I massimi, i minimi e i flessi
 I massimi e i minimi relativi
 La concavità
 I flessi
 I massimi, minimi, flessi e la derivata prima
 I flessi e la derivata seconda
I massimi e i minimi relativi
Sia f (x) una funzione definita
nell’intervallo I.
Il punto x0  I si dice:
● massimo relativo se:
 I x0 : f x0   f x ,  x  I x0 ;
● minimo relativo se:
 I x0 : f x0   f x ,  x  I x0 .
La concavità
 Concavità verso l’alto
È data una funzione y = f (x) definita
e derivabile nell’intervallo I con
x0 punto interno a I .
Sia y = t (x) l’equazione della retta
tangente alla curva nel punto x0.
Si dice che la curva ha in x0 la
concavità verso l’alto se:
 I x0 : f x   t x ,  x  I x0  x  x0 .
Concavità verso il basso
È data la funzione y = f (x) definita
e derivabile nell’intervallo I con x0
punto interno a I ;
sia y = t (x) l’equazione della retta
tangente alla curva nel punto x0.
Si dice che la curva ha in x0 la
concavità verso il basso se:
 I x0 : f x   t x ,  x  I x0  x  x0 .
I flessi
Data la funzione y = f (x) definita
e continua nell’intervallo I , si
dice che presenta in x0, interno a I,
un punto di flesso
se in tale punto il grafico di f (x)
cambia concavità.
Flesso ascendente
Flesso discendente
I massimi, minimi, flessi e la derivata prima
 Condizione necessaria per massimi e minimi relativi
Data una funzione y = f (x) derivabile
nell’intervallo I = ]a; b[ ,
se f (x) ha un massimo o un minimo
relativo in x0, interno a I, allora
f ' x0   0.
 Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi
È data una funzione y = f (x) continua in un intorno I del punto x0
x0
e derivabile in I per x ≠ x0 .
x0
Se per ogni x ≠ x0 dell’intorno si ha:
● f ' (x) > 0 per x < x0 e f ' (x) < 0 per x > x0
allora x0 è un punto di massimo relativo;
● f ' (x) < 0 per x < x0 e f ' (x) > 0 per x > x0
allora x0 è un punto di minimo relativo.
Condizione sufficiente per i flessi orizzontali
Data la funzione y = f (x) continua in un intorno I del punto x0 e
x0
derivabile nello stesso intorno, se:
● f ' (x0) = 0,
● il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x ≠ x0 dell’intorno
allora
x0 è un punto di flesso orizzontale.
I flessi e la derivata seconda
 Condizione necessaria per i flessi
È data una funzione y = f (x), definita
nell’intervallo I = [a; b] e in tale intervallo
esistono le sue derivate prima e seconda.
Se f (x) ha un flesso in x0, interno a I,
allora:
f ' ' x0   0.
Condizione sufficiente per i flessi
Sia data la funzione y = f (x) continua in un
intorno I x del punto x0 e tale che esistono in
0
I x0 le derivate prima e seconda per x ≠ x0.
Se per ogni x ≠ x0 dell’intorno si ha:
● f ''(x) > 0 per x < x0 e f '‘ (x) < 0 per x > x0
allora x0 è un punto di flesso (discendente);
● f ''(x) < 0 per x < x0 e f ''(x) > 0 per x > x0
allora x0 è un punto di flesso (ascendente).