Infine, a partire dagli anni ’60, la geografia
degli insediamenti industriali cambia progressivamente. Gli impianti produttivi, dapprima concentrati in aree piuttosto limitate, scelte per la loro vicinanza
a miniere di carbone (tali erano ad esempio quelle sopracitate, la Pennsylvania
occidentale e la Rhur tedesca) iniziarono ad essere dislocate più lontane dai
centri abitati e dispersi su regioni più vaste, cosicché il loro impatto sull’ambiente e sulla salute delle persone ne fu molto ridotto. Detto ciò, sebbene i
livelli di inquinamento di numerose città europee ed americane siano inferiori
a quelli registrati nel corso del secolo passato, la rilevanza dei problemi della
qualità dell’aria in ambiente urbano è gradualmente aumentata. Negli ultimi
anni sono stati svolti studi sempre più approfonditi, volti a progettare sistemi
di misura per il monitoraggio dei livelli di inquinamento e a mettere a punto
programmi di calcolo per la previsione e la simulazione di fenomeni di dispersione di inquinanti in ambiente urbano. In questo capitolo sono presentati gli
aspetti peculiari della dispersione di inquinanti in ambiente urbano, cha fanno
sì che numerosi problemi in tale contesto non si possano affrontare utilizzando
i classici modelli di dispersione.
9.2.
ELEMENTI DI CLIMATOLOGIA URBANA
I processi di urbanizzazione producono cambiamenti radicali nelle caratteristiche della superficie terrestre, alterando i processi di scambio di calore, massa e
quantità di moto tra il suolo e l’atmosfera. Una corrente proveniente da un ambiente rurale pertanto risentirà del cambio delle condizioni al contorno dovuto
al passaggio in un ambiente urbano. Per quanto riguarda lo scambio di quantità
di moto, la rugosità superficiale risulta incrementata a causa della presenza degli edifici; ma la specificità dell’ambiente urbano provoca inoltre cambiamenti
2
Negli Stati Uniti l’adozione della benzina verde ha portato ad abbattere le concentrazioni di
piombo nell’aria del 95 per cento tra il 1977 ed il 1994 - J.R. McNeill, op. cit.
416
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
radicali anche nel bilancio energetico della superficie terrestre. L’ambiente urbano rappresenta una zona con particolari caratteristiche microclimatiche, in
ragione dalle attività umane che vi si svolgono e della geometria degli edifici.
Il fenomeno di maggiore rilevanza è costituito dalla formazione della cosiddetta isola di calore, una regione limitata sovrastante la città con temperatura
più elevata di quella dell’atmosfera circostante (vedi fig. 9.1). Nella maggior
parte delle grandi città si ha un aumento di temperatura, rispetto all’ambiente naturale che le circonda, che può raggiungere, nelle ore che precedono il
giorno, i 4 ÷ 5 ◦ C. I processi che portano alla formazione dell’isola di calore
possono essere così riassunti:
– per quanto riguarda l’assorbimento della radiazione solare incidente, i materiali utilizzati in città, cemento, materie plastiche, asfalto,
vetri, hanno in media una albedo3 inferiore a quello del suolo in
ambiente rurale, il che comporta un aumento dell’energia assorbita.
Inoltre a parità di materiale delle superfici, l’assorbimento di radiazione incidente è superiore a quella che si avrebbe su un suolo piatto,
a causa delle riflessioni multiple tra le pareti;
– i fenomeni di evaporazione e traspirazione che mantengono relativamente basso l’aumento di temperatura di una superficie protetta
dalla vegetazione risultano ridotti, così come quelli dovuti all’evaporazione del terreno; in ambiente urbano, infatti, le acque meteoriche
vengono drenate;
– i flussi convettivi di calore sensibile rivolti verso l’atmosfera sono limitati per l’esistenza di zone di ricircolazione intrappolate nelle cavità formate tra gli edifici, mentre i valori medi della velocità risultano
globalmente più bassi per l’aumentata resistenza aerodinamica;
– vi sono numerose sorgenti di calore dovute all’attività umana;
– la radiazione riemessa dalle superfici nella banda dell’infrarosso viene parzialmente riflessa verso il basso dalla nube di inquinanti che
sovrasta la zona urbana;
– la diminuzione di temperatura delle superfici nel periodo notturno è
ritardata dalla notevole inerzia termica degli edifici.
3
Si definisce come albedo di una superficie il rapporto tra l’energia radiante riflessa e quella
incidente.
417
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
Taria
ΔT ≃ 4 ÷ 5 °C
rurale
sub urbano
urbano
sub urbano
Fig. 9.1 – Isola di calore: temperatura dell’aria all’altezza degli edifici.
Fig. 9.2 – Circolazione diurna al di sopra di una città per basse velocità del vento di
grande scala.
Gli effetti dell’isola di calore sono particolarmente evidenti allorché la velocità
del vento è inferiore ai 3 m/s; in tali condizioni il campo di moto è caratterizzato dall’instaurarsi di una corrente termica ascendente collocata nella zona
centrale della città, come mostrato in fig. 9.2. Da un punto di vista del trasporto di inquinanti, questo caratteristico campo di moto ha come effetto quello di
aumentare le concentrazioni nelle zone centrali. Nel caso in cui l’intensità del
vento sia maggiore (superiore ai 3 m/s), tale configurazione del campo di moto scompare, tuttavia la presenza della città ha come effetto la formazione di
un pennacchio di aria calda che viene trasportato a valle dell’agglomerato.
418
9.
9.3.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
SCALE SPAZIALI CARATTERISTICHE
I fenomeni di emissione e dispersione di inquinanti all’interno o nelle vicinanze di un’area urbana sono caratterizzati da una compresenza di scale spaziali
e temporali molto diverse tra loro. A seconda della scala che si vuole studiare,
si hanno differenti modelli di simulazione matematica. Una divisione sommaria - ma comunemente adottata - prende in considerazione tre scale spaziali
distinte:
– la scala regionale, dell’ordine di 100 km
– la scala della città o del quartiere, tra 1 e 10 km
– la scala della strada, variabile tra i 10 e i 100 m
Da un punto di vista strettamente geometrico, per fare un esempio, il dettaglio
con il quale si vuole descrivere un’area urbana può condurre a rappresentazioni molto diverse della stessa all’interno del dominio di calcolo, a seconda
della scala spaziale adottata. Se viene considerata su scala regionale, la presenza di una città può essere modellata con un numero limitato di parametri;
nel suo insieme, la città è rappresentata come un’area con proprietà distribuite
in modo omogeneo. Qualora invece l’interesse sia rivolto a fenomeni di trasporto su scale ridotte, come quella di un quartiere o di una singola strada, la
geometria del dominio diverrà ovviamente più complicata. A titolo di esempio, presentiamo due classici problemi di inquinamento urbano le cui scale
spazio-temporali sono molto differenti:
– nel caso del rilascio accidentale di una sostanza tossica o nociva all’interno di un agglomerato urbano o nelle sue immediate vicinanze
(Seveso, Tolosa, Bhopal...) gli effetti del processo di dispersione devono essere considerati su scale temporali e spaziali, che vanno dall’ordine dei minuti all’ora, e dalle centinaia di metri al chilometro.
Per analizzare il fenomeno saranno necessarie informazioni dettagliate sulla geometria urbana nella zona di interesse, mentre le condizioni meteorologiche al momento dell’emissione possono essere
considerate come stazionarie in senso statistico, poiché il fenomeno di dispersione al quale si è interessati avviene su un lasso temporale più breve, rispetto a quello in cui intervengono di solito variazioni significative delle condizioni meteorologiche, che riflettono
condizioni sinottiche, di più larga scala.
419
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
– al contrario, l’inquinamento da ozono è frutto di trasformazioni fotochimiche i cui tempi di reazione sono della scala temporale della
giornata. Nel corso del periodo necessario a che tali reazioni avvengano, la nuvola di inquinante potrà essere trasportata convettivamente a distanze considerevoli dal luogo di emissione, coinvolgendo
un’area molto più vasta. Pertanto, volendo dare una rappresentazione completa del fenomeno, si deve possedere una conoscenza delle condizioni al contorno sufficientemente dettagliata per descrivere
il trasporto della nuvola di inquinante dalla scala locale, laddove è
emessa, a quella regionale, ove avviene il fenomeno di dispersione.
