Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICA
Anno Accademico 2013/2014
-Lezione 12-
Prof. Ing. Renato RICCI
Flusso attorno ad un ala di estensione finita
Il flusso attorno ad un profilo alare può essere considerato rappresentativo di quello
attorno ad un’ala di estensione infinita lungo lo span (apertura alare).
Sperimentalmente si può verificare una riduzione delle prestazioni di un profilo alare
quando esso è inserito in un ala di estensione finita.
L’estensione non infinita dell’ala comporta infatti un flusso 3D con componenti di
velocità nella direzione dell’apertura alare. La motivazione fisica di tale fenomeno
risiede nello sbilanciamento di pressione tra intradosso ed estradosso, che si verifica
in un ala portante. Tale sbilanciamento provoca una rotazione del flusso d’aria attorno
all’estremità e quindi un ricircolo dall’intradosso verso l’estradosso. La componente
spanwise del flusso è dunque diretta dall’estremità verso la radice all’estradosso e
dalla radice all’estremità all’intradosso. La rotazione del flusso attorno al wing tip
produce vortici, detti trailing vortex, o vortici di estremità che influenzano la
distribuzione di velocità su tutta l’ala e vengono trasportati downstream come piccoli
tornadoes.
I vortici di estremità trascinando in rotazione il fluido nell’intorno dell’ala inducono
una componente di velocità ortogonale al piano dell’ala e diretta verso il basso
denominata downwash (w) o velocità indotta , che si compone alla velocità del flusso
indisturbato modificando il vettore velocità incidente su ogni sezione dell’ala.
Questo flusso presenta due caratteristiche importanti:
• All’aumentare dell’angolo di attacco la portanza dell’ala aumenta, lo sbilanciamento
di pressione tra intradosso ed estradosso aumenta e di conseguenza l’intensità del
trailing vortex aumenta (atterraggio).
• Il fenomeno si produce all’estremità dell’ala, ma interessa il flusso su tutta l’ala
modificando le streamlines anche a monte dell’ala.
Flusso attorno ad un ala di estensione finita (2)
La presenza dei vortici di estremità e la nascita della velocità indotta hanno due importanti conseguenze sulle
forze aerodinamiche che nascono sulla singola sezione di ala:
(A) In ogni sezione la downwash si combina con la velocità del flusso indisturbato fornendo un
vettore velocita’ locale che possiede un angolo di attacco effettivo piu’ basso rispetto all’angolo
di attacco geometrico. Se definiamo angolo di attacco effettivo quello tra la direzione della
velocità locale incidente e la corda si può dunque scrivere:
VISTA DALL’ALTO
streamline
intrdosso
V
streamline
estradosso
eff     i
corda
d’estremità
corda
CR
radice
A parità di angolo geometrico di attacco la portanza generata nel caso di una sezione di ala è minore
rispetto a quella generata dal profilo bidimensionale
L’angolo αi è chiamato angolo
indotto
Di
i

i
V
i
Veff
w
CT
span b
trailing vortex
bassa pressione
trailing vortex
alta pressione
VISTA DI FRONTE
L
 eff
superficie
alare S
(B) La portanza locale è per definizione un vettore parallelo alla velocità incidente
effettiva, di conseguenza forma con la normale al vento indisturbato V∞ un angolo
pari a αi . Ciò produce una componente di questo vettore nel riferimento geometrico
diretta come V∞ , ovvero una resistenza, detta RESISTENZA INDOTTA (Di).
La resistenza indotta non esiste nel riferimento della velocità effettiva ma nasce nel
riferimento geometrico (riferimento fisso solidale al terreno) per effetto
dell’inclinazione del vettore L in questo riferimento. Dunque se si vuole volare
all’angolo geometrico di attacco è necessario vincere anche la resistenza indotta
aumentando la potenza del motore.
Flusso attorno ad un ala di estensione finita (3)
La presenza dei vortici di estremità comporta l’instaurarsi di una downwash su tutta l’ala e di
conseguenza l’alterazione delle condizioni del flusso indisturbato, rispetto a quanto stabilito
nel riferimento geometrico. Ciò provoca, in conclusione, una diminuzione dell’angolo di
attacco percepito dal profilo, rispetto a quello fissato nel riferimento geometrico e di
conseguenza una diminuzione della portanza locale prodotta dalla singola sezione alare
rispetto alla portanza del profilo bidimensionale. Inoltre nel riferimento geometrico il vettore
portanza ortogonale alla velocità effettiva ha una componente parallela a V∞ che costituisce
quindi una resistenza. Tale resistenza è interpretabile come squilibrio della forza di pressione
indotto dai vortici di estremità nella direzione del flusso indisturbato (resistenza di pressione o
di forma) o anche come perdita di quantità di moto ed energia del flusso che finisce in
rotazionalità delle particelle coinvolte nei trailing vortex e che è dunque sottrae contributi alla
generazione della portanza. Le considerazioni fatte fino ad ora prescindono dalle
caratteristiche del flusso dunque VALGONO ANCHE PER FLUSSI INCOMPRIMIBILI ED INVISCIDI.
Di
i
L

