La parabola
Definizione
Conica definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco
(F), e da una retta fissata, detta direttrice (d). La parabola è una conica simmetrica
rispetto ad un asse (asse di simmetria), passante per il punto di minimo (o
massimo) assoluti, detto vertice (V). Noi studieremo solamente un caso
particolare, nel quale tutte le parabole del piano hanno l’asse di simmetria
parallelo all’asse Y. Sotto questa assunzione, qualsiasi parabola è definita con
un’equazione generica di secondo grado: y = ax 2 + bx + c .
I parametri e le condizioni
L’equazione dipende da 3 parametri essenziali ( a, b, c ); da ciò si deduce che per
ricavare un’equazione di una determinata parabola occorre conoscere tutti e tre i
parametri, e questo si ottiene con tre condizioni.
In questo caso e nel caso generico di ogni curva, compresa la retta, il numero di
parametri essenziali identifica il numero di condizioni da imporre per trovare
l’equazione particolare.
Torniamo per un momento al caso della retta. Ricordiamo che l’equazione
implicita è: ax + by + c = 0 . Questa equazione ha 3 parametri ma non sono tutti
essenziali. Modificandola e ricavando y si trova infatti l’equazione esplicita:
y = mx + q . Questa dipende da 2 parametri ed in effetti, per trovare una qualsiasi
retta occorre imporre sempre 2 condizioni: il passaggio per due punti o il
passaggio per un punto (fascio) ed una condizione di parallelismo o
perpendicolarità ad un’altra retta, e così via. Abbiamo un’ulteriore prova che il
numero di parametri identifica il numero di condizioni da porre per trovare
l’equazione particolare. Questo è un risultato molto importante quando andiamo a
risolvere gli esercizi.
Proprietà e forme particolari
Contrariamente alla retta, non possiamo scrivere un’equazione esplicita che ci
indichi in modo diretto alcune proprietà della parabola che abbiamo di fronte,
tuttavia possiamo vedere alcuni casi particolari.
- Il parametro c rappresenta l’intercetta, ovvero l’intersezione della parabola
con l’asse Y P (0; c) . Se c = 0 Î y = ax 2 + bx , la parabola passa per
l’origine.
- Equazione di una parabola con vertice nell’origine: y = ax 2 . L’asse di
simmetria coincide con l’asse Y
-
Nell’equazione y = ax 2 + bx + c , se a > 0 la parabola ha concavità verso
l’alto. Se a < 0 la concavità è verso il basso.
Equazioni e relazioni
Ogni parabola possiede un fuoco (F), esterno alla conica, un asse di simmetria con
equazione del tipo x = k , un vertice (V) appartenente alla conica ed una direttrice,
cioè una retta esterna alla conica, parallela all’asse x, di equazione y = h .
Vediamo le coordinate e le equazioni di questi elementi caratterizzanti:
 b b 2 − 4ac   b
∆
 =  − ;− 
1) Vertice. Punto di coordinate: V =  − ;−
4a   2a 4a 
 2a
 b 1 b 2 − 4ac   b 1 − ∆ 
 = − ;
2) Fuoco:Î F =  − ;
−

4a   2a 4a 
 2a 4a
 1 b 2 − 4ac   1 + ∆ 
 = −
3) Direttrice. Retta di equazione: y =  − ;−

4a   4a 
 4a
4) Asse di simmetria. Retta di equazione: x = −
b
2a
Posizioni reciproche tra retta e parabola
Una retta ed una parabola possono avere 3 posizioni reciproche. La retta può
essere secante, cioè intersecare la parabola in 2 punti, tangente, quando il punto di
intersezione è unico, o esterna.
In generale, quando occorre trovare i punti di intersezione tra due curve bisogna
impostare un sistema con le loro equazioni e trovare le eventuali soluzioni.
Con la retta non abbiamo avuto alcun problema risolvendo un semplice sistema
lineare. L’intersezione tra una retta ed una parabola da vita sempre ad un sistema
di secondo grado, la cui risoluzione è leggermente più complicata e richiede
qualche spiegazione aggiuntiva.
Lo studio della posizione reciproca tra retta e parabola deve essere condotto
 y = ax 2 + bx + c
. Ogni sistema di
attraverso lo studio del sistema generico: 
 y = mx + q
secondo grado si risolve facilmente tramite il metodo della sostituzione,
sostituendo l’equazione di primo grado in quella di secondo:
ax 2 + (b − m) x + c − q = 0 . A questo punto si applica la formula di risoluzione di
un’equazione di secondo grado, e a seconda del discriminante ( ∆ ) abbiamo 3
possibili casi:
1) ∆ > 0 : l’equazione ha due soluzioni reali e distinte. Ognuna di esse,
sostituite nell’equazione di primo grado, risolve il sistema, che ha quindi
due soluzioni, cioè due coppie di punti: P ( x0 ; y 0 ) e Q ( x1 ; y1 ) . La retta è
secante
2) ∆ = 0 : l’equazione di secondo grado ha due soluzioni coincidenti. La
condizione geometrica che corrisponde alla coincidenza di due punti è la
tangenza. Il sistema ha due soluzioni coincidenti, quindi in realtà il punto
trovato è unico: P ( x0 ; y 0 )
3) ∆ < 0 : l’equazione di secondo grado non ha soluzioni nel campo reale, e
di conseguenza neanche il sistema. La retta è esterna alla parabola.
Equazioni e condizioni
1) tangente alla parabola. Per trovare la tangente ad una parabola, condotta
per un punto non interno alla concavità (altrimenti non esiste!) si
costruisce un sistema formato dall’equazione della parabola e da quella di
un fascio di rette proprio passante per un punto P qualsiasi:
 y = ax 2 + bx + c
. Il sistema apparentemente non è risolvibile poiché

