Risultante e momento risultante di un insieme di vettori applicati
dato un insieme di vettori a1, a2, ….. an applicati ai punti P1, P2 ,… Pn
dello spazio si definisce vettore risultante o “risultante”
n
  

R = a1 + a2 + .... an ossia
i
i =1


R = ∑a

M1
si definisce ’’momento (polare) risultante’’ degli
n vettori rispetto al polo O

   
 
M O = r1 × a1 + r2 × a2 + .... rn × an
ossia
n 


M=
∑ ri × ai
O
i =1
O

a2

r2
P2

MO

 a1
r1
.
P1
M2
il momento risultante degli n vettori dipende dalla scelta del polo
rispetto al polo O’ si avra’
n 


'
=
M
∑ ri × ai
O'
i =1
n 


 n  
'
M O' − M O =
∑ ri × ai − ∑ ri × ai

r2 '
=i 1 =i 1
'   
∑ (ri × ai − ri × ai )
n
i =1
O’

MO'

a2

M1 '
P2

r1 '

a1
.
P1

M2 '
sfruttando la proprieta’ distributiva del prodotto vettoriale
      
a × (b + c ) = a × b + a × c
' 

= ∑ (ri − ri ) × ai

r2
si ha che
'

=∑ ∆rO 'O × ai

r2 '
i =1

a2
' 
(r2 − r2 )
P2

r2 '

−r2
O
' 
(r1 − r1 )

−r1
i =1
n
n
i =1
'   
∑ (ri × ai − ri × ai ) =
n

r1

r1 '
O’

r1 '
 
r2 a

1
r1
.P
1
n 

'
'
'

∆rO 'O × R
∆rO 'O × ∑ ai =
∑ ∆rO 'O × ai =
n
ma
i =1
i =1
in conclusione:
ovvero



'
∆rO 'O × R
M O' − M O =



'
M=
M
+
∆
r
×
R
O'
O
O 'O
 il momento risultante non dipendera’ dalla scelta del polo
solo nel caso che si annulli la risultate degli n vettori
Es. “coppia di forze’’: insieme di due forze di uguale modulo e direzione ma
di verso opposto tra loro agenti su rette parallele distanziate del tratto AB


F2 = − F1


F=
F=
F
2
1

MR
momento della coppia di forze rispetto ad un polo O

  
 
M 1= r1 × F1 M 2= r2 × F2



   
M=
M 1 + M 2 =r1 × F1 + r2 × F2
R

M1
P2

F2

M2
B

r2
O

M1

r1
P1

F1
A

r1=
senϑ1 F OA F=
M 2 r2=
senϑ2 F2 OB F

M R = OA F + OB F = (OA + OB )F
= ABF
momento di una coppia di forze rispetto al polo O’

MR '

MR ' = O' A F + O'B F =
= (O ' A +O ' B )F
= ABF

r1'
B
P2

F2
'
r2
O’
A P1

F1
Insiemi equivalenti di vettori applicati
due insiemi di vettori applicati che abbiano la stessa risultante
e uguale momento (polare) risultante rispetto allo stesso polo
sono detti “ equivalenti ”

MO
 primo caso particolare :
n vettori applicati nel medesimo punto di

M1
applicazione P
scelto un polo O il momento risultante e’:
n 


M=
∑ ri × ai
O
i =1
ma se P e’ lo stesso
O
 
 
r1= r2= ...= rn ≡ r
i =1

M2 
a1
.

r
P

MO
quindi
n 

  n   
M=
∑ r × ai = r × ∑ ai = r × R
O
i =1

a2

a2
O

r
.

R
P

a1
in conclusione:
un insieme di n vettori applicati nel medesimo punto dello spazio e’ equivalente
ad avere un solo vettore, la risultante R degli n vettori , applicata in P
secondo caso particolare :
se gli n vettori sono equiversi e paralleli, scelto O come polo il momento risultante sara’
n 





M=
∑ ri × ai = M 1 + M 2 + .... + M n
O
i =1
detto û il versore che identifica la direzione comune degli n vettori

R = Ruˆ

ai = ai uˆ
n
dove ai e R sono i moduli dei vettori e della risultante R = ∑ ai
n 
n
n




M=
ai uˆ ∑=
ai ri × uˆ  ∑ ai ri
∑ ri ×=
O
i =1
i =1
 i =1
 × uˆ

1

R
 
ˆ
×
a
r
u
=
∑ ai ri
∑
i
i



R  i =1
R  i =1

n

∑ ai ri

R  i =1
1
n
n
 × R
se si pone

i =1

M3

M2
moltiplicando e dividendo per il modulo della
risultante ossia per lo scalare R

MO

MO

M4

a1

M2
M
3

M
4
M
M1
 × Ruˆ


r1
1
O
 1

rC = ∑ ai ri
R i =1
n

r2
û
P1

r3
P2

r4

a3

a2
P3

a4
P4
il momento risultante si potra’ scrivere come

 
M O= rC × R
dove rc e’
il vettore che collega il polo O ad un punto C detto centro dei vettori paralleli
punto in cui si puo’ pensare sia applicata la risultante degli n vettori

MO
in conclusione :
un insieme di vettori equiversi e paralleli

R
applicati in punti diversi dello spazio
e’ equivalente ad un singolo vettore,

la risultante R degli n vettori,
applicata nel centro dei vettori paralleli
O

rC
C
û
il centro dei vettori paralleli esiste:
• sempre se i vettori sono paralleli ed equiversi
• se i vettori sono paralleli ma non equiversi, il centro dei vettori paralleli
esiste a patto che la risultante non sia nulla
viceversa non esiste un unico vettore equivalente ad un insieme di
vettori applicati se i vettori non sono tutti paralleli tra loro
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