Sistemi dinamici-Parte 2
Teorema di Noether e costanti del moto
AM Cherubini
4 Maggio 2007
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Si e’ gia’ visto che:
■
Una costante (o integrale) del moto per un sistema lagrangiano a n gradi
di liberta’ e’ una funzione scalare I(q, q̇) che rimane costante sulle
soluzioni curve integrali del sistema, cioe’ se t → q(t) e’ una soluzione del
sistema lagrangiano con dato iniziale (q0 , q̇0 )
I(q(t), q̇(t)) = I(q0 , q̇0 ) ∀t
■
La presenza di r integrali del moto Ik , indipendenti fra loro, permette di
confinare il moto del sistema nello spazio delle fasi all’intersezione degli
insiemi di livello delle funzioni Ik (pensate all’energia).
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Simmetrie e costanti del moto
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
■
Si sono visti esempi in cui una simmetria del problema
permette di scegliere variabili in cui la lagrangiana e’
indipendente da una variabile qi : e’ evidente dalle equazioni
di Lagrange che il momento coniugato
∂L
pi =
∂ q̇i
e’ una costante del moto
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➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Una qualunque traslazione lungo l’asse qi , qi = q̃i + a, lascia
ovviamente invariata la L (perche’ q̇i = q̃˙i ):
■
e’ possibile in generale trovare una corrispondenza tra
costanti del moto e classi di trasformazioni che lascino
invariata la lagrangiana?
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Famiglie di trasformazioni
Definiamo una famiglia regolare di trasformazioni dello spazio delle
configurazioni Q, cioe’ una famiglia ad un parametro di diffeomorfismi
q → wα (q)
definiti e differenziabili nel parametro α, per α in un intorno di 0 e tali che
w0 (q) = q
Considero quindi classi di trasformazioni che sono deformazioni
regolari dell’identita’
■ In genere e’ sottintesa, ma e’ importante, come vedremo, la richiesta
d
α (q) 6= 0
w
dα
■
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Esempi
Traslazioni lungo l’asse q1 : wα (q) = (q1 + α, q2 , ...)
■ In R3 , rotazioni attorno all’asse q3 :


