Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
114
_____________________________________________________________________________
FLUIDI NON PERFETTI
6.1 Regimi di moto nei fluidi reali
L’ acqua è un fluido viscoso, ovvero in presenza di gradiente di velocità si originano degli sforzi
tangenziali dovuto all’ attrito che si sviluppa tra particelle contigue di fluido con diversa velocità. L’
influenza della viscosità sul moto di un fluido è rappresentata tramite il numero di Reynolds. Il
numero di Reynolds è uguale al rapporto tra le forze inerziali e le forze viscose agenti su di una
massa fluida. Le forze inerziali hanno dimensioni
L2 V2 come spiegato nel capitolo precedente e
le forze viscose pari al prodotto dello sforzo tangenziale
(espresso mediante la legge di Newton)
per una superficie hanno dimensioni µ V/L L2 = µ V L. Il numero di Reynolds è quindi:
Re =
Definita la viscosità cinematica
VL
µ
= µ/ l’ espressione del numero di Reynolds diventa:
Re =
La viscosità cinematica dell’ acqua è
VL
= 10-6 m2/s. Se le forze viscose predominano rispetto a
quelle inerziali il numero di Reynolds diminuisce, viceversa questi aumenta. In dipendenza del
numero di Reynolds ovvero del rapporto tra le forze inerziali e viscose si hanno due tipi di regime
di moto. : regime di moto laminare e regime di moto turbolento. Per bassi numeri di Reynolds le
forze viscose predominano su quelle inerziali ed il regime di moto è denominato laminare. Per
elevati numeri di Reynolds le forze inerziali predominano su quelle viscose ed il regime di moto è
denominato turbolento.
zona di aumento della velocità
e diminuzione della pressione
V p
V p
V p
V p
zona di diminuzione della velocità
ed aumento della pressione
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
115
_____________________________________________________________________________
Nel caso di una distribuzione di velocità uniforme le linee di corrente sono rettilinee e parallele
(figura 6.1), la portata è costante e gli sforzi tangenziali sono nulli (poiché non vi è gradiente di
velocità): il moto può essere trattato come se il fluido fosse perfetto e si può quindi utilizzare il
principio di conservazione dell’ energia. Se lungo una linea di corrente si origina per una qualsiasi
causa un aumento di velocità, la pressione diminuisce in base alla conservazione dell’ energia e la
linea di corrente non si mantiene più rettilinea. Infatti essendo la portata costante il corrispondente
tubo di flusso deve diminuire la sua sezione e quello adiacente aumentarla. Conseguentemente, nel
tubo di flusso adiacente si ha una diminuzione di velocità ed un aumento di pressione. La differenza
di velocità che così si crea comporta un gradiente di velocità e conseguentemente sforzi tangenziali
viscosi che tendono ad eliminare la differenza di velocità ed a riportare il campo di moto nella
configurazione iniziale indisturbata. La differenza di pressione, invece, tende a distorcere di più le
linee di corrente perché masse fluide a maggior pressione e minor velocità si muovono con
movimento trasversale alla direzione del moto verso le zone in cui il fluido ha minor pressione ed
maggior velocità. La differenza di velocità contribuisce ancora di più al mescolamento perché le
masse fluide a minor velocità che arrivano nella zona di maggior velocità vengono accelerate
contribuendo a creare dei vortici. Se le forze viscose prevalgono su quelle inerziali legate alla
velocità e quindi alla pressione si ristabilisce la configurazione del moto originario altrimenti si ha
un completo mescolamento dei filetti fluidi. All’ aumentare della velocità e, quindi, delle forze
inerziali e del numero di Reynolds gli squilibri di pressione diventano così elevati che le forze
viscose non riescono ad impedire il completo mescolamento delle masse fluide ed il moto diviene
turbolento.
