Modelli di Portfolio Insurance
teoria e applicazioni
Emiliano Laruccia
Sanpaolo Wealth Management
Wealth Lab
[email protected]
1
Schemi di Porfolio Insurance
Le tecniche di ingegneria finanziaria finalizzate alla protezione del capitale investito sono
note come tecniche di Porfolio Insurance (PI).
Gli elementi principali che caratterizzano uno schema di PI sono:
 Portafoglio di riferimento (indici di borsa, titoli azionari, fondi comuni ...)
 Livello di copertura
(superiore, pari o inferiore al capitale versato)
 Orizzonte temporale della copertura (3 anni – 10/15 anni)
Gli schemi principali di portfolio insurance possono essere distinti in:
 Buy and Hold
(B&H)
 Stop Loss
(SLO)
 Protective Call Strategy (PCS)
 Protective Put Strategy
(PPS)
 Constant Proportion
(CPPI)
Analizziamo i diversi schemi di PI sulla base di un esempio:
 Investimento iniziale
(I)
100 Euro
 Portafoglio di riferimento
(S)
MSCI World
 Livello di copertura:
(F)
100% dell’investimento iniziale
 Orizzonte temporale:
(T)
5 anni
 Costo di uno Zero Coupon Bond (ZCB):
80 Eur (tasso RF del 4.48%)
2
Buy and Hold
La B&O strategy prevede l’investimento iniziale nel portafoglio di riferimento per un
ammontare pari aI residuo tra il capitale versato e il costo dello ZCB.
Nell’esempio avremo:
 Acquisto di ZCB per un controvalore pari a 80
 Acquisto di n quote di Equity per un controvalore di 20 (100-80)
n = 20
Pt
Pt = prezzo Equity al tempo t
 A scadenza, il valore dell’investimento sarà dato da:
100 + n * PT
PT = prezzo del Equity a scadenza
Se si volesse coprire un livello superiore (o inferiore ) al 100% avremmo
 Investimento in ZBC =
F*ZCB
 Investimento in Equity = I – (F*ZCB)
Domande:
 quanto si investe in equity nel caso si voglia garantire un livello di copertura pari al 95%?
 quanto si investe in equity nel caso si voglia garantire un livello di copertura pari al 105%?
 qual è il livello massimo di copertura possibile?
 Come impattano i tassi di interesse sull’investimento in equity?
3
Stop Loss
La strategia di stop loss prevede di allocare tutto l’investimento iniziale nell’attività
rischiosa. Il portafoglio rimane totalmente investito in questa attività fino a che il suo
valore non scende fino a toccare il prezzo di uno ZCB la cui scadenza coincide con
quella dello schema di copertura.
105
100
95
90
85
80
75
70
ZCB
Stop Loss
Equity
Domanda:
Nello scenario di mercato indicato dal grafico, quale strategia (SLO vs BH) avrebbe reso di più?
Quale è il livello di break even che rende le due strategie indifferenti?
4
Option Based Strategy - Put Call Parity
La strategie di PI basate sull’utilizzo di opzioni sono un esempio interessante di
applicazione della put-call parity.
Call
ZCB + Call
Payoff a
scadenza
=
ZCB
X
Put
Put + Equity
Equity
S
Payoff a
scadenza
X
S
5
Protective Put Strategy
La PPS prevede l’investimento nella parte azionaria accompagnato all’acquisto di una
opzione put.
Step 1: determinare lo strike price della PUT
Vincolo di bilancio a T0
[1]
Vincolo di bilancio a T
[2]
P*n + S0*n = I0
se X> ST (X-ST)*n + ST*n= I0
Tali vincoli possono essere sintetizzati in [3]
P(X) + S0 = X
P = prezzo put = f(X, S0, Rr, T, s)
n = numero di put (posto pari al numero di quote del sottostante)
I0 = Investimento iniziale
S0 = Prezzo sottostante a T0
ST = Prezzo sottostante a scadenza
La soluzione alla [3] viene determinata in via numerica (P è funzione non lineare di X)
Step 2: determinare il numero di put da acquistare: Una volta determinato lo strike e di
conseguenza il prezzo della PUT, il numero di put di acquistare è determinato da
n = I0 / (P+ S0)
6
Protective Put Strategy
Prezzo opzione PUT
T
5 anni
s
20%
X
112.05
Rf
4.48%
S
100
= 12.05
Numero di put da acquistare
= 0.8925
Investimento in put (0.8925*12.05)
= 10.75
Investimento in Equity (0.8925*100)
= 89.25
Il capitale a scadenza sarà dato da:
100 + max [0, n *( X-ST)]
S
Strike
Valore Put
N put
Tot Put
Valore Equity
TOT
80.00
112.05
32.05
0.89
28.60
71.40
100.00
100.00
112.05
12.05
0.89
10.75
89.25
100.00
120.00
112.05
0.00
0.89
0.00
107.10
107.10
7
Protective Call Strategy
La PCS prevede l’investimento in parte nello ZCB e per il rimanente in una opzione call.
Investimento ZBC
Prezzo opzione Call
= 80
Pcall
= 22.49
T 5 anni
s 20%
X 112.05
Rf 4.48%
S 100
N° call da acquistare (20/22.49)
= .8925
Investimento in call (.8925*22.29)
= 20
Il capitale a scadenza sarà dato da:
100 + max [0, n *( PT-X)]
PT = prezzo Equity a scadenza
S
Strike
Valore Call
N call
Tot Call
Valore ZCB
TOT
80.00
112.05
0.00
0.89
0.00
100.00
100.00
100.00
112.05
0.00
0.89
0.00
100.00
100.00
120.00
112.05
7.95
0.89
7.10
100.00
107.10
8
Esempi di Protective Call Strategy
Sul mercato dei prodotti strutturati, diverse sono le soluzioni proposte che prevedono
l’utilizzo di ZCB con opzione call.
Le opzioni utilizzate in queste strutture si differenziano per:



metodo di misurazione performance:
–
alla fine del periodo (tradizionale)
–
come media di periodo (asiatica)
Sottostante
–
singolo asset
–
basket di asset
meccanismi opzionali di path-dependency
–
rendimento basato su classifica performance (best/worst inside basket, rainbow)
–
barriera di attivazione/disattivazione dell’opzione (knock in/out)
–
consolidamento dei risultati (cliquet)
9
Esempi di Protective Call Strategy
Esempio: Rainbow Option

Una novità è rappresentata da meccanismi di opzionalità basati sulla classifica delle
performance. In queste opzioni il rendimento è determinato in base all’ordinamento dal
migliore al peggiore degli assets inclusi nel basket.

Mentre nei basket classici ad ogni asset corrisponde (dall’inizio alla fine) uno ed un solo
peso, in questi prodotti il peso non è attribuito ad uno specifico asset ma è assegnato
all’asset che si piazza ad un certo posto nella classifica finale dei rendimenti periodali.

Per esempio, se il basket è composto dalle azioni ordinarie di Fiat e Generali,
–
in un basket tradizionale, se il peso attribuito ai due titoli è 50%-50% e se Fiat registra +10% e
Generali +5%, il basket segnerebbe una performance del 7.5%;
–
in un basket “nuovo”, si stabisce ex-ante che il best performing avrà peso 70% e il worst performing
avrà peso 30%. Quindi, alla scadenza il best performing sarebbe il titolo Fiat, mentre il worst
sarebbe Generali. Al sottoscrittore verrebbe riconosciuta una performance pari a 8.5%.
10
Esempi di Protective Call Strategy
Caratteri generali

I pesi attribuiti agli assets (3 nella figura sottostante) inclusi nel basket sono ovviamente
proporzionali alla graduatoria ex-post delle performance (i migliori avranno peso maggiore
e viceversa).
Miglior performance
R(best)
Performance mediana
R(med)
R(p)= Peso(1)*R(best) + Peso(2)*R(med) + Peso(3)*R(worst)
R(worst)
basket tradizionale: Peso(1)=Peso(2)=Peso(3)
basket “nuovo”
: Peso(1)>Peso(2)>Peso(3)
Peggior performance
11
Esempi di Protective Call Strategy
Modelli di pricing

La maggior parte delle opzioni complesse vengono valutate via simulazione (la
soluzione in forma chiusa è talvolta improponibile).

