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IL PROGETTO DI TRAVI IN
C.A.P. ISOSTATICHE
Il progetto di una sezione in c.a.p. è, rispetto alle operazioni di
verifica, un’operazione ben più complessa, in quanto coinvolge un
quantità considerevole di parametri incogniti a fronte di due sole
equazioni: l’equilibrio alla traslazione e rotazione della sezione.
E’ necessario quindi fornire, se possibile, delle indicazioni che
permettano di prefissare alcuni dei parametri di progetto,
riducendo al minimo il numero delle incognite. A tale scopo la
pratica professionale ha permesso di stabilire alcune relazioni
funzionali tra i parametri della sezione utili in fase di
predimensionamento.
Il rispetto delle condizioni di equilibrio della sezione permette di
completare il progetto della stessa consentendo la determinazione
dello sforzo di precompressione necessario e la relativa
eccentricità rispetto al baricentro della sezione. Occorre quindi
limitare le tensioni che nascono a causa delle azioni esterne ai
valori imposti dalla normativa.
Generalmente, le operazioni appena ricordate permettono la
definizione della sezione di maggiore cimento, senza fornire
indicazioni sulla distribuzione delle stesse lungo la trave. Occorre
quindi necessariamente introdurre ulteriori indicazioni che
permettano di definire completamente la trave. Poiché ai fini della
flessione la sezione è generalmente tenuta costante, ciò che è
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
necessario definire è la variazione della precompressione in
funzione dei carichi esterni e delle massime tensioni ammissibili.
Ciò si realizza con il progetto del tracciato dei cavi.
Quanto appena descritto può essere ritenuto valido per travi
isostatiche per le quali, come visto nei capitoli precedenti,
l’assenza di reazioni iperstatiche, produce la coincidenza tra centro
di pressione e posizione del cavo. Il caso di travi iperstatiche sarà
trattato nel capitolo 7.
6.1. Il predimensionamento della sezione
Si consideri una trave in cemento armato normale inflessa. Il
meccanismo resistente è caratterizzato da una coppia di forze C e
T il cui braccio z rimane sostanzialmente invariato al variare della
sollecitazione, mentre il loro valore aumenta con l’aumentare
dell’azione esterna. Il braccio delle forze interne z può essere
assunto all’incirca pari a 0.9 d, dove d è l’altezza utile della
sezione.
T
zcost
x
C
Figura 6.1 – Meccanismo resistente di una trave in c.a. ordinario
inflessa
In una trave in cemento armato precompresso accade esattamente
il contrario. Il meccanismo resistente è ancora caratterizzato da
una coppia, costituita dalla pretensione nel cavo di
precompressione e la risultante delle compressioni nel
calcestruzzo, ma il loro braccio z risulta variare con il momento
esterno. Un criterio di predimensionamento può allora essere
derivato dall’imposizione del braccio delle forze interne.
cs
ci
x
z
Figura 6.2 – Meccanismo resistente di una trave in c.a.p. inflessa
Naturalmente poiché esso dipende dalle forze esterne, occorre
distinguere i diversi casi possibili che si riducono in genere alle
seguenti due condizioni [Antonini, 1986]:
 MG  20% MG+Mq
(6.1)
 MG > 20% MG+Mq
(6.2)
Il primo caso, più usuale del secondo corrisponde, per una trave in
cemento armato precompresso ben progettata, ad un braccio delle
forze interne z1/2 h, dove h è l’altezza della sezione. Per il
secondo caso si assume generalmente z2/3 h.
Queste indicazioni, derivate dall’esperienza progettuale, si
possono riassumere nelle seguenti relazioni utili al
predimensionamento di una sezione in precompresso [Antonini,
1986]:
T N
Ap 
Ac 
Mq
z

2Mq
h
T
(6.3)
f ptk
2T
 cc ,e
La prima deriva dall’aver assunto come braccio delle forze interne
z1/2 h, la terza dall’ipotesi che nel baricentro la tensione
3
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
massima sia pari a 1/2 della tensione ammissibile a compressione
del calcestruzzo in fase di esercizio ce.
Nel caso in cui il peso proprio della trave sia molto elevato, per
motivi che saranno chiariti in seguito, è bene limitare il braccio
delle forze interne a 2/3 dell’altezza h:
T N
Ap 
Ac 
MG  Mq
z


3 MG  Mq
2
h
T

(6.4)
f ptk
2T
 cc ,e
Naturalmente l’altezza della sezione deve essere in qualche modo
prefissata. Un criterio generalmente accettato in sede progettuale è
quello di legare h ai momenti in fase di esercizio mediante la
relazione seguente:
h
1
1

30 22
MG  Mq
(6.5)
Un criterio alternativo al precedente è quello di legare l’altezza h
alla luce L della trave. In particolare è bene scegliere un’altezza h
che ricada nell’intervallo 5-7% L.
La valutazione dell’area di calcestruzzo Ac nel rispetto dei criteri
prima enunciati non è naturalmente sufficiente per dimensionare
totalmente la sezione. Occorre, infatti, definire la sua distribuzione
in modo da soddisfare alcune limitazioni, come ad esempio le
tensioni massime in esercizio imposte dalla normativa (vedi anche
paragrafo successivo).
Le tensioni al lembo superiore nel calcestruzzo sia nella fase
iniziale che finale assumono, come visto precedentemente, le
espressioni seguenti:
 cs 
v
 cs
e
Ne
Ne M
 e s  Gs (trazione, a vuoto)
Aid Wid
Wid
N
N e M G  M pq
 e  es 
(compressione, in esercizio)
s
Aid Wid
Wid
(6.6)
dove  < 1 rappresenta il fattore che tiene conto delle perdite e
cadute di tensione nei cavi.
Sostituendo alle tensioni i loro valori ammissibili a trazione (ct,v)
e compressione (cc,e) e sottraendo la prima dalla seconda è
possibile determinare un valore minimo del modulo di resistenza a
flessione superiore della trave Wids utilizzando le seguenti
espressioni
Wid 
s
(1   ) M G  M p  q
(6.7)
 cc,e   ct ,v
Il modulo di resistenza a flessione inferiore di può esprimere in
maniera analoga alla precedente:
Wid 
i
(1   ) M G  M p  q
(6.8)
 cc,v   ct ,e
Noti quindi i momenti flettenti in fase iniziale e di esercizio è
possibile, mediante le precedenti espressioni, calcolare il valore
dei moduli di resistenza a flessione minimi della trave e scegliere
così la sezione più prossima.
Osservazione: i due criteri prima richiamati e relativi al
predimensionamento dell’altezza h e dell’area Ac della trave
suggeriscono anche la forma della sezione. Nel caso in cui il
momento dovuto al peso proprio MG sia elevato rispetto al
momento in esercizio è conveniente utilizzare una sezione a T
piuttosto che a doppio T.
5
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
ys
ks
ki
yi
Spostamento del centro
di pressione dovuto
Ai carichi in esercizio
Spostamento del centro
di pressione dovuto
al peso proprio
Spostamento del centro
di pressione dovuto
Ai carichi in esercizio
Spostamento del centro
di pressione dovuto
al peso proprio
Figura 6.3 – Criteri per la scelta della forma della sezione
Infatti, in tal caso il centro di pressione in condizioni iniziali
sarebbe piuttosto alto e il suo successivo innalzamento per opera
dei momenti in esercizio sarebbe piuttosto modesto. Occorrerebbe
quindi una sezione con punto di nocciolo inferiore elevato e una
estensione del nocciolo limitata; una sezione a T sposa
perfettamente queste caratteristiche.
Una volta determinati i punti di nocciolo inferiore ki e superiore ks
della trave (vedi fig. 6.3) rimane da determinare lo sforzo di
precompressione Ne e la posizione del cavo risultante yap. A tale
scopo è necessario trattare separatamente i casi di
precompressione totale e limitata.
I criteri di scelta di sezioni in c.a. possono essere così riassunti

