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Oscillazioni ad un grado di libertà
Enzo TONTI
15 dicembre 2005
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Indice
1
Introduzione
1.1 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Il principio di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Oscillazioni libere
2.1 Assenza della forzante . . . . . . .
2.2 Moto armonico semplice . . . . . .
2.3 Moto armonico smorzato . . . . . .
2.3.1 Calcolo delle costanti C ed α
2.3.2 Decremento logaritmico . .
2.3.3 Costante di tempo . . . . .
3
4
3
3
5
8
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10
13
17
21
22
22
Oscillazioni forzate
3.0.4 Oscillazioni forzate senza smorzamento
3.0.5 Oscillazioni forzate e smorzate . . . . .
3.1 Fattore di amplificazione dinamica . . . . . . .
3.2 Risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Banda passante . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31
32
32
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33
33
33
35
36
Complementi
4.1 Programmi in Matlab .
4.2 Relazione di Eulero . .
4.3 Ago di una bilancia . .
4.4 Il diagramma di Fresnel
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Elenco dei simboli e loro nomi
massa
rigidezza della molla
periodo
frequenza
m
k
T
f
r
k
m
c
δ=
= ξω
2m
c
ccr
C
u
u0
φ
α
w
FS = −ku
F D = −cv
F I = −m ü
F(t)
δ
c
ξ= =
ω 2mω
v
z
p
∆ = ξ2 − 1
τ
f0
R
D
β
ω=
pulsazione naturale
costante di smorzamento
coefficiente di smorzamento Rajgeli
coefficiente di smorzamento critico Rajgeli ?
ampiezza
spostamento
spostamento iniziale
fase
fase iniziale
peso
forza statica
forza dissipativa
forza d’inerzia
forza applicata
rapporto di smorzamento
velocità
costante senza nome
costante senza nome
costante di tempo
nome
nome
coefficiente di amplificazione dinamica
nome
nome
2
i
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i
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Capitolo 1
Introduzione
1.1
Oscillazioni
Consideriamo un sistema libero di compiere delle oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio. Questo è il caso di un pendolo o di un corpo che sia attratto verso la posizione di equilibrio con una forza crescente con la distanza
del corpo dalla posizione di equilibrio o di un corpo elastico spostato dalla sua
configurazione di equilibrio.
Supponiamo che questo corpo sia soggetto ad una forza impressa con un assegnato andamento in funzione del tempo, ad esempio una forza sinusoidale:
tale forza si chiamerà forza eccitatrice o semplicemente eccitazione. Il moto
risultante si chiamerà la risposta del sistema alla eccitazione.
O. I due termini “oscillazione” e “vibrazione” sono pressoché sinonimi.
In linea di massima si possono individuare due usi:
• oscillazioni di elevata frequenza e piccola ampiezza si chiamano preferibilmente
vibrazioni [5, p.7]. Cosı̀ una corda di piano o un bicchiere vibrano; lo scafo di
una nave, a causa del motore vibra; il pavimento vibra.
• oscillazioni di bassa frequenza ed elevata ampiezza si chiamano preferibilmente
oscillazioni. Cosı̀ un lampadario oscilla; una nave oscilla attorno all’asse longitudinale (moto di rollio) e attorno all’asse trasversale (moto di beccheggio).
Però quando si tratta di oscillazioni elettromagnetiche che sono di elevata frequenza il
termine usato è oscillazioni.
Il problema fondamentale della teoria delle vibrazioni si può formulare in
questo modo [6, p.20]:
assegnato un sistema fisico suscettibile di vibrare, determinare la
risposta ad una eccitazione che sia una funzione assegnata del tempo.
3
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i
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Nel caso di un sistema deformabile elasticamente, considerato un punto generico del sistema si chiama elongazione del punto il suo spostamento dalla posizione di equilibrio [5, p.11]. Se il sistema compie delle oscillazioni attorno ad
una posizione di equilibrio ciò comporta che una volta spostato dalla posizione di
equilibrio esso venga invitato a ritornarvi. Ogni punto sarà soggetto ad una forza
tanto maggiore quanto maggiore sarà l’elongazione del punto.
Se lo scostamento dalla posizione di equilibrio è “piccolo” si constata che la
forza è, con ottima approssimazione, proporzionale all’elongazione del punto ed
ha senso opposto ad esso. Si dice che la la forza di richiamo è elastica, vale a
dire è proporzionale all’elongazione. In questo caso il moto che ne risulta si dice
armonico. Dal momento che la forza è proporzionale all’accelerazione ne viene
che anche l’accelerazione è proporzionale allo spostamento ed ha segno opposto.
Si vede facilmente che il moto è descritto dall’equazione1
u(t) = A sin(ω t + α)
(1.1)
{HS31}
(1.2)
{HR52}
Infatti l’accelerazione è data da
a(t) = ü(t) = −A ω2 sin(ω t + α) = −ω2 u(t)
e quindi è proporzionale all’elongazione ed è opposta ad esso. Il grafico di tale
moto è rappresentato in Fig.(2.10). La costante ω si chiama pulsazione, la costante A si chiama ampiezza e la costante α si chiama fase iniziale. L’argomento
della funzione seno, ovvero ω t + α si chiama fase.
Un moto armonico è periodico, vale a dire il punto torna alla stessa posizione
ad intervalli uguali di tempo. Il lasso di tempo necessario affinché il punto compia
una oscillazione completa (andata e ritorno) si chiama periodo e lo si indica con
T . Quindi esso è caratterizato dal fatto che la posizione assunta ad un istante
generico t e quella assunta all’istante t + T è la stessa. Quindi T deve essere tale
da realizzare la condizione
sin[ω (t + T ) + α] = sin(ω t + α)
(1.3)
{MP63}
Questo si realizza quando ωT = k 2π essendo k un numero intero. Il lasso di
tempo più breve si ha per k = 1 per cui
T=
2π
ω
(1.4)
{DW60}
1
T
(1.5)
{LX28}
La grandezza
4
f =
1
Si veda l’Eq.(2.11).
4
i
i
i
i
i
i
i
i
prende il nome di frequenza del moto periodico2 . Le dimensioni della frequenza
sono, ovviamente, l’inverso di un periodo quindi [ f ] = T −1 e l’unità di misura è
l’hertz che è una oscillazione al secondo. Ne viene che ogni moto oscillatorio può
essere caratterizzato da uno qualunque dei tre parametri


T = periodo



f = frequenza
(1.6)



