Università de L’AQUILA
CORSO DI MICROZONAZIONE SISMICA
Simulazioni numeriche per valutare l’ amplificazione locale
Metodi di calcolo 2D
 Metodo degli elementi finiti (QUAD4,FLUSH, PLUSH)

Metodo degli elementi di contorno (BESOIL).
Influenza dei parametri più significativi
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
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Schemi 2D
Tito Sanò
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V1 sen( 1 )

V2 sen( 2 )
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3
Vp
Vs

sen( p ) sen( s )
Tito Sanò
sen( p ) 
Le analisi numeriche per la
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Vp
Vs
 sen( s )
4
Influenza dell’angolo di incidenza
Tito Sanò
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EQUAZIONI DELLE ONDE
• -le equazioni di equilibrio:
ij , i  fj  u
j
•
(1)
• -La legge di Hooke= relazioni di elasticità per un corpo
omogeneo ed isotropico:
ij    kk  ij  2     ij
•
(2)
• -Congruenza:
1
•
(3)
 ij  ( ui , j  u j , i )
2
• Esprimendo tutto in funzione degli spostamenti:
• (   )ui , ij    uj , ii    uj   fi
(4)
•
(5)
  f
L(u)    u
• Le (5) sono le equazioni di equilibrio o equazioni delle
onde (con f=0)
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Metodo degli elementi finiti
  f
L(u)    u
• Il corpo è suddiviso in elementi finiti (di volume, di superficie, di trave),
identificati da nodi.
• Si esprimono gli spostamenti (o tensioni) come funzioni arbitrarie, ma
che rispettano le condizioni al contorno e di continuità tra elemento ed
elemento, e che sono definite a meno di parametri incogniti.
• Si scelgono gli spostamenti ai nodi come parametri incogniti
• Si impone che le funzioni arbitrarie scelte soddisfino le equazioni di
equilibrio (mediante il principio dei lavori virtuali per esempio)
• In tal maniera le equazioni differenziali di equilibrio si trasformano in un
sistema di equazioni algebriche con incognite gli spostamenti ai nodi.
• Una volta noti gli spostamenti dei nodi, è noto lo spostamento in
qualsiasi punto e quindi anche le tensioni.
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QUAD4
-Metodo degli elementi finiti,
-Lavora nel “campo del tempo”,
-Esegue un’analisi pseudo-nonlineare,
-Considera solo onde P-SV e input formato da
onde sismiche S incidenti verticalmente
Vantaggi:
-Può tener conto della variabilità delle
caratteristiche meccaniche del terreno
sia in senso verticale, sia orizzontale
-Velocità di analisi
Svantaggi:
-Difficoltà di descrizione della geometria
-Grosse approssimazioni:
Tutti i nodi del contorno si muovono simultaneamente e quindi è
adeguato solo quando la roccia di base è infinitamente rigida. Non tiene
conto della radiazione delle onde in senso orizzontale.
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Transmitting boundary
(Lysmer and Kuhlemeyer,1969)
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Metodo degli elementi di contorno
•
•
•
•
Si basa sulla conoscenza di una soluzione delle equazioni del moto, anche se
non rispetta le condizioni al contorno.
L(G(x))+ρω2G(x)=-δj(x-ξ)
Applicando il teorema di Betti, valido per corpi elastici,
 ij , i(r ' )  Gmj(r, r ' )  mij, i(r, r ' )  uj(r ' )  dV '  um(r )
V'
•
Se si applica il teorema di Green, che trasforma l’integrale di volume ad uno di
superficie, si ottiene l’identità di Somigliana:
C  um(r )   Gmi(r , r ' )  ti(r ' )  Tmi(r , r ' )  ui(r ' ) dS '
S'
•
Dopo ulteriori passaggi analitici si arriva al metodo indiretto:
um(r )   i(r ' )  Gmi(r , r ' )  dS '
S'
•
•
Che si presta ad una interpretazione fisica:
φ si possono intendere come delle sorgenti puntiformi.
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Metodo indiretto
Il moto nel terreno può essere
considerato come somma del
moto incidente generato dalla
sorgente sismica e quelli generati
dalle sorgenti puntiformi
distribuite lungo i contorni
U=uo+um dove um è ottenuto
mediante discretizzazione del
contorno in elementi finiti. Le um
sono espresse dalle (1)
um( r )   i ( r' )  Gmi( r , r' )  dS'
S'
(1)
(2)
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Schema di calcolo
di BESOIL
i
• Si dividono le linee di contorno in elementi rettilinei dove si
possono considerare costanti le sorgenti incognite,
• Si discretizzano le equazioni (1) e (2) sostituendo agli integrali
le sommatorie,
• Si impone che ai contorni liberi le forze sulla superficie siano
nulle (per ogni elemento),
• Si impone che ai contorni che separano zone differenti di terreno
siano rispettate le condizioni di continuità degli spostamenti e
delle tensioni,
• Si ottengono quindi un insieme di equazioni algebriche che si
possono risolvere ed ottenere le sorgenti incognite,
• Note le  i è posibile calcolare spostamenti (1) e tensioni (2)
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Vantaggi e svantaggi
VANTAGGI:
•Onde piane provenienti da qualsiasi direzione
•Onde di superficie.
•Carichi sulla superficie
•Terreni non necessariamente stratificati orizzontalmente.
•Topografia qualsiasi.
•Soluzione “esatta”.
•Facile modellazione
SVANTAGGI:
•Caratteristiche del terreno omogenee per aree.
•Analisi lineare. (Difficile effettuare analisi non lineari equivalenti)
•Lungo tempo di calcolo
( Matrici sparse con numeri complessi a doppia precisione).
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VERO- FALSO
Si
•La soluzione delle equazioni del moto nel metodo
degli Elementi Finiti (E.F) si ottiene imponendo che
siano rispettate le condizioni al contorno
□
• Nel metodo degli Elementi Finiti (E.F) e delle
Differenze Finite (D.F.) si impone che i nodi al
contorno dello schema si muovano simultaneamente □
•La condizione di radiazione all’infinito delle onde
riflesse e diffratte viene soddisfatta esattamente nei
metodi degli E.F. e delle D.F.
□
•La soluzione delle equazioni delle onde è approssimata
in tutti i metodi numerici
□
•La maggiore incertezza nel calcolo del moto sismico
sta nella definizione della geometria e delle
caratteristiche meccaniche dei terreni.
□
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No
□
□
□
□
□
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Spettri di risposta a Cesi per un input corrispondente
a M=5.8 D=3 km, simile alla scossa principale
Vs=1200 m/s
Vs=80 m/s
Vs=250 m/s
14
F
12
E
D
Accelerazione (G/10)
H
10
C
8
B
Spettro it. 1a categoria
A
Spettro it. 2a Categoria
6
Villa
4
Input
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Periodo (s)
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