Momenti e valori attesi

La media
La media mx di una variabile casuale discreta, ovvero il suo valor atteso E[x] è
così definità:
mX =EX=
xipX  xi 
Ωx
Ωx è il dominio di definizione della variabile casuale X
Per una variabile casuale continua si ha invece:
mX =EX=
Ω x fX  xdx
x
Momenti e valori attesi

La varianza
La varianza fornisce un indicazione della dispersione, ovvero della variabilità di
una variabile casuale. Nel caso di variabile discreta la varianza è:
X= xi  mX 
σ X2 =Var
2
Ωx
 
pX xi
Per una variabile casuale continua si ha invece:
X= Ω  x  mX 
2
σ X =Var
x
2
f X  xdx
Momenti e valori attesi

La deviazione standard
σ X = σ X2

Il coefficiente di variazione
VX 
σX
mX
Momenti e valori attesi

Momento di ordine n
X n =
m(n)
=E
X
 

Ω
x n f X  xdx
x
Momento centrale
 X-mX  = Ω  x  mX 
(n)
μX
=E 


n
n
f X  xdx
x
Coefficiente di asimetria
Γ1 
μX(3)
σ X 
3
Proprietà dell’operatore valore atteso
L’operatore “valore atteso” è un operatore lineare infatti:
EcX=cEX
Ec=c
Ea+bX=a+bEX
E g1X  g 2 X =E g1X  E g 2 X
Applicazione di tale proprietà: Caso 1


2

VarX=E X-mX


2 
VarX=E  X 2 -2Xm X  m X


2
VarX=EX2   E2XmX   EmX
 
 
2
VarX=EX2   2mX EX  mX
 

VarX=EX2   m2X
 
VarX=EX2   E 2X
 

Applicazione di tale proprietà: Caso 2 Y=2X
2

VarY=Var2X=E 2X-E2X




VarY=E  4X 2 -4XE2X  E 2 2X 


VarY=4EX2   4EX2EX  4E 2X
 


VarY=4 E X 2 -E 2 X  4VarX
 
Proprietà della varianza:
Varc=0
VarcX=c VarX
2
Vara+bX=b VarX
2

La covarianza



σ X,Y =CovX,Y=E  X-mX Y-mY 

Il coefficiente di correlazione
ρX,Y =
CovX,Y
σXσY

Proprietà dell’operatore valore atteso
applicate a funzioni di due o più variabili



CovX,Y=E  X-mX Y-mY 
CovX,Y=E XY-Xm Y -Ym X  m X m Y 
CovX,Y=EXY-mYEX-mXEY+mXmY
CovX,Y=EXY-EXEY
Si consideri adesso il legame Z=X+Y
Il valore atteso di Z è:
EZ=EX+Y  EX  EY
La varianza di Z è:
VarZ=EZ2   E2Z
 
VarZ=EX2  2XY+Y2   E2X+Y


2
2
2


VarZ=E X +2EXY+E Y  EX  EY
 
 
VarZ=EX2 +2EXY+EY2   E 2X  E 2Y  2EXEY
 
 



VarZ= E X 2   E 2 X + E Y 2   E 2 Y +2EXY  EXEY
 
 
VarZ=VarX+VarY+2CovX,Y