7
Applicazioni ulteriori
7
Applicazioni ulteriori
7.1
7.1.1
Strutture con maglie chiuse
Analisi cinematica
Si consideri la struttura in figura 7.1: i gradi di libertà sono pari a l = 3n −
c − v = 3 − 0 − 3 = 0, e dalla disposizione dei vincoli è facile dedurre che essa
è isostatica.
Fig. 7.1
Ora si immagini di connettere le due sezioni in C! e C!! in maniera tale che
esse risultino solidali una all’altra (figura 7.2). Abbiamo quindi introdotto una
connessione tripla. Dunque si ha l = 3n − c − v = 3 − 3 − 3 = −3 per cui la
struttura risulta iperstatica. In generale possiamo osservare che ogni maglia
Fig. 7.2
chiusa rappresenta una connessione tripla che va quindi opportunamente presa
in considerazione nel calcolo dei gradi di libertà. Ad esempio per la struttura
in figura 7.3 si ha l = −9 dunque essa è nove volte iperstatica.
Si osservi che se applicassimo la formula l = 3 + s − v = 3 + 0 − 3 = 0, otterremmo un’apparente incongruenza con il calcolo precedente. In realtà queCorso di Scienza delle Costruzioni
122
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7
Applicazioni ulteriori
7.1
Strutture con maglie chiuse
7
Applicazioni ulteriori
7.1
Strutture con maglie chiuse
Per comodità di linguaggio, è possibile utilizzare le seguenti denominazioni:
• isostaticità esterna: si ha quando le reazioni vincolari sono determinabili
con le sole equazioni di equilibrio;
• isostaticità interna: si ha quando le caratteristiche della sollecitazione
sono determinabili con le sole equazioni di equilibrio.
Fig. 7.3
sta formula, che permette di calcolare i gradi di libertà della struttura considerandola come un unico corpo rigido al quale sono applicate sconnessioni e vincoli esterni, va corretta sottraendo un numero di gradi di libertà pari a tre volte
il numero delle maglie chiuse. Si ha quindi l = 3+s−v−3m = 3+0−3−9 = −9.
Si consideri ora la stessa struttura di figura 7.2 e si applichi un sistema di
carichi esterni (figura 7.4). La struttura è iperstatica, ma è facile verificare
come le tre incognite reattive VA , HE e VE siano determinabili con le sole
equazioni cardinali della statica. Al contrario, non è possibile determinare le
caratteristiche della sollecitazione con le sole equazioni di equilibrio.
La struttura di figura 7.4 è dunque globalmente iperstatica, isostatica esternamente e tre volte iperstatica internamente. Per renderla isostatica è sufficiente inserire tre sconnessioni semplici (figura 7.5) disposte in maniera tale
da non consentire spostamenti rigidi infinitesimi. In tale configurazione risulta
l = 3n − v − c = 9 − 3 − 6 = 0, o equivalentemente l = 3 + s − v − 3m =
3 + 3 − 3 − 3 = 0.
Fig. 7.5
L’analisi cinematica può essere eseguita per via geometrica verificando prima l’eventuale isostaticità o labilità interna. Si consideri la struttura priva dei
vincoli esterni (figura 7.6). Risulta l! = 3n − v − c = 3. Le tre cerniere danno
condizioni sulle possibili posizioni dei centri di rotazione relativi, che in questo
caso devono coincidere con le cerniere stesse. Nella configurazione a sinistra
le tre cerniere non sono allineate, dunque i tre corpi rigidi che compongono
la struttura non possono subire spostamenti rigidi infinitesimi relativi; infatti,
se tali spostamenti fossero diversi da zero, per il secondo teorema delle catene cinematiche i tre centri relativi dovrebbero essere allineati. Quest’ultima
condizione risulta verificata nella configurazione di destra. Dunque è possibile
affermare che nel primo caso la struttura è isostatica internamente , infatti ha
tre gradi di libertà e si comporta come un unico corpo rigido piano, mentre
nel secondo caso vi è labilità interna.
Fig. 7.4
Corso di Scienza delle Costruzioni
123
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124
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7
Applicazioni ulteriori
7.1
Strutture con maglie chiuse
7
Applicazioni ulteriori
7.1
Strutture con maglie chiuse
Fig. 7.6
Per l’analisi cinematica esterna nella configurazione non labile internamente, basta guardare la travatura come un unico corpo rigido, che ha quindi
tre gradi di libertà, vincolato con un carrello e una cerniera fissa. Risulta
l = 3 − 3 = 0 e, per la disposizione dei vincoli esterni, la struttura è isostatica
esternamente. L’isostaticità interna ed esterna implica l’isostaticità globale
della struttura.
7.1.2
Fig. 7.7
Analisi statica
Sia data la struttura in figura 7.7. Per quanto visto in precedenza, essa è
isostatica sia internamente sia esternamente. Le incognite reattive VA , HF
e VF possono essere determinate con le sole equazioni cardinali della statica.
Risulta:


F
HF + F = 0


VA = −




2


3
VA + VF − F = 0
⇒
VF = F


2






−2LVA + F L − 2F L = 0
HF = −F .
Per determinare le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione, è necessario sconnettere la struttura in corrispondenza di una sezione
scelta arbitrariamente. Per semplicità sconnettiamo la struttura in corrispondenza della cerniera in B (figura 7.8). Per la caratterizzazione statica di una
cerniera, la forza interna che le due parti di struttura cosı̀ individuate si scambiano è una forza passante per la cerniera stessa, avente le due componenti TB
e NB .
Corso di Scienza delle Costruzioni
125
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Fig. 7.8
Imponendo le condizioni dettate dalla caratterizzazione statica delle altre
due cerniere in D e G (momento flettente nullo) è possibile ricavare le due
Corso di Scienza delle Costruzioni
126
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7
Applicazioni ulteriori
7.1
Strutture con maglie chiuse
forze interne incognite:


F

 TB L − NB L = 0
 NB =
4
⇒
⇒
F

 − F L + TB L + NB L = 0


TB = .
M (G) = 0
2
4

 M (D) = 0
È quindi possibile scrivere le leggi di variazione delle caratteristiche della
sollecitazione secondo lo schema di figura 7.7.
• AB, s ∈ (0, L)
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
• DE, s ∈ (0, L)
F
3
−F =− F
4
4
5
F
T (s) = −F − = − F
4
4
F
5
F
M (s) = − (L + s) + L − F s = − F s
4
4
4
N (s) =
• EF, s ∈ (0, 2L)
5
F
−F =− F
4
4
F
3
T (s) = F − = F
4
4
N (s) = −
F
N (s) =
4
F
T (s) =
4
M (s) = −F L + F s − 2L
F
M (s) = − (L − s)
4
F
F
5
3
− (s − L) = − F L + F s
4
4
4
4
• AF, s ∈ (0, 2L)
• BC, s ∈ (0, L)
N (s) = −
F
N (s) =
4
F
T (s) =
4
F
M (s) = s
4
F
4
F
F
F
− =−
4
2
4
F
F
F
F
M (s) = − s + s + L = (L − s)
2
4
4
4
T (s) =
Nella figura seguente si riportano i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione.
• CD, s ∈ (0, L)
F
3
−F =− F
4
4
F
T (s) = −
4
F
M (s) = (L − s)
4
N (s) =
7.2
Travature reticolari
Le travature reticolari piane sono strutture piane caratterizzate dalle seguenti
proprietà (figura 7.10):
• le travi costituenti le varie parti della struttura sono rettilinee;
• le connessioni sono tutte nodi–cerniera;
• i vincoli esterni sono cerniere, carrelli o pendoli, e sono applicati nei nodi;
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128
A. A. 2009-2010
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Fig. 7.10
Se sono soddisfatte tutte le proprietà elencate, tutte le aste sono soggette
esclusivamente a sforzo normale. Infatti se si isola una delle aste (figura 7.11),
poiché le connessioni sono cerniere, le forze interne che essa scambia con il
resto della struttura sono forze passanti per i suoi estremi. Scomponendo tali
forze interne secondo le direzioni parallela a perpendicolare all’asse dell’asta,
ed imponendo l’equilibrio dell’asta stessa si ottiene:


 NE − NB = 0
 NE = NB
TE − TB = 0 ⇒
TB = 0


−TE LBE = 0
TE = 0 .
Di conseguenza il momento flettente ed il taglio sono identicamente nulli, mentre lo sforzo normale è costante su tutta l’asta e pari a NBE = NE = NB .
Fig. 7.11
Fig. 7.9
Si riportano nelle figure 7.18–7.22 alcune tipologie di travi reticolari di
comune utilizzo.
• i carichi esterni sono forze concentrate applicate nei nodi.
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130
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7
Applicazioni ulteriori
7.2.1
7.2
Travature reticolari
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Analisi cinematica
Si consideri la struttura in figura 7.10. I gradi di libertà totali sono dati da:
l = 3n − v − c = 21 − 3 − (2 + 4 + 6 + 4 + 2) = 0
essendo n = 7 il numero di aste, e 4 la molteplicità delle connessioni in B e C,
6 per la connessione in E. Per strutture con un elevato numero di aste questo
calcolo può risultare laborioso, per cui è conveniente considerare la struttura
come un insieme di punti materiali (nodi) connessi da aste e vincolati con
vincoli esterni. Ciascun nodo ha quindi 2 gradi di libertà nel piano, mentre
ciascun’asta rappresenta una connessione semplice per i nodi stessi (da un
punto di vista cinematico rappresentata da un’equazione che impone che la
distanza mutua tra due nodi si mantenga costante). Il numero di gradi di
libertà può quindi essere calcolato con la formula seguente:
l = 2nnodi − a − v ,
Fig. 7.13
7.2.2
ove a rappresenta il numero di aste. Per la struttura in esame risulta l =
10 − 7 − 3 = 0, dunque la travatura può essere isostatica o al più labile a
vincoli inefficaci.
Verifichiamo che la struttura sia isostatica internamente con il metodo
geometrico. Si consideri l’elemento A − B − E (figura 7.12). Risulta l! =
9 − (2 + 2 + 2) = 3, inoltre le tre cerniere, che rappresentano i possibili centri
di rotazione relativi delle tre aste, non sono allineate. Per il secondo teorema
delle catene cinematiche, questo sistema non può subire spostamenti rigidi
infinitesimi relativi, e poiché l! = 3 esso si comporta come un unico corpo
rigido piano. Aggiungendo di volta in volta una coppia di aste si aggiungono
e sottraggono 6 gradi di libertà, e ripetendo il ragionamento precedente si può
concludere che la struttura risultante si comporta ancora come un unico corpo
rigido piano. In definitiva si può concludere che una struttura reticolare cosı̀
composta (travatura reticolare triangolata) si comporta come un unico corpo
rigido piano, dunque è internamente isostatica, purché non siano verificate
condizioni di allineamento tra le cerniere e purché non vi siano aste in numero
sovrabbondante (si veda la struttura in figura 7.13, la quale è internamente
iperstatica). Verificata dunque l’isostaticità interna, è facile verificare l’isostaticità esterna della struttura considerandola come un unico corpo rigido
vincolato con i vincoli esterni (cerniera in A e carrello in D.
Corso di Scienza delle Costruzioni
Fig. 7.12
131
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Analisi statica
Poiché la struttura è esternamente isostatica, è possibile ricavare le reazioni
vincolari con le sole equazioni cardinali della statica. Risulta (figura 7.14):


