Progetto DPC-Reluis 2005-2008
Linea 3: Valutazione e riduzione del rischio sismico di ponti esistenti
LINEE GUIDA E MANAUALE APPLICATIVO
PER
LA VALUTAZIONE DELLA SICUREZZA SISMICA
E IL CONSOLIDAMENTO
DEI PONTI ESISTENTI IN C.A.
Marzo 2009
2
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Il presente documento rappresenta il prodotto finale della Linea 3 del Progetto DPCReluis 2005-2008. Esso è stato redatto a cura dell’unità di ricerca dell’Università di Roma
La Sapienza e riflette il contributo delle discussioni avute nello sviluppo del progetto con i
partecipanti alla Linea di seguito indicati:
-
Politecnico di Torino, Responsabile Prof. Giuseppe Mancini
-
Università di Pavia, Responsabile Prof. Alberto Pavese
-
Università G. D’Annunzio di Chieti-Pescara, Responsabile Prof. Enrico Spacone
-
Università di Roma Tre, Responsabile Prof. Renato Giannini
-
Università di Cosenza, Responsabile Prof. Alfonso Vulcano
All’Università di Roma Tre è dovuto l’esempio applicativo relativo al viadotto Rio Torto,
nel Capitolo 4.
Università di Roma La Sapienza
prof. ing. Paolo E. Pinto
dott. ing. Paolo Franchin
dott. ing. Alessio Lupoi
Capitolo 1 : Introduzione ...............................................................................................................1
1.1 Premessa.............................................................................................................................1
1.2 Danni alle infrastrutture di trasporto nei terremoti recenti .......................................4
Capitolo 2 : Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti .............................9
2.1 Obiettivo delle linee guida...............................................................................................9
2.2 Sicurezza e prestazioni attese..........................................................................................9
2.3 Azione sismica.................................................................................................................12
2.3.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione ................................................................12
2.3.2 Spettro di risposta elastico in spostamento .................................................................15
2.3.3 Spostamenti massimi assoluti e relativi del terreno....................................................15
2.3.4 Storie temporali del moto sismico ................................................................................16
2.3.5 Variabilità spaziale del moto ..........................................................................................20
2.3.6 Considerazione della componente verticale dell’azione sismica ..............................20
2.3.7 Combinazione delle componenti ortogonali del sisma..............................................20
2.3.8 Combinazione dell'azione sismica con le altre azioni ................................................21
2.4 Valutazione della sicurezza............................................................................................21
2.4.1 Dati necessari per la valutazione ...................................................................................21
2.4.2 Livello di conoscenza e fattore di confidenza.............................................................23
2.4.3 Modello strutturale ..........................................................................................................24
2.4.4 Metodi di analisi...............................................................................................................28
2.4.5 Verifiche di sicurezza ......................................................................................................37
Capitolo 3 : Rinforzo sismico dei ponti .....................................................................................43
3.1 Introduzione ....................................................................................................................43
3.2 Rinforzo degli appoggi...................................................................................................43
3.3 Rinforzo delle pile...........................................................................................................44
3.3.1 Incamiciatura in calcestruzzo.........................................................................................45
3.3.2 Incamiciatura in acciaio ..................................................................................................46
3.3.3 Fasciature con FRP .........................................................................................................48
3.3.4 Trasformazione in pila a setto .......................................................................................49
3.3.5 Precompressione verticale..............................................................................................50
3.4 Rinforzo di spalle e fondazioni.....................................................................................50
3.4.1 Spalle..................................................................................................................................50
3.4.2 Fondazioni ........................................................................................................................51
Capitolo 4 : Esempi applicativi....................................................................................................53
4.1 Introduzione ....................................................................................................................53
4.2 Viadotto con pile a fusto unico: stato di fatto ...........................................................53
4.2.1 Descrizione dell’opera.....................................................................................................53
4.2.2 Definizione dell’azione sismica di verifica...................................................................54
4.2.3 Analisi ................................................................................................................................56
4.2.4 Verifica delle pile .............................................................................................................61
4.2.5 Verifica degli appoggi......................................................................................................64
4
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
4.2.6 Verifica delle fondazioni.................................................................................................64
4.2.7 Conclusioni .......................................................................................................................67
4.3 Viadotto con pile a fusto unico: allargamento ...........................................................69
4.3.1 Descrizione dell’opera.....................................................................................................69
4.3.2 Analisi ................................................................................................................................69
4.3.3 Verifica delle pile .............................................................................................................73
4.3.4 Intervento di incremento di duttilità delle pile............................................................75
4.3.5 Isolamento sismico..........................................................................................................78
Verifica dei dispositivi ..............................................................................................................84
Verifica delle fondazioni ..........................................................................................................84
Riepilogo risultati.......................................................................................................................84
4.4 Viadotto con pile a telaio...............................................................................................86
4.4.1 Descrizione dell’opera.....................................................................................................86
4.4.2 Definizione dell’azione sismica .....................................................................................88
4.4.3 Metodo di analisi..............................................................................................................94
4.4.4 Risultati delle analisi ........................................................................................................95
4.4.5 Verifica delle pile .............................................................................................................98
Riferimenti bibliografici ..............................................................................................................105
Appendice A : Variabilità spaziale del moto ...........................................................................107
A.1
Introduzione .............................................................................................................107
A.2
Descrizione del modello .........................................................................................107
A.3
Generazione di campioni del vettore di moti asincroni ....................................108
A.4
Metodi di analisi .......................................................................................................108
A.4.1 Dinamica aleatoria lineare ...........................................................................................109
A.4.2 Analisi dinamica al passo con campioni del modo correlati ..................................109
A.4.3 Analisi con spettri di risposta multipli.......................................................................109
A.5
Esempio applicativo ................................................................................................112
Appendice B : Interazione terreno-struttura ...........................................................................113
B.1
Il fenomeno fisico....................................................................................................113
B.2
Modellazione ............................................................................................................115
B.2.1 Fondazioni superficiali .................................................................................................115
B.2.2 Fondazioni su pali.........................................................................................................118
B.2.3 Fondazioni a pozzo ......................................................................................................131
CAPITOLO 1: INTRODUZIONE
1.1 PREMESSA
Nel nostro Paese la sensibilità delle autorità preposte e del mondo professionale al
problema della vulnerabilità sismica delle infrastrutture di trasporto e nello specifico dei
ponti si può considerare molto recente. Una possibile spiegazione è data dal fatto che i
danni ai ponti nei due terremoti maggiori avvenuti negli ultimi trent’anni: Friuli 1976 e
Irpinia 1980, non hanno avuto conseguenze di particolare rilievo. Nel Friuli la
realizzazione dell’infrastruttura autostradale era appena agli inizi. Nel terremoto Irpino, le
opere d’arte presenti nel tratto appenninico dell’autostrada A16 subirono conseguenze di
qualche rilievo, più che altro dovute all’inadeguatezza degli apparati di vincolo, che
furono prontamente rimosse dall’Ente proprietario per mezzo di una sistematica
adozione dell’allora innovativa tecnica dell’isolamento sismico.
Peraltro occorre osservare che il ritardo evidenziato nella sensibilizzazione al problema
non è un’esclusiva del nostro Paese. Basti ricordare che dopo il terremoto di San
Fernando nel 1971, che produsse spettacolari collassi di ponti di recentissima costruzione
(Fig. 1.1), furono necessari dodici anni perché venisse pubblicato dalla Federal Highway
Administration (FHWA) un primo documento intitolato “Retrofitting guidelines for
Highway Bridges” (ATC, 1983). Ancora nel 1989, nonostante fosse già stato messo in
atto un vasto programma di rinforzo preventivo (rivelatosi del tutto inadeguato), il
terremoto di Loma Prieta evidenziò deficienze di natura sostanziale nelle opere da ponte
in California (Fig. 1.2).
A partire dal 1992, su finanziamento della FHWA, è stato intrapreso un ampio
programma di ricerca volto ad approfondire i diversi aspetti del problema della
valutazione e riduzione della vulnerabilità sismica dei ponti.
Il primo prodotto di tale ricerca è comparso nel 1995 con il titolo “Seismic Retrofit
Manual for Highway Bridges” (FHWA-RD-94-052), e i successivi sviluppi trovano oggi
compimento nei documenti “Seismic Retrofitting Manual for Highway Structures: Part 1
Bridges” e “Seismic Retrofitting Manual for Highway Structures: Part 2 Retaining
structures, Slopes, Tunnels, Culverts and Roadways” (MCEER-FHWA, 2005).
2
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Fig. 1.1 Terremoto di San Fernando (1971).
In Europa il sistema degli Eurocodici contiene un documento normativo di moderna
concezione allineato ai recenti criteri prestazionali per la progettazione dei ponti di nuova
costruzione, l’Eurocodice 8 Parte 2 (CEN, 2005), ma per quanto riguarda l’esitente si
limita alla valutazione e al rinforzo degli edifici, con l’Eurocodice 8 Parte 3 (CEN, 2005).
Quando nel 2003 il quadro normativo Italiano ha subito un deciso ri-orientamento nella
direzione dell’armonizzazione alla normativa Europea, la priorità è stata data alla
predisposizione di testi per il progetto del nuovo, sia per gli edifici che per i ponti, e per la
valutazione dell’esistente, ma limitatamente agli edifici. A loro volta tali testi hanno
costituito il riferimento per la redazione del capitolo 7 della vigente normativa tecnica,
emanata dal Ministero delle Infrastrutture nel 2008 (DM2008).
Parallelamente, con finanziamento del Dipartimento di Protezione Civile (DPC) alla Rete
dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica (Reluis), è stato intrapreso un
programma di ricerca di ampio respiro. La prima fase di tale progetto si è svolta nel
triennio 2005-2008, e, tra le linee di ricerca, era presente una linea specifica sul tema
“Valutazione e riduzione del rischio sismico dei ponti esistenti”. L’obiettivo dichiarato di
questa linea era la produzione di un testo di linee-guida riguardanti tale argomento.
L’esigenza di avere a disposizione linee guida sull’argomento risale alla data stessa
dell’emanazione dell’Ordinanza 3274, che prevedeva entro cinque anni dalla sua
emanazione l’esecuzione di valutazioni della sicurezza sismica delle opere strategiche. A
tale scopo tra l’altro il Dipartimento di Protezione Civile ha recentemente affidato
all’ANAS il compito di valutare tutte le opere presenti sulla rete di sua pertinenza. Il tema
è poi di pressante attualità per i molti lavori di adeguamento funzionale (allagamento) in
corso sulla rete autostradale da parte delle Concessionarie.
Capitolo 1: Introduzione
3
Fig. 1.2 Terremoto di Loma Prieta (1989): sopra, collasso del Cypress Viaduct; sotto,
perdita di appoggio nel viadotto di approccio al East Bay Bridge.
Lo scopo del presente manuale è quello di fornire un aiuto per la valutazione dei ponti
esistenti in accordo alle citate linee guida, il testo delle quali è presentato nel Capitolo 2.
Per quanto riguarda il progetto dell’adeguamento, il Capitolo 3 illustra i più frequenti tipi
di interventi che si rendono necessari per correggere le deficienze rilevate nella
valutazione. Il Capitolo 4 presenta tre esempi di applicazione delle linee guida a ponti con
4
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
pile a fusto unico, sia nello stato di fatto che nell’ipotesi di allargamento. Completano il
manuale due appendici che propongono metodi per trattare due aspetti più specialistici
dell’analisi delle strutture da ponte: l’effetto del moto non-sincrono alla base delle pile e
l’interazione, sia cinematica che inerziale, tra struttura e terreno.
1.2 DANNI ALLE INFRASTRUTTURE DI TRASPORTO NEI TERREMOTI
RECENTI
Questo paragrafo descrive, senza pretesa di completezza, le tipologie di danno che più
frequentemente sono state osservate nei recenti eventi distruttivi citati.
Per quanto riguarda gli impalcati, i quali non hanno generalmente una funzione
preminente di resistenza anti-sismica, i danni sono essenzialmente legati a errori di
concezione cinematica e comprendono il martellamento tra campate adiacenti e la perdita
di appoggio. Quest’ultima è dovuta a una lunghezza d’appoggio inadeguata agli
spostamenti sotto sisma, e all’assenza o a un difetto di resistenza di eventuali ritegni
sismici. Questo danno, molto frequente, risulta in collassi spettacolari come mostrato in
Fig. 1.2 e Fig. 1.3. La necessità di un sovradimensionamento degli appoggi risulta evidente
dalla Fig. 1.4, in cui si può osservare la cerniera di un ponte ad arco a via inferiore appena
realizzato, tagliata di netto per effetto delle azioni orizzontali.
Fig. 1.3 Perdita di appoggio: ponte Nishinomiya-ko, Giappone, Kobe 1995. In questo caso
erano presenti ritegni sismici assolutamente inadeguati costituiti da bulloni colleganti le
lamiere terminali dell’arco e del traverso della campata collassata.
Capitolo 1: Introduzione
5
Fig. 1.4 Rottura dell’appoggio: ponte Higashi-Kobe, Giappone, Kobe 1995.
I danni di varia entità osservati sulle pile sono generalmente dovuti a difetti di duttilità
flessionale e di resistenza a taglio. Il collasso avviene molto spesso seguendo una
sequenza di snervamento flessionale della pila, degrado ciclico della sezione per
insufficiente confinamento e conseguente decremento della resistenza a taglio. La rottura
osservata denuncia un esaurimento della duttilità flessionale (Fig. 1.5), spesso combinato
con il superamento della resistenza a taglio (Fig. 1.6). Molto più raramente, su pile tozze,
sono stati osservati collassi a taglio dominante (Fig. 1.7).
Fig. 1.5 Collasso della cerniera plastica per eccesso di deformazione flessionale ciclica,
Viadotto Gothic Avenue (terremoto di Northridge, California, 1994)
6
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Fig. 1.6 Collasso per flessione e taglio, Viadotto Gothic Avenue (terremoto di Northridge,
California, 1994).
Fig. 1.7 Collasso per taglio di una pila: viadotto Wushi (terremoto di Chi Chi, Taiwan,
1999).
Le rotture descritte portano a deformazioni residue anche elevate, con fuori-piombo
significativi. Nel caso di impalcati di grande larghezza con pile a fusto unico, anche a
causa del momento d’inerzia prodotto dalla rotazione dell’impalcato, la probabilità di un
collasso completo per perdita di equilibrio è molto alta (Fig. 1.8).
La Fig. 1.9 mostra una delle pile del viadotto Hanshin della Fig. 1.8. In questo caso il
cedimento della sezione di base è dovuto anche alla frattura delle saldature tra le barre
longitudinali.
Capitolo 1: Introduzione
7
Fig. 1.8 Terremoto di Kobe, Giappone (1995): collasso del viadotto urbano Hanshin.
Fig. 1.9 Terremoto di Kobe, Giappone (1995): viadotto urbano Hanshin, dettaglio.
Nel caso particolare delle pile a telaio, relativamente diffuso tra i viadotti più vecchi anche
nel nostro Paese, un ulteriore elemento di vulnerabilità rispetto a quelli descritti è dato
dall’inadeguato dimensionamento dei nodi trave-pilastro. Un caso di particolare evidenza
è mostrato nella Fig. 1.10.
8
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Fig. 1.10 Terremoto di Kobe, Giappone (1995): danni su una pila a telaio, viadotto
Shinkansen a Kobe.
CAPITOLO 2: PROPOSTA DI LINEE GUIDA PER LA
VALUTAZIONE DEI PONTI ESISTENTI
2.1 OBIETTIVO DELLE LINEE GUIDA
Nonostante la loro apparente semplicità, in molti casi le strutture da ponte sono
caratterizzate da una risposta dinamica irregolare. Fa eccezione la categoria dei ponti con
impalcato a travi semplicemente appoggiate, che costituisce peraltro un’importante porzione
del patrimonio di opere d’arte della rete stradale e autostradale nazionale. Per tale
categoria le presenti linee guida contengono metodi accurati e di semplice applicazione.
Metodi di analisi più complessi di applicabilità generale sono forniti per opere di schema
statico diverso, quali ad esempio ponti a travata continua, anche ad asse curvilineo o
attraversanti terreni fortemente disomogenei, ponti a stampella, ad arco, ad arco-telaio.
Questo documento riguarda la valutazione della sicurezza sismica e il progetto degli
interventi di adeguamento dei ponti con struttura in cemento armato, cemento armato
precompresso e acciaio.
Le presenti linee guida sono coerenti con le Norme Tecniche per le Costruzioni
(DM14/1/2008, nel seguito indicato brevemente come “Norme”), le relative Istruzioni
per l’applicazione (in particolare l’appendice C8.H) e l’Eurocodice 8 Parte 2 (EN19982:2005), e forniscono indicazioni di maggiore dettaglio, presentando metodi e strumenti
di analisi e verifica specifici.
2.2 SICUREZZA E PRESTAZIONI ATTESE
In accordo con la filosofia della sicurezza alla base delle norme nazionali e internazionali
vigenti (DM2008, Eurocodici) le opere devono essere dotate di un livello di protezione
antisismica differenziato in funzione della loro importanza, e, quindi, delle conseguenze
più o meno gravi di un loro danneggiamento per effetto di un evento sismico.
La sicurezza (livello di protezione) è determinata dall’associazione di una prestazione
attesa (stato limite) con un livello di intensità sismica caratterizzato da una assegnata
probabilità di superamento PVR in un assegnato periodo di tempo (vita di riferimento,
VR ).
In accordo al DM2008 (para 2.4), la vita di riferimento si ottiene moltiplicando la vita
nominale VN dell’opera, funzione del “tipo di costruzione”, per un coefficiente CU che è
funzione della “classe d’uso”: VR = CU VN . I valori di VN e CU sono riportati nella
Tabella 2.1 e Tabella 2.2.
10
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
La probabilità di superamento massima accettabile nella vita di riferimento è data nelle
norme in funzione dello stato limite considerato. Il DM2008 definisce quattro stati limite,
due di esercizio e due ultimi (la cui definizione è riportata nel seguito). I valori di PVR
sono quelli indicati in Tabella 2.3.
Tabella 2.1 Vita nominale (DM2008, T2.4.I).
Tipo di costruzione
Vita nominale (anni)
Opere provvisorie, fasi di costruzione ≤ 10
Opere ordinarie
≥ 50
Opere strategiche
≥ 100
Tabella 2.2 Coefficiente d’uso (DM2008, T2.4.II).
Classe d’uso I II III IV
CU
0.7 1.0 1.5 2.0
Tabella 2.3 Valori di PVR (DM2008, T3.2.I).
Stati limite
Stati limite di Esercizio SLE SLO (operatività)
Stati limite Ultimi SLU
PVR
81%
SLD (danno)
63%
SLV (salvaguardia della vita) 10%
SLC (collasso)
5%
Nella Norma l’intensità sismica è specificata in termini del periodo medio di ritorno TR .
Quest’ultimo si ricava in funzione della probabilità PVR e di VR tramite la relazione:
(
TR = − V R ln 1 − PVR
)
(2.1)
Per le strutture esistenti è generalmente ammesso verificare i soli stati limite ultimi, in
alternativa lo stato limite di salvaguardia della vita (SLV) o quello di collasso (SLC)
(DM2008, para 8.3), così definiti:
-
SLV: “A seguito del terremoto la costruzione subisce rotture e crolli dei
componenti non strutturali e impiantistici, e significativi danni dei componenti
strutturali cui si associa una perdita significativa di rigidezza nei confronti delle
azioni orizzontali; la costruzione conserva invece una parte della resistenza e
rigidezza per azioni verticali e un margine di sicurezza nei confronti del collasso
per
azioni
sismiche
orizzontali”
(DM2008,
para
3.2.1).
-
SLC: “A seguito del terremoto la costruzione subisce gravi rotture e crolli dei
componenti non strutturali e impiantistici, e danni molto gravi dei componenti
strutturali; la costruzione conserva ancora un margine di sicurezza per azioni
verticali e un esiguo margine di sicurezza nei confronti del collasso per azioni
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
11
orizzontali” (DM2008, para 3.2.1)
Fanno eccezione le opere a carattere strategico, cioè ponti in classe d’uso III e IV, per i
quali è necessario verificare che a seguito di un evento sismico intenso sia assicurata la
completa transitabilità. Tale circostanza è prevista dalla norma che prescrive la verifica
degli stati limite di esercizio per un valore dell’azione sismica caratterizzato da una PVR
inferiore a quella indicata (massima) “in funzione del grado di protezione che si vuole
raggiungere”.
Lo stato limite associato al mantenimento della transitabilità è lo stato limite di danno, cui
la norma associa il valore massimo PVR =63%. Tale stato limite è definito nella Norma
come segue:
SLD: “a seguito del terremoto la costruzione nel suo complesso, includendo
gli elementi strutturali, quelli non strutturali, le apparecchiature rilevanti alla
sua funzione, subisce danni tali da non mettere a rischio gli utenti e da
non compromettere significativamente la capacità di resistenza e di rigidezza nei
confronti delle azioni verticali ed orizzontali, mantenendosi immediatamente
utilizzabile pur nell’interruzione d’uso di parte delle apparecchiature.” (DM2008,
para 3.2.1)
-
La capacità di rigidezza e resistenza alle azioni verticali non risulta compromessa se per effetto
dell’azione sismica l’escursione inelastica massima (e quindi gli spostamenti residui) risulta limitata.
Indicazioni quantitative sui limiti di duttilità sono fornite al paragrafo 2.4.5.
La scelta di adottare per un’opera un valore di PVR <63% per lo SLD (criterio di mantenimento della
transitabilità per sisma intenso) spetta alle Autorità competenti.
Esempio 2-1. Un ponte di importanza normale appartiene alle opere ordinarie, cui corrisponde
una vita nominale V N ≥ 50 anni. Se l’interruzione del traffico sul ponte (superamento dello
SLV/SLC) non provoca situazioni di emergenza (ad es. il ponte non costituisce l’unica via di
accesso a un centro abitato) esso ricade nella classe d’uso II, cui corrisponde un coefficiente
C U = 1 . La vita di riferimento vale pertanto VR = V N C R = 50 ⋅ 1 = 50 anni. Per tale ponte è
possibile verificare solo un stato limite ultimo, SLV o SLC. Con riferimento allo SLV la probabilità
di superamento massima ammessa vale 10%. Il corrispondente periodo medio di ritorno vale 475
anni.
Esempio 2-2. Un viadotto di caratteristiche ordinarie, classificato come strategico dal punto di
vista funzionale, ha ancora una vita nominale di 50 anni ma ricade in classe d’uso IV cui
corrisponde un coefficiente C U = 2.0 . Tale opera deve essere verificata sia per uno stato limite
ultimo che per uno di esercizio. Per lo SLV la probabilità del 10% in VR = 2 ⋅ 50 = 100 anni
corrisponde a un periodo medio di ritorno di 949 anni. Per lo SLD una probabilità di superamento
del 50%<63% in 100 anni corrisponde a un periodo medio di ritorno di 144 anni ( TR = 100 anni
per PV = 63% ).
R
12
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
2.3 AZIONE SISMICA
Nelle Norme l’azione sismica di verifica è definita a partire dalla “pericolosità sismica di
base” del sito della costruzione, specificata in termini di spettro di risposta elastico in
accelerazione della componente orizzontale.
In particolare le forme spettrali sono definite, per ciascuna delle probabilità di
superamento PVR nel periodo di riferimento, a partire dai valori dei seguenti
parametri locali di sito (riferiti a condizioni di campo libero su suolo rigido con
superficie topografica orizzontale):
•
•
a g accelerazione orizzontale massima al sito
F0 valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione
orizzontale
• TC* periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione
orizzontale.
Tali valori sono forniti in allegato alle Norme (DM2008, all.B) su un reticolo di punti
che ricopre il territorio nazionale definiti in termine di latitudine e longitudine1.
In accordo alle Norme l’azione sismica è definita mediante tre componenti, due
orizzontali X e Y e una verticale Z, descritte alternativamente in termini di:
-
spettro di risposta elastico in accelerazione (DM2008, para 3.2.3.2)
spettro di risposta elastico in spostamento (DM2008, para 3.2.3.2.3)
storie temporali del moto sismico (DM2008, para 3.2.3.6).
2.3.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione
Si distinguono ai fini dell’amplificazione locale del moto sismico sette “categorie di
sottosuolo” e quattro “condizioni topografiche”, riportate rispettivamente nella Tabella
2.4 e nella Tabella 2.5 (dove V S 30 = 30 / ∑ h i / V si , N SPT , c u e i sono, rispettivamente,
la velocità delle onde di taglio in m/s media sui 30m superiori, il numero di colpi nella
prova penetrometrica standard, la coesione non drenata in kPa, e l’inclinazione media
della superficie topografica). Per le ultime due categorie, S1 e S2, è richiesta un’analisi
specifica per la definizione per l’azione sismica.
Nell’allegato i valori dei parametri sono forniti in funzione del periodo medio di ritorno TR . Se il
valore fornito non è tra quelli in tabella si può interpolare in accordo alla formula:
1
p
T ⎛
T
log p = log p1 + log 2 log R ⎜⎜ log R 2
p1
TR 1 ⎝
TR 1
⎞
⎟⎟
⎠
−1
nella quale p è il valore del parametro di interesse ( a g , F0 o TC* ), TR1 e TR 2 sono i valori di TR
più prossimi per i quali si dispone dei valori di p .
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
13
Tabella 2.4 Categoria di suolo (DM2008 T3.2.II, III e V).
Descrizione
(abbreviata)
VS30
A
Ammassi rocciosi affioranti o
terreni molto rigidi,
>800
B
Rocce tenere e depositi di
terreni a grana grossa/fine
molto addensati/consistenti,
360-800
Depositi di terreni a grana
grossa/fine mediamente
addensati/consistenti
180-360
Depositi di terreni a grana
grossa/fine scarsamente
addensati/consistenti
<180
C
D
E
S1
S2
Terreni di tipo C o D con
spessore non superiore a
20m e sottosuolo rigido
Terreni con inclusione di
strato (>8m) a grana fine
bassa consistenza o strato
(>3m) torba o argilla
organica
SS
CC
1.0
1.0
1.0 ≤ 1.4 − 0.4 F0
1.0 ≤ 1.7 − 0.6 F0
0.9 ≤ 2.4 − 1.5F0
1.0 ≤ 2.0 − 1.1F0
ag
g
ag
g
ag
g
ag
g
≤ 1.2
1.1(TC* )
≤ 1.5
1.05(TC* )
≤ 1.8
1.25(TC* )
≤ 1.6
1.15(TC* )
−0.2
−0.33
− 0. 5
−0.4
<100
Sono richiesti studi specifici
Terreni suscettibili di
liquefazione
Tabella 2.5 Topografia (DM2008 T3.2.IV e VI)
Cat.
Superficie topografica
Ubicazione opera
ST
T1
Pianeggiante (i<15°)
T2
Pendio (i>15°)
In corrispondenza della sommità del pendio
1.2
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto
minore che alla base e 15°<i (falde)<30°
In corrispondenza della cresta del rilievo
1.2
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto
minore che alla base e i (falde)>30°
In corrispondenza della cresta del rilievo
1.4
1.0
14
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
La definizione dello spettro di risposta elastico per le componenti orizzontali è illustrata
in Fig. 2.1, nella quale sono anche riportate le espressioni analitiche dei vari rami.
a g , F0 , TC* da all.B tabella 1
⎡T
1 ⎛ T ⎞⎤
⎜1 − ⎟ ⎥
a g S S STηF0 ⎢ +
T
η
F0 ⎜⎝ TB ⎟⎠⎦
B
⎣
S S , Cc dalla tabella 3.2.V
a g S S STηF0
ST dalla tabella 3.2.VI
η = 10 (5 + ξ ) ≥ 0.55
a g S S STηF0
a g S S STηF0
a g S S STη
TB = TC 3
TC
T
TC = CC TC*
TC TD
T2
TD = 4.0 a g g + 1.6
Fig. 2.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione delle componenti orizzontali in
accordo al DM2008.
Per quanto riguarda la componente verticale la definizione analitica è la stessa con il
coefficiente di amplificazione F0 sostituito dal coefficiente FV = 1.35F0 a g / g . Inoltre i
valori di S S = 1.0 e dei periodi TB = 0.05s , TC = 0.15s , TD = 1.0s sono indipendenti dalla
categoria di sottosuolo (DM2008, T3.2.VII).
E’ attualmente disponibile nel sito http://www.infrastrutturetrasporti.it/consuplp il
programma “Spettri di risposta” che fornisce gli spettri di risposta delle componenti
orizzontali dell’azione sismica di progetto per il generico sito del territorio nazionale.
Esempio 2-3. Con riferimento alle opere nell’Esempio 2-1 e nell’Esempio 2-2, la Fig. 2.2 mostra
gli spettri di risposta ottenuti per il sito di Barberino al Mugello. Il rapporto tra le accelerazioni di
picco al suolo vale a g ,1828 / a g , 475 = 1.57 (valore coincidente con la media per il territorio nazionale;
i valori minimo e massimo di tale rapporto valgono circa 1.33 e 1.76).
Sa (g)
0,8
0,7
Ponte ordinario (Vr = 50, Tr=475)
0,6
Ponte strategico (Vr = 200, Tr = 1828)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
Periodo T (s)
Fig. 2.2 Spettri di verifica per lo SLV per le opere dell'Esempio 2.1
e dell’Esempio 2.2 per il sito di Barberino al Mugello.
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
15
2.3.2 Spettro di risposta elastico in spostamento
La definizione dello spettro di risposta elastico per le componenti orizzontali è illustrata
in Fig. 2.3, nella quale sono anche riportate le espressioni analitiche dei vari rami (dove
d g è lo spostamento massimo del suolo). Il valore del periodo TE è funzione della
categoria di suolo. In particolare esso vale 4.5s, 5.0s o 6.0s rispettivamente per le classi A,
B o C/D/E.
S De
⎡
T − TE ⎤
d g ⎢ F0η + (1 − F0η )
⎥
T
F − TE ⎦
⎣
d g = 0.025a g S S ST TCTD
d g F0η
dg
⎛ T ⎞
S e (T )⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
TB
TE
TD
TC
2
TF = 10s
Fig. 2.3 Spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali in
accordo al DM2008.
2.3.3 Spostamenti massimi assoluti e relativi del terreno
Lo spostamento massimo assoluto del terreno vale:
d g = 0.025a g S s S T TC TD
(2.2)
Lo spostamento relativo tra due punti i e j distanti x è dato dall’espressione:
(
)[
(
d ij (x ) = d ij 0 + d ij , max − d ij 0 1 − exp − 1.25(x /V s )0.7
)]
(2.3)
d ij 0 = 1.25 d gi − d gj
(2.4)
d ij ,max = 1.25 d gi2 + d gj2
(2.5)
dove dij0 e dij,max sono rispettivamente lo spostamento relativo tra punti a piccola distanza
(x<20m) e quello massimo nell’ipotesi di completa indipendenza del moto in i e j. Gli
spostamenti dgi e dgj si calcolano secondo la (2.2) in accordo alle caratteristiche locali di
suolo.