 eff
i
V
i
Veff
w
La resistenza di un’ala può essere vista come la somma della della resistenza di
pressione e di attrito del profilo bidimensionale (profile drag) e della resistenza indotta
(dovuta alla tridimensionalità). Il coefficiente di resistenza di un ala può dunque essere
scritto come:
C D =cd +C Di = Resistenza dell'ala (3D)
(D f +DP )
cd =
= Resistenza del Profilo(2D)
q•  S
(D )
C Di = i = Resistenza Indotta
q•  S
Il coefficiente di resistenza indotta
non è mai trascurabile nel caso di un
ala di dimensioni finite, infatti esso
può essere maggiore del coefficiente
di resistenza del profilo
bidimensionale.
La teoria della Linea Portante di Prandtl-Concetti Preliminari
La teoria più semplice che permette di prevedere, in prima approssimazione, il comportamento aerodinamico dell’ala finita utilizzando flussi
potenziali (quind inviscidi) è quella della linea portante di Prandtl (Lifting Line Theory), sviluppata a Göttingen (Germania) tra il 1911 ed li 1918. La
comprensione di tale teoria richiede l’introduzione di alcuni strumenti analitici necessari quando si effettua un’analisi non bidimensionale. In
particolare:
• Estensione al caso tridimensionale della linea di vortici già introdotta nella teoria dei profili sottili; ovvero introduzione del filamento di vortici
• Determinazione del campo di velocità prodotto da un filamento di vortici: la Legge di Biot-Savart
• Comportamento del filamento di vortici per un campo fluido inviscido incomprimibile: I Teoremi di Helmoltz
Il Filamento di Vortici e la Legge di Biot-Savart
Nella Teoria dei profili sottili è stato già introdotto la linea di vortici che si estende fino a ±∞ o il piano di vortici per rappresentare mediante flussi
potenziali, una distribuzione di portanza bidimensionale. Estendiamo tale concetto in 3D. Se immaginiamo l’origine dei vortici disposta su una
curva nello spazio otteniamo un filamento di vortici, la cui Vorticità attorno ad una superficie chiusa che racchiuda l’intero filamento, è ipotizzata
pari a Γ costante, detta forza del filamento di vortici. Questo flusso potenziale sovrapposto ad un flusso indisturbato ci permetterà di simulare la
distribuzione di portanza attorno ad una di estensione finita. Considerando un segmento dl diretto come la tangente al filamento in un suo
punto, è possibile determinare la componente infinitesima di velocità dV indotta
dalla porzione dl di filamento vorticoso su di un punto arbitrario P posto ad una
distanza r da dl. E’ possibile dimostrare che vale la relazione:
G dl ´ r
dV =
4p r 3
dB =
5
m E dl ´ r
4p r 3
Questa equazione è denominata equazione di Biot-Savart
in analogia alla relazione che sussiste tra la corrente
elettrica “E” che attraversa una porzione infinitesima “dl” di
un filo conduttore di orientazione qualsiasi e la
componente del vettore campo magnetico “dB” indotto in
un punto qualsiasi dello spazio P.
L’analogia sussiste in quanto la legge di Biot-Savart è un
risultato generale di una teoria potenziale (equazione di
Laplace) e tanto il campo elettromagnetico quanto il campo
di velocità per un flusso inviscido ed incomprimibile
obbediscono a tale teoria.
La teoria della Linea Portante di Prandtl-Concetti Preliminari
Il Filamento di Vortici e la Legge di Biot-Savart

dV 
 dl  r
 dl  r


V

3
 4  r 3
4
r
Integrando su tutta la lunghezza dl del
filamento (ascissa curvilinea) è possibile
determinare il campo di velocità indotto in P
dall’intero filamento.
Dalla definizione di prodotto vettoriale e tenendo conto del fatto che la direzione di dl è legata
al segno di Γ, si deduce che nell’esempio il verso della velocità indotta è verso il basso
(Downwash), mentre il suo modulo è fornito dalla relazione seguente, nella quale θ è l’angolo
compreso tra dl ed r

V
4



sin 
 dl
2
r
Il Filamento di Vortici e la Legge di Biot-Savart - Applicazioni (Vortice Rettilineo Infinito)
Applichiamo la legge di B-S ad un filamento rettilineo che si estende da +∞ a -∞, che
equivale al vortice puntiforme del caso bidimensionale. In questa situazione semplici
considerazioni geometriche consentono di scrivere:
r
h
h
h
; l
; dl   2 d ;
sin 
tan 
sin 

V
4
6

Modulo della velocità prodotta da un
vortice libero di forza Γ (caso 2D)
sin 




dl
V


sin


d


V

 r2
4 h 
2 h

0
La teoria della Linea Portante di Prandtl-Concetti Preliminari
Il Filamento di Vortici e la Legge di Biot-Savart - Applicazioni (Vortice Rettilineo Semi-Infinito)
Vortice Seminfinito
Applichiamo la legge di B-S ad un filamento rettilineo che si estende da
un punto A fino a -∞. Rispetto al caso precedente variano solamente
gli estremi di integrazione. Il vortice semi-infinito induce in P una
velocità che è la metà in modulo di quella indotta da un vortice infinito.
r
h
h
h
; l
; dl   2 d ;
sin 
tan 
sin 
V 

0
4 h /2
sin   d  V 

4 h
I Teoremi di Helmholtz
Helmholtz fu il primo ad utilizzare il concetto di filamento di vortici nell’analisi di flussi inviscidi ed incomprimibili. Nelle sue analisi stabilì due
teoremi fondamentali per caratterizzare il comportamento dei vortici in tali flussi:
1. La forza di un filamento di vortici è costante lungo la sua lunghezza.
2. Il filamento di vortici non può avere fine nel fluido: esso deve o estendersi fino ai confini del dominio fluido (±∞) o deve
formare un percorso chiuso.
La dimostrazione dei teoremi di Helmholtz è piuttosto complessa e verrà trascurata, tuttavia è possibile giustificare intuitivamente tali
affermazioni se si considera che l’unica forza in grado di variare la forza di un vortice o di spegnere il vortice è la forza viscosa, esclusa per ipotesi
in flussi potenziali.
Tutti i concetti introdotti qui verranno utilizzati per determinare la distribuzione di portanza su di un ala finita.
7
La teoria della Linea Portante di Prandtl-Concetti Preliminari
Distribuzione di Portanza
Consideriamo una superficie alare di estensione finita compresa tra -b/2 e +b/2;
la sezione in corrispondenza di ciascuna coordinata y nella direzione dello span,
sarà costituita da un profilo alare che sottoposto ad un flusso indisturbato con
velocità V∞ produce una portanza per unità di lunghezza fornita dal Teorema di
Kutta-Youkowsky:
2
L (y)  cl (y) V  2  c(y)   V  (y)
Svergolamento Geometrico (Geometric Twist)
Svergolamento Aerodinamico (Aerodynamic Twist)
8
La portanza ( e quindi la Vorticità) in ogni sezione dipende:
1.dall’angolo di attacco locale ovvero dallo SVERGOLAMENTO GEOMETRICO alare
(“torsione costruttiva” dell’ala attorno al bordo di entrata).
2.dalla corda locale del profilo ovvero dalla PIANTA ALARE (non tutte le ali sono
rettangolari).
3.dalla tipologia di profilo alare che costituisce la generica sezione y dell’ala, ovvero
dallo SVERGOLAMENTO AERODINAMICO (variazione del profilo lungo lo span).
Le considerazioni fatte rendono ragione della presenza di una distribuzione di
portanza non nota a priori in una ala finita. La sola condizione nota è
l’annullamento della portanza alle estremità dovuta al bilancio delle pressioni tra
intradosso ed estradosso.
Variazione della corda e della forma della pianta alare.
La teoria della Linea Portante di Prandtl
La portanza dunque in un ala tridimensionale è funzione della posizione lungo lo
span, che tiene conto nel caso più generale degli svergolamenti geometrico ed
aerodinamico, nonché della variazione della corda. Per il teorema di KuttaYoukowsky lo sarà anche la Vorticità:
L '( y )    V  ( y )
(y)  L (y)  V


