Addendum a
“Un’introduzione alla Fisica Tecnica”
Appendice E - Note di Matematica applicata
Liguori Editore
Prefazione
Come è frequente per molte discipline universitarie di tipo scientifico, l’utilizzo di alcuni
strumenti analitici derivati dalla Matematica e dalla Fisica applicate è essenziale per la
completa comprensione di alcune fenomenologie e conseguentemente per una corretta
formazione professionale. Questo risulta particolarmente vero per le discipline tipiche
dell’ambito industriale, per le quali è spesso necessaria un’approfondita analisi qualitativa
e quantitativa dei relativi processi.
Il nuovo ordinamento di studi ha ridotto l’esposizione degli allievi del Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Alimentari alla Matematica ed in particolare ad alcuni strumenti analitici tipici dell’Ingegneria Alimentare. Queste note, corredate di alcuni esercizi
applicativi svolti, sono qui offerte per stimolare l’integrazione e il completamento delle
capacità elaborative e di comprensione degli strumenti della Matematica.
Ringrazio in anticipo coloro, soprattutto quelli a cui queste note sono destinate,
che vorranno segnalare ogni inadeguatezza o errore, collaborando cosı̀ a rendere questo
sussidio didattico il più valido possibile.
Napoli, settembre 2002
Gianpaolo Ruocco
IV
Prefazione
Indice
1.
Un’applicazione riassuntiva dell’Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Interpolazione di dati da tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Interpolazione singola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Interpolazione doppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Estrapolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
7
3.
Note sui grafici di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Sistemi di coordinate polare e cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Grafici ed interpolazione grafica di funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Trasformazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Manipolazione di funzioni potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Manipolazione di logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Tracciamento di funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
11
14
14
15
15
4.
Elementi di Analisi matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Differenziazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Significato geometrico della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Differenziazione formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Regole di differenziazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Derivate seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Approssimazione di funzioni: l’espansione in serie del Taylor . . . .
4.1.6 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Integrazione formale e relative regole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Significato geometrico dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Le equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
18
19
20
20
21
21
21
22
23
23
25
26
1. Un’applicazione riassuntiva dell’Algebra
La risoluzione di un sistema di equazioni consiste nella ricerca dei numeri che soddisfano
simultaneamente più condizioni assegnate, ed è frequentemente lo strumento mediante il
quale si risolvono problemi tecnici, come quelli tipici dell’industria di processo. A questo
scopo vengono comunemente usati tre metodi di risoluzione:
1. per manipolazione algebrica
2. per sostituzione
3. mediante l’uso delle matrici.
Quando le relazioni sono lineari nelle incognite, il sistema di dice lineare. Allo scopo di
riassumere alcune nozioni dell’algebra, se ne veda qui di seguito una tipica applicazione.
Esercizio 1.1 Si esamini la Fig. 1.1: una certa porzione di una sostanza alimentare, contenente il 80% di acqua, deve essere essiccato fino al 50%. Il prodotto essiccato è 40
kg. Quanto prodotto x è inviato nell’essiccatore, e quanta acqua y si deve rimuovere dal
prodotto?
Svolgimento: Visto che è richiesta la determinazione del valore di 2 incognite, si scriveranno 2 equazioni in tali incognite. Richiamando la (3.8), considerando le portate
massiche del prodotto e dell’acqua per unità di tempo, ovvero le loro masse:
x = y + 40
per il bilancio di massa totale
0, 8 × x = 1, 0 × y + 0, 5 × 40
per il bilancio di massa sull’acqua
che è appunto un sistema di 2 equazioni lineari nelle masse incognite x e y.
Figura 1.1. Schema dell’essiccatore
(1.1)
(1.2)
2
1. Algebra
1. Risoluzione per manipolazione
Si operi affinché in le due equazioni (1.1,1.2) contengano un uguale coefficiente
di una delle incognite, ma di segno contrario. Ad esempio, per la x, si divida la
(1.2) per (-0,8) ottenendo il seguente sistema:
x − y = 40
−x + 1, 25 × y = −25
Si sommino le due equazioni, membro a membro:
0, 25y = 15 cioé y = 60
L’acqua rimossa dal processo sarà 60 kg. Sostituendo tale valore per esempio in
(1.1) si ha:
x = 100
La massa del prodotto in ingresso nell’essiccatore sarà 100 kg.
2. Risoluzione per sostituzione
Si sostituisca la (1.1) in (1.2):
0.8(y + 40) − y = 20
Moltiplicando e sommando algebricamente si ottiene:
−0.2y = −12 ovvero y = 60
Si proceda poi per sostituzione, come già visto.
3. Risoluzione mediante l’uso delle matrici (regola del Kramer)
Si riordini il sistema (1.1,1.2) nel seguente modo:
x − y = 40
0, 8 × x − y = 20
e lo si ·scriva in forma
¸ · ¸ matriciale:
· ¸
1 −1 x
40
=
0, 8 −1 y
20
Il determinante della matrice dei coefficienti 4c vale:
4c = 1(−1) − (0, 8)(−1) = −0, 2
Si calcoli ad esempio il valore di x; a questo scopo si sostituisca il vettore dei
termini· noti nella
¸ colonna dei coefficienti di x per ottenere:
40 −1
20 −1
Il determinante 4x di questa matrice vale:
4x = 40(−1) − (20)(−1) = −20
A questo punto, x è determinato dal rapporto dei due determinanti appena
calcolati:
4x
−20
x=
=
= 100
4c
−0, 2
Si proceda infine per il calcolo di y con un analogo procedimento; si sostituisca
il vettore
noti nella dei coefficienti di y per ottenere:
· dei termini
¸
1 40
0, 8 20
Il determinante 4y di questa matrice vale:
4y = 1(20) − (0, 8)(40) = −12
y sarà dunque:
1. Algebra
4y
−12
=
= 60
4c
−0, 2
Come è ovvio, tutti e tre i metodi considerati porgono lo stesso risultato.
y=
3
4
1. Algebra
2. Interpolazione di dati da tabelle
2.1 Generalità
In molti ambiti scientifici e tecnici i dati possono essere presentati in forma tabellare.