16
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
2.3.4 Storie temporali del moto sismico
Se la valutazione della sicurezza sismica viene effettuata mediante analisi dinamiche al
passo, l’azione sismica deve essere rappresentata mediante storie temporali del moto
sismico (normalmente in termini di accelerazione, denominati accelerogrammi, ma anche
in termini di velocità e spostamenti, vedi punto 2.3.5). Gli accelerogrammi potranno
essere artificiali, simulati o naturali (registrati).
Nel caso sia necessaria un’analisi spaziale l’azione sismica deve essere rappresentata da
gruppi di tre storie temporali diverse agenti contemporaneamente nelle tre direzioni
assunte come principali.
Condizioni di coerenza con lo spettro elastico in accelerazione
Gli accelerogrammi, artificiali, simulati o naturali (registrati), devono essere coerenti con
lo spettro di risposta elastico in accelerazione di cui al punto 2.3.1. La coerenza con lo
spettro è da verificare in base alla media delle ordinate spettrali ottenute con i diversi
accelerogrammi per un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente ξ del 5%.
L'ordinata spettrale media non dovrà presentare uno scarto in difetto superiore al 10%,
rispetto alla corrispondente ordinata dello spettro elastico, in alcun punto dell'intervallo di
periodi 0,15s÷2,0s e 0,15s÷2T, in cui T è il periodo fondamentale di vibrazione della
struttura in campo elastico. Nel caso di ponti con isolamento sismico, il limite superiore
dell’intervallo di coerenza è assunto pari a 1,2 Tis , essendo Tis il periodo equivalente della
struttura isolata, valutato per gli spostamenti del sistema d’isolamento prodotti dallo
stato limite in esame.
Accelerogrammi artificiali
Il numero di accelerogrammi artificiali o, per analisi spaziali, di gruppi di accelerogrammi
artificiali, deve essere almeno pari a 5, salvo i casi specificati al successivo punto 2.3.5. Nel
caso di gruppi di accelerogrammi ogni componente potrà essere generata in maniera
indipendente con gli stessi criteri (di spettro-compatibilità, durata, etc).
La durata degli accelerogrammi artificiali deve essere coerente con i valori della magnitudo
e degli altri parametri fisici che determinano l’intensità sismica locale in termini di spettro
di risposta (ovvero i parametri a g , TC* e CC ). In assenza di studi specifici la durata della
parte pseudo–stazionaria degli accelerogrammi deve essere almeno pari a 10s. La parte
pseudo-stazionaria deve essere preceduta e seguita da tratti di ampiezza crescente da zero
e decrescente a zero.
Accelerogrammi naturali registrati
Il numero di accelerogrammi naturali registrati o, per analisi spaziali, di terne di
accelerogrammi naturali registrati, deve essere almeno pari a 10.
L’uso di accelerogrammi naturali registrati è ammesso alle seguenti condizioni: a) le
registrazioni siano relative ad eventi sismici con caratteristiche sismogenetiche
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
17
(magnitudo, stile di fagliazione) simili a quelle del sito dove è ubicata l’opera in esame e b)
che siano soddisfatte le condizioni di coerenza con lo spettro di riferimento sopra
riportate.
Registrazioni naturali del moto sismico possono essere trovate ad esempio in una delle due basi dati
seguenti:
-
European Strong Motion Data Base (ESD), presso l’Imperial College di Londra
http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htm
-
Strong Motion Catalogne, presso il Pacific Earthquake Engineering Research Center
http://peer.berkeley.edu/smcat/
Il programma REXEL (Iervolino et al, 2008) agevola molto la selezione delle registrazioni compatibili
con lo spettro di normativa, che viene automaticamente generato (a partire dalle coordinate geografiche, la
vita di riferimento, lo stato limite, la categoria di suolo, etc), permettendo inoltre di specificare anche il
campo di variabilità di magnitudo e distanza nel quale cercare ile registrazioni. L’esempio successivo
mostra una selezione mediante il programma REXEL.
Esempio 2-4. Si vogliono selezionare 7 registrazioni naturali dalla base dati ESD utilizzando
REXEL per il sito di Barberino del Mugello, su categoria di suolo B per un periodo medio di
ritorno di 475 anni (SLV, struttura ordinaria). I dati necessari sono mostrati nella Fig. 2.4, che
riporta la maschera di input del programma. Si sono preselezionate registrazioni con magnitudo e
distanza rispettivamente comprese tra 5.5 e 6.5, e 10km e 20km. La tolleranza, sull’intervallo di
periodi compreso tra 0,15s e 2.0s, è stata assegnata pari a ±10%.
La Fig. 2.5 mostra lo spettro di risposta delle registrazioni selezionate, il corrispondente spettro
medio, lo spettro di normativa con le corrispondenti tolleranze inferiore e superiore.
La Fig. 2.6 mostra infine le storie di accelerazione selezionate, già affette dal valore di scala
necessario per soddisfare i requisiti di spettro-compatibilità assegnati.
18
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Fig. 2.4 Maschera di input di REXEL, selezione registrazioni per Barberino del Mugello.
Fig. 2.5 Confronto tra gli spettri di risposta delle registrazioni selezionate e lo spettro
obiettivo.
a(t) (m/s 2)
a(t) (m/s 2)
a(t) (m/s 2)
a(t) (m/s 2)
a(t) (m/s 2)
a(t) (m/s 2)
a(t) (m/s 2)
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
2
Ano Liosia 1999, Mw = 6.0 R = 17km
0
-2
2
0
2
4
6
8
2
10
0
2
4
6
8
10
2
0
2
4
6
8
10
2
0
2
4
6
8
10
2
0
2
4
6
8
10
2
0
2
4
6
8
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
10
12
14
16
18
20
Friuli (aftershock) 1976, Mw = 5.5 R = 15km
0
-2
20
Kalamata 1986, Mw = 5.9 R = 10km
0
-2
18
Anchialos 1985, Mw = 5.6 R = 15km
0
-2
16
Kalamata 1986, Mw = 5.9 R = 11km
0
-2
14
Ano Liosia 1999, Mw = 6.0 R = 20km
0
-2
12
Friuli (aftershock) 1976, Mw = 6.0 R = 14km
0
-2
19
0
2
4
6
8
10
t (s)
12
14
16
18
20
Fig. 2.6 Registrazioni naturali selezionate da REXEL.
Accelerogrammi simulati
L’uso di accelerogrammi generati mediante simulazione fisica della sorgente e della
propagazione, in numero comunque non inferiore a 10, è ammessa, a condizione che: a)
siano adeguatamente giustificate le ipotesi relative alle caratteristiche sismogenetiche della
sorgente (magnitudo, stile di fagliazione), del cammino di propagazione (distanza) e alle
20
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
condizioni del suolo del sito e b) che siano soddisfatte le condizioni di coerenza con lo
spettro di riferimento sopra riportate.
2.3.5 Variabilità spaziale del moto
Nei punti di contatto dell’opera con il terreno (fondazioni delle pile, spalle), il moto
sismico è generalmente diverso, a causa del suo carattere intrinsecamente propagatorio,
delle disomogeneità e delle discontinuità eventualmente presenti, e della diversa risposta
locale del terreno dovuta a particolari caratteristiche meccaniche e morfologiche.
Gli effetti della variabilità spaziale del moto devono essere considerati nell’analisi quando
le proprietà del suolo lungo il ponte variano in misura tale che non sia possibile associare
un’unica categoria di suolo di fondazione (Tabella 2.4) ai punti di contatto con il terreno.
Gli effetti sulla struttura della variabilità spaziale del moto possono essere valutati
mediante analisi accurate utilizzando modelli rappresentativi della variabilità spaziale del
moto per la generazione di storie sismiche distinte in tutti i punti di contatto dell’opera
con il terreno. Modelli di questo tipo sono presentati nell’Appendice A.
In alternativa un criterio approssimato e prudenziale per tener conto della variabilità
spaziale del moto consiste nell’eseguire l’analisi dinamica della struttura con
accelerogrammi distinti sotto ogni pila, ciascuno compatibile con il relativo spettro di
risposta (trascurando cioè la correlazione spaziale tra i moti ai supporti).
2.3.6 Considerazione della componente verticale dell’azione sismica
Gli effetti della componente verticale del moto sismico sulle pile possono in generale
essere trascurati. Devono essere considerati ai fini della verifica degli apparecchi di
appoggio e degli impalcati precompressi.
2.3.7 Combinazione delle componenti ortogonali del sisma
Se l'analisi della risposta viene eseguita in campo lineare, la risposta può essere calcolata
separatamente per ciascuna delle tre componenti e gli effetti combinati successivamente
applicando una delle seguenti regole:
2
Ed = EdX
+ EdY2 + EdZ2
(2.6)
Ed = 1.0 EdX "+"0.3EdY "+"0.3EdZ
(2.7)
oppure
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
21
dove “+” si legge “combinato con”, EdX , EdY , EdZ indicano gli effetti delle componenti
dirette secondo gli assi X, Y e Z, e le componenti vanno ruotate per ottenere il massimo
di Ed .
La regola (5) deve essere applicata prendendo per ogni effetto (ad es. lo sforzo normale, il momento
flettente, la curvatura) il massimo:
Ed = max(EdX + 0.3EdY + 0.3EdZ ; 0.3EdX + EdY + 0.3EdZ ; 0.3EdX + 0.3EdY + EdZ )
Se l'analisi viene eseguita in campo non lineare mediante integrazione al passo, le due
componenti di eccitazione orizzontale (e quella verticale, ove appropriato) devono venire
applicate simultaneamente alla struttura.
2.3.8 Combinazione dell'azione sismica con le altre azioni
Ai fini delle verifiche le azioni da considerare in aggiunta a quella sismica sono quelle
dovute ai carichi permanenti e alla precompressione secondo l’espressione:
E + Gk + Pk
(2.8)
dove:
E
Azione sismica per lo stato limite in esame
Gk
Carichi permanenti al loro valore caratteristico
Pk
Valore caratteristico della precompressione, a cadute di tensione avvenute.
⎡ n
⎤
Fd = γ g G k + γ p Pk + γ q Q k1 + γ q ⎢∑ (ψ 0i Q ki )⎥
⎣ i =2
⎦
(2.9)
2.4 VALUTAZIONE DELLA SICUREZZA
2.4.1 Dati necessari per la valutazione
Le verifiche di sicurezza di cui alle presenti linee guida comportano una analisi strutturale,
di tipo lineare oppure non lineare, e successive verifiche puntuali di deformabilità e
resistenza in tutte le parti critiche dell’opera. L’utilizzo delle linee guida richiede quindi la
disponibilità dei valori di tutte le grandezze geometriche e meccaniche che consentono
una verifica del tipo indicato. Nella generalità dei casi l’impalcato non è significativamente
impegnato nella risposta sismica della struttura. Ne discende che le indagini conoscitive
sono da indirizzare in modo prevalente alle sottostrutture (pile e spalle) e alle fondazioni,
oltre che ovviamente ai sistemi di vincolo e interconnessione tra gli elementi strutturali
(appoggi, giunti, etc).
22
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
In particolare è necessario disporre di:
-
Geometria dell’opera nel suo stato attuale. Essa può essere desunta dai disegni
costruttivi originali o, a vantaggio di più sicura attendibilità, dai disegni di
contabilità. Ciò si estende naturalmente anche alle eventuali variazioni introdotte
a seguito di interventi di rilevanza strutturale successivi alla costruzione. In
mancanza della documentazione suddetta, è necessario procedere a un rilievo
completo della geometria e a indagini conoscitive a campione sulle fondazioni.
-
Dettagli costruttivi, ovvero disposizione e quantità delle armature. Essa può essere
desunta dai disegni costruttivi originali o, a vantaggio di più sicura attendibilità,
dai disegni di contabilità. Ciò si estende naturalmente anche alle eventuali
variazioni introdotte a seguito di interventi di rilevanza strutturale successivi alla
costruzione. In mancanza della documentazione suddetta, è necessario procedere
a un numero di saggi che consenta la determinazione delle armature presenti in
un numero di sezioni sufficiente per costruire un modello strutturale adeguato al
tipo di analisi e alle successive verifiche.
-
Proprietà meccaniche dei materiali: conglomerato e acciai. Le informazioni devono
provenire, oltre che dalle indicazioni iniziali di progetto, da risultati di prove
sperimentali eseguite all’atto del collaudo strutturale o successivamente ad esso.
In mancanza della documentazione suddetta, per il conglomerato è necessario
effettuare prelievi di campioni da sottoporre a prove di laboratorio. Prove di tipo
non distruttivo eseguite a più larga scala sono un utile complemento ma non
possono essere utilizzate in sostituzione di quelle distruttive. Per l’acciaio, in
assenza di dati sperimentali adeguati, è consentito far riferimento alle
caratteristiche del materiale prescritto in sede di progetto previa limitata verifica a
campione dell’effettivo utilizzo dello stesso. Le prescrizioni di cui sopra si
riferiscono alle strutture di sostegno degli impalcati, ossia a pile, spalle. Per
quanto riguarda gli impalcati, qualunque sia la loro tipologia, è sufficiente la
verifica del loro buono stato di conservazione, anche senza rilevazioni
sperimentali, se ritenute non necessarie dal progettista.
-
Caratterizzazione geotecnica (stratigrafia e parametri meccanici) adeguata alla
attribuzione del sito a una categoria di suolo in accordo alla Tabella 4 e allo
svolgimento delle verifiche delle spalle (spinta del terreno retrostante) e delle
fondazioni.
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
23
2.4.2 Livello di conoscenza e fattore di confidenza
Si definiscono i seguenti tre livelli di conoscenza:
-
LC1: conoscenza limitata
-
LC2: conoscenza adeguata
-
LC3: conoscenza accurata
Il livello di conoscenza acquisito sulla base delle indagini e degli approfondimenti di cui al
punto 2.4.1 determina il metodo di analisi e il valore del fattore di confidenza da applicare
alle proprietà dei materiali (vedi Tabella 2.6).
Per le opere da ponte si deve in generale acquisire un livello di conoscenza accurata
(LC3), salvo casi eccezionali per i quali, su indicazione della Committenza, è ammesso
acquisire un livello di conoscenza adeguato (LC2).
La richiesta del livello di conoscenza accurato è giustificata in primo luogo dall’importanza strategica delle
opere da ponte, e in secondo luogo in considerazione dell’assenza di elementi non strutturali che limitino
l’accessibilità delle strutture.
Le verifiche in-situ limitate servono per verificare la corrispondenza tra le armature o le
caratteristiche dei collegamenti effettivamente presenti e quelle riportate nei disegni
costruttivi, oppure ottenute mediante il progetto simulato. Le verifiche in-situ estese
servono quando non sono disponibili i disegni costruttivi originali come alternativa al
progetto simulato seguito da verifiche limitate, oppure quando i disegni costruttivi originali
sono incompleti. Le verifiche in-situ esaustive: servono quando non sono disponibili i
disegni costruttivi originali e si desidera un livello di conoscenza accurata.
Le prove in-situ limitate servono a completare le informazioni sulle proprietà dei materiali
ottenute o dalle normative in vigore all’epoca della costruzione, o dalle caratteristiche
nominali riportate sui disegni costruttivi, o da certificati originali di prova. Le prove insitu estese servono per ottenere informazioni in mancanza sia dei disegni costruttivi, che
dei certificati originali di prova, oppure quando i valori ottenuti dalle prove limitate
risultano inferiori a quelli riportati nei disegni o certificati originali. Le prove in-situ
esaustive: servono per ottenere informazioni in mancanza sia dei disegni costruttivi, che dei
certificati originali di prova, oppure quando i valori ottenuti dalle prove limitate risultano
inferiori a quelli riportati nei disegni o certificati originali, e si desidera un livello di
conoscenza accurata (LC3).
La definizione dei requisiti quantitativi per il raggiungimento di ogni livello di rilievo e
prove è riportata in Tabella 2.7. Nel controllo del raggiungimento della percentuale di
elementi indagati si può tener conto delle eventuali condizioni di ripetitività.
24
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Tabella 2.6 Livelli di conoscenza.
LC
Geometria
(carpenterie)
LC2
Da disegni di
carpenteria
originali con
rilievo visivo a
LC3 campione
oppure
rilievo ex-novo
completo
Dettagli strutturali
Proprietà dei materiali
Disegni costruttivi incompleti
con
limitate verifiche in situ
oppure
estese verifiche in-situ
Dalle specifiche originali di Tutti
progetto o dai certificati di
prova originali
con
limitate prove in-situ
oppure
estese prove in-situ
Dai certificati di prova
Tutti
originali o dalle specifiche
originali di progetto
con
estese prove in situ
oppure
esaustive prove in-situ
Disegni costruttivi completi
con
limitate verifiche in situ
oppure
esaustive verifiche in-situ
Metodi di FC
analisi
1.20
1.00
Tabella 2.7 Requisiti quantitativi relativi ai rilievi e alle prove sui materiali.
Verifiche
limitate
Verifiche
estese
Verifiche
esaustive
Rilievo (dei dettagli costruttivi)
La quantità e disposizione dell’armatura è
verificata per almeno il 20% delle pile (ma non
meno di 2 pile)
La quantità e disposizione dell’armatura è
verificata per almeno il 40% delle pile (ma non
meno di 3 pile)
La quantità e disposizione dell’armatura è
verificata per almeno il 60% delle pile (ma non
meno di 4 pile)
Prove (sui materiali)
1 provino di cls. e 1 campione di armatura
per almeno il 20% delle pile (ma non meno
di 2 pile)
1 provino di cls. e 1 campione di armatura
per almeno il 40% delle pile (ma non meno
di 3 pile)
1 provino di cls. e 1 campione di armatura
per almeno il 60% delle pile (ma non meno
di 4 pile)
2.4.3 Modello strutturale
Il modello strutturale deve riflettere lo stato attuale della struttura o quello in cui essa si
troverà a seguito di interventi migliorativi che saranno messi comunque in atto, quali la
solidarizzazione delle solette, o di allargamento per l’adeguamento funzionale, etc. Il
modello strutturale deve poter descrivere tutti i gradi di libertà significativi caratterizzanti
la risposta dinamica e riprodurre fedelmente le caratteristiche di inerzia e di rigidezza della
struttura, e di vincolo degli impalcati.
Nel caso in cui l’analisi sia di tipo non lineare, il modello strutturale deve poter seguire
l’evolversi dello stato tensionale e deformativo della struttura oltre la fase elastica,
prodotto dalla formazione di un numero crescente di zone plasticizzate. La
plasticizzazione può essere considerata concentrata alle estremità degli elementi in
“cerniere plastiche”, il cui comportamento può essere definito da un legame momentocurvatura bilineare o multi-lineare, purché in grado di tener conto dell’influenza dello
sforzo normale, quando necessario. Ove disponibili sono da preferire modelli più accurati
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
25
in grado di descrivere la plasticizzazione diffusa (non concentrata alle sole estremità) degli
elementi, sulla base del comportamento di numerose sezioni interne, ottenuto
dall’integrazione sulla sezione stessa dei legami costitutivi non lineari dei materiali
componenti.
Legami costitutivi per analisi non lineari
I legami costitutivi riportati nel seguito costituiscono un riferimento consolidato ai fini
dell’analisi non lineare e delle verifiche degli elementi strutturali. E’ possibile utilizzare
legami alternativi riportati in letteratura se adottati in codici di calcolo di comprovata
affidabilità.
Il legame costitutivo di Mander, proposto per il conglomerato, è riportato nella Fig. 2.7a.
La definizione di tale legame per un conglomerato non confinato richiede la conoscenza
della resistenza cilindrica f c e del modulo elastico iniziale Ec . In presenza di
confinamento sono necessari in aggiunta il valore della percentuale geometrica di
armatura trasversale ρ della relativa tensione di snervamento f y .
Il legame è descritto dalla relazione:
σc
f cc
=
xr
r −1+ xr
(2.10)
dove :
x = ε c ε c 1c
(2.11)
r = Ec (Ec − Esec )
(2.12)
Esec = f cc ε c 1c
(2.13)
f cc = f c λc
(2.14)
λc = 2.254 1 + 7.94
σe
fc
−2
ε c 1c = 0.002[1 + 5(λc − 1)]
σe
fc
− 1.254
(2.15)
(2.16)
La tensione di confinamento σ e e i fattori da cui essa dipende sono riportati in funzione
della forma della sezione e della tipologia di staffe nella Tabella 2.8, dove α è il fattore di
efficienza del confinamento, s è l’interasse delle staffe, b c , h c sono le dimensioni del
nucleo confinato, n è il numero di barre longitudinali direttamente trattenute da staffe o
cravatte, b i è la distanza tra barre trattenute adiacenti, Dc il diametro del nucleo
26
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
confinato, A s rappresenta l’area complessiva dei bracci di staffe presenti in ciascuna delle
due direzioni (sezioni rettangolari, il valore della tensione di confinamento si prenderà
pari a σ e = σ ex σ ey ) o l’area della staffa circolare/spirale.
Tabella 2.8 Modello di Mander: tensione di confinamento e suoi fattori.
Sezione Rettangolare
Circolare
Staffe circolari
σe
αρfy
ρ
ρx = Asxbc/(bchcs)
0.5αρfy
⎛ πDc2 ⎞
s ⎟⎟ = 4 As /(Dc s )
⎝ 4 ⎠
ρ = πDc As /⎜⎜
ρy = Asyhc/(bchcs)
α
⎛
s
α = ⎜⎜ 1 −
⎝ 2bc
Spirale
⎞⎛
s
⎟⎜ 1 −
⎟⎜ 2h
c
⎠⎝
n
⎞⎛ ∑ i =1 bi2 ⎞
⎜
⎟
⎟ 1−
⎟⎜
⎟
6
b
h
c c ⎠
⎠⎝
⎛
s
α = ⎜⎜ 1 −
⎝ 2 Dc
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛
s ⎞
⎝
c
⎟
α = ⎜⎜ 1 −
2D ⎟
⎠
Per quanto riguarda l’acciaio, vengono dati come riferimento due legami costitutivi, quello
bilineare e quello non lineare isteretico di Menegotto-Pinto. Il primo rappresenta
un’approssimazione accettabile per l’analisi momento-curvatura monotona di sezione. Il
secondo è uno di quelli indicati per lo svolgimento di analisi dinamiche non lineari.
La definizione del legame bilineare richiede la conoscenza del valore della tensione di
snervamento f y , del modulo elastico Es e del rapporto di incrudimento b .
Il legame di Menegotto-Pinto è mostrato in Fig. 2.7b. La definizione di tale legame
richiede la conoscenza del valore della tensione di snervamento f y , del modulo elastico
Es , del rapporto di incrudimento b , delle costanti della funzione di transizione R che
regola l’effetto Bauschinger: R 0 , a 1 , a 2 . Il legame è descritto dalla relazione:
(
σ * = bε * + (1 − b )ε * 1 + ε *
R
)
1
R
(2.17)
dove :
ε * = (ε − ε r ) (ε 0 − ε r )
(2.18)
σ * = (σ − σ r ) (σ 0 − σ r )
(2.19)
R (ξ ) = R 0 − a 1ξ (a 2 + ξ )
(2.20)
con ξ indicato nella figura.
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
27
Ai fini dell’analisi strutturale, sia essa lineare o non lineare, si utilizzano le caratteristiche
meccaniche medie dei materiali. Nelle espressioni precedenti pertanto f c = f cm ,
Ec = Ecm , etc.
Se il modulo iniziale di deformazione del conglomerato non è determinato
sperimentalmente, si può fare uso delle correlazioni tra il modulo e la resistenza
disponibili in letteratura, quale ad esempio quella fornita nel DM2008 (cap.11):
0.3
Ecm = 22000( f cm 10 ) con f cm e Ecm in MPa .
σ*
ξ1
1
σc
b
R0
R(ξ 2 )
Ec
f cc
Esec
ε*
1
fc
(a)
ε c1 ε cu
ε c1c
ε cuc
(b)
R(ξ1 )
εc
ξ2
Fig. 2.7 Legami costitutivi dei materiali: a) Mander, b) Menegotto-Pinto.
Rigidezza degli elementi
Nei casi di analisi lineare o non-lineare a plasticità concentrata, la rigidezza degli elementi
del modello deve tenere conto del livello di fessurazione degli stessi per effetto dell'azione
sismica. Agli elementi costituenti l’impalcato (travi, traversi, solette), che rimangono
generalmente in campo elastico lineare con limitata fessurazione, possono essere
attribuite le caratteristiche delle sezioni interamente reagenti. Per le pile, che nella maggior
parte dei casi superano in diversa misura lo stato limite di snervamento, la rigidezza
secante efficace può essere ricavata dall’espressione:
Ec I eff = ν
M R (N )
φy
(2.21)
nella quale ν = 1.2 è un fattore di correzione che tiene conto della maggiore rigidezza
della parte di pila non fessurata, M R (N ) è il momento ultimo della sezione di base
calcolato per il valore permanente dello sforzo normale e φ y è la curvatura di
snervamento. In generale i valori del momento M R (N ) e della curvatura φ y si
ottengono da un’analisi momento-curvatura della sezione.
28
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Modellazione dell’interazione suolo-fondazione-struttura
Ai fini dell’analisi globale della struttura le pile e le spalle si considerano in generale
incastrate alla base.
Gli effetti dell’interazione suolo-fondazione-struttura devono essere considerati quando si
verificano contemporaneamente le seguenti tre condizioni:
-
Ponte in classe d’uso III o IV
-
Categoria del suolo D o peggiore
-
Sismicità medio-alta, a g ≥ 0.15 g
Ai fini della valutazione degli effetti dell’interazione suolo-fondazione-struttura il sistema
fondazione-terreno può essere schematizzato ponendo alla base della struttura dei
vincoli visco-elastici, caratterizzati da opportuna impedenza dinamica. Nel calcolo di
quest’ultima è necessario tener conto della dipendenza delle caratteristiche di rigidezza e
smorzamento del terreno dal livello deformativo. Inoltre è necessario tenere conto che il
moto sismico alla superficie del suolo può risultare diverso da quello in campo libero, per
effetto delle caratteristiche dimensionali e/o di rigidezza del sistema di fondazione.
Indicazioni sulla natura del fenomeno di interazione e le alternative disponibili per la
modellazione in funzione della tipologia di fondazione sono fornite nell’Appendice B.
2.4.4 Metodi di analisi
Ponti isostatici con pile a fusto unico
La grande maggioranza delle opere esistenti sulla rete viaria nazionale è costituito da ponti
a travata con impalcati semplicemente appoggiati su pile a fusto unico. Nell’ipotesi che la
strategia di intervento non preveda di modificare sostanzialmente lo schema statico, ad
esempio mediante solidarizzazione degli impalcati o sostituzione integrale degli stessi con
uno continuo, ed eventuale introduzione di apparecchi di isolamento/dissipazione, per
tali ponti è possibile definire una metodologia specifica di analisi, che rappresenta un
buon compromesso di semplicità e accuratezza, da usare in alternativa ai metodi più
accurati illustrati al paragrafo successivo.
Il modello di riferimento è costituito da una mensola verticale a massa distribuita lungo
l’altezza sulla quale grava la massa del pulvino e dell’impalcato. In direzione trasversale
all’asse del ponte ogni pila costituisce in tutti i casi un oscillatore indipendente, mentre in
direzione longitudinale, nell’ipotesi che siano previsti dei ritegni sismici, il sistema è
ancora a un grado di libertà, caratterizzato dalla somma delle masse afferenti alle singole
pile e dalla forza di richiamo somma delle forze delle singole pile.
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
29
Il procedimento proposto consiste in un’analisi statica non lineare semplificata, nella
quale il legame forza-spostamento in sommità dell’oscillatore considerato si ottiene con
semplici passaggi a partire dai legami momento-curvatura alla base delle pile.
La massa efficace della pila da considerare concentrata in sommità è data, per pile a sezione
costante, dalla somma del 30% della massa della pila e della massa del pulvino. La massa
totale per la generica pila vale quindi:
m = 0.3m pila + m pulv + m imp
(2.22)
L’altezza di tale massa dalla base per l’analisi in direzione trasversale (vedi Fig. 2.8) è data
dall’espressione:
H≅
(m
pulv
)
+ 0.3m pila H p + m imp H imp
(2.23)
m
Per l’analisi in direzione longitudinale, l’altezza efficace è pari alla distanza del piano degli
apparecchi di appoggio dall’estradosso della fondazione.
Mt=Vb(H-Hp)
Hp
P
Himp
H
Vb
Mb=VbH
Fig. 2.8 Altezza efficace per analisi in direzione trasversale.
Il primo passo consiste nella determinazione del legame momento-curvatura della sezione
di base nel piano di flessione considerato e per il valore del carico assiale agente. La curva
così ottenuta viene successivamente bilinearizzata come indicato schematicamente in Fig.
2.9.
V
H
M
P
Vu
Vy
Mu
My
sezione
di base
φy
φu
φ
V
δy
δu
δ
Fig. 2.9 Passaggio dal legame momento-curvatura al quello taglio-spostamento.
30
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Nell’ipotesi che la pila si mantenga in campo elastico fino al raggiungimento del momento
di snervamento M y alla base (Fig. 2.10, sinistra), il corrispondente spostamento in
sommità è dato dall’espressione:
1
δ y = φ yH 2 /3
ν
(2.24)
dove la curvatura di snervamento φ y risulta dalla bilinearizzazione del legame di sezione e
ν = 1.2 è il fattore di correzione che tiene conto della maggiore rigidezza della porzione
al di sopra della zona plasticizzata.
Lo spostamento ultimo in sommità della pila si ottiene aggiungendo a quello di
snervamento il contributo della rotazione plastica nella zona plasticizzata alla base:
δ u = δ y + (φ u − φ y ) ⋅ l p (H − l p / 2 )
(2.25)
dove φu è la curvatura minima tra quelle corrispondenti allo schiacciamento del
calcestruzzo, ε c ,max = ε cum , e alla rottura per trazione dell’acciaio, ε s ,max = ε sum . In assenza di
più accurate determinazioni i valori delle deformazioni medie a rottura di calcestruzzo e
acciaio possono essere assunti pari a ε cum = 0.5% e ε sum = 4% . Per l’estensione della
porzione di pila soggetta a plasticizzazione si può fare riferimento all’espressione
l p = 0.10 H p + 0.015 f y d b ≅ 0.10 H p .
V
P
P
δy V
My
δ y δu
lp
φy
Mu
φu
Fig. 2.10 Pile a fusto unico: distribuzione di momento e curvatura.