 ω = pulsazione
Consideriamo un corpo in quiete soggetto al proprio peso w = mg, trattenuto verticalmente da una molla ideale di rigidezza k, come in Fig.(1.1). Per l’equilibrio
deve valere la relazione
w − k u0 = 0
(1.7)
u0
{KN61}
{KN60}
FS = - k u0
forza statica
FS = - k u0
k
w
x
u0
a)
w=mg
b)
Figura 1.1. a) Un corpo in quiete è soggetto al proprio peso; b) lo stesso in
direzione orizzontale con una forza costante w..
1.2
{quadratino0}
L’equazione fondamentale
Ci proponiamo di studiare il moto di un corpo che si muova di moto rettilineo e
che sia soggetta a tre forze:
• forza di richiamo elastica FS = −k u
• resistenza dissipativa di origine viscosa F D = −c v
• forza eccitatrice F(t).
La forza elastica di richiamo e la resistenza viscosa dipendono dal moto, rispettivamente dallo spostamento u(t) e dalla velocità v(t) = u̇(t) e per questo sono
2
Sovente la frequenza è indicata con la lettera ν, che si legge ni [2].
5
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i
i
i
i
i
i
chiamate forze indotte. Il termine viscoso è estrapolato dalla dinamica dei fluidi
ove, per piccole velocità, un corpo che si muove in un fluido è soggetto ad una
resistenza proporzionale alla sua velocità.
forze indotte
k
m
c
u0
FS = - k u
FD = - h v
forza eccitatrice
F(t)
w
x
u(t)
Figura 1.2. Il corpo è libero di muoversi lungo una direzione orizzontale.
{quadratino2}
Nella figura Fig.(3.1) lo spostamento e la velocità sono colte in un momento
nel quale entrambe sono positive: le forze indotte sono allora negative in quanto
hanno segno opposto allo spostamento e alla velocità.
Questo significa che il corpo, una volta che sia stata assegnata uno spostamento iniziale e che gli sia stata impressa una velocità iniziale, venga lasciato oscillare
senza l’intervento di altre forze.
Durante il moto agisca una forza F(t) funzione del tempo con andamento
prefissato, questa forza si dice eccitatrice e le oscillazioni che ne risultano si
chiamano oscillazioni forzate. Quando questa forza manca si parla di oscillazioni
libere.
La costante m è la massa del corpo; la costante k si chiama rigidezza della
molla3 e la costante c si chiama coefficiente di smorzamento. 4 L’equazione
differenziale del moto è
m ü(t) = −c u̇(t) − k u(t) + F(t)
(1.8)
{HG67}
È opportuno portare a primo membro le forze indotte in quanto dipendenti dallo spostamento e lasciare al secondo membro la forza impressa in quanto
funzione nota
m ü(t) + c u̇(t) + k u(t) = F(t)
(1.9) {JR78}
Questa è una equazione differenziale lineare non omogenea. È lineare in quanto
sia la funzione incognita u(t) che le sue derivate compaiono linearmente; è non
omogenea a causa del termine a secondo membro. Ci proponiamo di trovarne la
soluzione generale chiamata anche integrale generale.
3
4
In inglese la k si chiama stiffness.
o costante di smorzamento.
6
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i
i
i
i
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i
Per prima cosa introduciamo due nuovi parametri: dividiamo ambo i membri
per la massa m e facciamo le due posizioni5
 4 c