y
y
m
(
x
x
)
−
=
−
1
1

contiene tre incognite (x, y, m), ma a noi non interessa la sua risoluzione,
almeno per ora. Al momento interessa trovare solamente l’equazione della
retta tangente. Per determinare ogni retta abbiamo bisogno di due
condizioni; una, il passaggio per un punto ce l’abbiamo, occorre trovare
l’altra, quella di tangenza. La condizione di tangenza è che il discriminante
dell’equazione di secondo grado nella quale è stata sostituita quella della
ax 2 + (b − m) x + c − q = 0
Î
retta,
sia
nullo:
2
∆ = 0 Î ∆ = (b − m) − 4a (c − q) = 0 . Da questa equazione si ricava m e
lo si sostituisce nell’equazione del fascio di rette.
2) Se il punto P appartiene alla parabola, l’equazione della tangente per
tale punto si scrive mediante la formula di sdoppiamento:
y − y0
x + x0
= axx0 + b
+c
2
2
3) Condizioni. Vediamo alcune situazioni frequenti negli esercizi che
permettono di ricavare l’equazione di una parabola.
a. Passaggio per tre punti
b. Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco. A prima vista
queste sono solo due condizioni, ma dai un’occhiata alle coordinate
e capirai che le condizioni sono 3
c. Conoscenza del vertice e passaggio per un punto
d. Coordinate del vertice ed equazione della direttrice
e. Passaggio per due punti e tangenza ad una retta
f. Equazione dell’asse, della direttrice e passaggio per un punto.
4) Fasci di parabole. Un fascio di parabole si ottiene combinando
linearmente le equazioni di due parabole, dette generatrici. Siano
p1: y = ax 2 + bx + c e p2: y = a ' x 2 + b' x + c' due parabole. Portiamo tutto
a primo membro: y − ax 2 − bx − c = 0 e y − a ' x 2 − b' x − c' = 0 .
L’equazione
del
fascio
da
esse
generato
è:
2
2
y − ax − bx − c + t ( y − a' x − b' x − c' ) = 0 . Se t ≠ −1 l’equazione si può
a + a' t 2 b + tb'
c + tc'
a
l’equazione
scrivere: y =
. Se t ≠ −
x +
x+
a'
1+ t
1+ t
1+ t
rappresenta una parabola. A questo insieme occorre aggiungere la parabola
a'
p2 per ottenere la totalità delle rette del fascio. Se t = − l’equazione del
a
fascio degenera in una retta, che rappresenta la parabola degenere del
b + tb'
c + tc'
x+
. Definiamo punti base gli eventuali punti di
fascio: y =
1+ t
1+ t
intersezione del fascio di parabole. Essi si ottengono intersecando le due
2
 y − ax − bx − c = 0
. Un fascio di parabole non è
parabole generatrici: 
 y − a ' x 2 − b' x − c' = 0
necessariamente individuato solamente da due parabole generatrici, ma
anche:
a. Fascio di parabole per due punti distinti A( x A ; x B ) e B ( y A ; y B ) e la
retta passante per essi, di equazione y = mx + q . L’equazione del
fascio di parabole è: y = mx + q + k ( x − x A )( x − x B ) .
b. Fasci di parabole tutti tangenti in un punto T ad una retta di
equazione y = mx + q , passante per P( x0 , y 0 ) . L’equazione del
fascio tangente al punto T ( xT , yT ) è y = mx + q + k ( x − xT )