L’algebra delle opzioni
Giulio Tagliavini
Università di Parma
Premessa



Miscelando contratti a fermo e ad opzione è possibile
organizzare posizioni speculative di significato molto
vario.
Nel seguito sono riassunte alcune indicazioni che
riguardano la contabilizzazione e l'interpretazione
delle posizioni create mediante combinazione di
contratti semplici.
Infatti, il significato reale di molte posizioni
complesse molto facilmente sfugge se non viene
utilizzata una precisa metodologia di controllo.
Obiettivo dello speculatore e
blocchi elementari di lavoro.

L'obiettivo del trader è quello di organizzare
un profilo di risultato sui vari prezzi possibili a
termine che abbia caratteristiche di
rischio/rendimento adeguate con:


le previsioni circa la volatilità/stabilità del prezzo
del titolo e circa le sue tendenze al rialzo ed al
ribasso;
la propria avversione al rischio, e quindi con la
perdita massima che si ritiene di sopportare in
ipotesi pessimistica.
Blocchi elementari

I blocchi elementari che possono essere composti nella
posizione complessiva sono in numero piuttosto ridotto, e di
interpretazione immediata:





acquisto e vendita del titolo con esecuzione a pronti o a termine
acquisto e vendita di contratti call alle varie basi
acquisto e vendita di contratti put alle varie basi.
Risulta molto significativo illustrare i blocchi elementari con
riferimento ad un grafico sul cui asse delle ascisse si pongono i
vari prezzi possibili del titolo alla data di valutazione della
posizione speculativa.
Sull'asse delle ordinate viene posto il guadagno e la perdita
potenziale che si produce ai vari livelli di prezzo.
Grafici
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Con riferimento ai blocchi elementari, l'osservazione dei grafici suddetti permette queste
osservazioni:






il prezzo di esercizio dà luogo, nelle opzioni, a grafici di profitto “spezzati”;
i contratti put danno luogo a grafici orizzontali a destra del prezzo di esercizio. A sinistra dello stesso
danno luogo ad un linea crescente, in caso di vendita del contratto, o decrescente, in caso di
acquisto;
i contratti call danno luogo a grafici orizzontali a sinistra del prezzo di esercizio. A destra di tale
prezzo danno luogo ad una linea crescente, in caso di acquisto, o decrescente, in caso di vendita;
il grado di pendenza delle linee non orizzontali dipende dal numero di contratti che sono stati
stipulati. Per contratti unitari la pendenza è 45 gradi. Contratti di ammontare maggiore danno luogo a
pendenze più pronunciate;
il contratto a fermo produce un grafico sempre inclinato, positivamente in caso di acquisto (posizione
"lunga"), negativamente in caso di vendita (posizione "corta" ). Si mantiene la regola circa il grado di
pendenza legato al numero di contratti conclusi.
Risulta comodo indicare con O la pendenza orizzontale, con 1 la pendenza positiva
procurata da un contratto (45 gradi), con -1 la pendenza negativa procurata da un contratto
(- 45 gradi). 1 vuol dire che il guadagno cresce di 1 al crescere di 1 del prezzo.
Le formule necessarie

E' utile poi trascrivere in un linguaggio algebrico
particolare i contratti base:
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
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

acquisto put
vendita put
acquisto call
vendita call
acquisto a fermo
vendita a fermo
(-1, O) (E)
( 1, 0) (E)
( 0, 1) (E)
( 0,-1) (E)
( 1, 1) (S)
(-1,-1) (S)
Dove:


E = prezzo di esercizio di ogni contratto
S = è il prezzo di effettuazione del contratto a fermo
Posizione lunga
Posizione corta
(-1,-1) S
(1,1) S
Call comprato
Call venduto
(0,-1) E
(0,1) E
Put comprato
(-1,0) E
Put venduto
(1,0) E
La combinazione dei blocchi di
base

La notazione algebrica appena
introdotta permette di controllare il
significato di posizioni composte, in cui
hanno effetto più contratti elementari.
Un esempio semplifica la possibilità di
"sommare" le singole posizioni di base.
ESEMPIO N.1
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
Lo speculatore acquista un contratto call base 1.0 e vende un
contratto put base 1.0.
Quale è il significato della posizione ?
Ricorrendo alla notazione algebrica:
acquisto del call
(0,1) (1.0)
vendita del put
(1,0) (1.0)
e sommando i due contratti
posizione complessiva
(1,1) (1.0)
che si interpreta come un acquisto a fermo a prezzo uguale alla
base comune.
In questo caso le due "spezzature" dei profili elementari si
compensano nella posizione complessiva in modo da formare
una linea continua.
ESEMPIO N. 1 CON
VARIAZIONE
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
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
Se la base dei due contratti non fosse stata la stessa (ad
esempio base del put = 1.1) l'operazione di somma sarebbe
stata effettuata con maggiore attenzione:
acquisto del call
(0,1) (1.0)
vendita del put
(1,0) (1.1)
posizione complessiva
(1,2,1) (1.0,1.1)
e con un criterio analogo in caso di basi invertite:
acquisto del call
(0,1) (1.1)
vendita del put
(1,0) (1.0)
posizione complessiva
(1,0,1) (1.0,1.1)
LA SOMMA DELLE PENDENZE