Sezioni a doppio T: hanno un rendimento geometrico (vedi
par. 6.2) elevato e risultano efficaci sia a breve termine (per la
presenza dell’ala inferiore) che a lungo termine (ala
superiore). Sono utilizzate per rapporti MG/(MG+Mp+q) bassi
(< 20%) per la bassa distanza tra il cavo risultante e il punto
di nocciolo inferiore.

Sezioni a doppio T dissimmetriche: All’aumentare del
rapporto MG/(MG+Mp+q) occorre utilizzare sezioni con
distanza tra cavo risultante e punto di nocciolo inferiore
sempre più grandi, al limite a T. Per i casi intermedi si può
utilizzare una sezione a doppio T dissimmetrica. Si usano
anche per sezioni composte.

Sezione a T: si utilizzano per casi in cui il rapporto
MG/(MG+Mp+q) diventa particolarmente elevato (>> 20%)
6.2. Considerazioni sulla scelta
rendimento geometrico
della
sezione:
il
La distribuzione del materiale nella sezione assieme alla forma
della sezione sono elementi molto importanti sia dal punto di vista
dell’efficienza statica della sezione sia dal punto di vista
economico. Tali caratteristiche possono essere riassunte in un
coefficiente che in letteratura è detto rendimento geometrico e che
è definito come segue:

Ws
Wi

Ac y i
Ac y s
(6.9)
Esso permette, a parità di area della sezione, di avere una misura
sintetica della distribuzione del materiale dal punto di vista
flessionale.
Poiché la sezione ideale dal punto di vista flessionale è la sezione
a doppio T limite ad essa è associato il massimo rendimento
flessionale ottenibile:

Ws

Ac yi
2
A h
 
2 2
1
h
A
2
7
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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La sezione che ha il rendimento geometrico più basso è
naturalmente la sezione rettangolare per la quale =1/3. Ciò è
dovuto al fatto che la sezione rettangolare è quella che si allontana
di più dalla sezione a doppio T limite. L’unico vantaggio di tali
sezioni è la necessità di utilizzare durante il getto delle casseforme
più semplici rispetto al caso di sezioni a T.
Una possibile modifica delle sezioni rettangolari che permetta di
avere un rendimento geometrico più elevato è quella di forare la
sezione. Le sezioni cave hanno, infatti, un rendimento geometrico
più elevato di quelle piene per l’incidenza vuoto/pieno.
Ad esempio nel caso di una sezione rettangolare con base
b=15 cm ed altezza h= 60cm con un foro rettangolare di base b1=8
cm ed altezza h1=35 cm presenta il seguente rendimento
geometrico:
 bh3 b1h13 


 12  12 


Ws
h/2


 0.433
Ac yi
bh  b1h1  h
2
In genere le sezioni rettangolari forate si usano in presenza di
carichi non eccessivi.
Le sezioni a T posseggono un rendimento geometrico più elevato
in quanto l’ala contribuisce ad aumentare opportunamente il
modulo di resistenza a flessione e sono, come già detto, opportune
nel caso di momenti dovuti al peso proprio elevati.
Esempio 6.1: Predimensionare una sezione in c.a.p. soggetta ad
un momento momento dovuto ai sovraccarichi Mq = 440 kNm.
Inoltre il rapporto tra momento dovuto al peso proprio MG e
momento totale MG+Mq sia = 60%. Si considerino inoltre cadute
di tensione pari al 15%. Si assumano infine le seguenti tensioni
ammissibili nel cls e nell’acciaio: cc,i=16 MPa, cc,e=13 MPa,
ct,i=-2.5 MPa, ct,e=-2.0 MPa, fptk=1050 MPa,
Poiché il rapporto MG/MG+Mq è pari al 60 % scegliamo una
sezione a T. Il momento dovuto al peso proprio vale MG=Mq1.50
=660 kNm.
L’altezza della trave può essere predimensionata in base al
momento di esercizio:
h=
1
MG +Mq =≅1.10 m
30
Si può quindi procedere con la stima iniziale dello sforzo di
precompressione e predimensionare l’armatura di compressione:
Ne =
Ap =
1.5 MG +Mq
h
Ne
ptke
=1500 kN
≅1190 mm2 12 cm2
Con tali dati si può predimensionare l’area della sezione
ipotizzando di avere nel baricentro della stessa una tensione pari
alla metà della tensione ammissibile in esercizio:
Ac =
2Ne
≅2400 cm2
σcc,e
Si possono infine calcolare i moduli di resistenza della sezione nel
rispetto delle condizioni 8.7 e 8.8:
,
,
(1-γ)MG +Mq
0.15×70400+44000
≅36000 cm3
σcc,e -γσct,v
1.3+0.85×0.25
(1-γ)MG +Mq 0.15×70400+44000
=
=
≅35000 cm3
γσcc,v -σct,e
0.85×1.6+0.20
=
=
9
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Poiché la sezione da adottare è preferibilmente a T si può fissare lo
spessore dell’anima bw=15 cm e lo spessore dell’ala h1=8 cm e
procedere così in maniera iterativa alla determinazione della
larghezza dell’ala. La tabella seguente riporta la procedura
iterativa adottata.
b
(cm)
23
30
40
41
Tabella 6.1 – Progetto per iterazione
− ,
yG
Wi
Ws
(cm)
53.09
51.54
50.49
49.48
(cm3)
32060
33450
34350
35180
(cm3)
34360
37940
40480
43020
Come grandezza di controllo
percentuale in valore assoluto
tolleranza massima pari 0.01. La
per la quale la variazione % di
Ws=+0.124 > 0.01.
,
-0.046
0.044
0.019
0.005
−
,
,
-0.046
-0.054
0.124
0.195
è stata scelta la variazione
dei moduli di resistenza, con
procedura termina per b=40 cm
Wi è pari a +0.005 e quella di
E’ possibile anche prefissare alcune grandezze come lo spessore
delle ali e lo spessore dell’anima lasciando come incognita la base
delle ali. Nella figura seguente è illustrato un grafico in cui è
riportato il valore del modulo di resistenza a flessione (St, Sb) in
funzione delle altre grandezze geometriche (h1,h2,b,bw).
6.3. Determinazione dello sforzo di precompressione
6.3.1. Precompressione totale
Nel caso di precompressione totale la sezione deve essere
totalmente compressa sia a vuoto che in esercizio. Occorre però
distinguere i due casi identificati dalle disuguaglianze (6.1) e (6.2).
Nel caso (6.1), infatti, potendo utilizzare una sezione a doppio T è
possibile sfruttare l’intera estensione del nocciolo centrale
d’inerzia, con conseguenti distribuzioni di tensione triangolari sia
in condizioni iniziali che in esercizio. Se si ipotizzasse una sezione
a doppio T anche nel caso (6.2), potrebbe risultare necessaria
un’eccentricità incompatibile con la sezione in quanto il momento
MG è in tal caso molto elevato. Occorre quindi operare
diversamente.
Caso MG  20% MG+Mp+q
Ciò comporta, come già ricordato in precedenza, che a vuoto il
centro di pressione cade nel punto di nocciolo inferiore. In
esercizio il centro di pressione deve invece cadere nel punto di
nocciolo superiore. Tali condizioni si esprimono come segue:
e p  ki 
e p  ks 
M G
Ne
(6.10)
M G  M pq
Ne
11
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
dove ep è l’eccentricità del cavo mentre ki e ks sono le distanze dei
punti di nocciolo inferiore e superiore rispetto al baricentro della
sezione. Il termine  rappresenta il termine delle perdite e cadute
di tensione nel cavo, espresso in percentuale. Generalmente per
una stima di primo tentativo si può utilizzare un valore =0.8.
Sottraendo la seconda alla prima si ottiene l’espressione dello
sforzo di precompressione in esercizio, assieme alla posizione del
cavo.
 1   M G  M p  q
N e  
ks  ki

