Concetti di economia
Concetti di economia e concetto di costo
[Thuesen, Economia per ingegneri, capitolo 2]
I concetti economici possono essere utili nel suggerire
approcci ad alcuni problemi di economia negli ambiti di
intervento dell’ingegneria.
Analizzeremo i concetti fondamentali utili
negli studi tecnico-economici.
1
Concetti di valore e utilità
Utilità di un bene o servizio
soddisfare bisogni dell’uomo
capacità di
Valore di un bene o servizio
valutazione
della sua utilità in termini di mezzo di scambio,
indica l’importanza che un individuo attribuisce a
un bene o a un servizio
Attività dell’ingegnere
cercare, attraverso
l’applicazione delle scienze matematiche e naturali,
il modo di creare beni e servizi per soddisfare
bisogni con il minimo costo
2
Beni di consumo e
beni strumentali
Beni di consumo
prodotti e servizi che
soddisfano direttamente le necessità umane
Beni strumentali
soddisfano le necessità
umane ma indirettamente, come parte dei processi
di produzione o di costruzione
Una volta determinati il tipo e la quantità di beni di
consumo da produrre, i generi e le quantità dei
beni strumentali e delle attrezzature necessarie
alla loro produzione possono essere determinati su
basi oggettive (calcolati)
3
Beni di consumo e
beni strumentali
Utilità dei beni di consumo
due specie di
utilità: vi è l’utilità di beni e servizi che si intende
consumare personalmente per la soddisfazione che
se ne può ricavare; vi è l’utilità legata alla mera
esistenza fisica la cui domanda è molto più
prevedibile (cibo, vestiario, alloggio)
Utilità dei beni strumentali
si tratta della
loro funzionalità come mezzi per un dato fine; è
considerata oggettivamente
La determinazione di generi e quantità di beni di consumo può
dipendere da un giudizio soggettivo.
I problemi legati alla produzione dipendono da fattori oggettivi.
4
Aspetti economici
dello scambio
L’economia di scambio si verifica quando beni
o servizi vengono scambiati tra due o più
persone
La motivazione di un acquisto è determinata dalla maggiore o
uguale utilità che l’acquirente attribuisce al bene/servizio nei
confronti dell’utilità relativa della somma di denaro
necessaria all’acquisto – e viceversa.
Le parti effettuano uno scambio quando sono certe che tale
scambio si trasformerà in una utilità reciproca (l’oggetto di
scambio non è valutato allo stesso modo dalle parti).
Se la valutazione del bene oggetto di scambio da
parte delle parti è equa, come è possibile che
ciascuna realizzi un guadagno?
5
Aspetti economici
dello scambio
Le parti si trovano in situazioni economiche
diverse e traggono vantaggio dallo scambio
(es. produttore di macchine ed impresa
commerciale)
Anche nello scambio l’utilità viene creata
trasformando l’ambiente fisico.
La differenza tra l’utilità di un bene/servizio per
l’acquirente e per il venditore è definita sfera del
vantaggio reciproco nello scambio.
La persuasione nello scambio: tentativo di
mostrare ciò che accadrà se si agisce secondo una
certa proposta. Ha una importanza economica per
l’industria.
6
Concetti di valore e utilità
7
Concetti di valore e utilità
Deve valere la relazione: B > P > C
Il valore creato sarà così diviso tra l’impresa ed il
consumatore.
Il consumatore paga un prezzo P per un bene o
servizio il cui valore è B, traendone un beneficio
pari a B-P = consumer surplus.
L’impresa vende al prezzo P un bene o servizio il
cui costo è C, traendone un profitto pari a P-C.
8
Classificazioni di costo
Le applicazioni di ingegneria non possono essere
realizzate senza sostenere costi.
Costo = flusso economico uscente associato ad un evento
commerciale o ad una transazione economica. Per un bene indica
in particolare quanto denaro è servito per produrre tale bene.
Il costo di un bene, inteso come costo di produzione del bene, è quindi distinto dal
prezzo che rappresenta invece il valore di mercato del bene.
Il progetto tecnico che risulta caratterizzato dal
minor costo sarà considerato preferibile se il suo
risultato finale è identico a quello di altri progetti.