In direzione trasversale il periodo elastico della singola pila si ottiene dall’espressione:
T = 2π m i / k = 2π m i δ y / V y
(2.26)
Il corrispondente spostamento massimo, da utilizzare ai fini della verifica di deformabilità
della pila, è fornito dallo spettro di risposta elastico in spostamento:
δ max = S De (T )
δ max =
T ≥ TC o q * ≤ 1
S De (T ) ⎡
T ⎤
1 + (q * − 1) C ⎥ T < TC
*
⎢
q
T ⎦
⎣
(2.27)
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
31
dove q * = mS e (T ) / V y .
La forza di taglio per la verifica della pila si ottiene direttamente dal diagramma forzaspostamento in corrispondenza dello spostamento massimo di risposta δ max .
La forza di taglio per la verifica degli apparecchi di appoggio vale:
Vapp = 1.25
m imp
mi
V (δ max )
(2.28)
dove il fattore 1.25 ha lo scopo di garantire una maggiore livello di protezione agli
apparecchi di appoggio e il taglio V (δ max ) è la forza fornita dal legame V − δ in
corrispondenza dello spostamento di risposta.
In direzione longitudinale la massa totale è data dall’espressione:
m = ∑ mi
(2.29)
e il legame forza-spostamento si ottiene sommando i legami delle singole pile come
schematicamente mostrato in Fig. 2.11.
V
Pila 1
1
2
Pila 2
Vu1
Vy1
Vu2
Vy2
δ y1 δ y2
δu1δu2
δ
Fig. 2.11 Direzione longitudinale: legame complessivo a partire dai legami di pila.
Effettuata la bilinearizzazione della curva risultante il procedimento segue in modo
analogo al caso precedente.
Ai fini delle verifiche a taglio delle pile la forza di taglio competente a ciascuna di esse si
ricava in corrispondenza di δ max dal relativo diagramma forza-spostamento.
Ai fini del calcolo della forza di taglio agente sugli appoggi la massa dell’impalcato
nell’espressione (4-11) da considerare è quella afferente alla pila in esame.
32
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Nel caso di appoggi mobili su pile e spalle è necessario verificare che non vi sia rischio di
perdita d’appoggio dell’impalcato. Tale verifica si ritiene superata se la lunghezza di
appoggio è pari o superiore a:
L min = L 0 + d rel , g + d rel ,s
(2.30)
dove L 0 è un margine di sicurezza non inferiore a 40cm, d rel , g è lo spostamento relativo
del suolo alla base degli elementi verticali adiacenti considerati, valutato in accordo alla
(2.2), e d rel , s è lo spostamento relativo tra gli elementi verticali adiacenti considerati
valutabile mediante la radice quadrata della somma dei quadrati degli spostamenti massimi
delle due pile.
La verifica deve essere eseguita sotto gli effetti di entrambe le componenti orizzontali
dell’azione sismica, secondo le modalità illustrate al punto “Formato di verifica”, pagina
39. Per la verifica delle fondazioni si rimanda al punto “Spalle e fondazioni”, pagina 41.
Ponti iperstatici: analisi dinamica lineare
I metodi illustrati nel seguito si applicano a ponti iperstatici di tipologia generica,
comprese le strutture con impalcati semplicemente appoggiati che presentino pile con
struttura iperstatica (portali multipli, telaio, etc.).
Il metodo lineare di riferimento in queste linee guida consiste nell’impiego dell’analisi
modale (DM2008, punto 7.3.3.1) associata allo spettro elastico non ridotto (punto 2.3.1).
Le verifiche degli elementi sono eseguite in termini di capacità deformativa per i
meccanismi/elementi duttili e di resistenza per quelli fragili.
Questo tipo di analisi è applicabile quando è verificata le seguente condizione legata alla
uniformità della domanda inelastica2:
-
Definito ρ i = Di C i il rapporto tra il momento flettente Di fornito dall'analisi
della struttura soggetta alla combinazione di carico sismica, e il corrispondente
momento resistente Ci nell'i-esima sezione di verifica, si indicano con ρ max e
ρ min rispettivamente i valori massimo e minimo di ρ . Il rapporto
ρ max / ρ min non deve superare il valore 2.5.
La verifica di applicabilità del metodo, che deve essere svolta a posteriori, potrebbe
risultare negativa a causa di un numero ridotto di elementi. In tal caso il metodo potrebbe
comunque venire applicato, nell’ipotesi che si effettuino interventi su questi elementi tali
da riportare il rapporto ρ max / ρ min entro il limite indicato.
In alternativa è anche consentito di eseguire la verifica mediante analisi modale con
spettro di risposta ridotto del fattore di struttura q (punto 3.2.3.5 del DM2008). In questo
2
Ovviamente deve risultare ρ max > 1 altrimenti la risposta del ponte è elastica.
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
33
caso le verifiche sono di resistenza per tutti i meccanismi/elementi. I valori delle
resistenze si calcolano come nelle situazioni non sismiche. Il valore massimo utilizzabile
per q è pari a 1.5.
Per quanto riguarda il calcolo delle quantità di risposta, gli spostamenti massimi prodotti
dall’azione sismica di verifica si assumono eguali a quelli forniti dall’analisi nell’ipotesi di
comportamento lineare elastico.
I massimi delle grandezze di risposta derivate, quali ad esempio deformazioni flessionali e
spostamenti relativi in corrispondenza dei giunti, devono essere calcolati modo per modo
e successivamente combinati con la regola di combinazione modale adottata.
In particolare per la verifica degli elementi duttili la grandezza di verifica è generalmente
rappresentata dalla rotazione rispetto alla corda θ . Per ogni piano di flessione, questa è
pari al rapporto δ H per elementi verticali a mensola (pile a fusto unico) o doppiamente
incastrati (ritti), come mostrato in Fig. 2.12, casi (a) e (b), e approssimativamente uguale
alla rotazione del nodo per elementi orizzontali (traversi), come mostrato in Fig. 2.12,
caso (c). Nel caso (c) la rotazione rispetto alla corda per i ritti è solo approssimativamente
uguale al rapporto δ H .
Per ogni piano di flessione dell’elemento, lo sforzo di taglio agente V esso è dato da:
-
il valore ottenuto dall'analisi nel caso in cui i momenti alle estremità dell'elemento
non raggiungono il rispettivo valore plastico ( ρ ≤ 1 )
-
il valore:
V = VG +
M R 1 (N ) + M R 2 (N )
L
(2.31)
dove V G è il taglio dovuto ai carichi gravitazionali agenti sull'elemento, M R 1 (N G ) ed
M R 2 (N G ) sono i momenti resistenti (calcolati per il valore corrispondente ai carichi
gravitazionali dello sforzo normale N G , sommati se equiversi) alle estremità
dell'elemento (calcolati utilizzando i valori medi delle caratteristiche meccaniche del
conglomerato e dell'acciaio) ed L è la sua lunghezza.
δ
H
θ
(a)
δ
δ
θ
θ
(b)
(c)
Fig. 2.12 Rotazione rispetto alla corda: (a) fusto unico, (b) portale multiplo, (c) a telaio.
34
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Ponti iperstatici: analisi statica non lineare
In generale diversi modi di vibrazione contribuiscono alla risposta sismica di ponti.
Quando un singolo modo di vibrazione è caratterizzato da una massa partecipante pari o
superiore all’80% è possibile fare uso dell’analisi statica non lineare mono-modale. In caso
contrario è necessario fare ricorso a una versione avanzata dell’analisi statica non lineare,
di tipo multi-modale. Nel seguito si illustrano i metodi di analisi statica non lineare monomodale e multi-modale con distribuzione di forze invarianti3.
Analisi mono-modale
Il metodo consiste nell'applicazione a un modello non lineare del ponte di un sistema di
forze statiche di intensità crescente fino al raggiungimento della capacità massima del
sistema in termini di resistenza o di deformabilità, nella successiva trasformazione della
curva taglio alla base-spostamento di un grado di libertà di controllo in un sistema
bilineare equivalente, e quindi nella determinazione della risposta di tale sistema al sisma
di verifica.
Ciò avviene applicando alla struttura un sistema di forze di intensità crescente dato da:
f = λ ⋅ Mφ
(2.32)
dove M è la matrice delle masse e la prima forma modale φ deve essere normalizzata
ponendo pari a 1 lo spostamento del grado di libertà di controllo. Quest’ultimo coincide
con il grado di libertà caratterizzato dal massimo spostamento modale. L’intensità cresce
fino al raggiungimento della capacità ultima della struttura. Il risultato dell’analisi viene
espresso in termini di curva taglio alla base (somma delle forze applicate Vb = ∑ f i ) –
spostamento in sommità u .
Si definisce quindi il coefficiente di partecipazione modale:
(
Γ = φT M1
) (φ
T
Mφ
)
(2.33)
La forza V * e lo spostamento u * del sistema a un grado di libertà equivalente sono dati
da:
V * = Vb / Γ
(2.34)
u* = u /Γ
(2.35)
La relazione V * − u * rappresenta il legame costituivo del sistema equivalente, la cui
massa è data invece da m * = φT M1 = ∑i m i φi .
E’ ammesso l’uso di metodi in cui la distribuzione delle forze applicate segua l’evoluzione della
deformata inelastica della struttura (adaptive pushover analysis).
3
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
35
La determinazione della risposta del sistema equivalente richiede la bilinearizzazione della
curva V * − u * . Un criterio per effettuare questa operazione è quello di trovare un legame
bilineare che sottenda la stessa area (energia) di quello ottenuto dall’analisi.
Nella Fig. 2.13 sono mostrati due casi, uno in cui l’incrudimento è trascurabile, l’altro in
cui non lo è. Nella Fig. 2.13 (a) V y* rappresenta la resistenza del sistema equivalente ed è
uguale al forza in corrispondenza dello spostamento u u* . Lo spostamento di snervamento
u *y del sistema bilineare si ottiene dall’espressione:
⎛
E ⎞
1 * *
V y u y + V y* u u* − u *y = E ⇒ u *y = 2⎜ u u* − * ⎟
⎜
2
V y ⎟⎠
⎝
(
)
(2.36)
in cui E è l’area sottesa dalla curva V * − u * e si calcola per integrazione numerica. In
Fig. 2.13 (b) Vu* rappresenta la resistenza ultima del sistema equivalente, mentre V y* è la
resistenza allo snervamento. Lo spostamento di snervamento u *y del sistema bilineare si
ottiene dall’espressione:
2Vu* u u − k y (u u* ) − 2 E
1 * * 1 *
V y u y + V y + Vu* u u* − u *y = E ⇒ u *y =
Vu* − k y u u*
2
2
(
)(
2
)
(2.37)
Noto u *y la rigidezza elastica risulta pari a: k = V y* / u *y , da cui segue il periodo elastico del
sistema bilineare T * :
T * = 2π m * k
(2.38)
Vu*
A2 = A1
V y*
V y*
A1
A1
A2 = A1
1
ky
k
k
(a )
1
u *y
(b )
1
uu*
u *y
uu*
Fig. 2.13 Bilinearizzazione con il criterio delle aree uguali: a) incrudimento nullo, b)
incrudimento non nullo.
La risposta massima del sistema equivalente in termini di spostamento è data in funzione
del periodo e dello spettro elastico in spostamento dalle espressioni:
36
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
*
u max
= S De (T * )
T * ≥ TC o q * ≤ 1
S (T * ) ⎡
T ⎤
*
u max
= De * ⎢1 + (q * − 1) C* ⎥ T * < TC
q
T ⎦
⎣
(2.39)
con q * = m * S e (T * )/V y* .
Si osserva che le caratteristiche del sistema bilineare equivalente dipendono dalla scelta dello spostamento
ultimo u u* a partire dal quale si impone l’equivalenza delle aree, il quale deve coincidere con il valore
*
. Ciò comporta l’esigenza di iterare fino al raggiungimento di tale condizione.
della risposta u max
Una volta determinata la risposta massima dell’oscillatore equivalente è possibile
determinare quella della struttura moltiplicando per il fattore di partecipazione
*
u max = Γu max
: lo stato della struttura è quello corrispondente a tale spostamento massimo
nel punto di controllo. La verifica consiste nel controllare che in tale configurazione della
struttura le domande di duttilità siano compatibili con le rispettive capacità e che le forze
di taglio siano minori delle rispettive resistenze.
Analisi multi-modale
Il metodo consiste nei seguenti passi:
1. Effettuazione dell’analisi modale e selezione dei modi significativi
2. Per ciascun modo selezionato effettuazione dell’analisi statica non lineare in
modo analogo a quanto indicato con riferimento al caso mono-modale e in
particolare:
a. Applicazione di una distribuzione di forze modali crescenti: f i = λ ⋅ Mφ i
fino al raggiungimento di uno spostamento massimo predefinito o di un
significativo degrado nel taglio alla base Vb
b. Determinazione del sistema a un grado di libertà equivalente nelle due
direzioni principali del sisma mediante le relazioni:
V iX* = V b / ΓiX u iX* = u i ,c /(ΓiX φ i ,c )
V iY* = V b / ΓiY u iY* = u i ,c /(ΓiY φ i ,c )
c.
dove ΓiX = (φ Ti Mt X )/(φ Ti Mφ i ) e ΓiY = (φ Ti Mt Y )/(φ Ti Mφ i ) , t X e t Y
sono i vettori di trascinamento nelle direzioni X e Y, φ i ,c è l’ordinata
modale nel grado di libertà di controllo (che deve essere scelto per ogni
modo come il grado di libertà con massima ordinata modale)
Bilinearizzazione dei diagrammi V iX* − u iX*
d. Determinazione
dei
periodi
TiX* ,Y = 2π m i* / kiX* ,Y
corrispondenti risposte massime u i*, max X ,Y = S De (TiX* ,Y )
e
delle
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
e.
f.
37
Determinazione
degli
spostamenti
massimi
effettivi
*
u i ,c , max X ,Y = ΓiX ,Y φ i ,c u i , max X ,Y e delle corrispondenti configurazioni
deformate della struttura.
Calcolo delle grandezze di risposta di interesse D E ,i e D E ,i per
X
ciascun modo e direzione dell’azione sismica
3. Combinazione delle grandezze di risposta D E ,i e D E
X
Y
,i
Y
ottenute mediante la
regola (2.49).
Analisi dinamica non lineare
Ai fini delle verifiche gli effetti sulla struttura (sollecitazioni, deformazioni, spostamenti,
etc.) sono rappresentati dai valori medi ottenuti dalle analisi.
Come indicato al punto 0, il numero minimo di accelerogrammi da utilizzare è pari a
cinque per quelli artificiali e dieci per quelli naturali o simulati a partire da modelli
sismogenetici. La differenza nel numero richiesto è giustificata dalla inferiore dispersione
intorno alla media degli accelerogrammi del primo tipo rispetto a quelli degli altri due. Il
rispetto di tali minimi è sufficiente a garantire una adeguata stabilità della media degli
effetti sulla struttura.
2.4.5 Verifiche di sicurezza
Sotto l’effetto dell’azione sismica di verifica tutti gli elementi dell’impalcato devono
soddisfare le verifiche come per le situazioni non sismiche.
Pile
Per quanto riguarda la capacità deformativa, il valore ultimo della rotazione rispetto alla
corda da utilizzare per la verifica allo SLC è dato dall’espressione:
θ y =φ y
θu =
LV
3
(2.40)
lp
⎛
1 ⎡
⎢θ y + φu − φ y ⋅ l p ⎜⎜ 1 −
γ el ⎣⎢
⎝ 2 LV
(
)
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦⎥
(2.41)
dove γ el = 1.5 e LV = M /V è la luce di taglio, pari a H per una mensola e
approssimabile ad H/2 negli altri casi. Le curvature di snervamento φ y e ultima φu si
ottengono dalla bilinearizzazione del legame momento-curvatura di sezione. La curvatura
ultima è la minima tra quelle corrispondenti allo schiacciamento del calcestruzzo,
ε c ,max = ε cum , e alla rottura per trazione dell’acciaio, ε s ,max = ε sum . In assenza di più
accurate determinazioni i valori delle deformazioni medie a rottura di calcestruzzo e
acciaio possono essere assunti pari a ε cum = 0.5% e ε sum = 4% . Per l’estensione della
38
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
porzione di pila soggetta a plasticizzazione si può fare riferimento all’espressione
l p = 0.10 H + 0.015 f y d b ≅ 0.10 H .
Per la verifica allo SLV il valore limite della rotazione si assume pari a ¾ di quello ultimo.
Per quanto riguarda la resistenza a taglio, in ogni piano di flessione, la resistenza a taglio
sotto azione ciclica, VR , di elementi prismatici con sezione compatta è data dalla formula
seguente (unità di misura MN e m):
VR =
1 ⎧h − x
min (N ;0.55 Ac f c ) + 1 − 0.05 min 5; µ ∆ , pl ×
⎨
γ el ⎩ 2 L V
(
⎡
⎛
⎛ L
× ⎢0.16 max(0.5;100 ρ tot )⎜⎜ 1 − 0.16 min⎜ 5; V
⎝ h
⎢⎣
⎝
(
))
⎫⎪
⎤
⎞⎞
⎟ ⎟⎟ f c Ac ⎥ + V w ⎬
⎠⎠
⎪⎭
⎥⎦
(2.42)
dove:
γ el = 1.15
h = altezza totale della sezione
d = altezza efficace della sezione
x = profondità dell' asse neutro
N = sforzo normale, positivo di compressione, posto uguale a zero se di trazione
L V = M/V luce di taglio
Ac = area della sezione bd per sezione rettangol are, πD c2 /4 per sezione circolare
D c = diametro nucleo confinato
ρ tot = percentuale geometrica totale di armatura longitudin ale
V w = contributo dell' armatura pari a ρ w bzf y per sez. rettangol ari
π A sw
f y (D − 2c ) per sez. circolari
2 s
A sw = area delle staffe circolari
s = passo delle staffe
D = diametro della sezione
e
c = copriferro
Il termine µ ∆ , pl = µ ∆ − 1 ≅ θ / θ y − 1 rappresenta la parte plastica della duttilità richiesta
all’elemento.
In ogni piano di flessione, la resistenza a taglio sotto azione ciclica, VR , di setti (ad es:
pareti di una pila a sezione cava rettangolare, mono- o pluri-cellulare) è non superiore alla
forza di taglio corrispondente allo schiacciamento delle bielle diagonali VR ,max , data dalla
formula seguente:
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
(
(
))
0.85 1 − 0.06 min 5; µ ∆ , pl ⎛
⎛
⎞⎞
⎜ 1 + 1.8 min⎜ 0.15; N ⎟ ⎟ ×
⎜
⎜
γ el
Ac f c ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
⎝
⎛
⎛ L ⎞⎞
× (1 + 0.25 max(1.75;100 ρ tot ))⎜⎜ 1 − 0.2 min⎜ 2; V ⎟ ⎟⎟ f c b w z
h ⎠⎠
⎝
⎝
VR , max =
39
(2.43)
Appoggi
Gli apparecchi di appoggio fissi devono essere in grado di trasmettere, mantenendo la
piena funzionalità, le forze di taglio in testa alle pile indotte dall’azione sismica di verifica,
incrementate del fattore γ R = 1.20 .
Gli appoggi mobili devono essere in grado di consentire, mantenendo la piena
funzionalità, lo scorrimento massimo indotto dall’azione sismica di verifica.
Nel caso di appoggi mobili su pile e spalle è necessario verificare che non vi sia rischio di
perdita d’appoggio dell’impalcato. Tale verifica si ritiene superata se la lunghezza di
appoggio è pari o superiore a:
L min = L 0 + d rel , g + d rel ,s
(2.44)
dove L 0 è un margine di sicurezza non inferiore a 40cm, d rel , g è lo spostamento relativo
del suolo alla base degli elementi verticali adiacenti considerati, valutato in accordo alla
(2.2), e d rel , s è lo spostamento relativo tra gli elementi verticali adiacenti considerati.
Formato di verifica
Indicando con Dx e D y le quantità di domanda determinate dall’analisi (spostamenti,
rotazioni, forze di taglio) nei due piani di principali flessione di un elemento, e con C x e
C y le corrispondenti capacità, la forma generale di verifica è data dall’espressione:
⎛ Dx
⎜
⎜C
⎝ x
2
⎛D
⎞
⎟ +⎜ y
⎟
⎜C y
⎠
⎝
2
⎞
⎟ ≤1
⎟
⎠
(2.45)
Nel caso delle verifiche di deformabilità e di resistenza l’espressione precedente assume la
forma:
(θ
x
(V
x
θ u , x )2 + (θ y θ u , y )2 ≤ 1
(
V u , x )2 + V y V u , y
)
2
≤1
(2.46)
(2.47)
40
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
dove le grandezze di domanda, ad esempio di deformazione, sono ottenute mediante le
regole di combinazione:
θ x = θ xG ±
∑ [(θ xE , i )2 + (θ xE , i )2 ]
N
i =1
X
(2.48)
Y
per l’analisi dinamica lineare, e:
θ x = θ xG ±
∑ [(θ xE
N
i =1
X
,i
) (
− θG 2 + θ xE
Y
,i
− θG
)]
2
(2.49)
per l’analisi statica non lineare, dove la sottrazione dell’effetto dei carichi gravitazionali
dalla risposta modale per ciascuna direzione del sisma è necessaria in quanto
l’applicazione delle forze orizzontali per ogni distribuzione modale è preceduta da quella
dei carichi gravitazionali. Analogamente per la domanda nel piano di flessione ortogonale
θy .
Esempio 2-5. Applicazione della regola di combinazione dei contributi modali a un ponte in
curva. La Fig. 2.14 mostra i primi due modi di vibrazione di un viadotto continuo a tre campate, di
luci 40m, 50, 40m, con pile alte rispettivamente 20m e 30m, con asse curvilineo di raggio 150m.
Nella figura è evidenziato, per ogni modo, lo spostamento in testa a una delle pile, con le
corrispondenti componenti secondo gli assi globali X e Y. Il contributo allo spostamento D
trasversale all’asse dell’impalcato (parallelo all’asse x della sezione rettangolare cava della pila)
fornito dal modo i–esimo eccitato dal sisma X è dato dall’espressione:
(
)
DE i = δ X cos α X + δ Y sin α X ΓiX S De (Ti )
X
i
i
dove αX = 9.55° è l’angolo tra la tangente all’asse dell’impalcato e l’asse X.
Modo 1 – T=0.286s
δY1
δX1
Modo 2 – T=0.246s
δY2
δX2
Fig. 2.14 Due modi di vibrazione di un ponte con asse longitudinale curvilineo.
Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti
41
La Tabella 2.9 riporta i valori relativi all’esempio. Lo spostamento trasversale in accordo alla (2.48)
risulta pari a D = 1.28 cm.
Tabella 2.9 Esempio di applicazione della regola di combinazione.
Modo
T(s)
Se (g)
SDe (m)
ΓX
ΓY
δX
δY
1
0.286
0.5
0.010173
3.24
35.78
0.0049
0.0329
0.0011
0.0121
2
0.246
0.5
0.007526
-15.71
7.3
0.0109
0.0215
-0.0037
0.0017
DEX (m) DEY (m)
Nel caso particolare dei ponti isostatici con pile a fusto unico (punto 0) le verifiche di
deformabilità e resistenza assumono rispettivamente la forma:
(δ
T
(V
T
δ u ,T )2 + (δ L δ u , L )2 ≤ 1
(2.50)
V u ,T )2 + (V L V u , L )2 ≤ 1
(2.51)
dove i pedici L e T indicano l’analisi in direzione longitudinale e trasversale, mentre le
capacità di spostamento da utilizzare per la verifica allo SLC sono date dalle espressioni:
δ u ,T =
δ u ,L =
1
γ el
1
γ el
[δ
y ,T
+ φ u ,T − φ y ,T ⋅ l p H − l p / 2
(
) (
)]
(2.52)
[δ
y ,L
+ φu ,L − φ y ,L ⋅ l p H − l p / 2
(
) (
)]
(2.53)
dove γ el = 1.5 . Per la verifica allo SLV il valore limite degli spostamenti si assume pari a
¾ di quello ultimo. La resistenza a taglio si calcola come indicato in 2.4.5.
Nel caso di analisi dinamica non lineare, è possibile utilizzare un formato di verifica più
accurato in cui si calcola il rapporto domanda/capacità tenendo conto a ogni passo
dell’analisi della variazione delle capacità con lo sforzo normale N:
⎛ D x (t ) ⎞ ⎛ D y (t ) ⎞
⎟ ≤1
⎟⎟ + ⎜
max ⎜⎜
⎜
⎟
t
⎝ C x (N (t )) ⎠ ⎝ C y (N (t )) ⎠
2
2
(2.54)
Spalle e fondazioni
Per la verifica delle spalle e delle fondazioni sotto l’azione sismica trasmessa dalla
sovrastruttura e dal terreno, valgono le indicazioni applicabili alle opere di nuova
progettazione, di cui ai punti 7.11.5 e 7.11.6 del DM2008.
CAPITOLO 3: RINFORZO SISMICO DEI PONTI
3.1 INTRODUZIONE
Nella maggioranza dei casi il rinforzo sismico deve essere realizzato in soggezione di
traffico, quindi non solo in tempi molto stretti per ridurre il disagio alla viabilità, ma
anche con notevoli condizionamenti sui metodi di rinforzo. Le soluzioni particolari o più
innovative, come ad esempio l’impiego di materiali ad alta resistenza o prestazioni,
trovano spesso il terreno naturale di impiego nei casi di rinforzo, diventando competitive
proprio a causa delle restrizioni sopra citate.
In questo capitolo, che riprende in buona parte la più estesa trattazione in (fib, 2007),
vengono presentate le soluzioni tecniche più comuni per il rinforzo delle varie parti di un
ponte, senza fornire le relative procedure di dimensionamento, per le quali si rinvia a
documenti specialistici (Priestley et al, 1996),(FHWA, 2006).
3.2 RINFORZO DEGLI APPOGGI
Dal punto di vista sismico, le carenze più comunemente rilevate nei ponti di costruzione
meno recente riguardano l’inadeguatezza degli appoggi e delle lunghezze di appoggio,
fattori che possono facilmente portare alla perdita di supporto e al conseguente collasso
di intere campate negli impalcati semplicemente appoggiati (vedi Fig. 1.2 e Fig. 1.3). Non
è un caso se i primi programmi di rinforzo negli Stati Uniti, a seguito del terremoto di San
Fernando, si siano concentrati proprio sulla correzione di questi problemi.
Gli interventi per adeguare il sistema di appoggio sono molto vari e dipendono dalla
tipologia dell’impalcato e dalla qualità dell’intervento che si intende realizzare.
Una gran parte dei ponti esistenti, con impalcato a travi appoggiate presentano appoggi
sotto ogni trave, in neoprene non armato di piccolo spessore, la cui resistenza ad azioni
orizzontali è trascurabile.
Un intervento economico ed efficace consiste nella sostituzione degli appoggi esistenti
con appoggi nuovi della stessa tipologia e la realizzazione in cima alla pila di un sistema di
ritegni che eviti la caduta degli impalcati e limiti gli spostamenti relativi. Un esempio di
tale soluzione è mostrato in Fig. 3.1.
Nel caso mostrato in figura non sussistendo problemi di lunghezza di appoggio i ritegni,
realizzati in c.a. con interposizione di cuscinetti in neoprene, hanno funzione
unidirezionale nella direzione longitudinale. Nei casi in cui la lunghezza di appoggio risulti
44
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
invece insufficiente si può intervenire collegando gli impalcati ai ritegni o al pulvino,
oppure realizzando delle seggiole in acciaio o c.a.
Fig. 3.1 Esempio di ritegni sismici longitudinali e trasversali (Furlanetto et al, 2008).
Interventi di maggiore incisività possono essere realizzati quando si interviene sullo
schema statico dell’impalcato rendendolo continuo. In questo caso è possibile evitare di
avere appoggi sotto ogni trave collocando un numero ridotto di apparecchi metallici, di
tipo fisso e mobile, o dispositivi di isolamento su un’unica fila.
In passato è stata frequentemente adottata una soluzione che prevedeva la
“continuizzazione” limitata alla sola soletta, congiuntamente con la disposizione di un
numero pari a quello originale di dispositivi di isolamento in gomma.
3.3 RINFORZO DELLE PILE
Le pile in cemento armato progettate secondo criteri non sismici presentano spesso
inadeguate lunghezze di sovrapposizione o di ancoraggio delle barre longitudinali e
ridotto quantitativo di armatura trasversale, peraltro non ancorata nel nucleo. Ne
risultano un difetto di resistenza a taglio e di duttilità (confinamento del calcestruzzo e
delle barre longitudinali compresse inadeguati, sfilamento delle barre tese).
Le tecniche di rinforzo consolidate e mirate a risolvere tali problemi sono:
-
Incamiciatura in calcestruzzo, acciaio, o elementi prefabbricati in calcestruzzo
-
Fasciatura con materiali fibro-rinforzati
-
Cambiamento dello schema statico della pila mediante interposizione di muri a
taglio o aggiunta di colonne supplementari
Capitolo 3: Rinforzo sismico dei ponti
45
3.3.1 Incamiciatura in calcestruzzo
Le ragioni principali che portano a scegliere il rinforzo mediante incamiciatura in c.a.
sono due: generalmente esso risulta competitivo da un punto di vista economico e
presenta un comportamento più favorevole in acqua rispetto alle alternative. Per questo
motivo si tratta di una delle soluzioni più utilizzate, in particolari per le pile in alveo.
L’incamiciatura consiste nella costruzione intorno alla pila esistente di una nuova sezione
in cemento armato (Fig. 3.2a). La buona connessione tra la due porzioni di calcestruzzo è
essenziale per la riuscita del rinforzo. Questo avviene attraverso una serie di barre inserite
in appositi fori, praticati nel calcestruzzo esistente dopo la rimozione del copriferro, e
iniettati con malta cementizia o resine epossidiche (fiorettature, Fig. 3.2b).
La camicia può essere di due tipi: a) staccata dalla base, mediamente di 100-150mm, nel
qual caso fornisce un incremento di duttilità e di resistenza a taglio, b) connessa con la
fondazione e dotata di barre longitudinali ancorate nella fondazione, nel qual caso
fornisce anche un contributo alla resistenza flessionale (Fig. 3.2c,d). L’incremento del
confinamento migliora sia il comportamento del calcestruzzo compresso che la
trasmissione delle forze nelle zone di sovrapposizione tra le barre. Nel caso b, poiché lo
spessore della camicia è normalmente compreso tra i 200 e i 300 mm, l’incremento di
resistenza flessionale può essere importante e la fondazione potrebbe risultare inadeguata
alle nuove forze trasmesse dalla pila. Per questo motivo la prima opzione è molto più
diffusa. Naturalmente, se le fondazioni possono offrire una resistenza maggiore, la
seconda opzione può essere utile per limitare le deformazioni plastiche e in particolare
quelle residue.