M G
e p  ki 
Ne



(6.11)
In definitiva, per il predimensionamento di una sezione in c.a.p.,
nel caso appena esaminato, una volta stimata l’area Ac con le (8.3)
e i moduli di resistenza a flessione con le 8.7 e 8.8 si sceglie una
sezione con caratteristiche simile a quelle stimate. Si passa infine
alla determinazione dello sforzo di precompressione e
dell’eccentricità del cavo.
Esempio 6.2a: Si consideri una trave in c.a.p. con luce L=13 m.
Nell’ipotesi che le cadute lente siano pari al 20 %, (γ = 0.8) e che
il momento Mp+q=500 km, determinare lo sforzo di
precompressione e la posizione del cavo risultante al fine di
realizzare uno stato di precompressione totale.
Calcolo caratteristiche geometriche della sezione:
Area sezione: Ag = 0,2100 m2
Area armatura di precompressione Aap = 1430 mm2
Momento d’inerzia:
Ig = 1,702 10-2 m4
Punti di nocciolo:
ks =0.201 cm, ki = 0,190 m
Calcolo sollecitazioni:
Le sollecitazioni in mezzeria sono:
Peso proprio:
Carico variabile:
Mg = (1/8)  Ac  cL2 = 110,9 KN m
Mq = 500 KN m
Siamo quindi nel caso Mg < 20% di Mg+Mp+q
Calcolo sforzo di precompressione:
Lo sforzo di precompressione da applicare considerando le perdite
è pari a:
Applicando la (6.11)1 si ottiene lo sforzo necessario:
13
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
 500  110 .9  (1  0.8) 
Ne  
  1336 KN
0.201  0.190


Calcolo posizione cavo risultante:
Applicando la (6.11)2 si ottiene la posizione del cavo:
e p  0.19 
0.8  110 .9
 0.256 m
1336
Caso MG > 20% MG+Mq
In tal caso si può tentare di applicare la procedura del caso
precedente, con la possibilità che la posizione del cavo risultante
esca fuori dalla sezione, con conseguente impossibilità di
realizzazione. Conseguentemente, si fissa la posizione del cavo
risultante in maniera che il cavo più in basso sia ad una distanza
dal lembo inferiore pari a quella minima prestabilita. Rimane
quindi determinare l’unica incognita del problema, ossia lo sforzo
di precompressione:
e p  y i  d min
Ne 
Ni 
M G  M p q
e p  ks
(6.12)
Ne

Esempio 6.2b: Si consideri la trave dell’esercizio 6.2a ma con un
momento dovuto ai sovraccarichi permanenti e variabili Mq=150
kN.
In tal caso l’applicazione della procedure utilizzata nell’esercizio
precedente porterebbe ad una eccentricità calcolata pari a ep=0.391
m, chiaramente incompatibile con la sezione. Si fissa quindi la
massima eccentricità possibile e si calcola di conseguenza lo
sforzo normale necessario per mantenere la sezione totalmente
compressa. Se si fissa un copriferro minimo dmin=9 cm
l’eccentricità risulta
e p  y i  d min  0.30 m
Ne 
Ni 
M G  M p q
e p  ks
 520kN
Ne
 650kN

6.3.2. Precompressione limitata
Nel caso di precompressione limitata si ammette che sia in fase
iniziale che in esercizio ci sia trazione al lembo superiore e
inferiore rispettivamente. In tal caso i centri di pressione a vuoto e
in esercizio risultano essere ovviamente esterni al nocciolo
centrale d’inerzia.
ct,i
ks
Punto limite superiore
tensioni a vuoto
Punto limite inferiore
ki
G
tensioni in esercizio
ct,e
Figura 6.4
Questi, noti in letteratura come punto limite inferiore e superiore
[Giangreco, 1992], si possono determinare osservando che la
tensione di trazione nasce ad opera di una variazione di momento
interno che sposta il centro di pressione dai punti di nocciolo
15
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
inferiore e superiore ai rispettivi punti limite. La loro espressione è
la seguente:
ki 
ks 
Ws  ct , i
(6.13)
Ne
Wi  ct ,e
(6.14)
Ne
Analogamente a quanto fatto per ottenere la 8.10 si può ottenere
l’espressione dello sforzo normale in esercizio
e p  ki  ki 
e p  ks  ks 
M G
Ne
M G  M p q
(6.15)
Ne
Sottraendo la prima dalla seconda si ottiene l’espressione dello
sforzo di precomprNeessione in presenza di precompressione
limitata:
Ne 
M p q  ( 1   )MG
ks  ks   ( ki  ki )
(6.16)
Poiché le 8.13 e 14 contengono entrambe il valore di Ne occorre
iterare. Si può ad esempio partire dal valore di Ne relativo al caso
di precompressione totale e poi iterare fino a convergenza, che in
genere è molto rapida.
Esercizio 6.3: Effettuare il progetto di massima di una sezione
trasversale e dello sforzo di precompressione, avendo a
disposizione i seguenti dati:
Mp+q
(kNm)
MG
(%)
h
(m)
fptk
(MPa)
σcc,i
(MPa)
σcc,e
(MPa)
σct,i
(MPa)
σct,e
(MPa)