Quando un valore del parametro ricercato non è esplicitamente fornito dalla tabella, è necessario effettuare un’interpolazione. Generalmente le variabili da cui il parametro ricercato dipende sono disposte lungo i margini superiore e sinistro della tabella, mentre i vari
valori del parametro costituiscono il “corpo” stesso della tabella.
La situazione più favorevole in cui ci si può trovare nella lettura di una tabella è
quando i valori delle due variabili, nel dato problema, concide con quelli già presenti
lungo i margini. Il dato ricercato è allora agevolmente letto dall’incrocio della riga e la
colonna delle variabili.
Tabella 2.1. Perdita di carico ∆P (in Pa) relativa al flusso di succo di frutta lungo un tubo circolare di
diametro 0,2 m, in funzione della portata volumetrica e della lunghezza del tubo (viscosità dinamica
µ = 2, 0 × 10−3 Pas)
Lunghezza tubo L (m)
10
20
30
Portata volumetrica V̇ (m3 /s)
1,0
2,5
5,0
10,0
509,3
1018,6
1527,9
1273,2
2546,5
3819,7
2546,5
5093,0
7639,4
5093,0
10185,9
15278,9
Si consideri, ad esempio, la Tab. 2.1, in cui sono riportati i dati di alcune misure di
perdita di carico relative al pompaggio di succo di frutta in una tubazione, in funzione
della portata e della lunghezza del tubo. Per esempio, si legge che la caduta di pressione
relativa alla portata volumetrica di 5,0 m3 /s, in un tubo lungo 20 m, vale 5093,0 Pa.
Tabella 2.2. Porzione della tabella B.2
Temp.
T
◦C
20
25
30
Press.
p
Vol.spec.
vl
vvs
Energia interna spec.
ul
uvs − ul
uvs
hl
Entalpia spec.
hvs − hl
hvs
sl
Entropia spec.
svs − sl
svs
kPa
dm3 /kg
m3 /kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kgK
kJ/kgK
kJ/kgK
2,339
3,169
4,246
1,002
1,003
1,004
57,79
43,36
32,89
83,95
104,88
125,78
2319,0
2304,9
2290,8
2402,9
2409,8
2416,6
83,96
104,89
125,79
2454,1
2442,3
2430,5
2538,1
2547,2
2556,3
0,2966
0,3674
0,4369
8,3706
8,1905
8,0164
8,6672
8,5580
8,4533
6
2. Interpolazione da tabelle
E’ ancora più semplice il caso in cui la variabile di ingresso nella tabella sia unica;
nella seguente Tab. 2.2, tratta dalla Tab.B.2 del testo (impiegata per i calcoli sui vapori
saturi), si legge agevolmente il valore del parametro ricercato (volume, energia interna,
entalpia o entropia specifici) in funzione della sola temperatura. Ad esempio, l’entropia
specifica sl dell’acqua in condizioni di liquido saturo vale 0,3674 kJ/kgK a 25 ◦ C.
E’ altresı̀ frequente il caso in cui uno dei valori delle variabili indipendenti non sia esplicitamente fornito dalla tabella. Si faccia ancora riferimento, per esempio, alla Tab. 2.1.
Si possono stabilire delle proporzioni tra i vari termini per determinare il valore voluto,
oppure si adotta il seguente formalismo.
2.2 Interpolazione singola
Si vuole ricercare il valore di ∆P relativo ad un tubo lungo 15 m. Il relativo valore per una
portata di 5,0 m3 /s dev’essere allora determinato mediante una interpolazione singola.
Si determinino inizialmente gli estremi dell’intervallo che contengono il valore della variabile indipendente d’interesse, ovvero 10 e 20 m. Questi valori identificano una differenza
frazionale DF, definita come
DF =
valore della variabile indipendente − estremo minore
estremo maggiore − estremo minore
(2.1)
In questo caso, il calcolo porge DF = 0, 5. Si leggano poi i valori della tabella corrispondenti a questi estremi, cioé rispettivamente 2546,5 e 5093,0 Pa. Il valore ricercato della
tabella si calcola allora in tal modo:
valore interpolato = DF × differenza tra valore maggiore e minore della tabella
+ valore minore della tabella
(2.2)
Si noti l’ultimo addendo di questa relazione. In questo caso, il calcolo porge ∆P = 3819, 7
Pa.
2.3 Interpolazione doppia
Se invece entrambi i valori delle variabili indipendenti mancano, si dovrà procedere ad
una interpolazione doppia, come per il caso della calcolo del ∆P per un tubo lungo 15
m e per una portata di 8,0 m3 /s. Si proceda in due fasi. Nella prima fase si effettueranno 2 interpolazioni singole per determinare i valori della tabella corrispondenti, per la
lunghezza di 15 m, alle portate di 5,0 e 10,0 m3 /s. Nella seconda fase si interpoleranno
questi ultimi due valori per determinare il valore ricercato a 15 m e 8,0 m3 /s (in totale, 3
interpolazioni).
1. La differenza frazionale eseguita con la (2.1) lungo la variabile indipendente L, è
ovviamente la stessa (appena calcolata nell’esempio precedente): DF = 0, 5. Applicando due volte la (2.2) per 5,0 e 10,0 m3 /s si ha allora rispettivamente 3819,7 e
7639,4 Pa.
2.4 Estrapolazione
7
2. La differenza frazionale eseguita lungo la variabile indipendente V̇ vale
DF =
8, 0 − 5, 0
= 0, 6
10, 0 − 5, 0
Interpolando con la (2.2) usando i valori calcolati nella fase precedente si ottiene
infine
valore interpolato = 0, 6(7639, 4 − 3819, 7) + 3819, 7 = 6111, 5Pa
2.4 Estrapolazione
Se infine gli estremi dei valori di una variabile indipendente non contengono il valore che
determina il parametro ricercato, si dovrà procedere ad una estrapolazione (solo nel caso
che il valore della variabile indipendente non sia troppo discosto da quelli disponibili in
tabella). Il calcolo della differenza frazionale è analogo a quello svolto in (2.1), con l’unica
modifica per la nomenclatura, cioé ora gli estremi minore e maggiore non contengono il
valore d’interesse ma vanno intesi come quelli più prossimi nella tabella. Si distinguano
allora i seguenti 2 casi, relativi ad esempio a V̇ = 5, 0 m3 /s:
1. estrapolazione verso il basso della tabella, come ad esempio per il tubo lungo 33
m: DF = 0, 3 (usando gli estremi 20 e 30). Si modifica l’ultimo addendo della (2.2)
come segue:
valore estrapolato = DF × differenza tra valore maggiore e minore della tabella
+ valore maggiore della tabella
per porgere ∆P = 8403, 3 Pa. Si noti l’ultimo addendo di questa relazione, differente
da quanto riportato per l’interpolazione (2.2).