Questo tipo di intervento risulta molto efficace per pile con sezione circolare. Nel caso di
pile a sezione rettangolare esso presenta invece una riduzione di efficienza, crescente con
le dimensioni della sezione da incamiciare. Il problema è particolarmente sentito nel
rinforzo delle pile a setto, che possono presentare deficit di resistenza, nonostante la
grande sezione, perché sono caratterizzate da quantitativi di armatura spesso ridotti. In
tali casi è necessario provvedere al posizionamento di barre passanti attraverso la sezione
esistente, parallelamente al lato corto, per connettere le due facce della camicia. Tali barre
sono normalmente disposte a distanza di 300-400 mm in direzione verticale, e 1.0 m in
direzione trasversale. L’operazione di perforazione per l’inserimento risulta essere quella
più delicata, in quanto il rischio di troncare le armature esistenti è elevato. Lo sviluppo
recente di tecniche che fanno uso di barre di diametro inferiore (anche di materiali
innovativi quali le plastiche rinforzate con fibre di arramidio) risolve parzialmente questo
problema.
46
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Camicia in
calcestruzzo
Staffe o
spirale
Cravatte
Pila esistente
Pila esistente
Barre annegate
nella fondazione
(a) Pila a sezione circolare
(b) Pila a sezione rettangolare
Fig. 3.2 Esempio di incamiciatura in c.a. per incrementare duttilità e resistenza
(adattata da Priestley et al 1996)
3.3.2 Incamiciatura in acciaio
Nella forma di camicie circolari o ellittiche (per le sezioni rettangolari) questa tecnica è
stata una delle prime usate per il rinforzo delle pile in cemento armato. Utilizzata per
migliaia di pile da ponte in California ha dimostrato di essere molto efficace durante il
terremoto di Northridge del 1994: oltre cinquanta ponti rinforzati in questo modo hanno
superato senza danni alle pile accelerazioni di picco alla base superiori a 0.3g. In
Giappone la tecnica è stata utilizzata per oltre 40 000 pile dopo il terremoto di Kobe del
1995, durante il quale pile rinforzate con camicie in acciaio e soggette ad accelerazioni di
picco superiori a 0.8g non hanno riportato danni (Fig. 3.3).
Fig. 3.3 Incamiciatura metallica di una pila dell'Hanshin Expressway in Giappone. Il
rinforzo realizzato nel 1989 ha dato ottimi risultati durante il terremoto di Kobe del 1995.
Capitolo 3: Rinforzo sismico dei ponti
47
La camicia, normalmente di spessore intorno ai 6÷12 mm, viene saldata in opera e lo
spessore che la separa dalla pila (12.5÷25 mm) viene iniettato con malta cementizia o
resine (Fig. 3.4a). In alternativa alla saldatura, sono stati sviluppati anche giunzioni
meccaniche (Fig. 3.4b). Come per le camicie in calcestruzzo, il campo di applicazione
preferenziale è quello delle pile circolari piene. L’efficacia del confinamento per pile di
diametro superiore ai 4.0 m non è stata ancora suffragata sperimentalmente.
Dati gli spessori utilizzati il quantitativo di acciaio è considerevole, specialmente se
confrontato con l’acciaio presente nella pila. A di là dell’aspetto economico, che rende
meno competitiva questa soluzione, è necessario osservare che l’incremento di resistenza
flessionale e a taglio con questa soluzione di rinforzo è molto elevato e il distacco dalla
base della pila è quasi obbligato (normalmente nella misura di 50÷100 mm). Se si vuole
incrementare anche la resistenza a flessione è necessario ancorarla alla fondazione.
Questo può essere fatto saldando alla base della camicia dei profili che vengono poi
ancorati con tirafondi. Per le pile rettangolari le camicie, di forma ellittica (Fig. 3.4c),
hanno effetto sulla resistenza a taglio, e possono averlo su quella a flessione (Fig. 3.4d),
ma non sul confinamento.
(a)
(b)
Camicia
metallica
12 mm
Lasco 20 mm
(c)
(d)
25 mm
Camicia
metallica
Trave perimetrale
Camicia
metallica
12 mm
Armatura
esistente
Tirafondi
Fig. 3.4 Esempio di incamiciatura in acciaio (adattata da fib, 2007).
48
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
3.3.3 Fasciature con FRP
Molte varianti di polimeri/plastiche fibro-rinforzate sono usati nel rinforzo di pile da
ponte. L’uso che ne viene fatto dipende dalla rigidezza, dalla resistenza e dalla
deformazione di rottura del tipo specifico di materiale utilizzato (fibre di carbonio,
arramidio, vetro, etc). Come già detto questi materiali, pur avendo un costo generalmente
ancora elevato risultano economicamente competitivi in quei casi in cui il loro utilizzo
permette un notevole accorciamento dei tempi di realizzazione del rinforzo, e quindi
dell’interferenza con il traffico. Inoltre essendo normalmente leggeri e facilmente
maneggiabili sono un’ottima alternativa alle camicie in c.a. o acciaio in tutte quelle
situazioni in cui lo spazio operativo è limitato o disagiato.
Se lo scopo del rinforzo è quello di aumentare il confinamento, le fibre più adatte sono
quelle di carbonio, caratterizzate dal modulo elastico più elevato (simile all’acciaio) e da
un comportamento elastico lineare fino a rottura. Particolarmente rilevante in questo
senso è l’elevata resistenza delle fibre di carbonio che è nell’ordine di 10 volte rispetto a
quella dell’acciaio delle armature ordinarie. Il confinamento quindi risulta più efficace di
quello offerto dall’armatura trasversale in quanto l’espansione laterale del calcestruzzo è
contrastata elasticamente anche a livelli molto elevati di deformazione.
Questi materiali vengono forniti in fogli. Sono normalmente utilizzati trasversalmente
all’asse della pila, per incrementare confinamento e resistenza a taglio, e si stanno
sperimentando anche verticalmente, ancorati mediante piastre metalliche nella
fondazione, per incrementare la resistenza flessionale (Fig. 3.5). Per le sezioni rettangolari
è stata anche utilizzata una soluzione simile a quella delle incamiciature metalliche per
aumentare l’efficacia del confinamento (Fig. 3.6).
Fig. 3.5 Esempio di fasciatura con FRP per incrementare la resistenza a taglio e flessione
(sperimentazione presso lo EUCENTRE nell’ambito del Progetto DPC-Reluis - Linea 3).
Capitolo 3: Rinforzo sismico dei ponti
49
Un altro tipo di fibre utilizzate sono quelle di arramidio, che sono meno rigide di quelle di
carbonio, motivo per cui sono più adatte all’utilizzo su pile a sezione (leggermente)
variabile. Vengono confezionate in fogli, barre, nastro intrecciato e non. I fogli e le barre
sono quelli impiegati nel rinforzo dei ponti. In particolare i fogli sono utilizzati per le
fasciature, mentre le barre sono utilizzate per precomprimere le fondazioni (vedi 3.4) o
come connessione tra i lati di camicie in calcestruzzo nel caso di pile rettangolari
allungate.
Fig. 3.6 Esempio di fasciatura con CFRP previa realizzazione di un profilo ellittico intorno
alla sezione rettangolare esistente (Furlanetto et al, 2008).
Un utilizzo interessante, per le modalità di applicazione, è quello delle fibre di vetro
mescolate a resine. Questo materiale è spruzzato sulla superficie della pila da rinforzare,
sulla quale normalmente è disposta anche una rete metallica, con modalità simili a quelle
del betoncino spruzzato. Questa soluzione è stata sottoposta a prove cicliche dando
buoni risultati in termini di incremento della duttilità (fib, 2007).
3.3.4 Trasformazione in pila a setto
Un intervento realizzato in alcuni casi di pile a portale basse è quello consistente nella
realizzazione di un riempimento in c.a. tra i due ritti, la fondazione e il pulvino. Il nuovo
getto viene connesso alla pila esistente mediante fiorettature praticate sul contorno e il
50
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
risultato finale è una pila a setto di rigidezza e resistenza molto elevate nella piano del
nuovo muro (Fig. 3.7).
Fig. 3.7 Realizzazione di un setto tra i due ritti di una pila a portale.
3.3.5 Precompressione verticale
Un intervento meno diffuso ma meritevole di considerazione in virtù dei benefici che
esso può portare consiste nella precompressione verticale a “cavi esterni” delle pile.
Questo intervento riesce più agevolmente con pile a sezione cellulare, nel qual caso i cavi
possono essere disposti all’interno della sezione. L’azione della precompressione può
essere modulata lungo l’altezza avendo cura di controllare che non si verifichino bruschi
cambi di rigidezza o spostamenti non intenzionali delle zone di plasticizzazione.
3.4 RINFORZO DI SPALLE E FONDAZIONI
3.4.1 Spalle
Le tipologie di spalle più frequentemente impiegate nelle opere da ponte esistenti del
nostro Paese sono del tipo a gravità, in calcestruzzo non armato, e a mensola in c.a., a
parete continua o passante. Le fondazioni sono sia superficiali che su pali.
Gli interventi sulle spalle possono rendersi necessari a causa di una progettazione eseguita
prescindendo dall’azione sismica, o con un’azione sismica di progetto convenzionale e
minore rispetto a quella prevista dall’attuale mappa di pericolosità.
L’intervento più comune per risolvere i problemi di stabilità globale è costituito dalla
realizzazione di tiranti congiuntamente a una paretina esterna di c.a. con funzione di
ripartizione delle forze nei tiranti sul paramento della spalla. Le file di tiranti possono
essere più d’una nel caso di spalle alte e in particolar modo in quello delle spalle a gravità
che presentano un deficit di resistenza flessionale anche al di sopra della sezione di base.
Interventi di questo tipo sono mostrati in Fig. 3.8.
Capitolo 3: Rinforzo sismico dei ponti
51
Un altro intervento che viene a volte adottato per ridurre le spinte sismiche sul paramento
della spalla è il rimpiazzo del riempimento a tergo con un materiale di peso inferiore e
caratteristiche meccaniche migliori.
Per quanto riguarda la fondazione delle spalle gli interventi possibili sono quelli descritti
al paragrafo successivo con riferimento alle pile.
(a)
(b)
Fig. 3.8 Rinforzo spalle mediante camicia in c.a. e tiranti: a) spalla a mensola b) spalla a
gravità (progetto SPEA, A14)
3.4.2 Fondazioni
L’intervento sulle fondazioni può rendersi necessario nel caso in cui la fondazione
esistente non sia adeguata a trasmettere al terreno le forze provenienti dalla
sovrastruttura, valutate per un’azione sismica di verifica che è in generale maggiore di
quella del progetto originale. Inoltre, nel caso in cui la pila o la spalla sia stata rinforzata
occorre, in ossequio al principio di gerarchia delle resistenze, verificare che la fondazione
sia in grado di sopportare le nuove aumentate forze che l’elevazione può trasmettere.
L’intervento è infine sempre necessario quando la pila viene allargata per accogliere un
impalcato di larghezza maggiore.
La porzione di fondazione di nuova realizzazione è costituita da un plinto normalmente
fondato su micropali. La geometria del plinto riprende quella del plinto esistente nel caso
di allargamento, e lo ingloba quando occorre nel caso di rinforzo. In entrambi i casi il
problema principale è quello della solidarizzazione delle due porzioni del plinto in modo
52
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
da garantire un comportamento monolitico. La soluzione più comune consiste nell’uso di
una fitta serie di fiorettature. Nel caso sia necessario trasmettere sollecitazioni elevate si
può ricorrere anche alla precompressione trasversale. La Fig. 3.9 mostra un intervento
sulla fondazione di un viadotto allargato. In casi come questo i micropali devono essere
dimensionati per fornire una rigidezza verticale e rotazionale (per rotazione intorno
all’asse trasversale del ponte) comparabili con quelle della parte esistente.
Fig. 3.9 Fondazione di un viadotto allargato (progetto SPEA, A14).
Un caso particolare è costituito da quelle pile, in particolare quelle a setto di altezza
modesta, che per ragioni costruttive presentano una naturale sovra-capacità flessionale
rispetto alle richieste. In questi casi, per salvaguardare le fondazioni, si può procedere a
un indebolimento della pila interrompendo la continuità nella sezione di base di parte
dell’armatura verticale. In tal modo si accetta che la pila sfrutti in parte la duttilità
disponibile per trasmettere alla fondazione forze ridotte compatibili con la sua resistenza.
CAPITOLO 4: ESEMPI APPLICATIVI
4.1 INTRODUZIONE
In questo capitolo vengono illustrati tre esempi di valutazione della sicurezza sismica di
viadotti con pile a fusto unico. Nel primo esempio viene analizzato lo stato di fatto di un
viadotto con impalcato in c.a.p. a travi appoggiate, utilizzando il metodo semplificato
descritto in §2.4.4. Nel secondo e terzo esempio si analizzano due ipotesi di intervento sul
viadotto del primo esempio, in entrambi i casi sostituendo l’impalcato esistente con uno
più largo, a sezione mista acciaio-calcestruzzo, continuo sulle pile.
In tutti i casi si è assunto un livello di conoscenza pari a LC3.
4.2 VIADOTTO CON PILE A FUSTO UNICO: STATO DI FATTO
4.2.1 Descrizione dell’opera
L’opera è costituita da sei campate semplicemente appoggiate di luce pari a 30m, come
mostrato in Fig. 4.1. L’impalcato è largo 9.50 m ed è costituito da tre travi prefabbricate
in c.a.p., poste ad interasse di 3.20 m, con soletta in c.a. gettata in opera (htravi ~ 1.70 m,
hsoletta ~ 0.22 m), come indicato in Fig. 4.2a. Gli apparecchi di appoggio consistono in
cuscinetti di piccolo spessore in neoprene non armato. La sezione del fusto pila è
circolare cava, di diametri esterno e interno rispettivamente pari a 3.0 m e 2.20 m, ed è
costante su tutta l’altezza (Fig. 4.2b). Il pulvino è costituito da un traverso sagomato a
sezione piena in c.a. Le pile hanno altezza variabile da 8.0m a 19.50m.
Fig. 4.1 Profilo longitudinale del viadotto.
30.0
8.0
30.0
14.1
30.0
19.47
30.0
17.1
30.0
11.15
30.0
54
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
9.5
3.2
3.2
0.4
3.0
2.2
0.4
32+32Ø20
1.0 1.7
2.2
1+1Ø12/20
(a)
(b)
Fig. 4.2 (a) Sezione dell'impalcato esistente (b) Sezione della pila.
Le fondazioni delle pile sono costituite da un plinto quadrato (~7.20 m × 7.20 m × 2.0 m)
fondato su cinque pali ∅1500. Le spalle, di modesta altezza, hanno struttura in c.a. e
fondazione diretta.
7.2
7.2
4.8
2.0
7.2
4.8
4.8
Fig. 4.3 Pianta e prospetto fondazione della pila tipo.
4.2.2 Definizione dell’azione sismica di verifica
I parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione per il sito in esame sono
riportati, in funzione del periodo medio di ritorno, nella Tabella 4.1. Trattandosi di un
viadotto di importanza normale ad esso corrisponde una vita nominale VN di 50 anni.
Poiché il viadotto fa parte di un tratto della viabilità principale (strada di categoria A/B)
ad esso corrisponde una classe d’uso IV, per cui CU vale 2.0. La vita di riferimento è
quindi VR = VN × CU = 100 anni. La caratterizzazione geotecnica del sito (VS,30 >
500m/s) e la superficie topografica pianeggiante (i<15°) indicano una categoria di suolo B
e un coefficiente di amplificazione topografica ST=1. I parametri caratterizzanti gli spettri
Capitolo 4: Esempi applicativi
55
elastici per le due componenti, orizzontali, e per i due stati limite SLV (probabilità di
superamento in VR pari al 10%, da cui TR = 949 anni) e SLC (probabilità di superamento
in VR pari al 5%, da cui TR = 1950 anni) sono riportati nella Tabella 4.2. La Fig. 4.4
mostra il grafico degli spettri per i due stati limite.
Tabella 4.1 Parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione.
TR (anni)
30
50
72
101
140
201
475
975
2475
ag (g/10)
0.742
0.960
1.143
1.327
1.525
1.765
2.447
3.140
4.267
Fo
2.403
2.353
2.320
2.312
2.306
2.303
2.341
2.365
2.398
TC* (s)
0.270
0.278
0.284
0.288
0.294
0.304
0.325
0.342
0.359
Tabella 4.2 Parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione.
SL
ag (m/s2)
Fo
TC*
SS
S
TB
CC
TC
TD
dg (m)
vg (m/s)
SLV
3.05
2.36
0.34
1.11
1.11
0.16
1.36
0.47
2.85
0.11
0.25
SLC
3.87
2.39
0.36
1.02
1.02
0.16
1.35
0.48
3.18
0.15
0.30
SLC
SLV
Sae - m/s2
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
T-s
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 4.4 Spettri di risposta elastici in accelerazione per i due stati limite considerati.
56
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
4.2.3 Analisi
Trattandosi di un viadotto con impalcato a travi semplicemente appoggiate e pile a fusto
unico, si fa riferimento al metodo di analisi semplificato presentato in 2.4.4. Il metodo
prevede che in direzione trasversale l’analisi venga effettuata individualmente pila per pila,
e che in direzione longitudinale l’analisi venga effettuata considerando come legame forza
deformazione quello che si ottiene sommando i contributi di tutte le pile. Il legame forzaspostamento di ciascuna pila si ottiene con riferimento a un modello di oscillatore
semplice, a partire dal legame momento-curvatura della sezione di base.
Presupposto per l’adozione del metodo sopra descritto è che la mobilità degli impalcati
rispetto al pulvino sia molto ridotta. Ciò richiede la presenza di ritegni sismici in entrambe
le direzioni, realizzati ad esempio come mostrato in Fig. 3.1. La realizzazione di un
sistema di ritegni è peraltro da considerare un intervento obbligatorio su qualunque
viadotto con impalcato a travi appoggiate con apparecchi d’appoggio di resistenza
inadeguata.
Carichi e masse
A titolo esemplificativo, la Tabella 4.3 riporta il calcolo della massa afferente e dello
sforzo normale nella sezione di base (estradosso della fondazione) con riferimento alla
pila di altezza H=8.0m.
Tabella 4.3 Massa equivalente e sforzo normale nella sezione di base (H=8m)
Wimp
= 125 kN/m × 30 m = 3750 kN
peso impalcato
Himp
= 2.0 m
baricentro impalcato (da estradosso pulvino)
Wpulv
= 1213.5 kN
peso pulvino
Hpulv
= 2.2 m
ingombro pulvino in altezza
wpila
= 81.7 kN/m
peso unitario fusto pila
H
= 8.0 m
altezza totale fusto pila
Wpila
= wpila × (Htot-Hpulv) = 474 kN
peso fusto pila
Hfond
= 2.0 m
altezza plinto di fondazione
Nd
= Wimp + Wpulv + Wpila = 5437 kN
sforzo normale ad estradosso fondazione
m
= (Wimp+Wpulv+0.3×Wpila)/g
massa equivalente
= 520.4 kN-massa
Wfond
= 2543 kN
peso plinto di fondazione
Nf
= Nd + Wfond = 7980kN
sforzo normale a intradosso fondazione
Capitolo 4: Esempi applicativi
57
Legame forza-spostamento di pila
Il legame tra forza e spostamento per la pila si ricava a partire dal diagramma momentocurvatura della sezione di base. Essendo la sezione delle pile circolare tale legame è
utilizzato sia per l’analisi in direzione trasversale che per quella in direzione longitudinale.
A titolo esemplificativo, la Fig. 4.5 riporta il diagramma momento curvatura della sezione
di base per la pila di altezza H=8.0m, ottenuto con un apposito programma di calcolo.
Per il calcestruzzo e l’acciaio sono stati utilizzati rispettivamente i legami uniassiali di
Kent-Scott-Park e bilineare. I valori medi utilizzati per i parametri dei legami tensionedeformazione sono: per il calcestruzzo fc = 25 MPa, εc0 = 2‰, fcu = 20 MPa e εcu = 5‰,
per l’acciaio fsy = 400 MPa, εy = 1.9‰, εsu = 40‰, α = 0.0.
La curvatura e il momento ultimi risultano pari a:
φu ≅ 1.13⋅10-5 mm-1
M u = 16638 kNm
La bilinearizzazione del diagramma con il criterio delle aree uguali richiede il calcolo
dell’area (energia) sottesa dal diagramma:
φu
E = ∫0 M ⋅ dφ ≅ 0.174 kNm/mm
La curvatura di snervamento del diagramma bilineare equivalente è quindi pari a:
⎛
E ⎞
1.13E-05
1.0E-05
8.0E-06
6.0E-06
4.0E-06
φ - mm-1
1.2E-05
1.65E-06
16638
2.0E-06
0.0E+00
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
M - kNm
⎟⎟ ≅ 1.65⋅10-6 mm-1
φ y = 2⎜⎜ φu −
M
u ⎠
⎝
Fig. 4.5 Diagramma momento-curvatura della sezione di base (Hp=8.0).
58
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Il passo successivo consiste nel determinare il legame forza-spostamento della pila. Per
l’analisi in direzione trasversale il punto di applicazione della forza si trova nel baricentro
delle masse, dato dall’espressione:
H≅
(W
pulv
)
+ 0.3W pila H p + Wimp H imp
W pulv + 0.3W pila + Wimp
≅ 9.47 m
La lunghezza di cerniera plastica è pari a:
l p = 0.1 × H p = 0.80 m
Gli spostamenti di snervamento e ultimo alla quota del baricentro delle masse sono dati
dalle espressioni (2.24) e (2.25):
φ yH 2
δy =
= 0.041 m
3ν
⎛
δ u = δ y + (φu − φ y )l p ⎜⎜ H −
⎝
lp ⎞
⎟ = 0.111 m
2 ⎟⎠
dove ν = 1.2 tiene conto della maggiore rigidezza della parte di pila non fessurata. La
forza massima è data dall’espressione:
Vy =
My
H
= 1757 kN
La corrispondente rigidezza risulta pari a:
k≅
Vy
δy
= 42871 kN/m
Il diagramma bilineare forza-spostamento è rappresentato in Fig. 4.6. Nella medesima
figura è riportato anche il diagramma valido per l’analisi longitudinale.
Capitolo 4: Esempi applicativi
59
2000
V [kN]
2500
1500
trasversale
longitudinale
1000
500
δ [m]
0
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Fig. 4.6 Diagramma bilineare forza-spostamento della pila di altezza H=8.0 m.
Analisi in direzione trasversale
La determinazione della domanda di spostamento richiede la valutazione del periodo
proprio della pila in direzione trasversale (equazione (2.26)):
T = 2π
m
= 0.692 s
k
La corrispondente accelerazione spettrale, allo SLV, risulta pari a:
S ae (T ) = a g S s S T ηF0
TC
= 5.37 m/s2
T
(TC
≤ T ≤ TD )
da cui segue la domanda di spostamento (inelastico, q = mS ae (T ) / V y = 1.59>1) pari allo
spostamento spettrale elastico ( T > TC ):
2
⎛T ⎞
⎟ = 0.065 m
⎝ 2π ⎠
δ T = S de (T ) = S ae ⎜
Le sollecitazioni corrispondenti sono:
VT = V y = 1757 kN
M T = VT H = 16638 kNm
60
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
8000
7000
6000
V [kN]
Analisi in direzione longitudinale
Per determinare la risposta in direzione longitudinale è necessario preliminarmente
valutare il legame forza-spostamento dell’intero viadotto come somma di quelli delle pile.
La Fig. 4.7 riporta i diagrammi forza-spostamento (già bilinearizzati) delle cinque pile, e il
diagramma complessivo del sistema con la relativa bilinearizzazione.
risposta longitudinale
5000
4000
3000
P5
2000
P1
P4
1000
P2
P3
δ [m]
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
Fig. 4.7 Diagramma forza-spostamento in direzione longitudinale.
La resistenza in direzione longitudinale è pari a:
V y ,tot = 5957 kN
e viene raggiunta per lo spostamento di “snervamento”:
δ y ,tot = 0.062 m
calcolato con lo stesso criterio di uguaglianza delle aree già visto con riferimento al
diagramma momento-curvatura. La rigidezza longitudinale risulta quindi:
k tot =
V y ,tot
δ y ,tot
= 96781 kN/m
La massa è pari alla somma delle masse afferenti alle pile:
m tot = ∑ m i = 3059 kN massa
Capitolo 4: Esempi applicativi
61
Il periodo in direzione longitudinale, l’accelerazione e lo spostamento spettrali elastici,
quest’ultimo pari alla domanda in spostamento, valgono quindi:
T = 2π
m tot
= 1.12 s
k tot
S ae (T ) = a g S s S T ηF0
(TC
≤ T ≤ TD )
TC
= 3.33 m/s2
T
2
⎛T ⎞
δ L = S de (T ) = S ae ⎜ ⎟ = 0.105 m> δ y
⎝ 2π ⎠
Il sistema risulta snervato q = mtot S ae (T ) / V y = 1.71. Le sollecitazioni domanda valgono
pertanto:
V L = V y = 2080 kN
M L ≅ V L H eq = 16638 kNm
4.2.4 Verifica delle pile
Le verifiche riportate nel seguito si riferiscono al solo SLV. Le verifiche relative allo SLC
conducono, in questo caso, a indici di verifica sostanzialmente uguali.
Meccanismi duttili
A titolo esemplificativo si riporta il calcolo della capacità di spostamento allo SLV per la
pila P5 in direzione trasversale (Hp=8.0m):
δ SLV = 0.75 ×
δu
= 0.044 m
γ el
dove la divisione dello spostamento δ u per γ el = 1.5 fornisce la capacità di spostamento
allo SLC e il fattore 0.75 serve a passare da questa alla capacità per lo SLV.
La Fig. 4.8 mostra i diagrammi bilineari forza-spostamento in direzione trasversale e
longitudinale, con evidenziati gli spostamenti domanda (uguale per tutte le pile per l’analisi
in direzione longitudinale) e capacità.
Nella Tabella 4.4 sono riportati i rapporti domanda-capacità in termini di spostamento,
per i due piani di flessione, calcolati per tutte le pile. Nell’ultima colonna è riportata la
62
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
combinazione degli indici di verifica trasversale e longitudinale mediante la regola di
combinazione SRSS, in accordo all’equazione (2.50).
2500
risposta trasversale
P5
capacità
domanda
P1
P4
capacità
domanda
P1
1500
P2
P4
P2
1000
P3
V [kN]
risposta longitudinale
P5
2000
500
δ [m]
V [kN]
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
P3
δ [m]
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
(a)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
(b)
Fig. 4.8 (a) trasversale, (b) longitudinale.
Tabella 4.4 Rapporti domanda/capacità nelle due direzioni e combinato.
Pila
D (m)
C (m)
ρtrasv
D (m)
C (m)
ρlong
ρ
1
0.099
0.099
1.00
0.105
0.084
1.25
1.60
2
0.175
0.215
0.82
0.105
0.193
0.55
0.98
3
0.209
0.272
0.77
0.105
0.248
0.42
0.88
4
0.135
0.152
0.89
0.105
0.133
0.79
1.19
5
0.065
0.055
1.18
0.105
0.044
2.40
2.67
Meccanismi fragili
In accordo con l’espressione (2.42), la resistenza a taglio viene calcolata come somma dei
contributi dovuti allo sforzo normale, al calcestruzzo e all’armatura trasversale:
VN =
⎛
f ⎞
h−x
min⎜⎜ N ;0.55 A c c ⎟⎟
γc ⎠
2LV
⎝
⎡
⎛
⎛ L
VC = 1 − 0.05 min 5; µ ∆ , pl × ⎢0.16 max(0.5;100 ρ tot )⎜⎜ 1 − 0.16 min⎜ 5; V
⎝ h
⎝
⎣
(
VW =
(
As f Y π
(D − 2 c )
p γs 4
))
⎞ ⎞⎤ f c
Ac
⎟ ⎟⎟⎥
⎠ ⎠⎦ γ c
Capitolo 4: Esempi applicativi
63
Nel caso in esame, a titolo esemplificativo per la pila P5, si hanno i valori riportati nella
Tabella 4.5.
Tabella 4.5 Calcolo della resistenza a taglio per la pila P5, Hp=8.0m.
h
≅ 3.0 m
altezza sezione
LV
= H = 9.47 m
lunghezza di taglio
x
≅ 0.44 m
Ac
= π / 4 × (3 − 0.2 ) − (2.2 + 0.2 )
f cd
= f c γ c = 25.0 1.5 = 16.67 MPa
resistenza a compressione cls
f yd
= f y γ s = 400 1.15 = 347.8 MPa
resistenza acciaio
ρ tot
= 64φ 20 Ac ,lorda = 0.615 % > 0.5
percentuale armatura
Asw p
= 2 × (2φ 12 ) 0.2m = 2260 mm2/m
armatura trasversale
N
= 5437 kN ≤ 0.55 Ac f c = 14945 kN
sforzo normale
VN
= (3m-0.44m)/(2×9.47m) × N = 0.135 × N = 735 kN
VC
= (1-0.05×0.59)×0.16×0.615×(1-0.16×3.16)×√(fc/γc) Ac = 315 kN
VW
= 0.785×(3-2×0.1)×(fy/γs) Asw/p = 1729 kN
γ el
= 1.15
VR
[
2
2
] = 1.63 m
= (V N + VC + VW )/ γ el = 2417 kN
2
profondità asse neutro
area sezione (confinata)
resistenza a taglio
I rapporti domanda/capacità per la pila in esame valgono dunque:
ρ V ,T =
VT
= 1757 / 2417 = 0.68
VR
ρV , L =
VL
= 2080 / 2587 = 0.80
VR
ρV = ρ 2 + ρ 2
V ,T
V ,L
= 1.08
La Tabella 4.6 riporta i rapporti per tutte le pile.
64
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Tabella 4.6 Rapporti domanda/capacità nelle due direzioni e combinato.
Pila
D (kN)
C (kN)
ρtrasv
D (kN)
C (kN)
ρlong
ρ
1
1342
2190
0.61
1517
2299
0.66
0.90
2
941
1988
0.47
824
2014
0.41
0.63
3
845
1957
0.43
569
1974
0.29
0.52
4
1106
2041
0.54
1217
2109
0.58
0.79
5
1757
2417
0.73
2080
2587
0.80
1.08
4.2.5 Verifica degli appoggi
È necessario verificare che la lunghezza di appoggio sia adeguata, in accordo all’equazione
(2.44). A titolo esemplificativo si procede al calcolo della lunghezza necessaria per la
campata compresa tra la pila P4 e la pila P5, che distano x = 30 m.
