SPAZIO PROIETTIVO - definizione
• Operazione
O
i
proiettiva:
i i
- proiezione da un centro;
- sezione con un piano.
C’
α
P
P’’
P’
C’’
P ---- (P’, P”)
OMOLOGIA PIANA
• Corrispondenza
C i
d
f piani
fra
i i sovrapposti
ti (α’=α”):
( ’ ”)
dell’omologia
omologia (S);
- centro dell
- asse dell’omologia (s).
• Proprietà dell’omologia piana:
- punti corrispondenti sono allineati con il centro
dell’omologia;
- rette corrispondenti si intersecano sull’asse
dell’omologia .
OMOLOGIA PIANA – definizione – ω (S, s)
S = centro
s = asse
F
Š
O’
r
P
s
S’=S”=S
T=T’=T”
T=T
=T
P”
a” a’
P’
F”
F#F
F’
F # F”
F’ # F
F
F”
O”
α
a
F’
r’=r”
’ ”
U U’ U”
U=U’=U”
α’=α”
Centro dell
dell’omologia
omologia
Punti corrispondenti sono allineati con il centro
dell’omologia (S, P’, P”)
Centro
C
t di un ffascio
i di rette
tt unite
it nella
ll
corrispondenza
p
((r’ = r”);
) (P’
( # P”))
Asse dell’omologia
dell omologia
Luogo
g dei p
punti uniti nella corrispondenza
p
(U’ = U”)
Rette corrispondenti si intersecano in un punto
dell’asse
dell
asse dell’omologia
dell omologia (a
(a’ ^ aa”)) = (U
(U’ = U
U”)) € s
COSTRUZIONE DELL’OMOLOGIA PIANA
ω (S,
(S s, P’,
P’ P”) = (S,
(S s, r’,
’ r”)
”)
S
B’
B
A’
C’
U’ = U
U
U”
A”
F’ < > F”
equivalenti
a’
C”
C
s
B”
B
a”
DECLINAZIONE DELL’OMOLOGIA
DELL OMOLOGIA PIANA
• Omologia generale > ω (S, s, P’, P”)
• Affinità omologica > ω (S , s,
s P’
P ,P
P”))
Omologia affine
• Omotetia > ω (S, s , P’, P”)
• Traslazione > ω ((S , s , P’,, P”))
Omologia generale >
ω (S,
(S s,
s P’
P ,P
P”))
R”
S
B’
B
A’
R’∞
R
D’
C’
U’ = U”
P’∞
P”
D”
D
A”
F’ < > F”
equivalenti
aa’
s
C”
B”
a”
Affinità omologica > ω (S , s, P’, P”)
B’
S
A’
C’
P’
D’
M’
M
Q’
s
P”
A”
A
D”
B”
M”
C”
C
Q”
• retta impropria di α
α’ < > retta impropria di α
α” > P
P’ # P
P”
• bisezione di angoli e segmenti > D’M’=M’C’ > D”M”=M”C”
S
Omotetia > ω (S, s , P’, P”)
P’
A”
A’
D’
B’
Q’
Q
C’
P”
B”
D”
Q”
C”
• retta impropria di α’ < > retta impropria di α” > P’ = P”
• F’ = k F” > angoli uguali > Omotetia = SIMILITUDINE
Traslazione > ω (S , s , P’, P”)
P’
Q’
A’
R’
P”
S
B’
C’
D’
B”
Q”
A”
A
C”
R”
D”
i
i di α’’ < > retta impropria
i
i di α”
” > P’ = P”
• retta impropria
F’ = F” > angoli e lunghezze uguali > Traslazione = CONGRUENZA
OMOLOGIA PIANA di RIBALTAMENTO
α
F
– ω ((S,, s))
piano bisettore
O” ∞
90°
90
F
Š
O’
F*
α**
F’
O*
U
α
F#F
F’
F = F*
F’ # F
F
F*
s
S’=S*=S
F
U
F*
F’
α’=α*
F*