9
Classificazioni di costo
Rispetto alla loro ricorrenza nel tempo
- Costi iniziali: costi necessari per l’avvio
dell’attività (start-up: acquisto o realizzazione
impianti; installazione; addestramento del
personale)
- Costi di funzionamento e di manutenzione:
costi che ricorrono con continuità nel corso
dell’intera durata di una attività (costo del lavoro,
materiali, servizi vari, assicurazioni, manutenzioni,
imposte e tasse)
10
Classificazioni di costo
Rispetto alla loro variabilità al variare della produzione
- Costi fissi: costi che rimangono relativamente costanti al variare della
produzione (spese per dipendenti, ammortamenti, manutenzioni,
assicurazioni, locazioni, spese per la struttura commerciale e per quella
amministrativa); il comportamento di tali costi è quindi indipendente dai
livelli di produzione; variano in maniera non continua (andamento “a
scalini”)
- Costi variabili: costi che variano, secondo una certa funzione, al variare
della produzione (materie prime, forza motrice per gli impianti, lavoro
diretto), sono direttamente influenzati dai livelli della produzione
- Costi semivariabili: costi il cui comportamento è in parte influenzato dai
livelli della produzione, una quota del costo si presenta comunque anche in
assenza di produzione mentre l'altra quota ha ragione d'essere e varia solo
in funzione dei livelli di output (energia elettrica, costi di logistica)
11
Classificazioni di costo
Costi fissi
e costi variabili
12
Classificazioni di costo
- Costi irreversibili (sunk cost):
costi determinati da scelte passate che
non possono essere modificati da
un’azione futura (non ha quindi importanza per la
valutazione di un progetto)
- Costi incrementali o marginali:
costi addizionali da sostenere per
aumentare la produzione di una unità
(costo incrementale per tonn, litro, unità di produzione)
13
Classificazioni di costo
Costo
incrementale
Costo incrementale medio =
8$/10 uni = 0,8 $/uni
14
Classificazioni di costo
Costi fissi
e costi variabili
unitari in funzione
della produzione
15
Classificazioni di costo
Cma 
CT
Q
16
Classificazioni di costo
p, c
Cma
Cme
P
SCELTA
DELL’IMPRESA E
PROFITTI NEL
BREVE PERIODO
CT
Cma 
Q
Cma = Costo
marginale costo
dell’ultima unità
(unità marginale)
del bene prodotta
dall’impresa
cv
A
Cme = costi medi
unitari
cv = costi variabili
0
Q1
Qe
Q
P = prezzo
L’area del rettangolo giallo rappresenta il profitto, cioè il prodotto della
quantità prodotta Qe per il profitto unitario (P - Cme)
Il tratto crescente di cma rappresenta la curva di offerta dell’impresa
17
Classificazioni di costo
L’impresa sceglie la quantità che
massimizza il profitto
 Finché Cma < p conviene produrre
un’unità in più
 Finché Cma > p conviene produrre
un’unità in meno
 Il profitto è massimizzato quando
Cma = p
18
Costo riferito al ciclo di vita
Dalla progettazione alla eliminazione (Life cycle)
 Acquisizione: costi non ricorrenti
 Utilizzazione: costi ricorrenti
Costo riferito al ciclo di vita = insieme di tutti i costi
ricorrenti e non ricorrenti nel corso del ciclo di vita del
bene
Obiettivo = minimizzare la somma dei costi che si
verificano nel corso del ciclo di vita
LCC Life Cycle Cost Analysis
Il 75% dei costi legati al LC può essere considerato
durante la fase progettuale (approccio crandle to
crandle)
19
Interesse e tasso
di interesse
-Interesse: compenso richiesto per l’uso del denaro (di
solito viene misurato come tasso percentuale annuo:
percentuale della somma che deve essere pagata per il
suo uso per il periodo di un anno)
-Il guadagno economico che si ottiene dall’uso del denaro è ciò che da alla moneta il
suo valore nel tempo. Poiché i progetti di ingegneria richiedono l’uso del denaro nella
loro valutazione tecnico-economica il valore nel tempo della moneta deve essere
adeguatamente considerato.
- Tasso interesse = è il rapporto tra la redditività di
un investimento e l’entità dell’investimento (costituito
da: fattore rischio perdite + fattore spese
amministrative + fattore inflazione + guadagno del
finanziatore)
L’inflazione è la perdita del potere di acquisto del
denaro.