6.2 Moto Turbolento
Non esiste una definizione completa per il moto turbolento. Una semplice è che il moto turbolento è
un moto irregolare in cui le varie quantità variano casualmente in modo che si possano distinguerne
i valori medi. In figura 6.2 è riportata la misura nel tempo della componente della velocità Vx nella
direzione x del moto, a regime uniforme, di un fluido in una condotta. Tale componente della
velocità Vx può essere vista come somma di un valore medio Vx e di uno fluttuante Vx’ tale che:
Vx = Vx + Vx’
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
116
_____________________________________________________________________________
Vx =
1
T
T
0
1
T
T
0
Vx dt
Vx' dt = 0
vx vy
v'x
_
vx
t
v'y
_
vy = 0
t
essendo T un tempo caratteristico del moto che è maggiore od uguale al tempo necessario affinché
la media della fluttuazione Vx’ sia nulla. La formazione di vortici comporta scambi di quantità di
moto tra le masse fluide che si mescolano e, quindi, sforzi aggiuntivi che determinano un maggior
attrito rispetto ad un moto puramente viscoso in cui non si ha il mescolamento degli elementi fluidi
e quindi una maggior dissipazione di energia. L’ energia del fluido viene spesa per mantenere sia il
moto nella direzione principale sia il moto dei vortici. Lo sforzo tangenziale agente su di un
elemento fluido è somma di quello dovuto agli scambi di quantità di moto con quello viscoso
espresso con la relazione di Newton.
y
_
Vx
Si consideri il caso di un moto bidimensionale ed unidirezionale in cui si ha il profilo di velocità in
figura 6.3 essendo x la direzione del moto, y la direzione in cui si ha un gradiente trasversale di
velocità e z la direzione normale a quello del moto (piano del disegno) in cui il profilo di velocità
rimane invariato. In questo caso si hanno Vx
0, Vx’
0, Vy = 0 e Vy’
0. La componente della
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
117
_____________________________________________________________________________
velocità nella direzione y ha infatti solo il termine fluttuante poiché il moto avviene nella direzione
x.
Attraverso la superficie ideale elementare dA normale all’ asse y una massa del fluido della zona
sottostante passa nella zona sovrastante grazie alla componente fluttuante di velocità Vy’ (figura
6.4). Questa massa di fluido entra in contatto con le masse di fluido della zona sovrastante a
maggior velocità venendone accelerata. Al tempo stesso le masse fluide della zona sovrastante con
cui si è venuta in contatto vengono decelerate. La massa che attraversa dA nel tempo infinitesimo dt
è:
Vy’ dA dt
V' y dAdt
dA
Questa massa fluida è dotata di una sua velocità nella direzione x e quindi di una componente della
quantità di moto nella medesima direzione che viene accelerata dopo il contatto con le masse fluide
sovrastanti, il che comporta un aumento della velocità e, conseguentemente, della quantità di moto
nella direzione x. L’ incremento di velocità può essere inteso come una fluttuazione della stessa ed
è quindi pari al termine fluttuante Vx’ positivo. Ne consegue che l’ incremento di quantità di moto
nella direzione x è uguale al prodotto tra la massa e la fluttuazione della velocità:
Vy’ dA dt Vx’
L’ incremento di quantità di moto della massa fluida che ha attraversato dA nella direzione x è la
variazione della stessa nel tempo dt. Sulla massa fluida che ha attraversato dA agisce, nella
direzione x, secondo la 4.20 una forza dF pari alla variazione di quantità di moto nell’ unità di
tempo:
dF =
Vy’ dA Vx’
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
118
_____________________________________________________________________________
Nel caso in cui la fluttuazione di velocità Vy’ fosse negativa (i.e. la massa fluida attraversa l’ area
dA dall’ alto verso il basso) si avrebbe un decremento della componente nella direzione del moto
della velocità (Vx’ negativo) e della quantità di moto. La forza dF agente sulla massa fluida è di
natura tangenziale perché agisce nella direzione x ovvero parallelamente alla superficie elementare
dA. Lo sforzo tangenziale per unità di superficie o tensione tangenziale che agisce sulla massa
fluida che ha attraversato dA, pertanto, è:
= dF/dA =
Vy’ Vx’
Per il terzo principio della dinamica lo sforzo tangenziale per unità di superficie che viene esercitato
sulle masse fluide dello strato sovrastante dA è uguale ed opposto, ovvero:
=-
Vy’ Vx’
(6.1)
Come precedentemente spiegato, nel moto turbolento la tensione tangenziale è la risultante della
somma degli sforzi viscosi e di quelli che si originano in seguito gli scambi di quantità di moto tra
le masse fluide che vengono a contatto:
=µ
dV x
dy
Vy’ Vx’
(6.2)
Se si esegue la media nel tempo T di si ottiene lo sforzo tangenziale medio per unità di superficie:
=µ
d Vx
dy
Vy' Vx'
(6.3)
Il primo termine a secondo membro della (6.3) è legato tramite la viscosità µ alle proprietà fisiche
dell’ acqua mentre il secondo è dovuto alle proprietà del campo di moto ed è denominato sforzo di
Reynolds. Il termine viscoso è trascurabile rispetto a quello dovuto al campo di moto turbolento in
gran parte del campo di moto eccettuati gli strati fluidi prossimi ad una parete dove gli sforzi viscosi
(vedi paragrafo seguente) tendono invece a prevalere.