Il caso di Los Angeles, riportato in numerosi libri di testo che trattano l’argomento, è esplicativo per quanto riguarda la complessità dei fenomeni che
derivano dalla compresenza di scale spazio-temporali diverse. Nel caso specifico, per dare una completa descrizione della formazione, del trasporto e della
dispersione del cosiddetto smog fotochimico (Par. 9.4) occorre prendere in
considerazione fenomeni che vanno dalla scala continentale a quella locale
(della città o del quartiere). La California si trova all’estremità orientale della
cella anticiclonica subtropicale dell’Oceano Pacifico, la cui formazione è dovuta alla circolazione atmosferica su scala globale. Il perdurare di condizioni
anticicloniche implica una riduzione dell’estensione verticale dello strato limite terrestre, al cui limite superiore è presente uno strato fortemente stabile,
dovuto alla compressione degli strati superiori dell’atmosfera, che avviene nel
corso del lento moto di subsidenza cui questi sono sottoposti. Nel caso di Los
Angeles tale inversione termica risulta essere particolarmente marcata, perché
l’aria soggiacente proviene dall’oceano, in seguito all’instaurarsi del regime
di brezza che caratterizza la circolazione delle zone costiere. La presenza di
rilievi al confine orientale della piana sulla quale si estende Los Angeles, e
lo strato stabile che sovrasta l’intera regione, costituiscono, due limiti invalicabili al trasporto degli inquinanti, i quali rimangono intrappolati in un moto
di ricircolo al di sopra dell’area urbana, come è schematicamente rappresentato in fig. 9.3. La diversità delle scale spazio-temporali che caratterizzano i
fenomeni di inquinamento dell’aria in ambiente urbano ne rendono difficile la
trattazione mediante simulazione numerica. Una tecnica usualmente adottata
è quella di risolvere il problema con una cascata di modelli, affinando di passo
in passo il dettaglio della risoluzione spazio-temporale del campo di moto, utilizzando i risultati ottenuti nel passo precedente come condizioni al bordo per
420
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
Fig. 9.3 – Circolazione atmosferica sopra Los Angeles durante il giorno.
il passo successivo. In tal modo si possono ottenere risultati sufficientemente
dettagliati per analizzare i fenomeni di interesse su scala ridotta, utilizzando
supporti informatici che non necessitano di particolari potenze di calcolo.
La scala regionale
La scala regionale è definita come la più vasta area attorno ad una città sulla
quale sia avvertibile l’influenza della stessa. Tipicamente, il campo di moto
su scala regionale risente della presenza di un agglomerato urbano per quanto riguarda i fenomeni di isola di calore descritti nel paragrafo precedente e
per la decelerazione del vento in tali aree, a causa della resistenza aerodinamica opposta dagli edifici. Considerata su questa scala, una città può essere
vista come una porzione della superficie terrestre caratterizzata da una elevata rugosità rispetto alle aree rurali circostanti. Nel passaggio tra la zona rurale
e la zona urbana lo strato limite subisce una transizione in cui si adatta alle
nuove condizioni superficiali; l’influenza degli edifici si estende progressivamente verso l’alto, disegnando una nuova regione a cui viene dato il nome di
strato limite interno, cfr. fig. 9.4. Dopo una distanza sottovento di 1 ÷ 2 km,
la fase di transizione può ritenersi conclusa, e lo strato limite nuovamente in
equilibrio.
Se si studia il fenomeno nella scala della regione, si rinuncia a descrivere il
campo di moto tra gli edifici e immediatamente al di sopra di essi; la rimanente
421
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
z
h
Ǝ(z) − ƌ<uw>
Ǝ(z)
Ǝ(x,z)
Ǝ2
Ǝ1
(zο )1
(zο )2
Fig. 9.4 – Transizione dello strato limite tra due regioni con diversa rugosità superficiale: la linea tratteggiata rappresenta lo sviluppo dello strato limite interno, regione già
interessata dal cambio di rugosità, che si estende in verticale sottovento.
parte dello strato limite tornato in equilibrio può essere suddivisa, in senso
verticale, nel modo tradizionale della teoria di similitudine. Si hanno tre zone
diverse nel quale sono identificabili diverse scale di velocità e di lunghezza
caratteristiche:
– la zona del profilo logaritmico di parete, o zona inerziale, ove la
scala delle lunghezza è data dalla altezza di rugosità zo e quella delle
velocità dalla velocità di attrito u∗ ;
– la regione in cui comincia a sentirsi l’effetto delle correnti termiche
pur rimanendo dominante l’instabilità di natura inerziale; la scala relativa delle lughezze è data dall’altezza di Monin-Obukov H e quella
delle velocità ancora da u∗ ;
– una zona compresa tra l’altezza di Monin-Obukhov e il limite estremo dello strato limite, nel quale la turbolenza atmosferica è dovuta principalmente ai moti convettivi, e le scale appropriate sono
l’altezza dello strato limite h e la velocità convettiva uc .
In questa descrizione, la complessità geometrica di una città è sintetizzata nel
solo parametro zo . L’attribuzione di un solo parametro, a riassumere le proprietà aerodinamiche di un’area, implica di considerarla come una superficie
con caratteristiche omogenee. Il problema è pertanto quello di valutare come i
dettagli su piccola scala possano essere parametrizzati, al fine del calcolo di zo .
422
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
Il profilo delle velocità medie che si sviluppa al di sopra di una parete rugosa
nella regione inerziale è descritto mediante una legge di tipo logaritmico4 :
1
z
U
= ln
9.1
u∗
κ zo
laddove zo e u∗ hanno il significato già ricordato e κ rappresenta la costante di von Karman. Il parametro zo assume, in corrispondenza delle aree urbane, valori attorno ad 1 m. Informazioni più dettagliate si possono trovare
nella maggior parte dei manuali di istruzioni dei modelli numerici di calcolo.
La legge logaritmica di parete presuppone l’omogeneità statistica del campo
di moto nei piani orizzontali e quindi non è in grado di restituire variazioni
indotte dalla topologia degli edifici (presenza di parchi, piazze, etc.).
Al di sopra della regione inerziale comincia a sentirsi l’influenza del flusso
termico convettivo Fc , dal quale si deriva l’altezza H di Monin-Obukhov.
Per quanto riguarda il campo fluttuante, la presenza di un agglomerato urbano
si riflette in un incremento dell’intensità delle sue componenti, sia a causa
dell’incremento della rugosità del suolo, sia per la presenza di più elevati flussi
termici, soprattutto durante la notte. Osservazioni sul campo hanno mostrato
come l’intensità della turbolenza atmosferica al di sopra di aree urbane e suburbane sia, durante la notte, doppia rispetto a quella delle aree rurali, e, durante
il giorno, superiore di circa il 20 ÷ 30%5 .
La scala della città e del quartiere
In linea generale la dispersione di inquinanti in atmosfera rappresenta un problema trattabile senza grandi difficoltà, quando si svolga su un terreno piatto
e omogeneo, le cui caratteristiche superficiali possono essere sintetizzate con
un unico parametro, l’altezza di rugosità superficiale. La cosa vale anche in
presenza di una città, quando la scala prescelta per la descrizione sia suffi-
4
In alternativa, si ricorre altrettanto frequentemente ad un profilo di velocità media dato da una
legge di potenza del tipo: UU = ( hz )n laddove n assume valori compresi tra 0.16 e 0.4. La legge
h
di potenza permette di interpolare altrettanto bene i profili di velocità media, ma, a differenza
del profilo logaritmico, non ha alcun assunto teorico a suo supporto.
5
J.F. Clarke et al., Turbulent structure of the urban boundary layer, Proc. Int. Tech. Meet. Air
Pollut. Model. Its Appl., 9th, NATO/CCMS. New York/London, 1978.
423
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
cientemente grande; è sufficiente tener conto della variazione dell’altezza di
rugosità superficiale e di intensità della fluttuazione turbolenta. Riducendo
la scala di interesse, dalla scala regionale a quella della città o del quartiere, si ingrandiscono i dettagli geometrici della superficie terrestre, che, sin qui
rappresentabile come una parete particolarmente rugosa, risulta ora essere occupata da un insieme di ostacoli costituiti dai singoli edifici. La geometria
urbana si rivela in tutta la sua complessità e presenta aspetti geometrici dotati
di struttura e orientamento, di tratti salienti che non possono essere ricondotti,
ai fini della loro influenza sulla corrente, ad un unico parametro. La presenza
di ostacoli di varia forma, dovuti all’orografia o alla presenza di edifici, influenza sia la direzione del vento - le linee di corrente della velocità media sia l’intensità della fluttuazione turbolenta, e quindi la rapidità di dispersione
degli inquinanti.
Il problema consiste nello studio degli effetti di un gruppo di ostacoli sulla
corrente che li investe. Trascuriamo in questa discussione gli effetti termici e
quindi l’esistenza di un’altezza di Monin-Obukhov, come se la stratificazione
dell’atmosfera fosse neutra. Nel suddividere il campo di moto lungo l’asse
verticale in regioni distinte con diversi regimi, è tuttavia necessario introdurre
due nuove regioni, oltre a quella inerziale e a quella esterna, come mostrato
in fig. 9.5, nell’intento di descrivere con maggior dettaglio il campo di moto
negli strati dell’atmosfera più prossimi alla superficie:
– la regione del tessuto urbano (urban canopy);
– il sottostrato di rugosità (roughness sub-layer).