2. estrapolazione verso l’alto della tabella, come per il tubo lungo 8 m: DF = −0, 2
(usando gli estremi 10 e 20). La (2.2) porge direttamente ∆P = 2037, 2 Pa. Si faccia
attenzione ai segni algebrici.
8
2. Interpolazione da tabelle
3. Note sui grafici di funzioni
3.1 Generalità
In molti ambiti scientifici e tecnici, la creazione e la presentazione di grafici di funzioni
è di fondamentale importanza. Una funzione y = f (x) è una corrispondenza tra elementi
degli insiemi X e Y (con x ∈ X e y ∈ Y ); al variare di x all’interno dell’intervallo (di
definizione della funzione) questa assume valori nel suo codominio.
Le rappresentazioni grafiche di y = f (x) devono essere riportate mediante l’uso di sistemi di coordinate, tra i quali quello cartesiano ortogonale bidimensionale (o cartesiano
per brevità) è certamente familiare per il suo uso diffuso. Esso è facilmente estendibile
all’ambito tridimensionale mediante un terzo asse a sua volta ortogonale ai primi.
3.2 Sistemi di coordinate polare e cilindrico
Per geometrie diverse dalle rettangolari, quando cioé la forma del sistema in studio è
circolare o cilindrico, è necessario adottare il sistema di coordinate polare (in ambito
bidimensionale) o quello cilindrico (tridimensionale).
Si inizi esaminando il sistema polare riportato in Fig. 3.1. , Come al solito, i due assi
formano 4 quadranti e la loro intersezione dei due assi è l’origine O del sistema. Ogni
Figura 3.1. Il sistema di coordinate polare
10
3. Grafici
Figura 3.2. Trasformazione tra coordinate cartesiane e polari
punto giacente sul piano della figura è identificato da una coppia di enti (come per il
sistema cartesiano), in questo caso il raggio r (descritto dalla distanza dall’origine del
sistema) e l’angolo θ (descritto da un raggio di riferimento che, per sovrapporsi a quello
dato, si muova in senso anti–orario a partire dal semiasse orizzontale destro). In Fig. 3.1
sono riportati alcuni cerchi, linee a r=cost, ed il valore dell’angolo in corrispondenza dei 4
semiassi. Gli angoli possono essere misurati con il sistema sessagesimale, cioé mediante il
grado (◦ ), la trecentosessantesima parte dell’angolo giro, oppure con il sistema circolare,
cioé mediante il radiante (rad), l’angolo al centro di una circonferenza che insiste su un
arco lungo quanto il raggio. Quest’ultimo sistema è quello utilizzato dalla trigonometria.
Il radiante può essere convertito in gradi sapendo che 360◦ equivalgono a 2π rad, e dunque
1 rad =
180◦
π
.
E’ possibile passare dal sistema di coordinate cartesiano a quello polare, e viceversa,
mediante alcune relazioni geometriche. Si veda a questo scopo l’esempio raffigurato in
Fig. 3.2, in cui un punto P è individuato rispetto al sistema cartesiano con coordinate
(4, 3); P può anche essere denotato rispetto al sistema polare, con coordinate (5, 0,64).
Tali valori sono stati ottenuti trasformando le coordinate cartesiane in polari mediante le
seguenti:
y
r2 = x2 + y2
tan θ =
x
ovvero
³y´
p
r = x2 + y2
θ = arctan
x
La trasformazione di coordinate inversa (da polari a cartesiane) si può ottenere invece
mediante le seguenti:
3.3 Grafici ed interpolazione grafica di funzioni lineari
11
Figura 3.3. Il sistema di coordinate cilindrico
x = r cos θ
y = r sin θ
Se al sistema di coordinate polare si aggiunge una terza coordinata z, perpendicolare
al piano del foglio e positiva uscendo da esso, si ottiene il sistema cilindrico, raffigurato
in Fig. 3.3, di diffuso uso nei processi industriali.
3.3 Grafici ed interpolazione grafica di funzioni lineari
Per tracciare una retta passante per 2 punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) si suole impiegare, nelle
trattazioni introduttive della Matematica, l’equazione della retta in forma parametrica
y = mx + b
dove i coefficienti sono la pendenza m e l’intercetta sull’asse y b, oppure l’equazione
della retta passante per 2 punti
y − y1
x − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
Nel primo caso, com’è noto, si possono determinare i coefficienti a partire dalle coordinate
dei punti mediante le seguenti:
y2 − y1
m=
x2 − x1
b = y1 − mx1
E’ altresı̀ importante determinare quale sia la relazione analitica (equazione) della
curva che meglio approssima l’andamento di dati, cioé l’operazione concettualmente inversa a quella appena richiamata. Questa procedura di interpolazione, anche detta curve
fitting, non solo è una sorta di interpolazione estesa, ma consente di inferire utili considerazioni, ottenendo da un insieme finito di dati una relazione analitica che possa descrivere
il fenomeno osservato in maniera continua.
12
3. Grafici
A questo scopo ci si può avvalere della regressione lineare che consente sia la determinazione di m e b che un controllo sulla bontà dell’approssimazione. m e b sono
determinati in base a n coppie di dati xi e yi , mediante le seguenti due relazioni:
m=
b=
∑ xi yi − ∑
∑ xi2 −
xi ∑ yi
n
(∑ xi )2
n
(3.1)
∑ yi − m ∑ xi
n
(3.2)
mentre il coefficiente di correlazione
∑ (y∗i − ȳ)
2
∑ (yi − ȳ)
2
r2 =
(3.3)
che è un numero minore o uguale a 1, e qualifica l’approssimazione (accettabile in genere
se r2 > 0, 85). Qui y∗i sono i valori calcolati mediante l’interpolazione, e ȳ è il valore
medio degli yi .
