I NUMERI COMPLESSI G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio C Ma lo sanno tutti che esiste l’unità immaginaria!!! i2= -1 i = -1 G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Ma quale sarà il risultato? -9 -9 25 -16 ad esempio sarà (-1)*16= 16i G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Insieme C dei numeri complessi Nell’insieme R dei numeri reali non è possibile operare con l’estrazione di radice se l’indice è PARI e il radicando è < 0 E’ necessario ampliare l’insieme R Con l’insieme dei numeri immaginari I G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio C numeri complessi I R 27 12 13 37/8 -77 27/6 -2,5i 4i i 7i C=RUI G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio i = -1 Numero complesso Espressione della forma a+bi dove a e b sono numeri reali e i rappresenta l'unità immaginaria, cioè la radice quadrata di -1. I numeri complessi possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi, e costituiscono una struttura algebrica di campo G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Il campo dei numeri complessi L'insieme C dei numeri complessi è costituito da coppie ordinate di numeri reali (a,b). Sull'insieme C sono definite le due operazioni: a , b c, d a c, b d C a, b c, d a c b d , a d b c C I membri di destra di queste due uguaglianze vengono chiamati, rispettivamente, somma e prodotto, e sono anche loro dei numeri complessi. Si dimostra che l'insieme C con le due operazioni definite in precedenza è un campo. G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Applicazioni dei numeri complessi Sono utilizzati per descrivere i circuiti elettrici e le onde elettromangetiche Il numero i appare nella celebre equazione d’onda di Schrödinger G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Cenni storici I numeri complessi furono introdotti per descrivere le soluzioni di equazioni del tipo 1 x 2 che, non ammettendo soluzioni nell'insieme dei numeri reali, erano un tempo considerate impossibili. Verso la metà del XVI secolo, il matematico italiano Girolamo Cardano e i suoi contemporanei, studiarono le equazioni contenenti la radice quadrata di numeri negativi. Probabilmente Cardano stesso suggerì che si potesse esprimere il numero reale 40 nella forma CARDANO 5 15 5 15 G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Cenni storici Nel 1777 il matematico svizzero EULERO introdusse il simbolo tuttora in uso, i per indicare -1 e scrisse EULERO GAUSS l'importante relazione ei = -1 che fonde alcuni tra i più importanti concetti della matematica. Nella tesi di dottorato di GAUSS, del 1799, è contenuta la dimostrazione del famoso teorema fondamentale dell'algebra, che afferma che ogni polinomio a coefficienti complessi ammette almeno una radice complessa. Nel 1825 Lo studio delle funzioni complesse venne proseguito da CAUCHY CAUCHY G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Forma Cartesiana dei numeri complessi Gli elementi di C sono rappresentabili come punti del piano cartesiano, dove le ascisse rappresentano il sottoinsieme di C formato dai numeri reali (a,0) e le ordinate dai numeri immaginari puri (0,b)=ib . G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Forma Trigonometrica dei numeri complessi Dalla forma cartesiana deduciamo : z z cos sen che è la forma trigonometrica del numero complesso z. E' importante notare che l'argomento delle funzioni seno e coseno può essere incrementato di 2k ( k Z ) ottenendo ancora lo stesso numero complesso. G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio Forma esponenziale dei numeri complessi Eulero (Leonhard Euler) dedusse la fondamentale relazione : eix cos x i sen x E' valida anche la relazione : e ix cos x i sen x Utilizzando tale formula otteniamo rappresentazione esponenziale di un complesso : z z ei G. Cecchetti- F. Chiaravalle -L.Giglio la
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