Partendo dal basso vi è innanzitutto il cosiddetto tessuto urbano, ovvero quella regione occupata dagli edifici, all’interno della quale la corrente dipende
dall’orientazione e dalla posizione reciproca degli stessi. In questa zona si
possono formare strutture ricircolanti semi-permanenti. Immediatamente al di
sopra della regione occupata dagli ostacoli, è presente la zona del sottostrato
di rugosità (roughness sub-layer), nella quale la corrente risente degli effetti di
scia dei singoli ostacoli e presenta pertanto delle disomogeneità nei piani orizzontali. Tale zona si estende sino ad un’altezza, detta di omogeneizzazione
(blending height) z∗ , alla quale si è sufficientemente distanti dal tessuto urbano perché gli effetti di scia dei singoli ostacoli si mascherino reciprocamente;
a tale altezza, la corrente avverte la presenza dell’insieme degli edifici come
un unico indistinto elemento di resistenza aerodinamica, distribuito in modo
omogeneo sulla superficie.
424
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
z
z
h
Ǝ(z) −ρ<uw>
regione esterna
U(z)
regione inerziale
z∗
sottostrato di rugosità
tessuto urbano
Fig. 9.5 – Suddivisione verticale dello strato limite urbano in condizioni di stabilità
neutra.
Al di sopra dell’altezza di omogeneizzazione si estende la zona inerziale ove
vale la già citata legge logaritmica di parete. La legge però viene usualmente
riscritta con l’aggiunta di un nuovo parametro d, detto altezza di spostamento, il quale permette di traslare verticalmente, rispetto al valore zo , il piano
virtuale sul quale la velocità media si annulla:
1 z−d
U
= ln
9.2
u∗
k
zo
Il parametro d viene introdotto allorquando nella zona più prossima a parete sono presenti regioni ricircolanti di fluido e l’estrapolazione del profilo di
velocità medie sino a terra, mediante la 9.1, comporta una approssimazione
eccessiva nella descrizione del campo di moto6 . Inoltre, l’introduzione di un
nuovo parametro permette di ridurre la dispersione di valori assunti da zo , che
altrimenti risulterebbero variabili di 5 ordini di grandezza.
La descrizione usualmente adottata delle caratteristiche del campo di moto
che si instaura in queste due regioni, seppur qualitativa, identifica tre diversi
6
In base a queste considerazioni anche la legge di potenza può essere riscalata tenendo in conto
z−d n
) .
dell’altezza di spostamento d, scrivendo UU = ( h−d
h
425
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
(a)
(b)
(c)
Fig. 9.6 – Regimi di flusso al di sopra di gruppi di ostacoli: (a) rugosità isolate, (b)
interferenza di scia, (c) skimming-flow.
regimi di flusso, in funzione della densità degli ostacoli, una variabile che
viene espressa come rapporto tra H , altezza degli ostacoli, e W , distanza tra
gli stessi7 .
Nel primo regime, detto di rugosità isolate (per rapporti H/W < 0.15 ÷ 0.2),
gli ostacoli sono sufficientemente lontani perché la corrente, prima di investire un secondo ostacolo, ritorni nelle condizioni nelle quali si trovava prima di
incontrare il precedente. Si osserva una regione di ricircolazione non stazionaria che si estende a valle dell’ostacolo per una distanza pari a circa 2-3 volte
l’altezza dello stesso. Anche a monte dell’ostacolo si instaura una regione di
ricircolazione, meno estesa, sia in orizzontale che in verticale. Per quanto riguarda la dispersione di un inquinante, la scia a valle di un ostacolo tende
a immagazzinare inquinanti trattenendoli in un moto di ricircolo, che tuttavia scambia massa con la corrente esterna mediante il distacco intermittente
di strutture vorticose. Per valori di H/W compresi tra 0.2 e 0.65 si insatura
un diverso regime di flusso detto di interferenza di scia, nel quale gli edifici
sono sufficientemente vicini affinché le scie interferiscano tra loro, dando origine a configurazioni del campo di moto particolarmente complesse. Infine,
7
T.R. Oke, Boundary layer climates, 2nd ed., Metheun, London, 1987.
426
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
avvicinandosi ulteriormente gli ostacoli, la distanza tra gli stessi è ridotta al
punto che si stabilisce un’unica struttura di ricircolazione nelle cavità (si formano comunque vortici secondari negli angoli, non rappresentati in figura):
si è in regime di skimming flow. In questo ultimo caso, l’influenza reciproca
tra corrente esterna e regione ricircolante è molto ridotta rispetto al caso precedente, e l’interazione tra le due regioni è determinata dalla dinamica di un
sottile strato di scorrimento che si instaura all’interfaccia.
Tornando ai parametri d, zo e z∗ , la loro determinazione è usualmente fatta seguendo leggi empiriche, che ne definiscono il valore in funzione di proprietà
geometriche del gruppo di ostacoli investiti dalla corrente. In prima approssimazione sono definite relazioni che tengono conto unicamente dell’altezza
media degli ostacoli8 :
z∗ = a < H >
zo = b < H >
d=c<H >
con 2.5 < a < 4.5, b 0.1 e c 0.7.
In seconda approssimazione, oltreché l’altezza media degli ostacoli, si considera anche la distanza tra gli stessi, facendo riferimento ai tre regimi di flusso
sopra presentati. Per l’altezza di omogeneizzazione, viene fornita la relazione:
z∗ =< H > +1.5 < W >
Per quanto riguarda gli altri due parametri, in fig. 9.7 sono presentate due curve
ottenute empiricamente, che esprimono la variazione di d e zo , adimensionati
rispetto all’altezza media degli edifici, in funzione del rapporto H/W ; oppure
con un’analisi estesa alla terza dimensione, in funzione di fattore di porosità
λp , dato del rapporto tra la porzione di superficie occupata dagli ostacoli sul
piano orizzontale e la superficie totale.
La trattazione dell’argomento è limitata a considerazioni di carattere qualitativo, perché sono ancora molti i tratti del fenomeno che riflettono l’indeterminatezza propria della descrizione dei moti turbolenti. Per riassumere, il calcolo
8
C.S.B. Grimmond, T.R. Oke, Aerodynamic properties of urban areas derived from analysis of
surface form, Journal of Applied meteorology, Vol. 38, 1999.
427
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
d/H
0.8
0.6
0.4
ambiente
urbano
0.2
zο / H
0.2
0.4
0.6
0.8
Ɔp
Fig. 9.7 – Variazione dell’altezza di spostamento d e dell’altezza di rugosità superficiale
zo in funzione del fattore di porosità λp di un gruppo di ostacoli.
dei processi di dispersione di inquinanti in ambiente urbano alla scala della
città o del quartiere, deve far fronte ai seguenti a due problemi:
– come caratterizzare gli strati bassi dell’atmosfera, tenendo conto dell’influenza della geometria degli ostacoli sulla dinamica dello strato
limite terrestre nella regione dominata da instabilità di tipo inerziale;
– come descrivere i fenomeni di scambio di quantità di moto e di massa
tra le regioni di fluido ricircolante e la corrente esterna.
Per la simulazione numerica di tali fenomeni, si hanno due possibilità: ricostruire i tratti salienti della geometria urbana nella sua complessità all’interno
del dominio di calcolo, risolvendo per via numerica le equazioni di quantità
di moto e di trasporto, oppure attuare delle semplificazioni nei modelli matematici da adottare mediante la parametrizzazione dei processi di scambio di
massa.
428
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
U
Fig. 9.8 – Trasporto di un inquinante all’interno di uno street canyon.
La scala della strada: lo street canyon.
La scala della strada è particolarmente studiata nel contesto dei problemi di
dispersione di inquinanti in ambiente urbano. In tal caso l’interesse è dato dalla prossimità tra sorgente (tubi di scarico del traffico veicolare) e i ricettori,
in un ambiente particolarmente schermato dall’influenza del vento, all’interno
del quale la dispersione delle sostanze inquinanti è molto limitata, e le caratteristiche del campo di moto possono essere tali da rendere elevate le concentrazioni in prossimità del suolo. Un caso classico di studio è rappresentato da
una corrente in una strada confinata tra due edifici, posti perpendicolarmente
alla direzione del vento, la cui distanza sia di molto inferiore alla lunghezza
della strada stessa, in modo tale che il fenomeno possa essere considerato, per
quanto riguarda il moto medio, bidimensionale.
Negli ultimi vent’anni, numerose ricerche sono state dedicate alla rappresentazione del campo di moto e della dispersione all’interno di uno street-canyon.
Molti modelli adottati9 assumono uno scambio di massa all’interfaccia direttamente proporzionale alla velocità della corrente esterna, con formule per il
9
R. Berkowicz et al., Modelling traffic pollution in streets, National Environmental Research
Institute, Denmark, 1997.
