Laboratorio di Informatica
per Fisici
Introduzione al corso
S. Berardi
Settembre 2000
E-mail: [email protected] http://www.di.unito.it/~stefano
Obbiettivi della presentazione
 1. Dare una panoramica sugli strumenti
informatici oggi disponibili
matematica applicata in generale:
per
la
 Mathematica (scelto come argomento del
corso), Excel, Mathlab, Maple, ...
Obbiettivi della presentazione
 2. Descrivere l’effetto di tali strumenti sulla
matematica applicata, ed in particolare sul
lavoro del fisico.
 3. Descrivere l’effetto di tali strumenti
sull’insegnamento della matematica.
Indice della presentazione
 1. Strumenti informatici per la matematica
applicata: cosa possono fare.
 2. Loro effetto sullo studio
matematica.
della
– c’é meno necessità di imparare calcoli algebrici
e integrali, mentre
– c’é sempre la stessa necessità di imparare
concetti e di dimostrazioni, e
– c’é più necessità di imparare l’uso di strumenti
informatici.
Sez. 1: Strumenti Informatici
per la matematica applicata in generale
 Gli strumenti informatici possono servire al:
– calcolo numerico (senza i limiti alle dimensioni dei
numeri)
– calcolo algebrico (prodotti, scomposizioni in fattori e
semplificazioni di formule, risoluzioni letterali di
equazioni e sistemi ...)
– calcolo integrale: limiti, derivate, integrali, equazioni
differenziali;
– disegno matematico, e, in misura minore, animazione e
suoni.
Strumenti Informatici
(elenco parziale)
 Mathematica





(forse il più completo, scelto come
argomento del corso);
Maple (simile a Mathematica, ma più semplice)
MathLab (per la didattica all’Università, ma usato anche
dagli ingegneri, e superiore a Mathematica nel calcolo con
le matrici).
MathCad (per il solo disegno matematico).
Derive, Cabrì (per l’insegnamento della geometria
analitica e euclidea nelle scuole secondarie).
A questi strumenti, generici, vanno aggiunti quelli specifici
alle particolari discipline scientifiche.
Esempi di calcolo numerico
(uso di Mathematica)
 2 alla trecentesima:
 In[1]:= 2300
 Out[1]=2037035976334486086268445688
40937816105146839366593625063614044
9354381299763336706183397376
Esempi di calcolo numerico
(uso di Mathematica)
 Prime 100 cifre di p :
 In[2]:=N[Pi,100]
 Out[2]=3.141592653589793238462643383
27950288419716939937510582097494459
23078164062862089986280348253421170
68
Esempi di calcolo numerico
(continua)
 Fattori primi del numero con 36 “uno”:
 In[3]:=FactorsInteger[111111111111111111
111111111111111111]
 Out[3]= 32, 7,
11, 13, 19, 37, 101,
9901, 52579, 333667, 999999000001.
Esempi di calcolo numerico
(continua)
 Centomilionesimo numero primo:
 In[4]:= Prime[100 000 000]
 Out[4] = 2 038 074 743
Esempi di calcolo algebrico
(uso di Mathematica)
 Calcolo di un prodotto:
 In[5]:= Expand[(3 + x2 + 2y)(3 + x2 + 2y)]
 Out[5]= 9 + 6 x2 + x4+ 12y + 4 x2y + 4 y2
 Scomposizione di un polinomio:
 In[6]:=Factors[9+6x2+x4+12y+4x2y+4y2]
 Out[6] = (3 + x2 + 2y) 2
Esempi di calcolo algebrico
(continua)
 Semplificazione:
2
x
 In[7]:=Simplify[-e (2x3/(1-x2)2+2x/(1-x2))]
 Out[7]=
2
x
-2e (x/(1-x2)2 )
Esempi di calcolo algebrico
(continua)
 Risoluzione di un’equazione in x:
 In[8]:= Solve[ax2+bx+c == mx+n, x]
 Out[8] =
– x  (-b+m+((b-m)2-4a(c-n)))/2a
– x  (-b+m- ((b-m)2-4a(c-n)))/2a
Esempi di calcolo integrale
(uso di Mathematica)
 In[9]:= i=0,..,n (i+2)3 (somma serie)
 Out[9]= (1/4)(1+n)(4+n)(8+5n+n2)
 In[10]:= Limit[x3e-x, x ] (limite)
 Out[10] = 0
Esempi di calcolo integrale
(uso di Mathematica)
 In[11]:=(x2+2) dx (integrale)
 Out[11] = 1/2 x (x2+2 ) + ArcSinh(x/  2)
 In[12]:=DSolve[y'[x] == y[x], y[x], x]
(equazione differenziale, in y[x] ed x)
 Out[12] = y[x]  exC
Esempi di disegno geometrico
(uso di Mathematica)
 Grafica tridimensionale: paraboloide a
sella z = (x2/4 - y2/9)
 In[13]:=
{y,-20,20}]
Plot3D[(x2/4-y2/9),
{x,-20,20},
Esempi di animazione
(uso di Mathematica)
sull’acqua. Viene costruita una
tabella di 10 “fotografie” (grafici 3D) di
un’onda, prese negli istanti t = 0, 1, 2, ..., 9,
e definite da un’equazione di parametro t.