La conoscenza della relazione che esprime lo sforzo tangenziale in funzione della velocità media
Vx consente di ottenere il profilo di velocità e quindi tramite integrazione dello stesso la velocità
media relativa all’intera la verticale al moto. A tale scopo si introduce il modello di Prandtl per gli
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
119
_____________________________________________________________________________
sforzi di Reynolds che consente di esprimere la quantità Vy' Vx ' in funzione delle caratteristiche di
velocità del moto medio.
Si consideri la sovrapposizione di un vortice caratterizzato da una velocità u’ costante in modulo
con un moto rettilineo uniforme di velocità u (figure 6.5a/b). Il primo può essere inteso come una
fluttuazione di velocità ed il secondo come il moto medio.
u'
dA
u
u'
y
u'
u
u'
dA
+
u-
du
y
Le superfici elementari di area dA vengono attraversate da masse fluide caratterizzate da velocità u’
dando così origine ad uno scambio di quantità di moto. Si prenda in considerazione il fluido
contenuto nella metà superiore del campo di moto considerato (Fig. 6.6). Come spiegato
precedentemente, a causa dello scambio di quantità di moto esso è soggetto ad uno sforzo
tangenziale sulla sua superficie inferiore. La massa fluida scambiata in un tempo elementare dt è
quella trasportata dal vortice attraverso ciascuna delle due superfici pari a:
scambiata nell’ unità di tempo attraverso ognuna superficie dA è quindi
u' dA
u' dA
u’ dt dA. La massa
u’ dA.
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
120
_____________________________________________________________________________
Lo sforzo tangenziale S che si realizza in seguito allo scambio di quantità di moto dovuto al vortice
è facilmente determinabile isolando il volume di controllo illustrato in figura 6.6 solidale al moto
rettilineo uniforme di velocità u. Lo sforzo tangenziale S sulle superfici dA è pari alla variazione di
quantità di moto dovuta alle masse entranti ed uscenti.
Le masse entranti ed uscenti, come spiegato prima, sono rispettivamente accelerate o decelerate di
u’ nella direzione del moto medio. Quella entrante comporta una variazione di quantità di moto u’ dA u’ del fluido presente nel volume di controllo perché deve essere accelerata di u’ mentre la
massa uscente che deve essere decelerata comporta una variazione di quantità di moto perché essendo decelerata cede
u’ dA u’
u’ dA u’ al volume sottostante e che è quindi sottratto a quello
sovrastante:
S=–
u’ dA u’ –
u’ dA u’
Lo sforzo tangenziale per unità di superficie è quindi:
= S/ (2 dA) = – 2
u’ dA u’/ 2 dA = –
u’2
Il termine u’ nel moto combinato rappresenta la variazione di u lungo la distanza y (metà dell’
estensione del vortice), ovvero assumendo che il gradiente di velocità si mantenga costante lungo
y si può scrivere u’ = y (du/dy) e conseguentemente lo sforzo tangenziale per unità di superficie
diviene:
du
y
dy
=
2
(6.4)
Nel caso si fosse assunto come volume di controllo la metà inferiore del campo di moto si sarebbe
ottenuto un valore della tensione tangenziale
uguale ed opposto a quello dato dalla relazione 6.4.
