Interpretazione degli Spettri
Stellari
Cecilia Payne[-Gaposchkin]
(1925, PhD) applicò I risultati
della meccanica quantistica
agli spettri stellari e dimostrò
l'importanza della temperatura
nella formazione di uno
spettro; inoltre mostrò che le
stelle sono costituite
principalmente da idrogeno ed
elio con tracce di altri
elementi.
Spettro delle Stelle
Le tre leggi di Kirkhoff
La struttura della materia
Nel XVIII secolo Lavoisier e Dalton
verificano sperimantalmente l’ipotesi
della struttura atomica della materia.
1868 : Mendeleev produce la sua tavola
periodica degli elementi conosciuti fino
allora (63).
Nel 1896, il numero degli elementi era
salito a 77. Tutti in accordo con lo schema
proposto da Mendeleev
Gli atomi erano considerate “particelle
elementari” cioè privi di parti interne.
La struttura della materia
Nel 1895 Wilhelm Röntgen scopre I raggi
X.
Nel 1896 Becquerel scopre la radioattività
dell’uranio cercando di capire la natura
dei raggi X.
1898 – Pierre Marie Curie stabilisce che la
radioattività è una proprietà dell’atomo.
Nei processi radioattivi avviene emissione spontanea di particelle e gli atomi di una specie
si trasformano in quelli di un’altra specie.
Non si può determinare quando avverrà un decadimento radiativo
Rutherford (1899)
Scoperta dell’elettrone e Atomo di Thompson
Nel 1897 J.J. Thomson esegue un’esperimento per
dimostrare l’esitenza dell’elettrone e misura il
rapporto e/m.
L’elettrone è la prima particella sub-atomica
scoperta
Nel 1899 Thomson determina la carica e (cloud
chamber) e la massa ≈ 1/2000 mH
dell’elettrone.
Atomo a “plum pudding”
di Thompson
Spettro Continuo (Planck 1900 Legge del corpo nero)
In condizioni di equilibrio termodinamico
la radiazione emessa da un corpo nero
dipende solo dalla temperatura (T).
Equilibrio Termodinamico:
#emisssioni/s = #ssorbimenti/s
Legge del corpo nero:
Nell’interazione tra materia e radiazione di frequenza n la materia può assorbire o emettere
solo quantità discrete di energia multiple di :
E= hn
h [Js] = quanto d’azione
Quantizzazione della materia
Effetto Fotoelettrico (Einstein 1905 – Nobel prize 1921)
La scoperta di questo effetto si deve ad Hertz nel 1887
(anche se Il termine fotoelettrico fu introdotto da
Augusto Righi 1888).
Anomalia: la corrente misurata proporzionale alla
frequenza della radiazione incidente e non alla sua
intensità (teoria classica). Aumentando l’intensità della
radiazione aumentava solo il numero degli elettroni non
l’energia cinetica con cui venivano emessi.
Einstein nel 1905 introduce la quantizzazione della
radiazione. Tratta l’effetto fotoelettrico assumando che la
radiazione sia costituita di particelle aventi energia E=hn.
Einstein propose che:
½ mev2=hn –f
(f energia di estrazione)
Nel 1916 Millikan verifica la correttezza della relazione di
Einstein.
La radiazione ha un comportamento duale:
Ondulatorio nella propagazione (v. interferenza)
Corpuscolare nell’interazione con la materia
Solo se n > n0
Effetto Compton: natura corpuscolare della luce
Esperimento eseguito nel 1922
da Arthur Compton (Nobel
1927)
Questo esperimento dimostra
che nell’urto elastico con
l’elettrone (a riposo prima
dell’urto) la radiazione si
comporta come una particella.
Esperimento e Atomo di Rutherford
1911 Ernest Rutherford studia lo scattering di particelle alfa (nuclei di He)
I risultati indicano:
-esistenza di un nucleo di piccole dimensioni (atomo vuoto)
-elettricamente carico (“positivo”)
-elettroni in numero sufficiente da rendere neutro il sistema.
2 problemi:
-Come mai gli elettroni non emettono radiazione?
-Come si spiegano le righe negli spettri degli elementi?
Atomo di Bohr
Niels Bohr nel 1913 propose un modello rivoluzionario dell’atomo
1)
Gli elettroni ruotano attorno al nucleo,ma solo su alcune orbite ben
determinate (orbite stazionarie), sulle quali non emettono energia.
1bis) per gli elettroni sulle orbite stazionarie valgono le leggi della meccanica
classica.
2)
3)
Sono stazionarie solo le orbite per le quali il momento angolare L vale:
Ln = nh/2π n = 1,2,3…
nè
detto “numero quantico (principale)” (h ha le dimensioni di un momento
angolare)
Gli elettroni possono assorbire o emettere energia, sotto forma di un fotone,
solo passando da un’orbita stazionaria ad un’altra. Tale energia deve essere
uguale alla differenza di energia tra le due orbite quantizzate.
hn =  (Ef – Ei)
Il segno + vale se Ef>Ei, il segno - nel caso opposto.
Atomo di Bohr
(Ze)(e)
v2
F k
 ma  m
2
r
r
2
2
Ze
mv
k 2 
rn
rn
h
L  mvrn  n
2
nh
v
2mrn
kZe2 4  2 mrn2
rn 
2 2
n h
n 2h 2
rn 
2
2
4  mkZe
r1  0.529  10 10 cm
n2
rn 
r1
Z

