Quel che vedo è sempre
vero?
A cura di Lucio Vecchio
Liceo Scientifico Statale “Giovanni da Procida” - Salerno
L’attività è stata realizzata e sperimentata in classe nel corso dell’anno scolastico 2006/07
nell’ambito del Progetto [email protected]
I parte
La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato
del suo precedente è sempre un numero dispari
La mia affermazione è corretta?
Verifichiamola con alcuni esempi
Completiamo la tabella
numero
precedente
quadrato del
numero
5
4
8
7
64
49
15
11
10
121
100
21
25
quadrato del
precedente
16
differenza
9
Un’altra affermazione ….
La somma di due numeri uguali è sempre uguale al loro prodotto
Come prima verifichiamola con alcuni esempi
Completiamo la tabella
numero
numero
numero
+
0
0
0
2
2
4
numero
numero x numero
0
4
La mia affermazione è corretta?
Certamente NO !!!
Ma allora …
Quel che vedo è sempre vero ?
Un semplice esempio numerico è sufficiente per dimostrare la
falsità della seconda affermazione
3+3 ≠ 3x3
Provate ora a verificare la prima affermazione con i primi 100 numeri di No e,
per non perdere tempo nei calcoli, utilizzate il foglio elettronico Excel
Basta la verifica fatta per affermare la verità di tale proposizione?
Che cosa ci assicura che l’affermazione:
“La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il
quadrato del suo precedente è un numero dispari”
è sempre vera?
Formalizziamo algebricamente il problema
Un numero:
n
Il suo precedente:
La differenza dei quadrati: n 2
Qual è lo sviluppo di
n-1
 (n  1) 2
n 2  (n  1) 2 ?
2n -1 è pari o dispari?
Ripeti la dimostrazione indicando il primo numero con n+1 ed il suo
precedente con n
Q
u
Qual è la differenza tra verificare e dimostrareauna congettura?
l
è
l
o
Formalizziamo algebricamente i seguenti problemi e
dimostriamo, come prima, la loro verità
1. la somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari (anzi è un multiplo di 4);
(2n+1) + (2n+3)
oppure
(2n-1) + (2n+1)
2. la somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari;
3. il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari;
(2n+1)(2m+1)
4. il prodotto di due numeri, di cui almeno uno è pari, è pari.
Quanti casi dobbiamo considerare?
2n (2m+1)
oppure
2n + (2m+1)
(2n)(2m)
Esercizi per casa
Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false:
• “La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3”.
• “La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari”.
• “La somma di due numeri pari è sempre pari”
• “Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo”.
• “La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari”.
Risolvi e commenta
Ciascuna delle persone che ha partecipato a un ricevimento ha dato un certo
numero di strette di mano. Dimostra che il numero di quelli che ne hanno dato un
numero dispari è pari.
II parte
I programmi di geometria dinamica servono a
dimostrare
le relazioni che intercorrono tra enti geometrici?
Costruiamo, ad esempio, con Geogebra le mediane
di un triangolo qualsiasi.
Registrazione da LIM
Le mediane sembrano incontrarsi in uno stesso punto !
ma ne siamo sicuri?
Se i punti di intersezione fossero distinti, ma distanti l’uno dall’altro meno di
0,00001 mm, ci accorgeremmo della differenza?
Le costruzioni fatte ci aiutano ad intuire le possibili relazioni che
intercorrono tra gli enti geometrici considerati, ma ….
… non basta verificare
… occorre dimostrare
Un’altra congettura …. famosa
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto
come somma di due numeri primi
Come prima, proviamo a verificarla con alcuni esempi
4 = 2+2
10 =5+5
8 = 5+3
12 =7+5
6 = 3+3
14 =7+7
16 = 11+5
Esercizi per casa
1) Utilizzando l’algoritmo di Cantor e le tavole dei numeri primi, verifica la
congettura enunciata scegliendo 20 numeri pari a tuo piacimento
Via
2) Prova a dimostrare la congettura enunciata
Scegli un numero pari
Scegli il numero primo più vicino al pari
considerato, purché minore
Calcola la differenza
Si
La differenza è un
numero primo?
Il numero pari considerato
è la somma
dei numeri primi trovati
Fine
No
3) Leggi il brano e dici perché il problema è inverosimile
Uno scherzo matematico: tre dispari fanno un pari
XLIII. PROPOSITIO DE PORCIS.
Homo quidam habuit CCC porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent.
Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCC sive de XXX, inter tres
dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est.
Solutio
Ecce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero
occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos.
XLIII. PROPOSIZIONE SU ALCUNI MAIALI.
Un uomo aveva 300 maiali. Ordinò che fossero tutti macellati in 3 giorni, ma ogni giorno doveva
essere ucciso un numero dispari di maiali. Egli volle che la stessa cosa fosse fatta con 30 maiali.
Dica, chi può, quanti maiali vennero uccisi al giorno in numero dispari, del gruppo dei 300 e dei
30 maiali? Questo calcolo irrisolvibile è stato composto per scherno.
Soluzione
Ecco uno scherzo! Nessuno può risolvere il problema nel modo indicato, cioè in modo che 300 o
30 maiali siano uccisi in 3 giorni, macellandone un numero dispari ogni giorno. Questo è un
problema inverosimile ideato solo per mettere alla prova i giovani.
Da BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa
Un po’ di storia ed un
libro da leggere
La storia …..
Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una
lettera a Leonhard Euler in cui propose la seguente congettura:
Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto
come somma di tre numeri primi.
Euler, interessandosi al problema, rispose con una versione più forte
della congettura:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come
somma di due numeri primi.
La prima delle due è oggi conosciuta come congettura "debole" di
Goldbach, la seconda come congettura "forte" di Goldbach.
(L'enunciato della versione forte implica quello della congettura
debole, poiché ogni numero dispari maggiore di 5 può essere
ottenuto aggiungendo 3 ad ogni numero pari maggiore di 2). Si
conviene che il termine congettura di Goldbach sia sinonimo di
congettura forte di Goldbach.
Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi.
…. il libro
Apostolos Doxiadis
Zio Petros
e la congettura
di Goldbach
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