Il funzionamento di questa notazione si basa dunque
sull'individuazione, mediante somma, della pendenza
della posizione tra i vari prezzi a cui sono state fissate
le basi dei contratti elementari. L'algebra delle opzioni
può essere utilizzata per interpretare la somma di
svariati contratti che sono in essere o, partendo dal
punto di vista opposto, per tradurre nei contratti
necessari una posizione che viene immaginata nel
suo complesso.
L'esempio numero 2 parte dalla considerazione della
posizione complessiva.
ESEMPIO N.2



Si vuole "montare" la posizione speculativa descritta
in questo modo (la posizione è denominata nel gergo
butterfly spread):
(0,1,-1,0) (1.0,1.2,1.3)
Si noti che il numero dei prezzi nella seconda
parentesi è uguale al numero dei cambi di pendenza,
e quindi al numero delle inclinazioni della prima
parentesi diminuito di uno. Ciò è ovvio: per ottenere
il cambio di pendenza occorre un contratto a premio
e farne corrispondere la base.
PER COSTRUIRE LA
POSIZIONE
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
Per costruire la posizione si possono comporre i seguenti
contratti:
A = acquisto
V = vendita
A 1 call base 1.0
(0,1, 1, 1) (1.0,E , E)
V 2 call base 1.2
(0,0,-2,-2) ( E,1.2, E)
posizione intermedia
(0,1,-1,-1) (1.0,1.2, E)
A 1 call base 1.3
(0,0, 0, 1) ( E, E,1.3)
posizione finale
(0,1,-1, 0) (1.0,1.2,1.3)
ALTERNATIVA
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
ma è possibile anche la seguente soluzione:
A 1 put base 1.3
(-1,-1,-1,0) ( E, E,1.3)
V 2 put base 1.2
(+2,+2, 0,0) ( E,1.2, E)
posizione intermedia
( 1, 1,-1,0) ( E,1.2,1300)
A 1 put base 1.0
(-1, 0, 0,0) (1.0, E, E)
posizione finale
( 0, 1,-1,0) (1.0,1.2,1.3)
La prima soluzione "sistema" la posizione da sinistra, partendo
da basi basse, ed utilizza contratti call. La seconda soluzione, da
destra, utilizza contratti put.
ULTERIORE ALTERNATIVA

Sono possibili soluzioni ancora diverse, ad esempio:
V 1 fisso
(-1,-1,-1,-1) ( E, E, E)
A 1 call
( O, 0, 0,+1) ( E, E,1.3)
V 2 put
(+2,+2, 0, 0) ( E,1.2, E)
A 1 put
(-1, 0, 0, 0) (1.0, E, E)

posizione




( 0, 1,-1, 0) (1.0,1.2,1.3)
Rilevanza della molteplicità
delle soluzioni
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


Se la stessa posizione speculativa può essere organizzata in modi diversi ne
consegue che tali diversi modalità dovrebbero avere il medesimo costo.
Se così non fosse, potremmo acquistare la soluzione meno costosa e vendere
quella a prezzo più alto.
La differenza positiva tra i due prezzi sarebbe l'utile del nostro arbitraggio.
Gli esiti delle due posizioni, per definizione identiche, si compensano
esattamente, in quanto una è stata venduta e l'altra acquistata. La convenienza
per l'acquisto della soluzione meno costosa tende a rafforzare su di essa la
domanda. La conseguente crescita del costo dei premi utilizzati dovrebbe
spingere ad un riequilibrio ed all'annullamento delle convenienze per
l'arbitraggio. L' investitore di borsa può dunque valutare le differenze di costo tra
modalità diverse di montaggio della stessa posizione.
In un mercato perfetto tutte le diverse modalità hanno il medesimo costo. Nella
realtà, i costi di transazione, i tempi di reazione non immediati, la diversità
dell’ammontare dei capitale investiti riducono la convenienza di arbitraggi
estremamente sofisticati in presenza di squilibri di importo non rilevante.
L'altezza del profilo di risultato