Atomo di Bohr
Ze 2
U  eV  k
r
1 2
Ze 2
E n  mv  k
2
rn
2 2 Z 2e 4 mk 2
En  
n 2h 2
E1  13.6 eV
E  hv 
hc

E1
En   2
n
 Eh  El
E1  1
1
  2  2   Formula di Balmer
 hc  n l n h 
1
n = numero quantico principale
Diagramma energetico delle transizioni tra i livelli atomici dell’Idrogeno
Per n = , E = 0 è l’energia minima di un elettrone libero (Continuo)
Atomo di Bohr
Nello sviluppare le nuove idee Bohr tenne sempre fisso un principio
IL PRINCIPIO DI CORRISPONDENZA
Secondo tale principio la sua teoria (poi definita Teoria Quantica ) non poteva essere
né in contrasto con la Meccanica Classica (MC) né costituire una teoria totalmente
separata.
Quindi ipotizzò che per h (Costante di Planck) tendente a zero i risultati della TQ
dovevano ridare quelli, ben noti, della MC.
Es: E = hn, ma se h = 0, non c’è più quantizzazione dell’energia.
Ecc., ecc.
Sebbene la teoria di Bohr riuscisse a spiegare con successo vari aspetti sperimentali
dell'atomo di idrogeno, essa era molto specifica e non poteva essere generalizzata al
caso di atomi con più elettroni.
Dualita’ onda-particella per la materia
(De Broglie 1923)
De Broglie propose che le particelle di materia, come i fotoni potessero
manifestare proprietà ondulatorie. In analogia con la luce postulò che una
particella di massa m e velocità v ha una lunghezza d'onda associata
λ
h
mv
Un'onda circolare attorno al nucleo
contiene un numero intero di
lunghezze d'onda.
Si noti che per una particella macroscopica la lunghezza d'onda associata
ha un valore così piccolo da non permettere di osservare alcuna proprietà
ondulatoria
Dualita’ onda-particella per la materia
conferma sperimentale
Fenomeni di diffrazione di un fascio di elettroni da parte di un cristallo
furono osservati proprio come per i raggi X (Compton) che sono
classicamente descritti come onde con lunghezze d'onda dell'ordine
dell'angstrom (1927 Davisson e Germer, Thomson).
Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927)
Come conseguenza della natura ondulatoria delle particelle microscopiche
esiste una limitazione sulla determinazione simultanea della posizione e
della velocità di tali particelle: in altre parole non è possibile conoscere con
esattezza sia la posizione che la velocità della particella (no traiettoria)
In particolare Heisemberg derivò l'omonimo principio di indeterminazione
secondo il quale il prodotto dell'incertezza sulla posizione e di quella sulla
quantità di moto (massa x velocità) di una particella è maggiore o uguale alla
costante di Planck divisa per 4
h
( x)(m v x ) 
4π
In cui x è l'incertezza sulla coordinata x della particella, vx quella sulla
velocità nella direzione x e m la sua massa.
Meccanica Quantistica ondulatoria
Schrödinger formulò nel 1926 una teoria nota come meccanica
quantistica o meccanica ondulatoria che permette di descrivere
matematicamente le proprietà ondulatorie delle particelle
microscopiche ed in particolare dell'elettrone.
In particolare la meccanica quantistica cambia il modo stesso di
concepire il moto delle particelle che è basato sulla meccanica
classica e sul concetto di traiettoria.
Invece di una traiettoria, Schrödinger associò all'elettrone una
funzione detta funzione detta funzione d'onda (x,y,z) tale che il suo
quadrato | (x,y,z)|2 dà la probabilità di trovare la particella nel punto
dello spazio di coordinate (x,y,z).
Orbitali atomici e numeri quantici
In accordo con la meccanica quantistica ogni elettrone in un atomo è
descritto da una funzione d'onda (x,y,z) che dà la probabilità di trovare
l'elettrone nei vari punti nello spazio.
(x,y,z) è una funzione d’onda che descrive la particella,
ma in sé non ha un significato fisico, è solo un artificio
matematico.
Una funzione d'onda di un elettrone in un atomo è chiamata orbitale
atomico e può essere descritto qualitativamente come la regione dello
spazio attorno al nucleo dove è maggiore la probabilità di trovare
l'elettrone.
Numeri quantici
L’equazione di Schroedinger per l’atomo di idrogeno è risolvibile esattamente. Le soluzioni includono
tre parametri detti numeri quantici.
a) Numero quantico principale n. Può assumere tutti i valori interi positivi da 1 a ∞;
b) Numero quantico secondario o momento orbitale l. Per ogni valore di n può assumere tutti i valori
interi positivi, da 0 fino a n – 1;
c) Numero quantico magnetico ml. Per ogni valore di l può assumere tutti i valori interi, positivi e
negativi, zero compreso, compresi tra –l e +l.
Ogni funzione  , definita da una terna di valori di n, l e ml è chiamata funzione orbitale o più
semplicemente orbitale.
A ciascun orbitale viene attribuito convenzionalmente un simbolo costituito da un numero pari a n,
una lettera dipendente da l (s, p, d, f….) e un pedice dipendente da ml.
In realtà la descrizione esauriente di un elettrone di un atomo richiede l’uso di un quarto numero
quantico, il numero quantico di spin, ms che può assumere i valori ± 1/2.
Stati degeneri
Numeri quantici e Orbitali
Tavola periodica
Effetto Zeeman: Campo Magnetico
• In presenza di un campo
magnetico (che definisce una
direzione spaziale
preferenziale) l’energia orbitale
dipende da B e dal numero
quantico ml
n 
n0
ml
+1
0
-1
eB
4me
n
 eB 4me c
0
eB 4mec
Energie di Ionizzazione
Interpretazione degli Spettri Stellari
Per comprendere gli spettri che osserviamo nelle stelle, occorre quindi sapere:
-Quali sono gli orbitali in cui è più probabile trovare un’elettrone
-Qual’è la percentuale di atomi nei diffrerenti stati di ionizzazione
Per rispondere a queste domande dobbiamo far ricorso alla Meccanica Statistica.
Un gas è composto da un numero enorme di particelle (atomi, ioni, protoni, elettroni, etc)
e quindi è impossibile studiare ogni singola particella, ma è possibile studiare statisticamente
lo stato del gas attraverso grandezze ben definite quali temperatura, pressione, densità.
Supponiamo di aver un gas in equilibrio termodinamico alla temperatura T. La distribuzione
delle velocità delle particelle del gas (e quindi dell’energia cinetica delle particelle) è quella di
Maxwell-Boltzmann.
Interpretazione degli Spettri Stellari
Equazione di Boltzmann
Gli atomi del gas, che hanno una distribuzione di velocità di Maxwell-Boltzmann, urtano tra di
loro e quindi acquistano o perdono energia e quindi gli elettroni acquistano una ben definita
Distribuzione tra gli orbitali. Se A e B sono due diversi insiemi di numeri quantici, il rapporto
tra le probabilità ti trovare il sistema nello stato B e quella di trovarlo nello stato B è data da:
P (B gB e E B / KT gB (E B E A )/ KT

