CONTROLLI DIGITALI
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
SPECIFICHE DI PROGETTO
DI SISTEMI DI CONTROLLO
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
Specifiche per un Sistema di Controllo
Nel progetto di un sistema di controllo, il progettista cerca di far sì che il
sistema in retroazione complessivo abbia alcune caratteristiche statiche
e/o dinamiche desiderate. Queste caratteristiche vengono usualmente
assegnate come specifiche che il sistema deve soddisfare in condizioni
statiche
t ti h (o
( di regime)
i ) e durante
d
t i transitori.
t
it i Tali
T li specifiche
ifi h possono essere
definite sia nel dominio temporale che nel dominio frequenziale e
riguardano in generale:
•
precisione a regime: capacità di un sistema di seguire alcuni segnali
di riferimento con il minimo errore.
•
risposta
i
nell transitorio:
i i andamento
d
per tempi finiti
f
d
dell’uscita
ll’
del
d l
sistema in retroazione in risposta a tipici segnali in ingresso.
Cristian Secchi
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CD -- 2
Pag. 1
Specifiche per un Sistema di Controllo
•
sensitività parametrica: si desidera che le prestazioni del sistema
non vengano alterate da variazioni dei parametri rispetto ai valori
nominali.
•
reiezione
eie ione di disturbi:
dist bi capacità del sistema cont
controllato
ollato di ridurre
id e al
minimo l’influenza sull’uscita di eventuali disturbi che entrano
nell’anello di controllo, quali errori di misura, variazioni di carico,
rumore sulle variabili acquisite, ecc.;
•
azione di controllo: vincoli sull’ampiezza massima della variabile
manipolabile v(t).
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CD -- 3
Errori a Regime
Dato un sistema tempo-continuo chiuso in retroazione:
R(s) +
E(s)
-
C(s)
L( s ) = C ( s )G ( s ) =
G(s)
Y(s)
K (1 + q1s )(1 + q2 s ) L (1 + qm s)
s N (1 + p1s )(1 + p2 s ) L (1 + pn s)
Il tipo di un sistema è definito come il numero N di poli nell’origine del
guadagno d’anello
Cristian Secchi
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CD -- 4
Pag. 2
Errori a regime
Si consideri il seguente sistema di controllo digitale a retroazione unitaria:
HP(z)
R(z)
+
E(z)
C(z)
Hold
Y(z)
G(s)
-
Se il periodo di campionamento è scelto in modo opportuno ll’andamento
andamento
dell’uscita continua e di quella campionata hanno lo stesso
comportamento dinamico e quindi non c’è differenza al fine del progetto
del controllore nel controllare l’uscita tempo continua oppure l’uscita
campionata.
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CD -- 5
Errori a regime
La funzione d’anello del sistema di controllo digitale è data da
L( z ) = C ( z ) HP( z )
dove, nel caso del ricostruttore di ordine 0,
⎡ G (s) ⎤
HP ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎢
⎣ s ⎥⎦
Il tipo di un sistema discreto è definito come il numero di poli in z=1 del
guadagno d’anello
Cristian Secchi
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Pag. 3
Errori a Regime
E ( z ) = R ( z ) − L( z ) E ( z )
E( z) =
1
R( z )
1 + L( z )
Assumendo che il sistema sia stabile, è possibile calcolare l’errore a
regime mediante il teorema del valore finale
[
]
⎡
⎡ z − 1 R( z ) ⎤
R( z ) ⎤
ereg = lim k →∞ e(k ) = lim z →1 (1 − z −1 ) E ( z ) = lim z →1 ⎢(1 − z −1 )
⎥ = lim z →1 ⎢ z 1 + L( z ) ⎥
+
1
L
(
z
)
⎣
⎦
⎣
⎦
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Errore di posizione
Si consideri come riferimento il gradino di ampiezza unitaria di ampiezza r0
R( z ) =
r0
1 − z −1
LL’errore
errore a regime vale
⎡
⎡ r0 ⎤
r0 ⎤
1
= lim z →1 ⎢
e p = lim z →1 ⎢(1 − z −1 )
⎥
−1 ⎥
+
−
1
L
(
z
)
1
z
⎣
⎦
⎣1 + L( z ) ⎦
Definendo la costante di posizione come
k p = lim z →1 G ( z )
L’errore a regime ep diventa
ep =
r0
1+ k p
Per valori finiti di kp l’errore a regime è sempre non nullo, mentre si ha
ep=0 solo nel caso in cui kp=∞. La condizione kp=∞ è verificata per sistemi
di tipo 1, 2, …
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CD -- 8
Pag. 4
Errore di velocità
Si consideri come riferimento la rampa di pendenza r0
R( z ) =
Tz −1r0
(1 − z −1 ) 2
LL’errore
errore a regime vale
⎡
⎡
⎤
Tz −1r0 ⎤
Tr0
1
= lim z →1 ⎢
ev = lim z →1 ⎢(1 − z −1 )
⎥
−1 2 ⎥
−1
1 + L( z ) (1 − z ) ⎦
⎣ (1 − z ) L( z ) ⎦
⎣
Definendo la costante di velocità come
(1 − z −1 ) L( z )
kv = lim z →1
T
L’errore a regime ev diventa
r
ev = 0
kv
Per valori finiti di kv l’errore a regime in risposta alla rampa assume valori
finiti ma non nulli. Si ha ev=0 solo per kv=∞. Questa condizione è
verificata persistemi di tipo 2,3, . . . , mentre non lo è per sistemi di tipo 0
e 1. Si noti infine che per sistemi di tipo 0, si ha kv = 0 e quindi l’errore
diverge.
