ALGEBRA VETTORIALE
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DEFINIZIONE DI VETTORE (1)
• Sia E lo spazio tridimensionale della geometria
euclidea.
• Consideriamo due punti A e B appartenenti a E
• Si chiama segmento orientato, e si indica con (A,B)
il segmento che congiunge i punti A e B, orientato
(arbitrariamente) da A a B
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DEFINIZIONE DI VETTORE (2)
B
A
B
A
Segmento
B
A
Segmento orientato
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DEFINIZIONE DI VETTORE (3)
• Si dice che due segmenti orientati (A,B) e (C,D) sono
equipollenti se il quadrilatero ABDC è un parallelogramma
(oppure se A = C e B = D; in questo caso (A,B) e (C,D)
sono in realtà lo stesso segmento orientato)
B
B
D
D
A
A
C
C
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DEFINIZIONE DI VETTORE (4)
• Notiamo che, se i segmenti orientati (A,B) e (C,D) sono
equipollenti, allora anche i segmenti orientati (A,C) e (B,D)
sono equipollenti (infatti anche ACDB è un parallelogramma)
B
D
B
A
D
C
A
C
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DEFINIZIONE DI VETTORE (5)
• L’applicazione di E in E che ad un segmento
orientato associa un segmento equipollente si
chiama traslazione.
• Possiamo immaginare la traslazione come un
trasporto. Ad esempio il segmento orientato (A,B),
viene trasportato in (C,D) mantenendo fissa la sua
lunghezza e il suo
orientamento. Tutti
B
D
i punti del segmento
subiscono lo stesso
spostamento
A
C
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DEFINIZIONE DI VETTORE (6)
• Consideriamo adesso l’insieme S
di tutti i possibili segmenti orientati
costruiti con coppie di punti di E
B
• Si chiama vettore AB, e si indica
con AB, il sottoinsieme di S di
tutti i segmenti orientati equipollenti
A
ad (A,B)
• Il vettore AB si rappresenta
vettore AB
graficamente mediante una freccia
orientata da A a B
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DEFINIZIONE DI VETTORE (7)
• Poiché tutti i segmenti orientati appartenenti ad una classe
di equivalenza sono equipollenti tra loro, per rappresentare
un vettore possiamo utilizzare indifferentemente uno
qualunque di essi. Si dice che ogni segmento orientato
rappresenta il vettore a cui appartiene
• Esempio 1: i segmenti orientati equipollenti (A,B), (C,D) ed
(E,F), mostrati per illustrare la proprietà di transitività,
rappresentano tutti lo stesso vettore: AB = CD = EF
• Esempio 2: I segmenti orientati (G,H) e (K,J) non sono
equipollenti, quindi GH ≠ KJ
K
H
G
J
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DEFINIZIONE DI VETTORE (8)
• Un vettore è caratterizzato in modo univoco da tre proprietà:
– Direzione: è la direzione del fascio di rette parallele sulle
quali giacciono i segmenti orientati rappresentanti del
vettore. La direzione è ben definita perché tutti i segmenti
orientati rappresentanti di un dato vettore sono paralleli
B
A
D
C
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DEFINIZIONE DI VETTORE (9)
– Verso: è l’orientamento dei segmenti orientati
rappresentanti del vettore. Anche il verso del vettore è
ben definito perché gli orientamenti dei segmenti orientati
rappresentanti del vettore sono coerenti
F
B
D
E
A
C
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DEFINIZIONE DI VETTORE (10)
– Modulo: è la lunghezza dei segmenti orientati
rappresentanti del vettore, ovvero la distanza tra due
punti di un segmento orientato. Anche il modulo del
vettore è ben definito perché le lunghezze dei segmenti
orientati rappresentanti del vettore sono uguali
AB = AB = distanza tra A e B
= lunghezza del segmento AB
B
A
D
C
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DEFINIZIONE DI VETTORE (11)
Osservazioni
• L’insieme dei vettori V è diverso dallo spazio
euclideo tridimensionale E . In altri termini, un
vettore non è un elemento dello spazio euclideo
tridimensionale. Lo spazio euclideo tridimensionale
è servito per costruire l’insieme dei vettori, ma è
distinto da quest’ultimo.