Lo spostamento massimo del suolo alla base di ciascuna pila (suolo uniforme, categoria B,
velocità media delle onde di taglio assunta pari a Vs , 30 = 500 m/s ) vale dgi=dgj=dg=0.11m
(SLV), come indicato in Tabella 4.2. Lo spostamento relativo massimo tra le basi delle
pile vale:
[
(
d rel , g (x ) = d ij ,max 1 − exp − 1.25(x / Vs )
[
(
0.7
)]
)] =
= 1.25 2d g2 1 − exp − 1.25(x /Vs )0.7 = 0.03 m
Lo spostamento relativo massimo tra le teste pila, dovuto all’oscillazione delle pile stesse
vale:
d rel ,s = δ L2 , P 4 + δ L2 , P 5 = 0.16 2 + 0.19 2 = 0.25 m
La lunghezza minima di appoggio risulta pari a:
L = 0.40 + 0.03 + 0.25 = 0.68 m
4.2.6 Verifica delle fondazioni
Il plinto di fondazione della generica pila ha cinque pali (n=5) di diametro ∅1500. Si
procede al calcolo delle sollecitazioni di presso-flessione e taglio in ogni palo, per le
fondazioni delle cinque pile. Il calcolo, riportato per completezza, non differisce da quello
di una fondazione di nuova costruzione.
Capitolo 4: Esempi applicativi
65
Calcolo sollecitazioni
Nel seguito si presenta come in precedenza il calcolo dettagliato con riferimento alla pila
P5. Lo sforzo normale sul palo soggetto alla variazione maggiore è dato dall’espressione:
N palo =
N
± ∆N L2 + ∆N T2
n
nella quale la variazione dello sforzo normale dovuta all’azione sismica è valutata
mediante la combinazione direzionale quadratica delle variazioni dovute alle componenti
longitudinale e trasversale:
∆N L =
ML
WL
∆N T =
MT
WT
dove ML e MT sono i momenti longitudinale e trasversale all’intradosso della fondazione,
e WL=WT=9.6m3 i corrispondenti moduli di resistenza a flessione, calcolati nell’ipotesi di
plinto rigido.
Lo sforzo normale N all’intradosso della fondazione, già calcolato in precedenza (ultima
riga della Tabella 4.3) vale 7980 kN. Quindi sotto i soli carichi verticali lo sforzo normale
nel palo generico vale N/n = 1596 kN.
Per effetto del sisma trasversale all’asse del ponte il momento all’intradosso della
fondazione è dato dal momento alla base della pila, Mpila,T=14057 kNm, trasportato
all’intradosso della fondazione, cui va sommato il momento dovuto all’inerzia della
fondazione (Vf =Wf×ag/g =2543×0.31g = 791 kN):
M T = M pila ,T + V pila ,T h f + V f
hf
2
= 16638+1757×2.0+791×1.0 = 20943 kNm
Combinando similmente l’effetto del sisma longitudinale, si ottiene lo sforzo normale sul
palo che vale quindi:
2
2
⎛ 20943 ⎞ ⎛ 21589 ⎞
N palo = 1596 ± ⎜
⎟ +⎜
⎟ = 1596 ± 3133 kN
⎝ 9.6 ⎠ ⎝ 9.6 ⎠
Il taglio sul palo vale (essendo i pali circolari è possibile calcolare la combinazione dei tagli
domanda invece che dei rapporti domanda/capacità):
2
V palo =
VT2
+ VL2
2
⎛ 1757 + 791 ⎞ ⎛ 2080 + 791 ⎞
= ⎜
⎟ +⎜
⎟ = 768 kN
5
5
⎝
⎠ ⎝
⎠
66
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Il momento sul palo è dato da (Matlock e Reese):
M palo = V palo 0.93λ = 2678 kNm
dove λ ≅ 2.5 ∅=3.75 m.
Verifica a presso-flessione
I pali sono armati con 44φ 26 , corrispondenti a una percentuale geometrica di armatura
del 1.32%. La Fig. 4.9 riporta il dominio di resistenza a presso-flessione del palo
(fc/γc=16.67 MPa, fy/γs=347.8 MPa, εsmax=εy) al limite elastico con i due punti “domanda”.
Il rapporto domanda/capacità vale:
ρ=
M palo
min(M u ,el (N min ), M u ,el (N max ))
0
1000
2000
=
2678
= 1.20
min(2227,3854 )
3000
4000
5000
6000
40000
20000
10000
N - kN
30000
0
-10000
M - kNm
-20000
Fig. 4.9 Diagramma N-M palo, verifica SLV.
La verifica è soddisfatta in quanto ρ<1.5 (risposta sostanzialmente elastica).
Verifica a taglio
Il calcolo della resistenza a taglio del palo è analogo a quello del fusto pila e non viene
riportato nel dettaglio. L’armatura a taglio è pari a φ12/20, trascurando del tutto il
contributo dello sforzo normale (Nmin ~ 0), la resistenza vale :
VR = 946 kN
cui corrisponde un rapporto domanda/capacità pari a :
Capitolo 4: Esempi applicativi
ρV =
V palo
VR
67
= 768/946 = 0.81
La Tabella 4.7 riporta i rapporti di verifica a pressoflessione e taglio dei pali su tutte le
pile.
Tabella 4.7 Rapporti domanda/capacità per pressoflessione e taglio.
Pila
DM
(kNm)
CM
(kNm)
ρM
DV
(kN)
CV
(kN)
ρV
1
2192
2277
0.96
629
946
0.66
2
1652
2410
0.69
474
946
0.50
3
1484
2491
0.60
426
946
0.45
4
1927
2306
0.84
553
946
0.58
5
2678
2227
1.20
768
946
0.81
4.2.7 Conclusioni
La Tabella 4.8 riporta il riepilogo dei risultati di tutte le verifiche effettuate.
Tabella 4.8 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le verifiche (SLV).
Elemento
Fusti pile
Pali
Meccanismo
Verifica
P1
P2
P3
P4
P5
Duttile
Spostamento
ρδ
1.60 0.98 0.88 1.19 2.67
Fragile
Taglio
ρV
0.90 0.63 0.52 0.79 1.08
Limite elastico
Pressoflessione ρM 0.96 0.69 0.60 0.84 1.20
Fragile
Taglio
ρV
0.66 0.50 0.45 0.58 0.81
I risultati esposti evidenziano un deficit della struttura in termini di duttilità dei fusti pila,
con valori di resistenza a taglio sostanzialmente idonei e che similmente i pali di
fondazione sono adeguati a sostenere il livello di azione sismica considerato (ρM<1.5,
ρV<1).
68
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Le medesime verifiche svolte per lo stato limite di collasso (SLC), come già accennato,
conducono a indici di verifica ρ confrontabili con lo stato limite di salvaguardia della vita
(SLV), con una leggera penalizzazione delle verifiche dei pali a causa dell’aumentato
contributo dell’inerzia della fondazione (le forze derivanti dalla sovrastruttura sono uguali
nei due casi essendo tutte le pile plasticizzate allo SLV).
Tabella 4.9 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le verifiche (SLC).
Elemento
Fusti pile
Pali
Meccanismo
Verifica
P1
P2
P3
P4
P5
Duttile
Spostamento
ρδ
1.47 0.90 0.80 1.09 2.45
Fragile
Taglio
ρV
0.90 0.69 0.56 0.79 1.09
Limite elastico
Pressoflessione ρM 1.05 0.81 0.70 0.93 1.30
Fragile
Taglio
ρV
0.73 0.59 0.53 0.65 0.87
Capitolo 4: Esempi applicativi
69
4.3 VIADOTTO CON PILE A FUSTO UNICO: ALLARGAMENTO
4.3.1 Descrizione dell’opera
Si esamina l’ipotesi progettuale che prevede l’allargamento della sede stradale del ponte
descritto al §4.2. Tra le molteplici soluzioni progettuali si analizza in particolare quella di
completa sostituzione degli impalcati esistenti con un impalcato continuo acciaiocalcestruzzo. Tale soluzione sarà ulteriormente differenziata prevedendo l’adozione di
dispositivi di appoggio tradizionali o, in alternativa, isolatori elastomerici (§4.3.5).
Dato il deficit delle pile evidenziato già nell’analisi del viadotto allo stato attuale, a causa
della scarsa duttilità dei fusti, è logico supporre che anche in caso di sostituzione
dell’impalcato tale deficit permanga, benché lo schema strutturale cambi da appoggiato a
continuo. Al fine di progettare l’intervento sui fusti pila è necessario valutare
preliminarmente il deficit relativo al nuovo impalcato e nuovo schema.
Data la tipologia di impalcato scelto (acciaio-calcestruzzo) l’aggravio complessivo di
massa sulle sottostrutture risulta contenuto, da 125 kN/m del vecchio impalcato
(larghezza 9.5 m) a 140 kN/m del nuovo (larghezza 12.0 m). Ove non esplicitamente
indicato si farà riferimento alle carpenterie ed alle caratteristiche dei materiali relative
all’esempio precedente.
1.0 1.6
2.2
12.0
6.0
Fig. 4.10 Sezione del nuovo impalcato a struttura mista acciaio-calcestruzzo.
4.3.2 Analisi
Trattandosi di un viadotto continuo in cui il primo modo di vibrazione in entrambe le
direzioni ha una massa partecipante superiore all’80% (vedi Tabella 4.10), è possibile
impiegare come metodo di analisi il pushover mono-modale (per ciascuna direzione del
sisma) presentato in 2.4.4.
70
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Nel caso specifico sono stati istituiti due modelli di calcolo non lineari: uno a con
modellazione a fibre della sezione trasversale, utilizzando il codice di calcolo OpenSees, e
l’altro con modellazione delle sezioni mediante legami M-φ utilizzando il codice di
calcolo commerciale Sap2000. Opportunamente impiegato (legami M-φ tri-lineari,
cerniere plastiche multiple lungo l’elemento) il programma commerciale fornisce risultati
in eccellente accordo con il programma a fibre.
Fig. 4.11 Modello di calcolo
Il primo passo della procedura prevede l’analisi modale della struttura. La Tabella 4.10
riporta le informazioni più importanti per i due modi rispettivamente trasversale e
longitudinale (riportati in Tabella 4.10), ed in particolare quelle utili ad eseguire la
procedura di trasformazione delle curve di pushover in oscillatori equivalenti (fattori di
partecipazione Γ e spostamento modale massimo nel grado di libertà di controllo φc,
scelto come quello di massima ordinata modale, che in entrambi i casi è quello, trasversale
o longitudinale, del nodo di impalcato sulla pila centrale4).
Tabella 4.10 Caratterizzazione modale.
Modo
T (s)
Mx (%)
My (%)
Γx (m-1)
Γy (m-1)
φc (m)
1
0.724
0.0%
83.4%
0.0
-55.455
-0.0283 (uy)
2
0.485
90.0%
0.0%
57.604
0.0
0.0182 (ux)
Si osserva che entrambi i programmi di calcolo utilizzati normalizzano i modi di vibrazione
imponendo la condizione φ T Mφ = 1 , pertanto l’ordinata modale φc nel grado di libertà di
controllo non risulta pari a 1.
4
Capitolo 4: Esempi applicativi
71
Fig. 4.12 Deformata elastica modo 1 (trasversale) – pianta
Fig. 4.13 Deformata elastica modo 2 (longitudinale) – prospetto
Il secondo passo della procedura prevede due analisi di tipo pushover, una per ciascuno
dei due modi significativi, realizzata in controllo di spostamento con una distribuzione di
forze proporzionali al prodotto delle masse per la corrispondente deformata modale.
8000
6000
V - kN
Diagrammando la reazione vincolare totale V (nella direzione del g.d.l. considerato) ed il
corrispondente spostamento del nodo di controllo δ, si ottiene la curva in Fig. 4.14
(relativa al modo 1):
4000
2000
0
δ -m
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Fig. 4.14 Curva di pushover modo 1
Tale curva viene trasformata nella curva di un oscillatore equivalente mediante le (2.33) e
(2.34):
V * = V / Γ = V / 55.455 m-1
δ * = δ / (Γφc ) = u / (55.455 m-1 × 0.0284 m)
72
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
La procedura di bilinearizzazione, le cui espressioni sono già state illustrate in precedenza,
va eseguita in maniera iterativa in modo che lo spostamento massimo della bilatera
coincida con il valore di domanda massima calcolato. Il risultato dell’ultima iterazione è
riportato di seguito e illustrato in Fig. 4.15.
δ *y = 0.073 m
*
δ max,i
−1 = 0.111 m
V y* = 118.5 kNm
k* =
V y*
δ *y
= 1623.3 kN
m * = 55.455 kN s2
T = 2π
m*
= 1.161 s
k*
(TC
≤ T ≤ TD )
*
δ max
= S de (T ) = 0.109 m ≅ 0.111 m
dove S de (T ) è lo spettro elastico relativo allo stato limite SLV.
Lo spostamento della struttura reale, in corrispondenza dell’azione considerata (SLV),
vale quindi:
*
(Γφc ) = 0.109m ⋅ (55.455m-1×0.0284m) = 0.172 m
δ max = δ max
Si noti che il valore della m* coincide numericamente con il valore del fattore di
partecipazione Γ in quanto i modi sono normalizzati rispetto alle masse. Le due
espressioni hanno unità di misura differenti:
m * = φ T M1 ≠ Γ = (φ T M1 ) (φ T Mφ )
Capitolo 4: Esempi applicativi
6000
4000
0.05
0.10
0.15
domanda
2000
∗
δ -m
0.00
V - kN
8000
V* - kNm
140
120
100
80
60
40
20
0
73
δ -m
0
0.20
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Fig. 4.15 Sinistra: curva dell’oscillatore equivalente e relativa bilinearizzazione (modo 1);
destra: domanda di spostamento nella struttura reale.
Svolgendo il medesimo calcolo per il secondo modo, si ottiene:
8000
V* - kNm
140
120
100
80
60
40
20
0
0.00
6000
V - kN
*
(Γφc ) = 0.079m ⋅ (57.604m-1 × 0.0182m) = 0.083 m
δ max = δ max
4000
2000
∗
δ -m
0.05
0.10
0.15
domanda
δ -m
0
0.20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Fig. 4.16 Curva oscillatore equivalente e relativa bilinearizzazione
4.3.3 Verifica delle pile
Le verifiche riportate nel seguito si riferiscono al solo SLV, poiché come già osservato le
verifiche relative allo SLC conducono, anche in questo caso, a indici di verifica
sostanzialmente uguali.
Le grandezze di spostamento nelle successive verifiche sono relative al passo 35 per
l’analisi in direzione trasversale (per cui lo spostamento nel grado di libertà di controllo
uguaglia 0.172m) e al passo 17 per l’analisi in direzione longitudinale (per cui lo
spostamento nel grado di libertà di controllo uguaglia 0.083m).
74
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Meccanismi duttili
Il calcolo della capacità delle pile in termini di spostamento è analogo a quello
dell’esempio precedente e non viene riportato nel dettaglio. Si evidenzia solo il fatto che
tale capacità cambia in quanto a parità di sezione trasversale è cambiato lo sforzo normale
(impalcato più pesante e su uno schema continuo). Si riporta nella Tabella 4.11 il riepilogo
dei risultati per tutte le pile.
Tabella 4.11 Rapporti domanda/capacità nelle due direzioni e combinato.
Pila
D (m)
C (m)
ρtrasv
D (m)
C (m)
ρlong
ρ
1
0.071
0.095
0.74
0.081
0.080
1.01
1.26
2
0.133
0.212
0.63
0.080
0.190
0.42
0.75
3
0.149
0.266
0.56
0.080
0.241
0.33
0.65
4
0.110
0.150
0.73
0.081
0.131
0.62
0.96
5
0.049
0.053
0.91
0.077
0.042
1.86
2.07
2500
2000
V [kN]
V [kN]
La Fig. 4.17 mostra i diagrammi forza-spostamento in direzione trasversale e
longitudinale di tutte le pile, con evidenziati gli spostamenti domanda derivanti dall’analisi
non lineare e capacità derivanti dal calcolo già illustrato.
risposta trasversale
P5
P1
1500
P5
2000
risposta longitudinale
P1
1500
P4
P2
1000
P4
P2
P3
P3
1000
capacità
500
domanda
capacità
500
δ [m]
domanda
0
0.00
2500
δ [m]
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(a)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(b)
Fig. 4.17 (a) trasversale, (b) longitudinale.
Come anticipato il deficit di duttilità riscontrato per il ponte nell’analisi dello stato di fatto
permane anche nell’allargamento.
Per garantire il soddisfacimento di tutte le verifiche si esamineranno nei paragrafi
successivi due approcci differenti: un intervento di rinforzo sui fusti pila e l’isolamento
sismico dell’impalcato.
Capitolo 4: Esempi applicativi
75
4.3.4 Intervento di incremento di duttilità delle pile
L’intervento proposto mira ad aumentare la duttilità delle pila mediante fasciature con
fibre di carbonio della parte inferiore del fusto (dove si forma la cerniera plastica). Si
aumenta la duttilità in curvatura della sezione della pila, che governa la duttilità in
spostamento complessiva, aumentando la deformazione ultima di rottura del calcestruzzo
per effetto del confinamento delle fibre.
In accordo con la CNR-DT 200/2004 §4.5, è possibile quantificare l’effetto benefico del
confinamento mediante, ad esempio, le seguenti espressioni:
ρf =
4t f
D
f 1,eff ≅ f 1 =
1
ρ f E f ε fd ,rid
2
⎛
⎛ f 1,eff
f cc = f c ⎜ 1 + 2.6⎜⎜
⎜
⎝ fc
⎝
ε ccu = 0.0035 + 0.15
⎞
⎟⎟
⎠
2/3
⎞
⎟
⎟
⎠
f 1,eff
fc
dove ρf è la percentuale geometrica di rinforzo, tf lo spessore della fasciatura, D il
diametro della pila, Ef il modulo di Young delle fibre, f1,eff la pressione effettiva di
confinamento, εfd,rid la deformazione ridotta di calcolo del composito fibro-rinforzato, fc
ed εccu, la resistenza e la deformazione ultima del calcestruzzo confinato dalle fibre.
Assumendo valori correnti per i parametri delle fibre (Ef = 235 GPa, εfd,rid = 0.004), si
rappresenta in Fig. 4.18 il beneficio sul calcestruzzo confinato in funzione dello spessore
di fibre impiegate5.
L’intervento di fasciatura non può essere risolutivo per la pila P5 che esibisce un deficit di
duttilità in spostamento ρδ pari a 2.2 (Fig. 4.18b), equivalente ad un deficit in curvatura
(~2.5) e quindi di materiale ancor più grande. Per tale ragione l’intervento proposto
prevede la fasciatura solo delle pile da P1 a P4 e l’impiego di dispositivi di appoggio
Nell’espressione della deformazione ultima del calcestruzzo si è utilizzato a titolo prudenziale il
valore della base della deformazione del calcestruzzo pari al 3.5‰, in luogo del valore assunto
nella valutazione dello stato attuale, pari al 5‰.
5
76
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
0.010
fcc - MPa
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0.008
ε ccu
mobili sulla pila P5, al fine di disaccoppiare l’impalcato (Fig. 4.19, nella quale è indicata
un’altezza di fasciatura di poco superiore alla lunghezza di cerniera plastica).
0.006
0.004
0.002
tf - mm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tf - mm
0.000
3
(a)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(b)
Fig. 4.18 (a) resistenza del cls confinato, (b) deformazione ultima del cls confinato.
appoggi
mobili
fasciatura fibre
Fig. 4.19 Schema intervento.
Si adotta una fasciatura con uno spessore equivalente da ~1 mm, tale da incrementare la
deformazione ultima del calcestruzzo εccu fino a ~0.0069 e la sua resistenza di picco fcc fino
a 33.8 MPa. I due diagrammi momento-curvatura, con e senza effetto del confinamento,
sono rappresentati nella Fig. 4.20. L’incremento di curvatura ultima è pari a circa il 50%
rispetto alla sezione non confinata (1.57/1.05 ≅ 1.5).
L’analisi di pushover presentata al paragrafo precedente è stata ripetuta variando i
parametri meccanici del calcestruzzo e lo schema di vincolo degli appoggi. La Fig. 4.21
mostra i diagrammi forza-spostamento in direzione trasversale e longitudinale delle prime
quattro pile. L’esame dei risultati indica che un affinamento finale del progetto potrebbe
consentire di ridurre o eliminare completamente la fasciatura sulle pile P2 e P3.
La risposta della pila P5, eccitata da un modo proprio superiore, è valutata mediante un
calcolo a mano simile a quello presentato nell’analisi dello stato di fatto, avendo cura di
togliere la massa dell’impalcato per il calcolo delle forze di inerzia. La Tabella 4.12 riporta
il riepilogo dei risultati di tutte le verifiche effettuate.
Capitolo 4: Esempi applicativi
M - kNm
18775
φ - mm-1
1.2E-05
1.0E-05
8.0E-06
6.0E-06
4.0E-06
2.0E-06
0.0E+00
0
1.8E-05
2.02E-06
5000
1.57E-05
confinato
non confinato
10000
1.6E-05
15000
1.4E-05
20000
77
2000
V [kN]
V [kN]
Fig. 4.20 Diagramma momento-cruvatura della sezione di base della pila P1 (H=11.15 m).
risposta trasversale
P1
1500
P4
P2
1500
risposta longitudinale
P4
capacità
500
domanda
δ [m]
domanda
P3
1000
capacità
500
P1
P2
P3
1000
2000
δ [m]
0
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
(a)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
(b)
Fig. 4.21 (a) trasversale, (b) longitudinale.
Tabella 4.12 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le verifiche (SLV).
Elemento
Fusti pile
Pali
(*)risultati
Meccanismo
Verifica
P1
P2
P3
P4
P5(*)
Duttile
Spostamento
ρδ
0.96 0.54 0.48 0.82 0.37
Fragile
Taglio
ρV
0.91 0.67 0.60 0.83 0.59
Limite elastico
Pressoflessione ρM
1.01 0.74 0.67 0.88 0.69
Fragile
Taglio
ρV
0.69 0.53 0.49 0.61 0.56
da analisi semplificata
78
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
4.3.5 Isolamento sismico
In questo paragrafo si analizza una soluzione alternativa di adeguamento mediante
isolamento sismico. Si fa riferimento alla soluzione più comune che consiste nell’utilizzo
di dispositivi elastomerici ad alta dissipazione.
Le sollecitazioni nella sottostruttura di un ponte isolato sono dovute alla combinazione di
quelle trasmesse dall’impalcato attraverso il sistema di isolamento e di quelle dovute alla
risposta dinamica delle pile secondo i modi propri di vibrazione. Un’analisi preliminare
delle pile considerate libere in sommità è utile in quanto permette di valutare che parte
della resistenza delle pile è già impegnata dai modi propri.
Il calcolo della risposta delle pile prese singolarmente è effettuato in accordo alla
procedura semplificata (§4.2), nella quale la massa mp è pari a quella del pulvino e a
un’aliquota di quella del fusto. Lo sforzo normale per il calcolo della resistenza della
sezione di base include invece il peso dell’impalcato.
La Fig. 4.22 riporta il dominio di resistenza a presso-flessione delle pile (fc/γc=16.67 MPa,
fy/γs=347.8 MPa, εsmax=εy) al limite elastico. Il momento massimo al limite elastico,
valutato per uno sforzo normale medio di tutte le pile (~6275 kN), è pari a My ≅ 9000
kNm.
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
-10000
5000
10000
15000
20000
25000
N - kN
0
M - kNm
Fig. 4.22 Diagramma N-M delle pile al limite elastico.
La Tabella 4.13 riporta il riepilogo dei risultati per tutte le pile. La tabella riporta,
nell’ordine, l’altezza, la massa, la rigidezza, il periodo, l’accelerazione e lo spostamento
spettrali, il taglio e il momento alla base di ogni pila. L’indice ρM = √2Mp/My rappresenta
il rapporto domanda/capacità, in cui il fattore √2 tiene conto della combinazione (SRSS)
degli effetti delle due componenti ortogonali dell’azione sismica (pila circolare). Tale
rapporto indica l’aliquota di resistenza impegnata dai modi propri. L’analisi della tabella
evidenzia che le pile uscirebbero dal campo elastico anche per il solo effetto dei modi
propri. Se ne conclude che, dovendo la sottostruttura rimanere sostanzialmente elastica
Capitolo 4: Esempi applicativi
79
nella soluzione con isolamento, sarà comunque necessario un intervento di incremento
della resistenza delle pile.
Tabella 4.13 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le pile (SLV).
H
m
k
T
Sa
Sd
Vp
Mp
ρΜ
m
kN/g
kN/m
s
m/s2
m
kN
kNm
−
1
11.15
146
28313
0.45
7.98
0.041
1165
12994
2.04
2
17.10
161
7849
0.90
4.13
0.085
665
11373
1.79
3
19.47
167
5318
1.11
3.34
0.105
557
10852
1.71
4
14.10
153
14001
0.66
5.65
0.062
867
12229
1.92
5
8.00
138
76655
0.27
7.98
0.014
1103
8821
1.39
Pila
Nel caso in esame è possibile modellare gli isolatori con caratteristiche elastiche secanti.
La rigidezza, della coppia di isolatori in testa a ogni pila, viene stimata, trascurando la
flessibilità delle pile in prima approssimazione, in modo da ottenere un periodo isolato
minimo pari a Tis~2.2 s:
W
kis =
g
⎛ 2π
⎜⎜
⎝ Tis
2
⎞
140kN / m × 30 m ⎛ 2π ⎞
⎟⎟ =
⎜
⎟ ≅ 3500 kN/m
g
⎝ 2.2s ⎠
⎠
2
La selezione della tipologia di dispositivo tra quelle in produzione corrente richiede di
determinare la deformazione massima attesa e il carico verticale agente sull’isolatore. Per
uno smorzamento equivalente ξ del 10%, la deformazione attesa dei dispositivi (due
componenti ortogonali dell’azione sismica) è pari a :
δ is = 2 ⋅ S de ,SLV ,ξ 10% ≅ 0.24 m
mentre il carico verticale sul singolo appoggio è 140×30/2=2100kN.
La Fig. 4.23 mostra il modello di calcolo utilizzato per l’analisi. La Tabella 4.14 riporta
periodi e masse partecipanti dei principali modi di vibrazione della struttura. Sono stati
inclusi nell’analisi 22 modi, i primi quattro relativi alla risposta globale dell’impalcato (di
cui i modi 3 e 4, corrispondenti rispettivamente a un moto rigido di rotazione intorno a
un asse verticale baricentrico e al primo modo flessionale dell’impalcato, hanno massa
partecipante trascurabile), i rimanenti che coinvolgono singolarmente le pile.
80
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Fig. 4.23 Modello di calcolo
Tabella 4.14 Caratterizzazione modale.
Modo
T (s)
Mx (%)
My (%)
Γx
Γy
1
2.31
0.000
0.753
0.000
-53.129
2
2.18
0.754
0.000
-53.177
0.000
3
1.83
0.000
0.001
0.000
-2.080
4
0.96
0.000
0.003
0.000
3.467
5
0.72
0.025
0.000
9.662
0.000
6
0.67
0.000
0.027
0.000
-10.057
7
0.62
0.031
0.000
10.763
0.000
8
0.58
0.000
0.030
0.000
-10.523
9
0.48
0.035
0.000
-11.455
0.000
10
0.46
0.000
0.034
0.000
-11.301
12
0.34
0.037
0.000
11.747
0.000
13
0.33
0.000
0.035
0.000
11.450
19
0.21
0.037
0.000
-11.701
0.000
20
0.20
0.000
0.035
0.000
-11.482
Fig. 4.24 Deformata modo 1 (trasversale) – pianta.
Capitolo 4: Esempi applicativi
81
Fig. 4.25 Deformata modo 2 (longitudinale) – prospetto.
Fig. 4.26 Deformata modo 3 (trasversale) – pianta.
Fig. 4.27 Deformata modo 4 (trasversale) – pianta.
La Tabella 4.15 riporta il riepilogo delle sollecitazioni agenti alla base delle pile,
assumendo: una combinazione modale di tipo CQC, una combinazione direzionale delle
due componenti sismiche di tipo SRSS ed uno smorzamento del 10% solo sui primi
quattro modi di vibrare e un fattore q=1.5 (risposta della sottostruttura sostanzialmente
elastica). Sulla base di tali sollecitazioni è stato dimensionato il rinforzo mostrato in Fig.
4.28 e Fig. 4.29.
Tabella 4.15 Sollecitazione alla base delle pile.
Pila
Fx
(kN)
Fy
(kN)
|F|
(kN)
Mx
(kNm)
My
(kNm)
|M|
(kNm)
1
833
804
1158
8653
8744
12302
2
588
605
844
9652
9248
13367
3
478
510
699
9227
8543
12575
4
780
776
1100
10237
10175
14434
5
833
802
1156
6447
6382
9072
82
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
3.0
2.2
0.4
32
Ø3
0
32+32Ø20
0.4
3.4
4.0
7.1
9.7
8.6
5.6
Fig. 4.28 Sezione pila rinforzata
rinforzo
Fig. 4.29 Schema rinforzo
Verifica a presso-flessione
La Fig. 4.30 riporta il dominio di resistenza a presso-flessione al limite elastico
(fc/γc=16.67 MPa, fy/γs=347.8 MPa, εsmax=εy) della sezione di base delle pile e la Fig. 4.31
quello della sezione immediatamente superiore ai rinforzi, con i punti “domanda” relativi
alle varie pile (ridotti del fattore q=1.5). I corrispondenti rapporti D/C sono riportati in
Tabella 4.16.
0
10000
20000
30000
40000
50000
100000
60000
40000
20000
0
N - kN
80000
M - kNm
-20000
Fig. 4.30 verifica SLV, diagramma N-M della pila sezione (a) di base, rinforzata, (b)
immediatamente sopra il rinforzo.
Capitolo 4: Esempi applicativi
83
100000
80000
60000
10000
20000
30000
40000
50000
N - kN
0
40000
20000
M - kNm
0
-20000
Fig. 4.31 verifica SLV, diagramma N-M della pila sezione (a) di base, rinforzata, (b)
immediatamente sopra il rinforzo.
Tabella 4.16 Rapporti D/C totali per la sezione (a) di base rinforzata (b) immediatamente
al di sopra del rinforzo.
Pila D (kNm) C (kNm)
ρ
D (kNm) C (kNm)
ρ
1
12302
17401
0.71
5949
8989
0.66
2
13367
17343
0.77
6312
8760
0.72
3
12575
17701
0.71
5932
8917
0.67
4
14434
17105
0.84
6826
8695
0.79
5
9072
17151
0.53
4520
8927
0.51
Meccanismi fragili
La verifica della capacità a taglio non differisce da quanto già visto negli esempi
precedenti. La Tabella 4.17 riporta il riepilogo dei risultati per tutte le sezioni di base delle
pile (q=1.5).
Tabella 4.17 Rapporti domanda/capacità nelle due direzioni e combinato.
Pila
D (kN)
C (kN)
ρtrasv
D (kN)
C (kN)
ρlong
ρ
1
804
3825
0.21
833
3825
0.22
0.30
2
605
3202
0.19
588
3202
0.18
0.26
3
510
3183
0.16
478
3183
0.15
0.22
4
776
3473
0.22
780
3473
0.22
0.32
5
802
4228
0.19
833
4228
0.20
0.27
84
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Il rinforzo ipotizzato (camicia di calcestruzzo di 20cm e staffatura φ12/20) aumenta
sensibilmente la capacità a taglio del fusto pila.