20
Interesse e tasso
di interesse
-Punto di vista del creditore: l’interesse è una somma di
denaro ricevuta per fondi investiti (interesse percepito =
guadagno/profitto)
-Punto di vista del debitore: l’interesse è una somma di
denaro pagata per avere fondi in disponibilità (interesse
pagato = costo)
Fattori per stabilire il tasso di interesse:
fattore rischio perdite (3%)
fattore spese amministrative (2%)
guadagno del finanziatore (6%)
fattore inflazione (…)
Tasso di interesse = 11%
Se i fondi vengono presi a prestito per finanziare attività per le quali si
prevede un guadagno, l’interesse da pagare deve essere inferiore al profitto
stesso.
21
Valore del denaro nel tempo
Il valore del denaro è legato al tempo.
Uguali quantità di denaro in momenti
diversi nel tempo non hanno valori
uguali se il tasso di interesse ed il tasso
di inflazione sono maggiori di zero.
22
Valore del denaro nel tempo
1000 € posseduti adesso valgono più di 1000 € che si
riceveranno tra n anni.
Infatti:
Possedere 1000 € in questo momento permette di investirli per un periodo di
tempo di n anni rispetto agli stessi 1000 € che si avranno tra n anni. Poiché
il denaro può generare reddito il valore attuale di 1000 € investiti per n anni
sarà pari ai 1000 € originari più gli interessi.
Inoltre:
Il potere di acquisto di 1000 € varia nel tempo. Se c’è inflazione l’insieme di
beni che possono essere acquistati con 1000 € diminuisce quanto più il
momento dell’acquisto viene posticipato nel tempo.
Quando si considera il valore nel tempo del denaro è
importante considerare sia la sua capacità reddituale sia il
suo potere d’acquisto.
Esempio pg. 52 Thuesen, Economia per ingegneri
23
Tipologie di interessi
L’interesse e le formule relative
[Thuesen, Economia per ingegneri, capitolo 3]
L’analisi tecnico-economica si occupa della valutazione di
alternative, espresse indicando la quantità e i periodi di
tempo delle entrate attese e delle spese.
Grande attenzione al concetto di interesse.
Saranno presentate le basi matematiche per considerare il valore del denaro
nel tempo mettendo a confronto l’interesse semplice e quello composto,
descrivendo i flussi di cassa e derivando una serie di formule di interesse.
24
Tipologie di interessi
- Interesse semplice: l’interesse da pagare su un
debito è proporzionale alla lunghezza del periodo di
tempo per cui si prende a prestito la somma
- Interesse composto: l’interesse da pagare è
proporzionale al tempo ed è dovuto alla fine del
periodo di maturazione che è inferiore al periodo di
tempo per cui si prende a prestito la somma. Se
non corrisposto alla fine di ciascun periodo di
maturazione maturerà anch’esso interessi.
25
Formule degli interessi
Calcolo dell’interesse I che si guadagnerà
- Interesse semplice:
I=Cit
l’interesse è proporzionale al capitale e al tempo; il capitale e gli
interessi devono essere rimborsati solo alla fine del periodo
stabilito. Calcolo interesse per frazione di anno.
I = interesse che si guadagnerà
C = somma presa a prestito (capitale)
i = tasso di interesse del periodo (rapporto tra la redditività e l’entità di un investimento)
t = tempo espresso in periodi di durata del prestito (periodo di interesse)
M = montante (valore monetario comprensivo del capitale iniziale e degli interessi
maturati nell’intervallo di tempo di riferimento)
M = C + I = C + Cit = C (1 + it)
26
Formule degli interessi
Calcolo dell’interesse I che si guadagnerà
Quando si concede un prestito per un tempo T pari a parecchi periodi di interesse t si
considera che l’interesse guadagnato sia dovuto alla fine di ogni periodo di interesse.
Si può:
-Pagare l’interesse quando matura (alla fine di ogni t)
-Capitalizzare l’interesse fino al termine della durata T del prestito
Se il debitore trattiene gli interessi fino alla scadenza del prestito il debito aumenterà di
una somma uguale agli interessi dovuti alla fine di ogni anno, capitalizzandosi a loro volta.
