Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Triennale in Fisica e Astrofisica
A.A. 2009/2010
Fondamenti di Astrofisica
Prof. Alessandro Marconi
Dipartimento di Astronomia e Scienza dello Spazio
Il quintetto di Stefan (Credits: NASA/HST)
Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzo
http://www.arcetri.astro.it/ marconi
Ultimo aggiornamento: 26 ottobre 2009
1
Introduzione
Il Corso di “Fondamenti di Astrofisica” si propone di fornire un’introduzione all’astrofisica, attraverso una panoramica dei sistemi studiati, delle metodologie d’indagine e dei
processi fisici rilevanti. Durante il corso sarà dato particolare rilievo ai problemi aperti,
attualmente oggetto degli sforzi della comunità internazionale ma anche stimolo per la
costruzione dei grandi osservatori del futuro.
Uno studio approfondito dell’astrofisica richiede familiarità con il calcolo e le equazioni
differenziali, con la meccanica classica e quantistica, con la relatività speciale e generale, con l’elettromagnetismo, la (magneto)idrodinamica, la termodinamica e la meccanica
statistica, cosa che quindi è possibile solo alla fine del primo triennio di studi. Data la
collocazione temporale e la durata del corso (primo semestre del secondo anno, 3 crediti) dovremo necessariamente limitarci ad una trattazione semplificata dei vari argomenti
trattati. In generale, a parte alcuni casi più semplici, eviteremo lunghe derivazioni matematiche più adeguate ai corsi della laurea magistrale e ci limiteremo a stime di ordine
di grandezza, all’utilizzo di semplici relazioni di scala e, dove necessario, utilizzeremo il
risultato della derivazione matematicamente completa e accurata. Solitamente gli studenti non sono abituati a questo tipo di approccio che riveste una notevole importanza
in Fisica.
Calcoli rigorosi e completi sono ovviamente fondamentali per ottenere il risultato finale sia in Astrofisica come negli altri rami della Fisica. Ad esempio, tralasciare un
fattore 2π in un calcolo può non essere importante per capire la fisica di un determinato
fenomeno, ma certamente non può esser fatto al momento di confrontare le predizioni
di un modello con i risultati sperimentali. Tuttavia la maggioranza dei fisici, dovendo
affrontare un problema nuovo, non inizieranno con un modello rigoroso che includa tutti i fenomeni possibili, ma partiranno da una analisi semplificata (back-of-the-envelope)
che porti a capire quali siano i processi fisici più importanti. Ad esempio, supponiamo
di dover costruire un modello che fornisca il valore di una certa grandezza fisica X da
confrontare con il risultato di un determinato esperimento. Supponiamo anche di sapere
che il risultato finale dipenda dai processi fisici, A, B,C, D, E ma che sia molto complesso
costruire un modello autoconsistente che tenga conto di tutti quei processi. Quasi sicuramente il modello deve essere integrato numericamente e talvolta non esistono computer
in grado di completare i calcoli. Per poter andare avanti si esegue un’analisi per ordini
di grandezza durate la quale, ad esempio, si nota che il processo A può contribuire per
un valore ∼ 100 u, alla grandezza X (u sono ovviamente opportune unità di misura),
mentre i altri processi B,C, D ed E possono contribuire rispettivamente per 10 u, 0.1 u,
1 u, 0.001 u. Il risultato di questa analisi semplificata suggerisce che, nell costruzione di
un modello rigoroso, il processo A è fondamentale, che devo considerare il processo B,
ma che posso trascurare i processi C, D e E se un’accuratezza di qualche % è sufficiente.
In conclusione, l’approccio semplificato che utilizzeremo per la maggior parte degli
argomenti trattati è in realtà molto importante per una più profonda comprensione dei
processi fisici e costituisce uno strumento fondamentale per ogni fisico che lo studente
deve sforzarsi di assimilare.
I libri a cui mi sono ampiamente riferito per preparare questi appunti e che forniscono
numerosi approfondimenti al materiale qui presentato sono
• Astrophysics in a Nutshell, di Dan Maoz (Princeton University Press). È un libro
di introduzione all’Astrofisica che presenta in modo molto compatto tutti gli argo1
menti dalle stelle alla cosmologia. Il livello è in parte adeguato a questo corso ma
talvolta vengono date per scontate conoscenze non ancora acquisite a questo livello
[AstroNutshell].
• Universe (Eight Edition), di Roger A. Freedman e William J. Kaufmann III (W. H.
Freeman and Company). È un libro che ricopre tutti i campi dell’astrofisica moderna, ad un livello molto semplificato e descrittivo con una veste grafica accattivante
e numerose risorse on-line [Universe].
• ....
1.1
Notazione, convenzioni e unità di misura
Gli astronomi utilizzano strane unità di misura, spesso solo per tradizione. In generale
si utilizzano unità del sistema cgs ma molte altre come Ångstrom, km, parsec, anni luce,
masse e luminosità solari, sono comunemente utilizzate negli articoli scientifici. Unità
del sistema cgs e le loro conversioni in unità M KS sono riassunte in Appendice dove si
mostra anche come variano le formule principali nei due sistemi.
Riguardo alla notazione, saranno utilizzate le convenzioni seguenti:
= il simbolo “=” verrà utilizzato per relazioni matematiche esatte o più accurati
del 10%; talvolta per i risultati numerici con accuratezze superiori al % si potrà
utilizzare anche il simbolo ";
≈ il simbolo “≈” verrà utilizzato per una relazione matematica approssimata o per
risultati numerici meno accurati del 10%;
∝ il simbolo “∝” si riferisce ad una relazione di proporzionalità stretta;
∼ il simbolo “∼” si riferisce ad una dipendenza funzionale approssimata nel caso di
una relazione matematica (ad esempio y = ax2.2 può essere scritta come y ∼ x2 ).
Nel caso di una relazione numerica, indica un’accuratezza come ordine di grandezza.
Durate il corso le costanti fisiche e numeriche saranno utilizzati con due cifre significative
(a meno di casi particolari), come indicato in tabella 1.1. Molte di queste costanti sono
di uso estremamente comune in Astronomia ed è auspicabile che, almeno le più usate di
queste, possano essere memorizzate a seguito del loro uso continuato.
Infine una nota sul’utilizzo dei termini “Astronomia” e “Astrofisica”. Durante il corso
utilizzeremo questi termini indifferentemente dal momento che, al giorno d’oggi, hanno
perso una loro differenziazione. Prova ne è il fatto che i quattro giornali più importanti
dove vengono pubblicati i risultati delle ricerche si chiamano The Astrophysical Journal
(ApJ), Astronomy and Astrophysics (A&A), Monthly Notices of the Royal Astronomycal
Society (MNRAS), The Astronomical Journal (AJ) ma il loro contenuto è perfettamente
equivalente.
2
Tabella 1: Costanti e Unità di misura con 2 cifre significative (Credits: AstroNutshell)
Costante gravitazionale
Velocità della luce
Costante di Planck
Costante di Boltzmann
G = 6.7 × 10−8 erg cm g−2
c = 3.0 × 1010 cm s−1
h = 6.6 × 10−27 erg s
h̄ = h/2π = 1.1 × 10−27 erg s−1
k = 1.4 × 10−16 erg K−1
= 8.6 × 10−5 eV K−1
Costante di Stefan-Boltzmann σ = 5.7 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4
Costante di radiazione
Massa del protone
Massa dell’elettrone
Carica dell’elettrone
Elettron-Volt
Sezione d’urto Thomson
Legge di Wien
a = 4σ/c = 7.6 × 10−15 erg cm−3 K−4
mp = 1.7 × 10−24 g
me = 9.1 × 10−28 g
e = 4.8 × 10−10 esu
1 eV = 1.6 × 10−12 erg
σT = 6.7 × 10−25 cm−2
λmax = 2900 Å (T /104 K)−1
hνmax = 2.4 eV (T /104 K)
Angstrom
1 Å = 10−8 cm
Massa solare
M" = 2.0 × 1033 g
Luminosità solare
Raggio solare
Distanza Terra-Sole
Massa di Giove
Raggio di Giove
Distanza Giove-Sole
Massa della Terra
Raggio della Terra
Massa della Luna
Raggio della Luna
Distanza Terra-Luna
Unità astronomica
Parsec
Anno
L" = 3.8 × 1033 erg s−1
R" = 7.0 × 1010 cm
d" = 1 AU = 1.5 × 1013 cm
M! = 1.9 × 1030 g
R! = 7.1 × 109 cm
d! = 5.2 AU = 7.8 × 1013 cm
M⊕ = 6.0 × 1027 g
R⊕ = 6.4 × 108 cm
M" = 7.4 × 1025 g
R" = 1.7 × 108 cm
d" = 3.8 × 1010 cm
1 AU = 1.5 × 1013 cm
1 pc = 3.1 × 1018 cm = 3.3 ly
1 yr = 3.15 × 107 s
3
2
L’Astrofisica
L’Astrofisica è quel ramo della Fisica che studia fenomeni in sistemi fisici estesi su grande
scala come il Sole, i pianeti, le stelle, le galassie o l’universo nella sua interezza. Tuttavia
questa definizione è chiaramente incompleta perché l’Astrofisica si occupa anche di fenomeni a livello atomico o molecolare. Si potrebbe definire l’Astrofisica come quella scienza
che utilizza la Fisica per studiare gli oggetti distanti e l’Universo nel suo insieme, ma lo
studio l’Astrofisica include anche lo studio della formazione della Terra e dell’effetto che
eventi astronomici hanno avuto sulla formazione e l’evoluzione della vita sulla Terra. La
difficoltà nel trovare una definizione precisa è indicazione della enorme varietà di fenomeni che si incontrano nello studio dell’Astrofisica. In pratica tutti gli argomenti di fisica
studiati nel corso della lauree triennale e magistrale (meccanica classica, fluidodinamica,
termodinamica, elettromagnetismo, meccanica statistica, meccanica quantistica, relatività e chimica tanto per nominarne alcuni) hanno un ruolo importante nello studio dei
fenomeni astrofisici. È importante rilevare che l’astrofisica permette di studiare direttamente fenomeni che non possono essere ricreati in laboratorio ma che sono predetti da
varie teorie fisiche (come la Relatività Generale); per esempio, fenomeni che avvengono
in condizioni estreme come l’emissione di righe proibite nelle nebulose (bassissime densità
ambientali, vari ordini di grandezza al disotto del miglior vuoto ottenibile in laboratorio)
o i processi che avvengono in prossimità di un buco nero.