429
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
calcolo della concentrazione di fondo C all’interno del canyon, del tipo:
Ṁq
9.3
UH D 2
Nella 9.3 α è una costante empirica i cui valori sono compresi tra 6 e 13, UH
è una scala delle variazioni di velocità della corrente esterna, assunta come
scala del campo di moto all’interno della cavità, D è una lunghezza caratteristica - l’altezza del meato - e Ṁq è la portata in massa di inquinante immessa
all’interno del canyon stradale. In tal modo viene calcolata una concentrazione di fondo all’interno della cavità. Per tener conto di eventuali inomogeneità
all’interno del canyon, dovute al carattere quasi stazionario della corrente ricircolante, si può sovrapporre un trasporto convettivo lungo le linee di corrente
della velocità media, che si allarga in senso trasversale con opportune leggi di
dispersione, fig. 9.7. Tali modelli, seppur semplici, permettono in molti casi di
ottenere risultati sufficientemente accurati, nel caso in cui il fattore geometrico H/W non si discosti troppo dall’unità. Le cose si complicano nel caso in
cui il meato divenga più stretto, per l’instaurarsi di più strutture ricircolanti in
senso opposto all’interno dello stesso; oppure nel caso in cui il meato divenga
più ampio poiché il campo di moto si fa più complesso. In regime di interferenza di scia, la struttura dello strato di scorrimento all’interfaccia tra il meato
e la corrente esterna diviene meno definita, e gli scambi di massa sono caratterizzati dal rilascio intermittente di strutture vorticose di scala H . Nello studio
di questi problemi, i fenomeni termici risultano essere poco rilevanti, a meno
che non ci si trovi in condizioni di calma di vento o quasi, dal momento che ci
si trova ben al di sotto dell’altezza di Monin-Obukhov.
Q=α
9.4.
UN CENNO ALLE REAZIONI CHIMICHE
Volendo calcolare il campo di concentrazioni di un inquinante in seguito alla
sua emissione e dispersione in atmosfera, si devono anche prendere in considerazione - quantificandone l’entità - i principali meccanismi di rimozione
e trasformazione, a cui l’inquinante è sottoposto. La rimozione avviene mediante i processi di deposizione secca e di deposizione umida - che riguarda in
primo luogo il particolato nonché i gas solubili in acqua - i quali trasferiscono
gli inquinanti al suolo o nei diversi sistemi idrici.
La trasformazione di un inquinante in atmosfera può avvenire sia per via fisica - dissoluzione di gas in fase acquosa, adsorbimento su superfici solide di
430
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
particelle e relativi processi inversi - sia per via chimica, a seguito di processi,
per lo più molto complessi, che coinvolgono un gran numero di composti10 .
L’aspetto di particolare interesse di tali fenomeni è dato dal fatto che non sempre i processi di trasformazione delle specie chimiche vanno nel senso di una
riduzione dell’inquinamento atmosferico, dal momento che i prodotti delle
trasformazioni sono talvolta più nocivi dei precursori. Questo porta a distinguere tra inquinanti primari e inquinanti secondari, a seconda che questi siano
immessi direttamente in atmosfera o che siano originati da trasformazioni chimiche. Sia gli inquinanti primari sia quelli secondari possono presentarsi allo
stato gassoso, liquido o solido (in forma di particolato). Il particolato secondario è frutto di reazioni chimiche e chimico-fisiche che coinvolgono inquinanti
gassosi primari e secondari. I principali inquinanti primari sono:
– ossidi di zolfo (SO2 ), ossidi di azoto (N O, N O2 ), ossidi di carbonio
(CO, CO2 );
– idrocarburi incombusti (HC );
– idrocatburi policiclici aromatici (IPA);
– metalli pesanti (zinco, piombo, vanadio, etc.);
– particelle sospese incombuste o incombustibili (ceneri, polveri,
goccioline di catrame, etc.);
– composti alogenati (solventi, refrigeranti);
– elementi radioattivi.
A questi prodotti andrebbe aggiunto il vapor acqueo, che è prodotto dalle combustioni, e che non è un inquinante in senso proprio, ma lui cui presenza può
modificare il bilancio di energia radiante tra la terra e l’ambiente esterno. Vapor acqueo e anidride carbonica sono innocui in quanto tali, ma la loro presenza può comportare modifiche climatiche a lungo termine, come l’effetto serra.
In particolare, il vapor acqueo ha non solo una rilevanza diretta per ragioni biologiche, ma contribuisce a controllare e limitare la dinamica giornaliera delle
temperature; il vapor acqueo assorbe la radiazione emessa nella banda di lunghezza d’onda compresa tra 5.5 e 7 μm, ed in quella superiore a 14 μm; uno
10
La rimozione può anche avvenire per via biologica, in seguito a reazioni dovute alla respirazione
di piante e batteri.
431
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
strato d’aria notevolmente umida dello spessore di 50 metri può considerarsi
opaco per una radiazione di tale lunghezza d’onda.
I principali inquinanti secondari sono:
– il biossido di azoto N O2 , che pur essendo emesso anche direttamente, è in gran parte il prodotto dell’ossidazione dell’ossido di azoto
(N O);
– l’ozono O3 e il perossiacetilnitrato (PAN), considerati gli indicatori
principali del cosiddetto smog fotochimico;
– il particolato originato da trasformazioni chimiche di inquinanti
gassosi primari.
In ambiente urbano si trovano alte concentrazioni di inquinanti primari, che
innescano due diversi processi di trasformazione chimica:
– la produzione di aereosol secondario o smog11 ;
– la generazione di smog fotochimico.
La produzione di aerosol secondario
L’aerosol secondario è il risultato della trasformazione chimica di inquinanti
gassosi primari in sostanze chimiche a bassa tensione di vapore, che si aggregano a formare particelle nuove o condensano sulla superficie di particelle
preesistenti; oppure deriva da reazioni chimiche che si svolgono nell’aerosol
primario12 .
11
La parola smog, sintesi dei vocaboli inglesi smoke e fog, è stata coniata all’inizio del XX secolo
da un medico londinese per indicare la fitta coltre di nebbia e pulviscolo che avvolgeva la città
di Londra. Lo smog londinese era, in effetti, un prodotto diretto della presenza naturale della
nebbia e del fumo dato dalla combustione di carbone, con cui erano alimentati tutti gli impianti
di riscaldamento e quelli produttivi.
12
J.H. Seinfeld, Atmospheric chemistry and physics of air pollution, John Wiley & Sons, 1986.
432
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
La formazione del particolato secondario è dovuta principalmente a:
– l’ossidazione in fase gassosa di SO2 in SO3 , seguita, in un ambiente umido, da una reazione con vapor acqueo, che produce infine
H2 SO4− ; oppure, ad altri percorsi di trasformazione dell’SO2 , che
richiedono la presenza del radicale libero OH − , ma che si concludono comunque nella produzione di acido solforico. L’acido solforico,
una volta comparso, cattura vapor acqueo e forma nuclei di nuove
particelle o condensa su quelle preesistenti.
– la trasformazione di N O2 in nitrati N O3− .
In generale, il particolato è classificato in funzione della dimensione delle particelle solide da cui è composto. Convenzionalmente le particelle con diametro superiore ai 2.5 μm sono classificate come grossolane, mentre quelle con
diametro inferiore sono classificate come fini. La distinzione più importante,
ai fini sanitari e tossicologici, riguarda le particelle con diametro inferiore ai
10 μm; in particolare, le particelle con diametro compreso tra 0.1 μm e 5 μm
sono sufficientemente piccole da essere inalate e sufficientemente grandi da
restare imprigionate nella regione faringea, tracheobronchiale e alveolare. Il
particolato secondario è formato da particelle di diametro compreso tra 0.01 a
2 μm, mentre il particolato primario ha dimensioni comprese tra 1 e 100 μm.
Da un punto di vista della dispersione atmosferica il particolato con diametro
inferiore ai 10 μm (PM10) si comporta come un generico inquinante in forma
gassosa, essendo la dimensione delle particelle non sufficientemente grande
perché la forza di gravità possa agire in modo efficace su di esse (Cfr. 6.2).