- Interesse composto
M = C (1 + i)t
I = C [(1 + i)t – 1]
l’interesse, invece di essere riscosso o pagato, è aggiunto
al capitale iniziale che lo ha prodotto facendo maturare
anch’esso interessi per il periodo successivo (opzione di
capitalizzazione dell’interesse fino al termine della durata
del prestito)
C = somma presa a prestito; i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
RISULTATI DIVERSI A SECONDA DEL MODO IN CUI VENGONO FATTI I PAGAMENTI (Es. pg 62)
27
Diagramma del flusso di cassa
Descrizione grafica delle transazioni di cassa di ciascuna alternativa
Rappresenta le entrate relative ad un certo periodo di tempo con una freccia rivolta verso
l’alto (aumento di cassa) collocata alla fine del periodo, con altezza proporzionale all’entità
delle entrate.
Le uscite sono rappresentate da frecce verso il basso (diminuzione di cassa).
Le frecce sono collocate su una scala temporale che abbraccia la durata del progetto
Si ipotizza che entrate ed uscite che si verificano durante la vita dell’alternativa abbiano
luogo alla fine dell’anno o del periodo di interesse in cui si verificano.
50.000
51.250
1.250
1
2
3
4
5
1.250
debitore
51.250
50.000
creditore
28
Formule dell’interesse
Convenzioni:
1) La fine di un anno è l’inizio del successivo
2) C è all’inizio di un anno in un momento
considerato come presente
3) M è al termine del t-esimo anno calcolato da un
momento che si suppone presente
4) Un pagamento singolo R si verifica alla fine di
ciascun anno del periodo considerato
29
Somma singola attuale e
futura
Se una somma C è investita
adesso, e frutta al tasso
annuale i, quale è il capitale
e quali gli interessi
accumulati dopo n anni?
M
0
1
2 … n-1
n
Diagramma di flusso di cassa
C
30
Fattore di capitalizzazione composta
per un singolo pagamento
Se la transazione non da luogo a pagamenti fino al termine
dell’investimento, l’interesse viene composto. L’interesse
guadagnato viene aggiunto al capitale alla fine di ogni
periodo annuale di interessi.
Il fattore risultante (1 + i)t può essere impiegato per
calcolare il montante M secondo la relazione:
M = C (1 + i)t
Dove:
M = montante
C = somma presa a prestito
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
31
Fattore di attualizzazione
per un singolo pagamento
Dalla relazione della capitalizzazione composta per un singolo
pagamento si può ricavare C come:
C = M / (1 + i)t
M = montante
C = somma presa a prestito
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
Il fattore risultante 1 / (1 + i)t può essere utilizzato per
trovare il valore attuale C di un montante M.
32
Confronto tra capitalizzazione
composta e semplice
Il grafico del montante nel regime dell’interesse semplice è rappresentato da una
retta di pendenza Ci e intercetta C: M = Cit + C. Quello del regime dell’interesse
composto M = C(1+i)t è rappresentato da una funzione esponenziale crescente in
quanto la base 1+i > 1.
C = somma presa a prestito (capitale)
i = tasso di interesse del periodo
t = tempo espresso in periodi (periodi di interesse) di durata del prestito
M = montante
33
Confronto tra capitalizzazione
composta e semplice
Quindi:
1) per tempi inferiori al periodo di capitalizzazione, t < 1,
al creditore conviene il regime della capitalizzazione
semplice (il grafico della retta sta sopra a quello della
funzione esponenziale);
2) per t=1 un regime vale l’altro;
3) per tempi superiori al periodo di capitalizzazione, t >
1, al creditore conviene il regime della capitalizzazione
composta (il grafico della funzione esponenziale sta
sopra a quello della retta).