Verifica dei dispositivi
La Tabella 4.18 riporta il riepilogo delle deformazioni degli isolatori (q=1).
Tabella 4.18 Deformazione isolatori longitudinale, trasversale e totale.
Pila δis,L (m) δis,T (m) δis,tot (m)
1
0.164
0.162
0.231
2
0.141
0.149
0.206
3
0.127
0.137
0.187
4
0.156
0.161
0.224
5
0.172
0.159
0.234
Verifica delle fondazioni
La verifica della capacità dei pali non differisce da quanto già visto negli esempi
precedenti. La Tabella 4.19 riporta i rapporti di verifica a pressoflessione e taglio dei pali
su tutte le pile. Nella verifica è utilizzato un q=1 anche se non strettamente richiesto dalla
norma (l’Eurocodice 8 o il DM2008 richiedono una risposta sostanzialmente elastica,
q=1.5).
Tabella 4.19 Rapporti domanda/capacità per pressoflessione e taglio.
Pila DM (kNm) CM (kNm)
ρM
DV(kN) CV (kN)
ρV
1
2022
2543
0.80
571
940
0.61
2
1688
2505
0.67
477
940
0.51
3
1535
2587
0.59
433
940
0.46
4
1960
2411
0.81
554
940
0.59
5
2020
2688
0.75
571
940
0.61
Riepilogo risultati
La Tabella 4.20 riporta il riepilogo dei risultati di tutte le verifiche effettuate.
Capitolo 4: Esempi applicativi
85
Tabella 4.20 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le verifiche (SLV).
Elemento
Fusti pile
Pali
Meccanismo
Verifica
P1
P2
P3
P4
P5
Limite elastico
Pressoflessione ρM
0.71 0.77 0.71 0.84 0.53
Fragile
Taglio
ρV
0.30 0.26 0.22 0.32 0.27
Limite elastico
Pressoflessione ρM
0.80 0.67 0.59 0.81 0.75
Fragile
Taglio
ρV
0.61 0.51 0.46 0.59 0.61
86
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
4.4 VIADOTTO CON PILE A TELAIO
4.4.1 Descrizione dell’opera
Il viadotto oggetto dello studio si trova sull’autostrada A1 nel tratto Firenze-Bologna in
località Roncobilaccio (BO), a cavallo del torrente Rio Torto dal quale prende nome, ed è
stato costruito intorno alla fine degli anni ’50 (Fig. 4.32).
Il viadotto è composto da 12 stilate di pile a telaio di altezza variabile tra i 41 m al centro
del viadotto e i 13.8 m in prossimità della spalla dal lato Firenze. Le campate sono 13 di
cui le iniziali, sia dal lato Firenze che dal lato Bologna, misurano 29.05 m, mentre le
restanti hanno luci di 33.00 m; pertanto lo sviluppo complessivo dell’opera è di 421 m
(Fig 4.34).
Fig. 4.32 Foto del viadotto
La struttura presenta due impalcati affiancati, realizzati in calcestruzzo armato ordinario
ciascuno costituito da una trave con sezione a “pi greco” di altezza 2.75 m (Fig. 4.33). La
continuità dell’impalcato è interrotta, longitudinalmente, da seggiole tipo “Gerber” nella
seconda, settima e dodicesima campata (Fig. 4.33b, 4.34).
24 m
(a)
(b)
Fig. 4.33 Geometria dell’impalcato
Anche le pile sono realizzate in calcestruzzo armato con barre lisce ancorate mediante
ganci. Ciascuna delle pile è costituita da due pilastri a sezione circolare piena o cava, con
diametro esterno variabile tra 120 e 160 cm, collegati, ad altezze differenti, da uno o più
traversi intermedi ed in sommità da una trave-pulvino, sulla quale poggia il singolo
impalcato. I trasversi presentano tre tipologie dimensionali: 40 × 120 cm, 40 × 130 cm ed
Capitolo 4: Esempi applicativi
87
infine 40 × 150, mentre le travi di pulvino, uguali per tutte le pile, hanno sezione ad U
rovescia con ringrossamenti in prossimità dei pilastri. A titolo d’esempio la figura 4.36
mostra lo schema di due delle pile (n° 8 e 12). La prima è costituita da pilastri circolari
cavi con diametro esterno di 160 cm e diametro interno di 100 cm, armati
longitudinalmente con 20φ20 esterni, 14φ16 interni e staffe a spirale φ6/14. La seconda
ha colonne circolari piene con armatura longitudinale costituita da 16φ20 e staffe a spirale
φ6/14.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
spalla FI
12
piena
piena
piena
piena
piena
piena
33
13,8
33
14,37
33
17,19
33
25,74
33
36,49
33
41,34
33
39,41
33
27,86
33
26,75
33
30,49
33
30,61
29,05
17,35
2 5
7
spalla BO
29,05
piena
cava
cava
cava
cava
cava
Fig. 4.34 Prospetto longitudinale: le selle Gerber sono indicate in rosso.
Per tutti i trasversi l’armatura longitudinale è composta, in prossimità dei nodi, da 4φ24 +
8φ20 superiori e inferiori, che si riducono a 4φ24 superiori e inferiori nella mezzeria,
mentre l’armatura trasversale è costituita da staffe a due bracci φ8 con passo variabile (10
cm ai nodi e 14 cm in mezzeria) e da 3 barre φ20 piegate a 45°. Il pulvino, in prossimità
dei nodi, ha sezione rettangolare 120 × 120 cm con armatura longitudinale composta da
4φ24 + 8φ20 superiori e inferiori e armatura trasversale costituita da staffe φ8. In
mezzeria la trave presenta una sezione ad U rovesciata con anime di spessore 30 cm e
soletta di collegamento di 20 cm di spessore.
Fig. 4.35 Immagini del viadotto
88
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Fig. 4.36 Particolari armature pile
Le fondazioni sono costituite da plinti isolati in cemento armato collegati tra loro da
cordoli (fig. 4.35b). Ciò suggerisce evidentemente la presenza di un terreno di ottima
portanza anche se la documentazione tecnica disponibile dell’opera non contiene
informazioni a riguardo. Inoltre, a causa dell’orografia del terreno, i plinti si trovano
spesso posizionati su quote diverse anche nell’ambito della singola pila.
4.4.2 Definizione dell’azione sismica
Trattandosi di un viadotto di importanza notevole da un punta di vista storico si ritiene di
assegnargli una vita nominale VN di 100 anni (questa decisione ha carattere puramente
esemplificativo poiché l’attribuzione della vita nominale attiene all’autorità preposta).
Poiché il viadotto fa anche parte di un tratto della viabilità principale (strada di categoria
A/B) ad esso corrisponde una classe d’uso IV, per cui CU vale 2.0. La vita di riferimento è
Capitolo 4: Esempi applicativi
89
quindi VR = VN × CU = 200 anni. La tipologia delle fondazioni indica un terreno con
VS,30>500m/s e quindi di categoria almeno B e un coefficiente di amplificazione
topografica ST=1. I parametri caratterizzanti lo spettro elastico delle due componenti
orizzontali (quella verticale sarà trascurata), e per lo stato limite di collasso (SLC:
probabilità di superamento in VR pari al 5%, da cui TR = 1950 anni) dedotti sulla base
delle coordinate geografiche della località Rio Torto, sono riportati nella Tabella 4.21. La
figura 4.37 mostra il grafico dello spettro corrispondente.
Tabella 4.21. Parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione
SL
ag (g)
F0
T*C
SS
S
TB
CC
TC
TD
dg (m)
SLC
0.31
2.45
0.318
1.09
1.09
0.147
1.386
0.441
2.868
0.105
Accelerazione (g)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
Periodo (s)
Fig. 4.37 Spettro elastico in accelerazione nel sito del ponte Rio Torto (TR = 1950 anni).
Gli accelerogrammi naturali utilizzati per analisi dinamiche non lineari della pila secondo
le due direzioni principali sono stati selezionati all’interno dello Strong Motion Catalogue
del Pacific Earhquake Engineering Research Center (http://peer.berkeley.edu/smcat/)
nel rispetto delle condizioni seguenti: intervallo di Magnitudo 6.5-7.5, distanza dalla faglia
compresa tra 15 e 30 km, suolo tipo B, PGA compresa tra 0.1 e 0.5g.
Poiché il primo periodo naturale del ponte è di oltre 4 s, è necessario selezionare delle
registrazioni che siano significative nel campo delle basse frequenze; questo porta
automaticamente a scartare la maggior parte delle registrazioni di eventi meno recenti,
poiché generalmente sono state processate con filtri passa-alto con frequenza di taglio
90
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
superiore a 0.2Hz (Corrispondente ad un periodo di 5 s). A causa di questo taglio, queste
registrazioni hanno un contenuto in frequenza eccessivamente basso sui lunghi periodi,
che sono quelli più significativi per la struttura in esame.
Con queste cautele, sono stati selezionate le registrazioni riportate nella Tab. 4.22
Tabella 4.22. Elenco delle registrazioni selezionate
Evento
Data
Mag.
Stazione
Dist.
(km)
Filtro
(Hz)
Sigla
Duzce, Turkey
12/11/99
7.1
1061
15.6
0.07
1061
Chi-Chi, Taiwan
20/09/99
7.6
CHY029
15.3
0.03
CHY029
Chi-Chi, Taiwan
20/09/99
7.6
TCU045
24.1
0.03
TCU045
Chi-Chi, Taiwan
20/09/99
7.6
TCU070
19.1
0.03
TCU070
Landers
28/06/92
7.3
23 Coolwater
21.2
0.1
CLW
Landers
28/06/92
7.3
12149 Desert Hot Springs
23.2
0.07
DSP
Cape Mendocino
25/04/92
7.1
89486 Fortuna
23.6
0.07
FOR
Northridge
17/01/94
6.7
90058 Sunland
17.7
0.05
GLE
Northridge
17/01/94
6.7
24688 LA - UCLA
15.0
0.08
UCL
Imperial Valley
15/10/79
6.5
6604 Cerro Prieto
26.5
0.1
H-CPE
In questo caso si è ritenuto di adoperare la procedura seguente: ciascuno dei 20
accelerogrammi selezionati (10 coppie delle componenti orizzontali del moto) è stato
scalato in modo da approssimare lo spettro normativo nell’intervallo dei periodi tra 0.5 e
8 secondi; questa scalatura di base è stata poi leggermente corretta per rispettare la
richiesta che lo spettro medio di ciascun set di 10 accelerogrammi non scenda in alcun
punto, tra 0.2 e 8 secondi, sotto il 90% dello spettro normativo. I valori adottati per i
coefficienti di scalatura, compresi tra 0.704 e 4.78, sono riportati nella Tabella 4.23.
Le storie temporali dei due insiemi di accelerogrammi scalati sono riportate nelle Figure
4.38 e 4.39.
Capitolo 4: Esempi applicativi
91
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
UCL360
TCU070-N
0.2
0
0.4
-0.2
0.2
TCU045-N
0
-0.2
0.4
-0.4
H-CPE147
0.2
0
-0.2
-0.4
0.2
GLE-170
ag (g)
0
-0.2
0.2
0
FOR000
0.4
0.2
0
DSP000
-0.2
-0.4
0.2
CLW-TR
0
-0.2
0.2
CHY029-N
0
-0.2
0.4
0.2
1061-N
0
-0.2
-0.4
0
20
40
60
t (s)
Fig. 4.38 Storie accelerometriche del primo insieme di registrazioni, dopo la
normalizzazione.
92
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
0.8
0.4
UCL090
0
-0.4
TCU070-W
-0.8
0.2
0
0.4
0.2
TCU045-W
0
-0.2
0.4
-0.4
H-CPE237
0.2
0
-0.2
-0.4
0.2
GLE-260
ag (g)
0
-0.2
0.2
FOR090
0
0.4
0.2
0
DSP090
-0.2
-0.4
0.2
CLW-LN
0
-0.2
0.2
0
-0.2
CHY029-W
0.4
1061-E
0
-0.4
0
20
40
60
t (s)
Fig. 4.39 Storie accelerometriche del secondo insieme di registrazioni, dopo la
normalizzazione.
Capitolo 4: Esempi applicativi
93
Tabella 4.23 Coefficienti di scalatura delle 20 registrazioni selezionate
1061
CHY029
TCU045
TCU070
CLW
DSP
FOR
GLE
UCL
H-CPE
4.16
0.773
1.36
0.704
0.91
2.74
2.07
2.67
1.33
2.62
4.78
1.05
1.68
0.99
1.52
2.03
1.78
2.93
3.27
1.92
10
Insieme 1
Insieme 2
Sa (g)
1
0.1
0.01
0.001
Sa (g)
1
0.1
0.01
0.001
0.01
0.1
1
T (s)
10
100 0.01
0.1
1
10
100
T (s)
Fig. 4.40 Spettri di risposta delle dieci coppie di accelerogrammi. Spettri medi e di
riferimento (sopra) e spettri di tutti gli accelerogrammi e loro media (sotto).
In Figura 4.40 sono invece rappresentati gli spettri dei due blocchi di dieci
accelerogrammi; nella parte inferiore della figura sono riportati gli spettri di tutte le storie
di accelerazione insieme alla loro media ed allo spettro normativo. Per maggior chiarezza,
nei due grafici superiori sono rappresentati solamente lo spettro medio e quello di norma;
come si può vedere gli spettri medi così ottenuti, in particolare quello dell’insieme 1,
approssimano con buona accuratezza lo spettro di riferimento, almeno fino a periodi di 4
94
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
secondi; per periodi superiori lo spettro medio sovrastima in modo sensibile quello
normativo; ciò è fondamentalmente dovuto all’impiego di registrazioni derivate da eventi
con magnitudo di oltre 7.5, in particolare quelle relative al terremoto di Chi-Chi del 1999,
per le quali il contenuto in frequenza dello spettro è notevolmente spostato verso gli alti
periodi. È anche utile osservare che, almeno per i periodi compresi nell’intervallo tra 0.5 e
4 secondi, la dispersione degli spettri non è molto ampia; questo evidentemente è
conseguenza dalla strategia di normalizzazione seguita, per cui si è cercato di minimizzare
lo scarto tra lo spettro di riferimento e quello di ciascuna registrazione, non soltanto di
quello medio.
4.4.3 Metodo di analisi
Per la verifica del viadotto in esame è stato impiegato il metodo dell’analisi dinamica non
lineare. Tale metodo è il più impegnativo per la valutazione delle strutture da ponte; esso
richiede l’impiego di un codice di calcolo affidabile e un’accurata modellazione della
struttura e delle sue connessioni. I risultati, sotto forma di storie temporali delle risposte
(forze, spostamenti, tensioni, deformazioni) sono molto voluminosi e richiedono un
idoneo strumento di post-processing perché possano essere utilmente usati per la verifica
dell’opera.
In precedenza sono stati illustrati i criteri di selezione delle due decuple di accelerogrammi
che sono stati utilizzati per le analisi. La terza componente (verticale) del moto è stata
trascurata, avendo ritenuto che fosse scarsamente influente sul comportamento della
struttura.
Il modello della struttura sommariamente descritta in precedenza è stato inserito nel
codice ad elementi finiti OpenSEES. Gli elementi delle pile (fusti, trasversi, pulvini) sono
stati modellati mediante elementi a fibre. Alle fibre di calcestruzzo è stato assegnato il
modello di Kent e Park privo di resistenza a trazione, mentre per l’acciaio è stata usata la
legge Giuffré-Menegotto-Pinto. Le caratteristiche dei materiali sono state dedotte dalle
informazioni contenute nella documentazione tecnica. In particolare al calcestruzzo non
confinato è stata assegnata una resistenza di 30 MPa ed un modulo elastico tangente di 30
GPa, mentre all’acciaio, previsto di classe AQ42, è stata assegnata una tensione di
snervamento di 350 MPa ed un modulo elastico di 200 GPa. Si è ritenuto che le
informazioni disponibili fossero sufficientemente attendibili e dettagliate da poter
raggiungere il livello di conoscenza 3 (FC=1).
La connessione impalcato-pile è stata rappresentata con due cerniere poste in
corrispondenza delle stilate dei pilastri (Fig. 4.41); le selle Gerber sono invece modellate
come elementi gap a comportamento rigido-plastico.
Per ragioni di efficienza del calcolo, nel modello globale dell’intero ponte e in particolare
nei trasversi, non è stato inserito il meccanismo di rottura a taglio; inoltre il
comportamento globale della pila non cambia significativamente se si realizza l’uno o
Capitolo 4: Esempi applicativi
95
l’altro dei due meccanismi di flessione o taglio (che peraltro hanno resistenze molto
prossime tra loro).
L’integrazione è stata condotta con il metodo di Newmark e l’algoritmo di KrylovNewton. Per facilitare la convergenza è stato scelto un passo di integrazione piuttosto
piccolo (0.0025 s). Lo smorzamento viscoso, del 3%, è stato modellato alla Rayleigh.
y
x
z
Fig. 4.42 Modello agli E.F. del ponte
Fig. 4.41 Connessione pila-impalcato
L’impalcato è stato modellato con elementi di trave elastici, utilizzando quattro elementi
per ogni campata. In prossimità delle stilate l’asse delle travi è stato collegato ai pilastri
delle singole pile mediante connessioni di tipo rigido, così come indicato in figura 4.41. Il
modello dell’intero ponte è rappresentato schematicamente in figura 4.42.
Carichi e masse
La massa dell’impalcato, pari a 200 kN/m, è stata concentrata nei nodi di estremità delle
travi di impalcato e nei nodi di sommità delle pile. Sulle pile sono stati poi applicati i
carichi verticali corrispondenti alle masse di impalcato che competono ai pilastri di ogni
pila, i cui valori sono indicati in tabella 4.24.
Tabella 4.24. Valori del carico verticale (kN) applicato in sommità di ogni pilastro
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3102
3300
3300
3300
3300
3300
3300
3300
3300
3300
3300
3300
4.4.4 Risultati delle analisi
Analisi elastica
Come prima fase è stata eseguita l’analisi modale del ponte in campo elastico, assegnando
al calcestruzzo il modulo elastico tangente Ec = 30 GPa. In Figura 4.43 sono rappresentati
i primi due modi di vibrazione, insieme al corrispondente valore del periodo proprio della
96
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
struttura. I due modi sono modi trasversali delle due porzioni principali in cui la trave
tampone appoggiata con seggiole Gerber tra le pile 6 e 7 suddivide il viadotto.
La snellezza della struttura, con pile di fusto sottile e di notevole altezza, ha come
conseguenza periodi propri di vibrazione piuttosto grandi; questi periodi tendono poi ad
aumentare ulteriormente a seguito del danneggiamento delle pile, specialmente per la
plasticizzazione (o rottura per taglio) dei trasversi, a seguito della quale il funzionamento
trasversale tende a passare da quello a telaio a quello a pile singole. La lunghezza dei
periodi propri fa cadere la struttura in una zona dello spettro dove le accelerazioni sono
molto piccole ma gli spostamenti grandi. Questo lascia prevedere che, nonostante la
modesta resistenza delle pile alle azioni orizzontali, del resto non considerate in fase di
progetto, il ponte potrebbe non risultare inadeguato; dati i notevoli spostamenti si dovrà
però porre particolare attenzione alla compatibilità cinematica dei vincoli, in particolare si
dovranno valutare gli spostamenti relativi degli impalcati in corrispondenza delle seggiole
Gerber, onde verificare il rischio di caduta per perdita di appoggio.
1° Modo T = 4.2s
2° Modo T = 1.2s
Fig. 4.43 Primi due modi di vibrazione del ponte.
Analisi non-lineare
Per la verifica allo stato limite di collasso, il modello del ponte descritto in precedenza è
stato sottoposto all’azione delle dieci coppie di accelerogrammi selezionate. Gli
accelerogrammi appartenenti al gruppo indicato come insieme 1 sono stati applicati in
direzione trasversale, mentre quelli dell’insieme 2 agivano simultaneamente in direzione
longitudinale. Molte grandezze, meccaniche e cinematiche, sono state registrate durante le
simulazioni; in particolare: gli spostamenti e le rotazioni dei nodi, le forze ed i momenti
alle estremità degli elementi, le deformazioni delle fibre più sollecitate nell’acciaio e nel
calcestruzzo.
Nella Figura 4.44a sono riportati i valori del drift interpiano massimo di ogni pila:
δ=
u i +1 − u i
L
Capitolo 4: Esempi applicativi
97
in cui ui e ui+1 sono gli spostamenti di due piani successivi ed L è la lunghezza del
pilastro. Nel grafico a barre sono riportati i valori relativi a ciascuno degli accelerogrammi
ed il corrispondente valore medio.
DRIFT INTERPIANO (%)
4
CHY029
CLW
DSP
3
H-CPE
TCU045
TCU070
2
UCL
FOR
1061
1
0
GLE
MEDIA
1
2
3
4
5
6
7
PILA (#)
8
9
10
11
12
DEFORMAZIONE MASSIMA NEL CLS (1/1000)
12
CHY029
CLW
DSP
H-CPE
TCU045
TCU070
UCL
FOR
1016
GLE
MEDIA
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
PILA (#)
8
9
10
11
12
Fig. 4.44 Massimo drift interpiano (sopra) e massima deformazione del calcestruzzo
compresso (sotto) per tutte le pile e per l’azione dei 10 accelerogrammi selezionati.
Questo grafico è utile per individuare le pile maggiormente sollecitate e quindi per
selezionare quelle di cui successivamente saranno esposte le verifiche.
Nella Fig. 4.44b sono rappresentati, con analogo formalismo, i valori massimi delle
deformazioni nelle fibre di calcestruzzo delle pile. Anche questa grandezza può essere
utilizzata per individuare gli elementi del ponte più sollecitati.
Poiché il criterio di collasso adottato (per flessione) è sempre in ultima analisi determinato
dall’eccessiva deformazione di uno dei materiali (accorciamento del calcestruzzo o
allungamento dell’acciaio), il valore della deformazione massima potrebbe essere preso
come diretto criterio di valutazione della resistenza. Tuttavia è ben noto che i valori delle
deformazioni negli elementi a fibre sono fortemente influenzati dalle lunghezze degli
elementi stessi, quindi un tale criterio è da ritenersi non sufficientemente oggettivo. Le
verifiche saranno pertanto condotte confrontando le rotazioni delle estremità delle aste
con quelle ultime, calcolate con le relazioni (2.40) e (2.41) precedentemente illustrate nel
Capitolo 2.
98
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
4.4.5 Verifica delle pile
Meccanismi duttili
Per la verifica degli elementi sollecitati a presso-flessione si
procede come indicato nel punto 2.4.5 delle linee guida.
Data un’asta di lunghezza L (Fig 4.45) se ui e ui+1 sono gli
spostamenti dei nodi di estremità e ϕi la rotazione del nodo
i, la rotazione relativa alla corda θi, che deve essere
confrontata con quella ultima fornita dall’equazione (2.41),
si determina sottraendo alla rotazione ϕi la parte rigida,
dovuta allo spostamento:
θ i = ϕi −
u i +1 − u i
L
y
ui+1
L
ui
θi
(a)
Il calcolo della rotazione ultima richiede la determinazione
della lunghezza LV, distanza del nodo dal punto di
momento nullo. Se i due momenti alle estremità dell’asta
hanno lo stesso segno, questa lunghezza LV si determina
facilmente con la relazione
LV =
x
z
Fig. 4.45 Calcolo della
rotazione della cerniera
plastica
mi
V
(b)
In cui mi è il momento all’estremità dell’elemento e V = (m i + m i +1 )/ L indica il taglio.
Se i due momenti alle estremità della trave sono discordi, si ha in almeno un caso, che
LV>L e la formula (2.40) cade in difetto. In questo caso la condizione di verifica può
porsi nella forma più generale (valida nell’ipotesi che all’estremo i+1 non si sia formata
una cerniera plastica):
φy
⎛ 3l p ⎞
θ
L
⎟⎟ ≥ θ i + i +1
+ φu − φ y l p ⎜⎜ 1 −
4
4
L
2
⎝
⎠
(
)
(c)
La lunghezza della cerniera plastica lp si calcola sempre come indicato nel punto 2.4.5, in
cui LV si calcola come in precedenza, con la condizione che risulti LV ≤ zi, dove zi è la
distanza del nodo i dalla sommità della pila.
Quest’ultima condizione si verifica frequentemente nell’analisi degli elementi della pila nel
senso longitudinale, in cui prevale il comportamento a mensola sull’intera altezza, e
pertanto la formula (2.40) non è applicabile all’analisi di un singolo elemento.
Il calcolo della capacità rotazionale dell’elemento dipende, oltre che dalle grandezze di cui
si è discusso in precedenza, dalle seguenti:
Capitolo 4: Esempi applicativi
99
•
Deformazione ultima del calcestruzzo εcu = 0.0033
•
Deformazione di snervamento dell’acciaio εsy = 0.0015
•
Resistenza del calcestruzzo fc =30MPa
•
Forza normale N agente nella sezione
Tutti questi parametri sono fissi, tranne N. Per ogni sezione si possono quindi facilmente
costruire, per interpolazione, delle semplici leggi che forniscono φy e φu in funzione di N.
-5
2.7
-4
Pilastro a sezione circolare piena D=120 cm
x 10
3.5
Pilastro a sezione circolare piena D=120 cm
Pilastro a sezione circolare piena D=120 cm
x 10
45
40
3
2.4
2.3
2.2
2.1
2
35
2.5
yc (cm)
2.5
curvatura ultima (1/cm)
Curvatura a snervamento (1/cm)
2.6
2
30
25
1.5
20
1.9
1
15
1.8
1.7
0
1000
2000
3000
N (kn)
4000
5000
6000
0.5
0
1000
2000
3000
N (kN)
4000
5000
6000
10
0
1000
2000
3000
N (kN)
4000
5000
6000
Fig. 4.46 Curvatura di snervamento, curvatura ultima e posizione dell’asse neutro di una
delle sezioni delle pile (Sezione piena D = 120 cm), in funzione della forza normale N.
Il procedimento di verifica segue pertanto i seguenti passi:
1. Fissato un elemento, al passo tk, per la direzione x, si calcolano le rotazioni θi,
θi+1
2. In funzione della forza normale N si determinano le curvature di snervamento ed
ultima
3. A partire dai momenti di estremità e della forza di taglio si determinano la
lunghezza LV, la lunghezza di cerniera plastica e si decide se applicare la relazione
(2.41) o la (c)
4. Mediante la (2.41) o la (c) si determina la capacità rotazionale dell’elemento θu in
quella direzione; si calcola quindi il rapporto domanda/capacità ρx = θi/θu se si
applica la (2.41), oppure (θi+θi+1/2)/ θu se si applica la (c)
5. Si ripete il procedimento per la direzione y e si ottiene il valore di ρy relativo allo
stesso istante
6. Si calcola il valore complessivo ρ = ρ x2 + ρ y2 relativo all’istante tk
7. Si ripete il procedimento in tutti gli istanti dell’analisi e si trattiene il massimo
valore di ρ ottenuto durante l’intera storia della risposta sismica
8. Si ripete l’intera procedura per tutte le risposte relative ai dieci accelerogrammi
campione e si determina la media dei risultati
L’elemento è verificato se il valore di ρ così calcolato risulta ≤ 1.
100
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Tabella 4.25 Valutazione del rapporto domanda/capacità di una sezione della pila 1
Dir
M
V
N
LV
(kNcm) (kN) (kN) (cm)
δ
θ
φu
(1/cm)
Lp
(cm)
2.18×10-5 1.67×10-4 68.38
θy
θu
ρ
1.04×10-2 3.16
x
219295
378.8 3266
579
0.034
y
72413
79.8
916
0.002 0.0077 2.18×10-5 1.67×10-4 102.1 9.99E×10-3 1.60×10-2 0.48
3266
0.033
φy
(1/cm)
6.31×10-3
ρtot
3.20
Questi passaggi sono illustrati nella tabella 4.25, che si riferisce alla sezione di uno dei
pilastri posti al secondo livello della pila 1 soggetta all’azione della registrazione TCU45. I
valori riportati nella tabella si riferiscono all’istante in cui il rapporto ρtot tra la domanda e
la capacità della sezione assume il valore massimo. Nella tabella sono riportati per le due
direzioni (trasversale x e longitudinale y) i valori del momento M e del taglio V, oltre alla
forza normale N, che consentono di determinare la lunghezza LV (che risulta in entrambi
i casi minore di L). Il drift δ e la rotazione del nodo ϕ (non riportata in tabella)
consentono di determinare la rotazione θ (domanda); dai grafici della Figura 4.46 si
determinano, per il valore di N dato, le curvature di snervamento φy ed ultima φu della
sezione (nel caso in esame queste grandezze risultano uguali per le due direzioni in virtù
dell’isotropia della sezione circolare), da cui, usando la lunghezza della cerniera plastica lp,
si determinano, applicando le (2.39) e (2.40), le rotazioni di snervamento ed ultima
(capacità). I rapporti θ/θu relativi alle due direzioni permetto di calcolare il fattore
complessivo ρtot come radice quadrata della somma dei quadrati. Il valore trovato di 3.2
nettamente maggiore di 1, mostra che, per il caso considerato, l’elemento esaminato ha
largamente superato la soglia di resistenza.
Meccanismi Fragili
Per i meccanismi di rottura fragili il confronto tra domanda e capacità viene fatto in
termini di forze anziché di deformazioni, come è stato fatto per i meccanismi duttili.
Nel caso in esame i meccanismi di rottura considerati fragili sono quelli dovuti alle forze
di taglio. Nelle strutture esaminate i pilastri delle pile sono strutture molto snelle
(rapporto lunghezza/altezza ∼ 10 nella direzione trasversale e molto maggiore nell’altra): è
dunque prevedibile, anche tenendo conto dell’aumento di resistenza legato alla forza
normale, che per questi elementi, benché scarsamente armati nei confronti della
sollecitazione di taglio, la resistenza sarà sempre largamente maggiore della sollecitazione.
I trasversi sono al contrario elementi piuttosto tozzi (vedi Fig. 4.36), per i quali un
meccanismo di rottura a taglio è chiaramente possibile.
Nelle verifiche a taglio la domanda (forza di taglio) è fornita direttamente dall’analisi,
mentre la capacità (resistenza a taglio) viene calcolata con la relazione (2.42). Anche in
questo caso la resistenza dipende da alcune grandezze che variano nel tempo con la
risposta, in particolare la forza normale, la posizione dell’asse neutro x, la lunghezza di
taglio LV, la duttilità impegnata µ; pertanto il rapporto tra domanda e capacità deve essere
valutato in ogni istante dell’analisi e quindi posto uguale al massimo raggiunto durante
Capitolo 4: Esempi applicativi
101
ciascun terremoto. Il valore di riferimento sarà quindi quello medio sulle dieci simulazioni
effettuate.
