Cap. 4 Le combinazioni
degli enti geometrici
fondamentali e degli
assiomi
Definizione di combinazione

Operazione che mette insieme due o più
cose affini, secondo un determinato
criterio e per ottenere un certo risultato

Nel nostro caso mettiamo insieme gli enti
geometrici fondamentali e gli assiomi per
ottenere altre entità geometriche
Punti coincidenti
B
A≡
Punto A
coincide
con B
A≡B
Per indicare che due
punti coincidono usa
il simbolo ≡
Definizione di linea geometrica



Ente geometrico che si caratterizza per
presentare una sola dimensione: la I punti A e B si
dicono estremi della
lunghezza
linea
Come tutte le definizioni è una proposizione
pertanto risulta sufficientemente definito
indipendentemente dalla sua rappresentazione
materiale
Per indicarla si usa una lettere dell’alfabeto
B
miniscolo
a
A
Linea a
Tipi di linea

Le linee possono essere semplici o intrecciate;
C
aperte o chiuse
b
a
A
B
Una linea si dice
rintracciata se si
attraversa in uno
o più punti
H
Linea aperta
intrecciata
D
Linea aperta semplice
K
Una linea si dice chiusa
se i suoi estremi
coincidono
A≡B
Linea chiusa intrecciata
Linea chiusa semplice
La linea retta
Si definisce retta
un’insieme infinito e
illimitato di punti posti
uno dietro l’altro, senza
soluzione di continuità,
che mantengono
sempre la stessa
direzione
Modello di retta


Per modello si retta possiamo prendere in
considerazione un filo teso fra due punti
Un modello migliore può essere preso un raggio
luminoso che rispetto al precedente ha il pregio
di avere dimensioni decisamente più ridotte
Retta e punto



Consideriamo una retta r e un
punto P su di essa
Se la retta è formata da un numero
infinito ed illimitato di punti allora
se inserisco un punto di fatto la
divido in due parti
Si viene a formare un nuovo ente
che necessita di nome e definizione
(che dipenderà strettamente
dall’operazione svolta)
Semiretta
Caratteristiche della semiretta


In pratica una semiretta ha un punto di origine
che la limita da una parte mentre dell’altra essa
risulta formata da un numero infinito e illimitato
di punti che si susseguono uno dietro l’altro,
senza soluzione di continuità, mantenendo la
stessa direzione
Il modello di semiretta è rappresentato da un
laser


La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne
rappresenta l’origine e un verso che rappresenta
la direzione verso la quale si estende la semiretta
Due o più semirette che hanno un’origine in
comune condividono la stessa origine
r
P
verso
semiretta
t
s
H
r
k
Semirette con origine in comune
Piano




Si definisce piano una superficie
infinita che mantiene sempre la stessa
pendenza
Se ciò non si verificasse si avrebbe una
superficie curva
Un caso particolare di piano è quello
orizzontale che ha pendenza nulla
Ha due dimensioni: lunghezza e larghezza
Modello e rappresentazione del
piano


Come modello di piano possiamo prendere un foglio
di carta
Per rappresentarlo possiamo utilizzare un
parallelogramma e per convenzione si utilizza, per
indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscola
lunghezza
Piano e retta




Piano e retta possono
essere:
Complanari
Incidente
Parallelo
r
a
complanari
r
a
incidente
r
a
parallelo
Osservazioni



Una retta r complanare ad un piano a ha tutti i
suoi punti in comune col piano
In questo caso si dice che la retta r giace sul
piano a
Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo
che una retta che giace sul piano a lo divide in
due parti uguali dette semipiani
Semipiano
Si definisce semipiano
ciascuna delle parti in cui
un pano risulta suddiviso
da una retta complanare
Riguardiamo
le seguenti
figure
r
a
complanari
r
a
incidente
r
Cosa succede de
una retta ha 2
punti di contatto
col piano?
a
parallelo
A quale caso può
corrispondere?
Se una retta ha
due punti di contatto
col piano a è ad
esso complanare
Retta e punto
Per un punto
passano infinite rette
Le infinite rette che passano
Il punto per cui passano per un punto costituiscono
le rette è detto
un fascio proprio di rette
centro del fascio
Retta e due punti
Per due punti passa una
ed una sola retta
Rette per tre
punti
I tre punti non
sono allineati
I tre punti
sono allineati
Passano
3 rette
Passa
una retta
Per tre punti
non allineati
passano 3 rette
Per tre punti
allineati passa
una ed una
sola retta
Una volta costatato che per
tre punti allineati passa una
sola retta quando 3 punti si
dicono allineati?
Tre punti si dicono
allineati se giacciono
su una stessa retta
Intersezione di piani
Consideriamo i seguenti
due piani
La loro intersezione sarà
data da una retta r
Posso tracciare
un altro piano
che contiene r?
Quanti piani
conterranno la
retta r?
Infiniti
Due piani che si
intersecano danno origine
ad una retta
Per una retta passano
infiniti piani
Un fascio
di piani
è un insieme
formato da
infiniti piani,
aventi una
retta in
comune
Piani per due punti




Quanti piani passano per 2 punti?
Questa domanda rimanda direttamente a quella
di quante rette passano per due punti?
Secondo voi perché?
Per due punti passano
Per due punti passa una sola retta perciò ….
infiniti piani
Piani per tre punti allineati



Vi ricordate la definizione di punti allineati?
Tre punti si dicono allineati se giacciono
su una stessa retta
Allora quanti piani passano per tre punti
allineati?
Piani per tre punti non allineati
B





Consideriamo 3 punti non allineati
Per due punti passa una retta e perciò
infiniti piani
Ma il terzo può appartenere
contemporaneamente agli infiniti piani?
Se no può appartiene solo ad un piano
particolare
ma allora …..
A
C
r
La retta r appartiene
Al piano a
Al piano b
Agli infiniti piani a cui r è
complanare
Il punto C appartiene ad un
solo dei piani del fascio di
piani passanti per r
Perciò per tre punti passa ….
Per tre punti non
allineati passa uno
ed un solo piano
Gli elementi di Euclide
Da wikipedia
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Gli Elementi di Euclide sono la più importante
opera matematica giuntaci dall’antica grecia.
Composti tra il IV e III secolo a.c.
rappresentano un quadro completo e definito
dei principi della geometria noti al tempo.
L'opera consiste in 13 libri: i primi sei
riguardanti la geometria piana, i successivi
quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre la
geometria solida.
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Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni,
che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5
postulati e su 5 nozioni comuni, quelle che ora sono dette
assiomi.
Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette
parallele e i triangoli, il famoso postulato da cui si
deduce che la somma degli angoli interni di un
triangolo è di 180°
« In un piano, una retta che intersechi due rette
parallele forma con esse angoli alterni uguali fra
loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e
opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui
somma è uguale a due retti. »
Le geometria non euclidee
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La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX
secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee
In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette
divergono (è quindi possibile trovare molte rette che non si
intersecano perciò) i segmenti divergono anch’essi
Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non
esistono rette parallele e i segmenti convergono anch’essi
I triangoli e le tre geometrie
Triangolo iperbolico: la somma degli
angoli è minore di 180°
Triangolo Euclideo: la somma degli
angoli è di 180°
Immagine che riassume le tre diverse geometrie
Triangolo ellittico: la somma degli
angoli è maggiore di 180°