e
E B / KT 
P(A) gA e
gA
Dove gA e gB sono dei pesi statistici che tengono conto della degenerazione degli stati. Poichè
le atmosfere delle stelle contengono un numero altissimo di atomi, il rapporto tral le probabilità
è uguale al rapporto
tra il numero di particelle nello stato A e B:

N (B gB e E B / KT gB (E B E A )/ KT

e
E B / KT 
N(A) gA e
gA

Interpretazione degli Spettri Stellari
Equazione di Saha
In condizioni di equilbrio:
numero delle ionizzazioni/s = Numero di
ricombinazioni/s
Per un gas ideale (dominato dalle collisioni):
3/2
N i1 2kTZi1  2m e kT 
  i / kT

e


Ni
Pe Z i  h 2 
con

Z   g je
j 1

(E j E1 )/ kT
Funzione di Partizione
Interpretazione degli Spettri Stellari
Combinando l’equazione di Boltzman e di Saha si possono interpretare gli spettri stellari
Modelli di atmosfere stellari
Lo spettro si forma in una piccola regione
Esterne della stella
http://www.as.utexas.edu/~chris/moog.html
Cammino libero medio
• Se abbiamo un gas avente densità n
(#particelle/volume)
2a0
•Sezione d’urto :
•Cammino libero medio:
   (2a0 2
1
l
n
Opacità
• L’opacità () è la sezione d’urto per unità di massa (m2/kg) di
un materiale relativamente all’assorbimento di fotoni.
    n