La logica seguita è piuttosto semplice:
–
si generano rendimenti casuali per gli assets del basket, coerentemente a:
-
drift
-
struttura di varianza e convarianza
–
in relazione a tali rendimenti si calcola il payoff della struttura.
–
il valor medio attualizzato dei payoff rappresenta il fair price dell’opzione.
12
Esempi di Protective Call Strategy
Esempio di valutazione: Pick and Drop su fondi

Supponiamo di dover valutare l’opzione pick and drop di un basket composto di:
Fidelity Funds European Growth
Morgan Stanley Japan Equity Bond
Mercuty ST North America
Fidelity Euro Small Comp
Morgan Stanley Sicav Euro Bond
Parvest EuroBond

A scadenza l’opzione paga:
-
100.00% + 100*Max(0, Partecipazione*((R(t1) + R(t2) …. + R(t5))/5))
-
R(ti) = Miglior rendimento alla fine dell'i-esimo anno (rendimento calcolato da data emissione)
-
Nota: quando un fondo è classificato come migliore, viene escluso dal basket negli anni
successivi.

I tassi di crescita (drift) sono ipotizzati pari al tasso risk freee a scadenza (5 anni) al netto
del dividend yield (valutazione risk neutral).

Le correlazioni e le deviazioni standard sono calcolate sui rendimenti settimanali degli
utlimi 3 anni.
13
Esempi di Protective Call Strategy
Esempio: Valutazione Pick and Drop su fondi
30%
25%
Fund1
20%
Distribuzione rendimenti
15%
singoli fondi
10%
Fund2
Fund3
Fund4
Fund5
Fund6
5%
-70%
-50%
-30%
0%
-10%
-5%
10%
30%
50%
70%
45%
40%
35%
30%
Distribuzione rendimenti
basket
25%
Eq. Weighted
20%
Pick and Drop
15%
10%
5%
0%
-60%
-40%
-20%
0%
20%
40%
60%
80%
14
Esempi di Protective Call Strategy
Esempio: Valutazione Pick and Drop su fondi

Una volta generati I numeri casuali coerenti con la struttura di varianza-covarianza e tassi
di crescita occorre calcolare i payoff dell’opzione (in termini di rendimento a scadenza).
Distribuzione payoffs
6.0%
5.0%
4.0%
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
0%

5%
10% 15% 20%
25% 30% 35% 40%
45% 50% 55%
60% 65%
Risultati:
–
opzione 1: partecipazione 80% e rendimento minimo garantito 0%
16.90
–
opzione 2: partecipazione 76% e rendimento minimo garantito 5%
17.28
15
Constant Proportion PI
L’idea alla base della CPPI è è quella di far dipendere l’investimento nell’equity
dall’ampiezza del cosiddetto “cuscinetto”, ovvero dalla differenza tra il valore (NAV) del
patrimonio investito e il valore minimo del patrimonio finale (attualizzato ad oggi) che si
vuole garantire (MIN).
L’investimento in equity è determinato dalla seguente formula:
equityt  m 
NAVt  MIN
NAVt
A inizio periodo la composizione dell’investimento sarà la seguente:
 Min
.80 * 100
 NAVt
(Investimento Iniziale)
m
 Investimento in equity [3* (100-80)/100] *100
 Investimento in ZCB
= 80
= 100
= 3
= 60
= 40
(60%)
(40%)
Se dopo un anno il NAV vale 90 e il MIN 83.6 avremo
 Investimento in equity [3* (90-83.6)/90] *90
 Investimento in ZCB
= 19.20
= 70.80
(21%)
(79%)
Se dopo un anno il NAV vale 110 e il MIN 83.6 avremo
 Investimento in equity [3* (90-83.6)/110] *110
 Investimento in ZCB
= 79.20
= 30.80
(72%)
(28%)
16
Constant Proportion PI
L’algoritmo: un esempio

Per come è costruito, l’algoritmo prevede un aumento della esposizione ai mercati azionari
nelle fasi rialziste e di riduzione nei momenti di contrazione.
17
Constant Proportion PI
Il grado di aggressività

La scelta del grado di aggressività (parametro m) è quindi cruciale nella definizione del meccanismo di
allocazione dinamica.

l principali issues riguardano:
–
La quota inziale investita in equity. Per ogni scadenza, c’è un livello minimo della leva che consente
di partire full invested. Livelli inferiori della leva comportano la partenza con un portafoglio parzialmente
investito in zero (/low) coupon bond.
–
La partecipazione ai rialzi di borsa: quanto più è elevata la leva tanto maggiore è il livello di
aggressività, ossia la partecipazione ai rialzi di borsa.