Come gli altri rami della Fisica, l’Astrofisica è una scienza sperimentale che richiede
una stretta interazione tra teoria e sperimentazione, come ben noto già dai tempi di Galileo. L’Astrofisica teorica segue gli stessi metodi ed utilizza gli stessi strumenti utilizzati
dai teorici degli altri rami della Fisica. Le differenze con la Fisica sono principalmente a
livello sperimentale e sono soprattutto intrinseche alla natura dei sistemi studiati:
• L’Astrofisica è una scienza osservativa: per ovvi motivi gli astronomi non possono eseguire esperimenti controllati in laboratorio in cui selezionare o mettere in
evidenza l’effetto fisico di interesse.
• L’informazione dai sistemi astrofisici giunge a noi prevalentemente sotto forma di
onde elettromagnetiche che viaggiano alla velocità finita di c = 3 × 105 km s−1 (velocità della luce). Altra informazione può essere ricavata da neutrini, raggi cosmici o
onde gravitazionali. I sistemi astrofisici vengono spesso chiamati “sorgenti” proprio
perché sono sorgenti delle suddette onde o particelle.
• I tempi evolutivi dei sistemi astrofisici sono in genere estremamente lunghi rispetto
alla vita umana. Per esempio, i tempi scala evolutivi delle stelle più massicce
sono dell’ordine di 105 − 106 yr, mentre quelli delle stelle tipo Sole sono dell’ordine
di 1 − 10 Gyr. Pertanto non è possibile studiare l’evoluzione del singolo sistema
fisico ma si può solo effettuare uno studio statistico analizzando campioni con molti
oggetti in fasi evolutive diverse, con tutti i problemi legati alla selezione dei campioni
stessi ed alla possibilità di generalizzare i risultati ottenuti.
• Data la distanza delle sorgenti astronomiche e la velocità finita di propagazione delle
radiazioni elettromagnetiche, è possibile osservare le sorgenti astronomiche indietro
nel tempo (si parla infatti di look-back time). Se una sorgente si trova alla distanza
D, il tempo che la radiazione e.m. impiega a giungere a noi è ∆t = D/c. Dato
che la velocità della luce nel vuoto è una costante della Fisica, spesso si utilizza
4
il tempo che la radiazione impiega a giungere a noi come misura della distanza di
un oggetto. Per esempio, se una stella si trova alla distanza di 10 anni luce (light
years, ly) significa che la luce ha impiegato ∆t = 10 yr (years) a giungere fino a
noi dal momento della sua emissione; la distanza in unità di lunghezza è pertanto
D = c ∆t = 9.5 × 1017 cm. Riguardo al “guardare indietro nel tempo” è chiaro che
10 anni corrispondono ad un istante nella vita di una stella ma, per esempio, sono
osservate galassie a distanze fino oltre 10 miliardi di anni luce: in tal caso gli effetti
evolutivi sono molto significativi e dal confronto con le galassie locali è possibile
cercare di capire come sia avvenuta l’evoluzione delle galassie stesse.
• L’Astrofisica studia sistemi molto complessi in condizioni fisiche estreme, spesso
non ricreabili in laboratorio: questo fatto, combinato con le caratteristiche di cui
sopra fa si che gli errori che si ottengano sulla stima delle grandezze fisiche di
interesse possano essere molto grandi. Spesso una misura “accurata” può avere
errori dell’ordine del 10-20% mentre alcune grandezze si possono stimare solo come
ordine di grandezza.
2.1
Le sorgenti astrofisiche
In questa parte faremo una panoramica dei sistemi astrofisici che si trovano nell’universo,
cominciando a familiarizzarci con dimensioni, masse e luminosità tipiche.
• La Terra ha un raggio medio R⊕ = 6378 km (dimensione tipica) ed una massa
M⊕ = 5.976×1024 kg. La densità media della Terra è quindi ρ⊕ = M⊕ /(4/3πR⊕ )3 =
5.5 g cm−3 . La Terra ruota attorno all’asse passante per i Poli Nord e Sud in circa
24 ore (tempo scala tipico).
• La Luna è l’unico satellite della Terra. Ha un raggio di R" = 1738 km = 0.27 R⊕
ed una massa di M" = 7.35 × 1022 kg = 0.01 M⊕ che corrispondono ad una densità ρ" = 3.3 g cm−3 " 0.6 ρ⊕ . La distanza media Terra-Luna è pari a D⊕" =
384, 400 km ovvero a 1.28 secondi luce. Il periodo dell’orbita lunare è T" = 27.3
giorni, pertanto la velocità orbitale media della Luna attorno alla Terra è V" =
2πD⊕" /T" = 1.02 km s−1 .
• Il Sole è la stella più vicina alla Terra. Ha un raggio R" = 6.96 × 105 km = 109 R⊕
ed una massa M" = 1.99 × 1030 kg = 3.33 × 105 M⊕ pertanto la sua densità è
ρ" = 1.41 g cm−3 = 0.26 ρ⊕ . La distanza media Terra-Sole è D⊕" = 1.496 × 108 km
corrispondenti a 8.3 minuti luce; pertanto l’immagine del Sole che vediamo in cielo
è una fotografia vecchia di 8.3 minuti. Il periodo dell’orbita terrestre è pari a
1.0 anni (365.25 giorni) pertanto la velocità media della Terra nella sua orbita
attorno al Sole è V⊕ = 29.8 km s−1 . Un’altra grandezza caratteristica del Sole è la
Luminosità, ovvero l’energia irraggiata per unità di tempo. La luminosità solare è
pari a L" = 3.826 × 1033 erg s−1 .
Massa ( M" ), raggio ( R" ) e luminosità ( L" ) solari sono comunemente utilizzate
come unità di misura per masse, lunghezze e luminosità caratteristiche di sorgenti
astronomiche. Anche la distanza Terra-Sole è comunemente utilizzata come unità di
misura delle distanze e prende il nome di Unità Astronomica (Astronomical Unit):
1 AU = 1.496×1013 cm.
5
Figura 1: Orbite dei pianeti del Sistema Solare (Credits: Universe)
• Il Sistema Solare è costituito da 8 pianeti che in ordine di distanza dal Sole
sono: Mercurio, Venere, Terra e Marte (rocciosi), Giove, Saturno, Urano e Nettuno
(gassosi). Plutone è stato recentemente ri-classificato come pianeta nano a seguito
della scoperta di altri corpi del sistema solare con le sue stesse caratteristiche. Il
pianeta più grande del sistema solare è Giove con massa M! = 317 M⊕ = 9.6 ×
10−4 M" e raggio R! = 11.1 R⊕ = 0.10 R" che corrispondono ad una densità media
ρ! = 1.35 g cm−3 ∼ ρ" . Il periodo orbitale di Giove è pari a 11.9 anni. Si ricordi
che per i Pianeti vale la III legge di Keplero
G M"
a3
=
2
P
4π 2
(1)
dove a è il semiasse maggiore dell’orbita e P è il periodo. Utilizzando le unità
scalate sulla Terra si ottiene molto semplicemente
!
a
1 AU
"3
=
#
P
1 yr
$2
(2)
da cui si può ad esempio ricavare che il semiasse maggiore dell’orbita di Giove è ad
esempio a = (11.9)2/3 = 5.2 AU = 7.8 × 1013 cm, come riportato in tabella 1.1. Il
pianeta più esterno del Sistema Solare è Nettuno che si trova ad una distanza di
30 AU (ed ha corrispondentemente un periodo di rotazione pari a 165 anni). Si
noti come il tempo impiegato dalla luce del Sole a raggiungere Nettuno sia pari a
4.16 ore e lo si confronti con quello necessario per raggiungere la Terra (8.3 minuti).
6
Figura 2: Ricostruzione della Via Lattea con la posizione del Sole rispetto al centro della
Galassia (Credits: Universe)
Oltre Nettuno esistono altri corpi più piccoli detti oggetti Trans-Nettuniani come i
Pianeti Nani di cui fa parte Plutone (massa 0.002M⊕ e raggio 0.19R⊕ ovvero ben
più piccolo e “leggero” rispetto alla Luna). Il Sistema Solare propriamente detto è
immerso nella Nube di Oort, probabile residuo della nube di gas primordiale da cui
si formato il Sole, e luogo di origine delle comete a lungo periodo (p.e. la cometa
di Halley). Si stima che la Nube di Oort possa estendersi fino a ∼ 100, 000 AU dal
Sole che corrispondono a 1.6 anni luce.