Ne consegue che è possibile legare il segno dello sforzo tangenziale a quello del gradiente di
velocità e scrivere:
=
y2
du du
dy dy
(6.5)
La distanza y rappresenta il percorso verticale che deve fare una particella fluida affinché la sua
velocità vari di u’ nella direzione del moto medio. Assumendo come moto medio il moto rettilineo
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
121
_____________________________________________________________________________
uniforme (i.e. u = Vx ) e che le fluttuazioni di velocità siano esemplificate dal vortice (i.e. u’ =
Vx’) dal confronto dei secondi membri delle 6.3 e 6.5, trascurando il contributo viscoso, si ha:
Vy' Vx ' = l2
d Vx d V x
dy dy
(6.6)
essendo l ( y) la lunghezza di libero mescolamento ovvero il percorso che un elemento fluido deve
compiere perché la differenza tra le velocità medie dei livelli di destinazione ed arrivo sia pari alla
fluttuazione di velocità Vx’.
Trascurando il termine viscoso la tensione tangenziale media è quindi secondo Prandtl:
= l2
d Vx d V x
dy
dy
(6.7)
La turbolenza può essere distinta in turbolenza di parete e turbolenza libera. La prima è la
turbolenza che si realizza in presenza di una parete che rallenta il moto dello strato fluido a contatto
e che è spiegata in maggior dettaglio nel paragrafo seguente. La seconda è quella originata da due
correnti di velocità diversa che vengono in contatto tra loro come illustrato in figura 6.7.
Nel caso di turbolenza di parete Prandtl e Von Karman ipotizzano:
l=ky
(6.8)
con k costante universale (valida per qualsiasi moto turbolento originato dalla presenza di una
parete) il cui valore determinato sperimentalmente è 0.41.
Sostituendo la (6.8) nella (6.5) ed eliminando il valore assoluto si ha:
=
2 2
ky
dV x
dy
2
(6.9)
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
122
_____________________________________________________________________________
da cui segue:
2 2
/ =k y
dV x
dy
2
(6.10)
Definita la velocità di attrito:
u* =
la 6.10, estraendo la radice quadrata da entrambi i membri, diventa:
u* = ky
dV x
dy
che esplicitando dVx a primo membro permette:
dVx =
u * dy
k y
(6.11)
La quantità ( / )1/2 è dimensionalmente una velocità ed è chiamata velocità di attrito per l’ utilizzo
della tensione tangenziale
nell’ ipotesi che si mantenga costante e pari al valore alla parete
O
.
Integrando ambo i membri della 6.11 si ottiene:
Vx =
u*
ln y + costante
k
che dividendo ambo i membri per u* diviene:
Vx
1
= ln y + costante
u*
k
(6.12)
La legge logaritmica espressa dalla 6.12 è denominata legge universale di distribuzione della
velocità. In un moto la cui turbolenza è originata dalla parete il profilo di velocità segue la 6.12. In
realtà tale profilo è valido solo in una determinata zona denominata sottostrato inerziale che si
estende per circa 20% della profondità a partire dal fondo. Negli strati fluidi a contatto con la parete
(ed immediatamente inferiori allo sottostrato inerziale) prevalgono gli sforzi viscosi e la
distribuzione di velocità tende ad essere lineare, mentre al di sopra del sottostrato inerziale segue
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
123
_____________________________________________________________________________
un'altra legge perché lo sforzo tangenziale medio non rimane costante ed uguale a quello alla parete
O
. Al di fuori di tale zona il modello di Prandtl-Von Karman diventa approssimato ed il profilo di
velocità pur non seguendo una legge logaritmica le si avvicina molto, rimanendo ancora valido per
le applicazioni ingegneristiche.
