La geometria: un lungo percorso
Quale geometria nella scuola italiana?
Un duplice ruolo
• Geometria come strumento fondamentale
per organizzare la conoscenza della realtà
• è la scienza che ci permette di strutturare la
nostra esperienza dello spazio (forme,
relazioni tra oggetti, misure....)
ma anche:
• Il modello per eccellenza di organizzazione
razionale di un corpus di conoscenze
da sempre la geometria euclidea è la palestra
in cui si allenano le menti dei giovani nella
civilità occidentale
• ci aspettiamo quindi che
la geometria dia strumenti,
e che la geometria formi il pensiero
La geometria nella scuola
superiore
Nei programmi (e nella prassi) attuali, la Geometria è presente
sostanzialmente con tre grossi nuclei:
• a) la geometria euclidea, talvolta collegata o affiancata dalla
geometria delle trasformazioni
• b) la geometria analitica
• c) la trigonometria.
Sopravvivono inoltre alcuni “fossili” come la geometria dei solidi
dell’ex Istituto Magistrale.
Manca lo spazio....
• La geometria euclidea di fatto rappresenta un modo per sviluppare
una teoria (esemplare) strutturata in modo logico-deduttivo: il suo
scopo non è dunque direttamente quello di educare al pensiero
geometrico e di sviluppare la capacità di conoscere lo spazio e operare
in esso, quanto quello di educare al pensiero logico.
• La geometria analitica, per contro, fondamentalmente punta
all’analisi matematica: l’aspetto geometrico è presente solo come
strumento di visualizzazione.
• La trigonometria così come viene presentata nei libri raggiunge
livelli di tecnicismo di calcolo paurosi, con scarsi riferimenti alle
motivazioni della disciplina.
• In conclusione, sembra di poter dire che “il pensiero spaziale” è quasi
completamente assente nel panorama della scuola secondaria italiana;
non vengono sviluppate specifiche abilità spaziali (quello che viene
esercitato, di fatto, è la logica o il calcolo).
Nelle scuole medie, di fatto
La situazione è piuttosto di confusione. I libri comprendono molti
capitoli di geometria, concentrati soprattutto su due nuclei:
• misurazione di aree e poligoni,
• trasformazioni geometriche,
con qualche accenno al calcolo dei volumi.
Gli argomenti di geometria sono in genere scollegati tra di loro e con il
resto del curricolo (chi ha mai risolto un problema di calcolo di aree
utilizzando considerazioni sulle simmetrie o le trasformazioni
geoemtriche?); gli esercizi sono soprattutto esercizi di calcolo in
contesto geometrico piuttosto che veri “problemi geometrici”.
Gli obiettivi
• Come sempre, occorre partire dagli
obiettivi.
• Perché insegnare la geometria?
• a) E’ importante per la formazione del cittadino. E questo
almeno per tre ordini di motivi:
• a.1) permette di organizzare la nostra visione dello spazio e
il nostro modo di agire nello spazio
• a.2) fornisce una strada per l’apprendimento del
ragionamento, prima e più rapidamente di altre discipline
• a.3) ha una ruolo negli ambiti culturale ed estetico della
nostra società
•
b) E’ cruciale nella formazione dei quadri tecnici e
scientifici
Due tipologie di studenti
• Dunque dobbiamo pensare ad un
insegnamento della geometria che si rivolga
sia a chi continuerà gli studi (in particolare
quello tecnico-scientifici) che al cittadino
comune.
Vedere lo spazio, organizzare lo spazio,
muoversi nello spazio
• a) La capacità di leggere e orgamizzare
razionalmente lo spazio è sicuramente la parte
della geometria più trascurata nella scuola italiani
di oggi, in tutti gli ordini scolastici. Come invertire
la tendenza e svilupparla in maniera organica?
• Queste capacità si intrecciano con altre nozioni
matematiche, come quella di scala, e con l’uso
opportuno di strumenti di calcolo che vengonno
appresi solo col procedere negli studi (alcuni solo
nella scuola superiore).
• Occorre prevedere nella scuola di base dello
spazio per la costruzione di abilità quali
leggere e costuire mappe, rappresentare sul
piano oggetti tridimensionali, calcolare
distanze,
eventualmente
utilizzando
adeguati software (tipo CAD).
Imparare a ragionare
• perchè da 2500 anni si impara a ragionare
lavorando sulla geometria di Euclide?
E’ vero che in tutti i rami della matematica facciamo
dimostrazioni, e anche in altre discipline; però la geometria
ci permette due cose:
• i) di farlo in maniera sistematica
• ii) di unire il ragionamento, l’intuizione e la capacità di
costruzione, collegandoli materialmente attraverso le
“figure”.