• Stelle. Oltre la Nube di Oort si trova solo del gas a bassissima densità (il mezzo
interstellare) fino a giungere alla stella più vicina Proxima Centauri situata a 4.2
anni luce di distanza dal Sole. Si ricorda che un anno luce corrisponde alla distanza
percorsa dalla luce del vuoto in 1 anno ovvero 1 anno luce ( ly) = 9.5×1017 cm=
6.3×104 AU. In effetti le distanze tra le stelle sono molto grandi e si stima che nei
dintorni del Sole la distanza media tra le stelle sia pari a ∼ 3 ly (vedremo tra poco
come giungere a questa stima).
Il Sole è una stella abbastanza tipica ma in generale le stelle variano molto nelle
loro proprietà fisiche caratterizzabili in prima approssimazione da Età (valori tipici
osservati 106 → 1010 yr), Massa (0.1 → 60 M" ), Luminosità (10−2 → 106 L" ),
Raggio (0.001 → 1000 R" ) e Temperatura superficiale (3000 → 50000 K) che, come
vedremo più avanti, è legata al colore della luce della stella.
• Via Lattea. Il Sole è solo uno dei circa 200 miliardi di stelle che formano la galassia
della Via Lattea (Milky Way) visibile come una banda luminosa che attraversa tutto
7
il cielo notturno (ovviamente senza nubi e lontano dalle luci della città). Circa 400
anni fa, Galileo fu il primo a rendersi conto che la Via Lattea era costituita da una
miriade di stelle non risolvibili singolarmente dall’occhio umano.
La Via Lattea è una galassia a disco con diametro pari a circa ∼ 1.6 × 105 ly e
spessore di ∼ 3.3 × 103 ly. La sua massa totale è ∼ 6 × 1011 M" di cui possiamo
“vedere” solo il ∼ 20% sotto forma di gas e stelle (materia “visibile”). Il disco della
Via Lattea è caratterizzato dalla presenza di bracci a spirale; il Sole si trova in uno
di questi bracci alla distanza di circa 2.6×104 ly dal centro. La luminosità totale
della Via Lattea è pari a circa 2 × 1011 L" .
Possiamo adesso cercare di stimare la distanza media tra le stelle della Via Lattea.
Supponiamo che si osservino N stelle in un volume V . Ciascuna stella occuperà in
media un volume pari a V /N . Siccome ad un volume V corrisponde una dimensione
lineare L ∼ V 1/3 , la distanza media tra due stelle vicine sarà pari a
!
V
L̄ =
N
"1/3
=
#
π/4 × (1.6 × 105 ly)2 × 3.3 × 103 ly
2 × 1011
$1/3
" 6.9 ly
(3)
dove il volume V è stato calcolato come quello di un cilindro con diametro ed altezza
pari a diametro e spessore del disco della Via Lattea. Il valore ottenuto è più grande
di quello medio in prossimità del Sole per il fatto che in realtà gran parte delle stelle
sono concentrate a distanze minori del diametro totale. Inoltre la densità di stelle è
ovviamente una funzione della distanza dal centro della Via Lattea. Questo metodo
per stimare la distanza media tra “particelle” distribuite all’interno di un volume
dato è ovviamente di utilizzo generale, e non limitato alle sole stelle.
Nella Via Lattea esistono sotto-sistemi di stelle (ammassi) tra cui, ad esempio,
si possono menzionare gli Ammassi Globulari. In un ammasso globulare sono
contenute circa 105 -106 stelle, tenute insieme dal campo gravitazionale generato
dall’ammasso stesso. Un ammasso ha una forma sferoidale con un raggio tipico
di ∼ 30 ly; la distanza media tra le stelle è pertanto dell’ordine di d¯ = 0.5 − 1 ly.
Si noti che questa distanza può essere molto più alta nelle regioni esterne e molto
più bassa in quelle centrali. I circa 200 ammassi globulari della Via Lattea sono
costituiti da stelle molto vecchie, probabilmente la prima generazione di stelle che
si è formata nella galassia.
Lo spazio tra le stelle non è vuoto ma è costituito dal Mezzo Interstellare (InterStellar Medium, ISM), un misto di gas e polvere con densità media nISM ∼ 1 cm−3 ;
in genere nISM si riferisce al gas e con quel numero si intende una particella in
un volume di 1 cm3 . Siccome l’elemento più abbondante è l’idrogeno, H, quella
densità corrisponde a 1.7×10−24 g cm−3 . Per confronto la densità dell’aria a 25 ◦ C
ed 1 atmosfera di pressione è 1.18×10−3 g cm−3 . In laboratorio si possono ottenere vuoti con densità ∼ 10−15 di quella atmosferica, comunque circa ∼ 106 volte
più alte di quelle dell’ISM. La Via Lattea contiene circa ∼ 8 × 109 M" di gas. Il
gas si trova generalmente stati fisici diversi con temperature che vanno da 10 a
106 K. Si ricorda che la Temperatura assoluta è misurata in gradi Kelvin (K) e che
T (K) = T (◦ C) − 273.15.
Nel mezzo interstellare esistono anche le nubi molecolari giganti, nubi relativamente
dense di gas molecolare e polvere con masse tipiche > 105 M" e diametro ∼ 150 ly
8
Figura 3: Il Gruppo Locale (Credits: Universe)
(questo corrisponderebbe a densità medie di ∼ 10 cm−3 , ma nelle condensazioni più
interne si può arrivare oltre 109 cm−3 ) che sono i luoghi in cui si formano le stelle.
• La Via Lattea è parte di un piccolo ammasso di galassie detto Gruppo Locale. Il
Gruppo Locale, che ha un diametro di circa 5×106 ly è costituito da due galassie a
spirale giganti (Via Lattea e M31, la Galassia di Andromeda), una spirale “media”
M33 ed oltre 30 galassie nane. La Galassia di Andromeda (Messier 31 o M31) e
situata ad una distanza di 2.5×106 ly, ha un diametro del disco di ∼ 2.5 × 105 ly,
una massa totale di ∼ 3 × 1011 M" ed una luminosità di ∼ 3.5 × 1011 L" .
• Ovviamente, la maggior parte delle galassie si trova oltre il Gruppo Locale. Esistono
tre tipi di galassie: Spirali (a disco), Ellittiche e Irregolari. Le proprietà fisiche
delle galassie sono molto variabili in termini di dimensioni (3 × 102 → 1 × 106 ly),
masse (107 → 1014 M" ), luminosità (106 → 1013 L" ) ed età media delle stelle che le
costituiscono (da < 1 Gyr fino a poco meno dell’età dell’universo, ∼ 14 Gyr).
Circa il 10% di tutte le galassie è caratterizzata dall’avere un Nucleo Attivo
(Active Galactic Nucleus, AGN) ovvero un nucleo dove i meccanismi di produzione
di energia non sono riconducibili a processi stellari. I nuclei attivi hanno luminosità
∼ 108 − 1014 L" prodotte in regioni di dimensioni inferiori a < 1 ly. Nei casi più
estremi il nucleo attivo può arrivare ad emettere più di ∼ 100 volte il totale della
galassia in un volume ∼ 10−10 volte più piccolo.
• La maggior parte delle galassie non è isolata ma vive in Ammassi di Galassie, raggruppamenti di galassie legati gravitazionalmente. Il Gruppo Locale è un esempio
di ammasso “povero”. Ammassi “ricchi” contengono > 1000 galassie. Un esempio
tipico è l’Ammasso della Vergine che contiene ∼ 2500 galassie, ha un diametro di
∼ 107 ly e si trova ad una distanza di ∼ 5.5 × 107 ly da noi.
9
Figura 4: Galassia Ellittica M87 (sinistra), Spirale M83 (centro) e Irregolare Grande Nube di
Magellano (destra) (Credits: Astronomical Picture Of the Day (APOD))
Figura 5: Struttura a grande scale dell’Universo (simulazione) (Credits: Millennium Run)
10
Tabella 2: Dimensioni e distanze tipiche dei sistemi astrofisici
∼ 1.5 m
6.4×103 km
1.4×106 km
1 AU
60 AU
2.7×105 AU
2.8×104 ly
∼ 105 ly
∼ 2.5106 ly
∼ 107 ly
∼ 5.5 × 107 ly
∼ 6 × 108 ly
∼ 1.3 × 1010 ly
1.5×102 cm Dimensione tipica dell’uomo
6.4×108 cm Diametro della Terra
1.4×1011 cm Diametro del Sole
1.5×1013 cm Distanza Terra-Sole
9.0×1014 cm Diametro dell’orbita di Nettuno
4.0×1018 cm Distanza di Proxima Centauri dal Sole
2.6×1022 cm Distanza del Sole dal centro della Via Lattea
1.9×1023 cm Diametro della Via Lattea
2.4×1024 cm Distanza della Galassia di Andromeda
9.5×1024 cm Diametro dell’Ammasso della Vergine
5.2×1025 cm Distanza dell’Ammasso della Vergine
5.7×1026 cm Diametro tipico di un Superammasso
1.2×1028 cm Oggetto più distante noto al 2009 (Quasar)
Gli ammassi di galassie sono a loro volta raggruppati in Super Ammassi, strutture
legate gravitazionalmente con diametri dell’ordine di ∼ 6 × 108 ly. I superammassi
formano “filamenti” e “muri” attorno a regioni più vuote dell’universo. Questi
filamenti, con dimensioni tipiche di oltre ∼ 6 × 108 ly, sono le strutture più grandi
note.