δ=



2m


r




k
4


 ω=
m
costante di smorzamento
(1.10)
{GZ8G}
pulsazione naturale
Le due costanti δ e ω hanno le stesse dimensioni fisiche, l’inverso di un
periodo. Infatti essendo
[c] =
[ f ] MLT −2
=
= MT −1
[v]
LT −1
[k] =
[ f ] MLT −2
=
= MT −2
[u]
L
(1.11)
{UY08}
(1.12)
{UY12}
(1.13)
{G734}
(1.14)
{U7ZT}
si ottiene
[c]
MT −1
[δ] =
=
= T −1
[2m]
M
r
[ω] =
[k]
= T −1
[m]
Questo suggerisce di introdurre il rapporto
4
ξ=
δ
c
=
ω 2mω
rapporto di smorzamento
che è adimensionale. L’equazione da risolvere assume la forma
ü + 2 (ξω) u̇ + ω2 u = F(t)
Questa è l’equazione fondamentale delle oscillazioni lineari.
Esplicitando le derivate temporali si può scrivere la stessa equazione nella forma
d2
d
u(t) + 2 (ξω) u(t) + ω2 u(t) = F(t)
dt
dt2
(1.15) {U7Z3}
che si può riassumere nella forma
Lu = F
4
L=
d2
d
+ 2 (ξω) + ω2
2
dt
dt
(1.16)71
avendo introdotto l’operatore differenziale L che è lineare e del secondo ordine.
5
La lettera δ per indicare la costante di smorzamento è raccomandata dalle norme internazionali:
si veda [3, p.150]. In inglese si chiama damping coefficient.
7
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i
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1.2.1
Il principio di D’Alembert
L’equazione fondamentale della dinamica di una particella è
~
m ~a(t) = F(t)
(1.17)
{RW52}
Questa equazione vale anche per il moto di un corpo che si limiti a traslare. Il
matematico, fisico e filosofo D’Alembert (1717-1783) ha fatto la seguente osservazione. Osservato che in condizioni di equilibrio la risultante delle forze agenti
su una particella deve essere nulla
F~ = 0
in equilibrio
(1.18)
{RW53}
si vede che, confrontando questa equazione con l’Eq.(1.17), quest’ultima può
scriversi nella forma
~ + − m ~a(t) = 0
(1.19)
F(t)
{RW54}
Il termine entro parentesi quadre rappresenta l’inerzia del corpo: infatti per far
accelerare un corpo occorre esercitare su di esso una forza che serve a vincerne
l’inerzia. Il termine −m ~a(t) si può quindi concepire come una forza fittizia che
indicheremo con F I . D’Alembert gli ha dato il nome di forza d’inerzia. Quindi
4
F~ I = −m ~a(t)
forza d’inerzia
(1.20)
{RW55}
Avendo introdotto questo espediente D’Alembert ha potuto scrivere l’equazione
di moto (1.19) nella forma
F~ + F~ I = 0
(1.21) {RW56}
L’equazione assomiglia all’equazione di equilibrio (1.18) per cui il principio
di D’Alembert afferma: si passa dalle equazioni della statica a quelle della
dinamica aggiungendo alle forze attive le forze d’inerzia.
Con questo espediente la scrittura delle equazioni di moto si ottiene partendo
dalle equazioni di equilibrio aggiungendo alle forze attive le forze d’inerzia. Si
noti che si tratta di un ingegnoso espediente per scrivere le equazioni di moto, non
per risolverle! Infatti l’equazione (1.21) è di tipo differenziale mentre l’equazione
(1.18) è di tipo algebrico. Il principio di D’Alembert è solo un felice espediente
per impostare le equazioni della dinamica come fossero equazioni della statica:
nulla di più. Dal momento che in statica si parla di equilibrio viene spontaneo
estendere questa nozione alla dinamica parlando di equilibrio dinamico.
Nonostante questa apparenza di banalità il principio di D’Alembert si è rivelato utile per impostare le equazioni della dinamica di una particella o di un corpo
rigido o di un sistema materiale a partire dalle corrispondenti equazioni della statica. Fra l’altro esso permette di estendere il principio dei lavori virtuali dalla
statica alla dinamica dando luogo all’equazione simbolica della dinamica.
8
i
i
i
i
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i
In sintesi: il principio di D’Alembert è un ingegnoso espediente che consente
di impostare le equazioni di moto di un sistema meccanico partendo dalle corrispondenti equazioni di equilibrio. Esso esaurisce il suo scopo una volta ottenute
le equazioni di moto le quali debbono poi essere risolte applicando i metodi del
calcolo differenziale.
Avendo introdotto la forza d’inerzia F I e denotando le forze indotte con
4
FS = −k u S sta per forza statica (elastica)
4
F D = −c v D sta per forza dissipativa (viscosa)
(1.22)
{TR23}
F I + FS + F D + F(t) = 0
(1.23)
{TR24}
−m ü − k u − cu̇ + F(t) = 0
(1.24)
{TR25}
l’equazione di equilibrio dinamico (1.8) si può scrivere
Infatti
9
i
i
i
i
i
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i
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Capitolo 2
Oscillazioni libere
2.1
Assenza della forzante
Quando un sistema è in grado di vibrare attorno ad una posizione di equilibrio,
se è spostato da quella posizione, una volta lasciato andare vibra attorno a quella
posizione. Le oscillazioni che compie si chiamano proprie o naturali in quanto
dovute esclusivamente alla struttura del sistema.
La frequenza delle oscillazioni proprie dipende dalla rigidezza del sistema,
dalla massa e dallo smorzamento a cui è soggetto. Il caso più semplice di vibrazione è quello di un corpo che subisca solo traslazioni in una direzione, che sia
soggetto ad una forza di richiamo elastica e ad una forza dissipativa proporzionale
alla velocità. La presenza di una dissipazione aumenta di poco il periodo delle
oscillazioni per cui, in prima istanza, si possono studiare le oscillazioni libere in
assenza di dissipazione.
Un esempio significativo è quello di un portale, come quello di Fig.(2.1a).
Esso è costituito da due piedritti ed un traverso. Per trattare le sue vibrazioni si
parte da un modello semplice costituito da due lame flessibili di acciaio armonico
delle quali si ignora la massa e da un traverso del quale si ignora la deformabilità
(traverso rigido), Fig.(2.1b).
10
i
i
i
i
i
i
i
i
piedritto
piedritto
traverso
a)
b)
Figura 2.1. a) Un portale semplice e b) un suo modello semplificato.
{portale1}
Per studiare le vibrazioni di un portale si parte da un suo modello semplificato:
si suppone che i piedritti siano flessibili e che il traverso sia rigido. Inoltre si
suppone che i piedritti siano di massa trascurabile ed elestici. In queste ipotesi il
traverso può solo traslare orizzontalmente (si suppone che le deformazioni siano
piccole) e quindi il sistema ha un solo grado di libertà. Applicando staticamente
una forza orizzontale FS sul traverso esso si sposta di una quantità u.
u
u
F
F
rigidezza
minore
rigidezza
maggiore
a)
b)
Figura 2.2. Deformata elastica: a) con una rigidezza data; b) con una rigidezza
maggiore (piedritti meno flessibili).
{portale2}
Applicando al traverso successivamente diverse forze F1 , F2 , · · · , Fn e valutando gli spostamenti corrispondenti u1 , u2 , · · · , un , si constata che, se gli spostamenti sono piccoli, sono proporzionali alle forze che li generano. Le due aste flessibili, deformate come indicato in figura, esercitano quindi una forza di richiamo
proporzionale allo spostamento subı̀to. Questo consente di scrivere
F = ku
(2.1)
{JZ60}
La costante di proporzionalità k si chiama rigidezza della forza elastica e si
determina sperimentalmente essendo k = Fi /ui .
La figura (2.3a) mostra il diagramma dei momenti flettenti su un piedritto e
la corrispondente deformata elastica Fig.(2.3b). Si nota che la massima curvatura
11
i
i
i
i
i
i
i
i
dell’asta si realizza dove c’è il massimo momento flettente. È evidente che una
eventuale rottura si presenta nei punti di massima curvatura.
C=F h
F
F
massima
curvatura
massima
curvatura
h
b)
a)
Figura 2.3. a) Il diagramma dei momenti; b) i punti di massima curvatura.
{portale0}
Possiamo ricavare l’equazione di moto del traverso osservando che esso, una
volta spostato dalla sua posizione di equilibrio tende a tornarvi con una forza di
richiamo elastica FS = −k u.
FS = -ku
u
m
k
a)
b)
Figura 2.4. a) Il moto del traverso; b) schematizzato.
{portale4}
L’equazione da risolvere è
FS + F I = 0
ovvero
√
che, con la posizione ω = k/m diventa
− m ü − k u = 0
ü + ω2 u = 0
(2.2)
{JU80}
(2.3)
{JD70}
Abbandoniamo ora questo esempio e ritorniamo alla trattazione generale.
12
i
i
i
i
i
i
i
i
2.2
Moto armonico semplice
Per risolvere l’equazione fondamentale si comincia con il considerare la corrispondente equazione omogenea, ottenuta tirando via la forza eccitatrice.
ü + 2 (ξω) u̇ + ω2 u = 0
(2.4)
{JZ60}
Questa equazione descrive le oscillazioni libere, chiamate anche oscillazioni naturali, ovvero quelle che il corpo compie un volta che sia stato messo in moto e
quindi lasciato libero di oscillare.
Consideriamo dapprima un caso particolare, quello in cui manca lo smorzamento. In assenza di smorzamento, ovvero quando c = 0, l’equazione si riduce
a
ü(t) + ω2 u(t) = 0
(2.5) {GZ72}
Poviamo a vedere se essa ammette una soluzione del tipo
u(t) = sin(ω t)
(2.6)
{HZ82}
Sostituendo questa funzione nell’equazione (2.5) si constata che l’equazione risulta soddisfatta per qualunque valore di t e quindi essa è soluzione. Si constata
facilmente che anche la funzione u(t) = cos(ω t) è soluzione. Dunque il tentativo
è andato a buon fine e abbiamo trovato due soluzioni. Poichè le due soluzioni
sono linearmente indipendenti, vale a dire nessuna combinazione lineare del tipo
Msin(ω t) + N cos(ω t) è identicamente nulla, salvo il caso banale M = 0 e N = 0,
che corrisponde alla quiete e quindi non ci interessa, la loro combinazione lineare
u(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t)
(2.7)
{YQ7}
è pure essa soluzione dell’equazione (2.5). Dal momento che essa contiene due
costanti arbitrarie un teorema di Eulero assicura che questa è la soluzione generale dell’equazione omogenea, ovvero che tutte le possibili soluzioni rientrano in
questa forma generale.
Questa equazione può mettersi in una forma più espressiva.
Intanto osserviamo che essendo cos(ωt) ≡ sin(ωt+π/2). Le due costanti A e B
possono sempre scriversi in termini di altre due costanti C e α nel modo seguente:
A = C cos α
B = C sin α
(2.8)
{GT45}
(2.9)
{HJ67}
Infatti basta porre
C=
p
A2 + B2
α = arctan
B
A
13
i
i
i
i
i
i
i
i
Con queste posizioni la soluzione generale (2.7) assume la forma
u(t) = C cos(α) sin(ω t) + C sin(α) cos(ω t)
(2.10)
{LP52}
u(t) = C sin(ω t + α)
(2.11)
{CF45}
ovvero
Questa formula è più espressiva della (2.7) perché mostra che la combinazione di
due moti oscillatori con diversa fase ma con la stessa pulsazione è un moto oscillatorio con la stessa pulsazione. Questo non avviene quando si sovrappongono
due moti oscillatori con pulsazioni diverse.
I simboli che compaiono nella formula (2.11) hanno i seguenti nomi:


u = spostamento





t = istante di tempo






C = ampiezza

(2.12) {KG61}


ω = pulsazione






α = fase iniziale



4

 φ=
ω t + α = fase
Se T indica il periodo della oscillazione naturale il suo inverso, che si indica
con f , si chiama frequenza naturale o frequenza propria. Il diagramma del
moto armonico semplice è illustrato in Fig.(2.5)
8
u
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
Figura 2.5. Diagramma del moto armonico semplice. In ascissa c’è il tempo e
in ordinata lo spostamento.
{oscilla0}
Dalla definizione di ω, nell’Eq.(1.10), si vede che aumentando la rigidezza,
ovvero la costante elastica, la frequenza aumenta mentre aumentando la massa la
frequenza diminuisce.
14
i
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i
i
i
i
i
i
u
F
traverso
h
deformata
elastica
piedritto
piedritto
a)
b)
u
u(t)
F
F(t)
rigidezza
maggiore
durante
il moto
d)
c)
u(t)
u(t)
F(t)
M
F(t)
massa
maggiore:
frequenza
minore
rigidezza
maggiore:
frequenza
maggiore
e)
f)
Figura 2.6. a) Maggior rigidezza (k) comporta maggior frequenza; b) maggior
massa (m) comporta minore frequenza.
{portale3}
O. Il moto di un pendolo semplice non segue questa legge in quanto aumentando la massa il periodo rimane immutato: perché? La risposta è che in un pendolo,
si veda la Fig.(2.7), la costante elastica e la massa sono proporzionali (k = mgd) e quindi
il loro rapporto non dipende dalla massa.
15
i
i
i
i
i
i
i
i
d
d
G
L
L
G
mg L
theta
theta
mg
a)
mg
b)
c)
Figura 2.7. a) Un pendolo semplice; b) e c) pendoli composti.
{pendoli}
È opportuno però considerare il moto del pendolo nell’ambito delle oscillazioni rotatorie: indicato con J il momento d’inerzia rispetto al punto di rotazione del pendolo, con
d la distanza del centro di massa da tale punto, con m la massa, con g l’accelerazione di
gravità, l’equazione differenziale di moto è
J θ̈ = −m g d sin θ
(2.13) {KC53}
Per un pendolo semplice di lunghezza L il momento di inerzia J si riduce a J = mL2
mentre per un pendolo composto si può scrivere J = m ∆2 avendo indicato con ∆ il raggio
4 √
giratore d’inerzia (∆ = J/m). Ne viene che l’equazione assume la forma
θ̈ = −
gd
sin θ
∆2
per un pendolo semplice:
g
θ̈ = − sin θ
L
(2.14) {SW41}
Questa equazione non è quella del moto armonico a causa della presenza del termine
sin θ: è l’equazione delle grandi oscillazioni pendolari per le quali il periodo cresce con
l’aumentare dell’ampiezza. Solo se le oscillazioni sono di “piccola” ampiezza si può fare
la posizione sin θ ≈ θ e quindi le oscillazioni diventano armoniche.
Esempi. Negli esempi che seguono consideriamo aste in regime elastico, piccole deformazione e · · · senza massa! Questo lo facciamo per ricondurre il loro
moto a quello di un oscillatore semplice.
16
i
i
i
i
i
i
i
i
m
u
rigido
m
u
u
m
u
Figura 2.8. Esempi di strutture vibranti ridotte ad un grado di libertà. Si intende
che il peso della massa m è trascurato, quindi le oscillazioni avvengono in un
piano orizzontale. Inoltre le aste non hanno massa.
{vibra1}
Se la vibrazione ha luogo nel piano verticale il peso della massa determina
una configurazione statica di equilibrio attorno alla quale avvengono le vibrazioni,
come mostra la figura (2.9).
configurazione di equilibrio
abbassamento iniziale u0
abbassamento u(t)
mg
Figura 2.9. Vibrazioni attorno alla configurazione di equilibrio deformata a
causa del peso.
2.3
{vibra3}
Moto armonico smorzato
Dopo aver visto il caso particolare, molto importante, di una oscillazione senza smorzamento e senza forzamento, descritta dall’equazione differenziale (2.4),
riprendiamo lo studio della soluzione generale tentando una soluzione del tipo
u(t) = C exp(z t)
(2.15)
{NZ72}
in cui z è una costante da determinare. Eseguendo le derivate prime e seconde si
trova
u̇(t) = C z exp(z t)
ü(t) = C z2 exp(z t)
(2.16)
{M8EY}
Sostituendo nell’equazione omogenea (2.4) dovrà essere
h
i
C z2 + 2 ξω z + ω2 exp(z t) = 0
{PZI9}
(2.17)
17
i
i
i
i
i
i
i
i
Affinché la funzione (2.15) sia soluzione dell’equazione (2.4) occorre che quest’ultima sia verificata per ogni valore di t. Dal momento che la funzione exp(z t)
non si annulla mai, dovrà essere
z2 + 2 ξω z + ω2 = 0
(2.18)
{R26F}
Si tratta di una equazione algebrica di secondo grado che prende il nome di
equazione caratteristica della equazione differenziale (2.4). Questa ha come
soluzioni
q
q
2
z1 = (−ξ − ξ − 1) ω
z2 = (−ξ + ξ2 − 1) ω
(2.19) {T28H}
Il tentativo è quindi andato a buon fine: abbiamo ottenuto due soluzioni particolari
u1 (t) = C1 exp(z1 t)
u2 (t) = C2 exp(z2 t)
Ponendo
4
∆=
q
ξ2 − 1
si può scrivere




 u1 (t) = C1 exp[(−ξ − ∆)ω t] = C1 exp(−ξωt) exp(−∆ ω t)