cos α − sin α 0
wα (q) =  sin α cos α 0  q
0
0
1
■
In questo caso le famiglie hanno anche una struttura di gruppo
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Lagrangiana invariante per simmetria
Se si effettua un cambio di coordinate tramite wα
˙
q = wα (q̃) q̇ = (wα )′ (q̃) q̃˙ = zα (q̃, q̃)
si dira’ che una lagrangiana e’ invariante per la famiglia di trasformazioni
(ovvero che ha una simmetria) se
α
α
˙ = L q̃,
˙ q̃
˙
L w (q̃), z (q̃, q̃)
∀α ∀(q̃, q̃)
La forma della lagrangiana non cambia, ovvero
d α
α
˙ =0
L w (q̃), z (q̃, q̃)
dα
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Esempi
In R2 considero la lagrangiana di un punto soggetto ad una forza centrale, per
esempio la forza elastica F = −k P − O
P
1
0
0
1
O
k 2
1
2
2
2
L(x, y, ẋ, ẏ) = m ẋ + ẏ −
x +y
2
2
Questa lagrangiana e’ invariante per rotazioni:
x
cos α − sin α
x
α
w (x, y) =
= Rα
y
sin α cos α
y
cioe’ w1α = cos (α) x − sin (α) y etc.
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Per le velocita’:
d α
w (x, y) = Rα
dt
ẋ
ẏ
Quindi la trasformazione lascia invariata la norma dei vettori velocita’ e
posizione, da cui dipende la lagrangiana
Si ha
k 2
1
α
α d
α d
α
2
2
2
L w1 , w2 , w1 , w2 = m ẋ + ẏ −
x +y
dt
dt
2
2
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Se invece il potenziale non e’ centrale, per esempio il punto e’ in un campo
gravitazionale
P
1
0
0
1
O
1
2
2
L(x, y, ẋ, ẏ) = m ẋ + ẏ − mgy
2
si ha
L
w1α , w2α ,
d α d α
w1 , w2
dt
dt
1
2
2
= m ẋ + ẏ − mg (sin(α) + cos(α)y)
2
La lagrangiana NON e’ invariante per le rotazioni wα
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➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Nello spazio delle fasi , al variare di α, si puo’ considerare la
curva γ(α) = (wα (q), zα (q, q̇)) passante per un punto (q, q̇): la
lagrangiana e’ invariante per la famiglia di trasformazioni wα se
resta costante lungo la curva
.
q
γ(α)
.
(q, q )
1
0
q
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Teorema di Noether per sistemi Lagrangiani autonomi
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Se la lagrangiana autonoma L(q, q̇), q ∈ Rn , e’ invariante per la
famiglia di trasformazioni wα (q) definita come sopra, il sistema
dinamico di lagrangiana L ha un integrale del moto dato da
I(q(t), q̇(t)) = p ·
d α
w (q)|α=0
dα
=
n
X
i=1
pi
d α
w (q)|α=0
dα i
dove
p = (p1 , ..., pn )
e’ il vettore dei momenti coniugati alle qi : pi =
■
∂L(q,q̇)
∂ q̇i
Il tipo di integrale non dipende dalla scelta del valore α
d
rispetto a cui si deriva: se si calcola p · dα
wα per α diversa da
0 si ottiene l’ immagine di I attraverso la trasformazione wα
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➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Diamo una rappresentazione grafica della costante del moto I
determinata dalla famiglia wα
1111
0000
0000
1111
0000
1111
1
0
q
α
w (q)
Q
Fissato q nello spazio delle configurazioni Q, wα (q), al variare di
α, definisce una curva passante per q . La costante del moto e’
allora la proiezione del vettore p dei momenti lungo il vettore
d
tangente la curva in q , che e’ ben definito se dα
w0 (q) 6= 0
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Esempio 1: traslazioni
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Traslazioni lungo l’asse q1 : wα (q) = (q1 + α, q2 , ...):
d
α (q) = (1, 0, .., 0) quindi
w
dα
I(q(t), q̇(t)) =
∂L(q, q̇)
∂ q̇1
Per un punto in R3 con L = 21 mq̇2 − V (q) si ha la conservazione
della quantita’ di moto lungo l’asse q1
mq̇1 = cost
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Esempio 2: rotazioni
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
In R3 , rotazioni attorno all’asse q3 :