Come ordine di grandezza, l’universo “visibile” contiene dell’ordine di 1011 galassie.
Ad esempio nell’Hubble Ultra-Deep Field, una parte di cielo apparentemente vuota
con diametro pari a dim 1/10 di quello della luna piena sono state rivelate ∼ 10000
galassie con una esposizione del Telescopio Hubble pari a ∼ 400 ore. Vedremo tra
poco come estrapolare da questo la stima del numero di galassie a noi visibili. Gli
oggetti più distanti a noi noti sono dei nuclei attivi estremamente luminosi detti
“Quasar”. Quello più distante si trova a ∼ 13 miliardi di anni luce ed adesso stiamo
ricevendo la sua luce partita quando l’universo aveva il 5% dell’età attuale.
Per sorgenti “visibili” si intendono ovviamente quelle sufficientemente brillanti da
poter essere rivelate dalla strumentazione a nostra disposizione, ma anche quelle
sorgenti sufficientemente vicine tali che la luce abbia avuto un tempo sufficiente a
giungere fino a noi. Infatti si stima che l’età dell’universo sia dell’ordine ∼ 13.5 Gyr.
Pertanto il fatto che la luce abbia una velocità finita c ha come conseguenza che
non possiamo vedere le sorgenti più distanti di 13.5 × 109 ly, in quanto la luce non
ha ancora fatto in tempo a raggiungerci.
Come abbiamo visto, esiste una vera e propria gerarchia di strutture, dalle più piccole
come i pianeti alle più grandi come i superammassi o i filamenti. Un riassunto delle
dimensioni tipiche delle sorgenti astronomiche indicativo di questa gerarchia è riportato
in tabella 2.1 dove si può notare come ci siano quasi 20 ordini di grandezza nel passare
dalla dimensione della Terra alla distanza dell’oggetto più lontano noto.
11
3
La Sfera Celeste
Il primo passo verso lo studio delle sorgenti astronomiche è la loro localizzazione spaziale,
fondamentale per sapere dove “puntare” gli strumenti di osservazione come i telescopi.
Consideriamo un sistema di riferimento xyz centrato sull’osservatore; utilizzando coordinate sferiche la posizione di una sorgente celeste (supposta puntiforme) è individuata da
tre coordinate r, θ, ϕ ovvero una distanza dall’osservatore (r) e due angoli (θ, ϕ; figura
6a). I due angoli θ, ϕ individuano la direzione della retta passante per l’osservatore e la
sorgente stessa, detta anche “linea di vista” (line of sight), e sono le uniche grandezza
necessarie per puntare il telescopio verso la sorgente. Mentre è molto facile determinare θ
e φ (o le analoghe coordinate angolari utilizzate nel sistema di riferimento scelto), è ben
più complesso determinare r che, a parte alcune eccezioni, è sempre molto maggiore del
raggio terrestre.
Si assume che tutte le sorgenti astronomiche siano collocate sulla superficie di una
sfera, detta Sfera Celeste, di raggio “infinito” e centrata sulla posizione dell’osservatore
(coincidente a seconda dei casi con il centro della Terra o del Sole, supposti puntiformi). In
pratica si sceglie una sfera di raggio molto maggiore di quello terrestre e si proiettano su di
essa le sorgenti astronomiche, la cui posizione apparente è pertanto data dall’intersezione
tra la linea di vista e la sfera stessa (figura 6b). Pertanto posizioni, dimensioni e distanze
relative tra le sorgenti astronomiche sono riconducibili ad angoli e si possono utilizzare
le relazioni della trigonometria sferica. Tutte le misure effettuate in questo modo di
riferiscono a dimensioni angolari (apparenti) in cielo; per poter passare alle dimensioni
reali è necessario conoscere le distanze delle sorgenti.
Posizioni, distanze relative e dimensioni apparenti delle sorgenti sulla sfera celeste
corrispondono ad angoli mentre porzioni (aree) della sfera celeste sono individuate da
angoli solidi. Gli angoli solitamente vengono misurati in gradi, minuti d’arco e secondi
d’arco per cui
π
rad = 0.0175 rad
180
= 60 arcsec = 60%% = 0.000291 rad
1
1
=
deg =
rad
3600
206265
1◦ = 60 arcmin = 60% =
1%
1%%
mentre per un angolo solido di 1 sterad = 1 rad2 = (180/π)2 deg2 .
Poiché le dimensioni apparenti delle sorgenti astronomiche sono sempre molto piccole
è possibile operare delle semplificazioni quando si devono stimare le dimensioni reali
delle sorgenti stesse. Consideriamo una stella posta alla d dall’osservatore (figura 7). Se
l’angolo α rappresenta il suo diametro apparente, il suo diametro reale è pari a
! "
α
D = 2d tan
= 2d
2
#
! "3
α 1 α
+
2 3 2
+O
%! " &$
α 5
2
" dα +
1
d α3
12
(4)
ovvero se α ( 1 è possibile confondere la corda con l’arco ottenendo D = d α con un
errore dell’ordine di ∆D = 1/12 d α3 . In genere le dimensioni angolari delle sorgenti
astronomiche sono molto piccole, spesso dell’ordine di qualche arcsec e comunque inferiori a ∼ 1 arcmin. Dato che 1% = 2.91 × 10−4 rad l’approssimazione α ( 1 è sempre
ottimamente verificata e l’errore relativo che si commette nel confondere corda con arco
12
Figura 6: Sistema di riferimento sferico centrato sull’osservatore (O) e Sfera Celeste. I simboli
vuoti che rappresentano le stelle indicano le proiezioni delle stelle stesse sulla Sfera Celeste.
Figura 7: Relazione tra dimensioni apparenti (angolari) e dimensioni reali di una sorgente
astronomica(Credits: Universe)
13
ovvero nel trascurare la curvatura della sfera celeste è quindi molto piccolo
!
"
!
"
∆D
1
α
α
" α2 = 7.1 × 10−9
= 2.0 × 10−12
(5)
D
12
1 arcmin
1 arcsec
Consideriamo ad esempio il Sole: un raggio R" = 7.0 × 1010 cm visto alla distanza
d" = 1.5 × 1013 cm corrisponde ad una dimensione apparente sul cielo di
α" =
R"
= 4.7 × 10−3 rad = 0.27◦ = 16%
d"
(6)
come ben noto, le dimensioni apparenti del Sole in cielo non sono affatto trascurabili ma
anche in questo caso l’errore che si commetterebbe calcolando le dimensioni reali come
α" d" è dell’ordine di ∆D/D " 7.2 × 10−6 cioè quasi 1 parte su 100,000. Se poi il Sole si
trovasse alla distanza di 4.2 ly, la distanza di Proxima Centauri ovvero la stella più vicina,
le sue dimensioni apparenti (raggio) sarebbero α" = 1.8 × 10−8 rad = 3.6 × 10−3 arcsec =
3.6 mas, dove mas significa milli − secondi d% arco. Come vedremo più avanti questo
angolo è cosı̀ piccolo da non essere misurabile con le tecniche tradizionali di osservazione.
Per le dimensioni apparenti delle stelle in genere si può ricordare questa utile relazione
di scala:
#
$#
$−1
R
d
α = 0.015 arcsec
(7)
R"
1 ly
In generale, quando una sorgente ha una dimensione apparente cosı̀ piccola da non essere
misurabile, questa sorgente viene detta puntiforme. In conclusione si può affermare che,
per tutte le sorgenti astrofisiche, gli angoli corrispondono direttamente alla grandezze
lineari a patto di conoscere la distanza della sorgente. É poi ovvio notare come due
sorgenti possano avere le stesse dimensioni apparenti ma dimensioni reali diverse se poste
a distanze diverse (figura 7).
Siamo ora in grado di cominciare a capire cosa rappresenta una immagine astronomica
come quella riportata in figura 8 che rappresenta il cosiddetto Hubble Ultra Deep Field
(HUDF) una delle immagini più profonde mai fatte, corrispondente ad una esposizione di
oltre 400 ore da parte della Advances Camera for Surveys (ACS) montata sul Telescopio
Spaziale Hubble (Hubble Space Telescope, HST). L’immagine in esame, come ogni altra
immagine astronomica, rappresenta una porzione di sfera celeste sottesa da un dato angolo
solido. Ogni dimensione lineare misurata sull’immagine corrisponde ad un angolo e, per
esempio, le dimensioni delle sorgenti sono soltanto apparenti. Nel caso dell’immagine in
figura, le sue dimensioni sono di 200%% × 200%% che corrispondono ad un campo di vista
(Field of View ) di 4 × 104 arcsec2 = 11.1 arcmin2 .