 u2 (t) = C2 exp[(−ξ + ∆)ω t] = C2 exp(−ξω t) exp(+∆ ω t)
(2.20)
{Y25}
(2.21)
{LD56}
(2.22)
{UP76}
La soluzione generale dell’equazione omogenea si ottiene facendo una combinazione lineare delle due soluzioni particolari (2.20) e quindi, raccogliendo il
termine exp(−ξωt) a fattor comune si avrà:
h
i
u(t) = exp(−ξωt) C1 exp(−∆ ωt) + C2 exp(+∆ ωt)
(2.23) {HS73}
Dobbiamo ora discutere tre casi:
ξ>1
ξ=1
ξ <1
(2.24)
{R9E}
Primo caso: ξ > 1. Questo è il caso in cui lo smorzamento è notevole rispetto
alla pulsazione naturale del sistema. Il sistema vibrante si dice sovrasmorzato. In
questo caso la costante ∆ è un numero reale e pertanto la soluzione (2.23), formata
da una sovrapposizione di funzioni esponenziali, non ha carattere oscillatorio e lo
spostamento u va tendendo asintoticamente a zero, come mostrato nel grafico di
Fig.(2.10b).
18
i
i
i
i
i
i
i
i
Secondo caso: ξ = 1. Osserviamo che per ξ = 1 viene c = 2mω e questo
valore di c si chiama coefficiente di smorzamento critico e si indica con ccr .
In questo caso le due soluzioni particolari (2.20) coincidono e quindi non si può
più affermare che esse sono linearmente indipendenti. Occorre trovare un’altra
soluzione linearmente indipendente. Si constata che la funzione
u2 (t) = t exp(−ξωt)
(2.25)
{G2T}
è una tale soluzione (provare!). Ne viene che la soluzione generale ha la forma
u(t) = (A + Bt) exp(−ξωt)
(2.26)
{Z90}
Questo moto è rappresentato nel grafico di Fig.(2.10a).
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-8
1
0
0.1
0.2
0.3
a)
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b)
Figura 2.10. Diagramma del moto oscillatorio smorzato in condizioni: a)
critiche e b) supercritiche.
{oscilla2}
Questo caso è utilizzato negli strumenti di misura, come diremo nella sezione
(4.3). Il valore di c = 2 ξ ω per il quale si realizza l’uguaglianza con la pulsazione
propria si chiama coefficiente di smorzamento critico e si indica con ccr .
Terzo caso: ξ < 1 e quindi c < ccr . Il sistema vibrante si dice sottosmorzato. Nei sistemi reali ξmax = 20%. In questo caso la quantità ∆ è immaginaria.
Conviene porre
q
q
∆=
ξ2 − 1 = i
1 − ξ2
(2.27)
{TE15}
(2.28)
{FR61}
L’indice d nella ωd sta ad indicare la pulsazione in presenza di dissipazione. La
soluzione generale (2.23) si può scrivere
h
i
u(t) = exp(−ξω t) A exp(+i ωd t) + B exp(−i ωd t)
(2.29)
{H2Z7}
avendo indicato con “i” l’unità immaginaria Fatta la posizione
q
4
ωd = 1 − ξ2 ω
(ωd ≈ 0.98 ω)
19
i
i
i
i
i
i
i
i
A questo punto occorre ricordare le identità di Eulero1
(
exp(+i ω t) ≡ cos(ω t) + i sin(ω t)
exp(−i ω t) ≡ cos(ω t) − i sin(ω t)
(2.30)
Sostituendo queste espressioni nell’equazione (2.29) si ottiene
h
i
u(t) = exp(−ξωt) A cos(ωd t) − Ai sin(ωd t) + B cos(ωd t) + Bi sin(ωd t) (2.31)
{AS6}
{RY54}
donde, facendo le posizioni
P= A+B
Q = (B − A) i
(2.32)
{PL56}
(2.33)
{RZ9}
(2.34)
{J412}
si può scrivere
h
i
x(t) = exp(−ξω t) P cos(ωd t) + Q sin(ωd t)
che può anche essere scritta nella forma
u(t) = C exp(−ξω t) sin(ωd t + α)
pur di porre P = C sin(α) e Q = C cos(α) come abbiamo già fatto con la (2.8).
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b)
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
c)
Figura 2.11. Diagramma del moto oscillatorio smorzato in condizioni
subcritiche.
1
{oscilla1}
Nella sezione (4.2) abbiamo riportato una dimostrazione della relazione di Eulero.
20
i
i
i
i
i
i
i
i
Si noti che, a causa dello smorzamento, la pulsazione ωd dell’oscillazione
è inferiore a quella dell’oscillatore non smorzato, ω, come mostra l’Eq.(2.28)In
altri termini il periodo di una oscillazione smorzata è superiore a quello della corrispondente oscillazione senza smorzamento. In breve: lo smorzamento abbassa
le frequenze di un oscillatore libero anche se, in generale, le abbassa lievemente.
2.3.1
Calcolo delle costanti C ed α
1) Caso in cui ξ < 1 (sottosmorzato).
Dall’equazione (2.34) si ricava
v = −ξωC exp(−ξωt) sin(ωd t + α) + C ωd exp(−ξωt) cos(ωd t + α)
(2.35)
{PG75}
v0 = −ξ ω C sin(α) + C ωd cos(α)
(2.36)
p
Utilizzando la relazione cos α = 1 − sin2 α dalla prima equazione si ottiene
q
(2.37)
C cos(α) = C 2 − u20
{RQ43}
Ponendo u(0) = u0 e v(0) = v0 si ottiene
u0 = C sin(α)
che, sostituito nella seconda equazione (2.36) fornisce
q
v0 = −ξ ω u0 + ωd C 2 − u20
(2.38)
{UT84}
{PT53}
Dall’equazione (2.38) e dalla prima equazione (2.36) si ricavano rispettivamente
Si noti che la seconda equazione della formula (??) fornisce due soluzioni φ1
ed φ2 = π − φ1 . Queste devono essere discriminate in funzione del segno della
velocità iniziale.
2) Caso in cui ξ = 1 (smorzamento critico).
Dall’equazione (2.26) si ricava
v = [B − ξ ω (A + Bt)] exp(−ξωt)
(2.39)
{HZ67}
(2.40)
{PH90}
(2.41)
{JA82}
donde
A = u0
B = v0 + ξ ω u0
3) Caso in cui ξ > 1 (sovrasmorzato). Dall’equazione (2.23) si ricava
h
i
v = −ξ ω exp(−ξ ωt) C1 exp(−∆ ωt) + C2 exp(+∆ ωt)
h
i
+exp(−ξ ωt) − ∆ ω C1 exp(−∆ ωt) + ∆ ω C2 exp(+∆ ωt)
21
i
i
i
i
i
i
i
i
Ponendo u(0) = u0 e v(0) = v0 si ottiene
u0 = C 1 + C 2
v0 = −ξ ωC1 − ξ ωC2 − ∆ ωC1 + ∆ ωC2
(2.42)
{RQ44}
(2.43)
{YW31}
da cui si ricava2
C1 =
2.3.2
∆ ωu0 − ξ ωu0 − v0
2∆ ω
C2 =
∆ ωu0 + ξ ωu0 + v0
2∆ ω
Decremento logaritmico
Osservando i grafici delle oscillazioni smorzate della Fig.(2.11), si vede che le ampiezze delle oscillazioni sembrano limitate da una curva esponenziale: mostriamo
che questo è vero.
Intanto osserviamo che, nonostante la diminuzione dell’ampiezza delle oscillazioni, il periodo rimane costante. Indicato con T D il periodo viene che T D =
2 π/ωd . Facciamo il rapporto tra le ampiezze di due oscillazioni successive. Siano
ρi e ρi+1 tali ampiezze: dall’Eq.(2.34) si deduce che
ρi
C exp(−ξω t)