6.3 Strato limite
Si consideri un moto confinato da una parete: una corrente in regime turbolento con velocità
uniforme VO che investe una piastra (figura 6.8). Lo strato di fluido ad immediato contatto con la
piastra deve essere anch’ esso in quiete e quindi tende a rallentare gli strati fluidi sovrastanti.
Questo rallentamento si propaga sia nella direzione del moto che in quella trasversale allo stesso
finchè in condizioni di regime si crea uno strato di fluido a contatto con la piastra di spessore
caratterizzato da valori di velocità V inferiori a VO mentre esternamente a tale strato il restante
fluido si muove in condizioni indisturbate, ovvero con moto rettilineo uniforme di velocità VO. La
zona di fluido in cui si ha il rallentamento è denominata strato limite. Nello strato adiacente alla
piastra il regime di moto è laminare se le forze viscose predominano su quelle inerziali, turbolento
se predominano le forze inerziali su quelle viscose. Il passaggio del moto da laminare e turbolento
dipende dal numero di Reynolds Re rapporto tra le forze inerziali e quelle viscose. Per il caso della
piastra piana il moto diviene turbolento per Re = VO LX/ = 3.5 105 essendo LX la distanza dal
bordo di attacco della piastra (figura 6.8). A parità di altre condizioni, più è elevato il valore della
velocità VO della corrente indisturbata più è elevato il numero di Reynolds e più diventa piccola la
distanza LX per cui il regime di moto diviene turbolento.
l
bordo dello
strato limite
y
v0
v0
v0
v0
v
v
sottostrato
laminare
v
laminare
bordo d'attacco
della piastra
zona di transizione
turbolento
x
Lx
In regime di moto turbolento, immediatamente a contatto con la piastra, si può avere la presenza di
un sottile strato in cui il moto è dominato dalle forze viscose denominato sottostrato limite laminare
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
124
_____________________________________________________________________________
di spessore ’. Questo sottile strato laminare si mantiene fin quando le forze viscose al suo interno
predominano su quelle inerziali. A parità di altre condizioni più è elevata la velocità VO e quindi il
numero di Reynolds, più è elevato il gradiente di velocità vicino alla piastra per cui si hanno valori
di velocità nella zona a stretto contatto con la piastra maggiori e tali che le forze inerziali
predominano su quelle viscose con conseguente soppressione del sottostrato limite laminare e
presenza di un moto turbolento in tutto lo strato limite. L’ aumento del numero di Reynolds
diminuisce lo spessore dello strato limite perché la zona caratterizzata da elevati gradiente di
velocità (in prossimità del fondo) si estende diminuendo la sua distanza dalla parete. A parità di
numero di Reynolds la presenza o meno del sottostrato limite laminare è influenzato dalla natura
della superficie della piastra. Se la superficie è rugosa in corrispondenza dei picchi la velocità
aumenta e si possono inoltre creare dei disturbi per la presenza di correnti di ricircolo perchè lo
strato fluido potrebbe non rimanere aderente alla superficie causa la maggior velocità e si ha quindi
un maggior valore delle forze inerziali rispetto al caso di superficie meno rugosa per stesso numero
di Reynolds della corrente di velocità VO che investe la piastra.
A basse velocità medie caratterizzate da bassi gradienti di velocità la scabrezza della parete ha
minore influenza sul regime di moto perchè la variazione di velocità tra il colmo ed il cavo delle
asperità non comporta un elevato aumento delle forze inerziali e nel sottostrato il regime rimane
laminare e non si hanno inoltre fenomeni di separazione dello strato limite a valle del colmo dell’
asperità perché essendo le velocità ed il gradiente di velocità non elevato si ha una minor
dissipazione di energia per cui lo strato riesce a rimanere aderente alla asperità della parete. L’
aumento della velocità media comporta un aumento della variazione di velocità tra colmo e cavo
delle asperità tale che le forze inerziali sono in grado di innescare un moto turbolento nel sottostrato
limite laminare oltre a innescare fenomeni di separazione dello strato limite a valle delle asperità
della parete che contribuiscono appunto a distruggere il sottostrato limite laminare.