34
Confronto tra capitalizzazione
composta e semplice
C=
i=
t
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
100
10%
M = C (1 + i t)
102,00
104,00
106,00
108,00
110,00
112,00
114,00
116,00
118,00
120,00
122,00
124,00
M = C (1 + i)t
101,92
103,89
105,89
107,92
110,00
112,12
114,27
116,47
118,72
121,00
123,33
125,70

(0,08)
(0,11)
(0,11)
(0,08)
0,00
0,12
0,27
0,47
0,72
1,00
1,33
1,70
35
Fattore di capitalizzazione composta
per una serie di pagamenti uguali
M
0
1
2
R
R
R
t-1
t
R
R
La somma dei montanti dei vari pagamenti può essere calcolata
usando il fattore di capitalizzazione dei pagamenti singoli:
M = R(1) + R(1+i) + ……… + R(1+i)t-2 + R(1+i)t-1
= montante totale futuro
36
Fattore di capitalizzazione composta
per una serie di pagamenti uguali
M = R(1) + R(1+i) + ……… + R(1+i)t-2 + R(1+i)t-1
Moltiplicando l’equazione del montante totale futuro per (1+i),
M(1+i) = R(1+i) + ……… + R(1+i)t-2 + R(1+i)t-1 + R(1+i)t
sottraendo l’equazione originaria alla seconda e risolvendo rispetto a
M si ha:
M = R [(1 + i)t - 1]
i
montante di una serie di pagamenti
uguali ossia montante di una rendita
posticipata
M = montante
R = pagamento singolo in una serie di n pagamenti uguali (rata costante) effettuato alla fine di ogni
periodo di interesse;
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
[(1 + i)t - 1]/i = fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali
37
Fattore delle rate di ammortamento
per una serie di pagamenti uguali
Dalla relazione del montante di una serie di pagamenti uguali
si può ricavare la rata R
R = M { i / [(1 + i)t - 1]}
Rate annuali necessarie
per formare una somma
futura pari a M;
pagamenti di fine anno
R necessari a formare
una somma futura M
M = montante
R = serie di t pagamenti uguali (rata costante)
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
i / [(1 + i)t - 1] = Fattore delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali
Può essere utilizzato per trovare i pagamenti di fine anno R necessari per formare la somma futura M
38
Fattore delle rate di ammortamento
per una serie di pagamenti uguali
Dalla relazione del montante di una serie di pagamenti uguali
si può ricavare la rata R
R = M { i / [(1 + i)t - 1]}
Rate annuali necessarie
per formare una somma
futura pari a M
L'ammortamento è un procedimento con il quale un costo pluriennale viene
ripartito tra gli esercizi di vita utile del bene, facendolo partecipare per quote alla
determinazione del reddito dei singoli esercizi. Infatti, quando un'azienda acquista
un bene destinato a essere utilizzato per più anni, ad esempio un macchinario, il
relativo costo sostenuto viene ripartito in funzione del numero di anni per
l'acquisto in tante quote quanti sono gli esercizi nei quali il macchinario sarà
presumibilmente impiegato. Se così non fosse il costo verrebbe imputato
interamente nell‘esercizio in cui viene acquistato disattendendo il principio della
competenza economica dei componenti reddituali.
La procedura dell'ammortamento è prescritta dal Codice Civile (art. 2426 c.c.) ai
fini della redazione del bilancio d‘esercizio.
t - 1] = Fattore delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali
Può essere utilizzato per trovare i pagamenti di fine anno R necessari per formare la somma futura M
39
Dove:
M = montante
R = serie di t pagamenti uguali (rata costante)
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
i / [(1 + i)
Fattore di recupero del capitale
per una serie di pagamenti uguali
Al tempo 0 viene fatto un deposito pari a C a un tasso di interesse
annuale i.
Il depositante desidera ritirare il capitale C più l’interesse
guadagnato in una serie di somme annuali R uguali per t anni.
Quando viene fatto l’ultimo prelievo non dovrebbero restare fondi
nel deposito.
Quando viene fatto ciascun prelievo annuale, la somma che rimane
nel deposito è più piccola della somma che era rimasta dopo il ritiro
precedente.
Poiché l’interesse corrisposto è calcolato in base alla somma in
deposito, l’interesse che si percepisce ogni anno diminuisce.