=
= exp(ξ ω T D )
ρi+1 C exp(−ξω [t + T D ])
(2.44)
{J472}
Si deduce che il rapporto tra due ampiezze consecutive è una costante. L’esponente della “e” si chiama decremento logaritmico delle oscillazioni e le norme
internazionali lo indicano con Λ. Si può scrivere
ρi
Λ = ln
ρi+1
4
2.3.3
!
decremento logaritmico
(2.45)
{M6R9}
Costante di tempo
Dalla Eq.(2.34) si vede che nel moto armonico smorzato l’ampiezza va decrescendo col tempo secondo la legge
C(t) = C exp(−ξωt)
(2.46)
{JG45}
Dal momento che il coefficiente di smorzamento δ = ξω ha come dimensioni
l’inverso di un tempo si può prendere tale inverso come misura della rapidità di
smorzamento
4 1
τ=
costante di tempo
(2.47) {MB19}
δ
2
Queste formule sono state usate nel programma oscilla.m.
22
i
i
i
i
i
i
i
i
La grandezza τ prende il nome di costante di tempo o anche anche tempo di
rilassamento [1, p.56]. Ricordando che la base dei logarimi naturali si indica
con “e” si vede facilmente che la costante di tempo è l’intervallo durante il quale
l’ampiezza della oscillazione si riduce ad 1/e. Infatti
C(t + τ)
C(t)
exp[−ξω(t + τ)] exp(−ξωt)exp(−ξωτ)
=
exp(−ξωt)
exp(−ξωt)
1
= exp(−ξωτ) = exp(−1) =
e
=
(2.48)
{GZ98}
(2.49)
{MU19}
Quindi la costante di tempo τ è tale che
C(t + τ) =
1
C(t)
e
Ricordiamo che 1/e ≈ 0.37.
23
i
i
i
i
i
i
i
i
Capitolo 3
Oscillazioni forzate
Quando alle forze indotte dal movimento stesso si aggiunge una forza funzione
nota del tempo, chiamata forza impressa o anche forza eccitatrice, l’equazione
di moto acquista la forma
m ü(t) = −h u̇(t) − k u(t) + f (t)
(3.1)
{HL34}
forze indotte
k
m
c
u0
FS = - k u
FD = - h v
forza eccitatrice
F(t)
w
x
u(t)
Figura 3.1. Il corpo è libero di muoversi lungo l’asse delle ascisse. Oltre alle
forze indotte vi è una forza impressa funzione nota del tempo.
{quadratino2}
Un caso particolarmente importante si ha quando la forza impressa ha un
andamento sinusoidale con una pulsazione ω
m ü(t) = −h u̇(t) − k u(t) + f0 sin(ω t)
(3.2)
{HL56}
Dividendo ambo i membri per la massa e facendo le posizioni (1.10) l’equazione
precedente si può scrivere
ü + 2 ξ ω u̇ + ω2 u =
f0
sin(ω t)
m
(3.3)
{PT89}
24
i
i
i
i
i
i
i
i
3.0.4
Oscillazioni forzate senza smorzamento
Esaminiamo dapprima il caso in cui manchi lo smorzamento. Come vedremo per
un certo verso questa ipotesi semplifica la trattazione e per un altro verso introduce una patologia consistente nel fatto che l’ampiezza dell’oscillazione risultante,
in corrispondenza alla risonanza, diventa infinita. Questo è il prezzo che si paga quando si fanno ipotesi estreme nell’intento di semplificare una trattazione.
L’equazione da risolvere è
m ü + k u = f0 sin(ω t)
(3.4)
√
Dividiamo, come al solito per la massa m e poniamo ω = k/m. La costante ω è
la pulsazione naturale, ovvero quella che si realizza in assenza di forzamento.
ü + ω2 u =
f0
sin(ω t)
m
(3.5)
{WP23}
{WP13}
Questa è una equazione differenziale lineare del secondo ordine e non omogenea
a causa del termine forzante a secondo membro. Si vede facilmente che la sua
soluzione generale si ottiene facendo la somma della soluzione generale dell’equazione omogenea e di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Indichiamo con u0 (t) la soluzione generale dell’equazione omogenea, che
sappiamo essere u0 = A sin(ω t) + B cos(ω t).
Tentiamo una soluzione particolare della forma
u p (t) = C sin(ω t)
(3.6)
{YR13}
Sostituendo nell’equazione (3.5) si ottiene
f0
sin(ω t)
(3.7)
m
Questa equazione risulta soddisfatta (per ogni istante t) se la costante C vale
−ω2 C sin(ω t) + ω2C sin(ω t) =
C=
f0
ω2
f0
f0
1
=
=
2
2
2
2
2
mω −ω
k
mω ω − ω
1
ω
1−
ω
!2
(3.8)
{YR16}
{YR13}
Se poniamo
ω
(3.9)
ω
e ricordiamo la definizione di ω data dall’Eq.(1.10) possiamo scrivere la soluzione
generale nella forma
β=
u(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) +
f0 1
sin(ω t)
k 1 − β2
(3.10)
{UE13}
{UE13}
25
i
i
i
i
i
i
i
i
Si tratta della sovrapposizione di due oscillazioni armoniche di diversa frequenza che non è una oscillazione e armonica. Il moto risultante è quello tipico dei
battimenti, come vedremo più tardi.
La frazione f0 /k rappresenta lo spostamento che si realizzerebbe qualora una
forza di intensità f0 , pari al massimo della forza eccitatrice, fosse applicata staticamente. Se indichiamo con u s tale spostamento statico e introduciamo la costante
4
D=
1
1 − β2
(3.11)
{UE13}
che prende il nome di coefficiente di amplificazione dinamica, vediamo che il
moto risultante ha una ampiezza tanto maggiore quanto più β si avvicina all’unità,
ovvero quanto più la pulsazione della forza eccitatrice sinusoidale ω si avvicina alla pulsazione naturale ω. Avendo fatto l’ipotesi che mancasse lo smorzamento, ci
troviamo di fronte ad una patologia puramente matematica: quando la frequenza
della forza impressa coincide con quella naturale il denominatore nell’Eq.(3.11)
si annulla e l’ampiezza dell’oscillazione diventa infinita.
assenza di forza impressa
6
spostamento
5
4
2
0
0
-2
-4
-5
-6
0
5
10
15
20
0
5
forza impressa sinusoidale
6
10
15
20
15
20
spostamento
5
4
2
0
0
-2
-4
-6
-5
0
5
10
15
20
0
5
10
Figura 3.2. Alcuni casi di moto oscillatorio forzato.
{forzato1}
26
i
i
i
i
i
i
i
i
3.0.5
Oscillazioni forzate e smorzate
Passiamo ora ad esaminare le oscillazioni smorzate soggette ad una forza eccitatrice sinusoidale. Per trovare la soluzione generale dell’equazione non omogenea
(3.2), si deve trovare un integrale particolare della medesima e quindi aggiungere
ad essa l’integrale generale dell’equazione omogenea. Per trovare un integrale
particolare della (1.14) tentiamo una soluzione della forma
u p (t) = P sin(ω t) + Q cos(ω t)
Derivando si ottiene