La proprietà della parete con cui se ne qualifica la rugosità è la scabrezza, ovvero una dimensione
rappresentativa della rugosità. La presenza del sottostrato limite laminare dipende dal valore del
numero di Reynolds e dalla scabrezza della superficie.
Nel moto turbolento, è possibile distinguere in funzione della presenza del sottostrato laminare, tre
tipi di regime:
regime di parete liscia
esistenza di un sottostrato laminare stabile
regime di parete scabra
il sottostrato limite laminare non è presente
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
125
_____________________________________________________________________________
regime di transizione
il sottostrato limite laminare è instabile
6.4 Separazione dello strato limite
Si consideri una corrente di velocità uniforme VO che investe una sfera. Nel caso di fluido ideale
presa la linea di corrente a contatto con la sfera o con il profilo alare (figure 6.9a/b/c) la velocità è
minima in A (punto di ristagno anteriore), massima in B causa l’ addensamento delle linee di
corrente e di nuovo minima in C (punto di ristagno posteriore). La distribuzione di pressione ha un
andamento opposto a quello delle velocità valendo il teorema di Bernoulli (il moto è in regime
permanente).
V0
B
A
C
velocità massima
B
A
C
e
lerazion
decelerazione acce
velocità
nulla
velocità della
corrente libera
decelera
zione
accelerazione
velocità
nulla
velocità della
corrente libera
Data la simmetria delle linee di corrente la risultante delle forze di pressione agenti sul corpo è
nulla. D’ altra parte, dato il carattere ideale del fluido le forze tangenziali sono nulle. Ne consegue
che la forza che la corrente esercita sulla sfera è nulla (paradosso di D’Alambert). Nella realtà a
contatto con la sfera si forma uno strato limite all’ interno del quale si ha una dissipazione di
energia (figura 6.10).
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
126
_____________________________________________________________________________
V0
B
A
D
C
Rispetto al caso di fluido ideale la particella fluida arriva in B con la stessa velocità ma con una
pressione minore a causa della dissipazione di energia. La dissipazione di energia inoltre fa si che
nella trasformazione di energia cinetica in energia di pressione che avviene tra B e C, esista un
deficit per cui non solo la particella fluida non riesce ad arrivare in C con la stessa pressione che
aveva in A ma la velocità diventa nulla nel punto D antecedente al punto di ristagno posteriore C.
L’ energia cinetica in parte si trasforma in energia di pressione ed in parte compensa la dissipazione
di energia.
Nel caso di fluido ideale si ha l’ uguaglianza delle energie (EA ed EB) nei punti A ed B:
EA = EB
(6.13)
Indicato con pA ed pBi il valore della pressione nei punti A ed B, ed VB il valore della velocità in B
ed assumendo orizzontale la sezione della sfera di figura 6.10 (i punti A, B e C hanno uguale quota
geodetica), l’ eq. 6.13 diventa:
pA
=
p iB
+
1 2 pA
1 2 pA
+
VB =
VB 2g
2g
p iB
(6.14)
I due ultimi termini che compaiono a terzo membro della 6.14 sono uguali ed opposti: nel passare
da B a C, dove pC = pA, l’ energia cinetica VB2/2g si trasforma in energia di pressione, essendo l’
entità della trasformazione pari a (pA- pBi)/ . Nel punto D, intermedio tra B e C, l’ energia si
mantiene sempre costante per cui:
EB =
pA
+
1 2 p iB
VB +
2g
pA
=
pA
+
1 2 p A - p iD
= ED
VD 2g
(6.15)
Nel passare da B a D, essendo VB > VD, parte dell’ energia cinetica VB2/2g si è trasformata in
energia di pressione (pDi- pBi)/ .