Esercizio 3.1 I fluidi plastici riportati in Fig. 7.4, come quelli “tipo Bingham”, possono
essere caratterizzati dalla seguente equazione lineare:
τ=µ
dw
+ τ0
dy
dove τ è lo sforzo di taglio (Pa), µ la viscosità dinamica (Pas), dw/dy la deformazione
(1/s), e τ0 lo sforzo di distacco (Pa). Si interpoli graficamente mediante questa relazione i
seguenti dati provenienti da misure (n = 4):
τ dw/dy
14
0
35
4
54
8
73
12
Svolgimento: Si formi la Tab. 3.1 per facilitare i calcoli nell’applicazione delle (3.1,3.2):
Tabella 3.1. Termini per il calcolo dei coefficienti m e b mediante regressione lineare
dw/dy
τ
(dw/dy)τ
(dw/dy)2
0
4
8
12
∑(dw/dy) = 24
13
36
52
76
∑ τ = 177
0
144
416
912
∑(τdw/dy) = 1472
0
16
64
144
∑(dw/dy)2 = 224
3.3 Grafici ed interpolazione grafica di funzioni lineari
m=
b=
∑(dw/dy)i τi −
∑(dw/dy)i ∑ τi
n
2
(∑(dw/dy)i )
∑(dw/dy)2i −
n
=
1472 − 24×177
4
2
224 − 244
13
= 5, 12
177 − 5, 12 × 24
∑ τi − m ∑(dw/dy)i
=
= 13, 5
n
4
La retta che interpola i dati è dunque
τ = 5, 12
dw
+ 13, 5
dy
In Fig. 3.4 è presentata tale retta, cosı̀ come le misure originali. Si noti il leggero
scostamento tra questi e la retta interpolante.
Per qualificare il calcolo, infine, è necessario determinare r; a questo scopo si formi
la Tab. 3.2, per facilitare i calcoli nell’applicazione della (3.3):
Tabella 3.2. Termini per il calcolo del coefficiente di correlazione r
dw/dy
τ
τ∗
(τi − τ̄)2
(τ∗i − τ̄)2
0
4
8
12
13
36
52
76
τ̄ = 44, 25
13,5
33,98
54,46
74,94
976,56
68,06
60,06
1008,06
∑(τi − τ̄) = 2112, 75
945,56
105,47
110,46
941,88
∑(τ∗i − τ̄) = 2103, 37
Figura 3.4. I dati sperimentali e la retta interpolante per l’Esercizio 3.1
14
3. Grafici
Dunque,
r2 =
2
2103, 37
∑ (τ∗i − τ̄)
=
= 0, 996
2
2112, 75
∑ (τi − τ̄)
La retta identificata interpola i dati sperimentali molto bene.
3.4 Trasformazioni logaritmiche
Le trasformazioni dei valori dei dati mediante i logaritmi possono consentire la linearizzazione di dati che inizialmente non appaiono lineari. Il trattamento dei logaritmi è altresı̀
importante nella descrizione di molti fenomeni e nella risoluzione di alcune equazioni differenziali che dipendano da funzioni esponenziali, per cui verranno riveduti qui di seguito,
insieme alle funzioni potenza.
3.4.1 Manipolazione di funzioni potenza
Le più comuni operazioni sulle funzioni potenza sono le seguenti:
1. moltiplicazione – quando la base è la stessa, si possono sommare gli esponenti:
x2 (x3 ) = x2+3 = x5
2. divisione – in maniera analoga:
µ ¶3.5
P
= P3.5V −3.5
V
3. esponenziazione – si possono moltiplicare gli esponenti:
√
¡ ¢1/4
√
4
x2 = x2
= x2/4 = x
Esercizio 3.2 Il numero del Reynolds (7.4) di un certo fluido non newtoniano è espresso
come:
8V 2−n Rn ρ
Re = ¡ 3n+1 ¢n
k n
Si calcoli il valore della velocità V (m/s) per Re = 2000, se k = 1, 5 Pasn , n = 0, 775,
ρ = 1030 kg/m3 e R = 0, 0178 m.
Svolgimento: Si sostituiscano i valori dati:
2000 =
8V 1,225 × 0, 01780,775 × 1030
³
´0,775
1, 5 2,325
0,775
V 1,225 =
2000 × 1, 5 × 2, 3429
= 25, 55
8 × 0, 04406 × 1030
V = 25, 551/1,225
cioé V = 14, 09 m/s.
3.4 Trasformazioni logaritmiche
15
3.4.2 Manipolazione di logaritmi
I logaritmi comunemente in uso sono di due tipi, decimale (log) e naturale (ln), e sono
originariamente giustificati dalla necessità di risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
y = 10x
y = ex
(e = 2,718218..., numero di Nepero)
(3.4)
Talvolta in luogo nella notazione “e” si usa “exp”. Ponendo allora
log 10x = x
ln ex = x
e prendendo i logaritmi di entrambi i membri della (3.4) si ha infatti
log y = x
ln y = x
Le più comuni operazioni sui logaritmi (sia decimali che naturali) sono le seguenti:
log(A × B) = log(A) + log(B)
(da non confondere con log(A) × log(B))
2.
log(A/B) = log(A) − log(B)
³ B´ B
3.
log A C = log(A)
C
4. per passare da una base all’altra:
1.
log y = log e × ln y = 0, 4343 × ln y
Esercizio 3.3 La temperatura T di un fluido che fluisce lungo un tubo immerso in un
bagno termostatato (mantenuto a temperatura costante) a Tb varia esponenzialmente lungo
il tubo con la seguente legge:
T = Tb − (Tb − T0 ) e−3,425×L
Si calcoli il valore lunghezza L tale che il fluido, in ingresso a T0 = 20 ◦ C, raggiunga in
uscita una temperatura pari al 99% di quella del bagno, che è Tb = 95 ◦ C.
Svolgimento: Si sostituiscano i valori dati:
T = 0, 99 × 95 = 95 − (95 − 20)e−3,425×L
e−3,425×L =
95 − 94, 05
= 0, 012667
75
Prendendo i logaritmi naturali di entrambi i membri, da quanto appena detto:
−3, 425L = ln(0, 012667)
cioé L = 1, 276 m.
