CAPITOLO 19
L’avversione al rischio e
l’utilità attesa
• In che modo gli individui reagiscono
all’incertezza
• Il modello dell’utilità attesa
• ARGOMENTI DI QUESTA
LEZIONE
•
•
In questa lezione introduciamo il modello dell’utilità
attesa, il più importante modello della scelta individuale in
condizioni di incertezza.
Alcuni mercati di primaria importanza sono stati creati
principalmente allo scopo di aiutare i singoli e le imprese
a gestire l’ incertezza cui essi sono soggetti. Sono i
mercati dei:
–
–
–
•
titoli finanziari,
assicurazioni
operazioni a termine
Presentiamo un modello delle scelte effettuate dai singoli
consumatori quando tali scelte presentano conseguenze
incerte.
SCELTE IN SITUAZIONI DI
INCERTEZZA (1)
Usiamo il termine rischiose per descrivere quelle situazioni in cui
l’esito di una scelta è incerto.
Ciò che determina l’esito di una situazione incerta, o rischiosa, è
noto come stato del mondo.
Una lotteria è un meccanismo usato per rappresentare situazioni
rischiose.
Ci sono tre elementi fondamentali in una lotteria:
i) L’insieme degli stati possibili, gli stati del mondo;
ii) Le probabilità connesse a ogni possibile stato del mondo;
iii) I valori associati a ogni possibile stato del mondo.
SCELTE IN SITUAZIONI DI
INCERTEZZA (2)
Per semplicità ci concentreremo su lotterie con un numero finito di
stati e valori possibili.
La probabilità di un certo stato del mondo è una misura della
verosimiglianza che questo accada.
Se un certo evento non può accadere, la sua probabilità è zero.
Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno.
Se potrebbe accadere, ma non per certo, allora la sua probabilità è
fra zero e uno.
Per ogni dato processo casuale, le probabilità di tutti gli stati
devono sommarsi a uno, perché è certo che uno o l’altro degli esiti
possibili accadrà.
Esempio
Se tiri un dado, sei davanti a una situazione di incertezza; in questo
caso, la lotteria associata è caratterizzata da:
i) Stati o esiti: sei possibili esiti (le sei facce del dado)
ii) Probabilità: ogni esito ha la stessa probabilità, pari a 1/6
iii) Valori: per esempio, una somma di euro pari al numero sulla
faccia del dado.
Possiamo rappresentare questa lotteria con il seguente albero
decisionale:
1/6
1/6
1/6
€1
€2
€3
1/6
€4
1/6
1/6
€5
€6
Valore atteso
Il valore atteso di una generica variabile casuale X è il valore di X che
si realizza “in media”.
Per trovare il valore atteso di X, si deve pesare il valore di X in ogni
stato del mondo con la probabilità che quello stato del mondo – e
quindi il relativo valore - si realizzi.
Il valore atteso di una semplice lotteria con due esiti è:
EV  p  v1  1  p  v2
dove p è la probabilità relativa al primo esito, e vj è il valore
associato all’esito j.
Se vj = v per j = {1,2}, allora:
EV  p  v  1  p   v  v   p  1  p   v


1
L’avversione al rischio (1)
Gli schemi comportamentali che descriviamo in seguito sono
riferiti al contesto più semplice: decisioni prese in condizioni di
incertezza oggettiva (con probabilità note).
Analizziamo situazioni analoghe a una scommessa che offre
• € 100 con una probabilità pari a 0,3
• € 50 con una probabilità pari a 0,2
• € 0 con una probabilità pari a 0,4
• - € 200 con una probabilità pari a 0,1.
0,3
0,2
0,4
0,1
€ 100
€ 50
€0
- € 200
• L’avversione al rischio (2)
•
•
•
•
Per qualsiasi scommessa possiamo calcolare il valore
monetario atteso (VMA), la media della scommessa,
moltiplicando ogni premio possibile per la sua
probabilità e poi sommando i risultati.
Una persona che preferisce il valore monetario atteso
a una scommessa è avversa al rischio.
Una persona che è indifferente tra una scommessa e il
corrispondente valore monetario atteso invece è
neutrale rispetto al rischio;
una che preferisce una scommessa al suo valore
monetario atteso è propensa al rischio.
• L’avversione al rischio (3)
•
•
•
•
•
•
•
•
Data una qualsiasi scommessa, possiamo domandare: preferisci la
scommessa oppure la somma certa € X?