Nel caso di fluido reale, nel passaggio da A a B, si ha una dissipazione di energia EAB = (pBi – pB)/
, essendo pB la pressione nel caso di fluido reale. Per la conservazione dell’ energia si ha:
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
127
_____________________________________________________________________________
EA = EB + EAB
(6.16)
Consegue che l’ energia in B è:
EB =
pA
1 2 pA
+
VB 2g
p iB
E AB =
pA
1 2 pA
+
VB 2g
p iB
p iB
pB
=
pA
+
1 2 pA
VB 2g
pB
(6.17)
L’ energia nel punto D, nel caso di fluido reale risulta:
ED = EB
E BD =
pA
1 2 pA
VB 2g
+
pB
p iD
pD
=
pA
pA
pD
=
pD
(6.18)
Rispetto alla 6.15, nel passare da B a D, l’ energia cinetica VB2/2g non solo si trasforma in energia
di pressione pDi, ma deve anche compensare le perdite di energia pDi – pD (rispetto al caso di fluido
ideale si ha una “velocità di trasformazione” superiore per cui il termine cinetico si esaurisce
prima). Ciò fa si che il trasformarsi di energia cinetica in energia di pressione si esaurisca nel punto
D antecedente il punto di ristagno posteriore per l’ annullarsi della velocità. Il punto D tende tanto
più ad allontanarsi da C e, quindi, ad avvicinarsi a B quanto maggiori sono le perdite di energia,
ovvero quanto maggiore è il gradiente di pressione nella direzione del moto.
V0
V0
B
B
D
C
D
C
Inoltre, la dissipazione di energia nel tratto BD è amplificata dall’ aumento della pressione che si ha
nella corrente esterna allo strato limite che non bilanciata a causa del deficit di pressione schiaccia
questi contro la superficie della sfera aumentando il gradiente di velocità in prossimità della parete
(si restringe lo spessore dello strato limite) e quindi l’ attrito. Non potendosi avere velocità negativa
lo strato limite si distacca dalla superficie. A causa della bassa pressione che caratterizza lo strato
limite in tale zona si ha un richiamo di fluido che crea una corrente di ricircolo tra la sfera e lo strato
limite distaccatosi. Il punto di distacco dello strato limite, a parità del numero di Reynolds della
corrente e della scabrezza della superficie del corpo, dipende dalla forma di questi. Più è allungata
(figura 6.11a) più il punto di distacco si avvicina al punto di ristagno posteriore C, più il profilo è
tozzo (figura 6.11b) più il punto di distacco si avvicina al punto di massima velocità B. Questo
perché le variazioni di pressione e di velocità per il moto esterno allo strato limite a valle del punto
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
128
_____________________________________________________________________________
B sono modeste per un corpo allungato ed elevate per un corpo di forma tozza. Un forte aumento
della pressione del moto esterno tipico di un corpo di profilo tozzo come nel secondo caso,
comporta lo schiacciamento dello strato limite con conseguente incremento del gradiente di velocità
in prossimità della parete e quindi un aumento della dissipazione di energia. Ne consegue un
maggior deficit nella trasformazione da energia cinetica in energia di pressione (l’ energia di
pressione deve essere continuamente rifornita a spese di quella cinetica) che, quindi, si esaurisce in
un tratto molto breve a valle del punto di massima velocità B.
Nella zona a contatto con il corpo, a valle del punto di distacco dello strato limite, si crea un moto di
ricircolo caratterizzato dalla possibile presenza di vortici con una pressione minore rispetto a quella
che si avrebbe nel caso di fluido ideale.
Il corpo è quindi soggetto oltre che all’ attrito dovuto al contatto con lo strato limite anche ad uno
squilibrio di pressioni.
Nel caso di fluido ideale non essendoci distacco dello strato limite la risultante delle forze di
pressione sul corpo è nulla.
La forza che una corrente esercita sul corpo che investe viene scomposta in due componenti: una
longitudinale al moto, denominata forza di resistenza, ed una trasversale alla direzione del moto
denominata forza di portanza.