450
10%
0.8
1050
16
13
1.6
1.3
0.86
Poiché siamo nel caso di MG/(MG+Mp+q)=piccolo (10%), conviene
adottare una sezione a doppia T. Visto il valore esigio di MG si
predimensiona N in base al solo Mp+q.
Si predimensionano dunque N, Ap e Ac:
N=
2 Mp+q
=
h
1125
2 ∙450
0,8
≅1125 KN
Ap = 105.0 ≅10.7 cm2
Ac =
2 ∙1125
1,3
∙ 103 ≅1730 cm2
Le perdite stimate sono pari al 1-0.86=14 % .
La sezione così ottenuta ha le seguenti
proprietà (riferite alla sola sezione in cls):
Ac = 0.177 m2
Ig = 1,40  10-2 m4
Ws=Wi=0.0354 cm3
ki = ks = 0.195 m
Affinché la sezioni risulti verificata è
necessario che i moduli di resistenza a flessione superiore ed
inferiore rispettino le condizioni 6.7 e 6.8:
Wid 
s
(1   ) M G  M p  q
 ct ,e   ct ,i
 0.032  0.00320 cm 3
17
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
Wid 
s
(1   ) M G  M p  q
 cc ,i   ct ,e
 0.031  0.0310 cm 3
La sezione risulta dunque ben dimensionata. Con questi dati si
determina il valore di N e la posizione del cavo risultante mediante
le 6.13,14 e 6.16. Essendo il caso tratto di precompressione
limitata è necessario procedere per iterazioni. Come valore iniziale
dello sforzo di precompressione consideriamo Ne=1125kN
calcolata in fase di predimensionamento.
Giunti a convergenza (vedi tabella), quando cioè le variazioni in
termini di variazione delle distanza dei punti limite dai punti di
nocciolo si sono stabilizzate, si ha Ne= 947 kN e quindi si può
calcolare l’eccentricità del cavo risultante:
ep =ki +Δki +
γ Mg
Ne
=0,291 m
Considerando un copriferro minimo di 6 cm, l’eccentricità così
calcolata può essere considerata un valore accettabile.
Indice iterazioni
1
2
3
4
6
∆ki
(kN)
0,043
0,050
0,051
0,051
0,051
Iterazioni
∆ks
(kN)
- 0,035
- 0,040
- 0,041
-0,042
-0,042
Ne
(kN)
1125
976
952
948
947
6.3.3. Procedura di progetto
Quanto illustrato dei paragrafi precedenti può essere efficacemente
riassunto nel flow-chart illustrato nelle figure seguenti che si
presta facilmente ad essere implementato utilizzando i più comuni
linguaggi di programmazione. In appendice B è mostrata a titolo
d’esempio l’implementazione in ambiente MATLAB.
…..continua alla pagina successiva
19
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
6.4. Il tracciato dei cavi
Come già si è avuto occasione di osservare, nelle strutture inflesse
l’andamento dei cavi di precompressione deve essere progettato in
modo da contrastare efficacemente le azioni flessionali esterne sia
in fase iniziale che di servizio. A tale scopo di consideri la trave
semplicemente appoggiata di figura nella quale per semplicità sia
presente un solo cavo di precompressione con configurazione
rettilinea passante per il punto di nocciolo inferiore ci della trave
(considerata a sezione costante). In assenza di carichi esterni la
sezione di mezzeria risulta interamente compressa con l’asse
neutro passante per il lembo superiore della trave.
Nel caso di precompressione totale, all’atto dell’azione dei carichi
esterni la situazione ideale è quella per cui lo sforzo di
precompressione N in presenza del momento esterno si sposta fino
al punto di nocciolo superiore ce. In tal modo la sezione
risulterebbe ancora interamente compressa con asse neutro
passante per il lembo inferiore.
Figura 6.5
Per il caso appena esaminato man mano che ci si avvicina agli
appoggi il momento diminuisce fino ad annullarsi nelle sezioni
terminali, nelle quali quindi potrebbero nascere, in presenza di
precompressione, tensioni di trazioni elevate. Per ovviare a tale
inconveniente si potrebbe pensare di variare il tracciato dei cavi in
modo tale che ogni sezione, all’atto dell’applicazione dei carichi
esterni, risulti interamente compressa. Per una trave a sezione
costante tale condizione si esprime semplicemente (ad es. per
lungo termine):
21
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
M ( x )  e( x )  d s  N
 e( x ) 
M( x )
 ds
N
(8.12)
Utilizzando tale tracciato, all’atto della applicazione dei
sovraccarichi, il centro di pressione nella generica sezione cade
sempre nel punto di nocciolo superiore.
Ad esempio, l’eccentricità del cavo all’appoggio, pari a –ds,
garantisce la totale compressione anche nella sezione di estremità.
Se N e ds sono costanti e il carico è costante il diagramma dei
momenti e parabolico così come il diagramma delle eccentricità
e(x).
Figura 6.6
Il momento flettente Mu è detto momento utile della sezione. Una
sezione è considerata ben progettata se il massimo momento
dovuto ai sovraccarichi (permanenti e accidentali) coincide con il
momento Mu. In tal modo all’atto della messa in carico la trave
rimarrebbe interamente compressa.
M u  d i  d s  N
(8.13)
La portanza di una trave può essere aumentata incrementando lo
sforzo normale (incremento limitato dalle tensione massime al
tiro) oppure aumentando la distanza reciproca dei punti di
nocciolo di+ds. Per tale motivo le travi in c.a.p. si realizzano
normalmente utilizzando sezioni a T o doppio T.
In realtà il cavo non è sempre posizionato nel punto di nocciolo
inferiore. In tale condizione, all’atto del tiro l’azione del peso
proprio della trave sposta la risultante di una certa quantità da. Il
momento Mu=daN è detto momento utile aggiunto.
M ua  d a N
(8.14)
Se il momento dovuto al peso proprio coincidesse con il momento
utile aggiunto, all’atto del tiro la trave risulterebbe interamente
compressa. Questa condizione costituisce un’ulteriore indicazione
di sezione ben progettata.
6.4.1. Il cavo risultante
I cavi di precompressione sono generalmente più di uno, ognuno
con una propria disposizione e forma. Ai fini del progetto e della
verifica è però utile fare riferimento al concetto di cavo risultante
(C.R.). Se ogni cavo è in ogni sezione ad ascissa caratterizzato da
uno sforzo normale Ni(z) e un angolo di inclinazione i(z) le
componenti orizzontali e verticali della precompressione avranno
le espressione seguenti:
N( z ) 
 Ni ( z ) cos i
i
T( z ) 
 Ni ( z ) sin i
i
 Ni ( z ) cos i ei ( z )
e( z )  i
 Ni ( z ) cos i
i
(8.15)
Lo sforzo di precompressione sul cavo risultante sarà la risultante
delle componenti orizzontale e verticale:
P( z ) 
N( z )2  T ( z )2
(8.15)
23
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
La figura seguente mostra il significato meccanico e geometrico
delle grandezze introdotte nelle 8.14 e 8.15
Figura 6.7
Nel caso di angoli piccoli, cioè 0, come generalmente accade, le
precedenti espressioni diventano:
N( z ) 
 Ni ( z )
i
T( z ) 
 N i ( z )i
i
 N i ( z )ei ( z )
e( z )  i
 Ni ( z )
(8.16)
i
Se la tensione è ipotizzata essere la stessa per ogni cavo, la
posizione C.R. è anche il baricentro delle aree di cui sono costituiti
i singoli cavi. Se inoltre l’area di ogni cavo è costante la posizione
del C.R. è la media dei baricentri degli n cavi.
N( z )   N i ( z )
i
T ( z )   N i ( z ) i
i
e( z ) 
ei ( z )
i
n
(8.17)
Può accadere che alcuni cavi vengano interrotti prima della testata.
E’ il caso di travi a cavi post-tesi con cavi ancorati in campata o di
travi in c.a.p. a fili pretesi resi inefficaci prima dell’appoggio
tramite intubettamento. In tali casi il cavo risultante presenta lungo
il tracciato delle singolarità, ossia dei salti corrispondenti alla
diminuzione dello sforzo di precompressione.
La figura seguente illustra un esempio di trave precompressa con
tre cavi post tesi dove il primo cavo non viene interrotto in testata
ma sull’estradosso, provocando una discontinuità della posizione
del cavo risultante (linea nera tratteggiata).
1
3
2
N1
Cavo Risultante
N2
N2
Discontinuità
Figura 6.8 – Cavo risultante di una trave a cavi post-tesi interrotti
all’estradosso