La galassia indicata in figura ha una dimensione angolare di " 10%% . Se la sua distanza
fosse, per esempio, d = 109 ly, la sua dimensione reale sarebbe
10%% × 109 ly
D(%% ) × d
=
= 4.8 × 104 ly
(8)
206265 %% rad−1
206265 %% rad−1
Un altro semplice esempio consiste nella stima del numero di galassie esistenti nell’universo e che sarei in grado di vedere se facessi una mappatura del cielo con esposizioni come
quella dell’ HUDF. L’immagine HUDF contiene circa ∼ 104 galassie (le stelle presenti
nel campo sono ∼ 10). Se il suo campo di vista è 4 × 104 arcsec2 la densità di galassie
osservate sulla sfera celeste (supposta costante) è
D=
φgal =
104 gal
= 0.25 gal arcsec−2
4 × 104 arcsec2
14
(9)
Figura 8: Hubble Ultra Deep Field: esposizione profonda (400 ore) ottenuta con la Advanced
Camera for Surveys sull’Hubble Space Telescope. Le immagini astronomiche rappresentano
porzioni della Sfera Celeste. (Credits: NASA/HST)
15
ovvero una galassia in media ogni 2%% × 2%% . Tutto il cielo corrisponde ad un angolo solido
di 4π steradianti e, dato che 1 sterad = 1 rad2 si ottiene
Ωsky
#
180 deg
= 4π sterad = 4π rad = 4π
π
2
$2
= 41253 deg2 = 5.35 × 1011 arcsec2
(10)
ovvero in tutto il cielo si osserverebbero
Ngal = Ωsky φgal ∼ 1.34 × 1011 gal
(11)
pari a circa 134 miliardi di galassie. + sono ovviamente solo quelle a noi visibili con
esposizioni oltre 400 ore da parte di HST e la cui distanza è inferiore all’età dell’universo
(vedi sezione precedente). Da notare che occorrerebbero circa 5.35 × 1011 arcsec2 /4 ×
104 arcsec2 = 1.34 × 107 esposizioni tipo HUDF, cosa ovviamente non realizzabile con la
tecnologia attuale.
16
4
4.1
La radiazione elettromagnetica
Onde elettromagnetiche e Fotoni
Gran parte dell’informazione proveniente dalle sorgenti astrofisiche è ricavata dalle onde
elettromagnetiche che esse emettono e che giungono fino a noi. Non entreremo in dettaglio
sulle onde elettromagnetiche, argomento che verrà affrontato e ampiamente coperto nel
corso di Fisica II nel secondo semestre di quest’anno ma ci limiteremo ad alcuni concetti
che saranno utili per il prosieguo del corso.
Durante il corso di Fisica I è stato visto come la massa generi un campo gravita* e le cariche in
zionale; in modo analogo le cariche sono sorgenti del campo elettrico E
* Si trova che campo elettrico e magnetico sono
moto generano il campo magnetico B.
intimamente legati ed il loro comportamento è regolato dalle Equazioni di Maxwell, le
cui soluzioni sono rappresentate da onde elettromagnetiche che si propagano nello spazio
con velocità finita; nel seguito considereremo soltanto la propagazione delle onde e.m. nel
vuoto, dove la velocità di propagazione è la velocità della luce c = 3 × 1010 cm s−1 .
Più in dettaglio si può mostrare come una generica soluzione delle equazioni di
Maxwell è rappresentabile dalla sovrapposizione di funzioni del tipo
* r, t) = E
* 0 cos(2πνt − *k · *r)
E(*
(12)
* 0 perpendicolare a *k ed il campo magnetico dato da
con E
* r, t) = k̂ × E(*
* r, t)
B(*
(13)
* eB
* e
dove k̂ = *k/k è il versore della direzione di propagazione. Questa relazione tra E
tutte quelle riportate di seguito valgono nel sistema cgs.
* che, in un dato punto dello spazio
L’equazione 12 descrive un campo elettrico E
*r, esegue una oscillazione periodica con periodo T = 1/ν; analogamente, per t fissato il
campo elettrico ha un andamento oscillatorio nello spazio lungo la direzione *k con periodo
(spaziale) L = 2π/k, dove k è il modulo del vettore *k, detto vettore d’onda. Si definisce la
lunghezza d’onda, λ = 2π/k, che quindi rappresenta il periodo spaziale delle oscillazioni.
Le oscillazioni del campo elettrico (e quindi del campo magnetico) si propagano nello
spazio con velocità c = λ ν (nel vuoto). Infatti, consideriamo per semplicità un sistema
di riferimento con la coordinata z lungo la direzione definita da *k; il campo elettrico è
esprimibile come
* t) = E
* 0 cos[2π(t − z/c)]
E(z,
(14)
da cui si vede facilmente che
* + c ∆t, t + ∆t) = E(z,
* t)
E(z
(15)
ovvero l’oscillazione del campo elettrico si è propagata nello spazio lungo la direzione di
*k con velocità c. Il luogo dei punti nello spazio che si trovano nelle stesse condizioni di
oscillazione è detto fronte d’onda e, nel semplice caso in esame, è definito dalla condizione
*k · *r = cost che rappresenta l’equazione di un piano nello spazio. Dato che un’oscillazione
(periodica o meno) che si propaga nello spazio è un’onda e che i fronti d’onda sono piani
l’equazione 12 rappresenta una onda piana.
17
Figura 9: Propagazione di un’onda elettromagnetica piana.
Al campo elettrico e magnetico è associata un’energia per unità di volume
E=
1
(E 2 + B 2 )
8π
(16)
pertanto la propagazione nello spazio del campo elettrico e magnetico corrisponde ad
una propagazione di energia. Durante il corso di Fisica II sarà mostrato come l’energia
* = c/4π (E
* × B)
* il
trasportata dal campo e.m. è esprimibile col vettore di Poynting S
cui modulo è il flusso di energia (vedi più avanti) e la cui direzione è la direzione di
propagazione (ovvero, nel caso di un’onda piana, quella di *k).
Il comportamento ondulatorio della radiazione e.m. è ampiamente verificato dal fatto
che esse danno luogo a fenomeni di interferenza e diffrazione, caratteristici dei fenomeni
ondulatori. Tuttavia, la fine dell’800 e l’inizio del ’900, Max Planck e Albert Einstein
scoprirono che la radiazione e.m. mostra anche un comportamento corpuscolare (questo
argomento sarà affrontato in dettaglio durante il corso di Meccanica Quantistica, III
anno). L’energia trasportata dalla radiazione e.m. non ha una distribuzione continua
ma in pacchetti (quanti) detti fotoni; ciascun fotone si comporta come una particella di
massa nulla con energia
hc
(17)
E = hν =
λ
e momento (quantità di moto)
E
hν
p* = k̂ =
k̂
(18)
c
c
dove k̂ rappresenta il versore della direzione di propagazione. h è detta costante di Planck
e vale h = 6.6261 × 10−27 erg s (ha quindi le dimensioni di una azione).
Nell’ambito del trattamento della radiazione e.m. con i fotoni, il fronte d’onda può
essere interpretato come il luogo dello spazio definito da tutti quei fotoni che sono stati
emessi dalla sorgente nello stesso istante. Consideriamo ad esempio una sorgente puntiforme che emetta radiazione e.m. in modo isotropo (cioè indipendente dalla direzione
nello spazio). I fotoni partiti all’istante 0, si troveranno all’istante t alla distanza r = c t
dalla sorgente per cui il fronte d’onda da loro definito è una superficie sferica. Il caso di
una sorgente puntiforme che emette radiazione è più generale di quanto sembri, infatti
se la distanza d tra un punto dello spazio e la sorgente di emissione è molto maggiore
della dimensione D della sorgente stessa, d ) D, si può considerare la sorgente come
puntiforme rispetto al punto in cui si riceve la radiazione. Inoltre, se l’area investita
18
Figura 10: Fronti d’onda sferici e piani da sorgenti astrofisiche.
dalla radiazione sottende un angolo solido dΩ ( 4π come visto dalla sorgente, si può
considerare il fronte d’onda piano sostituendo la superficie sferica con il piano tangente.
Ricordando le dimensioni apparenti del Sole e quelle che avrebbe se fosse alla distanza
della stella più vicina (vedi la sezione precedente), è facile comprendere come per un
osservatore a Terra, le sorgenti astronomiche si possono considerare come sorgenti puntiformi (che emettono quindi onde sferiche), poste ad una distanza infinita ovvero tale che
la radiazione che giunge a Terra è approssimabile con onde piane (figura 10).
4.2
Lo spettro della radiazione em e la trasmissione atmosferica
In generale un’onda elettromagnetica sarà data dalla sovrapposizione di onde con frequenze (o lunghezze d’onda) diverse. A seconda del processo di emissione della radiazione,
varierà l’energia associata a ciascuna frequenza, definendo lo spettro della radiazione; se
dE rappresenta l’energia associata alle onde e.m. con frequenze nell’intervallo ν, ν + dν,
dE = Eν dν
(19)
con Eν che rappresenta lo spettro della radiazione e.m., ovvero l’energia trasportata per
unità di banda (frequenza). In base a quanto detto nella sezione precedente, si può
calcolare il numero di fotoni nell’intervallo ν, ν + dν che vale
dN = Nν dν =
Eν
dν
hν
(20)
Benché la natura fisica delle onde em sia la stessa qualsiasi sia la frequenza e quindi
l’energia dei fotoni in gioco, è tradizione dare nomi diversi alla radiazione nei vari intervalli
di frequenza considerati. La radiazione (luce) visibile è definita dall’intervallo di lunghezza
d’onda a cui il nostro occhio è sensibile, circa 4000 − 7000Å, corrispondenti a 4.3 × 1014 −
7.5 × 1014 Hz. Come mostrato in figura 11 i colori della luce corrispondono a diverse
lunghezze d’onda/frequenze/energie dei fotoni, con il violetto ed il rosso per i fotoni
19
Figura 11: Spettro della radiazione elettromagnetica. (Credits: Universe)
20
Figura 12: Trasparenza atmosferica. (Credits: NASA)
rispettivamente più e meno energetici. L’energia tipica di un fotone nel visibile, calcolata
per esempio a 5500 Å è pari a
Evis =
hc
6.6 × 10−27 erg s × 3 × 1010 cm s−1
=
= 3.6 × 10−12 erg = 2.2 eV
λvis
5500 × 10−8 cm
(21)
dove l’elettron-Volt (1 eV = 1.602 × 10−12 erg) è un’unità di misura comunemente usata
per esprimere le energie dei processi atomici. Per confronto le energie tipiche dei raggi−X
sono dell’ordine di 0.5 − 200 keV mentre quelle dei raggi−γ sono ∼ 1 MeV ed oltre. La
radiazione infrarossa ed a λ più lunga ha ovviamente fotoni con energia minore.
