SERIE DI FIBONACCI E GALASSIE A SPIRALE
Giuseppe D’Angelo
INTRODUZIONE
Non si esagera più di tanto se si afferma che la realtà del mondo fisico altro non è se non la
materializzazione di regole ed evidenze matematiche. Il rapporto tra matematica e realtà è un dato di fatto
che non necessita di alcuna dimostrazione. E’ però divertente porre in risalto tale rapporto in alcuni
contesti in cui è possibile osservarlo. E’ il caso della relazione tra sequenza di Fibonacci (1)e le classiche
forme a spirale delle galassie regolari. Ricordando poi che la forma a spirale delle galassie è una
conseguenza della forza di gravità che regola il moto attorno al centro di massa delle stesse è possibile
affermare che anche il modo di agire della gravità segue la stessa regola matematica.
SERIE DI FIBONACCI E SPIRALE LOGARITMICA
La serie di Fibonacci è rappresentata da una successione di numeri in cui, esclusi i primi due (1 e 2),
ciascuno è dato dalla somma dei precedenti due, così ad esempio 1,2,3,5,8,13,21,34, 55, 89,144, ecc. Così
in formula:
Il rapporto
(per ogni n>2). Gli elementi
, per
sono anche detti numeri di Fibonacci.
tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale
chiamato sezione
aurea o numero di Fidia. In termini matematici:
dove
Della sezione aurea si parlerà in altra occasione. Vogliamo ora vedere come si arriva alla spirale logaritmica
(2) partendo da una tale serie di numeri. Possiamo arrivare a tale conclusione considerando ogni valore
della serie (escluso al più i primi due) come una misura indiretta del punto di intersezione della spirale
logaritmica con la superficie di una sfera cava che circoscrive ed è circoscritta da altre sfere analoghe. Tale
punto può essere poi proiettato su un piano mediano comune a tutte le sfere iscritte e circoscritte. Ciascun
punto proiettato apparterà così ad una specifica circonferenza di proiezione sulla quale sarà possibile
staccare un arco in funzione di un angolo specifico. Quindi il valore successivo della serie si troverà su una
circonferenza di raggio maggiore. In buona sostanza una serie infinita di circonferenze concentriche
equamente distanziate conterrebbe tutta la serie di Fibonacci. Su ciascuna circonferenza il punto rimane
individuato (partendo da un asse di riferimento comune, es. asse X) da un arco, pari proporzionalmente al
rapporto: numero di Fibonacci/raggio della circonferenza. Prendiamo ad esempio in considerazione la
1
https://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci
2
https://it.wikipedia.org/wiki/Spirale_logaritmica
seguente serie di circonferenze di raggio crescente unitariamente e confrontiamole con la corrispondente
sequenza di numeri di Fibonacci:
RAGGIO
CIRCONFERENZA
0
SERIE
FIBONACCI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6,28
45,76
293,8
1852
11645
73174
5E+05
3E+06
2E+07
1E+08
7E+08
5E+09
3E+10
2E+11
1E+12
7E+12
4E+13
…..
…..
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
…..
Tab. 1
Calcoliamo adesso il rapporto numero di Fibonacci/raggio della rispettiva circonferenza:
SERIE
FIBONACCI/
RAGGIO
1
1
1
1,25
1,6
2,167
3
4,25
6,111
8,9
13,09
19,42
29
43,57
65,8
99,81
152
…..
Tab. 2
Consideriamo ora i valori trovati come percentuali di angolo giro a cui equivale un corrispondente arco
della relativa circonferenza (valore /100*360):
ANGOLO
AL
CENTRO
CALCOLATO
COME
PERCENTUALE
DI
ANGOLO
GIRO
3,6
3,6
3,6
4,5
5,76
7,8
10,8
15,3
22
32,04
47,13
69,9
104,4
156,9
236,9
359,3
547,2
…..
Tab. 3
E’ facile notare che si tratta di una serie di valori che crescono esponenzialmente (come i valori di
Fibonacci):
Grafico 1
Grafico 2
Servendoci adesso di Autocad disegniamo una serie di circonferenze concentriche di raggio crescente in
maniera uniforme (vedi disegno). Su ciascuna circonferenza individuiamo l’arco il cui angolo al centro è
stato già determinato nel modo precedentemente descritto. Esso è delimitato (partendo dall’asse X) dal
punto d’intersezione del raggio con la sua circonferenza (vedi disegno). Unendo ora tutti i punti
d’intersezione dei vari raggi con le rispettive circonferenze si ottiene una linea spiralata (in rosso nel
disegno).
Fig. 1
Si tratta di una spirale logaritmica (proiettata su un piano). Ovvero una forma molto presente in natura. Ne
sono esempi la disposizione delle brattee di una pigna, l’infiorescenza di certi cavolfiori, la disposizione dei
fiori nel capolino del girasole, la conchiglia di molti molluschi, la disposizione dei petali in molti fiori, i vortici
in genere, ecc.
Ma esiste realmente questa specifica correlazione tra spirale logaritmica e la tipica forma di una galassia a
spirale? Ovvero la disposizione delle stelle attorno al nucleo galattico segue le distanze e le posizioni
previste dalla progressione di Fibonacci?