Un esempio interessante di trave con cavi interrotti in campata e
non in testata è quello della trave ad anello del centro congressi di
Firenze progettata intorno agli anno 70 con la tecnica del cemento
armato precompresso a cavi post-tesi [BIBLIO]. In quella
occasione l’unica possibilità di ancoraggio era quello di ancorare i
cavi all’estradosso o all’intradosso della trave, provocando con ciò
discontinuità del cavo risultante. Il giusto dosaggio del numero di
ancoraggi ha permesso i quel caso di ottenere un cavo risultante
praticamente continuo.
La figura seguente mostra la trave in fase di montaggio, la
disposizione dei singoli cavi all’interno della stessa e il relativo
cavo risultante.
Un altro caso nel quale si verifica la discontinuità del cavo
risultante è quello di travi precompresse a cavi pre-tesi che in
alcuni casi per soddisfare le condizioni ammissibili in termini di
25
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
tensioni devono essere interrotti in maniera da sollevare la
posizione del cavo risultate della necessaria quantità. Poiché i fili
pre-tesi sono generalmente rettilinei e orizzontali l’unico modo per
avere un cavo risultante a profilo variabile è quello che va sotto il
nome di intubettamento.
Figura 6.9 – Trave ad anello in c.a.p. del centro congressi di Firenze
Tale tecnica consiste nel fare passare i cavi in un guaina di
lunghezza prestabilita (tubo) oltre la quale il cavo comincia ad
essere attivo, mentre nel tratto inguainato non sussiste
trasferimento di tensione dall’acciaio al calcestruzzo. Dosando
opportunamente le varie lunghezze di intubettamento si può
ottenere un profilo del cavo risultante in grado di soddisfare le
condizioni limite dettate dalla normativa, che verranno
approfondite nei prossimi paragarfi.
Discontinuità
Intubettamento
Figura 6.10 – Cavo risultate in travi precompresse a fili pre-tesi
Una volta determinata l’area dell’armatura di precompressione e la
posizione del cavo risultante occorre determinare la disposizione
dei singoli cavi lungo la sezione, utilizzando le precedenti formule
in senso inverso. Generalmente di stabilisce lo sforzo massimo da
attribuire ai singoli cavi, in maniera che fissando la posizione di
alcuni di esse si possa valutare la posizione dei rimanenti. Poiché
per risolvere il problema si ha a disposizione una sola equazione,
si fissa la posizione di n-1 cavi o gruppi di cavi che hanno la stessa
ordinata e si valuta di conseguenza la posizione del restante cavo o
gruppo di cavi.
Gruppo di cavi
la cui posizione è incognita
Cavo risultante
Gruppo di cavi la cui
posizione viene prefissata
Figura 6.11 – Posizione dei cavi nella trave
Esempio 6.4: Con riferimento alla configurazione geometrica dei cavi di
precompressione della trave indicata in figura (4 cavi uguali da 187),
determinare l’equazione del cavo risultante, nell’ipotesi che i singoli
cavi abbiano andamento parabolico, si attestino in mezzeria con
tangente orizzontale e siano soggetti alla stessa tensione iniziale pari a
840 MPa. Ricavare inoltre l’inclinazione della risultante in testa.
27
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
y
160130
100 70
5 8.6 12.2 15.8
x
14 m
La prima operazione da fare è quella di determinare l’equazione dei
singoli cavi. Essendo essi parabolici la loro generica equazione assume la
forma seguente:
=
+
+
Dove il sistema di riferimento adottato è quello indicato in figura. Per
determinare le costanti della parabola occorre imporre le condizioni al
contorno. Nel caso specifico la derivata nulla nell’origine degli assi fa si
nullo anche il coefficiente b. Imponendo poi che il singolo cavo passi per
le posizioni indicate in figura si ottengono i coefficienti a e b indicati
nella seguente tabella:
Tabella xxx – coefficienti delle equazioni dei singoli cavi
y(x=14m)-b
y(x=0)
y(x=14 m)
b=y(0)
Cavo
a=
(m)
(m)
(cm)
142
1
0.050
0.70
0.050
0.003316
2
0.086
1.00
0.086
0.004663
3
0.122
1.30
0.122
0.006010
4
0.158
1.62
0.158
0.007459
Essendo i cavi soggetti alla stessa tensione iniziale e aventi la stessa area,
l’equazione del cavo risultante può essere espressa come la media delle
ordinate dei singoli cavi:
e(x)=
4
∑i=1
yi (x)
4
3
=
3
ai
i=1
bi =0.005362 x2 + 0.104
+
i=1
Il cavo risultante ha quindi in testata e in mezzeria rispettivamente un
ordinata pari a 1.155 m e 1.04 cm. Per determinare l’inclinazione del
cavo in testata basta calcolare la derivata per x=14 m e calcolare l’angolo
corrispondente:
e' (x)=0.010724 x 
e' (x)=0.010724 14=0.15
L’angolo di attacco del cavo risultante in testata vale dunque 8.53°.
Ritenendo l’angolo piccolo , la forza di precompressione totale può
essere calcolata come segue: N=418( 0.72/4) 84.0=2326 kN.
Esempio 6.5: La trave dell’esercizio precedente presenta ora i primi due
cavi che si attestano in campata uno a distanza 350 cm dalla testata e
l’altro a distanza di 160 cm. Si determini l’andamento del cavo risultante
utilizzando le stesse ipotesi dell’esercizio xxx.
160
350
100 70
5 8.6 12.2 15.8
14 m
In questo caso il cavo risultante presenta due punti di discontinuità (in
termini di ordinata e di derivata) coincidenti con i punti di attacco dei due
cavi in campata. Rispetto al caso prima esaminato soltanto le equazioni
dei primi due cavi si modificano e le equazioni diventano le seguenti:
Tabella– Coefficienti delle equazioni dei singoli cavi
y(x=0)
y
b=y(0)
Cavo
(m)
(m)
(cm)
1
0.050
0.70
0.050
0.003316
2
0.086
1.00
0.086
0.004663
3
0.122
2.00
0.122
0.012213
4
0.158
2.00
0.158
0.016700
Il cavo risultante sarà suddiviso in tre tratti continui le cui equazioni sono
le seguenti:
29
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
Tabella– Equazioni del cavo discontinuo
Tratto
x (m)
Equazione cavo risultante
1
y=0.009202x2 +0.105
010.5
2
y=0.006703x2 +0.086
10.512.6
3
y=0.003989x2 +0.068
12.614.0
6.4.2. Il fuso del cavo risultante
Con riferimento ad una generica sezione di una trave in c.a.p. e alle due
condizioni di verifica usualmente considerate (a vuoto e in esercizio) si
possono definire due andamenti limite del cavo risultante. Il primo si
riferisce alla condizione a vuoto e alla sezione interamente compressa
con asse neutro tangente alla sezione al lembo superiore. Il secondo si
riferisce invece alle condizioni di esercizio sempre in presenza di sezione
interamente compressa ma con asse neutro passante per il lembo
inferiore. La prima curva (verde) si costruisce con riferimento al
momento dovuto al peso proprio MG , la seconda (arancione) con
riferimento al momento in servizio (Mp+q+MG). Le distanze
rispettivamente dalla retta limite sup. ed inf. si esprimono come segue:
ei ( x) 
M G ( x)
N0
es ( x ) 
MG  M p  q ( x )
Ne
dove N0 = sforzo di precompressione al tiro ed Ne = sforzo di
precompressione in esercizio
Figura 6.12
L’area compresa tra le due curve è detto fuso del cavo risultante. Esso
rappresenta l’area entro la quale far cadere il cavo risultante al fine di
ottenere per le due condizioni di carico considerate una sezione sempre
interamente compressa. Ammettendo la presenza al lembo superiore e
inferiore di trazione (per normativa) le rette limite modificano la loro
posizione originaria. I centri di pressione che corrispondono ai due
diagrammi limite sono detti punti limite.
Figura 6.13
6.4.3. Il fuso di Guyon1
Come visto precedentemente, in fase di progetto vengono in qualche
modo predimensionati la sezione e lo sforzo di precompressione; il fuso
entro il quale fare variare il cavo viene allora individuato mantenendo
entro il limiti normativi le tensioni massime di trazione e compressione
ammissibili nel calcestruzzo:
1)  ct ,i 
2)
3)
N 0  N p
Aid
N 0  N p
Aid