 HA = 0
 HA = 0
VA + VD − 2F = 0
VA = F
⇒


4LVD − F L − 3F L = 0
VD = F .
Fig. 7.14
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132
A. A. 2009-2010
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Le forze interne sono costituite dai soli sforzi normali, costanti lungo ciascun’asta. Si utilizza nel seguito il metodo dell’equilibrio dei nodi. Se, come
in questo caso, è possibile trovare un nodo nel quale convergano due sole aste,
è possibile imporre l’equilibrio di tale nodo alla traslazione nelle due direzioni
e determinare di conseguenza gli sforzi normali nelle aste che vi convergono.
Si consideri il nodo A (figura 7.15) e si indichino con NAB e NAE gli sforzi
normali nelle aste AB e AE rispettivamente, ipotizzati positivi (quindi uscenti
dal nodo). Si ha:
√


√


 NAB = −F 2
 F + NAB 2 = 0
2√
⇒


2
 NAE = F .
 N +N
=0
AE
AB
2
L’asta AB è caratterizzata dunque da sforzo normale negativo, ossia è un’asta
compressa, mentre al contrario l’asta AE è tesa.
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Analogamente per il nodo E si ottiene:
√




 NEC = 0
 NED + NEC 2 − F = 0
2
√
⇒

2

 NED = F .
 N
=0
EC
2
Per il nodo D si ottiene:
√


 −F − NCD 2 = 0
√
√2
⇒ NCD = −F 2 .
2

 F +N
=0
CD
2
Le equazioni di equilibrio scritte per il nodo C, una volta determinati gli sforzi
normali in tutte le aste, sono identicamente soddisfatte:
√

√

 F −F 2 2 = 0
2√

 −F + F √2 2 = 0 .
2
Fig. 7.15
A questo punto è possibile studiare l’equilibrio del nodo B (figura 7.16) ove
lo sforzo in AB è noto, per cui le incognite sono gli sforzi NBC ed NBE . Si ha:
√
√


√


 F 2 2 + NBC + NBE 2 = 0
 NBC = −F
√2
√ 2
⇒


2
 F √2 2 − F − N
 NBE = 0 .
=0
BE
2
2
Corso di Scienza delle Costruzioni
133
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Fig. 7.16
Il diagramma dello sforzo normale può essere tracciato evidenziando con
tratto più marcato le aste compresse e con tratteggio le aste scariche (figura
7.17).
Corso di Scienza delle Costruzioni
134
A. A. 2009-2010
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Fig. 7.17
Asta
AB
BC
CD
AE
ED
BE
CE
Sforzo normale
√
− 2F
−F
√
− 2F
F
F
0
0
Nel caso più generale, in cui non è possibile trovare un nodo in cui le incognite siano solo due, è possibile scrivere sempre un sistema di 2nnodi equazioni
di equilibrio in cui le incognite sono le v componenti reattive e gli a sforzi
normali. Essendo la struttura isostatica, si ha l = 2nnodi − a − v = 0, per cui
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
il sistema è determinato. Nel caso in esame si avrebbe il seguente sistema:

√
2



H
+
N
+
N
=0
A
AE
AB


2


√



2



+
N
=0
V
AB

 A
2


√
√



2
2


−N
+
N
+ NBC = 0

AB
BE


2
2


√
√



2
2


−
N
−F =0
−N

AB
BE


2
2


√
√



2
2


+ NCD
=0
 NBC − NCE
2
2
√
√


2
2


− NCD
−F =0
−NCE


2
2



√



2


−NED − NCD
=0


2



√


2



VD + NCB
=0


2



√
√


2
2


−NAE − NBE
+ NBC
+ NED = 0



2
2


√
√




 NBE 2 + NBC 2 = 0 ,
2
2
che fornisce le medesime soluzioni trovate precedentemente.
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A. A. 2009-2010
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A. A. 2009-2010
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Fig. 7.19 – Linea Sibari-Cosenza - Ponte a trave reticolare sul torrente Cocchiato
Fig. 7.20 – Copertura per capannone
Fig. 7.18
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A. A. 2009-2010
7
Applicazioni ulteriori
7.2
Travature reticolari
Fig. 7.21 – Ponte a Binzhou, Shandong Province (China)
Fig. 7.22 – Capriate di copertura per una chiesa
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