• Una volta costruiti i vettori, possiamo fare
astrazione del metodo usato per costruirli. In
particolare, li considereremo indipendenti dai
segmenti orientati, e semplicemente caratterizzati
dalle loro tre proprietà: modulo, direzione, e verso.
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DEFINIZIONE DI VETTORE (12)
Osservazioni (fine)
• Avremmo potuto costruire i vettori partendo da uno
spazio euclideo di dimensione diversa, ad esempio
il piano euclideo. Avremmo ottenuto l’insieme dei
vettori definiti sul piano euclideo, di dimensione 2.
Allo stesso modo potremmo definire i vettori sullo
spazio euclideo di dimensione 4. L’insieme dei
vettori ha la stessa dimensione dello spazio
euclideo usato per definirli.
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OPERAZIONI TRA VETTORI
• Nell’insieme dei vettori possiamo definire
delle operazioni analoghe a quelle che si
possono effettuare tra numeri reali:
– Somma e differenza di due vettori
– Prodotto di un vettore per un numero reale
– Prodotto scalare di due vettori
– Prodotto vettoriale
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SOMMA DI DUE VETTORI (1)
• Consideriamo due vettori AB e BC. La somma di
questi due vettori è il vettore AC che è definito
dalla relazione:
AC = AB + BC
dove il simbolo “+” indica la somma vettoriale
• Il vettore somma va dalla coda del primo vettore
alla punta del secondo
B
A
C
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SOMMA DI DUE VETTORI (2)
• Come si sommano i vettori AB e DE?
B
A
D
E
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SOMMA DI DUE VETTORI (3)
• Effettuo prima la traslazione del segmento
orientato (D,E) sul segmento orientato (B,F)
D
B
A
F
E
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SOMMA DI DUE VETTORI (4)
• Si noti che BF = DE, quindi
AB + DE = AB + BF = AF
D
B
A
F
E
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SOMMA DI DUE VETTORI (5)
• Un’altra possibilità è di effettuare la
traslazione di (D,E) su (A,H)
B
D
E
A
H
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SOMMA DI DUE VETTORI (6)
• Poi si trova il punto G tale che ABGH sia un
parallelogramma
D
B
A
G
E
H
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SOMMA DI DUE VETTORI (7)
• Si noti che (B,G) è equipollente a (A,H) e
quindi è equipollente a (D,E)
D
B
E
A
G
H
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SOMMA DI DUE VETTORI (8)
• Quindi, poiché BG = DE,
AB + DE = AB + BG = AG
D
B
A
G
F
E
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SOMMA DI DUE VETTORI (9)
• Questo metodo di somma dei vettori è detto
regola del parallelogramma
B
A
G
F
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SOMMA DI TRE VETTORI (1)
• Possiamo estendere la definizione di somma
di due vettori a tre o più vettori?
• Come si sommano tre vettori AB e CD e EF ?