Quando X è fissato al livello esatto per cui l’individuo è indifferente
tra la scommessa e il pagamento certo, affermiamo che € X è il certo
equivalente (CE) della scommessa per tale persona.
Quindi
l’avversione al rischio implica un certo equivalente inferiore al
valore monetario atteso, ossia CE < VMA,
la neutralità rispetto al rischio si traduce in CE = VMA e
la preferenza per il rischio in CE > VMA.
Se CE < VMA, la differenza tra il certo equivalente e il valore
monetario atteso, VMA  CE, è definita premio di rischio (PR) della
scommessa.
Maggiore è il premio di rischio, maggiore è, approssimativamente,
il livello di avversione al rischio della persona per la scommessa in
questione.
• Il modello dell’utilità attesa (1)
•
•
•
•
Il modello più utilizzato dagli economisti per
rappresentare il processo decisionale in presenza di esiti
incerti è il modello dell’utilità attesa.
È abbastanza valido da considerare alcuni dei fenomeni
elencati in precedenza, ma ne ignora altri.
Iniziamo descrivendone il funzionamento per le
scommesse con date probabilità oggettive e premi
monetari.
Le preferenze di una persona tra tali scommesse sono
determinate dalla sua funzione di utilità, che assegna a
ogni livello di premio monetario un numero
corrispondente, ossia l’utilità del premio
Il modello dell’utilità attesa (2)
v1

Consideriamo una generica lotteria V : V  
v2
p
1 p
Ipotizziamo che i consumatori siano in grado di assegnare un livello di
utilità a ogni valore possibile attraverso una funzione di utilità
(ordinale) u(vj).
Teorema dell’utilità attesa: date alcune ipotesi sulle preferenze,
l’utilità della lotteria V può essere rappresentata dalla seguente
funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern:
U (V )  p  uv1   1  puv2   Eu
Il teorema dell’utilità attesa implica che i consumatori, se chiamati a
scegliere fra diverse lotterie, paragoneranno i livelli di utilità attesa Eu
associati alle diverse lotterie.
Il modello dell’utilità attesa (3)
Una funzione di utilità
U
€
Il modello dell’utilità attesa (4)
Supponiamo che l’individuo caratterizzato da questa
funzione debba scegliere tra le tre scommesse
rappresentate nella figura che segue:
0,7
0,33
€ 750
(Y)
(X)
0,3
€0
0,44
0,12 € 1500
0,39
€ 250
€ 1500
€ 250
0,23 -€ 750
(Z)
0,21
0,28
-€ 450
€0
Il modello dell’utilità attesa (5)
Dinnanzi a questo dilemma, ipotizziamo che il
decisore:
1. utilizzi U per convertire ogni premio di ciascuna
scommessa disponibile nel corrispondente livello di
utilità;
2. calcoli l’utilità attesa di ogni scommessa: per
ciascuna scommessa si moltiplica la probabilità di
ogni premio per l’utilità corrispondente e si
sommano i prodotti; ad es. l’utilità attesa della prima
scommessa è (0,7)[2] + (0,3)[1] = [1,7]
3. scelga la scommessa caratterizzata dall’utilità attesa
maggiore.
Il modello dell’utilità attesa (6)
0,7
0,33
€ 750
0,44
(Y)
(X)
0,3
0,23
€0
0,12 € 1500
0,39
€ 250
€ 1500
€ 250
(Z)
0,21
-€ 750
0,28
-€ 450
€0
PREFERITE LA SCOMMESSA (X), (Y) oppure (Z)?
0,7
0,33
€ 750 [2]
[1,57]
[1,4+0,3=1,7]
(Y)
(X)
0,3
€ 0 [1]
€ 1500 [4]
[1,28]
0,44 € 250[1,35]
0,23 -€ 750 [-1,5]
0,12 € 1500 [4]
0,39 € 250 [1,35]
0,21
(Z)
0,28
-€ 450 [0]
€ 0 [1]
USANDO L’UTILITA’ ATTESA PREFERISCE (X)
• Il modello dell’utilità attesa (7)
•
•
Secondo il modello dell’utilità attesa, un soggetto decisore
caratterizzato dalla funzione di utilità della figura
precedente dovrebbe scegliere la prima scommessa, in
quanto essa ha l’utilità attesa maggiore.