40
Fattore di recupero del capitale
per una serie di pagamenti uguali
0
R
R
R
1
2
3
R
…
t
C
Serie uguale annuale e somma singola presente
41
Fattore di recupero del capitale
per una serie di pagamenti uguali
Dato che R è legato ad M dal fattore delle rate di ammortamento di una serie di
pagamenti uguali
R = M { i / [(1 + i)t - 1]}
e che M è legato a C dal fattore di capitalizzazione composta per un singolo
pagamento
M = C (1 + i)t
sostituendo
R = C (1 + i)t { i / [(1 + i)t - 1]}
e risolvendo rispetto a R:
R = C { i (1 + i)t / [(1 + i)t - 1]}
Rate annuali necessarie per
rimborsare il capitale C
M = montante
C = capitale o valore attuale di una serie di pagamenti uguali
R = serie di t pagamenti uguali (rata costante)
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
42
Fattore di attualizzazione del capitale
per una serie di pagamenti uguali
Dal fattore di recupero del capitale di una serie di pagamenti
uguali
R = C { i (1 + i)t / [(1 + i)t - 1]}
risolvendo rispetto a C si ottiene
C = R {[(1 + i)t - 1] / i (1 + i)t}
valore attuale C di una
serie di pagamenti
annuali uguali futuri R
C = capitale o valore attuale di una serie di pagamenti uguali
R = serie di n pagamenti uguali (rata costante)
i = tasso di interesse annuale
t = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni
43
Fattore della serie di gradiente
uniforme
In molti casi i pagamenti annuali non vengono fatti in serie di
pagamenti uguali.
Essi possono crescere o decrescere di una somma costante.
Gradiente: serie di pagamenti uniformemente crescente (o decrescente)
per t periodi di interessi
Es. 100, 125, 150, 175….
Es. 100,90,80,70…..
Può essere espresso come G, 2G, ….. (t-1)G
dove
G = variazione annuale (o gradiente) nella quantità dei pagamenti
t = numero degli anni
Uno dei modi per la valutazione di una serie di questo tipo è quello di
applicare le formule degli interessi per ogni pagamento della serie.
Un altro modo è quello di ridurre la serie di pagamenti uniformemente
crescenti a una serie equivalente di pagamenti uguali, in modo da
poter usare un fattore della serie dei pagamenti uguali.
44
Fattore della serie di gradiente
uniforme
Gradiente: serie di pagamenti uniformemente crescente (o decrescente) per t periodi di interessi
Può essere espresso come G, 2G, ….. (n-1)G
dove
G = variazione annuale o gradiente
t = numero degli anni
Dato che R è legato ad M dal fattore delle rate di ammortamento di una serie di pagamenti uguali
R = M { i / [(1 + i)t - 1]}
Da cui
M = R [(1 + i)t - 1]/i
(*)
Per ogni singolo pagamento della serie di gradienti vale la seguente relazione:
M = G[(1+i)t-1-1]/i + G[(1+i)t-2-1]/i + ….. + G[(1+i) 2-1]/i + G[(1+i) -1]/i
Risolvendo
M = G/i [(1+i)t-1 + (1+i)t-2 + ….. + (1+i) 2 + (1+i) –(t – 1)]
M = G/i [(1+i)t-1 + (1+i)t-2 + ….. + (1+i) 2 + (1+i) + 1)] – tG/i
è riconoscibile il fattore di capitalizzazione composta [(1 + i)t - 1]/i
M = G/i [(1+i)t-1]/i – tG/i
Sostituendo la (*) ad M si ha:
R = {G/i [(1+i)t-1]/i – tG/i} { i / [(1 + i)t - 1]}
R = G/i – tG/[(1 + i)t - 1]
R = G {1/i – t/[(1 + i)t - 1]}
Prima Rata R annuale di una serie uniformemente crescente (o
decrescente) necessaria per rimborsare il capitale C
45
Tassi di interesse nominali ed effettivi
Il periodo di capitalizzazione può essere diverso dall’anno.
Il tasso di interesse nominale è espresso su base annuale e viene determinato
moltiplicando il tasso di interesse reale o effettivo tante volte quanti sono i periodi di
interesse di un anno (tie=3% semestralmente; tin=6% all’anno composto semestr.)
Quando gli interessi maturano p volte nel corso dell’anno si ha:
M = C (1 + ip)pt (*)
p = periodo o frazione dell’anno
ip = tasso d’interesse effettivo relativo al periodo p di capitalizzazione
Da tale relazione è possibile individuare il corrispondente tasso d’interesse equivalente
o effettivo annuale (tasso di interesse nominale i espresso su base annuale).