Smog fotochimico
Il termine smog, inizialmente coniato per la specificità dell’inquinamento londinese, è passato nel corso degli anni ad indicare qualsiasi intorbidimento dell’aria indotto da una copiosa emissione di sostanze inquinanti. In particolar
modo, si indica come smog fotochimico la coltre di foschia di colore marronegrigio che occupa gli strati più bassi dell’atmosfera, al di sopra di quelle città
che si trovano in regioni calde e soleggiate. La presenza di smog fotochimico venne rilevata per la prima volta nell’area di Los Angeles, tra la fine degli
433
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
anni ’40 e l’inizio degli anni ’50, da ricercatori che notarono il variare, nel
corso della giornata, delle concentrazioni in atmosfera di sostanze inquinanti,
alcune delle quali mostravano dei picchi in corrispondenza delle prime ore del
mattino, nelle ore di punta, allorché il traffico raggiungeva i livelli massimi,
mentre altre rivelavano la loro presenza a metà giornata. La concentrazione
dei vari inquinanti variava anche nel corso del pomeriggio e della sera, cosicché divenne evidente come vi fossero trasformazioni chimiche, indotte dalle
alte temperature e dalla radiazione solare. In sintesi, lo smog fotochimico è
governato dalle emissioni di ossido di azoto e composti volatili organici reattivi. Gas emessi in atmosfera da sorgenti inquinanti - i cosiddetti inquinanti
primari, N O e composti organici (R) - reagiscono, in presenza di radiazione solare, per formare inquinanti secondari, principalmente biossido di azoto
(N O2 ), ozono O3 e perossiacetilnitrato (PAN)13 . L’N O2 rappresenta sia l’iniziatore sia il prodotto finale di questo ciclo di reazioni. In un ambiente non inquinato, l’ozono è presente nei bassi strati dell’atmosfera, come risultato della
fotolisi dell’N O2 ; se ne può individuare un ciclo giornaliero di produzione e
distruzione:
k
N O2 + hν →1 N O + O
hν < 430 nm
O + O2 + M → O3 + M
k
O3 + N O →2 N O2 + O2
dove M è un catalizzatore che non partecipa alla reazione (ad. es. N2 ), hν è la
radiazione elettromagnetica e k1 e k2 sono due costanti cinetiche di reazione.
Le prime due reazioni avvengono durante il giorno, l’ultima invece durante
la notte, allorquando cessa l’apporto di energia da parte della radiazione ultravioletta proveniente dal sole. In assenza di altre specie chimiche, raggiunto
uno stato pseudostazionario, la concentrazione di ozono è data dalla relazione:
[O3 ] = k1 [N O2 ]/k2 [N O]
13
9.4
L’ozono dato dallo smog fotochimico è spesso indicato come ozono troposferico, per distinguerlo da quello presente nella stratosfera, non perché sia diverso chimicamente, ma perché il
secondo svolge una funzione protettiva della superficie terrestre, assorbendo gran parte della
radiazione ultravioletta.
434
9.
DISPERSIONE DI INQUINANTI IN AMBIENTE URBANO
In un ambiente urbano tale processo di produzione e di eliminazione risulta alterato, e le concentrazioni di ozono sono superiori14 a quelle calcolabili
ricorrendo alla relazione 9.4. La fotolisi dell’N O2 rimane comunque l’unico
meccanismo noto di produzione di ozono; pertanto, un aumento delle concentrazioni di ozono è sicuramente correlato a un aumento della presenza di
N O2 . Quest’ultimo è per la maggior parte un inquinante secondario; l’eccesso
di produzione15 è dovuto ad una trasformazione di idrocarburi volatili e aldeidi (R), emessi come gas di scarico degli autoveicoli in radicali liberi (R∗ )16 ,
i quali a loro volta reagiscono con l’ossido di azoto N O per formare N O2 .
Il ciclo pertanto è completato da una serie di reazioni, che sintetizziamo nelle
seguenti:
R + OH − → R∗ + H2 O
R∗ + N O → N O2 + R∗∗
laddove R∗∗ sta ad indicare nuovi radicali liberi. L’altra componente principale dello smog fotochimico è il PAN17 , il perossiacetilnitrato (HC(O)O2 N O2 ),
un gas di elevata tossicità, formato dalla reazione tra biossido di azoto e l’acetilperossido, un altro radicale libero frutto della ossidazione dell’acetilaldeide
(HCHO) da parte dello ione OH − :
HCHO + OH − + O2 → HC(O)O2 + H2 O
HC(O)O2 + N O2 → HC(O)O2 N O2
14
Gli effetti sulla salute dell’ozono variano con il tasso di esposizione del ricettore. A breve
termine alte concentrazioni di ozono producono l’irritazione delle vie respiratorie, tosse, difficoltà di respirazione e insufficienza polmonare. Gli effetti a lungo termine consistono in danni
polmonari di vario tipo, soprattutto in anziani, bambini e asmatici.
15
J.H. Seinfeld, op. cit.
16
Per lo più radicali perossialchili e perossiaciclici. In questa reazione, come in altre reazioni
chiave della chimica dell’atmosfera, è importante il ruolo dello ione ossidrile OH − .
17
Il PAN è negli ultimi tempi considerato il principale tracciante dello smog fotochimico, poiché,
a differenza dell’ozono, non viene prodotto naturalmente.
435
A.
A.1.
LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
INTRODUZIONE
Riportiamo in questa appendice le equazioni fondamentali della fluidodinamica, invitando il lettore che desiderasse approfondire l’argomento a consultare:
C. Cancelli, Fluidodinamica ambientale - equazioni e proprietà fondamentali,
Otto editore Torino. La notazione utilizzata in questo testo è quella tensoriale,
che fa uso di indici per indicare le componenti in un sistema cartesiano di riferimento xi con i = 1, 2, 3. La convenzione prevalentemente adottata1 è quella
che assume x2 come l’asse verticale, normalmente indicato in molti altri testi
come l’asse z . Le quantità scalari sono rappresentate da simboli privi di indici,
i vettori da lettere munite di un solo indice (ad es. la velocità è indicata come
ui ) ed i tensori da simboli aventi una coppia di indici (ad es. pij è il tensore
dei flussi). Anche se la notazione tensoriale potrebbe consentire una scrittura
più compatta, le operazioni di derivata sono espresse in modo esplicito, con il
consueto simbolo di frazione.
In alcuni paragrafi del testo, per evidenziare la dipendenza dal tempo, si è aggiunto l’indice t alla lettera che rappresenta il valore istantaneo di una grandezza. Quando ciò accade, al simbolo privo dell’indice t è riservato il significato
di fluttuazione rispetto ad un valore medio, che è invece scritto con la lettera
in maiuscolo; la scomposizione utilizzata è dunque: qt = Q + q . Non vi è ri-
1
Nei paragrafi in cui viene esplicitamente utilizzata la terna xyz le componenti dei vettori sono
scritte mediante gli indici corrispondenti, ad es. come ux , uy , uz oppure con simboli appositi,
che per la velocità sono: u, v, w.
437
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
schio di confondere la grandezza istantanea con la sua fluttuazione, perchè nel
testo viene sempre specificato a quale convenzione si sta facendo riferimento.
Per scrivere le equazioni in forma vettoriale è sufficiente utilizzare i simboli in
neretto per rappresentare i vettori (ad es. u è la velocità) ed impiegare l’operatore di derivazione simbolica nabla ∇. Con tale notazione il gradiente, che
rappresenta la derivata nella direzione di più intensa variazione di un generico
campo scalare q , si scrive:
3
∂q
∂q
∂q
∂q
∂q
grad q = ∇q =
ki =
ki =
k1 +
k2 +
k3
∂xi
∂xi
∂x1
∂x2
∂x3
A.1
i=1
Nella A.1 si sono indicati con ki i versori degli assi e si è introdotta la consuetudine di abrogare il simbolo di sommatoria nel caso ci siano indici ripetuti.
L’operatore di divergenza, che si applica ad un campo vettoriale u per ricavare
una quantità scalare, è espresso come prodotto simbolico:
div u = ∇ · u =
∂ui
∂u1 ∂u2 ∂u3
=
+
+
∂xi
∂x1 ∂x2 ∂x3
A.2
Per rappresentare la derivata totale o materiale (o lagrangiana) è invece
necessario utilizzare la seguente convenzione:
∂q
∂q
Dq
∂q
=
+ (u · ∇) q =
+ ui
=
Dt
∂t
∂t
∂xi
∂q
∂q
∂q
∂q
+ u2
+ u3
+ u1
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
A.3
La quantità scalare q può anche essere interpretata come la generica componente di un vettore; considerando allora la velocità e ponendo q = ui nella A.3,
si può esprimere l’accelerazione di una particella nel seguente modo:
∂u
∂u
∂u
Du
∂u
∂u
∂u
∂u
=
+ (u · ∇) u =
+ uj
+ u1
=
+ u2
+ u3
Dt
∂t
∂t
∂xj
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
A.4
Il termine convettivo (u · ∇) u è responsabile del comportamento non lineare
delle equazioni.
438
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
A.2.
L’ EQUAZIONE DI BILANCIO PER UNA GENERICA VARIABILE
L’equazione di bilancio per una generica variabile fluidodinamica vettoriale qi
si esprime (cfr. Cancelli op. cit., 1) come:
∂Fji
∂qi
= sq i −
∂t
∂xj
A.5
dove sqi rappresenta l’insieme delle sorgenti, ovvero delle cause interne di
variazione di qi , mentre Fji esprime il flusso complessivo di qi nella direzione
xj .