Le fotografie vengono poi “animate”.
 foto[t] = Plot3D[Sin[((x2+y2)-t(2p/10))],
{x,-10,10},{y,-10,10}]
 ShowAnimation[Table[foto[t], {t,0,9}]]
 Onda
“Foto” corrispondente a t=0
10
5
10
0
-5
5
-10
-10
0
-5
-5
0
5
10
-10
Esempi di suono (uso di Mathematica)
 “Harmonic
Wow”. Viene costruito il
grafico di un onda sonora. Nel sistema
“Mathematica”, tale grafico funge anche
da “bottone”: schiacciandolo, si fa iniziare
l’esecuzione del suono.
 [equazione d’onda omessa]
Grafico dell’onda sonora
Interferenza di Onde
20
10
20
0
10
-10
-20
-20
0
-10
-10
0
10
20
-20
Frattale “ad artiglio”.
(uso di Mathematica)
Bottiglia di Klein
(uso di Mathematica)
Sez.2. Effetti sullo studio della
matematica.
 Finora un fisico o ingegnere aveva
soprattutto bisogno di imparare il calcolo
simbolico, e cioé di saper fare:
– calcolo letterale, soluzione di equazioni con
parametri, derivazione, integrazione, disegno
con carta e matita di grafici, ...
 Con i nuovi sistemi informatici, presto non
farà più a mano nessuna di queste cose.
Cosa sta succedendo?
Cambiano le esigenze
 Con l’avvento delle calcolatrici nessuno
calcola più a mano una radice, nè utilizza le
tavole dei logaritmi.
 Somme e prodotti a mano sono ancora
insegnati solo per far prendere confidenza
con i numeri e le loro proprietà.
 Il calcolo numerico non è più, da molto
tempo, un’attività centrale per il fisico.
Cambiano le esigenze (continua)
 Anche il calcolo simbolico é un calcolo, e
non richiede intelligenza.
 Ci appare un’attività elevata perché é molto
astratto, ma in realtà richiede solo
l’esecuzione di regole molto semplici, ed é
quindi facile da affidare ad un computer.
 Il calcolo simbolico non é più, di per sé,
un’attività centrale per il fisico.
Un paragone: gli scacchi
 Gli scacchi hanno avuto una sorte simile al calcolo
algebrico e integrale.
 Per secoli sono apparsi un’attività elevata solo perché
molto astratti.
 In realtà, la ricerca della mossa ottimale richiede solo
l’esecuzione di una regola molto semplice (una variante
del minmax di Von Neumann), facile da affidare a
computer.
 Oggi i computer giocano a scacchi molto meglio degli
esseri umani (non per questo hanno imparato a pensare).
Cosa cambia per lo studente?
 Il calcolo algebrico ed integrale, e la
soluzione di equazioni, restano importanti
per per prendere confidenza con le funzioni
e le loro proprietà.
 Non si possono però più considerare
centrali nell’apprendimento, neppure negli
studi applicati.
Cosa cambia per lo studente?
(segue)
 I concetti restano importanti quanto lo erano
prima: é inutile poter calcolare un integrale
se non so cos’è un integrale.
 E’ bene invece dedicare un po’ di tempo ad
prendere confidenza un sistema di calolo
generico (che magari non sarà esattamente
quello utilizzato nella professione).
 Noi abbiamo scelto di insegnare (qualcosa
su) l’uso di Mathematica.
Conclusione 1
 E’ inutile passare un tempo enorme a
ripetendo sempre gli stessi calcoli su
prodotti notevoli, frazioni algebriche,
sistemi, espressioni trigonometriche, o
ridisegnando sempre gli stessi grafici di
geometria analitica.
 Dopo un periodo di transizione, questi
calcoli non si faranno più a mano.
Conclusione 2
 Parte del tempo in precedenza dedicato al
calcolo simbolico ed al disegno manuale
viene oggi utilizzato per calcolo e il
disegno al computer.
 Questa è la motivazione del corso che ora
inizieremo.
 Notiamo che il tempo dedicato al calcolo
simbolico e al disegno non sparisce:
cambia solo lo strumento usato.