CONCAVITA’
Una curva ha la
concavità rivolta verso
l’alto nel punto P di
ascissa xo se esiste un
intorno I di xo tale che per
ogni x appartenente a I il
punto della curva di
ascissa x sta sopra la
retta tangente alla curva
in P
f(X)
P
f(Xo)
Xo
X
CONCAVITA’
Una curva ha la
concavità rivolta verso il
basso nel punto P di
ascissa xo se esiste un
intorno I di xo tale che per
ogni x appartenente a I il
punto della curva di
ascissa x sta sotto la
retta tangente alla curva
in P
f(X)
f(Xo)
P
Xo
X
FLESSI
Se non esiste nessun
intorno di xo in cui la
curva sta tutta sopra o
sotto la tangente, allora il
punto P si dice punto di
flesso
f(X)
f(Xo)
P
Xo
X
CONCAVITA’ E DERIVATA
Vale il seguente teorema:
Sia f(x) derivabile in un intorno di xo e due volte
derivabile in xo (ovvero esista la derivata della
derivata); allora:
• se la funzione ha la concavità rivolta verso l’alto
in xo allora f”(xo) ≥0
• se la funzione ha la concavità rivolta verso il
basso in xo allora f”(xo)≤0
CONCAVITA’ E DERIVATA
Viceversa:
• se f”(xo)>0 allora la funzione ha la concavità
rivolta verso l’alto in xo
• se f”(xo)<0 allora la funzione ha la concavità
rivolta verso il basso in xo
CONCAVITA’ E DERIVATA
Dimostrazione della prima
parte:
La tangente in P ha
equazione
f(Xo+h)
y
y  f ( xo )  f ' ( xo )( x  xo )
P
E, posto x=xo+h
f(Xo)
y  f ( xo )  f ' ( xo )h
Ovvero:
Xo
Xo+h
y  f ' ( xo )h  f ( xo )
CONCAVITA’ E DERIVATA
Per definizione di
concavità rivolta verso
l’alto:
f ( xo  h)  y
f(Xo+h)
y
Ovvero:
P
f(Xo)
f ( xo  h)  f ' ( xo )h  f ( xo )
f ( xo  h)  f ( xo )  f ' ( xo )h
Xo
Xo+h
CONCAVITA’ E DERIVATA
Dividendo per h
f ( xo  h)  f ( xo )
 f ' ( xo )
h
f(Xo+h)
y
Poiché f è derivabile, vale
nell’intervallo h il teorema
di Lagrange, ovvero esiste
un punto c interno ad h per
cui:
P
f(Xo)
C
Xo
Xo+h
f ( xo  h)  f ( xo )
 f ' (c )
h
CONCAVITA’ E DERIVATA
Sostituendo:
f ' (c)  f ' ( xo )
f ' (c)  f ' ( xo )  0
Ovvero, posto c=xo+k
f ' ( xo  k )  f ' ( xo )  0
Dividendo per k (che è positivo, perché c è
maggiore di x0)
f ' ( xo  k )  f ' ( xo )
0
k
CONCAVITA’ E DERIVATA
Passando al limite per k tendente a zero, per il
teorema del confronto:
f ' ( xo  k )  f ' ( xo )
Lim
0
k
k 0
Ma questo limite è la derivata seconda in xo
f ' ' ( xo )  0
cvd
FLESSI
Vale il seguente teorema:
Sia xo un punto di flesso della funzione f e sia f due
volte derivabile in tale punto; allora:
f ' ' ( xo )  0
Non vale il viceversa: un punto in cui la derivata
seconda si annulla non è necessariamente un punto
di flesso
FLESSI
Dimostrazione:
In un intorno sinistro di xo
la curva ha la concavità
verso il basso, quindi, per
quanto dimostrato
f(Xo)
P
Xo
f ' ' ( x)  0
FLESSI
In un intorno destro di xo
la curva ha la concavità
verso l’alto, quindi
f ' ' ( x)  0
f(Xo)
P
Xo
Poiché xo appartiene a
entrambi gli intorni le due
relazioni devono valere
entrambe, quindi:
f ' ' ( xo )  0
FLESSI
La ricerca dei punti di concavità e dei punti di
flesso, quindi, richiede lo studio del segno della
derivata seconda
-
+
FLESSO
+
FLESSO