• Dati questi tre vettori vi sono due possibilità:
calcolare
(AB + CD) + EF
oppure
AB + (CD + EF)
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SOMMA DI TRE VETTORI (2)
• Si può dimostrare che la somma vettoriale è
associativa, ovvero:
(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)
• Per indicare la somma dei tre vettori AB, CD e EF
possiamo semplicemente scrivere:
AB + CD + EF
(senza parentesi)
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SOMMA DI TRE VETTORI (3)
• In pratica, per costruire il vettore AB + CD + EF
possiamo procedere in questo modo: effettuiamo la
traslazione di CD …
B
C
A
D
G
F
E
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SOMMA DI TRE VETTORI (4)
• … poi effettuiamo la traslazione di EF …
B
H
A
G
F
E
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SOMMA DI TRE VETTORI (5)
• … infine, la somma dei vettori AB, CD e EF si ottiene
indifferentemente costruendo (AB + CD) + EF oppure
AB + (CD + EF)
B
H
A
G
B
A
G
H
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SOMMA DI TRE VETTORI (6)
• Si noti che la somma di tre vettori si ottiene,
analogamente alla somma di due vettori, unendo la
coda del primo vettore della somma con la punta
dell’ultimo
B
H
A
G
• Questo risultato si generalizza alla somma di un
numero qualsiasi di vettori
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ALTRE PROPRIETA’ DELLA
SOMMA VETTORIALE (1)
• La somma vettoriale è commutativa:
AB + CD = CD + AB
questa proprietà discende immediatamente dalla regola del
parallelogramma
• Esiste un elemento neutro, il vettore nullo 0, tale che:
AB + 0 = AB
0 + AB = AB
il vettore nullo è un vettore nel quale la punta coincide con la
coda; ad esempio, se A e B sono punti dello spazio euclideo,
AA = BB = 0
Verifichiamo che tale vettore ha la proprietà richiesta:
AB + BB = AB da cui:
AB + 0 = AB
AA + AB = AB da cui:
0 + AB = AB
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ALTRE PROPRIETA’ DELLA
SOMMA VETTORIALE (2)
• Per ogni vettore AB esiste il vettore opposto
(–AB) tale che:
AB + (–AB) = 0
(–AB) + AB = 0
Il vettore opposto di AB è il vettore BA, infatti:
AB + BA = AA = 0
BA + AB = BB = 0
B
A
B
A
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (1)
• La differenza dei vettori AB e CD si indica con AB − CD
ed è il vettore che, sommato a CD dà AB
C
B
D
A
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (2)
• Per costruire il vettore AB – CD effettuiamo prima la
traslazione del segmento orientato (C,D) nel segmento
orientato (E,B) in modo che EB = CD
C
E
D
B
A
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (3)
• Osserviamo ora che AE + EB = AB, ma EB = CD, da cui
segue AE + CD = AB
• Quindi AE è il vettore differenza: AE = AB − CD
C
E
D
B
A
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (4)
• In alternativa, la differenza dei vettori AB e CD si può
ottenere effettuando prima la traslazione del segmento
orientato (C,D) nel segmento orientato (A,F) in modo che
AF = CD
B
C
A
D
F
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (5)
• La differenza dei vettori AB e CD in questo caso è data dal
vettore FB
B
C
A
D
F
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (6)
• Verifichiamo che FB = AE
Infatti, poiché AF = EB,
AEBF è un parallelogramma
e quindi AE = FB
E
B
C
A
D
F
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DIFFERENZA DI DUE VETTORI (7)
• Confronto tra somma e differenza dei vettori AB e AC
(ABDC è un parallelogramma)
B
A
D
AB + AC = AD
AB − AC = CB
C
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PROPRIETA’ DELLA DIFFERENZA (1)
• La differenza di due vettori non è commutativa, cioè
AB − AC ≠ AC − AB
B
A
B
A
C
AB − AC = CB
C
AC − AB = BC = − CB
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PROPRIETA’ DELLA DIFFERENZA (2)
Scegliamo il punto D in
AB − AC = AB + CA = AB + (− AC) modo che (A,D) sia
equivalente a (C,A) e
costruiamo il vettore
E
AE = AB + AD
osserviamo che (B,E) è
equivalente ad (A,D) e
D
B quindi anche a (C,A)
Quindi (A,E) è equivalente
a (C,B)
Quindi:
AE = CB = AB − AC
A
AE = AB + AD = AB + CA
Da cui segue che:
AB − AC = AB + CA
C
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MOLTIPLICAZIONE PER UN NUMERO REALE (1)
• Sia AB un vettore, e a un numero reale. Si definisce prodotto di AB per a, e
si scrive: AD = a AB, il vettore AD tale che:
– il punto D giace sulla retta che passa per i punti A e B
– AD=aAB
– per a > 0 AB e AD sono paralleli
– per a < 0 AB e AD sono antiparalleli
• La moltiplicazione di un vettore per un numero reale si indica di solito
coll’espressione “moltiplicazione per uno scalare”. Il termine scalare indica
un numero reale in contrapposizione ad un vettore che è un oggetto dotato
di direzione e verso
B
A
A
D
D
B
B
A
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MOLTIPLICAZIONE PER UN NUMERO REALE (2)
• Proprietà della moltiplicazione per uno scalare: siano AB e
CD due vettori e a e b due scalari; valgono le seguenti
proprietà:
• 1 AB = AB
• a (AB + CD) = a AB + a CD
• (a+b) AB = a AB + b AB
• (ab) AB = a (b AB)
• Inoltre:
• Se a = 0, allora a AB = 0
• Se a = −1, allora a AB = − AB = BA
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COORDINATE DI UN PUNTO NELLO SPAZIO
EUCLIDEO (1)
Assi Cartesiani: un sistema ortonormale di assi cartesiani nello
spazio euclideo tridimensionale è costituito da tre rette a due a
due ortogonali che si intersecano in un punto detto origine.