 u̇ p (t) = +P ω cos(ω t) − Q ω sin(ω t)


 ü p (t) = −P ω2 sin(ω t) − Q ω2 cos(ω t)
Sostituendo queste espressioni nell’equazione (1.14) si ottiene
h
i
+ − P ω2 − 2 Q ξ ω ω + P ω2 sin(ω t)
h
i
f0
+ − Q ω2 + 2 P ξ ω ω + Qω2 cos(ω t) =
sin(ω t) + 0 cos(ω t)
m
(3.12)
{ZT65}
(3.13)
{ZT6}
(3.14)
{K82J}
Questa uguaglianza è identicamente soddisfatta, vale a dire è soddisfatta per ogni
t, se sono uguali i coefficienti di sin(ωt) e cos(ωt):

f0

2
2


 −P ω − 2 Q ξ ω ω + P ω =
(3.15) {TZE7}
m



 −Q ω2 + 2 P ξ ω ω + Qω2 = 0.
Dalla seconda equazione si ricava subito
Q = −P
2ξωω
ω2 − ω2
(3.16)
{MEZ2}
(3.17)
{CL66}
(3.18)
{AD98}
(3.19)
{AD78}
Sostituendo questa espressione nella prima equazione (3.15) si ricava
P=
f0
ω2 − ω2
m (ω2 − ω2 )2 − (2 ξ ω ω)2
L’equazione (3.12) può scriversi nella forma
u p (t) = R sin(ω t + θ)
basta fare le posizioni
P = R cos(θ)
Q = R sin(θ)
27
i
i
i
i
i
i
i
i
Si deduce allora
tan(θ) = −
2ξωω
ω2 − ω2
(3.20)
{AD78}
(3.21)
{KMF56}
(3.22)
{MEZ3}
ed essendo
1
cos(β) = p
1 + tan2 (β)
sin(β) = tan(β)cos(β)
e
dopo facili passaggi si ottiene
R=
f0
q
m
1
(ω2
−
ω2 )2
+
(2 ξ ω ω)2
La soluzione generale dell’equazione completa (3.3) è la somma della soluzione
generale dell’equazione omogenea associata e della soluzione particolare appena
trovata
u(t) = C exp(−ξ ω t) sin(ωd t + φ0 ) + R(ω, ξ, ω) sin(ω t + θ)
(3.23)
{U20}
Tale moto è quindi composto dalla sovrapposizione di due moti:
• quello del regime transitorio che è costituito da una oscillazione smorzata
a causa del fattore esponenziale;
• quello del regime permanente che ha la stessa frequenza della forza impressa ma è sfasata dell’angolo theta.
Durante il regime transitorio le due oscillazioni di periodo diverso si compongono
come illustrato in Fig.(3.3 f ).
3.1
Fattore di amplificazione dinamica
L’integrale particolare dell’equazione completa (1.14) ha quindi la forma
u p (t) =
f0
1
sin(ω t + θ)
q
m
(ω2 − ω2 )2 + (2 ξ ω ω)2
(3.24)
{A8Y}
Osserviamo che nell’equazione (3.1) in condizioni di quiete, se si applica una
forza costante di valore f0 si ottiene lo spostamento statico u s , spesso chiamato
deflessione statica, dato da
us =
f0
k
equivalente a
us =
f0
mω2
(3.25)
{LE9}
28
i
i
i
i
i
i
i
i
forza nulla
elongazione
5
5
0
0
-5
0
2
4
6
8
-5
10
0
2
100
forza costante / momento costante
10
0
0
-50
-10
0
2
4
6
8
-20
10
0
2
4
c)
8
10
6
8
10
8
10
d)
elongazione
forza sinusoidale
100
6
elongazione / angolo
20
50
-100
4
b) oscillazione libera
a)
5
50
0
0
-50
-100
0
2
4
6
8
-5
10
0
2
4
e)
6
f)
Figura 3.3. Alcuni casi di moto oscillatorio forzato.
{forzato}
Questa relazione ci consente di scrivere
ω2
u p (t) = u s q
sin(ω t + θ)
2 2
2
2
(ω − ω ) + (2 ξ ω ω)
(3.26)
{MC6}
Dal momento che il seno ha come massimo valore l’unità, il massimo um dell’elongazione rapportato all’elongazione statica u s fornisce il fattore
4
D=
um
ω2
= q
us
(ω2 − ω2 )2 + (2 ξ ω ω)2
(3.27)
{YZ7}
che prende il nome di fattore di amplificazione dinamica in quanto rappresenta il
29
i
i
i
i
i
i
i
i
fattore per il quale occorre moltiplicare l’elongazione statica per avere l’ampiezza
del moto.
Introducendo il fattore di amplificazione dinamica la soluzione generale dell’equazione si può scrivere (3.3)
u(t) = C exp(−ξ ω t) sin(ωd t + φ0 ) + u s D(ω, ξ, ω) sin(ω t + θ)
(3.28)
{HJ89}
0.5
6
β
D(z , e)
0
e=0.1
5
e=0.1
-0.5
4
e=1
-1
3
-1.5
e=0.2
e=0.3
e=1
-2
2
-2.5
1
e=0.1
-3
0
-3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
z
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
z
Figura 3.4. a) il fattore di amplificazione dinamica; b) la fase θ della
oscillazione forzata.
5
{eserciz-ampli2G}
Dividendo numeratore e denominatore per ω2 il fattore di amplificazione dinamica dato dalla (3.27) acquista la forma particolarmente sintetica
1
D(β, ξ) = p
(3.29) {PS8}
(1 − β2 )2 + (2 ξ β)2
Il grafico di questo fattore in funzione di β per diversi valori del parametro ξ è
riportato in Fig.(3.4a).
La fase θ data nella (3.20) assume la forma
!
−2ξβ
θ = arctan
(3.30)
1 − β2
{HTX5}
ed il suo grafico è riportato in Fig.(3.4b).
Letture consigliate A coloro che vogliono capire a fondo la teoria delle vibrazioni si consiglia lo studio dei primi quattro capitoli del libro [5]. Contengono una
esposizione dell’argomento dettagliata, chiara e ricca di riferimenti sperimentali.
Vi sono pochissimi trattati di fisica generale sperimentale: un primo trattato è
quello di Perucca [7] (autore italiano), un secondo è quello di Fleury-Mathieu [4]
(autori francesi e traduzione in italiano); il terzo è di Pohl [8] (autore tedesco e
traduzione in italiano).
30
i
i
i
i
i
i
i
i
3.2
Risonanza
Quando la forza impressa ha un andamento periodico, in particolare sinusoidale,
con una frequenza uguale a quella naturale, l’oscillazione viene esaltata e l’ampiezza diventa vistosa. L’esame del grafico (3.4a) mostra che la massima ampiezza del moto si ha quando la pulsazione della forza sinusoidale impressa è uguale
a quella naturale: è questo il fenomeno della risonanza.
In realtà la presenza di uno smorzamento sposta tale massimo verso una frequenza leggermente minore di quella naturale, come mostra il grafico.
vedere ... Basta considerare la identità
sin(ω0 t + φ0 ) + sin(ω0 t) ≡ 2 cos (
φ0
φ0
) sin (ω0 t + )
2
2
che si ricava a partire dalle due formule
(
sin(θ + φ) = sin(θ)cos(φ) + cos(θ)sin(φ)
sin(θ − φ) = sin(θ)cos(φ) − cos(θ)sin(φ)
(3.31) {GQ84}
(3.32) {YQ43}
quindi sommarle membro a membro ottenendo
sin(θ + φ) + sin(θ − φ) = 2 sin(θ)cos(φ)
(3.33) {YQ53}
Facendo ora le posizioni
θ+φ=σ
θ−φ=τ
(3.34) {TL07}
la relazione (3.33) diviene
sin(σ) + sin(τ) = 2 sin(
σ+τ
σ−τ
)cos(
)
2
2
(3.35) {HJ51}
Ponendo ora
σ = ω0 t + φ0
τ = ω0 t
(3.36) {YC26}
si ottiene la relazione (3.31).
Basta infatti cercare il massimo del fattore di amplificazione dinamica: questo
si ha quando la derivata di D(z, e) è nulla. Eseguendo la derivata si trova
p
(3.37)
z = 1 − 2e2
√
Da questa formula si ricava che z si annulla per e = 2/2 = 0.71. Questo vuol
dire che, a partire da e = 1.71 in su, la massima ampiezza dell’elongazione si ha
a frequenza nulla (z = 0 implica λ = 0).
{JK42}
31
i
i
i
i
i
i
i
i
3.3
Banda passante
Esaminando il fattore di amplificazione dinamica della Fig.(3.4) si vede che l’amplificazione è notevole nella zona vicino al picco, quello per il quale l’amplificazione è massima cioé quando λ = ω0 ovvero z = 1. Si conviene di considerare un intervallo di frequenze attorno alla frequenza naturale ω0 per ciascuna
delle quali l’amplificazione dinamica sia superiore alla metà dell’amplificazione massima. Tale intervallo prende il nome di banda passante. Ricordando la
1
definizione di e data dalla formula (??), con riferimento
√ alla Fig.(??) , si può dimostrare che la semilarghezza della banda passante è 3 ω0 . Quindi le frequenze
della forza impressa per le quali l’amplificazione dinamica è superiore alla metà
dell’amplificazione massima corrispondente alla pulsazione propria f0 ...
3.4
Battimenti
Nella sovrapposizione di due oscillazioni unidimensionali lungo la stessa direzione si dà il caso che le frequenze siano molto vicine: in questo caso l’oscillazione
risultante ha una ampiezza che aumenta e diminuisce periodicamente. Questo è il
fenomeno dei battimenti.
4
2
0
-2
-4
-6
0
1
2
3
4
5
tempo
6
7
8
9
10
Figura 3.5. La sovrapposizione di due oscillazioni di frequenza poco diversa
dà luogo a successivi rinforzi e annullamenti che costituiscono il fenomeno dei
battimenti.
1
{batti}
♣ al momento manca la figura
32
i
i
i
i
i
i
i
i
Capitolo 4
Complementi
4.1
Programmi in Matlab
Si prelevano mediante un “navigatore dal sito
<ftp://ftp.dic.units.it/pub/studenti/meccanicaRazional>
(attenzione, manca la “e finale).
1. oscilla.m Traccia il grafico del moto in funzione dei tre parametri k, m, h.