3.4.3 Tracciamento di funzioni logaritmiche
E’ spesso utile rappresentare funzioni rispetto a sistemi cartesiani dove su uno o entrambi
gli assi siano riportate dei logaritmi. Si veda di seguito un esempio di applicazione di
grafico semi–logaritmico.
16
3. Grafici
Figura 3.5. Un esempio di grafico semi–logaritmico per l’Esercizio 3.2
Esercizio 3.4 In molti sistemi biologici il decadimento degli organismi può essere
rappresentato dalla seguente equazione:
N = Ae−kt
dove N è il numero o la concentrazione degli organismi, A il loro iniziale numero o concentrazione, k una costante di tempo che regola la velocità di decadimento (1/s), e t il tempo di osservazione (s). Si linearizzi questa relazione e se ne tracci un grafico qualitativo.
Svolgimento: Si prendano i logaritmi naturali di entrambi i membri:
ln N = ln A − kt
Questa equazione ha la forma di una retta di pendenza −k e con intercetta ln A. Il
grafico di ln N in funzione di t è riportato in Fig. 3.5.
4. Elementi di Analisi matematica
4.1 Differenziazione
La differenziazione della relazione tra variabili, la funzione y = f (x) a cui ci si è riferiti
nel precedente paragrafo, consente di quantificarne la variazione; spesso ci si riferisce ad
essa come “eseguire la derivata” della funzione. Come si vedrà nel seguito, il risultato di
questa operazione, f 0 (x), è una nuova funzione, costante se f (x) è lineare.
Di grande interesse ed utilità è la derivazione di una funzione rispetto al tempo: nella Fisica, ad esempio, si suole eseguire la derivazione dello spazio rispetto al tempo,
per determinare la velocità, oppure la derivazione della velocità rispetto al tempo, per
determinare l’accelerazione.
Dal punto di vista grafico, la differenziazione di una funzione in un punto (come per
f (x) in x1 nella Fig. 4.1) equivale a determinare la pendenza di un segmento in x1 , rispetto
all’asse coordinato x, cioé a calcolare la pendenza della tangente alla curva in f (x1 ). Il
valore della pendenza in x1 è uguale a f 0 (x1 ). L’operazione di differenziazione è proprio
usata, in quest’ambito, per consentire lo studio di una funzione ed eseguirne il tracciamento, ad esempio attraverso la determinazione dei punti di massimo o di minimo di una data
funzione, e dei valori della pendenza per assegnati valori della variabile indipendente.
Figura 4.1. Grafico di y = f (x)
18
4. Analisi matematica
Figura 4.2. Grafico di y = f (x), con l’incremento di un generico valore di x
4.1.1 Significato geometrico della derivata
Si considerino ancora un generico punto x, ed un secondo punto da questo distante una
quantità comunque piccola ∆x, appartenenti all’intervallo di definizione di y = f (x), come
in Fig. 4.2. Si tracci la pendenza della funzione, facendo passare il segmento per i due
punti identificati da f (x) e f (x + ∆x). Il valore della pendenza sarà allora
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
ovvero, se si lascia ∆x tendere a 0
f 0 (x) =
f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(4.1)
Alternativamente al formalismo f 0 (x), per denotare la derivata di f (x) rispetto a x, è
frequente trovare le seguenti notazioni: dy/dx, d(y)/dx.
Esercizio 4.1 E’ frequente il caso di funzioni costanti, lineari (primo grado) o di grado
superione. Si calcolino ad esempio le derivate delle seguenti funzioni:
1. f (x) = 4
2. g(x) = 3x
3. h(x) = 2x2
Svolgimento: Si applichi la (4.1).
4−4
1.
f 0 (x) = lim
=0
∆x→0 ∆x
La derivata di una funzione costante è 0.
3(x + ∆x) − 3
2.
g0 (x) = lim
= lim 3 = 3
∆x→0
∆x→0
∆x
La derivata di una funzione lineare è una costante.
4.1 Differenziazione
3.
19
2(x + ∆x)2 − 2x2
= lim 4x + 2∆x = 4x
∆x→0
∆x→0
∆x
La derivata di una funzione di secondo grado è una funzione lineare. In generale,
come si vedrà nel seguito, la derivata di una funzione di grado n è una funzione
di grado n − 1.
h0 (x) = lim
La derivata di una espressione più complessa può essere eseguita, invece che con l’applicazione pedissequa della (4.1), operando la derivazione per parti, come nel seguente
esercizio.
Esercizio 4.2 Si derivi la seguente funzione:
f (x) = x2 − 3x + 2
Svolgimento: Si differenzi per parti, applicando la (4.1).
f 0 (x) =
d(x2 ) d(3x) d(2)
−
+
= 2x − 3 + 0 = 2x − 3
dx
dx
dx
4.1.2 Differenziazione formale
Una formula semplificativa può essere utilmente impiegata in luogo della (4.1), nel caso
di funzioni più complesse:
d(xn )
= nxn−1
(4.2)
dx
La seguente formula è invece impiegata per derivate di funzioni prodotto come la h(z) =
f (x)g(y):
h0 (z) = f 0 (x)g(y) + f (x)g0 (y)
(4.3)
Si noti come nel seguente esercizio si applica quest’ultima relazione, considerando una
delle due funzioni come una costante (a derivata nulla).
Esercizio 4.3 Si calcoli il valore della derivata della seguente funzione nel punto x = 3:
f (x) = 4x5 − 3x3 + x2 − 1
Svolgimento: Si differenzi per parti, applicando le (4.2,4.3), e si sostituisca nella relazione
finale x = 3.
f 0 (x) = 4 × 5x4 − 3 × 3x2 + 2x1 − 0
f 0 (3) = 20 × 34 − 9 × 32 + 2 × 3 = 1545
20
4. Analisi matematica
4.1.3 Regole di differenziazione
A scopo riassuntivo, si elencano qui di seguito le regole generali di differenziazione,
alcune delle quali appena presentate. Si assuma che u e v sono funzioni di x.
1. Per una funzione costante:
u(x) = cost =⇒ u0 (x) = 0
d (u(x))
d
(u(x))n = n (u(x))n−1
dx
dx
d(u + v) du dv
=
+
3.
dx
dx dx
d(uv)
du
dv
4.
