TECNOLOGIE INFORMATICHE
NELLA DIDATTICA
Applicate alle discipline
Matematica
Fisica
Grafica pubblicitaria
CABRI GEOMETRE
Software dinamico per la didattica
MATEMATICA
FISICA
GRAFICA
PUBBLICITARIA
FORMAZIONE DOCENTI A TEMPO INDETERMINATO DI NUOVA ASSUNZIONE
Anno Scolastico 2004/2005
DIRETTORE DEL CORSO: Prof. Giovanni Vassallo
TUTOR: Prof. Salvatore Cavallaro
UTILIZZO DI CABRI GEOMETRE PER
OTTENERE SOLUZIONI
APPROSSIMATE DI EQUAZIONI
POLINOMIALI IN UNA INCOGNITA, DI
QUALSIASI GRADO
(CON UNA PIU’ APPROFONDITA ANALISI DEL CASO
POLINOMI DI SECONDO GRADO)
Dal Polinomio alla Spezzata:
• Ad un polinomio di secondo grado nella sola
incognita “X” è possibile associare su un piano
cartesiano “Oxy” una spezzata che comincia dal
punto O ed è costituita da 3 segmenti incidenti ad
angolo retto
• Ad ogni polinomio nella sola incognita “X” è
possibile associare su un piano cartesiano “Oxy”
una spezzata che comincia dall’origine O e
costituita da tanti segmenti quanto il grado del
polinomio più 1.
P(X) = AX² + BX + C
La spezzata associata al
polinomio si può
interpretare come il
cammino di un pedone su
una scacchiera: il pedone
si muove da principio
lungo l’asse X di
esattamente A quadretti in
avanti (è sempre possibile
fare in modo che A sia un
numero positivo);
P(X) = AX² + BX + C
Ora il pedone che si trova
al termine della linea
verde deve girare a destra
se il segno del coefficiente
B è concorde con quello di
A; mentre deve girare a
sinistra se il segno del
coefficiente B è discorde
da quello di A, quindi
proseguire di B passi.
(nella figura è discorde)
P(X) = AX² + BX + C
Ora, analogamente, il
pedone, che si trova al
termine della linea rossa,
deve girare a destra se il
segno di C è concorde con
B; mentre deve girare a
sinistra se il segno di C è
discorde da B, quindi
proseguire di C passi.
(nella figura è concorde)
Esempio: 3X² – 4X – 2
Ecco il percorso in questo esempio; il punto finale è stato
indicato con la lettera C; è il punto dove termina il cammino
Si nota che dopo la
linea verde, si gira a
sinistra perché b è
discorde da A, mentre
dopo la rossa, si gira a
destra perché c è
concorde con B.
Caso generale e considerazioni.
Nel caso generale, un
polinomio di grado N, avrà
N+1 coefficienti (si contano
anche quelli eventualmente
nulli, ), a cui è possibile
associare una spezzata che
avrà N+1 segmenti, il
procedimento è esattamente
uguale a quello del caso
quadratico.
Considerazione particolare
deve avere il caso dove uno o
più coefficienti sono nulli, in
quanto il pedone non avanza,
ma si gira solamente e si
prepara al tratto successivo, in
che modo? E’ indifferente se si
considera lo 0 un numero
positivo o negativo, basta
scegliere un’opzione e
comportarsi di conseguenza…
Caso in cui un termine è nullo
Consideriamo ad
esempio il polinomio di
terzo grado
P(X) = X³ + 2X – 1
se consideriamo lo 0
positivo allora abbiamo
la segnatura
+ + + – e quindi le
indicazioni: 1, destra, 0,
destra, 2, sinistra, 1.
Algoritmo risolutivo (1)
Dopo aver disegnato la
spezzata relativa al polinomio,
occorre creare la retta passante
per il segmento b; in tale
retta dovrà rimbalzare un
raggio uscente dall’origine
degli assi. Per ogni punto della
retta avremo un raggio diverso
da considerare.
Algoritmo risolutivo (2)
Disegniamo una semiretta uscente
da O e incidente la retta rossa in un
punto variabile P. Quindi
costruiamo una retta nera
perpendicolare alla semiretta ora
tracciata e passante per il punto P.
Al variare del punto P, la retta nera
potrà o meno incotrare il punto C
finale della spezzata; i raggi
uscenti da O per cui tale cosa
accade sono le nostre soluzioni.
Algoritmo risolutivo (3)
Questa è una delle soluzioni, se
chiediamo al programma di
fornirci le coordinate di P
otteniamo il risultato:
P = (3; 5,18)
E quindi di conseguenza la retta
uscenta ha coefficiente angolare
(5,18):3 = 1,726
Ebbene tale valore è una
soluzione approssimata
dell’equazione data!
Algoritmo risolutivo (4)
C’è anche un’altra soluzione?
La cerchiamo spostando il punto
P sulla retta rossa, la troviamo
per un valore negativo della
tangente; il secondo punto P ha
coordinate:
P = (3, –1,16)
A cui corrisponde la soluzione
x = (–1,16):3 = – 0,387
Commento dei risultati
Verifichiamo la bontà dei risultati ottenuti, confrontandoli con
i veri risultati forniti dalla formula risolutiva:
Abbiamo Delta = 16+24= 30
E quindi x1 = 1,579 ;
x2 = –0,262
Che confrontata con x1app = 1,726
e x2app = –0,387
Ci fornisce un errore relativo dell’ 8,5%
Tale errore può essere abbassato se si ingrandiscono le
proporzioni dei segmenti.