In generale a parità di energia, il numero di fotoni trasportati dalla radiazione em
varia con la frequenza. Per esempio, supponiamo di ricevere da una sorgente astronomica
un’energia di 10−8 erg (con una determinata combinazione di telescopio, rivelatore ed
un dato tempo di esposizione, come vedremo più avanti). Se osservassimo nei raggi−X
ad 1 keV, il nostro rivelatore riceverebbe ∼ 62 fotoni, ciascuno con l’energia di 1 keV.
Viceversa se osservassimo nel radio con λ = 1 m (E = 1.2 × 10−6 eV) , il nostro rivelatore
riceverebbe ben ∼ 5.0×109 fotoni. È chiaro che nel primo caso gli effetti di quantizzazione
della radiazione em, ovvero dell’esistenza dei fotoni, sarebbero ben più facilmente rivelabili
che nell’ultimo caso dove il numero di fotoni è cosı̀ elevato che la natura corpuscolare della
radiazione em è difficilmente percepibile.
Un fatto particolarmente rilevante per quanto riguarda le osservazioni della radiazione
em emessa dalle sorgenti astronomiche riguarda la trasmissione atmosferica ovvero il fatto
che l’atmosfera assorbe in parte o del tutto la radiazione em (figura 12). In figura 12
21
per Atmospheric Opacity si intende la frazione della radiazione che arriva dalle sorgenti
assorbita dall’atmosfera. Per esempio, un’opacità atmosferica del 100% nei raggi−γ, X,
nell’U V , in parte di IR, microonde e radio, significa che l’atmosfera assorbe il 100% della
radiazione di quel tipo incidente, ovvero a terra non arriva nessun fotone a quelle λ. Il
visibile è una finestra molto stretta in cui l’opacità atmosferica è molto bassa (< 10%).
Non a caso corrisponde all’intervallo di lunghezze d’onda a cui il nostro occhio è sensibile.
Alle lunghezze d’onda con bassa trasparenza atmosferica, le osservazioni possono
essere condotte solo dallo spazio.
22
4.3
Luminosità, flusso ed intensità della radiazione em
In questa parte caratterizzeremo il trasporto dell’energia effettuato tramite la radiazione
elettromagnetica.
In generale, si dovrebbero risolvere le equazioni di Maxwell con le opportune condizioni
al contorno, tuttavia nel caso in cui le lunghezze scala del sistema siano molto più grandi
della lunghezza d’onda della radiazione (approssimazione iconale) e ampiezza e direzione
dell’onda siano costanti su distanze > λ (limite dell’ottica geometrica) si può effettuare
una notevole semplificazione: in tali limiti si può assumere che la radiazione, e quindi
l’energia, viaggi lungo dei raggi; questi sono curve le cui tangenti, punto per punto,
corrispondono alla direzione di propagazione dell’onda (*k). Nel caso di onde piane, i
raggi sono delle rette parallele tra loro, mentre nel caso delle onde sferiche sono delle rette
passanti per il centro di emissione. Queste condizioni sono ben verificate nelle sorgenti
astrofisiche le cui dimensioni sono certamente molto maggiori delle lunghezze d’onda
della radiazione em ma, ovviamente, non sono valide se si vuol considerare l’interazione
tra materia e radiazione a livello atomico e/o molecolare.
Consideriamo una sorgente astrofisica che emette una quantità di energia dE nel
tempo dt; posso allora definire la Luminosità
L=
dE
dt
(22)
ovvero la quantità di energia irraggiata nell’unità di tempo. Unità di misura della luminosità sono ad esempio [L] = erg s−1 , oppure L" . Per le sorgenti astrofisiche la quantità
caratterizzante non è di solito l’energia ma la luminosità, spesso mantenuta costante su
tempi scala molto lunghi. Ad esempio, il Sole ha una luminosità costante da circa 5
miliardi di anni. Infine, molti processi non dipendono direttamente dall’energia ma dalla
luminosità della radiazione incidente.
Consideriamo adesso un elemento di superficie infinitesimo dA, attraversato da dei
raggi; la quantità più semplice che posso considerare relativamente al trasporto della
radiazione è il Flusso, ovvero la quantità di energia dE che attraversa la superficie dA
nel tempo dT ,
dE
(23)
F =
dA dt
l’unità di misura di F è di solito [F ] = erg cm−2 s−1 .
Per vedere come si possono collegare Flusso e Luminosità, consideriamo una sorgente
puntiforme che emette radiazione in modo isotropo ed è quindi una sorgente di onde
sferiche (per esempio una stella). Se questa sorgente ha luminosità L, l’energia irraggiata
nel tempo ∆t è ∆E = L∆t. Questa energia viaggia lungo direzioni radiali, formando dei
fronti d’onda sferici per cui, ad una data distanza r dalla stella, il flusso dovuto all’energia
∆E che attraversa la superficie sferica S corrispondente è
F (r) =
∆E
4πr2 ∆t
(24)
per definizione di Flusso come energia per unità di superficie e di tempo. Analogamente se
considero una sfera S % di raggio r% , F (r% ) = ∆E/(4πr%2 ∆t). Poiché l’energia che attraversa
la superficie S deve essere la stessa che attraversa la superficie S %
∆E = L∆t = F (r)4πr2 ∆t = F (r% )4πr%2 ∆t
23
(25)
si ottiene,
L
(26)
4πr2
per qualsiasi r. Questa è la cosiddetta legge dell’inverso del quadrato che mette in
relazione la luminosità al flusso di radiazione per una sorgente puntiforme che emette in
modo isotropo.
L e F si riferiscono a tutto lo spettro delle onde em sono ovvero quantità integrate su
tutto lo spettro em. Molte volte è però più utile considerare le quantità specifiche ovvero
l’energia trasportata ad una determina frequenza. Si parla allora di luminosità e flusso
specifico tali che
dE
Lν =
(27)
dt dν
ovvero dE è la quantità di energia emessa dalla sorgente nel tempo dt con frequenza
nell’intervallo ν, ν + dν. Analogamente
F (r) =
Fν =
dE
dA dt dν
(28)
ovvero dE è la quantità di energia che attraversa la superficie dA nel tempo dt con
frequenza nell’intervallo ν, ν + dν. Evidentemente
L=
' +∞
Lν dν
(29)
F =
' +∞
Fν dν
(30)
0
0
ed anche la legge dell’inverso del quadrato assume la forma
Fν (r) =
Lν
4πr2
(31)
Analogamente alle quantità per unità di banda di frequenza si possono definire le quantità
per unità di banda di lunghezza d’onda ovvero
Lλ =
dE
dt dλ
(32)
dE
(33)
dA dt dλ
Le relazioni con Fν e Lν si possono facilmente ritrovare imponendo la conservazione
dell’energia. La banda λ, λ + dλ corrisponderà a ν, ν + dν dato che λ = c/ν; imponendo
che l’energia sia la stessa in entrambe le formulazioni si ottiene semplicemente
Fλ =
Fλ dλ = Fν dν
(34)
Lλ dλ = Lν dν
(35)
Ovvero, considerando ad esempio il flusso, si può scrivere
Fλ =
(
(
( dν (
(
(
Fν (( ((
dλ
= Fν (c/λ)
24
c
λ2
(36)
Figura 13: Geometria per la definizione dell’intensità specifica o brillanza nel caso in cui
la superficia dA sia perpendicolare (sinistra) o meno (destra) alla direzione di propagazione
considerata.
Si noti come λFλ e νFν siano dimensionalmente dei flussi integrati e come risulti
λFλ = νFν
(37)
ovvero posso calcolare indifferentemente il membro di destra o di sinistra.
Il flusso F è una misura dell’energia trasportata da tutti i raggi che attraversano la
superficie dA indipendentemente dalla direzione da cui provengono. Per una descrizione
più accurata della radiazione è necessario sapere la quantità di energia trasportata lungo
ciascun raggio, ovvero lungo una determinata direzione.
Il singolo raggio trasporta una quantità infinitesima di energia, per cui è necessario
considerare la quantità di energia trasportata da un insieme di raggi la cui direzione
di propagazione differisce in modo infinitesimo da quella in esame. Consideriamo la
superficie dA la cui normale è rappresentata dal versore n̂ e consideriamo tutti i raggi che
attraversano la superficie dA e la cui direzione di propagazione è contenuta all’interno
dell’angolo solido dΩ attorno alla normale n̂ (figura 13).
Si definisce l’intensità specifica o brillanza la quantità Iν tale che, data la superficie
dA perpendicolare alla direzione di propagazione del raggio, si possa scrivere
dE = Iν dA dt dΩ dν
(38)
ovvero la brillanza è un’energia per unità di tempo, superficie, angolo solido e banda di
frequenza. Le sue unità di misura sono tipicamente [Iν ] = erg cm−2 s−1 Hz−1 sterad−1 ,
con sterad che può essere sostituito, per esempio, da arcsec2 .
Si ricorda che 38 vale solo se dA è perpendicolare alla direzione di propagazione.