Nella Tabella 4.26 sono riportati, a puro titolo esemplificativo e analogamente a quanto
fatto per le verifiche di duttilità, le quantità richieste per il calcolo del rapporto ρt
(domanda/capacità del taglio), in un dato istante per due elementi della pila 1 sotto
l’azione della coppia di registrazioni TCU45.
Tabella 4.26 Verifica a taglio di un pilastro e del trasverso della pila 1
El.
x
N
pil
(cm)
35
(kN)
4900
tras
--
--
µ
As
Ac
Asw/s
7
(cm2) (cm2) (cm2/m)
50.24 10201
4
4
43.20
4900
12
h
Lv
fc/γc
V
Vc
Vw
Vu
ρt
(cm)
120
(cm)
540
(MPa)
20.0
(kN)
374
(kN)
568
(kN)
167
(kN)
735
0.518
140
302
20.0
350
454
300
755
0.463
Verifica del ponte allo SLC
Le analisi esemplificate nei punti precedenti per un elemento di una pila, relativamente ad
un certo istante della storia della risposta sismica del ponte ad un particolare terremoto,
devono essere ripetute per i diversi elementi, per i diversi terremoti, e per tutti gli istanti
di tempo. Si perviene quindi, per ogni elemento di ciascuna pila, ad un valore medio del
rapporto ρ relativo al collasso duttile (flessione) ed a quello fragile (taglio). Per chiarezza,
data la loro diversa funzione, in ciascuna pila gli elementi sono stati raggruppati in due
classi: pilastri e trasversi; sono quindi stati presi i valori massimi del rapporto ρ per
flessione e taglio (ottenuti come media delle 10 analisi) degli elementi di una pila di uno
stesso piano appartenenti alla stessa classe. I risultati, limitatamente a tre pile (1, 6, 12),
sono sintetizzati nella tabella 4.27.
I risultati si prestano ad un breve commento. Per quanto riguarda i pilastri, i valori del
coefficiente ρf di flessione relativi alle due pile più basse (1 e 12) sono nettamente
superiori a quelli presi nella pila snella 6; in particolare il coefficiente ρf supera l’unità
solamente nella pila 1; il fatto che questo si verifichi nel piano superiore e non alla base è
dovuto alla peculiarità di questa pila, in cui il trasverso si trova ad una quota poco
superiore a quella delle fondazioni, per cui i pilastri del primo livello sono molto più brevi
degli altri (vedi Fig. 4.35). I coefficienti ρt relativi alle verifiche a taglio sono invece, in
tutti i casi e con largo margine, minori di uno, come era stato anticipatamente previsto in
base a considerazioni generali.
Nei trasversi, il coefficiente ρf è nettamente minore di 1, escludendo il rischio di collasso
duttile, mentre il coefficiente ρt del taglio, con l’eccezione del caso anomalo della pila 1, è
molto vicino ad uno. Questo è dovuto al fatto che, per questi elementi, la resistenza a
taglio è molto prossima alla forza che provoca la plasticizzazione delle sezioni di estremità
della trave, così che i due meccanismi concorrenti sono molto prossimi. Tenuto conto
102
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
delle incertezze sulle stime della resistenza a taglio e del momento di snervamento, il
rischio di rottura per taglio dei trasversi non può essere affatto escluso.
Tabella 4.27 Verifiche a flessione e taglio degli elementi delle pile 1, 6 e 12
Pilastri
PILA
1
6
12
Trasversi
PIANO
ρf
ρt
ρf
ρt
1
0.14
0.54
0.37
0.37
2
1.42
0.42
1
0.199
0.34
0.227
0.81
2
0.273
0.33
0.367
0.94
3
0.199
0.3
0.366
0.93
4
0.205
0.27
1
0.704
0.45
0.27
0.94
2
0.469
0.43
SPOSTAMENTI RELATIVI SELLA (cm)
Verifica degli spostamenti relativi
Nel caso di ponti la verifica allo SLC non deve essere limitata solo agli aspetti di capacità
degli elementi strutturali, ma deve necessariamente mettere in conto anche la verifica di
cinematismi causabili da appoggi progettati con una insufficiente corsa. Tale evenienza
potrebbe infatti determinare il crollo dell’impalcato. Come sopra ricordato nel caso in
esame non è difficile prevedere elevati spostamenti longitudinali per effetto del sisma. La
figura 4.47 mostra gli spostamenti relativi delle due parti dell’impalcato poggianti su una
delle selle presente nella settima campata.
12
Valor medio 7.72 cm
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
ACCELEROGRAMMA (#)
6
7
8
9
Figura 4.47 Spostamenti relativi massimi delle selle gerber
Gli spostamenti relativi massimi registrati durante le analisi vanno da un minimo di 6.5
cm (per il terremoto di Northridge) ad un massimo di 11 cm (per il terremoto di Chi-Chi
TCU045), mentre in media lo spostamento massimo è pari a 7.72 cm. La lunghezza delle
Capitolo 4: Esempi applicativi
103
seggiole rilevata dal disegno dell’impalcato è di circa 30 cm; tenendo conto dei giunti, si
può ritenere che vi sia una sovrapposizione di circa 25 cm. Assumendo che la
sovrapposizione residua, per essere efficace, non deve scendere sotto i 20 cm (L0 nella
formula 2.30), si ottiene una corsa ammissibile dell’ordine 5 cm. Lo spostamento relativo
massimo del terreno sotto le pile, come indicato dalla (2.44), vale drel,g = 3.2 cm (dg = 10.5
cm, x =33m, Vs = 500m/s). Questa verifica non è pertanto soddisfatta in quanto drel,g +
drel,s = 7.7+3.2 = 10.9 cm > 5 cm.
Fig. 4.48. Dettaglio di una delle selle di appoggio dell’impalcato del ponte
In conclusione dalle verifiche eseguite si traggono le seguenti conclusioni. Il viadotto
necessita di un intervento ai trasversi che ne aumenti la resistenza a taglio (intervento
operativamente non impegnativo che potrebbe realizzarsi mediante fasciature con FRP), e
la realizzazione in corrispondenza delle seggiole Gerber di ritegni sismici che impediscano
la perdita di appoggio.
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APPENDICE A: VARIABILITÀ SPAZIALE DEL MOTO
A.1 INTRODUZIONE
A.2 DESCRIZIONE DEL MODELLO
La variabilità spaziale del moto sismico può essere descritta mediante un vettore di
processi aleatori a media nulla. Nell’ipotesi di stazionarietà di tali processi, il vettore risulta
completamente definito tramite la matrice simmetrica di dimensioni n × n delle densità
spettrali di potenza:
⎡G11 (ω ) G12 (ω ) L G1n (ω )⎤
⎢
G 22 (ω ) L G 2 n (ω )⎥⎥
G (ω ) = ⎢
⎢
O
M ⎥
⎢
⎥
Gnn (ω )⎦
⎣
(A.1)
dove n è il numero dei punti di contatto dell’opera con il terreno.
E’ conveniente introdurre la seguente funzione adimensionale a valori complessi
denominata funzione di coerenza:
γ ij (ω ) =
Gij (ω )
(A.2)
Gii (ω )G jj (ω )
Essa ha modulo limitato tra zero e uno, e fornisce una misura lineare della dipendenza
statistica dei due processi nei punti i e j a distanza d ij .
Nella letteratura viene frequentemente impiegata la forma seguente della funzione di
coerenza (Luco e Wong, 1986)(Der Kiureghian, 1996):
⎡ ⎛ αωd ij
⎢⎣ ⎝ v s
γ ij (ω ) = γ ij ,1 (ω ) ⋅ γ ij , 2 (ω ) ⋅ γ ij ,3 (ω ) = exp ⎢− ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎡ ωd L ⎤
⎥ ⋅ exp ⎢i ij ⎥ ⋅ exp iθ ij (ω )
(A.3)
⎥⎦
⎣⎢ v app ⎦⎥
[
]
nella quale v s è la velocità delle onde di taglio, α è una costante, v app è la cosiddetta
velocità apparente delle onde, d ijL è la proiezione nella direzione di propagazione delle
onde della distanza tra i punti i and j e θ ij (ω ) è un angolo di fase dipendente dalla
108
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
frequenza. I tre fattori γ ij ,1 (ω ) , γ ij , 2 (ω ) e γ ij , 3 (ω ) tengono rispettivamente conto della
perdita di correlazione dovuta alla rifrazione/riflessione delle onde nel mezzo di
propagazione, del valore finito della velocità di propagazione delle onde e dell’angolo di
incidenza del fronte d’onda con la superficie, nonché della differenza tra le caratteristiche
del suolo di fondazione nei punti i e j. Di questa ultima si tiene conto nel modello
considerando due colonne di suolo che rappresentano i due profili stratigrafici in i e j,
eccitate alla base da un rumore bianco stazionario di potenza G0 . Le colonne di suolo
sono caratterizzate dalle funzioni di trasferimento H i (ω ) e H j (ω ) , tali da fornire il
desiderato contenuto in frequenza alla superficie in i e j:
Gii (ω ) = G0 H i (ω )
2
(A.4)
In particolare, lo spettro di densità di potenza puntuale deve essere coerente con lo
spettro di risposta elastico locale specificato al punto 2.3.1.
Si può mostrare che:
[
[
]
]
⎧⎪ Im H i (ω )H j (− ω ) ⎫⎪
⎬
⎪⎩ Re H i (ω )H j (− ω ) ⎪⎭
θ ij (ω ) = tan −1 ⎨
(A.5)
A.3 GENERAZIONE DI CAMPIONI DEL VETTORE DI MOTI ASINCRONI
Al fine di eseguire analisi dinamiche al passo è necessario disporre di campioni del
processo vettoriale descritto in A.2. Allo scopo è necessario preliminarmente decomporre
la matrice G(ω ) nel prodotto:
G(ω ) = L (ω )L*T (ω )
(A.6)
tra L (ω ) e la trasposta della complessa coniugata. Se la decomposizione adottata è quella
di Cholesky la matrice L(ω ) risulta triangolare inferiore.
Come indicato in [3] un campione del moto nel generico punto i si ottiene dalla serie:
i
N
[
a i (t ) = 2∑∑ L ij (ωk ) ∆ω cos ωk t − θ ij (ωk ) + φ jk
j =1 k =1
]
(A.7)
dove N il numero totale delle frequenze discrete ωk nel quale viene suddivisa la banda
di frequenze significativa per L ij (ω ) , ∆ω = ω max / N , e gli angoli φ jk sono, per ogni j , un
insieme di N variabili indipendenti distribuite uniformemente tra zero e 2π . I campioni
generati in accordo all’equazione (A.7) sono caratterizzati dal desiderato spettro di
potenza locale e dall’assegnato grado di correlazione.
A.4 METODI DI ANALISI
Appendice A: Variabilità spaziale del moto
109
Sulla base di quanto esposto in A.2 e A.3, si possono seguire le seguenti alternative ai fini
della determinazione della risposta strutturale a un’eccitazione variabile nello spazio.
A.4.1 Dinamica aleatoria lineare
Un’analisi dinamica aleatoria lineare può essere svolta utilizzando l’analisi modale,
funzioni di trasferimento in frequenza modali e la matrice delle densità spettrali di
potenza G(ω ) .
Per gli effetti elastici delle azioni si prendono i valori medi dalla distribuzione dei massimi
della risposta per una durata coerente con la scelta di a g .
A.4.2 Analisi dinamica al passo con campioni del modo correlati
L’analisi dinamica al passo, lineare e non lineare, può essere svolta facendo uso di
campioni di moti correlate generate come indicato in A.2 a partire da spettri di potenza
compatibili con gli spettri di risposta elastici nei punti di contatto dell’opera con il terreno.
Il numero di campioni da utilizzare deve essere tale da garantire stime stabili delle medie
dei massimi della risposta.
Per gli effetti delle azioni si prendono i valori medi dei massimi.
A.4.3 Analisi con spettri di risposta multipli
E’ disponibile una soluzione per determinare la risposta elastica di una struttura soggetta
ad eccitazione alla base non uniforme che fa uso dello spettro di risposta. Di seguito se ne
fornisce una descrizione sintetica. Per una trattazione completa si rimanda al riferimento
originale (Der Kiureghian e Neuenhofer, 1992).
Le equazioni del moto di un sistema lineare discreto a n gradi di libertà con m punti di
contatto col terreno si scrivono:
⎡ M
⎢M T
⎣ c
M c ⎤ ⎧&x& ⎫ ⎡ C
⎬+
T
M g ⎥⎦ ⎨⎩u
&& ⎭ ⎢⎣C c
C c ⎤ ⎧x& ⎫ ⎡ K
+
C g ⎥⎦ ⎨⎩u& ⎬⎭ ⎢⎣K c T
K c ⎤ ⎧x ⎫ ⎧ 0 ⎫
=
K g ⎥⎦ ⎨⎩u ⎬⎭ ⎨⎩F⎬⎭
(A.8)
dove x è il vettore n × 1 degli spostamenti totali dei gradi di libertà non vincolati; u è il
vettore m × 1 dei moti imposti ai supporti; M, C e K sono le matrici n × n di massa,
smorzamento e rigidezza associate ai gradi di libertà non vincolati; M g , C g e K g sono le
matrici m × m di massa, smorzamento e rigidezza associate ai gradi di libertà vincolati;
M c , C c e K c sono le matrici di accoppiamento n × m e F è il vettore m × 1 delle reazioni
ai supporti.
La risposta totale può essere decomposta nella somma:
x = xs + xd
(A.9)
110
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
dove x s , la componente pseudo-statica, è la soluzione dell’equazione (A.8) senza i
termini di inerzia e smorzamento, ovvero:
x s = −K −1 K c u = Ru
(A.10)
Sostituendo le equazioni (A.9) e (A.10) nella (A.8), l’equazione differenziale per la
componente dinamica/inerziale assume la forma:
&&
M&x& d + Cx& d + Kx d ≅ −(MR + M c )u
(A.11)
Dopo aver eliminato il termine trascurabile − (CR + C c )u& .
Siano Φ , ω i e ξ i la matrice delle forme modali, le frequenze modali e i corrispondenti
rapporti di smorzamento critico per la struttura a base fissa. Ponendo x d = Φy nella
(A.11), le equazioni modali disaccoppiate diventano:
&y&i + 2ξ i ω i &y i + ω i2 y i = ∑k =1 β ki u&&k (t )
m
i = 1, K , n
(A.12)
Dove i fattori di partecipazione modale sono dati dall’espressione:
β ki =
φ Ti (Mrk + M c i k )
φ Ti Mφ i
(A.13)
nella quale rk è la k-esima colonna di R e i k è la k-esima colonna di una matrice identità
n×n .
Risulta conveniente definire un vettore normalizzato di risposta modale s ki (t ) , che
rappresenta la risposta di un sistema a un grado di libertà con frequenza e smorzamento
dell’i-esimo modo, a un’accelerazione alla base u&&k (t ) :
&s&ki + 2ξ i ω i s&ki + ω i2 s ki = u&&k (t )
(A.14)
Segue:
y i (t ) = ∑k =1 β ki s ki (t )
m
(A.15)
La generica quantità di risposta di interesse z (t ) (spostamento nodale, forza interna, etc)
può essere espresso come funzione lineare di x(t ) :
[
]
z (t ) = q T x(t ) = q T x s (t ) + x d (t )
(A.16)
Sostituendo le espressioni trovate per x e x si ottiene:
s
d
Appendice A: Variabilità spaziale del moto
m
m
111
n
z (t ) = ∑ a k u k (t ) + ∑∑ b ki s ki (t )
k =1
(A.17)
k =1 i =1
con:
a k (t ) = q T rk
bki = q T φ i β ki
(A.18)
Facendo uso di nozioni elementari di dinamica aleatoria lineare e utilizzando il modello
illustrato in A.2 per i moti ai supporti u (t ) , la deviazione standard della generica quantità
di risposta z (t ) può essere determinata direttamente in funzione delle deviazioni standard
dei processi di eccitazione u (t ) , dei processi di risposta normalizzata s(t ) , e delle
correlazioni tra quantità di eccitazione e di risposta.
Tenendo conto della relazione tra spettro di potenza dell’eccitazione, G u&&u&& (ω ) 6, e le
deviazioni standard e correlazioni indicate, come anche della relazione tra densità
spettrale dell’eccitazione e spettro di risposta, si può derivare la seguente espressione per
il valore medio del massimo della risposta (i.e. gli effetti dell’azione)7:
µz
max
=
m
m
m
m
n
n
∑∑ a k a l ρ u u u k ,max u l ,max + ∑∑∑∑ b ki b lj ρ s s
k l
k =1 l =1
ki lj
k =1 l =1 i =1 j =1
(
D k (ω i , ξ i )D l ω j , ξ j
)
(A.19)
dove u k ,max e u l ,max sono gli spostamenti massimi del suolo in k e l coerenti con gli
spettri elastici in spostamento forniti in 2.3.2; Dk (ω i , ξ i ) e Dl (ω j , ξ j ) sono i valori dello
spettro di risposta elastico in spostamento in k e l per le frequenze e lo smorzamento
dei modi considerati.
I coefficienti di correlazione ρ u u , tra gli spostamenti di picco al suolo, e ρ s
risposte modali normalizzate, sono dati dalle espressioni:
k l
ρu u =
k l
1
σu σu
k
ρs
ki s lj
=
ki
, tra le
∞
∫−∞ Gu u (ω )dω
k l
l
1
σs σs
ki s lj
(A.20)
∞
∫−∞ H i (ω )H j (− ω )Gu&& u&& (ω )dω
k l
lj
e:
G u&&u&& (ω ) indica la matrice delle densità spettrali di potenza dei processi di accelerazione, indicata
semplicemente con G(ω ) in D.1.
7 Nella (A.19) si è omesso un contributo, che tiene conto della correlazione tra i termini di
spostamento u e quelli modali s, ovvero ρ u s . Analisi numeriche mostrano che il contributo
corrispondente è trascurabile.
6
k lj
112
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
σ u2 = ∫−∞ G u u (ω )dω
∞
k
σ
2
s ki
k k
∞
(A.21)
= ∫−∞ H i (ω ) G u&& u&& (ω )dω
2
k k
dove Gu u (ω ) è il termine kl della matrice di densità spettrale di potenza dei processi di
spostamento del terreno, ottenuta dalla corrispondente matrice dei processi di
1
accelerazione mediante la relazione: G uu (ω ) = 4 G u&&u&& (ω ) ; H i (ω ) è la funzione di
ω normalizzato:
trasferimento in frequenza per lo spostamento modale
k l
H i (ω ) =
1
ω − ω + i 2ξ i ω i ω
2
i
(A.22)
2
Al fine di valutare gli integrali nelle (A.20) e (A.21) è necessario esprimere la densità
spettrale di potenza in funzione dello spettro di risposta, che rappresenta l’informazione
disponibile all’utente. In mancanza di determinazioni più accurate ci si può avvalere della
seguente espressione approssimata, leggermente modificata rispetto a quella proposta in
(Der Kiureghian e Neuenhofer, 1992)., che può essere usata a ogni supporto:
4 ⎞ ⎡ D (ω , ξ ) ⎤
⎛ 2ξω
Gu&&u&& (ω ) = ω 2 ⎜
+
⎟⎢
π
πτ
⎝
⎠ ⎣ 2.5 ⎥⎦
2
ω≥0
(A.23)
Nell’espressione precedente τ è la durata della parte pseudo-stazionaria del moto, da
scegliere coerentemente con il valore di a g .
In pratica, quando le condizioni stratigrafiche locali differiscono sostanzialmente da un
supporto all’altro, l’effetto di questa differenza tende a predominare sull’effetto delle altre
cause di perdita di correlazione. Analisi numeriche hanno mostrato inoltre che il termine
γ ij , 3 (ω ) nella funzione di coerenza ha un’influenza limitata sui risultati al punto che può
essere posto in via di approssimazione uguale a zero. Sulla base di queste considerazioni e
tenendo conto del carattere approssimato del metodo descritto, si può ottenere una
notevole semplificazione considerando una matrice di potenza dell’eccitazione diagonale
G (ω ) , cioè considerando la struttura soggetta a moti indipendenti ai supporti, ognuno
caratterizzato dalla propria distinta densità spettrale di potenza. L’equazione (A.19) si
semplifica in:
µz
max
=
m
m
n
n
∑ a k2 u k2,max + ∑∑∑ bki bkj ρ s s
k =1
k =1 i =1 j =1
A.5 ESEMPIO APPLICATIVO
ki kj
(
Dk (ω i , ξ i )Dk ω j , ξ j
)
(A.24)
APPENDICE B: INTERAZIONE TERRENO-STRUTTURA
B.1 IL FENOMENO FISICO
La Fig. B. 1 mostra le tre tipologie di fondazione: diretta, su pali e a cassone, che
riassumono le soluzioni tradizionali di trasmissione delle forze dalla struttura al terreno.
In relazione a ciascuna di esse vengono brevemente illustrati i caratteri del fenomeno di
interazione terreno-fondazione-struttura.
In tutti e tre i casi il moto sismico (orizzontale) si suppone provenire da strati profondi
con direzione di propagazione verticale (onde di taglio). Alla profondità z, tale moto è
indicato con ug(z,t) o più semplicemente con ugz. In condizioni di campo libero (cioè in
assenza della struttura) il moto alla superficie z = 0 si indica con ug(0,t) o più
semplicemente con ug.
In presenza della struttura, il moto all’interfaccia tra la struttura e il sistema fondazioneterreno risulta diverso da quello di campo libero uff, a causa delle deformazioni localmente
indotte dalle forze di inerzia trasmesse dalla struttura. Tale aspetto del fenomeno è
comunemente denominato interazione inerziale. Nella Fig. B. 1a l’effetto di modifica del
moto in campo libero ug, è indicato con la traslazione e la rotazione della fondazione uf e
θf. Quest’ultima componente del moto, non presente nel caso di struttura a “base fissa”,
comporta un incremento degli spostamenti in sommità che possono avere una rilevanza
nel caso di strutture sensibili agli effetti del secondo ordine.
L’altro aspetto del fenomeno è quello comunemente denominato interazione cinematica, il
quale si presenta sotto diverse forme. Nel caso, ad esempio, di un edificio esteso in pianta
e con fondazione a platea, l’interazione cinematica consiste nella modifica del moto del
suolo all’interfaccia tra la struttura e il sistema fondazione-terreno, dovuta all’aderenza tra
la platea e il terreno. Il moto risultante è costituito da una traslazione “mediata”
sull’estensione della fondazione, di entità normalmente ridotta rispetto al moto in campo
libero, cui si aggiunge una componente di rotazione attorno all’asse verticale.
Nel caso in esame di fondazione superficiale (Fig. B. 1a), se le sue dimensioni sono
contenute, come normalmente avviene nel caso delle pile da ponte, è lecito considerare il
moto sismico uniforme sull’estensione della fondazione.
La considerazione dell’interazione cinematica è invece necessaria nel caso di fondazioni
profonde. Nel caso delle fondazioni su pali il fenomeno è chiaramente illustrato nella Fig.
B. 1b, nel quale si osserva come i pali, immersi nel terreno, siano coinvolti nella sua
114
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
deformazione, alla quale si oppongono, modificandola localmente, in funzione del
rapporto delle rigidezze palo/terreno. Il moto risultante in superficie è quindi u k ≠ u g .
ug
a) Fondazione superficiale
u f Hθ f
us
ug
H
z
u gz
u f Hθ f u s
uk
b) Fondazione su pali
H
ug
z
u gz
uf
uk
c) Fondazione a pozzo
H
Hθ f u s
Azioni sui pali somma
delle deformazioni
imposte dal terreno e
delle sollecitazioni dovute
all’inerzia della struttura
Azioni sui pali dovute solo
alle deformazioni imposte
dal terreno (ovunque z>La,
rilevante in presenza di
forti contrasti)
ug
z
u gz
Fig. B. 1 Interazione terreno-fondazione-struttura.
Per quanto riguarda la struttura, anche in questo caso il moto all’interfaccia tra essa e il
sistema fondazione-terreno risulta diverso da quello di campo libero. La differenza è
dovuta sia alle deformazioni indotte dalle forze di inerzia trasmesse dalla struttura al
sistema pali-terreno, che all’alterazione del campo d’onde dovuta alla rigidezza dei pali.
Appendice B: Interazione terreno-struttura
115
Per quanto riguarda i pali, il loro stato di sollecitazione è somma dell’effetto cinematico,
associato alla deformazione del terreno, e di quello inerziale, associato alle azioni
trasmesse dalla struttura in elevazione. L’effetto cinematico è particolarmente importante
in presenza di terreno stratificato con rilevanti contrasti di rigidezza.
Un caso particolare è costituito infine dalle fondazioni a pozzo, nelle quali, come è illustrato
nella Fig. B. 1c, l’aspetto cinematico del fenomeno di interazione diviene predominante.
In questo caso infatti la rigidezza del pozzo è tale da modificare in maniera sostanziale il
moto locale del terreno sull’intera profondità del pozzo. È da osservare come in questo
caso la traslazione e la rotazione uf e θf della fondazione, all’interfaccia con la struttura,
abbiano natura sostanzialmente cinematica. Al contrario, nel caso di fondazione
superficiale (Fig. B. 1a) uf e θf hanno natura sostanzialmente inerziale, in quanto la
rimozione della struttura annullerebbe tali quantità.
B.2 MODELLAZIONE
B.2.1 Fondazioni superficiali
La modellazione degli effetti dell’interazione terreno-fondazione-struttura nel caso di
fondazioni superficiali viene brevemente illustrata in questo paragrafo per ragioni di
completezza. È da ritenere infatti che nei casi reali le situazioni in cui sia richiesta (vedi
2.4.3) la loro considerazione siano infrequenti, in quanto tale soluzione fondale è
normalmente associata a condizioni di suolo di buone caratteristiche meccaniche.
La deformabilità del terreno di fondazione viene introdotta attraverso delle molle
equivalenti da porre alla base della struttura. Queste molle esprimono il legame dinamico
forza-spostamento, ricavato con formulazioni di diverso livello di rigore in riferimento a
impronte rigide8. Sono disponibili soluzioni per forze agenti orizzontali, verticali e coppie,
e per impronte di forma qualsiasi con profondità variabile del piano di posa. Una rassegna
completa e aggiornata può essere trovata ad esempio in (Gazetas, 1992).
Poiché in dinamica lo spostamento e la forza non sono in fase, è di uso comune
esprimere il legame tra forza e spostamento mediante una grandezza complessa, detta
rigidezza dinamica o impedenza dinamica, e data dall’espressione:
~
k (ω ) = k (ω ) + iω ⋅ c (ω )
(B. 1)
nella quale ω è la frequenza circolare, k(ω) è la rigidezza dinamica, funzione debolmente
dipendente dalla frequenza, e c(ω) rappresenta la dissipazione di energia dovuta
all’irraggiamento. In presenza di significativa risposta non lineare del terreno, volendo
mantenere una modellazione lineare, è possibile includere in c(ω) anche un termine di
8
Con il termine impronta rigida si indica una fondazione indeformabile e priva di massa.
116
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
smorzamento isteretico non dipendente dalla frequenza (vedi la successiva equazione (B.
5)). Inoltre, per tenere conto del comportamento non lineare del terreno, la rigidezza deve
essere ridotta a quella secante per una deformazione efficace del terreno, frazione di
quella massima.
La Fig. B. 2a mostra la modellazione descritta. In questa forma la soluzione può essere
ottenuta sia nel dominio delle frequenze, che nel dominio del tempo, utilizzando
rispettivamente come eccitazione lo spettro di potenza G (ω ) o un corrispondente
insieme di accelerogrammi u&& g (t ) rappresentativi del moto in campo libero.
Nel caso più comune di analisi nel dominio del tempo, ai parametri k(ω) e c(ω) vengono
attribuiti valori costanti, medi sul campo di frequenza significativo per la risposta.
L’analisi nel dominio del tempo è vantaggiosa in quanto permette una diretta estensione
alla modellazione non lineare della struttura e del suolo. In questo caso al posto della
forza di richiamo elastiche ksus nella struttura, kxuf nella fondazione, etc si sostituiscono
legami isteretici del tipo f(us) e ff(uf).
us
ms
u&&g
kx
cx
ks,cs
mf,If
us
ms
θf
mf,If
Sa
uf
ks
θf
kx
T
kθ
uf
kθ
cθ
Fig. B. 2 Modellazione, fondazioni superficiali: (a) molle e smorzatori per l’analisi al passo
o in frequenza, (b) molle e smorzamento pesato per l’analisi con spettro di risposta.
La Fig. B. 2b differisce dalla precedente per l’eccitazione, che è rappresentata da uno
spettro di risposta (in accelerazione, campo libero), e per l’assenza di organi di
dissipazione. L’effetto di questi ultimi è tradotto in un fattore di smorzamento che
modifica lo spettro di risposta. A tal fine è necessario combinare i diversi contributi allo
smorzamento provenienti dalla deformazione della struttura, dalla deformazione del suolo
e dall’irraggiamento. Una tecnica di uso frequente per ottenere uno “smorzamento
equivalente” è quella di pesare i singoli contributi mediante le energie di deformazione
nella deformata del primo modo (Roesset et al, 1973). Se u T = u f ,θ f , u s è il vettore
degli spostamenti relativi al moto del suolo e φ1T = {ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 } la corrispondente prima
forma modale, l’energia di deformazione immagazzinata nel sistema (struttura e suolo,
traslazione e rotazione) è pari a:
{
}
Appendice B: Interazione terreno-struttura
1
Es = ks ∆ϕ 2 ,
2
1
Euf = kxϕ12 ,
2
117
1
Eθf = kθ ϕ 22
2
(B. 2)
dove ∆ϕ = ϕ3-(ϕ1+Hϕ2) è il valore modale della deformata flessionale della pila (vedi Fig.
B. 3).
Deformazione flessionale
u s − (u f + Hθ f )
uf
us
Hθ f
θf
Fig. B. 3 Modellazione, fondazioni superficiali:deformazione flessionale.
Le corrispondenti energie dissipate si possono esprimere come segue. Per quanto riguarda
la struttura:
Eds = 4πξ s Es
(B. 3)
Per quanto riguarda il sistema fondazione-terreno:
Eduf = πc x ω1ϕ12
Edθf = πc θ ω1ϕ 22
(B. 4)
dove ω1 è la frequenza del primo modo di vibrazione, e i coefficienti sono dati, come già
detto, dalla somma dello smorzamento per irraggiamento e di quello isteretico nel
terreno:
c x = (c x )irr +
2k x
ω1
ξ uf
c θ = (c θ )irr +
2kθ
ω1
ξθf
Lo smorzamento equivalente risulta pari a:
(B. 5)
118
ξeq =
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
1 Eds + Eduf + Edθf
4π Es + Euf + Eθf
(B. 6)
Un’analisi modale con spettro di risposta come quella descritta può rappresentare l’unico
tipo di analisi in caso di effettivo comportamento elastico del sistema, o un’esplorazione
iniziale volta a determinare l’effettiva rilevanza del fenomeno di interazione.
