. UN APPROCCIO DIDATTICO
ALLA “MODELLIZZAZIONE”
Cosa si intende per “modellizzazione”
di un fenomeno
il processo che porta a:
• individuare le variabili che possono essere
rilevanti nella descrizione del fenomeno stesso;
• dare una descrizione verbale e schematica del
fenomeno;
• determinare le relazioni esistenti tra le variabili;
• esprimere tali relazioni tramite equazioni e/o
regole che danno al modello una valenza
predittiva.
• Il “modello” di un sistema è, in sintesi, una
rappresentazione del sistema che può
essere validata e usata per approfondire lo
studio di fenomeni analoghi, anche se
appartenenti a “campi tematici” differenti
da quelli a cui appartiene il sistema che ha
portato all’elaborazione del modello
stesso.
I fenomeni di andamento all’equilibrio
Sistemi interagenti con l’ambiente esterno, come:
• la conduzione termica;
• la caduta di un corpo, di dimensioni e massa
ridotte, in un fluido viscoso;
• lo svuotamento di un serbatoio di acqua tramite
un tubo sottile;
• il decadimento radioattivo;
• scarica di un condensatore su un resistore.
I fenomeni di andamento all’equilibrio
Il nostro approccio didattico, utilizza uno stesso
punto di vista che viene sviluppato in due passi
successivi:
• una profonda disamina delle interazioni tra i
sistemi e l’ambiente esterno evidenziando, per
ciascuno dei fenomeni analizzati, una o più
variabili rilevanti per la loro descrizione.
• L’ipotizzare un tipo di relazione tra le variabili in
gioco, da validare attraverso la esecuzione di
esperimenti.
Raffreddamento di acqua tiepida in ghiaccio fondente:grafico della
temperatura in funzione del tempo.
L’esperimento viene svolto facendo raffreddare 10 cm3 di acqua a 30°C in un
bagno di ghiaccio fondente. Le misure sono prese tramite un sistema MBL (la
velocità di campionamento è di 0,5 misure/sec).
Cestini di carta in caduta in aria: grafico
dell’accelerazione in funzione del tempo.
Come costruire un modello matematico
(la descrizione)
y  y0 e
 kt
Come costruire un modello matematico
(la spiegazione)
La descrizione verbale dei fenomeni e la modellizzazione fisica
Un esperimento pensato: lo svuotamento di un cilindro, di sezione S,
pieno di liquido fino ad una altezza h0, tramite ripetuti collegamenti ad un
cilindro di sezione inferiore, s.
Una descrizione verbale del meccanismo alla
base del processo di svuotamento potrebbe
essere quella seguente:
la frazione di acqua che viene sottratta in ogni
singola operazione di svuotamento dipende
dalla quantità di acqua contenuta nel
recipiente ed è proporzionale ad essa.
Il modello matematico che schematizza
la descrizione verbale del fenomeno,
Dyi = -kyi
(i= 1,2………)
dove yi e Dyi =(yi-1 - yi) rappresentano
rispettivamente il livello dell’acqua nel cilindro
S e la sua variazione durante l’i-esima
operazione di svuotamento.
Impostiamo il calcolo
Grafici del livello, y, di liquido nel cilindro di sezione S in funzione dei passi della
simulazione e delle variazioni Dy in funzione del livello di liquido.
Cosa possiamo dire del rate di
variazione di una singola variabile?
Calcolando la rapidità di variazione, Dy/Dt,
delle variabili in studio nei singoli fenomeni
sperimentali osservati, gli studenti
riconoscono l’esistenza di una legge di
proporzionalità diretta tra ciascuna
variabile e la sua rapidità di variazione,
allo stesso modo in cui le variazioni del
livello del liquido calcolate su ogni singolo
step, risultano direttamente proporzionali
al livello stesso
Il caso del raffreddamento
Tutti i fenomeni analizzati possono, essere ricondotti
alla stessa descrizione verbale e alla equazione
che rappresenta una riformulazione, alle differenze
finite, dell’equazione differenziale
Dy
  Ky
Dt
dy (t )
 ky(t )
dt
L’analisi semi-quantitativa e la
generalizzazione del modello
Uso di connettori “causali” tra le variabili, rappresentati ad esempio da frecce
e da un segno + o - : ogni freccia rappresenta l’influenza che l’elemento alla
sua coda esercita sull’elemento alla testa.
•Il segno positivo significa che una variazione dell’elemento di coda della freccia ha come
effetto una variazione dell’elemento di testa che va nella stessa direzione; così, una
diminuzione (o un aumento) dell’elemento di coda porta ad una diminuzione (o ad un
aumento) della variabile associata all’elemento di testa .
•Il segno negativo significa che una variazione dell’elemento di coda deve avere per effetto
una variazione dell’elemento di testa che va in direzione opposta a quello dell’elemento di
testa; così, una diminuzione (o un aumento) dell’elemento di coda porta ad un aumento (o ad
una diminuzione) della variabile associata all’elemento di testa
Processo di raffreddamento
Una semplice descrizione verbale del processo metterà in evidenza il
fatto che la sostanza, interagendo con l’ambiente, diminuirà la sua
temperatura.
Una più accurata descrizione del fenomeno passa per la percezione
che il processo di raffreddamento di un corpo a temperatura Tc in un
ambiente a temperatura costante Ta < Tc è tale che una
diminuzione della differenza di temperatura (Tc – Ta) ha
come effetto una diminuzione della rapidità di
raffreddamento e un aumento della rapidità di
raffreddamento porta invariabilmente ad una
diminuzione nel tempo della differenza di temperatura tra
il corpo e l’ambiente.
Il modello afferma, quindi, che la rapidità di raffreddamento
diminuisce man mano che il processo si svolge e che il
sistema tende a raggiungere uno stato di equilibrio.
Anello causale
la variabile differenza di temperatura (Tc – Ta ) influenza in qualche modo se stessa
attraverso la sua rapidità di variazione.
Il processo comporta una sorta di retroazione (feedback) che è negativa (segno – al
centro dell’anello) in quanto porta inevitabilmente ad una diminuzione del valore della
variabile rappresentativa del fenomeno, man mano che il processo si svolge, fino al
raggiungimento di uno stato di equilibrio.
la variabile in gioco nel sistema è nello stesso tempo causa ed effetto.
Fenomeni con feedback
Molti fenomeni possono essere inquadrati nello schema dei
sistemi a retroazione negativa se è possibile individuare
una variabile y la cui rapidità di variazione è legata alla y
stessa tramite l’equazione:
dy (t )
 ky(t )
dt
Fenomeni con feedback
• nel caso del raffreddamento, la variabile significativa è
la differenza di temperatura tra il corpo che si raffredda e
l’ambiente esterno;
• nel caso della scarica del capacitore, la variabile che
determina l’equilibrio elettrostatico del sistema è la
differenza di potenziale V ai capi del capacitore;
• nel caso del recipiente di liquido che si svuota attraverso
un tubo di piccola sezione, la variabile che determina
l’equilibrio è la differenza di pressione e, di
conseguenza, l’altezza del fluido, h ;
• Nel caso del moto di caduta di un corpo in un fluido
viscoso la variabile descrittiva del fenomeno è la forza
risultante agente sul corpo che cade.