In generale, se dA non è perpendicolare alla direzione di propagazione l’energia che la
attraversa è data da
dE = Iν cos θ dA dt dΩ dν
(39)
25
dove θ è l’angolo tra la normale e la direzione di propagazione (figura 13). Il termine cos θ
si spiega facilmente col fatto che la superficie che viene “vista” dalla radiazione durante la
propagazione lungo una direzione è proprio la componente della superficie perpendicolare
alla direzione di propagazione stessa. Si noti che nel caso in cui θ = π/2, la quantità di
energia che attraversa la superficie vista di “taglio” dalla radiazione è nulla.
Vogliamo adesso trovare il legame esistente tra intensità specifica e flusso. Come detto
in precedenza, il flusso rappresenta tutta l’energia che attraversa la superficie dA indipendentemente dalla direzione di propagazione. Se consideriamo una qualsiasi direzione
di propagazione, e chiamiamo come dFν il flusso dovuto alla sola direzione considerata
deve valere per definizione di flusso ed intensità specifica
dE = Iν cos θ dA dt dΩ dν = dFν dA dt dν
(40)
dFν = Iν cos θ dΩ
(41)
ovvero
Il flusso di energia complessivo che attraversa la superficie dA si ottiene integrando su
tutte le direzioni possibili, ovvero su tutto l’angolo solido:
Fν =
'
4π
Iν (Ω) cos θ dΩ
(42)
Fν rappresenta il flusso netto attraverso la superficie dA. Si è scritto Iν = Iν (Ω) per
evidenziare che l’intensità specifica dipende dalla direzione considerata. Se il campo di
radiazione è isotropo, ovvero Iν (Ω) = cost. allora Fν = 0 in quanto
Fν = Iν
'
Ω
cos θ dΩ =
' 2π
0
dφ
' π
0
dθ cos θ sin θ = 0
(43)
ricordando che in un sistema di coordinate sferiche (figura ) dΩ = sin θ dθ dφ. Se Iν (Ω) =
cost. ma la radiazione proviene da un solo lato della superficie dA allora
Fν = Iν
'
Ω
cos θ dΩ =
' 2π
0
dφ
' π/2
0
dθ cos θ sin θ = πIν
(44)
dove stavolta θ è limitato all’intervallo [0, π/2]. Questo caso si applica, per esempio,
alla superficie di una stella dove ovviamente la radiazione proviene solo dall’interno della
stella stessa.
Una proprietà notevole della brillanza è la sua conservazione lungo i raggi se non
avvengono processi di emissione o assorbimento della radiazione. Consideriamo la propagazione lungo un raggio come in figura 14. L’energia che si propaga lungo la direzione
in esame e che attraversa la superficie dA1 è
dE1 = Iν1 dA1 dt dΩ1 dν
(45)
mentre quella che attraversa la superficie dA2 è
dE2 = Iν2 dA2 dt dΩ2 dν
(46)
evidentemente l’energia trasportata lungo il raggio si deve conservare se non intervengono
processi di emissione ed assorbimento tra 1 e 2 per cui dE1 = dE2 . Inoltre, i raggi che
26
Figura 14: Geometria per dimostrare la conservazione della brillanza lungo i raggi, in assenza
di fenomeni di assorbimento o emissione.
attraversano la superficie dA1 attraverseranno dA2 solo se dΩ1 è l’angolo solido sotto
cui vedo la superficie dA2 da dA1 ovvero dΩ1 = dA2 /R2 . Analogamente, i raggi che
attraversano la superficie dA2 provengono da dA1 solo se dΩ2 è l’angolo solido sotto
cui vedo la superficie dA1 da 2 ovvero dΩ2 = dA1 /R2 . Imponendo la conservazione
dell’energia e sostituendo le espressione trovate per gli angoli solidi si ottiene
Iν1 = Iν2
(47)
ovvero la conservazione della brillanza. Sia s una coordinata lungo la direzione di
propagazione (figura 14). La conservazione della brillanza si può esprimere come
dIν
=0
ds
(48)
questa è la forma più semplice della cosiddetta equazione del trasporto radiativo. Vedremo
più avanti come questa si complica tenedo conto dei processi di emissione ed assorbimento
lungo la direzione di propagazione.
Un’ultima quantità di interesse è la densità di energia specifica uν , definita come la
densità di energia elettromagnetica per unità di volume e banda di frequenza tale che
dE = uν dν dV
(49)
Per capire il suo legame con Iν , consideriamo la densità di energia per unità di angolo
solido uν (Ω), ovvero la densità di energia associata alla radiazione trasportata lungo un
determinato raggio
dE = uν (Ω) dν dΩ dV
(50)
Consideriamo il cilindro di figura 15 il cui asse è posto lungo la direzione di propagazione,
con superficie di base dA e altezza ds = c dt. L’energia contenuta è pertanto
dE = uν (Ω) dν dΩ c dA dt
(51)
con dV = c dA dt. Siccome la radiazione si muove alla velocità c, nel tempo dt tutta la
radiazione attraverserà la superficie dA, pertanto è possibile scrivere
dE = Iν dA dν dΩ dt
27
(52)
Figura 15: Geometria per dimostrare la conservazione della brillanza lungo i raggi, in assenza
di fenomeni di assorbimento o emissione.
ovvero
uν (Ω) = Iν /c
(53)
Integrando sull’angolo solido, si giunge infine alla relazione tra Iν e uν , cioè tra intensità
e densità di energia:
1'
uν =
Iν dΩ
(54)
c 4π
Si noti come uν non è direttamente legata a Fν , infatti
Fν =
'
4π
Iν cos θ dΩ
(55)
Chiudiamo questa parte mostrando il legame tra la l’energia trasportata nel caso della
trattazione ondulatoria e quella trattata con l’equazione del trasporto radiativo. Se *S+ è
la media temporale (su tempi ) 1/ν) del modulo del vettore di Poynting, in particolari
condizioni valide per i sistemi astrofisici risulta
*S+ =
ed inoltre
' +∞
0
' +∞
0
Iν dν = I
1
uν dν = *E+ = *S+
c
28
(56)
(57)
Figura 16: Lente convergente con sorgenti vicine (sinistra) e all’infinito (sinistra)
5
L’osservazione delle sorgenti astronomiche
In ultima analisi le quantità che ci interessano di una sorgente astrofisica sono Lν ma
anche Iν , in quanto la brillanza si conserva lungo i raggi. Vediamo adesso in modo molto
semplice come si possono stimare misurare o dedurre queste quantità dalle immagini
astronomiche.
Un sistema ottico costituito da un telescopio e da uno strumento ad esso associato
(camera per immagini o spettrografo) può essere descritto in prima approssimazione con
una lente convergente avente:
• lunghezza focale f , pari alla lunghezza focale del sistema telescopio+strumento;
• diametro D, pari al diametro della pupilla d’ingresso (supposta circolare) che in
genere corrisponde allo specchio primario del telescopio, ovvero la superficie che
raccoglie effettivamente la radiazione.
Ricordando i concetti di ottica geometrica applicati alle lenti, detta f la distanza
focale della lente, o la posizione dell’oggetto e i la posizione dell’immagine, si ha
1 1
1
+ =
i o
f
(58)
dove f > 0 per una lente convergente, ed i, o sono positivi se la loro posizione rispetto
alla lente è come in figura 16. Se la sorgente (O) si trova all’infinito, come nel caso di
un sistema astrofisico, i raggi sono paralleli e formano un’immagine puntiforme sul piano
focale. Consideriamo ad esempio due sorgenti all’infinito O e O2 , la prima allineata con
l’asse ottico, la seconda che forma un angolo θ con l’asse ottico; l’immagine di O si formerà
sul piano focale nel punto F , mentre l’immagine di O2 si formerà nel punto F2 posto a
distanza l = θ×f da F . È chiaro quindi che, conoscendo la distanza focale del sistema f , è
possibile convertire le distanze misurate sul piano focale, ovvero sull’immagine, in angoli
secondo la relazione θ = l/f . In conclusione, sorgenti all’infinito (stelle) formeranno
sul piano focale immagini puntiformi. Le dimensioni angolari delle sorgenti estese o
le distanze apparenti sulle immagini possono essere facilmente misurate conoscendo la
distanza focale del sistema.
In figura 17 si mostra come l’occhio sia equivalente al sistema ottico appena descritto:
il cristallino è la lente che forma le immagini delle sorgenti sulla retina posta sul piano
29
Figura 17: Configurazione schematica dell’occhio (sinistra) e di un telescopio rifrattore (destra)
ovvero che utilizza la rifrazione della luce tramite lenti per formare immagini.
Figura 18: Semplici configurazioni per un telescopio riflettore ovvero che utilizza la riflessione della luce per formare immagini. La figura di sinistra indica la configurazione con Fuoco
Primario, mentre quella di destra indica la configurazione con Fuoco Cassegrain.