la determinazione della distribuzione di Vorticità è uno dei problemi centrali
della teoria della linea portante di Prandtl.
Nella sua teoria Prandtl ipotizzo di simulare la distribuzione di portanza prodotta da un ala il cui span si estende da y= - b/2 ad y= b/2 mediante
un filamento di vortici disposto lungo l’apertura alare nella direzione ortogonale alla velocità del flusso indisturbato. La distribuzione di
Vorticità, ovvero la forza Γ di tale vortice denominato BOUND VORTEX, deve rappresentare la portanza generata dall’ala. Per simulare i vortici
estremità ed il loro effetto su tutta l’ala (resistenza indotta) Prandtl inserì due vortici posti ai limiti del bound vortex ma in grado di muoversi
con il flusso (free) nella direzione della velocità indisturbata (trailing vortex). Poiché per i teoremi di Helmholtz un filamento vorticoso non può
variare la sua forza ed esaurirsi nel dominio fluido i due trailing vortex devono necessariamente avere forza Γ ed estendersi all’infinito. Il
filamento che viene così a formarsi è a “ferro di cavallo” (Horseshoe Vortex)
Ala di
estensione
finita
9
Modello dell’ala con
filamenti vorticosi
(Horseshoe Vortex)
La teoria della Linea Portante di Prandtl
Modello di Prandtl del Vortice a ferro di cavallo semplice per rappresentare l’ala finita
Per il teorema di Kelvin se l’ala è portante da qualche
parte nel fluido
(all’aeroporto) deve esserci lo
STARTING VORTEX.
Inoltre i teoremi di Helmholtz assicurano che un
filamento vorticoso in un flusso inviscido deve essere
chiuso su se stesso e mantenere la sua vorticità
costante.
10
La teoria della Linea Portante di Prandtl
Calcoliamo la DOWNWASH indotta dalla distribuzione di vortici a ferro di cavallo su di un
punto posto sul bound vortex, utilizzando la formula di Biot-Savart per la velocità indotta:
E’ facile vedere che il bound vortex non può contribuire a generare velocità indotta su se
stesso (r e dl sono paralleli). Tuttavia i due trailing vortex (vortici semi-infiniti) generano una
distribuzione di velocità indotta sul bound vortex determinata da:



b
w(y)  



4 (b / 2  y) 4 (b / 2  y)
4 (b / 2)2  y 2
Trailing Vortex
di Sx
Trailing Vortex
di Dx
z
y=-b/2
P
y
y= +b/2
x
w=w(y)
La distribuzione a ferro di
cavallo non può
rappresentare il
comportamento reale di
un ala
E’ facile verificare che per y che tende a ± b/2 la downwash tende ad assumere valore infinito. Nonostante la rispondenza qualitativa ai fenomeni
aerodinamici il modello a singolo vortice di cavallo non rappresenta in modo fisicamente consistente l’ala finita. Prandtl risolse questo problema
modificando il modello. Invece di utilizzare un unico vortice a ferro di cavallo sovrappose diversi vortici a ferro di cavallo di differente forza ma
aventi il bound vortex sulla stessa linea detta linea portante. Essendo il flusso inviscido ed incomprimibile l’effetto complessivo è la somma degli
effetti (linearità).
Il risultato di questo nuovo modello è illustrato in figura nel caso di sovrapposizione di tre
3

vortici a ferro di cavallo: il bound vortex presenta una distribuzione di Vorticità e quindi di
d
d
1
portanza a gradini e da esso (lifting line ) si staccano downstream una serie di coppie di
2
d
trailing vortex (una per ogni bound vortex). La forza di ciascun trailing vortex che si stacca
d 2
d 1
dalla lifting line è pari alla variazione di forza del bound vortex nel punto di partenza.
2
d 3
d
• La Vorticità totale dell’ala è pari alla somma totale della Vorticità sulla lifting line
d 1
poichè la Vorticità dei trailing vortex non fornisce contributo
d 3
• La forza del trailing vortex è pari alla variazione di forza del bound vortex lungo la lifting
Lifting Line d 2
d 1
line
• Il modello si presta ad una estensione con un numero infinito di vortici a ferro di cavallo
d1
di forza infinitesima sovrapposti.
11
La teoria della Linea Portante di Prandtl
Quando sovrapponiamo un numero infinito di vortici a ferro di cavallo di forza dΓ
infinitesima la distribuzione a gradini di Vorticità sulla lifting line diviene una curva
continua Γ(y) con il valore massimo al centro (Γ0) e valore nullo alle estremità. Le
coppie di trailing vortex diventano un vortex sheet continuo che si stacca dalla lifting
line nella direzione del flusso indisturbato. La forza totale del foglio di vortici integrata
su tutto lo span è zero poichè esso consiste di coppie di trailing vortex con forza
uguale ed opposta.
Consideriamo un elementino di lunghezza dy della lifting line posto a distnza y
dall’origine, la Vorticità su tale elemento sarà Γ(y) e da esso si staccherà un trailing
vortex di forza proporzionale alla variazione di Γ(y) lungo y:
d trailing
vortex
 d bound 
vortex
 dy