N
0

0

 N p e1i

Ws
 N p e 2 i
Wi
N 0  N p  N L
4)  ct ,e 
N
Aid

N
0


MG
Ws
MG
  cc ,i
Wi

 N p  N L e1e
N 0  N p  N L
Aid
Ws

N
0

M G  M pq

Ws
 N p  N L e 2 e
Wi

  cc ,e
M G  M pq
Wi
1 Yyes Guyon, illustre studioso francese del 900 che contribuì alla diffusione del c.a.p., assieme a
Fressynet, Magnel, Dischinger e Finsterwalder.
31
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
Il limite inferiore del fuso si valuta come la minima eccentricità
ricavabile dalle relazione 1) e 2) (condizioni a vuoto). Il limite superiore
corrisponde alla massima eccentricità ricavabile dalle relazione 3) e 4)
(condizioni di servizio). Il fuso così costruito va sotto il nome di fuso di
Guyon. Nelle espressioni precedenti le tensioni di trazione vanno
considerate con il segno negativo.
Il limite inferiore fuso di Guyon si individua quindi con le prime due
relazioni:
1)  ct ,i 
e1i 
2)
N 0  N p
Aid

N
0

 N p e1i
Ws

MG
Ws

Ws   ct ,i Aid
MG

 1 


Aid  N 0  N p
 N 0  N p
N 0  N p
N 0  N p e2i M G


  cc ,i
Aid
Wi
Wi
e2 i 





Wi   cc ,i Aid
MG

 1 


Aid  N 0  N p
 N 0  N p
Il limite inferiore del fuso di Guyon è quindi dato da emin=min (e1i, e2i).
La ragione risiede nel fatto che per soddisfare entrambe le condizioni
occorre essere il più vicino possibile dal punto limite inferiore. In caso
contrario, infatti, il centro di pressione potrebbe trovarsi al di sotto del
punto limite e generare così tensioni di trazione al lembo superiore o di
compressione al lembo inferiore incompatibili con le tensioni ammissibili
dettate dalla normativa.
Allo stesso modo, il limite superiore del fuso di Guyon si individua con
le seguenti altre due relazioni:
3)
 cc ,e 
 e1e 
4)
Aid

N
0

 N p  N L e1e
Ws

M G  M pq
Ws

M G  M pq
 cc ,e Aid
Ws 

 1 


Aid  N 0  N p  N L
 N 0  N p  N L
 ct ,e 
 e2 s 
N 0  N p  N L
N 0  N p  N L
Aid

N
0

 N p  N L e 2 e
Wi

M G  M pq
Wi

M G  M pq
 ct ,e Aid
Wi 

 1 


Aid  N 0  N p  N L
 N 0  N p  N L
Il limite superiore del fuso di Guyon è dunque dato da emin = max (e1s,
e2s). La ricerca della massima eccentricità è anch’essa legata al fatto che
per soddisfare entrambe le condizioni sulla tensione occorre essere il più
lontano possibile da punto limite inferiore in maniera che con
l’applicazione dei sovraccarichi permanenti e accidentali (M p+q) non si
esca dall’intervallo punto limite inferiore – superiore e non si determini
così il superamento della massima tensione di trazione o compressione al
lungo termine.
Figura 6.14 – Significato geometrico del fuso di Guyon
In figura 6.14 è illustrato il significato geometrico del fuso di Guyon che,
secondo quanto detto sopra, rappresenta il dominio (zona tratteggiata)
entro il quale far ricadere il cavo risultate al fine di ottenere uno stato
tensionale compatibile con le prescrizioni normative. Si osservi come il
33
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
fuso contenga necessariamente il fuso del cavo risultate, per il quale la
trave risulta in ogni sezione totalmente compressa.
Esempio 6.6: Tracciare il fuso di Guyon per la trave semplicemente
appoggiata illustrata in figura di sezione costante e realizzata con
5200calcestruzzo di classe C32/40 MPa con cemento ad alta resistenza e
acciaio da precompresso realizzato da 30 trefoli 75 con area totale pari
41.23 cm2. Gli sforzi di precompressione a perdite di tensione istantanee
e cadute di tensione avvenute valgono rispettivamente:
N0 - NP= 6000 kN
N0 - NP - NL = 5500 kN
Il sovraccarico permanente e accidentale, considerato uniformemente
distribuito sulla trave vale Q=40 kN/m.
60
Figura 6.15 – Geometria della trave
Nell’ipotesi di combinazioni di carico quasi permanente e tempo di
applicazione della precompressione pari a t0=14 gg, le tensioni
ammissibili prescritte dalle NTC08 per il calcestruzzo si calcolano come
segue:
Calcolo delle Resistenze
Resistenza a compressione cilindrica media:
f cm  8  fck  40MPa
Resistenza a compressione media al tempo t:
f cm (t )  f cm
  28 1 / 2 
s  1  
  14  