Possiamo rispondere a queste domande utilizzando un metodo grafico. A tal fine è stata utilizzata una
immagine (scattata dal telescopio spaziale Hubble) della galassia a spirale regolare M51 (Whirlpool galaxy)
unita alla NGC 5195 attraverso un involucro comune di gas, entrambe situate nella costellazione dei Cani da
Caccia. Questa immagine (che costituisce una visione planimetrica della galassia) è stata opportunamente
sovrapposta alla spirale logaritmica precedentemente descritta. Il risultato grafico è osservabile nell’immagine
seguente. In essa la spirale logaritmica (in rosso) segue fedelmente la distribuzione assiale delle stelle di uno dei
bracci della galassia. La circonferenza grande al centro dell’immagine, nel punto in cui interseca la spirale,
individua, ad esempio, la posizione occupata da quelle stelle la cui distanza dal centro galattico è in rapporto ad
un preciso valore della serie di Fibonacci.
Fig. 2 Sovrapposizione tra spirale logaritmica e braccio della galassia. I segmenti rappresentano i raggi delle varie
circonferenze concentriche
CALCOLO DELLE DISTANZE
Partiamo adesso da questa correlazione che lega la posizione delle stelle nei bracci della galassia ai raggi
delle circonferenze generatrici della spirale logaritmica per fare delle semplici misure di distanza all’interno
della stessa galassia (vedi fig. 3 e fig. 4). Dai dati astrofisici sulla galassia facilmente ricavabili dal Web (3)
otteniamo il valore del diametro galattico pari a circa 100000 anni luce. Tenuto conto del raggio galattico,
misurato come numero di circonferenze concentriche, pari a 46 si ricava facilmente la distanza unitaria (tra
due circonferenze contigue) espressa in anni luce. Tale valore è di circa 1100 a.l. Con lo stesso
procedimento è possibile misurare la distanza tra i due centri galattici (circa 81000 a.l.) e il diametro della
più piccola NGC 5195 che risulta essere prossimo a 20000 a.l. come ricavabile dalle fonti Web (4).
3
4
https://it.wikipedia.org/wiki/M51_(astronomia)
http://apod.nasa.gov/apod/ap130831.html
Fig. 3 Calcolo della distanza tra i due nuclei galattici
Fig. 4 Determinazione del diametro della galassia NGC5195
SPECULAZIONI CONCLUSIVE
Partendo dal presupposto che la distribuzione a spirale delle stelle della galassia è un effetto della gravità è
logico dedurre che esiste un nesso anche tra gravità e serie di Fibonacci. Ovvero che la gravità abbia un
andamento (crescente o decrescente) secondo livelli concentrici (rappresentati, nelle varie figure
precedenti, dalle circonferenze concentriche ovvero dalle sfere concentriche). Questa conclusione trova,
peraltro, ulteriore nesso con quanto affermato dalla relatività generale in relazione alla deformazione dello
spazio-tempo operata dalle masse. In buona sostanza l’imbuto gravitazionale generato da un corpo di
massa maggiore (centro galattico nel nostro caso) determina una “caduta” delle masse orbitanti secondo
un andamento del tutto analogo ad una spirale logaritmica. Ricordiamoci poi che ogni singolo valore della
serie di Fibonacci è stato utilizzato per individuare un punto della spirale logaritmica che abbiamo assunto
come curva in grado di rappresentare l’andamento gravitazionale ovvero dei livelli gravitazionali. Possiamo
allora attribuire ai singoli valori della serie un significato di “numero quantico” indicativo dell’energia
gravitazionale. Ma anche i valori intermedi a due valori della serie evolvono in modo da poter essere
rappresentati da una spirale. Ogni valore intermedio della serie rappresenta un elemento di una nuova
serie di Fibonacci incorporata nella prima. Insomma la serie di Fibonacci nasconde al suo interno infinite
altre serie analoghe. Si consideri la seguente tabella dove ogni serie successiva alla prima è stata calcolata
sottraendo ad ogni elemento della serie precedente l’elemento che lo precede (escluso i primi due valori):
SERIE
FIBONACCI
SERIE
FIBONACCI
INTERMEDIA
SECONDA
SERIE
FIBONACCI
INTERMEDIA
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
…..
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
…..
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
…..
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
…..
…
…
…
… …
…
…
…
…
…
TERZA SERIE
FIBONACCI
INTERMEDIA
……….
… … … … … … …
… … …
INFINITA
SERIE…
….. ….. …. …. …. …. ….. ….. ….. ….. …..
Come si evince facilmente una spirale logaritmica racchiude un infinito numero di sequenze di Fibonacci
ovvero un altrettanto numero di spirali logaritmiche quasi a voler indicare l’esistenza di più livelli. Ad
esempio tra il valore 13 e 21 si colloca il valore 8 (loro differenza), ma questo valore appartiene alla prima
serie intermedia. Dal valore 8 discende, con lo stesso procedimento, il valore 3 che appartiene alla seconda
serie intermedia, e così via. Applicando il concetto al campo gravitazionale potremmo ipotizzare una serie
infinita di livelli e sottolivelli energetici (superfici equipotenziali). Vicino al centro di massa troviamo i livelli
più interni in cui la forza gravitazionale è più intensa (5).
Queste brevi considerazioni appena presentate non aggiungono nulla di nuovo o di importante a quanto già
si conosce sulla natura delle spirali logaritmiche, così ampiamente rappresentate in natura. Lo scopo di
5
https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitazionale
questo breve lavoro rimane quello di tentare di interessare quanti sono venuti a conoscenza per la prima
volta di tale curiosità della matematica. E’ molto importante peraltro prendere coscienza dello stretto
rapporto tra matematica e realtà. Ovvero come la realtà fisica sia una organizzazione matematica della
materia e dell’energia.
BIBLIOGRAFIA
https://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci
https://it.wikipedia.org/wiki/Spirale_logaritmica
https://it.wikipedia.org/wiki/M51_(astronomia)
http://apod.nasa.gov/apod/ap130831.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_della_relativit%C3%A0