  
m H


I,0
  =peso molecolare medio.
I
ds
dI
I
  ds  

I   I  , 0 e    s
Profondità ottica
•
La profondità ottica è una grandezza adimensionale che esprime la quantità di
radiazione assorbita lungo un dato percorso.
d    ds  ds/l
•
quindi:
    , f   ,0


     ds
l
= cammino libero medio
  0

s
0
s

I   I  ,0e  s  I  ,0e 

• La profondità ottica si può pensare come il numero di cammini liberi medi percorsi da
 di essere assorbito.
un fotone prima
Coefficiente di emissione
• Il coefficiente di emissione è l’opposto dell’opacità:
dI   j ds
• E la sua unità di misura è W/m/sr/kg
I
I,0
• Così in generale si ha:


ds

dI     I  ds  j ds
Trasporto radiativo e funzione sorgente
Temendo conto della definizione di profondità ottica

1 dI dI
j

 I     I   S
   ds d 

S 
•
j
Funzione Sorgente Wm-3sr-1
•

 un sistema in equilibrio termodinamico (es. Corpo Nero):
Per
dI 
0
ds
S   I   B
La soluzione generale è
I  (0)  I  ,0 e
  , 0
  ,0

 
S
e
  d 
0
Sorgenti di Opacità
Modelli di atmosfere stellari
Lo spettro si forma in una piccola regione
Esterne della stella
http://www.as.utexas.edu/~chris/moog.html
Sommario
• Dallo spettro di una stella si può ricavare:
1.
2.
3.
4.
5.
Composizione Chimica
Distanza
Temperatura efficace
Velocità radiale
Campo Magnetico
Parallasse Spettroscopica
Dallo spettro si può
ottenere la distanza
m  M  log( d(pc))  5

Effetto Doppler: velocità radiale
oss  lab 
z

lab
lab
vr
 z se z 1
c

Massa delle Stelle: Leggi di Keplero
I Legge di Keplero:
I pianeti descrivono intorno al Sole
delle orbite ellittiche, di cui il Sole occupa
uno dei fuochi.
Con questa legge cade il principio della
circolarità dei moti planetari. Inoltre le orbite
descritte dai pianeti acquistano identità fisica
rispetto alle circonferenze tolemaiche, enti
puramente geometrici.
II Legge di Keplero:
Le aree descritte dal raggio vettore
di ciascun pianeta sono proporzionali ai
tempi impiegati a descriverle; ossia, il
raggio vettore di un pianeta descrive
aree uguali in tempi uguali
Come conseguenza un pianeta si muove
più velocemente quando è più vicino al
Sole ( perielio ) e più lentamente quando
è più lontano (afelio). Questa legge
segna la caduta del principio della
uniformità dei moti planetari.
Massa
delle
stelle:
Leggi
di
Keplero
III Legge di Keplero:
I quadrati dei tempi di rivoluzione dei
pianeti intorno al Sole sono
proporzionali ai cubi dei semiassi
maggiori delle rispettive orbite.
Ne segue che la velocità media di un
pianeta sulla propria orbita è tanto
minore quanto più esso è lontano dal
Sole.
La terza legge di Keplero viene precisata
da Newton nella forma
con d che rappresenta il semiasse
maggiore dell'orbita e la costante
K = 4·π2/G, assumendo con m1 la
massa di un pianeta e con m2 quella
del Sole.
Stelle Binarie
• 85% delle stelle della galassia si trovano in sistemi binari o
multipli
• Alcune binarie sono così vicine che sono a contatto
Binarie Visuali: Misura della massa
•
La massa di entrambe le stelle si può misurare se:
1. Entrambe le stelle sono visibili
2. Hanno una velocità orbitale abbastanza alta da poterle seguire per un buon tratto della
oro orbita
3. La distanza è nota (es. parallasse)
4. Il piano orbitale è perpendicolare alla linea di vista
m1 r2 a2
 
m2 r1 a1
4 2 a 3
P 
G (m1  m2 
2
a  a1  a2

Binarie Visuali
• In generale il piano orbitale non giace sul piano del cielo
i
2acosi
4 2 a 3
m1  m2 
GP 2
3
4 2 (R 

GP 2
4 2  R  3

 
2 
GP  cos i 
3
Binarie Spettroscopiche (BS)
z
obs  rest 

rest
rest
vr
 z se z 1
c
Linee di assorbimento di entrambe le
stelle sono visibili
Binarie ad eclisse
Masse Stellari
L  M 2.5
M=30MSun
M=MSun
L M5
M=0.2MSun