La rivoluzione cartesiana
in geometria
Enrico Giusti
Il Giardino di Archimede
19 ottobre 2014
La rivoluzione cartesiana in geometria
La Géométrie
Livre premier:
Des
problèmes
Libro
primo: Dei
problemi
che qu’on
peut construire
sans y employer
que
possono
essere costruiti
per mezzo
des cercles
etedes
lignes droites.
solo
di cerchi
rette.
Livre
Libro second:
secondo:DeDella
la nature
naturades
delle
lignes
courbes.
curve.
Libro
Livre troisième:
terzo: DellaDe
costruzione
la construction
dei problemi
des
solidi
problèmes
o più qui
chesont
solidi.
solides ou plus que
solides.
La rivoluzione cartesiana in geometria
La Géométrie
Libro primo:
Soluzione geometrica (con riga e
compasso) delle equazioni di
secondo grado.
Enunciato e soluzione del problema
di Pappo.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Soluzione geometrica (con riga e
compasso) delle equazioni di
secondo grado
x2= ax+b2
x 
a
2
O

a 2
2
 b2
a/2
N
 a2 2  b 2
a/2
L
b
M
La rivoluzione cartesiana in geometria
Enunciato e soluzione del
problema di Pappo
r2
r3
r4
r1
C
Poi, dato
Date
per posizione
che vi è sempre
quattro,
unonumero
più lineeinfinito
rette, di
innanzi
puntitutto
diversi
si che possono
richiede unquanto
soddisfare
punto dal
qui quale
viene richiesto,
sia possibile
si vuole
condurre
anche
unche
ugual
sia nota
numero
e
di segmenti,
tracciata
la linea
uno su
sulla
ciascuna
quale delle
tutti questi
date, che
punti
facciano
debbono
congiacere.
queste
degli angoli dati [retti], e tali che il rettangolo compreso tra due
[segmenti] di quelli che saranno così tracciati da uno stesso punto, stia in
un rapporto dato con il rettangolo compreso tra gli altri due.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Enunciato e soluzione del
problema di Pappo
r2
r3
r4
r1
C
rk: akX + bkY + ck = 0
C = (x,y)
ak2+bk2=1
d(C,rk) = |akx + bky + ck|
La rivoluzione cartesiana in geometria
Enunciato e soluzione del
problema di Pappo
r2
r3
r4
r1
C
d(C,rk) = |akx + bky + ck|
(a1x + b1y + c1)(a2x +b2y + c2) =
= (a3x + b3y + c3)(a4x +b4y + c4)
La rivoluzione cartesiana in geometria
Enunciato e soluzione del
problema di Pappo
r2
r3
r4
r1
C
d(C,rk) = |akx + bky + ck|
∏k=1 n (akx + bky + ck) =
= ∏k=n+1 2n (akx + bky + ck)
La rivoluzione cartesiana in geometria
Enunciato e soluzione del
problema di Pappo
Ma cos’è una curva?
La rivoluzione cartesiana in geometria
La Géométrie
Libro secondo:
Quali curve si possono chiamare
geometriche.
Il problema delle tangenti.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Prima di Descartes
Costruzioni con macchine
La rivoluzione cartesiana in geometria
Prima di Descartes
Costruzioni per punti
La rivoluzione cartesiana in geometria
Prima di Descartes
Costruzioni con fili
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Costruzioni con macchine
Non si devono escludere le linee più composte, purché le si
possa immaginare descritte da un movimento continuo, o
anche da più movimenti che si susseguono, dei quali i
successivi siano interamente determinati da quelli che li
precedono, dato che in questo modo si può avere sempre
una conoscenza esatta della loro misura.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Costruzioni con macchine
[Al contrario] la spirale, la quadratrice e simili … non sono
nel numero di quelle che devono essere considerate, perché
le si immagina descritte da due movimenti separati, e che
non hanno tra loro alcun rapporto che possa essere misurato
esattamente.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Costruzioni per punti
in questi casi non si trovano
indifferentemente tutti i punti della
curva cercata, ma solo quelli che
possono essere determinati
mediante qualche metodo più
semplice di quello necessario per
descriverla. Così a rigore non si
trova nessuno dei suoi punti, cioè di
quelli che le appartengono a tal
punto che non possano essere
trovati che per mezzo suo.