 dy 


Ogni segmento del trailing vortex dx induce in y0
sul bound vortex una downwash calcolabile con
la legge d Biot-Savart.
Quindi la velocità discendente indotta dal filamento rettilineo semi-infinito con origine y , in un
punto y0 del bound vortex è determinabile come:
æ dG bound ö
ç vortex ÷ × dy
dy ÷
çè
ø
dw(y0 ) =
4 × p × ( y - y0 )
nella quale il segno è consistente con il verso della
downwash (positivo) in figura, tenendo conto del fatto che
la variazione di Vorticità del bound vortex in y è negativa
E’ così possibile calcolare la downwash
prodotta dall’intero piano di vortici nel punto y0
sul bound vortex
12
æ dG bound ö
ç vortex ÷ × dy
dy ÷
+b/2 ç
è
ø
w(y0 ) = ò
4 × p × ( y - y0 )
-b/2
La teoria della Linea Portante di Prandtl
Con il modello ad infiniti “horseshoe vortex” sovrapposti di forza infinitesima è possibile ricavare la downwash su ogni punto del bound vortex,
che schematizza un ala finita di dimensioni e pianta alare qualsiasi. Tuttavia per determinare la distribuzione di Vorticità che tale ala genera, la
portanza totale prodotta e la resistenza indotta è necessario ricordare il legame tra angolo indotto e downwash:
Di
i
L
 eff

i
V
i
Veff
w
 w(y 0 ) 
 V 
 i (y 0 )  tan 1 
(Il segno meno assicura che l’angolo indotto sia positivo quando
la downwash è negativa)
Poichè la velocità indotta è molto più piccola di quella del flusso indisturbato, l’angolo indotto è
in genere un angolo molto piccolo, di conseguenza possiamo scrivere, utilizzando anche la
relazione trovata per la velocità indotta, che:
 d bound 
 vortex 
dy 
b2 




w(y
)
w(y
)
1
0
0
 i (y 0 )  tan 1 




(y
)

dy
i
0
V
4 V  b 2 (y 0  y)
 V 
L’angolo indotto è dunque variabile lungo lo span dell’ala dal momento che lo è la velocità
indotta, di conseguenza anche l’angolo effettivo visto dalla singola sezione dell’ala sarà
variabile lungo lo span. Inoltre anche il coefficiente di portanza locale, funzione dell’angolo
effettivo di attacco sarà funzione di y0 .
In una teoria inviscida, come quella che stiamo descrivendo è lecito
approssimare la pendenza della retta di portanza del profilo con 2π
(profili sottili). Se non c’è svergolamento aerodinamico l’angolo di
cl (y0 )  a0   eff (y0 )   L  0   2   eff (y0 )   L  0  portanza nulla rimane costante lungo lo span, esso infatti dipendendo
solo dalla freccia massima di camber è fissato se la geometria del
profilo non cambia.
Dal teorema di Kutta-Youkowsky applicato alla sezione di
1
2(y0 )
ala in y0 ricaviamo:
L (y0 )  cl (y0 )   V 2  c(y0 )   V  (y0 ) cl (y0 ) 
2
13
V  c(y0 )
La teoria della Linea Portante di Prandtl
cl (y0 )  2   eff (y0 )   L  0    eff (y0 ) 
cl (y0 ) 
2(y0 )
V  c(y0 )
 (y 0 )   eff (y 0 )   i (y 0 )


b 2 d

dy
1
 i (y 0 ) 
dy 
4 V  b 2 (y 0  y) 
 
cl (y0 )

  L0 
2




 eff (y0 ) 
(y0 )
  L0
V    c(y0 )
+
 
b 2 d
dy
1
 (y 0 )   eff (y 0 ) 
dy
4 V  b 2 (y 0  y)
Questa equazione integro-differenziale stabilisce
Equazione fondamentale della
semplicemente che l’angolo d’attacco geometrico è la
Teoria della Linea Portante
somma di quello effettivo e di quello indotto. Tuttavia
rappresenta uno strumento molto potente nella
b 2 d
previsione delle caratteristiche aerodinamiche di un ala
dy
(y 0 )
1
(portanza e resistenza indotta). Infatti note le  (y 0 ) 
 L0 
dy
 V c(y 0 )
4 V  b 2 (y 0  y)
caratteristiche geometriche ed i profili di cui è
composta , l’unica incognita dell’equazione è Γ.
L’angolo di portanza nulla non è funzione della coordinata y0 solo se è assente



lo svergolamento aerodinamico
14
Equazione Fondamentale della Linea Portante
 
b 2 d
dy
(y 0 )
1
 (y 0 ) 
 L0 
dy
 V c(y 0 )
4 V  b 2 (y 0  y)
Ipotizzando l’ala di geometria nota, i valori di α , c, V∞ , αL=0 sono da ritenere determinati. La soluzione dell’equazione fondamentale fornisce la
distribuzione Γ(y0) tra -b/2 e b/2.
L (y0 )   V  (y0 )
• Nota la distribuzione di Vorticità la distribuzione di portanza si ottiene dal Teorema di Kutta-Youkowsky:
• La portanza totale si ottiene semplicemente integrando lungo lo span ed il coefficiente di portanza dell’ala si ottiene adimensionalizzando
mediante il prodotto della superficie alare S per la quantità di moto del flusso indisturbato:
b
L
2

b
L (y0 )dy0 V
b 2
b
L
2 2
CL 

(y0 )dy0
q S V S b
2
 (y )dy
0
0
b 2
Di
2
i
• La distribuzione di resistenza indotta per unità di span si ottiene da semplici considerazioni geometriche:
Di  Li sin ai  Li i
L
(nonostante la teoria sia inviscida conduce alla determinazione di una
componente della resistenza, ma solo di quella indotta, dovuta alla portanza)
• La resistenza indotta totale si ottiene integrando la relazione appena ottenuta sullo span:

 eff
V
i
i
Veff
w
• Il coefficiente di resistenza indotta si ottiene con la consueta adimensionalizzazione.
b
Di 
2