Infatti assunta la relazione: M = C (1 + i)t (**)
Uguagliando i secondi membri della (*) e della (**) si ha
C(1 + i)t = C(1 + ip)pt
Risolvendo e ponendo tutto sotto radice t-esima
i = (1 + ip)p - 1
conversione del tasso frazionato ip al tasso annuale i
ip = (1 + i)1/p - 1
46
Tassi di interesse nominali ed effettivi
Assumendo poi che in o tasso d’interesse nominale
convertibile annuo (ottenuto dalla moltiplicazione del tasso
effettivo di periodo per il numero dei periodi d’interesse di un
anno) sia dato dalla seguente relazione:
conversione
in = p ip
ip = in/p
e dalla i = (1 +
ip)p
Si ottiene:
i = (1 + in/p)p – 1
-1
del tasso
frazionato ip
al tasso
annuale i
conversione del tasso nominale
annuo in al tasso annuale i
e
in = [(1 + i)1/p – 1]p
Se p =1
in = ip = i
47
Tassi di interesse nominali ed effettivi
Date le seguenti relazioni
M = C (1 + ip)pt
M = C (1 + if)ft
Dove:
p = periodo o frazione dell’anno
f = periodo o frazione dell’anno diverso da p
ip = tasso d’interesse effettivo relativo al periodo p di capitalizzazione
if = tasso d’interesse effettivo relativo al periodo f di capitalizzazione
si ha
(1 + if)ft = (1 + ip)pt
Ponendo tutto sotto radice t-esima e risolvendo
ip = (1 + if)f/p - 1
conversione del tasso frazionato if al tasso
frazionato ip
da cui
ip = (1 + in/f)f/p – 1
conversione del tasso nominale convertibile in composto
con il fattore f al tasso frazionato ip
48
Tassi di interesse nominali ed effettivi
Tasso di interesse effettivo annuale
10,6000%
10,5000%
10,4000%
10,3000%
10,2000%
10,1000%
10,0000%
9,9000%
9,8000%
9,7000%
1
2
3
4
6
12
52
365

49
Tassi di interesse nominali ed effettivi
in/p
p
Frequenza della
composizione
n° periodi Tasso di interesse
in un anno effetivo per periodo
i = (1 + in/p)p - 1
Tasso di interesse
effettivo annuale
annuale
1
10,0000%
10,0000%
semestrale
2
5,0000%
10,2500%
quadrimestrale
3
3,3333%
10,3370%
trimestrale
4
2,5000%
10,3813%
bimestrale
6
1,6667%
10,4260%
mensile
12
0,8333%
10,4713%
settimanale
52
0,1923%
10,5065%
quotidiana
365
0,0274%
10,5156%

0,0000%
10,5171%
continua
i  e in  1
50
Capitalizzazione continua
Si consideri un tasso nominale annuale r, e si supponga di suddividere l'anno in n periodi, al
termine di ciascuno dei quali viene corrisposta una frazione dell'interesse relativo all'intero
anno pari a r che viene immediatamente reinvestita.
n
A partire da un capitale iniziale C il montante al termine di t anni sarà allora:
nt
 r
M  C 1  
 n
Passando al limite per n che tende a infinito, si ha il caso in cui un flusso continuo di
pagamenti viene reinvestito in maniera continua; è il caso in cui gli interessi vengono
capitalizzati un numero infinito di volte in un anno cioè continuamente; il montante sarà
dato da:
tr
nt
 r  n r 
 r
M  lim C 1    lim C 1   
n 
n 
 n
 n  
Essendo
 r
lim 1  
n 
 n
n r
e
Dove:
e = numero di Nepero (2,71828182845904523536……..)
