Corrente Elettrica
Finora abbiamo considerato le cariche elettriche fisse: Elettrostatica
Consideriamole adesso in movimento !
La carica in moto forma una corrente elettrica.
L’intensità di corrente è uguale al “tasso” (rapidità) con cui le
cariche si muovono attraverso una ipotetica sezione di un
conduttore
dq
i
dt
• La direzione della corrente è definita come la direzione in
cui si muovono le particelle cariche positivamente.
Comunue, la corrente è uno scalare.
Q
Q  n  V  q  n  A  xl  q  n  A  vd  t  q  I 
 n  q  vd  A
t
Fisica II - Informatica
Corrente Stazionaria (o continua)
Una corrente elettrica la cui intensità non varia nel tempo.
Una volta raggiunto lo stato stazionario, la corrente è la stessa
attraverso una qualunque sezione di un conduttore (continuità).
La carica totale che passa attraverso una sezione in un intervallo di
tempo t è data da
t
q   dq   idt  it
0
Unità SI : Ampere (A)
1 A = 1 C/s
Fisica II - Informatica
Densità di Corrente
• La densità di corrente è un vettore.
• La direzione della densità di
corrente in un dato punto è la
direzione in cui si muove una
carica positiva.
• L’intensità della densità di corrente
è tale che la corrente totale
attraverso una sezione è data da
Linee di flusso del
campo di corrente
i   J  dA
se la corrente èuniforme e parallela a dA
i   J dA  J  dA  JA
Fisica II - Informatica

J i A
Aspetti Microscopici
• Quanti elettroni mobili che ci sono in un conduttore ?
Esempio – Il rame è utilizzato comunemente nell’impianto
elettrico delle abitazioni. Quanti sono gli elettroni mobili che
troviamo in un filo di rame ?
La densità del rame è 8.95 g/cm3 ed il suo peso molecolare 63.5
g/mole (in una mole di qualunque sostanza contiene un numero
di atomi pari al numero di Avogadro 6.021023 atomi.
Nell’ipotesi che vi sia un solo elettrone mobile per ciascun un
atomo di rame:
m
63.5 g
3
V 

7.09
cm
 8.95 g cm3
N Av 6.02 1023 elettroni
22 elettroni
28 elettroni
n

 8.49 10
 8.49 10
3
3
V
7.09 cm
cm
m3
Fisica II - Informatica
Aspetti Microscopici
• Le cariche mobili, cioè gli elettroni, si trovano nei
conduttori con una densità, ne (ne  1029 m-3)
• Il campo elettrico E mette in moto
gli elettroni:
– tutte le cariche si muovono con una
velocità, ve
– “gran parte” del moto è di tipo
“casuale” (in tutte le direzioni on
media nulla) con una piccola velocità
media eguale a vd
velocità di deriva
La velocità dovuta al moto casuale è
dell’ordine di 106 m/s. Mentre, la velocità
di deriva è solo 10 -5 m/s.
Fisica II - Informatica
Aspetti Microscopici
• Densità di Corrente, J, è data da J = qenevd
– unità di J è C/m2sec ovvero Ampere/m2
– la corrente, I, è J moltiplicato l’area della sezione,
p.es. I = J pr2 se circolare.
• Il campo E in un conduttore è generato da una batteria
• Le cariche sono messe in movimento, ma vengono
“diffuse” in tempi molto brevi da “oggetti” sul loro
cammino
– c’è un grande “affollamento” all’interno del metallo
– difetti, vibrazioni reticolari, ecc.
• Tipico tempo di “diffusione” t = 10-14 sec
• le cariche sono accelerate durante questo tempo e,
successivamente, diffuse casualmente
Fisica II - Informatica
Aspetti Microscopici
• A che velocità si muovono gli elettroni mobili ?
Esempio – Un filo di rame ha diametro di 2.5 mm2 e sezione di
circa 5 mm2, se è attraversato da una corrente di 10 A a che
velocità media si muovono gli elettroni ?
Noto il numero di elettroni liberi nel rame (vedi es. precedente),
la velocità di deriva vale:
J
I
vd 