Il grafico di risultato della posizione speculativa può essere
gestito nel senso che si può imprimergli la successione di
pendenze che più soddisfa i desideri e la fantasia dell'investitore.
La dislocazione del profilo di risultato rispetto agli assi, e quindi
l'utile e la perdita da contabilizzare nei singoli esiti del mercato,
non possono però essere ovviamente decisi dall'investitore, ma
sono intrinseche nelle condizioni di mercato.
In altri termini, la decisione di acquistare (vendere) una opzione
per imprimere una certa modificazione di pendenza è
subordinata alla verifica che il costo (ricavo) sia soddisfacente e
accettabile.
GUADAGNI E PERDITE

Le varie configurazioni del profilo di risultato
inevitabilmente presentano tratti di guadagno
e tratti di perdita. Gli sforzi per allargare
l'area di guadagno procurano sempre
l'aumento delle perdite in altre situazioni di
mercato.
La trasformazione dei contratti



La possibilità di organizzare profili di speculazione in modo
alternativo è particolarmente interessante per quei contratti
complessi che vengono venduti sul mercato già assemblati.
Tali profili di risultato vengono richiesti con una certa regolarità
ed allora alcuni operatori (i trasformatori delle opzioni) si
assumono il compito di vendere sul mercato la posizione
assemblata per acquistare le componenti o viceversa.
La differenza di costo tra il contratto sintetico e le sue
componenti è rilevante per il trasformatore e per l'acquirente
che può decidere di rivolgersi al mercato delle componenti, se la
differenza di prezzo è sufficientemente interessante.
Le modalità di costruzione
delle posizioni speculative

Nel seguito sono indicate le più
importanti equivalenze tra opzioni e
sono illustrati numerosi contratti
complessi. Oltre a contratti complessi
sono descritte posizioni speculative non
offerte in modo diretto; esse possono
essere organizzate solo partendo dalle
componenti di base. Molte di esse non
sono utilizzate dagli operatori nazionali.
TRASFORMAZIONE DEI
CONTRATTI A FERMO





TITOLI SINTETICI
A fisso ( 1, 1)
V fisso (-1,-1)
=
=
A call ( O, 1) (E) V call ( 0,-1) (E)
V put ( 1, 0) (E)
A put (-1, 0) (E)
TRASFORMAZIONE DEI PREMI
A FACOLTA' SEMPLICE




A call ( 0,1) (E)
=
A fisso ( 1,1)
A put (-1,0) (E)
V call ( 0,-1) (E)
=
V fisso (-1,-1)
V put ( 1, 0) (E)
A put (-1, 0) (E)
=
V fisso (-1,-1)
A call ( 0, 1) (E)
V put ( 1, 0) (E)
=
A fisso ( 1, 1)
V call ( 0,-1) (E)





TRASFORMAZIONE DEI PREMI A FACOLTA'
COMPOSTA NEGOZIATI SUL MERCATO
ITALIANO - STELLAGE











A stellage (-1,+1) (E)
V stellage (+1,-1) (E)
=
=
A put (-1, 0) (E)
V put ( 1, 0) (E)
A call ( 0, 1) (E)
V call ( 0,-1) (E)
=
=
A fisso ( 1, 1)
V fisso (-1,-1)
A 2 put (-2, 0) (E)
V 2 put ( 2, 0) (E)
=
=
V fisso (-1,-1)
A fisso ( 1, 1)
A 2 call ( 0, 2) (E)
V 2 call ( 0,-2) (E)
(lo stellage viene denominato straddle sui mercati anglosassoni)
STRIP










A strip (-2, l) (E)
=
A 2 put (-2, O) (E)
A 1 call ( 0, l) (E)
=
A 3 call ( 0, 3) (E)
V 2 fisso (-2,-2)
=
A 1 fisso ( l, l) (E)
A 3 put (-3, 0) (E)
V strip ( 2,-1) (E)
=
V 2 put ( 2, 0) (E)
V 1 call ( 0,-1) (E)
=
V 3 call ( 0,-3) (E)
A 2 fisso ( 2, 2)
=
V 1 fisso (-1,-1) (E)
V 3 put ( 3, 0) (E)
STRAP










A strap (-l, 2) (E)
=
A 1 put (-l, 0) (E)
A 2 call ( 0, 2) (E)
=
A 3 call ( 0, 3) (E)
V 1 fisso (-1,-1)
=
A 2 fisso ( 2, 2) (E)
A 3 put (-3, 0) (E)
V strap ( 1,-2) (E)
=
V 1 put ( l, 0) (E)
V 2 call ( 0,-2) (E)
=
V 3 call ( 0,-3) (E)
A 1 fisso ( l, l)
=
V 2 fisso (-2,-2) (E)
V 3 put ( 3, 0) (E)
ALTRE POSIZIONI SPECULATIVE L'ACQUISTO
DI UN VERTICAL SPREAD (al rialzo)