Sostituendo si ha:
M  Cetr
e
C  Me  tr
51
Capitalizzazione continua
Per il calcolo del tasso di interesse i nel caso di capitalizzazione continua,
partendo dalla relazione (vd slide 47 con r tasso nominale annuale)
n
 r
i  1    1
 n
Passando al limite per n che tende a infinito, il tasso di interesse sarà dato
da:
r
 r  n r 
 r
i  lim 1    1  lim 1     1
n 
n 
 n
 n  
n
E quindi:
i  er 1
r = tasso nominale annuale
52
Capitalizzazione continua
C=
i=
t
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
100
10%
M = C (1 + i t)
102,00
104,00
106,00
108,00
110,00
112,00
114,00
116,00
118,00
120,00
122,00
124,00
M = C (1 + i)t
101,92
103,89
105,89
107,92
110,00
112,12
114,27
116,47
118,72
121,00
123,33
125,70
 composta su semplice
(0,08)
(0,11)
(0,11)
(0,08)
0,00
0,12
0,27
0,47
0,72
1,00
1,33
1,70
M = C etr
102,02
104,08
106,18
108,33
110,52
112,75
115,03
117,35
119,72
122,14
124,61
127,12
 continua su composta
0,10
0,20
0,30
0,41
0,52
0,63
0,75
0,88
1,01
1,14
1,28
1,42
53
Fattore di capitalizzazione continua
di una serie di pagamenti uguali
M = R + Rer1 + ……… + Rer(t-2) + Rer(t-1)
r = tasso nominale annuale
Moltiplicando tutto per er, sottraendo l’equazione
originaria alla seconda e risolvendo si ha:
M = R (etr – 1)/(er – 1)
montante di una
serie di pagamenti
uguali con
capitalizzazione
continua
54
Fattore delle rate di ammortamento
per una serie di pagamenti uguali
R = M (er – 1)/(etr – 1)
Rate annuali necessarie
per formare una
somma futura con
capitalizzazione
continua degli interessi
55
Fattore di recupero del capitale
per una serie di pagamenti uguali
Dato che R è legato ad M dal fattore delle rate di ammortamento di
una serie di pagamenti uguali
R = M (er – 1)/(etr – 1)
e che M è legato a C dal fattore di capitalizzazione continua per un
singolo pagamento
M = C etr
sostituendo
R = C etr (er – 1)/(etr – 1)
e semplificando l’espressione si ottiene il valore delle:
R = C (er – 1)/(1 – e-tr)
Rate annuali necessarie per
rimborsare il capitale C con
capitalizzazione continua
degli interessi
r = tasso nominale annuale
56
Fattore di attualizzazione continua
di una serie di pagamenti uguali
Dal fattore di recupero del capitale di una serie
di pagamenti uguali, che fornisce il valore di
R = C (er – 1)/(1 – e-tr)
si ottiene il capitale C nel caso di
capitalizzazione continua:
C = R (1 – e-tr)/(er – 1)
valore attuale
di una serie
di pagamenti
uguali R futuri
r = tasso nominale annuale
57
Riepilogo formule
natura dei pagamenti, computazione interessi
Interesse semplice
Interesse composto
Interesse
I=Cit
I = C[(1 + i) t - 1]
Montante
M = C (1 + it)
M = C (1 + i)
Valore attuale
C = M / (1 + it)
Tasso di interesse
Tempo
Interesse composto infrannuale
pt
I = C [(1 + i p )
-1]
Interesse continuo
I = C (e tr - 1)
M = C (1 + i p ) pt
M = Ce
C = M / (1 + i) t
C = M / (1 + i p ) pt
C = M / e tr
i = I/Ct
i 
t
i
r  ln(M / C) / t
t = I/Ci
t 
log
t
M /C 1
(1  i )
(M / C )
t 
pt
M /C 1
log
(1  i p )
(M / C )
conversione del tasso frazionato i p al tasso annuale i
i = (1 + i p ) p - 1
conversione del tasso annuale i la tasso frazionato i p
i p = (1 + i) 1/p - 1
conversione del tasso nominale convertibile r o i n al tasso annuale i
i = (1 + i n /p) p – 1
conversione del tasso annuale i al tasso nominale convertibile i n
i n = [(1 + i)
1/p
– 1]p
conversione del tasso frazionato i f al tasso frazionato ip
i p = (1 + i f )
f/p
-1
conversione del tasso frazionato i p al tasso frazionato if
i p = (1 + i n /f)
f/p
t  ln(M / C) / r
i = er - 1
–1
Interesse composto di una serie di pagamenti uguali
t
tr
Interesse continuo di una serie di
pagamenti uguali
tr
r
Montante di una rendita posticipata
M = R [(1 + i) - 1]/i
M = (e
Rate annuali necessarie per formare una somma futura
R = M { i / [(1 + i) t - 1]}
R = M (e r – 1)/(e tr – 1)
Rate annuali necessarie per rimborsare un capitale
R = C { i (1 + i) t / [(1 + i) t - 1]}
R = C (e r – 1)/(1 – e -tr )
Valore attuale di una rendita posticipata
C = R {[(1 + i) t - 1] / i (1 + i) t }
C = R (1 – e -tr )/ (e r – 1)
- 1)/(e - 1)
58