La funzione di utilità specifica è importante solamente per
preservare l’ordine delle utilità attese: se U è la funzione
di utilità che (insieme all’ipotesi di massimizzazione
dell’utilità attesa) caratterizza le scelte di un dato
individuo, allora la funzione V determinata moltiplicando
U per una costante positiva e aggiungendo un’altra
costante porta esattamente alle stesse scelte; in particolare,
un livello di utilità nullo non ha alcun significato
cardinale.
• Ricavare i certi equivalenti a
partire da una funzione di utilità
(1)
•
•
•
Poiché la scala della funzione di utilità (le unità di utilità o
altro) può essere dilatata o compressa a piacimento, è
difficile attribuire un significato alle differenze dei livelli
di utilità attesa.
Nel caso di premi monetari possiamo ottenere una misura
di quanto un’offerta sia migliore riconvertendo i livelli di
utilità attesa in quantità monetarie.
A tal fine si legge la funzione di utilità a ritroso.
L’equivalente certo
U
U (v2 )
EU
U (v1 )
v1
CE
v2
v
L’equivalente certo è il prospetto senza
rischio che genera un livello di utilità pari
all’utilità attesa della lotteria.
Una funzione di utilità tipica
U
€
Le proprietà della funzione di utilità
1. è crescente: una quantità maggiore di denaro è migliore di una quantità
minore;
2. è continua: il valore di una scommessa per il decisore non varia in
misura notevole quando i livelli dei premi cambiano in modo continuo; la
continuità garantisce che ogni scommessa abbia un certo equivalente;
3. è concava, conformemente a un comportamento avverso al rischio.
Avversione al rischio (1)
uv2 
u v 
uEV 
Eu  U (V )
u v1 
v1
 v1
V 
v2
EV
p
1 p
v2
EV  p  v1  1  p   v2
U (V )  Eu  p  u v1   1  p   u v2 
v
Avversione al rischio (2)
Quando un consumatore preferisce un prospettiva senza rischio
(certa) rispetto a una lotteria rischiosa con lo stesso valore
atteso, allora quel consumatore è detto avverso al rischio.
u v 
U ,u
U ( EV )  uEV 
In questo esempio
l’alternativa certa, EV, è
preferita a una lotteria
con lo stesso valore
atteso.
U (V )  Eu
v1
EV
v2
v
U ( EV )  U (V )  u ( EV )  Eu
Propensione al rischio
U ,u
U (V )  Eu
U ( EV )  uEV 
v1
EV
v2 v
Propenso al rischio :
U EV   U (V )  u ( EV )  Eu
Indifferenza al rischio
U ,u
U (V )  Eu

U ( EV )  u EV 
v1
EV
v2
x
Indifferen te al rischio :
U EV   U (V )  u ( EV )  Eu
Attitudine al rischio (1)
Il grado di avversione al rischio è strettamente legato alla
concavità della funzione di utilità u(v); il consumatore è:
i) avverso al rischio se la funzione di utilità è
strettamente concava;
ii) neutrale rispetto al rischio se la funzione di utilità è
lineare (cioè concava e convessa allo stesso tempo);
iii) amante del rischio se la funzione di utilità è
strettamente convessa.
Il grado di avversione al rischio è direttamente
proporzionale alla curvatura della funzione: più la funzione
è concava, più avversi al rischio sono i consumatori.
• Attitudine al rischio (2)
•
•
•
Il modello dell’utilità attesa è quindi sufficientemente
valido da considerare il fenomeno dell’avversione al
rischio: occorre semplicemente utilizzare una funzione di
utilità concava. Inoltre, sebbene esso possa rappresentare
l’avversione al rischio, non la implica necessariamente: a
seconda della forma della funzione di utilità
dell’individuo, possiamo avere un comportamento
neutrale al rischio o propenso al rischio ugualmente
coerente con il modello.
E gli altri fattori che vorremmo considerare?
A questo riguardo il modello non è generalmente
soddisfacente
• Osservazioni conclusive
•
•
La teoria dell’Utilità Attesa è modello buono, soprattutto
perché contempla un fenomeno comportamentale  ossia
una sorta di neutralità nei confronti del rischio per
scommesse in scala ridotta  che riveste una notevole
importanza in economia.
Questo modello svolge inoltre un altro ruolo importante,
in quanto costituisce la base della teoria normativa del
processo decisionale in condizioni di incertezza,
argomento che analizzeremo nella prossima lezione.