B.2.2 Fondazioni su pali
Il problema della valutazione degli effetti dell’interazione terreno-fondazione-struttura nel
caso delle fondazioni su pali è particolarmente complesso. Nonostante l’esistenza una
vasta letteratura a partire dagli anni ’70 del secolo scorso, non è possibile reperire una
proposta che sia al contempo sufficientemente semplice per l’applicazione pratica e in
grado di tener conto di tutti gli aspetti rilevanti del problema. Tra questi quello di maggior
impegno è la modellazione dell’interazione dinamica tra i pali in un gruppo, o del
cosiddetto effetto di gruppo.
Il fenomeno dell’interazione tra i pali è ben noto e la sua soluzione in campo statico,
dovuta a Poulos (1980), fa parte della prassi corrente: essa porta alla valutazione di
un’efficienza del gruppo, sempre inferiore a uno, che fornisce la rigidezza del gruppo a partire
dalla somma delle rigidezze dei pali. L’efficienza è ridotta nel gruppo in quanto lo
spostamento di ogni palo è dato dalla somma dello spostamento dovuto al carico
applicato direttamente al palo, e degli spostamenti indotti sul palo dai carichi applicati ai
pali limitrofi.
In campo sismico, la deformazione del singolo palo produce un campo d’onda che si
propaga nel suolo circostante e investe i pali limitrofi. La natura oscillatoria di questo
campo di spostamento indotto rende il fenomeno radicalmente diverso da quello
dell’interazione statica: in funzione della frequenza e dello smorzamento, lo spostamento
indotto dal palo i sul palo j in generale non è in fase con lo spostamento del palo j, e può
ridurlo anziché aumentarlo. L’effetto risultante, in termini di rigidezza complessiva di un
insieme di pali, è quello di un’efficienza fortemente dipendente dalla frequenza e anche maggiore
di uno. Questo fatto ha una ricaduta importante dal punto di vista del calcolo in quanto la
forte dipendenza dalla frequenza non permette, a rigore, l’usuale approccio di operare nel
dominio del tempo con valori medi dei parametri indipendenti dalla frequenza.
La mancanza di un approccio con le caratteristiche indicate di semplicità e completezza è
confermato da un’analisi del panorama normativo internazionale. La normativa europea
non fornisce alcuna indicazione sui metodi da adottare in campo dinamico. Negli Stati
Uniti, la FHWA, nel Seismic Design of Highway Bridge Foundations (1986), come anche le
ATC-32 Improved Seismic Design Criteria for California Bridges: Provisional Recommendations
(1996), forniscono i valori delle rigidezze globali della fondazione su pali(indipendenti
dalla frequenza), ignorando: a) la dissipazione per irraggiamento b) il descritto effetto di
Appendice B: Interazione terreno-struttura
119
gruppo c) l’effetto di modifica del moto in input alla struttura dovuto all’interazione
cinematica.
Nel seguito si illustrano brevemente alcune delle opzioni di modellazione, caratterizzate
da diversi livelli di rigore, in grado tuttavia di cogliere tutti gli aspetti del fenomeno.
Dal punto di vista operativo è possibile distinguere una modellazione globale,
comprendente cioè il suolo, la fondazione e la struttura, come indicato in Fig. B. 4, da una
modellazione disaccoppiata o per sottostrutturazione. In questo caso, illustrato in Fig. B. 5,
dapprima di risolve il problema della determinazione del moto modificato uk per effetto
dell’interazione cinematica e della matrice di impedenza che tiene conto dell’effetto di
gruppo, per poi utilizzare questi risultati nell’analisi della struttura.
Colonna di
suolo (moto in
campo libero)
H
Traslazione
orizzontale
Traslazione
verticale
kxcx
kzcz
∆z
z
z
Impedenza
alla punta
ugz
Fig. B. 4 Modellazione, fondazioni su pali: modello globale.
Traslazione orizzontale kxcx
ug
uk
us
ms
Traslazione
verticale
ks ,cs
kzcz
∆z
G
x
k
z
uk
ugz
Impedenza
alla punta
c
G
x
θf
mf , If
G
kθ
c θG
Fig. B. 5 Modellazione, fondazioni su pali: sottostrutturazione.
uf
120
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
La modellazione globale può essere messa in atto in diversi modi:
1. Modellazione agli elementi finiti 3D del sistema terreno-fondazione-struttura.
Questa opzione, chiaramente molto onerosa e destinata a casi di importanza
molto rilevante, richiede una discretizzazione fine di una porzione di suolo di
grandi dimensioni intorno all’intera opera, e l’adozione di vincoli assorbenti al
contorno. Permette naturalmente di valutare anche l’effetto dell’eccitazione non
uniforme alla base delle varie pile. Un esempio si può trovare in (Zhang et al,
2008)
2. Modellazione agli elementi finiti 2D plane strain di strati sovrapposti di terreno
nell’intorno dei pali. In questa opzione gli strati sono connessi a una colonna di
suolo attraverso vincoli visco-elastici che danno conto della dissipazione per
isteresi e irraggiamento. La colonna impone il moto al contorno di questi strati
che lo trasmettono ai pali. Gli strati sono anche la sede della propagazione delle
onde da un palo all’altro, e permettono la modellazione dell’effetto di gruppo. Un
esempio si può trovare in (Klar, 2003).
3. Modellazione 1D alla Winkler. Come nel caso precedente il moto del suolo alla
profondità z, ug(z,t) è modellato attraverso una colonna di suolo che riceve il
moto alla base ub(t). La colonna è collegata attraverso vincoli viscoelastici alla
fondazione. Quest’ultima è modellata come insieme di pali (elementi frame)
connessi tra loro, a due a due, da molle che danno conto dell’interazione e
forniscono l’effetto di gruppo. Molle di quest’ultimo tipo sono state proposte da
(El Naggar e Novak, 1996).
Sottostrutturazione: determinazione dei fattori di interazione orizzontali
Per quanto riguarda l’analisi disaccoppiata, tra le diverse varianti disponibili in letteratura, si
illustrano i tratti principali del procedimento semplificato descritto in (Makris e Gazetas,
1992).
Il metodo parte dalla considerazione che il moto di un palo è dato dalla somma del moto
indotto dalle forze d’inerzia provenienti dalla struttura in elevazione (interazione
inerziale), e di quello prodotto dalle onde sismiche provenienti dagli strati sottostanti
(interazione cinematica). Per ognuno dei due aspetti del fenomeno il metodo comporta la
soluzione di tre problemi in sequenza (vedi Fig. B. 6):
1. Determinazione della risposta di un palo isolato, ad un’eccitazione armonica in
testa (inerziale), o alle onde sismiche di taglio che si propagano in verticale
(cinematica).
2. Determinazione del moto (attenuato) in corrispondenza di un palo a distanza
r=S, prodotto dal moto del palo ottenuto come soluzione al primo problema.
3. Determinazione della risposta del secondo palo al moto proveniente dal primo.
Appendice B: Interazione terreno-struttura
121
Il suolo, nella soluzione dei problemi 1 e 3, è modellato alla Winkler con una
distribuzione continua di molle e smorzatori dipendenti dalla frequenza, per le quali sono
state adottate le espressioni semplificate seguenti:
k x = 1.2 Es
(B. 7)
c x = 6 ρ sVs da 0−1/ 4 + 2 β s
kx
ω
(B. 8)
dove Es, ρs, Vs e βs sono rispettivamente il modulo di Young, la densità di massa, la
velocità delle onde di taglio e il rapporto di smorzamento del suolo, d è il diametro del
palo e a0 = ωd/Vs, la frequenza adimensionale. Ai fini del calcolo dell’impedenza
rotazionale della fondazione sono necessarie anche le molle verticali distribuite lungo il
palo. Espressioni coerenti con quelle indicate per la direzione orizzontale sono riportate
in (Gazetas et al, 1993):
(
kz = 0.6 Es 1 + 0.5 a 0
c z = ρ sVs da 0−1/ 4 + 2 β s
)
kz
ω
(B. 9)
(B. 10)
Nella (B. 8) e nella (B. 10) il primo termine rappresenta lo smorzamento per
irraggiamento e il secondo quello isteretico nel materiale.
Interazione inerziale: passo 1 (Fig. B. 6a)
L’equazione della linea elastica di un palo in vibrazione libera armonica U11(ω,z)eiwt, alla
frequenza ω, in un terreno alla Winkler, nel caso inerziale è:
EpI p
d IV U 11 (z )
+ (kx + iωc x − mω 2 )U 11 (z ) = 0
dz 4
(B. 11)
nella quale la dipendenza dalla frequenza circolare ω (dell’ampiezza dello spostamento
U11, e delle due funzioni di rigidezza e smorzamento, kx e cx) è stata omessa per semplicità
di notazione.
Una soluzione semplificata, di ottima approssimazione, tenuto conto delle condizioni ai
limiti, si ottiene ponendo cx=0 (l’effetto dello smorzamento diventa apprezzabile solo a
profondità superiori alla lunghezza attiva del palo, cioè laddove gli spostamenti sono
trascurabili):
u 11 (z , t ) = U 11 (z )e iωt = U 0 e − λz (sin λz + cos λz )e iωt
(B. 12)
122
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
dove U0(ω)=U(ω ,z=0) è l’ampiezza dello spostamento in sommità, e:
λ=4
k x − mω 2
4E p I p
(B. 13)
Palo 1
carico in testa
Posizione del
Palo 2 (r=S)
Moto che
eccita il Palo 2
Palo 2
Onde che si
propagano
radialmente
a)
c)
b)
Passo 1
Passo 2
Passo 3
ug
Onde che si
propagano
radialmente
ugz
d)
e)
Moto
differenza tra
quello in
campo libero e
quello del Palo
1, attenuato alla
posizione del
Palo 2
f)
Fig. B. 6 Interazione palo-terreno-palo: (a,b,c) inerziale, passi da 1 a 3
(d,e,f) cinematica, passi da 1 a 3.
Interazione inerziale: passo 2 (Fig. B. 6b)
Il moto del palo in (B. 12) produce campi d’onda P e S che irraggiano in tutte le direzioni,
rispettivamente con velocità VLa=3.4/(π(1-ν))Vs (la cosiddetta velocità di Lysmer) e Vs, e
vengono riflesse dalla superficie libera del terreno. La trattazione tridimensionale rigorosa
del problema è estremamente complessa, esistono numerose soluzioni approssimate (tra
tutte ad esempio Novak et al 1978). Makris e Gazetas fanno uso di quella in (Gazetas e
Dobry, 1984), che fornisce il moto a distanza r dal palo eccitatore nella forma:
u s (r , θ , z , t ) = ψ (r , θ )u 11 (z , t )
(B. 14)
Appendice B: Interazione terreno-struttura
123
ψ (r , θ ) = ψ (r ,0 ) cos 2 θ +ψ (r , π / 2 ) sen 2θ
(B. 15)
ψ (r ,0 ) = r0 r ⋅ e − βω (r −r
(B. 16)
0
)/V La
ψ (r , π / 2 ) = r0 r ⋅ e − βω (r −r
0
⋅ e − iω ( r − r
)/ V s
0
)/V La
⋅ e − iω ( r − r
0
)/ V s
(B. 17)
dove r0 è il raggio del palo. Nella stessa equazione la radice quadrata e il primo
esponenziale danno conto, rispettivamente, dell’attenuazione geometrica e per
dissipazione nel mezzo.
Interazione inerziale: passo 3 (Fig. B. 6c)
Il campo d’onde generato dal moto del palo eccitatore dato dalla (B. 14) per r = S
fornisce l’input al secondo palo. L’equazione che governa il moto U21(z) di tale palo è:
EpI p
d IV U 21 (z )
− mω 2U 21 (z ) + (kx + iωc x )[U 21 (z ) − U s (z )] = 0
dz 4
(B. 18)
la cui soluzione fornisce lo spostamento del palo ricevente causato dal moto del palo
eccitatore. Il rapporto tra questo spostamento e lo spostamento del primo palo è il
cosiddetto fattore di interazione dinamica, che per z=0 vale:
α 21 =
k x + iωc x
U 21 (0 ) 3
= ψ (S , θ )
U 11 (0 ) 4
k x + iωc x − mω 2
(B. 19)
Interazione cinematica: passo 1 (Fig. B. 6d)
Il moto del suolo in condizioni libere alla frequenza ω e alla profondità z, soluzione del
problema mono-dimensionale di propagazione delle onde di taglio, è dato da:
u g (z , t ) = U g (z )e iωt = U gz
cos δz iωt
e
cos δL
(B. 20)
dove L è lo spessore dello strato poggiante su una base rigida (riflettente9) e:
δ=
ω
Vs
*
=
ω
V s 1 + 2 iβ
(B. 21)
Questo moto eccita il palo 1, la cui risposta è la soluzione dell’equazione:
Il moto free-field dello strato Ug/Ugz = cosδz/cosδL è la soluzione particolare ottenuta per
contrasto di rigidezza α=0 dalla soluzione per base “flessibile” (Gerolymos e Gazetas, 2006).
9
124
EpI p
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
d IV U 11 (z )
− mω 2U 11 (z ) + (kx + iωc x ) U 11 (z ) − U g (z ) = 0
dz 4
[
]
(B. 22)
Interazione cinematica: passo 2 (Fig. B. 6e)
In questo caso il campo d’onda generato dal palo 1 è dato dal moto differenziale
∆u11=u11-ug. Il moto attenuato alla distanza r è dato quindi dall’espressione:
u s (r , θ , z , t ) = ψ (r , θ )∆u 11 (z , t ) = ψ (r , θ )(Γ − 1)u g (z , t )
(B. 23)
dove Γ(ω)=U11(ω)/Ug(ω) è dato dall’espressione:
Γ(ω ) =
k x + i ωc x
E p I p δ + k x + i ωc x − m ω 2
4
(B. 24)
Interazione cinematica: passo 3 (Fig. B. 6f)
Il moto del palo 2 risulta dalla soluzione dell’equazione (B. 18) dove il moto in input è
dato dalla (B. 23).
Il rapporto tra gli spostamenti nel palo 2 e nel palo 1 fornisce il fattore di interazione dinamica
(cinematica):
α 21 =
U 21 (0 )
= ψ (S , θ )(Γ − 1)
U 11 (0 )
(B. 25)
Sottostrutturazione: determinazione dei fattori di interazione verticali
Dobry e Gazetas (1988) forniscono la seguente espressione per il fattore di interazione
verticale nel caso di suolo omogeneo:
α 21 =
W 21 (0 )
≅
W11 (0 )
r0 − βωS /V −iωS /V
e
e
S
s
s
(B. 26)
ottenuta trascurando l’interazione tra terreno e palo “ricevente” (infatti in essa non
compaiono, come nella (B. 19) le impedenze lungo il palo). Sotto le stesse ipotesi gli
autori forniscono anche un’analoga espressione per il fattore di interazione orizzontale.
L’espressione (B. 26) è il punto di partenza per lo sviluppo, in Makris e Gazetas (1991), di
un’espressione più accurata, per suolo non omogeneo e palo assialmente flessibile (ma
sempre trascurando l’interazione tra terreno e palo ricevente):
Appendice B: Interazione terreno-struttura
α 21 =
r0 1
S L
− βω S /V −iωS /V
e
dz
∫0 ψ 11 (z ,0 )e
L
s
s
125
(B. 27)
dove:
ψ 11 (z , ω ) ≅ ψ 11 (z ,0 ) =
1
L
w 11 (z )
L
∫0
w 11 (z )dz
(B. 28)
è il rapporto tra lo spostamento verticale alla quota z e quello medio sulla lunghezza del
palo.
Impedenza dinamica del singolo palo, orizzontale e verticale
I fattori di interazione dinamica trovati sono necessari per determinare il moto che eccita
la struttura e l’impedenza dinamica alla base di quest’ultima. Nel calcolo, che si basa in
entrambi i casi sul metodo di sovrapposizione di Poulos, entra naturalmente, oltre ai
fattori di interazione, l’impedenza dinamica del singolo palo. Quest’ultima può essere
determinata, nel caso più generale di suolo stratificato, con un modello numerico
dell’equazione (B. 11), in cui il palo è discretizzato con elementi frame e le impedenze per
unità di lunghezza sono trasformate in molle e smorzatori discreti. Ad ogni frequenza, il
rapporto tra la forza armonica applicata e lo spostamento indotto fornisce l’impedenza
cercata.
Per il caso semplice di terreno omogeneo (Gs = costante) esiste una soluzione in forma chiusa
per l’impedenza del singolo palo (Novak, 1974). Tale soluzione è ottenuta modellando il
suolo alla Winkler con una distribuzione continua di molle e smorzatori di caratteristiche
dipendenti dalla frequenza Gs(Sx1(a0)+iSx2(a0)) e Gs(Sz1(a0)+iSz2(a0)), che rappresentano la
soluzione esatta in elastodinamica per l’impedenza di uno strato elastico (Baranov, 1967).
Queste impedenze distribuite, mostrate in Fig. B. 7a, sono le stesse semplificate da
Gazetas nelle equazioni (B. 7)-(B. 8) e (B. 9)-(B. 10): kx = GsSx1 e cx = GsSx2/ω.
La matrice di impedenza dinamica del singolo palo ha la forma (vedi Fig. B. 7b):
~s
⎡k
xx
⎢
~
~s
k = ⎢kxsθ
⎢ 0
⎣
~
kxsθ
~
kθθs
0
0⎤
⎥
0⎥
~
kzzs ⎥⎦
(B. 29)
dove:
EpI p
~
kxxs = 3 Fxx (λ )
Lp
(B. 30)
126
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
EpI p
~
kθθs =
Fθθ (λ )
Lp
(B. 31)
EpI p
~
kxsθ = 2 Fxθ (λ )
Lp
(B. 32)
e
Ep Ap
~
kzzs =
Fzz (Λ )
Lp
(B. 33)
dove Lp è la lunghezza del palo.
(
S x1
)
0.4
=
ν
S x1
.2
=0
ν
(
5)
S z1
Sx2 (ν=0.4)
Sx2 (ν=0.25)
Sz2
Fig. B. 7 Sopra: impedenza distribuita lungo un palo (adattata da Novak, 1974);
sotto: termini della matrice di impedenza in testa al palo.
Nelle equazioni precedenti i due parametri complessi λ e Λ sono definiti come:
λ = λ1 + iλ2 = L p [mω 2 − (kx + iωc x )] E p I p
Λ = Λ1 + iΛ 2 = L p
[mω − (k
2
z
+ i ωc z
)] E A
p
(B. 34)
p
(B. 35)
Appendice B: Interazione terreno-struttura
127
Le espressioni delle funzioni Fxx, Fxθ e Fθθ sono fornite da Novak (1974) per il caso di
palo incastrato oppure incernierato in una base rigida. Ai fini della determinazione della
rigidezza globale alla traslazione orizzontale e alla rotazione della fondazione, interessano
~ ~
solamente le rigidezze kxxs e kzzs . Le corrispondenti funzioni sono:
Fxx , fixed (λ ) = λ3
cosh λ sin λ + sinh λ cos λ
cosh λ cos λ − 1
(B. 36)
Fxx , pinned (λ ) = λ3
2 cosh λ cos λ
cosh λ sin λ − sinh λ cos λ
(B. 37)
Fzz (Λ ) = Λ cot Λ
(B. 38)
Novak mostra anche come, normalizzando le funzioni precedenti per la snellezza del palo
(Re(fxx)= Re(Fxx)/(Lp/r0)3) e, per la parte immaginaria, anche per la frequenza
adimensionale a0 (Im(fxx)= Im(Fxx)/(Lp/r0)3/a0), si ottengono dei valori praticamente
indipendenti dalla snellezza e dalle condizioni di vincolo alla base, per i valori usuali di
snellezza e lunghezza dei pali. Novak fornisce inoltre i valori costanti approssimati mostrati in
Tabella B. 1 in funzione del rapporto tra la velocità delle onde di taglio nel terreno e la
velocità delle onde nel calcestruzzo Vc = √Ep/ρp.
Tabella B. 1 Valori costanti approssimati delle funzioni di impedenza del singolo palo (ν è
il coefficiente di Poisson del terreno).
ν = 0.25
ν = 0.4
Vs/Vc Re(fxx) Im(fxx) Re(fxx) Im(fxx)
0.01 0.0032 0.0076 0.0036 0.0084
0.02 0.0090 0.0215 0.0100 0.0238
0.03 0.0166 0.0395 0.0185 0.0438
0.04 0.0256 0.0608 0.0284 0.0674
0.05 0.0358 0.0850 0.0397 0.0942
Moto modificato in input alla struttura
Per effetto delle onde di taglio che si propagano verticalmente nascono in sommità al
singolo palo una componente di spostamento orizzontale ed una rotazione. Se quest’ultima è
impedita (palo incastrato nel plinto) nasce un momento flettente. La somma dei momenti
flettenti in sommità ai pali induce una rotazione nel plinto. Generalmente, per le
dimensioni usuali dei pali, tale componente dell’eccitazione alla struttura risulta
128
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
trascurabile rispetto alla componente orizzontale. Nel seguito quindi si fa riferimento solo
a quest’ultima.
Gli spostamenti orizzontali Ui e Uj in testa ai pali i e j dovuti alla propagazione del moto
sismico all’interno della palificata sono diversi, a causa del diverso contributo di
interazione dai pali circostanti:
U i = ∑ α ij U jj ≠ U j = ∑ α ji U ii
j
i
(B. 39)
dove αii = αjj = 1, e Uii = Ujj = U11 è il moto in testa al singolo palo eccitato dalle onde
sismiche per effetto dell’interazione con il suolo.
Nell’ipotesi di plinto rigido deve risultare Ui = Uj =U. Perché questo avvenga devono
nascere delle forze in testa ai pali che ristabiliscano la compatibilità. Tali forze, che
devono essere auto-equilibrate:
∑ Fi
=0
(B. 40)
i
~
~
producono spostamenti diretti Fi/ kxxs e αji Fi/ kxxs per effetto dell’interazione.
Lo spostamento orizzontale del plinto sarà quindi dato dall’espressione:
F
F
U k = U j = ∑ α ji ~si + ∑ α ji U ii = ∑ α ji ~si + U 11 ∑ α ji
i
i
kxx
kxx
i
i
(B. 41)
che può essere riscritta come:
Uk
F
− ∑ α ji ~s i = ∑ α ji
U 11
i
kxx U 11
i
(B. 42)
Questa equazione, scritta per gli n pali, insieme all’equazione di equilibrio (B. 40),
formano un sistema di equazioni lineari nelle incognite Uk/U11 (moto in sommità) e
~
Fi/ kxxs U11 con i=1,…,n (forze), che si può scrivere in forma matriciale:
⎡1 n×1
⎢0
⎣ 1×1
α n×n ⎤ ⎧ U k U 11 ⎫ ⎧α n×n 1 n×1 ⎫
⎨ ~
⎬=⎨
⎬
1 1×n ⎥⎦ ⎩F kxxs U 11 ⎭ ⎩ 0 1×1 ⎭
(
)
(B. 43)
Impedenza dinamica della fondazione
Si vogliono determinare le impedenze dinamiche della sistema fondazione-terreno
secondo la componente di spostamento orizzontale e di rotazione.
Appendice B: Interazione terreno-struttura
129
Per quanto riguarda la prima, nell’ipotesi di plinto rigido, lo spostamento in testa a
ciascun palo è uguale a quello del plinto che può essere espresso come:
F
U = ∑ α ji ~si
kxx
i
(B. 44)
Le forze di inerzia in testa ai pali sommano alla forza totale applicata al plinto FG:
∑ Fi
= FG
i
(B. 45)
L’equazione (B. 41), scritta per gli n pali, insieme all’equazione di equilibrio (B. 45),
~
formano un sistema di equazioni lineari nelle incognite U (moto in sommità) e Fi/ kxxs
con i=1,…,n (forze), che si può scrivere in forma matriciale:
⎡1 n×1
⎢0
⎣ 1×1
− α n×n ⎤ ⎧ U ⎫ ⎧0 n×1 ⎫
⎨ ~ ⎬=⎨ ⎬
~s
kxx 1 1×n ⎥⎦ ⎩F kxxs ⎭ ⎩F1G×1 ⎭
(B. 46)
nella quale a FG può essere assegnato un valore arbitrario. Risolto il sistema è possibile
calcolare l’impedenza globale allo spostamento orizzontale come:
FG
~
kxG =
U
(B. 47)
Per quanto riguarda l’impedenza alla rotazione, nell’ipotesi di plinto rigido, lo
spostamento verticale in testa al palo i a distanza xi dall’origine del riferimento può essere
espresso come:
Fzi
Wi = W + θ ⋅ x i = ∑ α zji ~s
kzz
i
(B. 48)
dove W e θ sono lo spostamento verticale e la rotazione del plinto.
Le forze verticali in testa a ciascun palo devono soddisfare l’equilibrio alla rotazione e
quello alla traslazione verticale:
∑ Fzi x i
= MG
i
∑ Fzi
i
=0
(B. 49)
(B. 50)
130
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
Poiché normalmente il riferimento della fondazione coincide con il baricentro della
stessa, lo spostamento verticale W è nullo e l’equilibrio (B. 50) è soddisfatto. Rimane
pertanto il sistema:
⎡x − α z ⎤ ⎧ θ ⎫ ⎧ 0 ⎫
~s ⎥ ⎨ ~s ⎬ = ⎨ G ⎬
⎢0 k
zz x ⎦ ⎩Fz kzz ⎭
⎩M ⎭
⎣
(B. 51)
Nel quale a MG si può assegnare un valore arbitrario. L’impedenza cercata vale:
MG
~
kθG =
θ
(B. 52)
Appendice B: Interazione terreno-struttura
131
B.2.3 Fondazioni a pozzo
Come notato in precedenza, la caratteristica principale di una fondazione a pozzo è la sua
capacità di modificare in maniera sensibile il moto in input alla struttura, rispetto al moto
in campo libero, in particolare per la comparsa di componenti di rotazione
potenzialmente rilevanti.
La matrice di impedenza è disponibile nell’ipotesi di pozzo rigido e terreno omogeneo
come soluzione del problema elastodinamico (Gazetas, 1991). Riferita alla base del pozzo
(invece che alla sua sommità) essa è data dall’espressione10:
~
⎡K
~
K emb (ω ) = ⎢ ~HH
⎣K HM
~
K HM ⎤
~ ⎥
K MM ⎦
(B. 53)
Tale impedenza da sola non permette di valutare l’effetto dell’interazione sulla risposta
della struttura. Per consentire l’analisi dell’interazione cinematica, Gerolymos e Gazetas
(2006a) hanno proposto di schematizzare il terreno intorno al pozzo mediante molle e
smorzatori distribuiti lungo l’altezza del pozzo e alla sua base. Le caratteristiche di tali
elementi vengono determinate in modo da approssimare l’impedenza in (B. 53).
La Fig. B. 8a mostra la configurazione deformata di un pozzo di fondazione con
evidenziate le reazioni del suolo, lungo il fusto e alla base. La Fig. B. 8b mostra la
corrispondente schematizzazione alla Winkler in (Gerolymos e Gazetas, 2006a), con i
~
~
quattro funzioni di impedenza dinamica, alla traslazione kx e rotazione kθ lungo il fusto,
~ ~
~
~
~
e concentrate per traslazione K h e rotazione K r alla base. Le impedenze kθ , K h e K r
costituiscono un’importante differenza qualitativa con il caso dei pali, nei quali questi
contributi, per le proporzioni geometriche, risultano trascurabili.
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione:
d~
~
mu&&c + ∫0 kx (z )u (z , t )dz + K h u (0, t ) = Q 0 (t )
d~
D
J c θ&&c (t ) + m u&&c (t ) + ∫0 kx (z )u (z , t )zdz + L
2
d~
~
+ ∫0 kθ (z )θ c (t )dz + K r θ c (t ) = M 0 (t ) + DQ 0 (t )
(B. 54)
(B. 55)
si ricava la matrice di impedenza riferita alla base:
Per l’analisi della struttura in elevazione serve la matrice di impedenza riferita alla sommità del
~
pozzo K T (ω ) . Questa si ricava a partire dalla (B. 53) mediante un semplice cambiamento di
riferimento.
10
132
Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti
⎡~ ~
⎢K h + kx d
~
K B (ω ) = ⎢ ~ 2
⎢ kx d
⎢⎣
2
~
⎤
kx d 2
⎥
2
~ 3⎥
kd
~ ~
K r + kθ d + x ⎥
3 ⎥⎦
(B. 56)
Fig. B. 8 (a) Cassone e reazioni del terreno (b) schematizzazione alla Winkler.
~ ~
Le impedenze k x , kθ si determinano imponendo l’uguaglianza dei termini sulla diagonale
della (B. 56) e della (B. 53), e verificando che ne risulti una ragionevole somiglianza per i
termini fuori diagonale:
~ ~
~
K h + kx d = K HH
(B. 57)
~
k d3 ~
~ ~
K r + kθ d + x = K MM
3
(B. 58)
Imponendo le (B. 57)(B. 58) separatamente per la parte reale e immaginaria si ottengono,
rispettivamente, kx, kθ e cx, cθ.
I risultati di questa operazione, svolta per un certo numero di rapporti di forma d/B,
forniscono espressioni analitiche approssimate delle rigidezze. Ad esempio per un
cassone circolare si ha:
kx ≅ 1.75 Es (d / B )−0.13
(B. 59)
kθ ≅ 0.85Es d 2 (d / B )−1.71
(B. 60)
Appendice B: Interazione terreno-struttura
133
E’ interessante notare che per cassoni molto snelli (d/B>10), le relazioni precedenti
forniscono kx ≅ 1.2 Es e kθ ≅ 0 , coerenti con le corrispondenti espressioni per un palo
(vedi equazione (B. 7)).
Nel caso di eccitazione sismica (onde di taglio a propagazione verticale), le equazioni di
equilibrio per i due gradi di libertà del cassone rigido si scrivono (vedi Fig. B. 9):
[
]
[
]
d~
~
mu&&c + ∫0 kx (z ) u (z , t ) − u ff (z , t ) dz + K h u (0, t ) − u ff (0, t ) = 0
[
]
d~
D
u&&c (t ) + ∫0 kx (z ) u (z , t ) − u ff (z , t ) zdz + L
2
d~
~
+ ∫0 kθ (z ) θ c (t ) − u ′ff (z , t ) dz + K r θ c (t ) − u ′ff (0, t ) = 0
J cθ&&c (t ) + m
[
]
[
(B. 61)
(B. 62)
]
dove il moto del terreno è descritto dalle (B. 20)e (B. 21). La soluzione delle equazioni (B.
61) e (B. 62) fornisce il moto in superficie da applicare alla struttura.
Fig. B. 9 Modellazione, fondazioni a cassone: interazione cinematica.