Il tensore Fji è il risultato:
– del flusso convettivo, provocato dal trasporto nella direzione j -esima
della componente i-esima della grandezza q, e quindi esprimibile
con il prodotto qi uj ;
– dell’agitazione termica delle molecole, il cui effetto è rappresentabile come un tensore tji .
La scomposizione si esprime perciò con la seguente relazione:
Fji = qi uj + tji
A.3.
A.6
L’ EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA
L’equazione di conservazione della massa (o di continuità) si ottiene facilmente considerando nella relazione A.5 la densità del fluido ρ; le sorgenti di
massa sono nulle mentre il flusso corrispondente si riduce solamente a quello
convettivo Fρ = ρu, dato che il trasporto di massa è un espressione lineare delle velocità delle molecole ed il flusso molecolare di massa risulta nullo.
Sostituendo nella A.5 si ottiene l’equazione cercata:
∂
∂ρ
=−
(ρuj )
∂t
∂xj
A.7
439
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
Se sviluppiamo il gradiente a secondo membro:
∂uj
∂
∂ρ
(ρuj ) = uj
+ρ
∂xj
∂xj
∂xj
e portiamo nella A.7 tutto a sinistra, si ottiene il risultato di far apparire
nell’equazione di continuità la derivata totale:
∂uj
∂uj
Dρ
∂ρ
∂ρ
+ uj
+ρ
+ρ
=
=0
∂t
∂xj
∂xj
Dt
∂xj
A.8
L’operazione si rivela particolarmente utile nel caso di densità costante, perché
l’equazione di continuità si trasforma nella condizione di divergenza nulla per
la velocità (cfr. A.2).
L’equazione di continuità permette di ricavare, per una qualunque quantità c,
la relazione seguente:
Dc
∂(ρc) ∂(ρuj c)
=ρ
+
∂t
∂xj
Dt
A.9
Per verificare la A.9 basta svolgere le derivate ed utilizzare la A.7.
A.4.
L’ EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO
L’equazione di bilancio della quantità di moto si ricava ponendo qi = ρui
nella relazione A.5. Il termine di sorgente è costituito dal campo di forze:
si = ρHi , dove Hi è l’intensità del campo - nel caso gravitazionale Hi =
gi . Il flusso di quantità di moto è funzione quadratica delle velocità e risulta
dalla somma degli effetti convettivi ρuj ui con quelli prodotti dall’agitazione
termica delle molecole. Per questi ultimi usiamo genericamente il simbolo pij .
La A.5 diventa così:
∂
∂
(ρui ) = ρHi −
(ρuj ui + pij )
∂t
∂xj
A.10
I flussi molecolari di quantità di moto pij possono venire distinti, a loro volta,
tra quelli di equilibrio termodinamico - esistenti in condizioni di quiete e di
440
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
uniformità del fluido - e quelli di disequilibrio, che nascono allorché sono
presenti gradienti causati dal movimento:
pji = (pji )eq + (pji )diseq
A.11
Il flusso molecolare nelle condizioni di equilibrio (quiete) corrisponde allo
sforzo normale isotropo2 , prodotto dalla pressione termodinamica p. Utilizzando il tensore doppio unitario, rappresentato dal simbolo δij (che vale 1
solo se i = j , essendo altrimenti nullo) possiamo porre:
(pji )eq = pδij
A.12
Il tensore dei flussi molecolari di disequilibrio richiede invece l’introduzione
di opportune leggi costituive, che per essere formulate necessitano del tensore
delle velocità di deformazione, che è così definito:
1
Dij =
2
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
A.13
Le leggi costitutive per i fluidi newtoniani si esprimono in forma lineare,
mediante due coefficienti di viscosità μ e η :
(pji )diseq =
2
η − μ Dkk δij − 2μDij
3
A.14
Adottando l’ipotesi di Stokes, secondo la quale il coefficiente di viscosità volumica η può ritenersi nullo3 , il valore medio pm = 13 pij del tensore dei flussi
2
La possibilità di interpretare lo scambio di quantità di moto dovuto all’agitazione termica, come
il risultato di forze elementari agenti sulla superficie di volumetti fluidi infinitesimi, permette
di riconoscere pij come il tensore degli sforzi della teoria dei continui, a parte una eventuale
diversa convenzione sul segno della normale.
3
A rigore non lo sarebbe per i gas pluriatomici come l’aria, ma il suo ruolo è importante solo in
presenza di rapidissime espansioni o contrazioni.
441
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
molecolari coincide sempre con p, il valore degli sforzi normali in equilibrio
termodinamico. Facendo uso della A.13 l’equazione costitutiva si trasforma
nel seguente modo:
2
1 ∂uk
pji = pδij − μDkk − 2μDij = pδij − μ
δij − μ
3
3 ∂xk
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
Calcoliamo la divergenza dei flussi:
∂pji
∂
2 ∂
=
(pδij ) +
∂xj
∂xj
3 ∂xj
∂uk
δij
μ
∂xk
∂
−
∂xj
∂uj
∂ui
+
μ
∂xj
∂xi
Osserviamo che l’effetto delle sommatorie sul simbolo δij è solamente quello di sostituire l’indice ripetuto j con l’indice libero i ed ipotizziamo che
la viscosità sia costante4 , così da poter estrarre μ dall’operatore di derivata.
L’espressione precedente si trasforma nel seguente modo:
∂pji
∂p 2 ∂
=
+ μ
∂xj
∂x 3 ∂xi
∂uk
∂xk
∂
−μ
∂xj
∂ui
∂xj
∂
+
∂xj
∂uj
∂xi
Scambiando l’ordine di derivazione dell’ultimo termine, possiamo mettere in
evidenza la divergenza della velocità (A.2):
∂pji
∂p
2 ∂
=
+ μ
∂xj
∂xi 3 ∂xi
∂uk
∂xk
∂
−μ
∂xj
∂ui
∂xj
∂
−μ
∂xi
∂uj
∂xj
Poichè essa è già presente nel terz’ultimo termine5 , possiamo semplificare
ulteriormente la relazione precedente, osservare che nel penultimo addendo
4
A rigore non lo sarebbe perché dipende dalla temperatura, ma la dipendenza è modesta, come suggerisce la la legge di Sutherland, che fornisce la viscosità dell’aria con la relazione
` T ´1.5
398
. L’unità di misura di μ è Pa s; le temperature T sono assolute
μ = 1.78 · 10−5 T +110
288
ed espresse in K.
5
Ricordiamo che non è importante quale lettera, j o k si utilizzi per rappresentare un indice
ripetuto, dato che esso scomparirà esplicitando le sommatorie sottointese.
442
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
è anche possibile riconoscere la presenza dell’operatore di Laplace
∇2 , e pervenire all’espressione finale:
∂pji
∂p
1 ∂
∂ 2 ui
∂uk
=
− μ
−μ
∂xj
∂xi 3 ∂xi ∂xk
∂xj ∂xj
∂2
∂xj ∂xj
=
A.15
Sostituiendo la A.15 nella A.10, otteniamo l’equazione di bilancio della
quantità di moto:
∂
∂p
1 ∂
∂
(ρuk ui ) −
+ μ
(ρui ) = ρHi −
∂t
∂xk
∂xi 3 ∂xi
∂uk
∂xk
+μ
∂ 2 ui
∂xk ∂xk
A.16
Grazie alla A.9 con c = ui è possibile far comparire esplicitamente l’accelerazione della particella fluida ed esprimere il bilancio di quantità di moto in
forma di Seconda Legge delle Dinamica
Dui
∂p
1 ∂
= ρHi −
ρ
+ μ
Dt
∂xi 3 ∂xi
A.5.