Entrambe sono dovute alle componenti longitudinale e perpendicolari al moto dell’ attrito e dello
squilibrio delle pressioni per distacco dello strato limite. La forza di resistenza, a parità di altre
condizioni, aumenta per corpi di forma tozza per cui lo strato limite si distacca nei pressi del punto
B con formazione di una corrente di ricircolo che occupa una parte non trascurabile del campo di
moto ed , al contrario, diminuisce per corpi di forma affusolata per cui lo strato limite si distacca nei
pressi del punto di ristagno posteriore C con formazione di una corrente di ricircolo che occupa
invece una zona relativamente piccola del campo di moto. Lo squilibrio delle pressioni è , quindi,
maggiore nel primo caso.
Nel caso di corpo con forma simmetrica rispetto alla direzione indisturbata del moto la forza di
portanza è nulla in quanto le componenti normali al moto dell’ attrito e dello squilibrio di pressione
sono uguali ed opposte. In realtà, nella zona di distacco dello strato limite ci possono essere
asimmetrie delle correnti di ricircolo a causa di un distacco alternato nel tempo dei vortici che
comportano uno squilibrio di pressione asimmetrico nella direzione del moto per cui la forza agente
in direzione normale al moto non è nulla. Ad esempio, nel lato sottovento di una ciminiera si può
creare una zona di distacco alternato dei vortici per cui la ciminiera è soggetta ad uno squilibrio di
pressione che origina un agente in direzione normale alla direzione del vento e con verso variabile
periodicamente nel tempo. Tale forza può avere gravi conseguenze sulla struttura qualora la sua
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
129
_____________________________________________________________________________
frequenza uguagli la frequenza di oscillazione propria della struttura stessa per cui l’ oscillazione
della struttura si amplifica (fenomeno della risonanza) fino alla possibile rottura (figure 6.12 a,b).
V0
V0
La forza di portanza aumenta quindi con i corpi asimmetrici rispetto alla direzione del moto. Sulla
zona sovrastante di un profilo alare simmetrico incidente con un angolo
una corrente fluida (fig.
6.13) le linee di corrente sono più fitte che nella zona sottostante e di conseguenza la pressione
assume valori maggiori nella zona sottostante che in quella sovrastante per cui il profilo alare è
soggetto ad una forza dovuta allo squilibrio di pressione la cui componente normale alla direzione
del moto è diretta verso l’ alto. Inoltre in corrispondenza della superficie superiore si può avere il
distacco dello strato limite incrementando lo squilibrio di pressione già esistente.
FL
F
FD
Lo squilibrio di pressione si accentua ancora di più con un profilo alare asimmetrico (fig. 6.14).
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
130
_____________________________________________________________________________
FL
F
FD
La forza di resistenza viene in genere calcolata mediante la relazione seguente:
FD = 0.5
CD VO2 A
(6.19)
con A proiezione su un piano normale alla direzione del moto della superficie investita ed CD
coefficiente di resistenza. Il coefficiente di resistenza, da determinare sperimentalmente, dipende
dal numero di Reynolds della corrente che investe il corpo, dalla forma del corpo e dalla scabrezza
della superficie del corpo investita. Il valore assunto dal coefficiente di resistenza in funzione del
numero di Reynolds è illustrato nella figura 6.15.
Analogamente la forza di portanza viene stimata mediante la seguente relazione:
FL = 0.5
CL VO2 A
(6.20)
con CL il coefficiente di portanza. Il coefficiente di portanza CL dipende anch’ esso dal numero di
Reynolds della corrente che investe il corpo, dalla forma del corpo e dalla scabrezza della superficie
del corpo investita.
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 6 – 30 Sett 08
131
_____________________________________________________________________________
10 2
4
102 103 10 105 106 107 108 109 1010 1011
Cd
10
disco
sfera
1
elissoide
elissoide
10-1
ogiva
10-2
10-1
1
10
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
Re
Le forze di resistenza idrodinamiche sono proporzionali tramite i coefficienti CD e CL dell’energia
cinetica 0.5
VO2 posseduta dalla corrente prima di investire il corpo perché le variazioni di
pressione attorno al corpo sono infatti dovute a variazioni di velocità che è al massimo pari a VO
oltre che all’attrito.