B
C
D
A
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Costruzioni per punti
Al contrario non c’è nessun
punto, nelle linee che servono
a risolvere il problema
proposto, che non possa
essere trovato con il metodo
appena spiegato.
ay=x2
ay
y
ay
a
y
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Costruzioni per punti
E poiché questo modo di tracciare una
curva trovando indifferentemente vari
suoi punti può essere applicato solo a
quelle che si descrivono con un
movimento regolare, non lo si deve
escludere dalla geometria.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Costruzioni con fili
Né si deve escludere quello in cui
si fa uso di un filo per
determinare l’uguaglianza o la
differenza di due o più rette ...
Ma non si possono accettare linee
che somigliano a delle corde, cioè
che diventano a volte rette e a
volte curve, perché dato che il
rapporto tra retto e curvo non è
noto, e credo non possa mai
essere conosciuto, non se ne
potrebbe ricavare niente di sicuro.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Quali curve si possono chiamare geometriche
Potrei mettere qui molti altri modi per
tracciare linee curve via via più complesse. Ma
per raccoglierle insieme tutte e distinguerle in
generi, non conosco niente di meglio che dire
che tutti i punti di quelle che si possono
chiamare geometriche, cioè che cadono sotto
una qualche misura precisa ed esatta, hanno
con tutti i punti di una retta una relazione che
può essere espressa con un’equazione, e tutti
con la stessa.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Il problema delle tangenti
Per questo crederò di aver dato tutto quanto
è richiesto per lo studio delle curve, quando
avrò dato in generale il modo di tirare delle
rette che cadano ad angoli retti su un loro
punto arbitrario. E oso dire che questo è il
problema più utile e più generale, non solo
che io conosca, ma che abbia mai desiderato
di conoscere in geometria.
La rivoluzione cartesiana in geometria
Il problema delle tangenti
F(x,y)=0
{
F(x,y)=0
(x-v)2+y2=s2
y0
P
s
Q(x)=0
x0
v
Q(x)=(x–x0)2 R(x)
La rivoluzione cartesiana in geometria
L’eliminazione della variabile y
F(x,y)=0
{ (x–v) +y =s
2
2
2
y R(x,y2) = S(x,y2)
y2 R2(x,y2) = S2(x,y2)
y2=s2 – (x–v)2
Il problema delle tangenti
(x–v)2 + y2 = s2
y2 = s2 – (x – v)2
y = x2
x4 = s2 – (x – v)2
(xo, yo )
x4 + x2 – 2xv + v2 – s2 = 0
• s
v
La rivoluzione cartesiana in geometria
Il problema delle tangenti
x4 + x2 – 2xv + v2 – s2 = (x – xo)2 (x2+ax+b)
{
x4 + x3 (a–2xo) + x2(b+ xo2–2axo)+x(axo2–2bxo)+bxo2 =
x4
+x2
–2xv
+v2 – s2
y = x2
a = 2x
a–2x
o o= 0
b=1+3
b+ xo2–2ax
xo 2 o = 1
(xo, yo )
s
2
ax
v=x
+2 xoo3= –2v
o o–2bx
v
La rivoluzione cartesiana in geometria
Il problema delle tangenti
(y–w)2 + x2 = t2
(y–w)2 + y – t2 = 0
y = x2
(y–w)2 + y – t2 = (y–yo)2
y2 + y (1–2w)+ w2– t2 =
t
w
•(xo, yo )
y2
–2yyo
+ yo 2
1–2w=
w=
½+y–2y
o o
La rivoluzione cartesiana in geometria
Il problema delle tangenti
(x–v)2 + y2 = s2
y2 = s2 – (x – v)2
xy=1
x2 [s2 – (x – v)2] = 1
x4 – 2vx3 + x2(v2 –s2 ) + 1=0
(xo, yo )
s •
v
La rivoluzione cartesiana in geometria
Il problema delle tangenti
x4 – 2vx3 + x2(v2 –s2 ) + 1= (x – xo)2 (x2+ax+b)
{
x4 + x3 (a–2xo) + x2(b+ xo2–2axo)+x(axo2–2bxo)+bxo2 =
x4 – 2vx3
+ x2(v2 –s2 )
xy=1
+1
bxo2 = 1
axo2–2bxo = 0
(xo, yo )
s •
v
}
a = 2/xo3
2v = 2xo – a
v = xo – 1/xo3
La rivoluzione cartesiana in geometria
Un piccolo progresso : la retta tangente
PQ : P0Q = P0A : DA
y–y0 : x–x0 = y0 : t
{
F(x,y)=0
t(y–y0)= y0(x–x0)
Il metodo di Hudde
Q(x)=(x–x0)2 R(x)
R(x) = axm + bxm-1 + … + px + q
(x2 – 2xx0 + x02) xk
k+2
k+1
k
(k+2–2k–2+k) x0k+2
Il polinomio Q(x) ha una radice doppia x0
se e solo se Q(x0)=0 e Q1(x0)=0.