∂uk
∂xk
+μ
∂ 2 ui
∂xk ∂xk
A.17
L’ EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ ENERGIA MECCANICA
Moltiplicando l’equazione della quantità di moto per la velocità è possibile ottenere un bilancio di energia meccanica. Per brevità conviene lasciare indicati
nell’espressione pki = pδki + (pki )diseq i flussi molecolari di quantità di moto corrispondenti alle condizioni di disequilibrio. La moltiplicazione di ambo
i membri della A.16 per ui , fornisce la relazione seguente:
ui
∂ (pik )dis
∂
∂
∂p
(ρui ) = ui ρHi − ui
(ρui uk ) − ui
− ui
∂t
∂xk
∂xi
∂xk
A.18
Si tratta di un prodotto scalare, perchè la sommatoria è sottointesa. Portando
ui sotto il segno di derivata è facile far comparire l’energia cinetica. Il primo
membro può essere così trasformato:
∂ ui ui ∂ 1 2
∂
ui (ρui ) =
ρ
=
ρu
∂t
∂t
2
∂t 2
443
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
Anche il secondo termine a destra dell’uguale può subire una modifica analoga
e, grazie alla regola della derivata del prodotto, scomporsi nella somma di due
addendi:
∂
∂
∂
∂uk
1 2
1 2
1
ρu uk = uk
ρu + ρu2
ui
(ρui uk ) =
∂xk
∂xk 2
∂xk 2
2
∂xk
Sostituendo, si perviene all’equazione di bilancio dell’energia meccanica:
∂ (pik )dis
1
1 2
∂ 1 2
∂
∂uk
∂p
ρu = ui ρHi − uk
ρu − ρu2
− ui
− ui
∂t 2
∂xk 2
2
∂xk
∂xi
∂xk
A.19
Termini di disequilibrio (viscosi) trascurabili, fluido incomprimibile (che richiede l’annullarsi della divergenza della velocità) e l’ipotesi di forze di campo
nulle6 , permettono di ridurre l’equazione A.19 alla forma seguente:
1 2
∂ 1 2
∂
∂p
A.20
ρu = −uk
ρu − ui
∂t 2
∂xk 2
∂xi
Nonostante si usino lettere differenti per gli indici, nei termini a destra dell’uguale è facile riconoscere la presenza dell’operatore gradiente (cfr. eq. A.1)
moltiplicato scalarmente per la velocità. Se il moto risulta stazionario, il primo membro della A.20 si annulla e con esso anche il prodotto tra la velocità ed
il gradiente della quantità7 12 ρu2 + p, che deve perciò restare costante - per lo
meno lungo ciascuna linea di corrente. Nelle regioni di moto dove valgono le
ipotesi precedentemente formulate è quindi possibile scrivere:
1 2
ρu + p = po = cost
2
A.21
6
A rigore non sarebbe necessario perchè è sufficiente che il campo di forze esterne sia di tipo
conservativo, ad esempio gravitazionale, per poter proseguire nella semplificazione della A.19.
7
La quantità 12 ρu2 + p si chiama binomio di Bernoulli, dal nome dello studioso svizzero che
per primo ne intuì le proprietà di conservazione, o anche pressione totale, dato che è somma
della pressione cinetica e di quella statica.
444
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
A.6.
L’ EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ ENERGIA
Per trovare l’equazione dell’energia basta considerare nella A.5 la grandezza
scalare che rappresenta l’energia totale per unità di volume q = ρetot somma di quella cinetica 12 ρu2 e di quella interna8 ρe. Il termine di sorgente è
costituito dalla potenza delle forze di campo s = ρHi ui mentre quello che
rappresenta il flusso di energia nasce dalla combinazione di:
– un flusso convettivo ρui etot ;
– un flusso associato all’agitazione termica delle molecole fi , che
coincide con lo scambio di calore espresso dalla legge di Fourier:
fi = −λ
∂T
∂xi
nella quale λ è il coefficiente di diffusione termica del fluido, per
l’aria pari a 2.4 × 10−2 Wm−1 K−1 ;
– un termine misto, di accoppiamento tra il moto medio e quello
molecolare, correlato sia alle condizioni di equilibrio (ovvero alla
pressione) sia alle condizioni di disequilibrio:
pij uj = pδij uj + (pij )dis uj
L’espressione complessiva è perciò la seguente:
Fi = ρui etot + fi + pik uk
Sostituendo le diverse relazioni nella A.5 si ricava l’equazione di bilancio
dell’energia totale:
∂
∂t
∂
1 2
1 2
ρu + ρe = ρHi ui −
ρu ui + ρeui
2
∂xi 2
−
8
∂
∂ ∂fi
(pij )dis uj
−
(pui ) −
∂xi ∂xi
∂xi
A.22
In termodinamica l’energia interna e è riferita all’unità di massa; per un gas perfetto essa rappresenta l’energia cinetica delle molecole associata all’agitazione termica e risulta funzione della
sola della temperatura: e = cv T .
445
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
Sviluppando le derivate con la regola del prodotto e sottraendo da essa l’equazione di bilancio dell’energia meccanica A.19, si ottiene un bilancio di energia
puramente termica:
∂
∂fi
∂ui
∂
∂uj
(ρe) = −
(ρeui ) −
−p
− (pij )dis
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
A.23
Sostituendo al flusso termico l’espressione che deriva dalle legge di Fourier
ed introducendo la funzione di dissipazione D , che è definita dalla seguente
relazione
∂uj
D = − (pij )dis
= − (pij )dis Dij
∂xi
si trova l’equazione:
∂
∂2T
∂ui
∂
(ρe) = −
(ρeui ) + λ
−p
+D
∂t
∂xi
∂xi ∂xi
∂xi
A.24
La funzione di dissipazione D rappresenta la trasformazione irreversibile di
energia meccanica in energia termica causata dalla viscosità e, grazie al segno
negativo che compare nella sua definizione, risulta essere funzione quadratica,
sempre positiva, delle derivate della velocità.
Utilizzando ancora la A.9 è possibile esprimere il bilancio di energia
termica A.24 nella seguente forma:
ρ
A.7.
∂2T
De
∂ui
(ρe) = λ
−p
+D
Dt
∂xi ∂xi
∂xi
A.25
LO STATO TERMODINAMICO ED IL QUADRO CONCLUSIVO
DELLE EQUAZIONI
Nei casi in cui la densità del fluido può essere ritenuta costante, le incognite del problema si riducono a velocità e pressione; l’equazione di continuità e
quella di bilancio della quantità di moto permettono, almeno in linea di principio, di determinare la soluzione una volta note le condizioni inziali ed al
446
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
contorno. Conosciuto il campo di moto, l’equazione dell’energia consente di
determinare successivamente anche il campo di temperatura.
Se la densità non può venire considerata costante, il problema deve essere
risolto simultaneamente ed occorre aggiungere almeno un’altro paio di equazioni per rendere determinata la soluzione matematica, essendo diventato incognito lo stato termodinamico del gas. Una prima relazione è rappresentata
dal legame tra l’energia interna e la temperatura, legame che per un gas pefetto
si traduce nella proporzionalità e = cv T essendo cv il calore specifico a volume costante9 . La seconda equazione si ricava dallo stato termodinamico, che
supponiamo essere quello di un gas perfetto. In questo caso pressione, densità e temperatura obbediscono alla ben nota legge: p = ρRT /M, nella quale
R = 8314 J kmol−1 K−1 è la costante universale dei gas e M è la massa molecolare del gas (o della miscela di gas) che per l’aria vale M=28.9 kg / kmol. Il
problema può essere così ridotto a cinque equazioni indipendenti, con cinque
incognite, le tre componenti di velocità e due sole grandezze termodinamiche,
pressione e densità, oppure pressione e temperatura. Naturalmente nulla vieta
di considerare anche altre variabili di stato termodinamico, come l’entalpia10
h = e + p/ρ o l’entropia11 .
Per completare la discussione sulle equazioni della fluidodinamica sarebbe necessario a questo punto far intervenire un operatore di media. La sua applicazione mostrerebbe l’esistenza di flussi turbolenti, accanto a quelli molecolari,
col vantaggio di predisporre lo schema matematico, che abbiamo fin qui delineato, ad una successiva integrazione, per esempio con un metodo numerico.
Un aspetto delicato della procedura riguarderebbe la modellazione del flussi turbolenti in funzione dei valori medi, che è l’argomento trattato nei primi
9
A rigore il calore specifico è funzione della temperatura, ma la dipendenza è minima; per l’aria
vale cv =720 J / (kg K).
10
Nel caso di gas perfetto diventa semplicemente h = cp T .
11
Se i processi in gioco sono reversibili ed in particolare avvengono mantenendo costante l’entropia, è senz’altro conveniente sostiuire l’equazione dell’energia con quella della trasformazione
isoentropica:
γ−1
p/ρ γ = cost
essendo γ rapporto dei calori specifici (per l’aria pari a 1.4).
447
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
capitoli del libro. Invitiamo perciò il gentile lettore a riprendere il filo principale della trattazione e proseguire nell’approfondimento della questione, che
questa appendice ha voluto solo brevemente accennare.
A.8.
L’ UMIDITÀ
Per trattare lo stato termodinamico dell’aria che compone l’atmosfera è indispensabile ricordare che in essa è presente acqua sotto forma di vapore.
La circostanza è genericamente indicata come umidità dell’aria e può venire
espressa in molte differenti maniere.
Si può ad esempio considerare la pressione (parziale) di vapore12, che in meteorologia è consuetudine indicare con la lettera e, ma che che noi preferiamo
rappresentare con il simbolo più esplicito pv . Per ogni valore della temperatura la pressione parziale di vapore è limitata da un valore massimo - indicato
anche come tensione di vapore saturo - in corrispondenza del quale si ottiene
la saturazione della massa di aria umida13 . Una riduzione della temperatura, e
quindi della capacità dell’aria di tenere in soluzione l’acqua allo stato di vapore, porta alla condensazione, cioè alla formazione di microscopiche goccioline
di acqua, della dimensione tipica di una decina di micron.