Ognuna di esse è orientata secondo un verso positivo arbitrario
mediante un segmento orientato di lunghezza unitaria.
z
y
1
1
O
1
x
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COORDINATE DI UN PUNTO NELLO SPAZIO
EUCLIDEO (2)
Nel caso del piano euclideo, un sistema ortonormale è
costituito da due rette ortogonali ed è definito in modo analogo
y
1
O
1
x
Nel caso della retta il sistema cartesiano è definito dalla scelta
dell’origine e del segmento di lunghezza unitaria
O
1
x
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COORDINATE DI UN PUNTO NELLO SPAZIO
EUCLIDEO (3)
Si chiama misura algebrica di un segmento (A,B) sulla retta,
dotata di un sistema cartesiano, la lunghezza del segmento
stesso con il segno + o con il segno – a seconda che il verso
del segmento sia concorde (parallelo) o discorde (antiparallelo)
con il verso positivo della retta.
Esempio:
C
O
1
A
B
x
misura algebrica di (A,B) positiva
misura algebrica di (A,C) negativa
Si chiama ascissa di un punto P sulla retta la misura algebrica
del segmento (O,P), dove O è l’origine della retta. L’ascissa di
P si indica di solito con xP
O
1
P
x
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COORDINATE DI UN PUNTO NELLO SPAZIO
EUCLIDEO (4)
Sia P un punto dello spazio euclideo e siano Px, Py e Pz le sue
proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani
y
P
Py
1
O
Px
1
x
xP= ascissa di P = misura algebrica di (O, Px)
yP= ordinata di P = misura algebrica di (O, Py)
zP= quota di P = misura algebrica di (O, Pz)
coordinate del punto P rispetto al sistema cartesiano (O,x,y,z)
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COORDINATE DI UN PUNTO NELLO SPAZIO
EUCLIDEO (5)
Sia P un punto del piano euclideo e siano Px e Py le proiezioni
ortogonali di P sugli assi cartesiani
z
P
Pz
y
Py
O
Px
x
Si chiama ascissa del punto P la misura algebrica del
segmento (O, Px) e si indica con xP.
Si chiama ordinata del punto P la misura algebrica del
segmento (O, Py) e si indica con yP.
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COMPONENTI DI UN VETTORE (1)
y
Caso del piano euclideo
A
Ay
B
By
O
Ax
xA
Bx
x
xB- xA
xB
Si chiama componente x del vettore AB, e si indica con ABX la
misura algebrica del segmento (Ax, Bx). Osserviamo che
ABX=xB-xA
Si chiama componente y del vettore AB, e si indica con ABy la
misura algebrica del segmento (Ay, By). Osserviamo che
ABy=yB-yA
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COMPONENTI DI UN VETTORE (2)
Nel caso di vettori in tre dimensioni si ha un’analoga
definizione per la componente z: ABz=zB-zA
Si può fare riferimento ad un vettore mediante sue componenti
rispetto ad un sistema di assi cartesiani:
 xB − x A 


AB =  y B − y A 
z − z 
A 
 B
!