= v +u
dx
dx
dx
5. Un caso particolare della precedente è la seguente:
2.
d(u/v) vdu − udv
=
dx
v2
6. Per le funzioni trigonometriche sin e cos:
d sin(u)
du
= cos(u)
dx
dx
d cos(u)
du
= − sin(u)
dx
dx
7. Per il logaritmo naturale:
d ln(u) 1 du
=
dx
u dx
8. Per la funzione esponenziale:
deu
du
= eu
dx
dx
4.1.4 Derivate seconde
E’ talvolta necessario eseguire una derivata su una funzione derivata (una derivata prima
o del primo ordine), che può appunto essere differenziata come una qualunque altra funzione, mediante le regole appena viste. Il risultato è una derivata seconda (del secondo
ordine). La seguente è la notazione impiegata in proposito per u = f (x):
µ ¶
d2 u
d du
00
f (x) = 2 =
dx
dx dx
Si ricordi, ad esempio, che la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo è l’accelerazione.
4.2 Integrazione
21
4.1.5 Approssimazione di funzioni: l’espansione in serie del Taylor
Se una funzione f può essere infinitamente differenziata in un punto a del suo intervallo
di definizione, si può dimostrare che essa equivale alla seguente serie detta del Taylor:
f 00 (a)
f 000 (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 · ··
2!
3!
Tale espressione può essere troncata, ammettendo dunque un errore nell’equivalenza con
f , in genere accettabile e, comunque, valutabile. Tale formulazione è stata ad esempio
impiegata nella scrittura della (7.19).
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
4.1.6 Derivate parziali
Se si vuole eseguire una differenziazione di una funzione di più variabili rispetto ad una
sola delle variabili, si dovrà procedere considerando quelle porzioni della funzione in
oggetto, che dipendono dalle altre variabili, costanti nell’operazione di differenziazione.
Il simbolo adottato per le derivate parziali è “∂” invece di “d”.
Esercizio 4.4 Si calcolino le derivate parziali di f rispetto a x e y:
f (x, y) = 4x2 y − 2xy3
∂f
= 8xy − 2y3
∂x
Svolgimento:
∂f
= 4x2 − 6xy2
∂y
4.2 Integrazione
L’integrazione di una funzione può essere pensata come l’operazione opposta della
derivazione: essa consente di eseguire una determinazione inversa, cioé a partire dalla
derivata di una funzione, si vuole individuare la funzione di partenza. Si pensi per esempio che sia nota una f (x), e si voglia determinare la funzione integrale F(x) da cui essa
“proviene”. Il problema equivale a scrivere
dF(x)
= f (x)
dx
Sottoponendo ad integrazione entrambi i membri di questa equazione si può determinare
la F(x) ricercata, come si vedrà nel seguito.
La notazione che viene impiegata l’operazione di integrazione di f (x) rispetto a x è la
seguente:
Z
F(x) =
f (x)dx
Si noti che la funzione ricercata F(x) può contenere in generale una o più costanti, il
cui contributo a seguito della derivazione sarebbe nullo. Similmente, il suo integrale sarà
22
4. Analisi matematica
affetto da una costante incognita (detta appunto di integrazione), il cui valore dev’essere
appunto determinato. Questo integrale viene detto allora indefinito.
Dal punto di vista grafico, come sarà altresı̀ chiaro nel seguito, l’integrazione di una
funzione consente di calcolare l’area racchiusa (sottesa) tra essa e l’asse della variabile
indipendente.
4.2.1 Integrazione formale e relative regole
In analogia con quanto notato nell’operazione di derivazione, in cui il risultato è di 1 grado inferiore rispetto alla funzione di partenza, nell’integrazione il risultato è di 1 grado
superiore. Le regole dell’integrazione sono molto simili a quelle dell’operazione inversa.
A scopo riassuntivo, si elencano qui di seguito le regole generali di integrazione. Si assuma come al solito u e v come funzioni di x; c è una generica costante, e C la costante di
integrazione.
Z
1 n+1
x
+C, con n 6= −1
n+1
2. Una costante generica dentro il segno d’integrale può essere spostata all’esterno di
esso:
xn dx =
1.
Z
Z
cu(x)dx = c
Z
Z
(du + dv) =
3.
u(x)dx
Z
du +
dv
4. Per le funzioni trigonometriche sin e cos:
Z
sin(u(x))du = − cos(u) +C
Z
cos(u(x))du = sin(u) +C
5. Per il logaritmo naturale:
Z
du
= ln u +C
u
6. Per la funzione esponenziale:
Z
1
ecu du = ecu +C
a
Esercizio 4.4 Si integri la seguente funzione:
dy
= 3x2 − 4x + 5
dx
Svolgimento: Si integri per parti, moltiplicando ambo i membri per dx.
dy = (3x2 − 4x + 5)dx, cioé
y = x3 − 2x2 + 5x +C
4.2 Integrazione
23
4.2.2 Integrali definiti
Un’operazione di integrazione può essere affetta da un limite inferiore e un limite superiore, riportati sul segno di integrale: l’integrale si dice in questo caso definito. In questo
caso, la funzione integranda è valutata in maniera analoga all’integrale indefinito ma poi
definita con maggiore completezza mediante i limiti di integrazione, senza la necessità di
riportare la costante di integrazione. Il risultato ricercato è quello della differenza tra il valore atteso dalla funzione integranda, calcolata all’integrale superiore, e il valore calcolato
all’integrale inferiore.