ne neA
10 C s
4 m

 1.46  10
elettroni
s
19
6
2
8.49  1028

1.6

10
C

5

10
m
m3
Non sembra particolarmente elevata: ci vogliono circa 15000
sec per percorrere 1 metro (4 ore !!!).
Fisica II - Informatica
Aspetti Microscopici
• la velocità media raggiunta in questo F  ma  v  eEt
d
tempo è [ eE=forza, forza/m = a, v=at ]
m
• la densità di corrente è J = nevd , quindi la corrente è
proporzionale ad E che è proporzionale alla d.d.p.
I  J  v  E  V  V  I  R
V
1V
R
resistenza  unità di misura ohm ,   1 
I
1A
• In diversi casi R=cost al variare di V 
Legge di OHM
Legge di OHM non è una legge fondamentale della natura !
Piuttosto è una relazione empirica valida soltanto per certi
materiali e/o dispositivi, in un campo limitato di condizioni !
p.es. i semiconduttori, ed i dispositivi (diodo, transistor) sono
non-ohmici
Fisica II - Informatica
Validità della legge di Ohm
Un materiale conduttore obbedisce alla legge di Ohm
quando la resistività del materiale è indipendente
dall’intensità e direzione del campo elettrico applicato.
ohmico
non-ohmico
Comunque, la resistività è, in generale, dipendente dalla
temperatura. La dipendenza è all’incirca lineare (per i metalli), i.e.
  0  0 T  T0 
coefficiente di temperatura
della resistività, 
I metalli obbediscono alla legge di Ohm solo quando la
temperatura è mantenuta costante durante la misura.
Fisica II - Informatica
Resistività e coefficienti termici della
resistività per alcuni materiali:
Fisica II - Informatica
Aspetti Microscopici
(definizioni)
Sulla base delle relazioni precedenti possiamo riscrivere la
legge di OHM in forma microscopica (prescindendo dalla
forma e dimensioni del conduttore):
 ne2t
J 
 m
Conducibilità
ne 2t

m
Fisica II - Informatica

 E ovvero J   E

Resistività

1

 E  J
R
I
Resistenza
I
V
•Resistenza
La resistenza è definita come il
rapporto tra la d.d.p. applicata
e la corrente che la attraversa.
V
R
I
Unità: OHM = 
Effetto delle dimensioni
R
L
A
E
j
A
L
• All’aumentare della lunghezza, il flusso di elettroni è limitato
• All’aumentare dell’area della sezione il flusso è favorito
• Analogia (macroscopica) con il flusso di acqua in una conduttura
Fisica II - Informatica
Aspetti Macroscopici
• Le proprietà di un materiale dipendono
dalle sue proprietà microscopiche
Se il materiale è uniforme:
j

I
A
V EL
E
j
A
L
I
 ρL 
V  EL   jL  
L I

A
A



Fisica II - Informatica
V IR
L
con R  
A
Legge di Ohm
(R=cost.)
Aspetti Macroscopici (riassumendo ...)

V  IR
con
L
R
A
E
j
A
L
Legge di Ohm:
è indipendente dalla forma del resistore.
La formula per R NON E’ la legge di Ohm, ed è
valida per conduttori di sezione arbitraria,
MA SOLO SE la sezione è la stessa per tutta la
lunghezza.
Fisica II - Informatica
Esempio #1
Due resistori cilindrici sono realizzati con
lo stesso materiale, e sono di lunghezza
eguale. Il primo resistore ha diametro d,
ed il secondo resistore ha diametro 2d.
Confrontare la resistenza dei due cilindri.
a) R1 > R2
Fisica II - Informatica
b) R1 = R2
c) R1 < R2
Esempio #2
Due resistori cilindrici sono realizzati con
lo stesso materiale, e sono di lunghezza
eguale. Il primo resistore ha diametro d,
ed il secondo resistore ha diametro 2d.
Se la stessa corrente fluisce attraverso entrambi i resistori, confrontare
le velocità di deriva medie degli elettroni nei due resistori:
a) v1 > v2
Fisica II - Informatica
b) v1 = v2
c) v1 < v2
Superconduttori
Per una classe di metalli e composti noti come
superconduttori la resistenza diventa zero al di
sotto di una particolare temperatura critica Tc.
Levitazione di un magnete permanente su un
disco superconduttore alla temperatura dell’azoto
liquido -196 ºC (77 K).
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Energia e Potenza nei circuiti elettrici
V
Supponiamo che la corrente nel circuito
in fig. sia i, fluendo attraverso la d.d.p. V.
In un intervallo di tempo dt, la quantità di
carica che si muove da a a b è quindi
dq = idt. La variazione nell’energia
potenziale associata con questa carica è
dU  dq V  idt V
Rammentiamo:
Potenza = (Energia)/(intervallo di Tempo)
Pertanto, la potenza associata
con il trasferimento di carica è
Per un dispositivo di resistenza R,
la dissipazione di potenza è
Fisica II - Informatica
dU
P
 iV
dt
Tre modi per
scrivere P.
2
V
Pi R
R
2
Generatore di forza
elettromotrice f.e.m.
Un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale
tra una coppia di terminali
• batterie
• generatori elettrici
• celle solari
• termopile
• celle a combustibile
L’energia si conserva ! Un dispositivo f.e.m. converte
semplicemente altre forme di energia (p.es., chimica,
meccanica, solare, termica, e così via) in energia elettrica.
Fisica II - Informatica
F.E.M.
Forza Elettromotrice
All’interno di un dispositivo f.e.m., i portatori di carica
positiva si muovono dal terminale a potenziale più
basso (cioè, il terminale negativo) a quello a potenziale
più alto (cioè, il terminale positivo).
Quindi del lavoro deve essere
svolto nel processo. La f.e.m.
del dispositivo è definita come
lavoro per unità di carica:
dW