–
I costi di aggiustamento: quanto più è elevata la leva tanto maggiori sono i costi di aggiustamento del
portafoglio e quindi il costo del “gamma”.
–
La probabilità di non riuscire a rimborsare il capitale (e quindi il prezzo della garanzia). L’algoritmo
riduce al minimo la probabilità che il capitale non venga rimborsato ma non è in grado di garantirlo con
probabilità 100%, per cui è necessario acquistare una garanzia. Quanto più è elevata la leva tanto più
contenuta è la variazione negativa di borsa che determina un fallimento della strategia (e tanto più alto è
il costo della garanzia).
Le simulazioni effettuate ci hanno portato a definire un livello ottimale di “m” pari a 3, attorno a
cui ci muoviamo seguendo la volatilità dei mercati azionari.
18
Constant Proportion PI
Esempio 1: Mercato bearish
19
Constant Proportion
Esempio 2: Mercato bullish
20
Active Portfolio – un esempio di applicazione della CPPI
Principali caratteristiche

Active Portfolio è una Unit Linked a vita intera a premio unico che investe iI propri attivi
in quote di Fondi Interni gestiti con la tecnica CPPI.

Al momento della sottoscrizione il cliente potrà scegliere tra 2/3 Fondi Interni:

Periodicamente saranno disponibili 2/3 nuovi fondi interni, a gestione dinamica le cui
caratteristiche saranno predefinite secondo logiche commerciali.

Nel corso della durata del prodotto, il cliente ha la facoltà di consolidare i risultati
trasferendo il controvalore delle quote del fondo di appartenenza ad altro fondo interno
(monetario o se disponibili a gestione attiva linee…), senza chiedere il riscatto della
polizza e pertanto uscire dal contratto assicurativo (e quindi senza costi aggiuntivi).

Alla scadenza Il capitale maturato, verrà investito in un fondo interno monetario da cui
potrà pianificare altre soluzioni.
21
Active Portfolio – un esempio di applicazione della CPPI
La composizione del portafoglio azionario

La composizione del portafoglio azionario rispecchia il peso delle areee geografiche
sull’indice MSCI World. Le decisioni di asset allocation vengono prese in coerenza con
le view espresse dalla casa.
USA
AREA EURO
GRAN BRETAGNA
GIAPPONE
SVIZZERA
AUSTRALIA
MSCI World
CANADA
Master Fund
SCANDINAVIA
SINGAPORE
NEW ZEALAND
HONG KONG
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
22
Active Portfolio – un esempio di applicazione della CPPI
Andamento e ribilanciamenti
Fondo vs
mkt di riferimento
100
95
90
85
Active 5y 0% scad.07/06
MSC World
80
01/08/01
Investimento
in azionario
01/09/01
01/10/01
01/11/01
01/12/01
01/01/02
01/02/02
50%
40%
30%
20%
10%
0%
01/08/01
01/09/01
01/10/01
01/11/01
01/12/01
01/01/02
01/02/02
23
Confronto tra schemi di PI - I
Pros and Cons
24
Confronto tra schemi di PI - II
Livello del payoff a scadenza (simulazione Montecarlo, scadenza 10 anni)
4
Asian Index Linked
CPPI m=3
Call Index Linked
Static Allocation
Protection
3.5
Portfolio
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Equity
25
Confronto tra schemi di PI - III
Livello del payoff a scadenza (simulazione Montecarlo, scadenza 10 anni)
4
Equity
SA m=1
GAP m=3
GAP m=5
3.5
portfolio
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
equity
26