L’andamento in hPa della tensione di vapore saturo (in corrispondenza della
quale la fase di vapore è in equilibrio con la presenza di una superficie liquida
piana) si può esprimere in funzione della temperatura t (misurata in ◦ C) con
la seguente legge empirica:
17.27t
pv sat = 6.11 exp
237.3 + t
La circostanza suggerisce anche un’altra modalità di misura dell’umidità. Si
può infatti caratterizzare indirettamente la presenza di vapore nell’aria attra-
12
Nella legge di Dalton si definisce pressione parziale, la pressione che si avrebbe in quello stesso
volume ed alle stesse condizioni di temperatura se ci fossero solo le molecole della sostanza
che si sta considerando - acqua nello specifico che stiamo trattando.
13
Forse sarebbe meglio parlare di pressione di equilibrio., visto che in queste condizioni il numero
di molecole che evaporano eguaglia quelle che tornano a far parte del liquido.
448
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
verso Tr , la temperatura di rugiada14, che è la temperatura a cui si avrebbe
la prima apparizione di condensa, durante il progressivo raffreddamento della
massa di aria. Essa risulterà tanto più prossima alla temperatura vera dell’aria,
quanto è più alta la quantità di vapore presente nell’aria, coincidendo con essa
in condizioni di saturazione.
Anche l’umidità relativa fornisce questa informazione. Essendo definita dal
rapporto pv /pv sat normalmente espresso in percentuale, essa indica, in modo
diretto, la quantità di vapore presente nell’aria rispetto alla condizione massima per quella temperatura: un’umidità relativa del 100% significa che si è in
condizioni di saturazione.
L’umidità assoluta è invece la concentrazione di vapore, ovvero la massa di
vapore presente nell’unità di volume di aria e si misura perciò in g/kg. Altre
grandezze per la misura dell’umidità sono: q l’umidità specifica, cioè il rapporto tra la massa di vapore e la massa di aria umida che lo contiene, e w il
rapporto di mescolamento, cioè il rapporto tra la massa di vapore e la massa di
aria asciutta che lo contiene. Entrambe si misurano in g/kg e sono caratterizzate da un valore massimo corrispondente alla saturazione, funzione anch’esso
della temperatura.
Poichè la quantità di vapore che può essere presente in una massa unitaria di
aria è sempre molto modesta (circa 45 g/kg alla temperature di 40 ◦ C e via via
valori sempre più piccoli per temperature inferiori) si può ritenere che q ≈ w.
Il legame tra la pressione di vapore ed il rapporto di mescolamento si ricava
dalla relazione seguente:
MH2 O pv
pv
w=
= 0.622
Maria p − pv
p − pv
La massa molecolare dell’acqua MH2 O vale infatti 18, quella dell’aria
Maria = 28.9; p è la pressione atmosferica. Dato che pv p si può ritenere
che w ≈ q ≈ 0.622pv /p.
Per continuare ad utilizzare la legge di stato con la massa molecolare dell’aria
secca anche in presenza di umidità, è consuetudine considerare la temperatura
virtuale Tv = (1 + 0.61q)T , che forse sarebbe meglio chiamare equivalente.
Sostituita nell’equazione di stato al posto della temperatura vera, Tv consente
14
Avvertiamo però il lettore che in meteorologia è consuetudine usare il simbolo Td per
rappresentare la temperatura di rugiada.
449
A. LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA
di calcolare il valore corretto della densità, che per l’aria umida è minore di
quello dell’aria secca.
La presenza di umidità modifica il valore del calore specifico dell’aria, ma la
variazione è modesta; ciò che fa davvero la differenza è il calore latente di
evaporazione (o di condensazione) che viene messo in gioco ogni volta che
l’acqua cambia di fase. Il suo valore, L = 2.5 × 106 J kg−1 , è di ben tre
ordini di grandezza maggiore del calore specifico dell’aria - per voler fare
un confronto brutale - e fornisce una spiegazione convincente della notevole
quantità di energia messa in gioco dai fenomeni meteorologici, specie da quelli
più violenti (cfr. capitolo 4).
Per tener conto del fenomeno si dovrà scrivere, sulla base della A.5, un’equazione di bilancio anche per il vapore acqueo ed aggiungere all’equazione
dell’energia un nuovo termine, quello che corrisponde al calore, liberato od
assorbito, dai cambiamenti di fase dell’acqua. Occorre poi ricordarsi dell’esistenza di scambi radiativi, nei quali l’acqua svolge un ruolo importante, e che
i passaggi di fase dell’acqua coinvolgono anche lo stato solido. La presenza
di ghiaccio va messa in conto sia in termini di calore latente di fusione sia in
termini di tensione di vapore saturo. Il valore della tensione di vapore in equilibrio col ghiaccio risulta infatti leggermente inferiore a quella di equlibrio tra
la fase di vapore e quella di acqua liquida.
450
B. LA CLASSIFICAZIONE DI PASQUILL
Per tener conto delle differenti condizioni dell’atmosfera e valutarne gli effetti
sui processi di dispersione degli inquinanti, Pasquill1 ha proposto un metodo,
il cui principale pregio - la semplicità - è anche il suo maggior difetto. Il
lettore che ci avrà fin qui seguito (siamo ormai giunti alla fine del libro) lo
avrà intuito: per colpa del loro carattere perennemente variabile e mutevole,
le situazioni atmosferiche sfuggono a qualunque tentativo di classificazione.
Quella proposta da Pasquill non si sottrae alla critica, ma la sua utilità con
i modelli gaussiani è notevole. Le leggi di espansione del pennacchio sono
usualmente correlate alla seguente ripartizioni in classi:
cat.
cat.
cat.
cat.
cat.
cat.
cat.
A
B
C
D
E
F
G
condizioni fortemente instabili
condizioni moderatamente instabili
condizioni debolmente instabilità
condizioni neutre
condizioni debolmente stabili
condizioni stabili
condizioni fortemente stabili
La categoria G è stata aggiunta successivamente da qualche altro autore, più
che altro per questioni di simmetria; la sua validità è scarsa, essendo caratterizzata da calma di vento notturna con probabile formazione di nebbia. In
tali circostanze l’applicazione dei modelli di dispersione - gaussiani in par-
1
F. Pasquill, F.B. Smith, Atmospheric Diffusion, John Wiley & Sons, 1983.
451
B. LA CLASSIFICAZIONE DI PASQUILL
.2
.4
.6
.8
1.0
D
C
E
B
z0 (cm) 2
4
6
8
10
A
20
40
-.12
-.10
-.08
-.06
-.04
-.02
0
.02
.04
.06
.08
-1
1/L (m )
Fig. B.1 – Relazione tra le classi di stabilità, l’altezza di rugosità zo e l’inverso della
lunghezza di Monin-Obukhov H−1
ticolare - diventa problematica, perchè manca la direzione preferenziale di
trasporto.
Per determinare la classe di Pasquill si possono usare le seguenti regole:
vento
al suolo
[m/s]
<2
2–3
3–5
5–6
6
forte
A
A–B
B
C
C
GIORNO
insolazione
media
A-B
B
B–C
C–D
D
debole
B
C
C
D
D
nuvoloso
≥50%
E
D
D
D
NOTTE
nuvoloso
≤50%
F
E
D
D
sereno
G
G–F
-
Nei casi intermedi, ad es. A–B, calcolare la media dei coefficienti di dispersione delle due classi
In presenza di forte copertura nuvolosa assumere la condizione neutra D sia di giorno sia di notte
All’operatore è lasciata molta libertà nella valutazione dei diversi gradi di insolazione e di copertura nuvolosa. Non si tiene invece conto delle diverse
tipologie del territorio. Le incertezze in gioco sono quindi notevoli.
452
B. LA CLASSIFICAZIONE DI PASQUILL
Una determinazione più precisa si ottiene:
– stimando l’altezza di rugosità del terreno zo sulla base della natura
del terreno (alcuni valori tipici sono: 1 mm = deserti o terreni innevati; 1 cm = prato con erba bassa; 10 cm = terreno incolto; 1 m =
foreste o zone urbane);
– calcolando la lunghezza di Monin-Obukhov H sulla base delle rilevazioni raccolte da una stazione meteorologica – così da mettere in
conto flusso termico ed intesità del vento.
La conoscenza di questi due parametri permette di utilizzare il grafico riportato
nella figura B.1 la cui affidabilità è senz’altro migliore della tabella precedente. Da notare come in esso compaia l’inverso dell’altezza di Monin-Obukhov
per poter considerare anche le situazioni neutre, che corrispondono infatti a
H → ±∞.
453