b 2
15
b
Li(y0 ) i (y0 )dy0  V
b
2
 (y ) (y )dy
0
b 2
i
0
0
CD,i
Di
2 2


(y0 ) i (y0 )dy0
q S V S b
2
Soluzioni dell’equazione fondamentale della
linea portante
Prima di affrontare il problema della soluzione generale dell’equazione della linea portante di Prandtl, esaminiamo un caso particolare procedendo a
ritroso. Imponiamo la distribuzione di portanza da inserire nell’equazione e verifichiamo che tipo di caratteristiche aerodinamiche deve avere un ala che
realizza tale distribuzione secondo la teoria.
2
nella quale y è una variabile di
 2y 
La Vorticità sul bound vortex è di tipo ellittico ed è espressa dalla relazione:
(y)   0 1   
comodo che è definita tra -b/2 e b/2
 b
La distribuzione di portanza è ovviamente di tipo ellittico come deriva dal teorema di Kutta-Youkowsky:
L (y0 )   V   0
 2y 
1  
 b
2
di conseguenza essa (come la Vorticità) avrà il valore massimo al centro e sarà nulla alle estremità dell’ala
Per determinare le caratteristiche aerodinamiche di un ala che realizza tale distribuzione di portanza, calcoliamo la downwash indotta sul bound vortex
æ dG bound ö
ç vortex ÷ × dy
dy ÷
+b/2 ç
è
ø
w(y0 ) = ò
4 × p × ( y - y0 )
-b/2
(y0 è la coordinata lungo il bound vortex, mentre y è solo la variabile di integrazione)
b
d
4 0
y
0 2
y
 2 

w(y
)

dy
0
dy
b (1  4 y 2 b 2 )1 2
 b 2 b (1  4 y 2 b 2 )1 2 (y  y0 )
2
Effettuando la sostituzione di variabile:
y
b
b
cos  dy   sin  d
2
2
16
Soluzioni dell’equazione fondamentale della
linea portante
w(y0 )  w( 0 )  
0 
cos
0
d



2 b 0 cos  cos 0
2b
la downwash prodotta da una distribuzione di portanza ellittica è
effettivamente diretta verso il basso ed è costante, ovvero
indipendente dalla posizione sullo span. di conseguenza anche
l’angolo indotto sara’ indipendente dalla posizione sullo span.


0
 i (y0 )  
w(y0 )
0

V
2bV

L
2 2
CL 

(y0 )dy0 

q S V S  b

2

2

 2y0 

(y0 )   0 1  
 b 

b
17
Integrale notevole che appare spesso nella
teoria dei profili alari
  sen(n  0 )
cos(n   )
d 
cos( )  cos(0 )
sen(0 )
Rimane da determinare la costante Γ0 che è legata ovviamente alla portanza complessiva
generata dall’ala ovvero al suo coefficiente di portanza:
b
2 0 2
CL 
V S b
2
 0 

4y02 
 1  b 2 
1/2
2V SC L
b di conseguenza l’angolo
b
b
y  cos  dy   sin  d
2
2

2 0 b
 b
dy0 
  sin 2  d  0 

V S 2 0
V S 2
di attacco indotto può
essere scritto come:
i 
2V SCL 1
CL


2bV b   b 2 S
Soluzioni dell’equazione fondamentale della
linea portante
Tra le proprietà geometriche più importanti di ala di estensione finita c’è l’ASPECT RATIO AR (ALLUNGAMENTO) DEFINITO
COME RAPPORTO TRA IL QUADRATO DELLO SPAN E LA SUPERFICIE DELLA PIANTA ALARE
b2
AR 
S
Se l’ala è rettangolare ed indichiamo con c
la corda (costante lungo l’apertura alare) si
può scrivere:
b2
b2
b
AR 


S bc c
Alla luce del parametro AR, allungamento alare, analizziamo i risultati trovati nel caso in cui la distribuzione di portanza
sull’ala sia ellittica.
l’angolo indotto
(costante su tutto lo span)
può essere espresso come:
CL
i 
  AR
L’angolo indotto dipende linearmente dal coefficiente
di portanza dell’ala ed inversamente
dall’allungamento alare.
Il coefficiente di resistenza indotta,
b

2 2
2 i  0 b
 i  0b
CL2
può essere determinato a partire
2
CD,i 
(y0 )ai (y0 )dy0 

sin  d 
 CD,i 
dall’integrale della Vorticità
V S  b
V S 2 0
2V S
 AR


2
Il coefficiente di resistenza indotta è proporzionale al quadrato del coefficiente di portanza dell’ala ed inversamente
proporzionale all’ Aspect Ratio.
18
Soluzioni dell’equazione fondamentale della
linea portante
Considerazioni sui risultati della teoria nel caso di distribuzione di portanza ellittica:
• Il risultato che sia l’angolo indotto che il coefficiente di resistenza indotta dipendono dalla portanza non è sorprendente, infatti entrambe le grandezze
rappresentano l’effetto sull’ala dei vortici di estremità che sono dovuti allo sbilanciamento di pressione tra estradosso ed intradosso e quindi alla
portanza. Se l’ala non è portante (angolo di portanza nulla) non si verificano vortici di estremità, non esiste resistenza indotta (drag due to lift) né angolo
indotto.
• I fenomeni caratteristici di un’ala finita sono più intensi in fasi in cui il CL è elevato, quindi al decollo ed
all’atterraggio (pericolo negli atterraggi ravvicinati). Questo vale in particolarmente per la resistenza indotta
(proporzionale CL2 )che in queste fasi diviene la componente predominante (è il prezzo da pagare per la generazione
della portanza e deve essere vinta mediante un surplus di spinta da parte del motore).
Stessa Superficie Alare S,
Stesso CL
Differente Span b
AR1
19
AR2 = 4 AR1
• Tutti i fenomeni connessi alla dimensione finita dell’ala dipendono
inversamente dall’allungamento alare. Quindi costruire ali con elevato AR
comporterebbe una diminuzione di tali fenomeni ed un miglioramento delle
prestazioni aerodinamiche. Tuttavia un’ala di elevata snellezza spesso non
possiede i necessari requisiti di resistenza strutturale.
Nella figura immaginando che i due aeri siano sottoposti alla stessa velocità di
flusso indisturbato e siano dotati degli stessi profili alari, la differenza nell’AR
dell’ala fa sì che il secondo subisca una resistenza indotta 4 volte inferiore e
percepisca un angolo indotto 4 volte più piccolo
Soluzioni dell’equazione fondamentale della
linea portante
Lockheed P80: caccia
AR: 6
Lockheed U2: Ricognizione ad alta quota
AR: 14.3
Replica Flyer 1911
AR: 6
I moderni velivoli subsonici
hanno un aspect ratio compreso
tra 6 e 10, (fa eccezione il
Lockheed U2 che aveva un AR
superiore a 14).
Al contrario gli alianti che volano
senza motore hanno AR molto
maggiori compresi tra 15 e 30.
Gli alettoni degli autoveicoli
hanno AR compresi tra 4 e 5
(molto inclinati).
20
Airbus A320-700: Trasporto
AR: 9.5
Aliante Discus
AR: 22.2
L’allungamento alare non è l’unico mezzo per contrastare i vortici di estremità
Soluzioni dell’equazione fondamentale della
linea portante
Per terminare l’analisi della soluzione dell’equazione di Prandtl della linea portante nel caso di distribuzione di portanza ellittica, stabiliamo quale deve
essere la pianta alare affinché l’ala abbia una tale distribuzione di portanza (soluzione del problema inverso).
Ipotizziamo l’assenza di svergolamenti geometrici