Il metodo di Hudde
3 +3 x+2(v
Q(x)o)==xx4o–4 –2vx
Q(x
2vx
xo22–s
(v2 –s
) +2 )1+ 1 = 0
o
3 +3 2x
22x
22–s
2 –s
2) = 0
(x)o)==4x
(v
)
Q1(x
4x4o–4 –6vx
6vx
+
(v
o
o
v2 –s2 = 3vxo – 2xo2
xo4 – 2vxo3 + xo2(3vxo – 2xo2) + 1 = 0
– xo4 + vxo3 + 1 = 0
vxo3 = 1 – xo4
v = xo – 1/xo3
Il metodo di Fermat
Dopo aver assegnato dei nomi sia alla nostra parallela BR che
a tutti gli altri termini del problema, considero di nuovo
questa parallela come se l’estremo che sta sulla tangente
fosse in effetti sulla curva, e tenendo conto della proprietà
specifica della curva confronto questa parallela per
adequazione con l’altra parallela AP tirata dal punto dato
all’asse o al diametro della curva.
F(x,y) = 0
F(x+a,y+e)  0
Il metodo di Fermat
F(x+a,y+e)  0
e = ay : t
F(x+a,y(1+a/t))  0
Il metodo di Fermat
Questo confronto per adequazione produce due
termini differenti, che alla fine diventano uguali
(secondo il mio metodo), dandoci la soluzione del
problema.
F(x+a,y(1+a/t))  0
La tangente alla cissoide
DG = x
DH = y
DA = d–x
DF = t
DE = a
La cissoide è la curva OHI tale che
DM : DG = DG : DH
x(d–x) : x = x : y
2
y (d–x)
=
3
x
La tangente alla cissoide
y2(d–x) – x3 = 0
y2 (1+a/t)2 (d–x–a) – (x+a)3  0
y2(d–x)–x3 +a
+= 0
a [2y2(d–x)/t – y2 –3x2]]+
+Ca2++Da
Da2300
3
2x
t= 2
y +3x2
La Géométrie
Libro terzo:
La costruzione delle equazioni.
La rivoluzione cartesiana in geometria
La costruzione delle equazioni.
x3 = 2ax + 2b
x4 = 2ax2 + 2bx
y = x2
{ y =+ 2a
x =y (2a+1)
+ 2bx y + 2bx
2
{
2
y = x2
[y-(a+½)]2 + (x-b)2 = (a+½)2 +b2
La rivoluzione cartesiana in geometria
La costruzione delle equazioni.
y = x2
{ [y-(a+½)] + (x-b) = (a+½) +b
2
2
2
A
2
M
H
C
AC = ½
CD = a
AD = a+½
DE = b
G
K
E
F
D
L
AE = √ (a+½)2 +b2
La rivoluzione cartesiana in geometria
Sviluppi e conseguenze della Géométrie.
Il calcolo infinitesimale
La rivoluzione cartesiana in geometria
Sviluppi e conseguenze della Géométrie.
Il problema delle tangenti
F(x,y)=0
dy
P
y
B
x
A dx
La rivoluzione cartesiana in geometria
Sviluppi e conseguenze della Géométrie.
Il problema inverso delle tangenti
Data una curva, cioè una relazione F(x,y)=0 tra le variabili,
trovare la relazione tra i loro differenziali
Data una relazione tra i differenziali delle variabili,
trovare la relazione tra le variabili, cioè la curva
La rivoluzione cartesiana in geometria
Sviluppi e conseguenze della Géométrie.
La costruzione delle equazioni
La rivoluzione cartesiana in geometria
Sviluppi e conseguenze della Géométrie.
Teorema di Kempe. Qualunque curva
algebrica piana può essere descritta
mediante un sistema articolato .
La rivoluzione cartesiana in geometria
In che senso si può parlare
della rivoluzione cartesiana in geometria?
1. Dagli oggetti « nominati » agli oggetti
generici.
2. Dallo studio delle proprietà di un dato
oggetto alla ricerca di procedimenti
validi per tutti gli oggetti di una data
classe.
3. Necessità di una delimitazione degli
oggetti da studiare.
La rivoluzione cartesiana in geometria