dq
Fisica II - Informatica
unità SI: volt (V)
1 J/C = 1 V
Dispositivi f.e.m. ideali e reali
• Dispositivo f.e.m. ideale: un dispositivo f.e.m. in cui
i portatori di carica non subiscono alcun effetto di
resistenza elettrica quando si muovono da un
terminale all’altro. In questo caso, la differenza di
potenziale tra i due terminali è eguale alla f.e.m. del
dispositivo.
• Dispositivo f.e.m. reale: un dispositivo f.e.m. in cui i
portatori di carica subiscono un effetto di
resistenza elettrica quando si muovono da un
terminale all’altro. In questo caso, la differenza di
potenziale tra i due terminali è più piccola della
f.e.m. del dispositivo, a causa della dissipazione di
energia interna. Ci riferiamo a questo fenomeno
come caduta di tensione Ohmica.
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Conservazione dell’energia
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale (B)
con f.e.m. , un resistore R, e due fili di connessione (con
resistenza trascurabile).
• Conservazione Energia: l’energia dissipata nel resistore
deve eguagliare il lavoro fatto dalla batteria
Durante un intervallo di tempo dt, il lavoro svolto dalla
batteria è dW =  dq =  i dt, e l’energia dissipata nel
resistore è dE = i2R dt.
Eguagliando le due relazioni si ha i = / R.
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Generatore di f.e.m. reale
V    I r
  I RI r
I
poichè V  I R

Rr
2
2
Pbatt  I   I R  I r
la resistenza interna del generatore deve
essere trascurabile rispetto a quella del
carico per avere un efficiente
trasferimento di energia !
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Resistori
in
serie
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e
due lampadine con resistenze R1 e R2.
deve essere I  cost per cui V  Vac  Vab  Vbc  IR1  IR2
quindi V  IReq  IR1  IR2  Req  R1  R2
in generale
Req  R1  R2  R3  ...
La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in
serie è uguale alla somma delle singole resistenze ed è sempre
maggiore di ciascuna di esse
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Resistori in parallelo
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e
due lampadine collegate in parallelo con resistenze R1 e R2.
deve essere V  cost
quindi
I  I1  I 2 
1
1 1
 
in generale
Req R1 R2
 1 1  V
V V

 V    
R1
R2
 R1 R2  Req
1
1 1
1
    ...
Req R1 R2 R3
L’inverso della resistenza equivalente di due o più resistori
collegati in parallelo è uguale alla somma dell’inverso delle
singole resistenze ed è sempre minore del più piccolo resistore
Fisica II - Informatica
Esempio
1)
2)
3)
4)
Le lampadine collegate al
generatore in questo modo,
sono tutte eguali:
quale sarà, nell’ordine, la loro
luminosità ?
cosa succede se si interrompe
A (“si brucia) ?
se si interrompe C ?
se si interrompe D ?
1. in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà
più luminosa di A o B, che hanno la stessa luminosità; D
non si accenderà mai (ha i terminali in corto-circuito)
2. B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta
3. A e B più luminose, D sempre spenta
4. ininfluente
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Esempio
a) trovare la resistenza equivalente della
rete di resistori in grafico
b) qual è la corrente in ciascun resistore
se la d.d.p. tra a e c vale Vac=42V
Applicando le relazioni
per collegamento in serie
e parallelo di resistenze
Req  14 
La corrente nelle resistenze da 8 e 4 è  cost usando V  IR si ha
V
42V
I  ac 
3A
Ai capi b e c V  cost quindi
Req 14 
6  I1  3  I 2 da cui I 2  2 I1 , inoltre I1  I 2  I  3 A  I1  1 A e I 2  2 A
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