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Errore di accelerazione
Si consideri come riferimento un segnale parabolico:
R( z ) =
T 2 z −1 (1 + z −1 )r0
2(1 − z −1 ) 3
LL’errore
errore a regime vale
⎡
⎤
⎡
T 2 r0
1 T 2 z −1 (1 + z −1 )r0 ⎤
ea = lim z →1 ⎢(1 − z −1 )
⎥
⎥ = lim z →1 ⎢
−1 3
−1 2
1
L
(
z
)
2
(
1
z
)
(
1
z
)
L
(
z
)
−
+
−
⎣
⎦
⎣
⎦
Definendo la costante di accelerazione come
(1 − z −1 ) 2 G ( z )
k a = lim z →1
T2
L’errore a regime ea diventa
r
ea = 0
ka
Per valori finiti di ka risulta ea=0, mentre ea=0 solo per ka=∞, condizione
verificata per sistemi di tipo 3, 4, . . . . Per sistemi di tipo 0 e 1 si ha ka=0 e
quindi l’errore diverge.
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CD -- 10
Pag. 5
Esempio: Sistema di Tipo 0
E(z)
R(z) +
z −1
G( z) =
1 − 0.5 z −1
T = 0.25
-
Y(z)
G(z)
Le costanti di posizione, velocità e accelerazione sono date da:
kp
kv
ka
= lim z →1 G ( z ) = 2
(1 − z −1 )G ( z )
= lim z →1
=0
T
(1 − z −1 ) 2 G ( z )
= lim z →1
=0
T2
e quindi gli errori di posizione, velocità e accelerazione sono dati da (r0=1):
ep =
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1
1
1
= 0.333 ev = = ∞ ea = = ∞
1+ 2
0
0
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Esempio: Sistema di Tipo 0
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CD -- 12
Pag. 6
Esempio: Sistema di Tipo 1
G( z) =
0.3z −2
(1 − z −1 )(1 − 0.2 z −1 )
E(z)
R(z) +
-
Y(z)
G(z)
T = 0 .5
Le costanti di posizione, velocità e accelerazione sono date da:
kp
kv
ka
= lim z →1 G ( z ) = ∞
(1 − z −1 )G ( z )
= lim z →1
= 0.75
T
(1 − z −1 ) 2 G ( z )
= lim z →1
=0
T2
e quindi gli errori di posizione, velocità e accelerazione sono dati da (r0=1):
e p = 0 ev = 1.33 ea = ∞
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CD -- 13
Esempio: Sistema di Tipo 1
Cristian Secchi
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CD -- 14
Pag. 7
Specifiche sul transitorio
•
Il comportamento di un sistema dinamico stabile a partire da certe
condizioni iniziali (tipicamente di quiete) in risposta a sollecitazioni
esterne può essere distinto in una fase di evoluzione transitoria, di
durata limitata, ed una fase a regime, che viene raggiunta in pratica
per t sufficientemente grande. Le caratteristiche del transitorio sono di
particolare interesse per il progetto del sistema di controllo.
•
Solitamente, le specifiche che il sistema in retroazione deve soddisfare
nel transitorio sono riferite alla risposta del sistema al segnale a
gradino.
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CD -- 15
Specifiche sul transitorio
Nel caso tempo-continuo, si definiscono le seguenti caratteristiche temporali
della risposta a gradino:
•
•
•
•
•
•
tempo di salita Ts: tempo impiegato dall’uscita per passare dal 10% al
90% (o anche dal 5% al 95%) del valore finale;
tempo di assestamento Ta: tempo oltre il quale l’uscita si discosta
meno del 5% rispetto al valore finale (si può considerare, con
specifiche più restrittive, anche lo scostamento del 2%);
tempo di ritardo Tr: tempo richiesto perché l’uscita raggiunga il 50%
del valore finale;
istante di massima sovraelongazione Tm: istante di tempo in cui si ha
la massima sovraelongazione;
massimo sorpasso o massima sovraelongazione S: valore del massimo
scostamento dell’uscita rispetto al valore di regime c(∞). Solitamente
S è definito in valore percentuale rispetto al valore di regime:
S=
Cristian Secchi
Cristian Secchi
y (Tm ) − y (∞)
100
y (∞ )
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CD -- 16
Pag. 8
Specifiche sul transitorio
1.4
•Massima sovraelongazione (o massimo
sorpasso) S: differenza fra il valore massimo
raggiunto dall
dall'uscita
uscita e il valore finale;
normalmente si esprime in % del valore
finale.