2. oscillaBello.m Come oscilla.m ma interattivo. È complicato da comprendere in quanto utilizza istruzioni specifiche del Matlab quali cursori, bottoni, ecc.
3. traccia.m chiamato da oscillaBello.m.
4. forzato.m mostra sei finestre con termine forzante e conseguente moto;
5. forzatoBello.m come forzato.m ma interattivo. È complicato da comprendere in quanto utilizza istruzioni specifiche del Matlab quali cursori, bottoni, ecc.
6. traccia2.m chiamato da forzatoBello.m.
7. ampli2.m traccia il grafico del fattore di amplificazione dinamica.
8. sfasamento.m traccia il grafico dello sfasamento tra forza e spostamento.
4.2
Relazione di Eulero
{Eulero}
Ricordiamo lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione nell’intorno dell’origine
f (x) = f (0) + x f 0 (0) +
x2 00
x3
f (0) + f 000 (0) + · · ·
2!
3!
(4.1)
{PY19}
Applicando questo sviluppo alle tre funzioni exp(x), sin(x), cos(x) otteniamo
33
i
i
i
i
i
i
i
i
x2 x3 x4 x5 x6 x7
+
+
+
+
+
+ ···
2! 3! 4! 5! 6! 7!
x3 x5 x7
(4.2) {TE89}
sin(x) = x −
+
−
+ ···
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cos(x) = 1 +
−
+
+ ···
2! 4! 6!
Si vede che se non fosse per i segni alternati sommando gli sviluppi in serie del
seno e del coseno si otterrebbe la funzione esponenziale. Viene l’idea di fare la
sostituzione x −→ i x nello sviluppo della funzione esponenziale ottenendo
exp(x) = 1 + x +
exp(i x) = 1 + i x −
x3 x4
x5 x6
x7
x2
−i
+
+i
−
−i
+ ···
2!
3! 4!
5! 6!
7!
(4.3)
{TE90}
(4.4)
{TE91}
D’altro canto moltiplicando per “i” lo sviluppo in serie del seno otteniamo
i sin(x) = i x − i
x3
x5
x7
+i
−i
+ ···
3!
5!
7!
Si vede allora che sommando quest’ultimo sviluppo con quello del coseno si
ottiene
cos(x) + i sin(x) = 1 + i x −
x2
x3 x4
x5 x6
x7
−i
+
+i
−
−i
+ ···
2!
3! 4!
5! 6!
7!
(4.5)
{TE92}
(4.6)
{TE93}
che coincide con l’Eq.(4.3). Ne viene la relazione
exp(x) = cos(x) + i sin(x)
Questa formula è la più bella formula dell’analisi matematica. Infatti ponendo
x = π si ottiene
ei π + 1 = 0
(4.7) {TE94}
che lega fra loro i principali numeri della matematica:
0
1
i
π
e
Ricordiamo che
e = lim 1 +
n−→∞
1
n
(4.8)
{TE95}
(4.9)
{T7R3}
!n
34
i
i
i
i
i
i
i
i
4.3
Ago di una bilancia
{gigi}
Consideriamo una bilancia, come quella del macellaio o del fornaio. Una volta
appoggiato un peso sul piatto della bilancia l’indice si sposta raggiungendo un
posizione di equilibrio: in corrispondenza alla posizione raggiunta la graduazione della bilancia ne indica il valore, come mostra la figura (4.1). L’indice ruota
attorno ad un asse ed è soggetto ad una molla a spirale che tende a riportarlo nella posizione di zero nonché ad uno smorzamento di tipo viscoso. Indicato con θ
l’angolo di posizione, la forza di richiamo elastica è f = −k θ, quella viscosa è
f = −c θ̇ ed il momento d’inerzia dell’indice sarà indicato con J.
120
0
θ
M0
kθ
c θ̇
Figura 4.1. Il moto dell’indice di uno strumento di registrazione.
{agoBilanciaG}
Sotto l’azione di un peso costante sul piatto della bilancia, sull’indice si esercita un momento pure costante M0 . L’equazione di moto corrispondente alla (1.9)
sarà
J θ̈ + cθ̇ + kθ = M0
(4.10) {HM87}
La soluzione generale di questa equazione si ottiene sommando alla soluzione
generale dell’equazione omogenea, corrispondente alle oscillazioni libere, la soluzione particolare. Si vede facilmente che quest’ultima soluzione ha la forma
θ p = M0 /k.
Ponendo
r
p
k
4
4
4 c
ω=
ω = ω2 − δ2
(4.11) {KP05}
δ=
2J
J
la soluzione generale avrà la forma
θ(t) = A exp(−δ t) sin(ω t + φ0 ) +
M0
k
(4.12)
{ME87}
Questo moto è rappresentato in Fig.(3.3c, d). Se si fa in modo che sia verificata
la relazione ξ = 1, ovvero che si realizzi lo smorzamento critico, l’indice dello strumento raggiungerà la posizione finale asintoticamente, senza oscillazioni.
35
i
i
i
i
i
i
i
i
Questo avverrebbe anche al di sopra dello smorzamento critico ma con un tempo
maggiore, come si vede confrontando la Fig.(2.10b) con la figura la Fig.(2.10a).
Quindi lo smorzamento critico consente di raggiungere la posizione finale in minor tempo. Vi è però il pericolo che l’indice rimanga “incollato”, per cosı̀ dire, in
una posizione precedente quella finale a causa della piccolezza delle forze in gioco all’equilibrio e della presenza di un po’ di smorzamento per attrito che non è
stato considerato nell’equazione. Per evitare questo si sta un poco al di sotto dello
smorzamento critico cosicché una o due oscillazioni di piccola ampiezza possano
aver luogo [10, p.18]. Questo caso viene realizzato nel movimento dell’indice
di molti strumenti di misura, quali il voltmetro e l’amperometro oltre che negli
ammortizzatori per la chiusura delle porte, nelle sospensioni delle automobili,
ecc.
4.4
Il diagramma di Fresnel
Il moto armonico si può rappresentare convenientemente con un vettore rotante
con velocità angolare costante attorno alla sua origine, come mostra la Fig.(4.2a).
Se indichiamo con C la lunghezza del vettore la proiezione sull’asse delle ascisse
della sua estremità ha la forma data dall’equazione (2.11).
ωt
φ
A
φ0
O x(t) P
x(t)
Figura 4.2. a) Un modo semplice di generare un moto armonico è quello di
considerare un vettore rotante con velocità angolare costante e di considerare
la sua proiezione su un asse della circonferenza; b) il moto del pomolo di una
manovella visto dal piano è armonico.
{manovellaG}
Questa descrizione mostra che la pulsazione del moto armonico coincide con
la velocità angolare ω del vettore. Questo spiega il perché si fa uso della stessa
lettera ω per indicare la pulsazione e la velocità angolare [4, p.265], [1, p.4];
giustifica anche il nome di frequenza angolare dato alla pulsazione1 che si misura
1
In inglese il termine pulsazione si traduce con angular frequency.
36
i
i
i
i
i
i
i
i
in radianti al secondo (rad/s).
Il legame tra moto armonico di un punto e moto circolare uniforme del punto
estremo del vettore rotante è ancora più profondo. Con riferimento alla Fig. (4.3)
considerando che la velocità del punto è tangente alla traiettoria ed ha modulo ωr
e che l’accelerazione è centripeta ed ha modulo ω2 r, una volta tracciate la velocità e l’accelerazione del punto si vede che le proiezioni dei due vettori sull’asse
orizzontale coincidono con la velocità e l’accelerazione del punto che descrive il
moto armonico [5, p.28].
r
v
v
a ωt
a
x O
r
φ
φ0
v
x
a
O
v
a)
b)
a
Figura 4.3. a) Il moto circolare uniforme fornisce una comoda rappresentazione delle grandezze del moto armonico; b) Il diagramma vettoriale di Fresnel che
si deduce dalla figura di sinistra.
{FresnelG}
Infatti, con riferimento alla Fig.(4.3a) si vede che
u(t) = C sin(ωt + α)
v(t) = C ω cos(ωt + α)
a(t) = −C ω2 sin(ωt + α)
(4.13)
{LF73}
37
i
i
i
i
i
i
i
i
Bibliografia
[1] Den Hartog J.P., Mechanical Vibrations, McGraw Hill, 1947
[2] Devoto G., Oli G.C., Dizionario illustrato della lingua italiana, Selezione dal
Reader’s Digest, 1975.
[3] Drazil J.W,. Dictionary of Quantities and Units, Leonard Hill, London, 1971
[4] Fleury P., Mathieu J.P., Trattato di fisica generale e sperimentale, 9 volumi,
Meccanica, Zanichelli, 1970, vol. 1, cap. 14.
[5] Fleury P., Mathieu J.P., Trattato di fisica generale e sperimentale, 9 volumi,
Meccanica, Zanichelli, 1970, vol. 3, cap. 1.
[6] Mazet R., Roy M.M. Mécanique vibratoire, Librairie Polytechnique Ch. Béranger,
1955
[7] Perucca E., Fisica generale e sperimentale, UTET, 1940, 2 volumi.
[8] Pohl R.W., Trattato di fisica, 2 volumi, Piccin Editore, 1971
[9] Rochard Y. , Dinamique générale des vibrations, Masson, 1971, chapitre II.
[10] Sharman R.V., Vibrations and Waves, Butterworths, London, 1963, capitoli 1 e 2.
[11] Timoshenko S., Vibration Problems in Engineering, Van Nostrand, 1937
FINE
38
i
i
i
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