Lo spread combina l'acquisto e la vendita di opzioni dello stesso
tipo. Lo spread verticale combina premi con diversa base e
stessa scadenza; lo spread orizzontale combina diverse
scadenze ma la stessa base; lo spread diagonale combina
diverse basi e scadenze. Nel seguito sono analizzati solo
contratti con medesima scadenza, e quindi spread verticali.
A vertical spread
( 0, l, 0) (e,E)
=
A 1 put base bassa (-l, 0, 0) (e)
V 1 put base alta
( l, l, 0) (E)
=
A 1 call base bassa ( 0, l, l) (e)
V 1 call base alta
( 0, 0,-1) (E)
LA VENDITA DI UN VERTICAL
SPREAD (al ribasso)







V vertical spread
=
V 1 put base bassa
A 1 put base alta
=
V 1 call base bassa
A 1 call base alta
( 0,-1, 0) (e,E)
( 1, 0, 0) (e)
(-1,-1, 0) (E)
( 0,-1,-1) (e)
( 0, 0, 1) (E)
L' ACQUISTO DI UN CALL NEUTRAL
RATIO VERTICAL SPREAD





(Rispetto alle posizioni precedenti vengono combinate
call per quantitativi diversi.)
A neutral ratio v. spread
( 0, 2,-1) (e,E)
=
A 2 call base bassa
( 0, 2, 2) (e)
V 3 call base alta
( 0, 0,-3) (E)
L' ACQUISTO DI UN PUT NEUTRAL RATIO
VERTICAL SPREAD




A neutral ratio v. spread
=
A 2 put base alta
V 3 put base bassa
( 1,-2, 0) (e,E)
(-2,-2, 0) (e)
( 3, 0, 0) (E)
STRANGLE


ACQUISTO
VENDITA
(-1, 0, 1) (e,E)
( 1, 0,-1) (e,E)
BUTTERFLY SPREAD


ACQUISTO
VENDITA
( 0, 1,-1, 0) (el,e2,e3)
( 0,-1,+1, 0) (el,e2,e3)
Straddle - Stellage
Butterfly
Strangle
FASTER BREAKEVEN CALL


ACQUISTO ( O, 2, 1) (e,E)
anticipa l'area di guadagno al rialzo a
condizioni di costo ridotto
FASTER BREAKEVEN PUT


ACQUISTO (-2,-1, 0) (e,E)
anticipa l'area di guadagno al ribasso a
condizioni di costo ridotto
CONDOR


ACQUISTO ( 0, 1, 0,-1, 0) (el,e2,e3,e4)
VENDITA ( 0,-1, 0, 1, 0) (el,e2,e3,e4)
PTERODATTILO



ACQUISTO ( 0,-1, 2,-1, 0) (el,e2,e3,e4)
(al rialzo)
VENDITA ( 0, 1,-2, 1, 0) (el,e2,e3,e4)
(al ribasso)
(sono uno spread tra butterfly)
La scelta del profilo di risultato e l'impostazione
della strategia di investimento
















Nella tabella seguente sono riassunte alcune indicazioni per l'utilizzo dei profili di risultato prima descritti.
convenienza
Strategia
ribasso
rialzo
profitto perdita
forte debole debole forte
max
max
A
V
A
V
A
V
A
V
A
V
A
V
fermo
fermo
call
call
put
put
stellage
stellage
strip
strip
strap
strap
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************
***********
***********
***********
***********
*********
*********
********
*********
*********
*******
*********
*********
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I
I
I
L
I
L
I
L
I
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I
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I
L
I
L
I
L
I
L
I
L
I
La scelta del profilo di risultato e l'impostazione
della strategia di investimento



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















Nella tabella seguente sono riassunte alcune indicazioni per l'utilizzo dei profili di risultato prima descritti.
convenienza
Strategia
ribasso
rialzo
profitto perdita
forte debole debole forte
max
max
A vertical spread
**********
L
L
V vertical spread
***********
L
L
A strangle
*********
********
I
L
V strangle
********
L
I
A butterfly
*********
********
L
L
V butterfly
********
L
L
A call neutral rvs
******
I
L
V call neutral rvs
*************
******
L
I
A put neutral rvs
******
I
L
V put neutral rvs
*******
************ L
I
A faster b call
*************
L
I
A faster b put
************
I
L
A condor
********
V condor
*********
********
A pterodattilo
***********
V pterodattilo
***********