cos α − sin α 0
wα (q) =  sin α cos α 0  q
0
0
1


− sin α − cos α 0
d α
w (q) =  cos α − sin α 0  q
dα
0
0
0
In α = 0 ,
d 0
w (q) = (−q2 , q1 , 0)
dα
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➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
L’integrale del moto associato a questa famiglia di rotazioni e’
∂L(q, q̇)
∂L(q, q̇)
q2 + q1
= (q1 , q2 ) × (p1 , p2 )
I(q(t), q̇(t)) = −
∂ q̇1
∂ q̇2
Nel caso del punto in R3 ho la componente del momento
angolare lungo il terzo asse
m(q1 q̇2 − q̇1 q2 ) = cost
■
Come e’ noto, un sistema di N punti nello spazio soggetto
solo a forze interne conserva quantita’ di moto e momento
angolare: e’ una conseguenza diretta del fatto che il sistema
e’ invariante per rotazioni e per traslazioni.
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Nota
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
■
In questo ambito il teorema vale solo in un senso: la presenza
di un integrale del moto non implica che la lagrangiana sia
invariante per una famiglia di simmetrie.
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Variabili cicliche
■
Vediamo una procedura per ridurre i gradi di liberta’ di un sistema
lagrangiano in presenza di un integrale primo.
Se L(q, q̇), q ∈ Rn , e’ indipendente da una variabile, per esempio qn
coordinata si dice ignorabile o ciclica.
Allora una costante del moto e’
pn (q1 , ..., qn−1 , q̇1 ...q̇n ) =
∂L
∂ q̇n
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Se L = K − V , K quadratica nelle q̇, allora
∂pn
6= 0
∂ q̇n
e per il teorema della funzione implicita posso scrivere q̇n come funzione di
tutte le altre variabili
q̇n = f (q1 , ..., qn−1 , q̇1 ...q̇n−1 )
■
Come scrivere un sistema lagrangiano per le n − 1 coordinate rimaste?
Sostituire semplicemente in L l’espressione di q̇n come funzione delle qi ,q̇i per
i = 1, n − 1 non darebbe un sistema equivalente.
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Lagrangiana ridotta
Per ogni scelta dei dati iniziali, si definisce la Lagrangiana ridotta
L′ (q1 , ..., qn−1 , q̇1 ...q̇n−1 ) = L(q1 , ..., qn−1 , q̇1 ...q̇n ) − pn q̇n
con q̇n vista come funzione di (q1 , ..., qn−1 , q̇1 ...q̇n−1 ) e pn fissato dai dati
iniziali.
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Proposizione
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Se qn e’ coordinata ignorabile per la lagrangiana L e
qi (t),i = 1, n risolvono il sistema di Lagrange relativo a L, allora
qi (t),i = 1, n − 1 risolvono il sistema ridotto relativo a L′ e qn (t)
si ottiene integrando nel tempo
Z t
qn (t) = qn (0) +
f (q1 (τ ), ..., qn−1 (τ ), q̇1 (τ )...q̇n−1 (τ ))dτ
0
■
Se un problema e’ invariante per simmetria si puo’ cercare un
sistema di coordinate appropriato in cui alcune variabili siano
ignorabili e ridurre i gradi di liberta’ del sistema
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Esempio: moto centrale
➢Si e’ gia’ visto
che:
➢Simmetrie e
costanti del moto
➢Famiglie di
trasformazioni
➢Lagrangiana
invariante per
simmetria
➢Teorema di
Noether per
sistemi
Lagrangiani
autonomi
➢Esempio 1:
traslazioni
➢Esempio 2:
rotazioni
➢Nota
➢Variabili cicliche
➢Lagrangiana
ridotta
➢Proposizione
➢Esempio: moto
centrale
➢Moto centrale
nel piano
Considero , in R3 , un punto P di massa m soggetto ad un
potenziale centrale, cioe’ ad una forza che dipende solo da
|P − O|.
■
Il problema e’ invariante per rotazioni, quindi, per il teorema
di Noether , sono costanti le proiezioni del momento lungo
ciascun asse coordinato e percio’ il momento angolare e’ un
vettore costante
P (t) × v(t) = M ∀t
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■
Questo significa, tra l’altro, che fissate le condizioni iniziali P (0), v(0) il
moto del sistema si svolge sul piano normale ad M passante per P (0): si
puo’ studiare il problema su un piano, invece che in R3
z
Μ
P(0)
y
x
■
Data la simmetria del problema, e’ conveniente lavorare in coordinate polari
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Moto centrale nel piano
P
1
0
0
1
O
La lagrangiana e’
1 2
L = m ṙ + r2 θ̇2 − V (r)
2
θ e’ ciclica quindi e’ costante il momento angolare
pθ = mr2 θ̇
che dipende dai dati iniziali.
Invertendo ricavo θ̇
θ̇ =
pθ
mr2
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La lagrangiana ridotta e’



1 2 pθ
1 2 

+ V (r)
L (r, ṙ) = mṙ −  r

2
2
2
mr
|
{z
}
′
pot. efficace
la coordinata r soddisfa quindi l’equazione relativa a L′ , che ha un parte
cinetica e una parte potenziale V ′ , detta potenziale efficace, diversa da V .
■ I punti stazionari di V ′ sono equilibri per il sistema ridotto ma
corrispondono a soluzioni particolari (stazionarie) del problema in 2
dimensioni: infatti corrispondono a orbite circolari (r = r0 ) percorse con
velocita’ angolare costante
pθ
θ̇ =
mr02
■
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