e
 40  0.92  36.8 MPa
Resistenza caratteristica a compressione al tempo t:
f ck ( t )  f cm  8  36.8  8  28.8 MPa
Resistenza a trazione cilindrica media:
f ctm  0.30 f ck 2 / 3  2.81MPa
Tensioni ammissibili nel cls
Compressione iniziale:
 cc ,i  0.7 f ck ( t )  0.7  28.8 MPa  20.16 MPa
Compressione in esercizio:
 cc ,e  0.45 f ck  14.4 MPa
(combinazione quasi permanente)
Trazione iniziale e in esercizio:
 ct , i ,e  f cm / 1.2  2.34 MPa
Con le dimensioni indicate in figura la sezione presenta un’area pari a
0.712 m2 e un baricentro posto a 0.973 m dal lembo superiore. I moduli
di resistenza a flessione inferiore e superiore valgono rispettivamente:
Wi =0.308 m3
Ws = 0.358 m3
Per semplicità queste due grandezze vengono considerate le stesse sia
nelle condizioni iniziali che al lungo termine. Inoltre l’area della sezione
omogeneizzata Aid viene assunta pari all’ area dell’intera sezione di
calcestruzzo.
Come spiegato in precedenza, la condizione per individuare il limite
inferiore del fuso di Guyon è data dal minimo delle due seguenti
eccentricità
35
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
e 1i ( x ) 
Ws
A id
  ct ,i A id

MG
0.358   0.234  7120 

 1 

 1

 N 0  N p
 N 0  N p 0.712 
5200



MG( x )
5200
e 1i ( x )  0.6639  0.000192 M G ( x )

e 2i ( x ) 
Wi
Aid
  cc , i Aid

MG

 1 
 0.7615  0.000192 M G ( x )
 N 0  N p
 N 0  N p


La condizione per individuare il limite superiore del fuso di Guyon è
invece data dal massimo delle due seguenti eccentricità


MG  M p q
 ct , e Aid

 1 
 N 0  N p  N L
 N 0  N p  N L


M
(
x
)
 M p q ( x )
0.308   0.234  7120 
G

 1 


0.712 
4500
4500

e1s ( x ) 
Wi
Aid
e1s ( x )  0.5927  0.000222 [ M G ( x )  M p  q ( x )]


MG  M p  q
 cc , e Aid

 1 

 N 0  N p  N L
 N 0  N p  N L


 0.6428  0.00022 M G ( x )  M p  q ( x )
e 2s 
Ws
Aid


Il momento dovuto al peso proprio si calcola facilmente a partire dal peso
proprio della trave espresso come segue:
G = (Aid  cls ) = 0.712  25 = 17.8 kN/m
MG(x) = GL/2 x– G x2/2 = 249.2x – 8.9 x2
Il momento dovuto al sovraccarico permanente e accidentale è pari a:
Mp+q(x) = QL/2 x– Q x2/2 = 280 x– 10 x2
Graficando le espressioni precedenti e imponendo i limiti sulle
eccentricità si ottiene il ll fuso di Guyon della trave considerata,
rappresentato nella figura seguente:
Figura 6.16 – fuso di Guyon della trave
37
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
_________________________________________________________________________
6.4.4. Il fuso di Guyon per travi a fili aderenti e a cavi
scorrevoli
Come già osservato, il cavo risultante può essere rappresentato anche da
una spezzata sia nel caso di travi a cavi post-tesi che si interrompono
prima della testata sia nel caso di travi a fili pretesi, nel caso in cui questi
ultimi siano in qualche maniera interrotti prima della testata. Ad esempio,
nel caso in cui i cavi siano intubettati allo scopo innalzare la posizione
del cavo risultante e di diminuire lo sforzo di precompressione.
6.4.5. Considerazioni sulla forma del fuso di Guyon
Il fuso di Guyon è un efficace mezzo per avere una visione immediata di
quanto efficacemente sia stata progettata la trave. In particolare un fuso
con la forma rappresentata in figura 6.16 è rappresentativo del fatto che
in presenza di determinati carichi esterni la sezione e lo sforzo di
precompressione siano stati scelti in maniera adeguata. Un cavo che passi
all’interno dell’area tratteggiata rispetta le condizioni limite per le
tensioni sia a vuoto che in esercizio, sfruttando tutta l’altezza della
sezione.
Ci sono casi in cui tale condizione non è del tutto verificata o addirittura
non è verificata affatto.
Ad esempio la figura 6.17 mostra una caso in cui il fuso di Guyon non è
tutto contenuto nella sezione longitudinale della trave. Le cause di ciò
vanno ad esempio ricercate nel fatto che lo sforzo di precompressione N
è sottodimensionato. Valori bassi di N applicati nella fase a ,vuoto
soprattutto se si è in presenza di un peso proprio elevato spostano il
centro di pressione in presenza di precompressione pura fuori dalla
sezione con conseguente spostamento del limite inferiore del fuso di
Guyon. Un'altra possibile concausa è legata alla scelta di un’altezza
totale della sezione inadeguata.
In ogni caso la zona tratteggiata del fuso suggerisce come la trave sia
ancora utilizzabile, avendo l’accortezza di fare passare il cavo risultante
all’ interno della zona stessa.
Figura 6.17– Esempio di fuso di Guyon in cui la trave risulta essere
ancora adeguata
Un ulteriore esempio di inadeguatezza della sezione e dello sforzo di
precompressione è quello illustrato in figura 6.18 dove il fuso di Guyon è
solo in parte contenuto nella sezione longitudinale della sezione. In tal
caso è necessario prima tentare di aumentare se possibile lo sforzo di
precompressione e in caso di esito negativo cambiare sezione .
Figura 6.18 – Esempio di fuso di Guyon in cui la trave risulta essere
totalmente inadeguata
Nella pratica progettuale si possono presentare anche casi nei quali
l’elevato divario tra condizioni di carico a vuoto e in esercizio produce
un’intersezione dei limiti superiori e inferiori del fuso di Guyon come è il
caso di figura 6.19. Ciò rende la trave inadeguata in quanto
evidentemente si è in presenza di momenti dovuti ai sovraccarichi
permanenti e variabili assai più elevati di quelli dovuti al peso proprio al
punto tale che il limite superiore del fuso di Guyon si abbassa
eccessivamente fino a superare il limite inferiore.
Figura 6.19 – Esempio di fuso di Guyon per cui la trave risulta essere
inadeguata
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Nel caso di travi con momento a segno variabile occorre maggiore
attenzione nella costruzione del fuso di Guyon. Si prenda ad esempio la
trave semplicemente appoggiata con due sbalzi laterali. Siano M1 ed M2 i
due momenti relativi al solo peso proprio e in esercizio.
In tal caso la costruzione deve essere fatta con riferimento alle zone a
momento con segno costante: parte della campata a momento positivo e
parte della trave a cavallo dei due appoggi. Nella prima parte il limite del
fuso relativo alle condizioni a vuoto è quello inferiore, come accade per
le travi semplicemente appoggiate. Nell’appoggio è il limite superiore ad
diventare il limite per le condizioni a vuoto.
M1
M2
Figura 6.20 – Fuso di Guyon per trave a momento con segno
variabile
6.5. Il progetto a taglio di travi precompresse
Come già accennato nel paragrafo 2.3 la presenza di precompressione ha
un elevato effetto benefico nei riguardi delle azioni taglianti. Ciò è
dovuto essenzialmente ad almeno tre motivi:
1) La presenza di sforzi di precompressione riduce le tensioni principali
di trazione, ciò conferisce alla trave una sorta di apparente maggiore
resistenza a trazione.
2) La presenza delle precompressione riduce l’inclinazione delle bielle
compresse legate al taglio. Infatti con riferimento alla figura seguente,
nel caso di trave in c.a. ordinario lo stato tensionale nel baricentro è
rappresentato da un cerchio d Morh centrato nell’origine. Di
conseguenza le giaciture principali risultano inclinate di 1=45°. Nel
caso di c.a.p. il cerchio di Morh si sposta verso destra con
conseguente aumento della tensione principale di compressione.
Poiché il polo delle giaciture rimane posizionato sull’asse delle 
l’inclinazione della giacitura delle bielle diminuisce (2).Quanto
osservato si traduce, come vedremo a breve, a parità di armatura
trasversale in un aumento della resistenza a taglio quando sia presente
la precompressione. Infatti una biella meno inclinata intercetta un
numero maggiore di staffe (Figura xxx)