• Vale la pena di sottolineare che il
ragionamento geometrico non si riduce, in
generale, all’apprendimento meccanico
delle dimostrazioni e dei loro passaggi
logici. Coinvolge l’intuizione, la capacità di
muovere mentalmente le figure, la
costruzione di elementi nelle figure; porta a
confrontare continuamente gli oggetti
mentali con le loro rappresentazioni
La geometria analitica
• Sembra importante introdurre l’idea di
piano cartesiano prima possibile
• e ridurre i tecnicismi della geometria
analitica delle superiori
Le Raccomandazioni per la geometria
(riforma Moratti)
• “Questo tema costituisce un ambito
particolarmente privilegiato di riflessione e
razionalizzazione, svolto a partire dalle
esperienze spaziali che sono componente
essenziale della nostra percezione fisica”
• E’ davvero così nella nostra scuola?
Un cammino in tre tappe: 1
“ Il processo di “evoluzione continua” dal concreto all’astratto
... si arricchisce, nel caso della Geometria, di ulteriori
esempi e specificazioni. Nella prospettiva di tale evoluzione
l’insegnante curerà prima di tutto, attraverso molteplici
esempi, l’osservazione e manipolazione di oggetti fisici
opportuni, che con il loro aspetto possono ispirare
l’intuizione successiva di specifici enti geometrici.”
Un cammino in tre tappe:2
“Con un ulteriore processo di astrazione e
generalizzazione si potrà poi passare dagli oggetti
fisici concreti ad una loro modellizzazione
schematica astratta, che rappresenta una prima
forma di razionalizzazione: sono tali le
rappresentazioni grafiche del disegno o la
costruzione materiale di modellini concreti. Si
giunge in tal modo alla intuizione dell’idea di
figura geometrica.”
La terza tappa, nella scuola media
“Il passo successivo si realizzerà poi (alla fine della Scuola
Primaria e nella successiva Scuola Secondaria di I grado)
raggiungendo la definizione razionale, astratta e rigorosa, di
figura geometrica. Questa si fonda sulla caratterizzazione
razionale dell’oggetto geometrico indagato, basata su certe
sue opportune proprietà rigorosamente individuate.”
Un commento
• A fronte di questo cammino molto chiaro,
un insieme di contenuti ancora molto
frammentario
I contenuti dei programmi
Le Figure Piane:
(biennio)
•
• Ripresa complessiva della Geometria solida e piana della Scuola
Primaria.
• Approfondimento dell’analisi delle figure piane
• Elementi significativi e proprietà caratteristiche di triangoli e di
quadrilateri.
• Poligoni concavi e convessi.
• Poligoni regolari, cerchio e circonferenza.
• Classificare figure solide e piane: classificarle in base a diversi tipi di
proprietà.
•
•
•
Le trasformazioni geometriche: il concetto di “uguale rispetto a” e di
invariante.
Nozione intuitiva di trasformazione geometrica.
Le isometrie: traslazioni, rotazioni, simmetrie.
•
Analisi in contesti concreti di trasformazioni non isometriche
.
• Esplorare figure per riconoscere invarianti rispetto a trasformazioni
geometriche assegnate.
• Riconoscere trasformazioni isometriche di figure date.
• Individuare, tramite modelli materiali, gli elementi caratterizzanti le
isometrie.
• Costruire figure isometriche secondo richiesta.
Utilizzare le trasformazioni per osservare, classificare ed argomentare
proprietà delle figure
Misure:
• Rapporti tra grandezze geometriche
• Concetto di contorno e di superficie.
• Calcolo di perimetri ed aree di alcune figure piane.
• Riconoscere grandezze proporzionali in vari
contesti; riprodurre in scala.
Calcolare aree e perimetri di figure piane relative a
contesti concreti e anche come parti di solidi.
Alcuni classici
La similitudine
Teoremi di Pitagora e di Euclide.
• Riconoscere figure simili in vari contesti.
• Identificare
gli
invarianti
di
una
similitudine.
• Costruire figure simili dato il rapporto di
similitudine.
• Introduzione al concetto di sistema di
riferimento: le coordinate cartesiane, il
piano cartesiano.
• Rappresentare sul piano cartesiano punti,
segmenti, figure.
• Rappresentare sul piano cartesiano alcune
relazioni direttamente ed inversamente
proporzionali.
Le grandezze geometriche.
Il sistema internazionale di misura
Misurare grandezze geometriche.
Esprimere, rappresentare ed interpretare i
risultati di misure di grandezze.
Valutare la significatività delle cifre del
risultato di una data misura
Per la terza: competenze
• Composizione di isometrie.
• Problemi di misura: la lunghezza della
circonferenza e l’area del cerchio.
• Significato di  e cenni storici ad esso
relativi.
• Ripresa dei solidi e calcolo dei volumi dei
principali solidi ( cubo, parallelepipedo,
piramide, cono, cilindro, sfera).
Per la terza: abilità
• Risolvere semplici problemi sul calcolo di
superfici e di volumi di figure piane o
solide.
Risolvere problemi usando proprietà
geometriche delle figure anche ricorrendo a
modelli materiali e a semplici deduzioni
• Calcolare lunghezze di circonferenze, e aree
di cerchi