E’ importante osservare che, mentre il vettore AB è
definito in modo univoco dai punti A e B, le componenti di AB
dipendono dalla scelta del sistema di assi cartesiani. Se si
cambiano gli assi cartesiani, cambiano anche le componenti del
vettore AB.
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COMPONENTI DI UN VETTORE (3)
Possiamo verificare che le componenti di un vettore, una volta
fissato il sistema di assi cartesiani, non dipendono dal
particolare segmento orientato che usiamo per rappresentare il
vettore.
D
y
A
C
B
Ax
Bx Dx
Cx
x
ABx= misura algebrica di (Ax, Bx)
= misura algebrica di (Dx, Cx)
= DCx
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SOMMA DI VETTORI MEDIANTE
COMPONENTI (1)
Siano AB e BC due vettori
AC = AB + BC
y
Ay
A
C
Cy
By
Dalla definizione di componente
abbiamo:
ABx= xB-xA; BCx= xC-xB; ACx= xC-xA
ABx + BCx= (xB-xA) + (xC-xB) = xC-xA
Quindi: ACx = ABx + BCx
B
Ax
Bx
Cx
Analogamente:
ACy= ABy + BCy, ACz = ABz + BCz
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x
MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE
y
Cy
AC = aAB (caso a>1)
Osserviamo che
(A x , C x ) (A y , C y ) AC
=
=
=a
(A x ,B x ) (A y ,B y ) AB
C
By
Ay
B
A
Ax
Bx
Cx
x
Quindi ACx= a ABx
ACy = a ABy
Analogamente, per un vettore in tre dimensioni ACz = aABz.
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ESEMPIO
Esempio: Le componenti dei vettori bidimensionali AB e
BC rispetto ad un certo sistema di assi cartesiano sono:
AB
7 
=  
12 
 − 4
BC =  2 
 
Calcolare AB + BC, AB - BC, 3BC:
AB
AB
7   − 4 7 − 4  3 
+ BC = 12  +  2  = 12 + 2  = 14 
    
  
 7   − 4   7 + 4  11 
=
- BC 12  −  2  = 12 − 2  = 10 
    
  
3BC
 − 4   3* (− 4 )  − 12 
 = 

= 3  = 
 2   3* 2   6 
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RELAZIONI TRA COMPONENTI E MODULO
DI UN VETTORE (1)
y
Siano u e v due vettori e
siano u = u e v = v i loro
moduli
vy
v
uy
ux= u cosα
vx= v cosβ
uy= u senα
vy= v senβ
β
vx
u
α
x
ux
Dall’espressione delle componenti e dall’esame della figura
(triangolo rettangolo) si vede che:
u2 = ux2 + uy2
da cui u = u = ux2 + uy2
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RELAZIONI TRA COMPONENTI E MODULO
DI UN VETTORE (2)
Per un vettore di tre dimensioni si ha un’espressione
analoga:
u = u = ux2 + uy2+ uz2
Esempio:
sia u = 3 calcolare u
-4
u=
ux2 + uy2 = 32 + (-4)2 = 5
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VETTORI UNITARI E VETTORI DI BASE (1)
• Sia v un vettore, si dice che v è unitario se v = v = 1
• Assieme ad un sistema di assi cartesiani, si considerano
dei vettori particolari: sono i vettori paralleli (stessa
direzione e stesso verso) agli assi cartesiani. In tre
dimensioni questi vettori si indicano di solito con i, j, k
z
1
1
O
k
j
1
y
i
x
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VETTORI UNITARI E VETTORI DI BASE (2)
• Consideriamo un punto P e le sue proiezioni ortogonali
Px, Py e Pz sugli assi cartesiani
O
i
Px
OPx = OPx i
con relazioni analoghe per gli altri assi
Abbiamo quindi:
OP = OPx i + OPy j + OPz k
e per un generico vettore v = vx i + vy j + vz k
• Tra i vettori unitari i, j, k valgono le seguenti relazioni:
i i=j j=k k=1
i j=j k=k i=0
Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D’Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008