Ipotizziamo l’assenza di svergolamenti aerodinamici
 L0
costante lungo lo span
costante lungo lo span
Poichè la distribuzione di portanza è ellittica anche l’angolo indotto è una costante e di conseguenza lo è anche
l’angolo effettivo
Ne consegue che la distribuzione del coefficiente di portanza è costante lungo lo span
cl  2   eff
L (y0 )
  L  0   L (y0 )  q c(y0 )cl  c(y0 ) 
q  cl
 i (y0 )  
w(y0 )
0

V
2bV
cl  2   eff   L  0 
Poiché la distribuzione di portanza è
ellittica la distribuzione di corda deve
essere ellittica anch’essa.
Pianta Ellittica
Un ala che determina una distribuzione di vorticità e quindi di portanza lungo lo
span ellittica deve possedere una pianta ellittica. In tale caso la downwash,
l’angolo indotto ed il coefficiente di resistenza indotta sono costanti lungo tutta
l’apertura alare.
21
Ala Ellittica
Supermarine Spitfire:
Aereo da caccia inglese (II Guerra Mondiale).
Le caratteristiche aerodinamiche di un ala ellittica sono di
semplice di semplice trattazione analitica ed essa rappresenta
la pianta alare con la più bassa resistenza indotta a parità di
portanza ed allungamento. Tuttavia essa presenta notevoli
difficoltà costruttive.
Inoltre presenta il grosso svantaggio aerodinamico di avere una
distribuzione costante del coefficiente di portanza
cl
Ciò implica che lo stallo avviene contemporaneamente
su tutte le
sezioni dell’ala ( in assenza di svergolamenti).
Tale inconveniente rendeva impossibile allo Spitfire il volo a bassa
quota. Volando vicino al terreno infatti i vortici di estremità non
riescono a richiudersi, l’angolo indotto diminuisce e quindi quello
effettivo aumenta provocando lo stallo di tutta l’ala. Per tale
motivo e per facilitare la costruzione le ali vennero troncate alle
estremità.
22
Soluzione generale dell’equazione della linea
portante
L’approccio alla soluzione generale dell’equazione della Linea Portante parte dalla considerazione che la distribuzione di vorticità ellittica può essere
espressa mediante una funzione trigonometrica semplicemente eseguendo il cambio di variabili:
b
y  cos
2
con     0 ovvero  b 2  y  b 2
La reale distribuzione di portanza (e quindi di vorticità)
dipende: dalla pianta alare, dalla forma dell’ala, dalla
presenza della fusoliera e dalle condizioni di volo, tuttavia
può essere considerata una funzione sufficientemente
regolare per essere rappresentata come somma di N
funzioni trigonometriche (serie di Fourier)
Poichè la distribuzione ellittica (sinusoidale) è soluzione
dell’equazione della linea portante è possibile pensare alla
generica distribuzione di vorticità soluzione della
equazione fondamentale come la somma di un numero N
arbitrario di soluzioni sinusoidali di argomento diverso (il
problema è infatti lineare in quanto la teoria dell’ala finita
è inviscida).
23
(y)   0
 2y 
1  
 b
2
( )   0 sin 
Soluzione generale dell’equazione della linea
portante
Si assume quindi la
distribuzione di vorticità
d d d
d N
( )  2bV  Ak sin(k ) 


 2bV
kAk cos(k )

dy d dy
dy k 1
k 1
N
N
Sostituendo nell’equazione di Prandtl otteniamo
b 2  kA k cos k 0
2b N
1
k 1
 ( 0 ) 
Ak sin k 0   L  0 ( 0 ) 
d 


 c(y 0 ) k 1
  b 2 (cos  cos 0 )
Ipotizzando l’ala di geometria nota, i valori di α , c, V∞ , αL=0
sono da ritenere determinati, ciò che resta da determinare
sono N coefficienti Ak che costituiscono i coefficienti della
serie di Fourier che esprime la vorticità.
Questa relazione è una equazione algebrica con N incognite,
scritta per una sezione dell’ala θ0 . Possiamo tuttavia scrivere
ulteriori N-1 equazioni identiche per altre N-1 sezioni d’ala in
modo da ottenere un sistema di N equazioni algebriche in N
incognite.
24
2b N
1 N
sin k 0
  ( 0 ) 
Ak sin k 0   L  0 ( 0 )   kAk

 c(y 0 ) k 1
 k 1
sin  0
Soluzione generale dell’equazione della linea
portante
N
( )  2bV  Ak sin(k )
k 1
b

L
2 2
2b 2 N
2b 2 
CL 

(y0 )dy0  CL 
 Ak sin k0  sin0  d0  CL  S A1 2  CL  A1 AR
q S V S b
S k 1 0
2
Nel caso generale il coefficiente di portanza dell’ala dipende solo dal primo dei coefficienti della serie di Fourier
 
b 2 d

N
dy
1
1 N
cos k
sin k 0
 i (y 0 ) 
dy


(

)

kA
d


kA

 k sin
i
0
4 V  b 2 (y 0  y)
 k 1 k 0 cos  cos 0
k 1
0
b
CD,i


Di
2 2
2b 2  N


(y
)

(y
)dy

C

A
sin
k


0
i
0
0
D,i
k
0  i ( 0 )sin  0 d 0

q S V S b
S 0  k 1
2
C D,i
Nel caso generale il
coefficiente di resistenza
indotta dell’ala dipende da
tutti i coefficienti della serie di
Fourier tramite δ
2