Esercizio 4.5 Si valuti il seguente integrale:
y=
Z 3
3x2 dx
2
y=
Svolgimento:
Z 3
3x2 dx =
2
¯
3 2+1 ¯¯3
x ¯ = 33 − 23 = 19
2+1
2
Esercizio 4.6 Si valuti il seguente integrale:
y=
Z 5
ex/10 dx
1
y=
Svolgimento:
Z 5
¯5
³
´
¯
ex/10 dx = 10ex/10 ¯ = 10 e5/10 − e1/10
1
0.5
= 10(e
1
0.1
− e ) = 5, 436
4.2.3 Significato geometrico dell’integrale
L’integrale definito può essere utilmente impiegato per calcolare l’area sottesa da una
curva, mediante la regola dei trapezoidi (una tecnica elementare alternativa è detta del
Simpson). Si consideri la y = f (x) in Fig. 4.3: si tratta di calcolare l’area sottesa dalla
curva tra i punti a e b appartenenti all’intervallo di definizione della funzione. Mediante
questa tecnica l’area è determinata mediante la somma dei piccoli trapezoidi i cui lati superiori approssimano l’andamento della curva. L’area dell’i-esimo trapezoide è calcolata
approssimandola a quella di un rettangolo, di base ∆x = b−a
, dove n´è il numero scelto di
n ³
incrementi, e di altezza pari alla media dei due lati verticali
µ
¶
yi−1 + yi
Ai =
∆x
2
yi−1 +yi
2
:
Dopo qualche passaggio algebrico, l’area totale At sottesa dalla funzione tra i valori a
e b è determinata dalla seguente relazione:
¶
µ
b−a
(y0 + y1 + ... + yn )
(4.4)
At =
2n
Come è ovvio, la precisione della tecnica aumenta con n. In particolare, se n tende all’infinito, si hanno infinite aree elementari, visto che ∆x tende a dx. L’altezza del trapezoide
24
4. Analisi matematica
vale cosı̀ y(x) in ciascun punto di calcolo invece che la media tra i due lati, e l’area elementare vale allora A = y(x)dx. Se si integra tale funzione tra gli opportuni limiti di
integrazione, si ottiene:
At =
Z b
y(x)dx
a
Esercizio 4.7 Si valuti l’area sottesa dalla funzione y = x2 + 1 tra 1 e 3:
1. usando la regola dei trapezoidi con n = 4
2. integrandola formalmente
Svolgimento: 1. ∆x = 0, 5; si scriva una tabella di corrispondenza tra i 5 valori di x e gli
omologhi y:
x y
1 2
1, 5 3, 25
2 5
2, 5 7, 25
3 10
Si applichi infine la (4.4) con i valori appena riportati: At = 10, 75
2.
At =
Z 3
(x2 + 1)dx = 10, 667
1
Figura 4.3. Integrazione di y = f (x), mediante la regola dei trapezoidi
4.3 Operatori differenziali
25
4.3 Operatori differenziali
Nelle equazioni differenziali alle derivate parziali, ove si trattino funzioni scalari o vettoriali (per la definizione delle quali si rimanda alle trattazioni introduttorie della Matematica)
è frequente l’adozione di notazioni sintetiche. Ci si riferisca nel seguito al sistema cartesiano bidimensionale, con l’avvertenza che questi operatori differiscono nel caso di altri
sistemi di coordinate. In questo Paragrafo si denota col carattere grassetto una quantità
vettoriale.
In quest’ambito si adotta spesso un operatore simbolico vettoriale, detto operatore
nabla, che in coordinate cartesiane bidimensionali si scrive:
∇=
∂
∂
i+ j
∂x
∂y
denotando in grassetto i versori degli assi coordinati.
Considerando una generica funzione scalare f di due variabili (l’estensione a funzioni
tridimensionali non comporta difficoltà concettuali ulteriori), l’applicazione ad essa di tale
operatore (cioé mediante semplice prodotto) dà luogo ad un campo vettoriale, il gradiente
di f :
∇f =
∂f
∂f
i+ j
∂x
∂y
Il concetto di gradiente, cioé la variazione della funzione rispetto alla sua variabile indipendente (ad esempio il flusso termico rispetto a T , nel Par. 8.2), ha molte applicazioni
nelle scienze applicate. Per esempio, se dr = dxi+dyj è il vettore spostamento elementare,
il differenziale di f può anche essere scritto
d f = ∇ f · dr
Allora si vede che ∇ f è un vettore normale alle curve di livello (per esempio le isoterme
se f ≡ T ), visto che su tali curve d f = 0, e giace dunque lungo la direzione di massima
variazione di f .
Considerando invece una generica funzione vettoriale w, di componenti wx e wy , l’applicazione ad essa di tale operatore (cioé mediante prodotto scalare) dà luogo ad uno
scalare, la divergenza di w:
∇·w =
∂wx ∂wy
+
∂x
∂y
Anche il concetto di divergenza ha importanti applicazioni. Per esempio, si consideri il
flusso φ di w (è una quantità scalare); esso passa attraverso l’area elementare (orientata,
cioé affetta da un versore normale) dA appartenente alla superficie S, e può scriversi
Z
φ=
w · dA
S
Si pensi ora ad S come ad una superficie di controllo, che racchiude il volume di controllo
∆V . Al rimpicciolirsi del VC, cioé al tendere di ∆V a zero, si definisce divergenza del
campo vettoriale w proprio il suo flusso diviso per ∆V :
26
4. Analisi matematica
Z
φ
1
= lim
w · dA
∆V →0 ∆V
∆V →0 ∆V ∆S
Si vede allora che la divergenza del campo vettoriale descrive l’addensarsi o meno delle
linee di flusso in tale campo.
Se poi una funzione scalare f viene differenziata due volte, si suole sintetizzare la
scrittura mediante l’operatore di Laplace o laplaciano
∇ · w = lim
∂2 f ∂2 f
+
= ∇·∇f
∂x2 ∂y2
come ad esempio fatto per la (8.3).