precompresso
1
2
c.a. ordinario

Figura 6.21 – inclinazione delle bielle compresse
Figura 6.22 – Componente
verticale della forza di
precompressione
3 0°
Fcos 
45
F

3) La presenza di cavi inclinati, come nel caso di travi in c.a.p. a cavi
scorrevoli, introduce, come si vedrà meglio nel paragrafo successivo,
delle forze verticali che generalmente contrastano le forze di taglio
dovute ai carichi esterni.
Figura 6.23 – Minore
inclinazione delle bielle
compresse
Ciò comporta evidentemente una consistente riduzione della forza di
taglio rispetto al caso di travi di cemento armato ordinario.
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Osservzione: Poiché le travi in c.a.p subiscono stati tensionali differenti
nelle varie fasi di costruzione e messa in servizio, è possibile che il segno
del taglio cambi da una fase all’altra. Si consideri ad esempio la trave di
figura 6.24.
G
F
TG (+)
Fcos 
Fcos 

Fcos 

F
G+Q
TG+Q (+)
Fcos 
=
T
Figura 6.24 – Calcolo taglio
nella condizione a vuoto
T
=
Figura 6.25 – Calcolo taglio in
condizioni di esercizio
Nella fase a vuoto sulla trave agiranno il peso proprio della trave stessa e
la forza di precompressione. Se per ipotesi l’entità del peso proprio fosse
limitata, prevarrebbe il segno della forza dovuta alla sola
precompressione. Una volta raggiunta la fase di esercizio con l’aggiunta
dei sovraccarichi permanenti e variabili il segno del taglio subirebbe con
molta probabilità un cambiamento di segno per la prevalenza in valore
assoluto del taglio dovuto ai carichi esterni.
Per tale motivo nelle travi in cemento armato precompresso è necessario
utilizzare soltanto staffe verticale, la cui azione resistente non risente del
segno del taglio.
Detto ciò il progetto a taglio delle travi in cemento armato precompresso
segue la procedura utilizzata nel caso di travi in cemento armato
ordinario, mettendo naturalmente in conto lo sforzo di precompressione.
Travi in c.a.p. in assenza di armatura
In assenza di armature trasversali, quale è ad esempio il caso di pannelli
alveolari precompressi, la resistenza a taglio massima è data dalla
seguente formula (NTC08 – 4.1.14)
VRd = 0.18k 100ρl fck
dove
bw
d
Asl
l
F
Ac
F/Ac
K
=
=
=
=
=
=
=
=
1/3
+0.15
F
F
bw d≤ vmin +0.15
b d
Ac
Ac w
larghezza dell’anima
altezza utile della sezione
armatura ordinria
Asl/(bwd)
sforzo di precompressione
area della sezione di calcestruzzo
tensione media nel cls < 0.2 fcd
1+(200/d)1/2 < 2
Nel caso di precompressione totale, la normativa italiana ammette l’uso
della seguente formula semplificata valida per travi precompresse
semplicemente appoggiate con tensione massima di trazione inferiore
alla la resistenza a trazione di calcolo del calcestruzzo fctd
VRd =0.7bw d fctd 2 +
F
f
Ac ctd
1/2
Travi con armatura trasversale
Nel caso di travi dotate di armatura trasversale, la normativa italiana
permette l’uso di modelli a traliccio suggerendo, in particolare, l’utilizzo
del modello con bielle ad inclinazione variabile. Tale modello, di natura
isostatica, prevede che le bielle compresse abbiano angolo d’inclinazione
 variabile, ma in ogni caso compreso nel seguente range:
1 ≤ ctg  ≤ 2,5
Noto l’angolo , la resistenza della trave viene espressa come il minimo
tra la resistenza a taglio dell’armatura trasversale V Rsd e la resistenza a
taglio delle bielle compresse VRcd
VR = min (VRsd , VRcd)
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Asw
f (ctgα+ctgθ)sinα
s yd
'
VRcd =0.9dbw αc f cd (ctgα+ctgθ)/(1+ ctg2 θ)
VRsd =0.9d
dove bw e d hanno il significato già introdotto e
Asw/s
s=
=
f ’cd=
cd=
=
area delle staffe a metro
passo delle staffe
angolo di inclinazione delle armature traversali
0.5 fcd
1
membrature non compresse
1+F/(Ac fcd)
0 F/Ac0.25 fcd
1.25
0.25 F/Ac0.50 fcd
2.5(1- F/(Ac fcd) 0.50 F/Ac fcd
Le formule precedenti, hanno validità generale ma possono essere
specializzate per il caso di c.a.p. imponendo =0 e imponendo inoltre
una ulteriore limitazione sull’angolo di inclinazione delle bielle
compresse (NTC08 – 4.1.2.1.3.2)
ctg  ≤ ctg 
dove I è l’angolo di inclinazione della prima fessurazione ricavato da
ctgI=/I mentre  e I sono rispettivamente la tensione tangenziale e la
tensione principale di trazione sulla corda baricentrica della sezione
intesa interamente reagente.
Figura 6.25 – Tensioni principali nel c.a.p.
Esempio 6.7: Con riferimento alla sezione del travetto a T in c.a.p. indicata in figura
si calcoli la sua resistenza a taglio in assenza di armatura trasversale
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Esempio 6.8: Con riferimento alla sezione del travetto a T in c.a.p. indicata in figura
nella quale sono presenti armature trasversali si progetti l'armatura a taglio e la
Resistenza a taglio
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