•Tempo di salita Ts: tempo occorrente perchè
l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.
S
1
0.8
y(t)
•Tempo di ritardo Tr: tempo per raggiungere
il 50% del valore finale.
1.2
0.6
0.4
•Tempo di assestamento Ta: tempo
occorrente perché l'uscita rimanga entro il §
5% del valore finale.
•Istante di massima sovraelongazione Tm:
istante al quale si presenta la massima
sovraelongazione.
Cesare Fantuzzi Cristian Secchi
0.2
0
0
Ts
Tr
2
Ta
Tm
4
Tempo
Controlli Automatici - CA-05Sistemi Elementari
6
8
10
(t)
17
CD -- 17
Specifiche sul transitorio
•
Queste grandezze sono quantificate in rapporto a sistemi del secondo
ordine, e sono direttamente collegate alla posizione nel piano s della
coppia di poli del sistema.
•
Nel caso di sistemi di o
ordine
dine superiore,
s pe io e nella quasi
q asi totalità dei casi di
interesse pratico, è presente una coppia di poli dominanti, cioè di una
coppia di poli a parte reale (negativa) in modulo molto minore della
parte reale di altri poli eventualmente presenti nel sistema. In tal
caso, le stesse formule valide per i sistemi del secondo ordine
continuano ad essere adottate in modo approssimato.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
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CD -- 18
Pag. 9
Specifiche sul transitorio
•
Si consideri un sistema del secondo ordine
ωn2
G (s) = 2
s + 2δωn s + ωn2
dove δ è il coefficiente di smorzamento e ωn è la
pulsazione naturale
X
p1, 2 = σ ± jω
ωn = σ 2 ± ω 2
σ
δ =−
2
σ ±ω2
ωn
X
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Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
•
Tempo di salita
•
Istante di Massimo Sorpasso
•
massima sovraelongazione percentuale
S % = 100e
•
−
πδ
1−δ 2
Tempo di assestamento
(al 2%)
(al 5%)
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Cristian Secchi
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Pag. 10
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
•
La massima sovraelongazione percentuale dipende unicamente dal
parametro δ.
•
Data una specifica sulla sovraelongazione percentuale S%<S1, è
possibile trovare
t o a e un
n δ = δ1 tale pe
per ccuii
S1 = 100e
•
−
πδ1
1−δ12
É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δ costante (δ = δ1)
entro cui devono stare i poli del sistema affinchè la specifica sulla
massima sovraelongazione percentuale sia soddisfatta
Cristian Secchi
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CD -- 21
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
•
Il tempo di assestamento dipende dal parametro δωn=−σ=−Re(pi).
•
Data una specifica sul tempo di assestamento Ta<T1, è possibile
trovare un valore δωn = δ1ωn1 tale per cui
T1 = δ1ωn1
•
É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δωn costante
(δωn = δ1ωn1) a sinistra del quale devono stare i poli del sistema
affinchè la specifica sul massimo tempo di assestamento sia
soddisfatta.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
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CD -- 22
Pag. 11
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
•
Tutte queste specifiche hanno ovviamente la loro corrispondenza nel
caso discreto. Le definizioni rimangono le stesse, anche considerando
il fatto che solitamente il sistema controllato (da un controllore
digitale) è un sistema continuo, la cui uscita è quindi qualitativamente
simile a quella di un sistema del 2
2° ordine.
•
Considerando la Z-trasformata della funzione G(s), si possono fare
alcune interessanti considerazioni sull’andamento della risposta in
funzione della posizione dei poli sul piano z, giungendo, come nel caso
tempo-continuo, alla definizione di luoghi a δ costante e a δωn
costante sul piano z.
•
Sfruttando la relazione tra il piano s e il piano z, è possibile trovare sul
piano z i luoghi entro i quali devono stare i poli affinché Ta<T1 e
S%<S1
Cristian Secchi
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CD -- 23
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
•
Nella figura a sinistra è evidenziata la regione entro la quale devono
stare i poli di un sistema del secondo ordine per soddisfare le
specifiche su tempo di assestamento, massima sovraelongazione
percentuale. Nella figura a destra è evidenziata la regione
corrispondente sul piano z.
1
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CD -- 24
Pag. 12
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