Infine, nell’ambito dello studio del trasporto della massa di controllo elementare di
una certa proprietà scalare, se w è la velocità del fluido, frequentemente la variazione nel
tempo θ di questa viene denotata come somma di due contributi, come già accennato nella
nota relativa alla (3.6). Questi contributi sono quello locale ∂/∂θ dovuto alla variazione
del punto con il tempo, e quello convettivo w · ∇ dovuto al moto della massa di controllo
elementare. Questa somma definisce la derivata sostanziale o totale:
∂
∂
∂
∂
D
=
+ wx + wy =
+w·∇
Dθ ∂θ
∂x
∂y ∂θ
∇2 f =
4.4 Le equazioni differenziali
In molti casi nelle scienze applicate, le equazioni che presentino dei differenziali o delle
derivate rappresentano un importante strumento descrittivo e risolutivo, cioé sia nell’analisi qualitativa che in quella quantitativa. Queste equazioni si formano tutte da un bilancio
effettuato su un volume di controllo, e consentono di ottenere la distribuzione continua
della variabile d’interesse. A questo scopo queste equazioni devono essere integrate tante
volte quanto è l’ordine dell’equazione (una volta se del primo ordine, cioé con una derivata prima) per generare l’integrale generale ovvero la soluzione generica affetta da costanti di integrazioni; questo integrale deve essere poi attualizzato mediante le condizioni ai
limiti che consentono di determinare tali costanti. Alternativamente l’integrazione può
essere eseguita mediante degli integrali definiti, sfruttando direttamente, come limiti di
integrazione, le dette condizioni ai limiti. Le condizioni ai limiti consistono di
1. condizioni al contorno, che specificano il valore della funzione incognita sui confini
della regione in esame;
2. condizione iniziale, che descrive il valore della funzione incognita nel mezzo considerato all’istante che è considerato di inizio per il fenomeno.
Nel testo alcune di queste equazioni differenziali sono state ricavate o richiamate, come
l’equazione di continuità (7.19), quelle di Navier–Stokes (7.23,7.24), l’equazione della
perdita di carico nel regime laminare (7.8), l’equazione fondamentale della trasmissione
del calore per conduzione (8.3) o infine l’equazione dell’energia per un flusso interno
(8.10).
Una prima elementare integrazione è stata eseguita nel Par. 8.2 per la determinazione
della potenza termica trasmessa per conduzione attraverso una parete piana (legge del
Fourier). Nel seguito vengono eseguite alcune altre integrazioni per esteso.
4.4 Le equazioni differenziali
27
Esercizio 4.8 Si determini il flusso termico trasmesso per conduzione attraverso un involucro cilindrico di raggi interno ed esterno r1 e r2 e di lunghezza L, se le temperature
delle superfici interna ed esterna sono rispettivamente T1 e T2 .
Svolgimento: La legge del Fourier (8.1) in questo caso si scrive:
dT
dr
dove A = 2πrL. Questa è una equazione differenziale del primo ordine a variabili
separabili, cioé le variabili sotto il segno di differenziazione possono essere separate
tra loro nei due membri della relazione:
Q̇k = −kA
Q̇k
dr = −kdT
2πrL
Si integri utilizzando le condizioni al contorno:
Q̇k
2πL
Z r2
dr
r1
r
= −k
Z T2
dT
T1
ottenendo
Q̇k
r2
ln = −k(T2 − T1 )
2πL r1
cioé
Q̇k =
2πkL
(T1 − T2 )
ln rr21
La potenza termica trasmessa varia dunque linearmente con la differenza di temperatura, ma la resistenza termica dipende dal logaritmo del rapporto dei raggi. Si noti
la differente formulazione rispetto al caso della parete piana.
Esercizio 4.9 Si determini la posizione istantanea di un grave (legge oraria) nel campo gravitazionale terrestre, nell’ipotesi di assenza di resistenza al moto, mediante l’uso
dell’integrale generale e le costanti di integrazione.
Svolgimento: La seconda legge del moto del Newton è F = ma, dove F è la risultante
delle forze esterne, m la massa ed a l’accelerazione. Per fissare le idee si utilizzi un
riferimento cartesiano con l’asse x rivolto verso il basso. Proiettando tale legge lungo
x si ottiene:
d2 x
dθ2
Questa è una equazione differenziale del secondo ordine a variabili separabili:
mg = m
1
dx
dθ
Si integri una prima volta:
gdθ =
Z
g
dθ =
1
dθ
Z
d2 x
28
4. Analisi matematica
ottenendo
Z
1
dx + c1
dθ
con c1 una prima costante di integrazione. Ordinando e separando ancora le variabili
gθ =
dx
= gθ + c1
dθ
ed integrando una seconda volta si ha:
dx = gθdθ + c1 dθ
ovvero
(4.5)
gθ2
+ c1 θ + c2
(4.6)
2
con c2 una seconda costante di integrazione. La (4.6) è appunto l’integrale generale.
Le due costanti di integrazione posso essere valutate imponendo due condizioni ai
limiti; conoscendo ad esempio la velocità all’istante iniziale, dalla (4.5) si ha:
¯
dx ¯¯
= v1 cioé c1 = v1
v(θ = 0) =
dθ ¯θ=0
x=
e conoscendo la posizione all’istante iniziale, dalla (4.6) si ha:
x(θ = 0) = x1
cioé c2 = x1
Dunque la legge oraria del moto (4.6) diventa:
gθ2
+ v1 θ + x1
2
Esercizio 4.10 Si consideri un solido metallico di una data massa m e superficie esterna
A, a temperatura T0 , esposto a partire da un certo istante ad aria, in quiete, a temperatura
minore Ta . Si determini la storia della temperatura interna del solido (la variazione di
questa nel tempo).
x(θ) =
Svolgimento: Si ammetta, innanzitutto, che la temperatura interna sia uniforme ovvero
T (x, y, z, θ) = T (θ). In termini totali, il bilancio di energia (3.29) per la massa di
controllo considerata si scrive:
dU = Q̇dθ
La variazione dell’energia interna per un solido, per la (2.21) è valutabile come:
dU = mcdT
La potenza termica è data dalla legge del Newton (8.6)
Q̇ = −h̄c A(T − Ta )
Utilizzando queste relazioni si scrive dunque:
h̄c A
dT
=−
dθ
T − Ta
mc
Questa è ancora un’equazione differenziale a variabili separabili. Osservando che
dT = d(T − Ta ), si integri tra l’istante iniziale 0 e quello finale θ:
4.4 Le equazioni differenziali
Z T
d(T − Ta )
T0
(T − Ta )
=
Z θ
0
−
h̄c A
dθ
mc
ottenendo
ln(T − Ta ) − ln(T0 − Ta ) = ln
h̄A
(T − Ta )
=− θ
(T0 − Ta )
mc
Elevando ad e entrambi i membri si ha:
¶
µ
h̄A
T − Ta
= e− mc θ
T0 − Ta
cioé
T (θ) = Ta + (T0 − Ta )e− mc θ
h̄A
Il raffreddamento del solido segue dunque una legge esponenziale.
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4. Analisi matematica