N




 N

2b 2  N
2b 2  N 2
A
C L2
2
k

 Ak sin k 0    kAk sin k0  d 0  S 2  Ak   AR  A1  1    A     AR 1   
S 0  k 1
k 1
k 1
 k2 1 
25
Soluzione generale dell’equazione della linea
portante - Conclusioni
Risultati per la distribuzione di vorticità ellittica
CL2
CD,i 
 AR
( )   0 sin 
i 
CL
  AR
N
Risultati per la generica distribuzione di vorticità
( )  2bV  Ak sin(k )
k 1
Il coefficiente di portanza dell’ala è proporzionale all’allungamento alare e dipende solamente dal primo coefficiente della
serie. Tuttavia se dobbiamo determinare la distribuzione di vorticità di un ala nota è necessario risolvere il sistema di N
equazioni in N incognite
CD,i
CL2

1   
 AR
CD,i
CL2

  e  AR
 ,   f (AR;  )
2
A 
    k   0  (1   )  1
A 
N
k2
Posso definire un fattore
efficienza della superficie alare
di
e  1 (1   )
1
In analogia con l’ala ellittica si pone inoltre
I parametri δ e τ sono funzione dell’aspect
ratio AR e del taper ratio β definito da:
c
Corda Estremità
  Taper Ratio  T 
cR
Corda Radice
26
CL  A1 AR
i 
CL
1   
 AR
Ala Rastremata
(Tapered Wing)
cR
cT
Soluzione generale dell’equazione della linea
portante - Conclusioni
Qualora l’ala fosse composta da n rastremazioni il β che si utilizza è un valore medio ottenuto calcolando la media pesata dei coefficienti di ogni
singola porzione. Il peso che si utilizza è la superficie in pianta della singola rastremazione
 4 ;S4
n


j
 Sj
j 1
1;S1
n
S
2 ;S2
Ala Rastremata
j
j 1
Ala Rettangolare
 3;S3
τ
τ
δ
AR
27
Non è mai
conveniente
lavorare con
rapporti di
rastremazione
inferiori a 0,25 o
superiori a 0,6
δ
β
Influenza dell’effetto Ala Finita sulle curve CL-α
e CL-CD
Immaginiamo che l’ala non presenti nessuno svergolamento aerodinamico (il profilo in ogni sezione si mantiene lo stesso) né geometrico, ed
ipotizziamo per comodità che l’ala sia a pianta ellittica in modo da poter ritenere l’angolo indotto e la resistenza indotta costanti. Dato che in questo
caso la distribuzione di cl è costante lungo lo span, possiamo scrivere:
cl  C L
Note le curve caratteristiche del profilo bidimensionale vogliamo valutare gli effetti su di esse di una estensione non infinita nella terza direzione.
L’effetto sulla Polare di Eiffel
CD =cd +CDi = Resistenza dell'ala(3D)
CL2
CL2
CD  cd 
c 
(1   )
  e  AR d   AR
L’unico punto della curva che rimane inalterato è quello in cui la portanza è nulla (nessun
effetto indotto). Negli altri punti a parità di CL il CD dell’ala è più elevato e la differenza
(coefficiente di resistenza indotta aumenta con il quadrato di CL).
La variazione del coefficiente di resistenza a parità di portanza è tanto più sensibile quanto
più è basso l’AR. L’effetto di volare ad un angolo effettivo minore provoca una diminuzione di
efficienza (nel riferimento fisso).
L’effetto sulla Curva Cl-α
La curva CL-α subisce rispetto a quella del profilo bidimensionale cl-α una diminuzione di pendenza, questo è comprensibile intuitivamente se si pensa
che a parità di coefficiente di portanza l’ala è inclinata rispetto al flusso di un angolo più basso a causa dell’angolo indotto, che è tanto più elevato
quanto più il CL è alto. Solo se rappresentassimo la curva del CL in funzione dell’angolo effettivo (riferimento del profilo) avremmo un retta
formalmente identica a quella del profilo bidimensionale. La variazione di pendenza della curva a parità di C L è tanto più sensibile quanto più è basso
l’AR.
cl  a0   eff   L  0 
C L  a0   eff   L  0   a0     L  0  a0 i  a0     L  0 
CL 
28
a0
    L  0   C L  a    L  0 
a0 (1   ) 
1
 AR
a0C L
(1   ) 
 AR
  0  a  a0
Influenza dell’effetto Ala Finita sulle curve CL-α
e CL-CD
L’effetto sulla Polare di Eiffel
CL x 100
Profilo 2D
AR=∞
CD,i
AR=18 AR=9
AR=2.5
AR=2
Perdita di Efficienza
CD x 100
Ala Rettangolare
29
Influenza dell’effetto Ala Finita sulle curve CL-α
e CL-CD
L’effetto sulla Curva Cl-α
CL x 100
Profilo 2D
AR=∞
αi
AR=2
α
Ala Rettangolare
30
Progettazione di Massima del velivolo
• In funzione delle finalità del velivolo e della missione si determina il numero di Reynolds di progetto
• In base al Re di progetto si scelgono i profili alari, per i quali si determinano tutte le caratteristiche aerodinamiche, in particolare a0 e αL=0
• Si sceglie la forma dell’ala determinando l’AR ed il TR noti tali parametri si determinano δ e τ . L’AR andrebbe scelto il più alto possibile
compatibilmente con esigenze strutturali. E’ utile sottolineare che la forma dell’ala condiziona la distribuzione di portanza su di essa (senza
svergolamenti) di conseguenza può influenzare la sicurezza la manovrabilità e la stabilità del velivolo.
• Conoscendo i parametri geometrici dell’ala posso ricavare il coefficiente angolare della retta di portanza:
a
a0
a (1   )
1 0
 AR
• Noto il peso del velivolo determino la portanza in modo che valga la relazione:
L  M  g  CL 
• Ricavo l’angolo geometrico di volo dalla relazione:
L
M g