30
focale. Il cristallino ha la capacità di variare la sua lunghezza focale in modo da riuscire
a formare sempre le immagini sulla retina al variare della distanza delle sorgenti. L’iride è un diaframma che regola le dimensioni dell’apertura di raccolta della luce (pupilla
di ingresso). Il telescopio rifrattore, utilizzato da Galileo nella sua forma più semplice
schematizzata in figura, serve principalmente ad aumentare la superficie di raccolta della
radiazione ed è costituito da una lente obiettivo e da un oculare con il fuoco in comune. Le dimensioni della lente obiettivo determinano l’area di raccolta della radiazione,
mentre la lunghezza focale della lente oculare determina l’ingrandimento dell’immagine
finale. Si noti che la presenza della lente oculare è richiesta soltanto nel caso in cui si
voglia osservare con l’occhio al telescopio altrimenti si può direttamente registrare l’immagine formata sul piano focale della lente obiettivo. In figura 18 sono schematizzate due
semplici configurazioni per un telescopio riflettore. Nel primo caso, uno specchio concavo (es. un paraboloide), forma l’immagine di una sorgente all’infinito nel fuoco, dove è
posto direttamente il rivelatore. Nel secondo caso allo specchio primario è associato un
specchio secondario convesso (es. un iperboloide) avente il fuoco in comune. In tal caso
l’immagine di una sorgente puntiforme viene formata nel secondo fuoco dell’iperboloide.
Questa configurazione, comunemente utilizzata per i telescopi riflettori, prende il nome
di Cassegrain. Vi sono notevoli vantaggi nell’utilizzo dei telescopi riflettori rispetto ai
rifrattori (alta efficienza di riflessione, possibilità di costruire specchi di oltre 10m di diametro, strutture compatte e più economiche, ecc.) per cui i grandi telescopi utilizzati al
giorno d’oggi per la ricerca sono tutti riflettori.
Le dimensioni finite dei telescopi rispetto ai fronti d’onda causano un fenomeno di
diffrazione per cui una sorgente all’infinito genererà una immagine non puntiforme ma
con dimensione apparente pari a circa
θlim
#
λ
λ
"
= 0.013%%
D
5000 Å
$!
D
8m
"−1
(59)
θlim , costituisce il cosiddetto limite di diffrazione per un telescopio. La minima dimensione
angolare misurabile in un’immagine prende anche il nome di risoluzione spaziale.
In realtà, con osservazioni da Terra, non si osservano mai dimensioni apparenti cosı̀
piccole per le sorgenti puntiformi. A causa della rifrazione e della turbolenza atmosferica
le immagini delle sorgenti puntiformi hanno dimensioni ben più grandi. La dimensione di
una sorgente puntiforme a seguito della turbolenza atmosferica è detta seeing. Un valore
tipico per il seeing è ∼ 1%% ; nei momenti peggiori o nei siti non idonei si può arrivare a
seeing ben oltre 5%% ed in tal caso si interrompono le osservazioni; nelle condizioni migliori
si possono avere anche valori più bassi dell’ordine di θseeing " 0.3 − 0.4%% . In ogni caso
la risoluzione spaziale ottenibile è oltre un fattore 20 superiore al limite di diffrazione.
Il seeing dipende dalla lunghezza d’onda a cui si effettuano le osservazioni secondo la
relazione θseeing ∼ λ−1/5 . Per esempio, se il seeing è 1%% a 5000 Å, nel vicino infrarosso a
20000 Å = 2 µm sarà pari a 1%% (20000 Å/5000 Å)−1/5 " 0.8%% .
Per rivelare i fotoni sul piano focale e registrare l’immagine si utilizzano di solito dei
rivelatori costituiti da matrici di n × m elementi fotosensibili, ciascuno dei quali conta i
fotoni che cadono sulla sua superficie di raccolta (in genere rettangolare o quadrata). In
pratica per ottenere un’immagine astronomica divido il piano focale in tanti elementi di
superficie detti picture elements (pixels) ed associo a ciascuno di essi il numero di fotoni
incidenti (figura 19). Un’immagine è pertanto una matrice di numeri n × m, ciascuno dei
quali è direttamente proporzionale il numero di fotoni caduto sul dato pixel i, j. È chiaro
31
Figura 19: Immagine astronomica come matrice di pixels.
Figura 20: Immagini dello stesso campo di vista campionate con un numero diverso di pixels.
32
che se le dimensioni dei pixel sono grandi rispetto alla dimensioni del campo di vista o
alle dimensioni minime che il nostro sistema ottico può rivelare, l’immagine ci apparirà
grossolana e sarà ben evidente la divisione in pixels (figura 20). Un criterio di massima
per aver un’immagine ben campionata è che l’immagine di una sorgente puntiforme cada
su almeno 4 pixels.
I rivelatori utilizzati per la radiazione visibile sono di solito i Charge-Coupled devices
(CCD), utilizzati ormai anche nelle comuni macchine fotografiche, le cui caratteristiche
importanti sono il numero di pixel (una macchina con 12 Mpixels può corrispondere ad
un CCD di n × m = 4000 × 3000, e produrrà fotografie con lo stesso numero di pixels)
ma anche l’efficienza con cui vengono rivelati i fotoni.
Consideriamo adesso l’immagine di una stella (sorgente puntiforme), ottenuta con un
telescopio di diametro D, esponendo per un tempo ∆t ed utilizzando un filtro che lascia
passare i fotoni di frequenza in una banda di larghezza ∆ν centrata attorno a ν. Se il
sistema ha efficienza η (ovvero per n fotoni incidenti, ne vengono rivelati η n), il numero
di fotoni che corrispondono all’immagine della stella e che sono stati registrati su vari
pixels è:
Fν
∆N = η ×
× ∆ν × π D2 × ∆t
(60)
hν
dove Fν è il flusso specifico della stella osservato a Terra (per ricordarsi una relazione di
questo tipo basta pensare alle dimensioni del flusso specifico e pensare che si deve ottenere
un numero puro). Quindi, il numero totale di conteggi sull’immagine che corrispondono
ad una stella data, ci permette di determinare il flusso osservato a Terra dalla stella come
Fν =
hν × ∆N
η × ∆ν × ∆t × πD2
(61)
dove ∆N è la grandezza misurata e le altre sono grandezze note che caratterizzano il
nostro sistema di riferimento. In pratica, si considera una sorgente di riferimento di cui
sia noto a priori il flusso specifico Fν,0 ; detto ∆N0 il numero di fotoni rivelati per questa
sorgente di riferimento nel tempo ∆ t0 , si ottiene
Fν = Fν,0
!
∆N
∆t
"!
∆N0
∆t0
"−1
(62)
Se la stella si trova poi ad una distanza nota d, si può ricavare la sua luminosità specifica
come
Lν = 4π d2 Fν
(63)
Supponiamo adesso di considerare una sorgente estesa, tale cioè che le sue dimensioni
siano maggiori delle dimensioni minime rivelabili dal sistema (per esempio una galassia).
Se un dato pixel dell’immagine corrisponde ad un angolo solido ∆Ω sul cielo e su di esso
cadono ∆N % fotoni allora vale la relazione
∆N % = η ×
Iν × ∆Ω
× ∆ν × π D2 × ∆t
hν
(64)
dove Iν è l’intensità specifica media della regione corrispondente al pixel in esame (come
nel caso precedente si ricordino le dimensioni di Iν ). Iν è pertanto data da
Iν =
hν × ∆N
η × ∆Ω × ∆ν × ∆t × πD2
33
(65)
Si noti come nella relazione tra flusso e intensità non si è tenuto conto del fattore cos θ
in quanto tutte le immagini vengono di solito ottenute in prossimità dell’asse ottico del
sistema, ovvero la superficie di raccolta della radiazione è perpendicolare alla direzione
di propagazione della stessa.
Consideriamo nuovamente il numero di fotoni registrati corrispondenti all’immagine
di una data stella:
Lν
∆N = η ×
× ∆ν × π D2 × ∆t
(66)
2
4π d hν
supponiamo che la stella con Lν sia sufficientemente distante che il numero di fotoni ∆N
è cosı̀ piccolo da non essere rivelabile con il mio apparato di osservazione. Per poter
rivelare la stella, posso rendere più efficiente il mio sistema aumentando
• η, ma η ≤ 1 per cui ho poco margine di miglioramento a meno di non partire da
un sistema molto inefficiente;
• ∆ν, ma perdo informazione fisica;
• ∆t, ma sono limitato sia dalla stabilità del sistema, sia dal tempo ragionevole che
posso dedicare ad una singola immagine; in genere è difficile andare oltre ∆t ≈ 10 h;
• D, il diametro del telescopio.
Quest’ultimo è il fattore che permette di ottenere il guadagno più grande in termini di
sensibilità delle osservazioni, ovvero del flusso della sorgente più debole osservabile. Infatti, le osservazioni con un dato telescopio possono essere ottimizzate in tutti i parametri
di cui sopra, tranne che nel diametro del telescopio stesso. Per diminuire il flusso limite
delle sorgenti osservabili è perciò necessario costruire telescopi sempre più grandi. Per
esempio, fissato il numero minimo di fotoni rivelabili, l’efficienza, la banda passante ed il
tempo di integrazione, Fν,lim × D2 = cost. ovvero, variando D di un fattore a, si riduce
il flusso limite osservabile di un fattore a2 .
L’occhio può essere assimilato ad un telescopio di diametro 0.5 cm con una camera (la
retina) caratterizzata da ∆t = 0.1 s; supponiamo che Feye sia il flusso limite raggiungibile
ad occhio nudo. Se osservassi accostando l’occhio ad un piccolo telescopio di soli 5 cm,
potrei vedere sorgenti con flussi 100 volte più deboli, ovvero 10−2 Feye . Se poi utilizzassi una macchina fotografica attaccata al telescopio e registrassi immagini con tempi di
esposizione più lunghi di quelli consentiti dall’occhio, per esempio 10 s, potrei andare a
rivelare sorgenti ben 100 × 100 = 104 volte più deboli di quelle visibili ad occhio nudo,
ovvero 10−4 Feye .
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