q S
q S
C L  a    L  0  e quello indotto da:
i 
CL
1   
 AR
• Conoscendo l’angolo geometrico e l’angolo indotto, verifico di essere sufficientemente lontano dall’angolo di stallo del profilo, in particolare
nelle condizioni di bassi angoli indotti, eventualmente vario il profilo.
31
Strumenti per limitare l’effetto ala finita
Per limitare l’effetto dell’ala finita su ali di Aspect Ratio non elevato vengono utilizzate appendici poste all’estremità, nel tentativo di limitare la forza dei
vortici ed impedire il passaggio di aria dall’intradosso verso l’estradosso
Nel caso degli alettoni delle autovetture ad elevate prestazioni vengono utilizzati piatti o schermi d’estremità. In tali casi infatti il basso AR fa sì che
l’angolo indotto sia elevato ed i vortici molto intensi, l’angolo effettivo è molto ridotto e questo permette di aumentare l’inclinazione dell’alettone senza
pericolo di stallo. La soluzione degli schermi di estremità non è praticabile negli aerei, in quanto produrrebbe elevati momenti imbardanti.
Una soluzione adottata nei primi aerei a basso allungamento alare era quella dei serbatoi di
estremità, che permettevano un maggiore carico di carburante ed interrompevano i vortici di
estremità. Oggi la soluzione più utilizzata è quella delle ALETTE DI ESTREMITA’ o WINGLETS.
Tali appendici derivate dai veleggiatori sono oggi usate sulla maggior parte dei velivoli
32
Strumenti per limitare l’effetto ala finita
-Winglets
Queste appendici funzionano bene in
un range di numeri di Reynolds
piuttosto piccolo. Al di fuori di tale
range costituiscono esclusivamente un
incremento di resistenza.
Per questo motivo sono
particolarmente adatte all’utilizzo su
velivoli che spesso viaggiano ad una
velocità costante
Alette Whitcomb
Whitcomb
Alette Junkers
Realizzate sul modello delle
penne di estremità
33
Strumenti per limitare l’effetto ala finita
-Winglets
Anche lavorando sulla forma delle estremità dell’ala è possibile limitare i trailing vortex senza aggiungere
elementi resistenti.
34
L’ala Schuemann
E’ un ala usata in alianti con rastremazione sia sul leading edge che sul
trailing edge. In particolare il leading edge possiede tre rastremazioni verso
la coda con tre, mentre il trailing edge presenta una leggera rastremazione in
avanti.
La particolare forma dell’ala induce all’estradosso, nelle vicinanze
dell’estremità un flusso spanwise diretto dalla radice verso l’estremità che
contrasta il flusso indotto dai vortici di estremità. Tale flusso è motivato dallo
sbilanciamento di pressione tra una sezione e l’altra dovuto alla
rastremazione
Si può infatti ritenere che in un profilo portante ad un determinato angolo di
attacco il picco di aspirazione sia localizzato ad una determinata percentuale
della corda, indipendentemente dalla dimensione della corda stessa. In un
ala rettangolare (non rastremata) in assenza di svergolamento geometrico ed
aerodinamico, i punti ad uguale valore di Cp sono quindi tutti allineati lungo
una retta ortogonale alla velocità di flusso indisturbato e nessun flusso nella
direzione dell’allungamento alare è possibile. Rastremando l’ala in modo da
diminuire la corda verso l’estremità si sposta (nel riferimento del velivolo e
non in quello del profilo) il punto di massimo Cp in avanti sbilanciando
l’equilibrio della pressione con le sezioni adiacenti e generando quindi un
flusso nella direzione dell’apertura alare, dalla radice verso l’estremità.
L’ala Schuemann è conformata per determinare tale sbilanciamento delle
forze di pressione spanwise ed indurre flusso in questa direzione nel verso
opposto alla componente di velocità prodotta dai trailing vortex.
T.E.
L.E.
35
V∞
L’ala Schuemann
Ipotetiche distribuzioni di pressione
T.E.
T.E.
L.E.
T.E.
L.E.
V∞
L.E.
V∞
36
V∞
Effetti dell’angolo di freccia
37
Il Metodo di Schrenk
Si tratta di un metodo dovuto a O. Schrenk (1940) per la determinazione approssimata della distribuzione di portanza sull’ala al variare della forma
della pianta alare. Tale metodo si basa sull’ipotesi che la distribuzione di portanza di un ala non differisca profondamente da quella dell’ala ellittica,
in particolare si assume che:
1) siano assenti svergolamenti geometrici ed aerodinamici
2) l’ala effettiva si possa sostituire con un’ala ellittica equivalente avente stessa superficie in pianta e stessa distribuzione di portanza per unità di
span.
Vogliamo determinare la distribuzione di portanza sull’ala rastremata conoscendo quella
dell’ala ellittica. I dati del problema sono le corde dell’ala generica CR e CT e lo span b.
Dall’Ipotesi (2) sull’ uguaglianza delle superfici alari discende che:
Sell 

4
c0b  S 
cR  cT
2
b  c0  (cR  cT )
2

La distribuzione di corda di un ala ellittica può essere espressa con la consueta forma
trigonometrica:
cell (y)  c0 sin  
2

(cR  cT )sin 
y0   2
y   b 2    0, 
38
Il Metodo di Schrenk
Imponendo l’uguaglianza della portanza per unità di span e sostituendo la relazione precedente
si ottiene:
Lell
 (y) 

V 2
2
 cell (y)  cl ,ell (y)  L (y) 
cl (y)
c (y)
 ell
cl ,ell (y)
c(y)
cl (y)

cl ,ell (y)
V 2
 c(y)  cl (y) 
2
2 (c  c )
 R T
c(y)
sin( )
In un’ala ellittica la distribuzione di angolo indotto lungo l’apertura alare è costante, di
conseguenza la distribuzione di Cl è costante lungo l’apertura alare:
cl ,ell (y) 

b2
b 2
cl ,ell (y)dy

b2
b 2
dy
 C L,ell 
W

V 2
W  peso velivolo
Il coefficiente di portanza dell’ala ellittica è quindi un dato noto:
2 (c  c )
cl (y)
R
T
 
sin( )
C L,ell
c(y)
39
2 Sell
Il Metodo di Schrenk
2 (c  c )
cl (y)
R
T
 
sin( )
C L,ell
c(y)
Ipotizziamo che l’ala effettiva sia RETTANGOLARE, ovvero che CR=CT=C(y)=C. L’equazione precedente diviene:
Possiamo diagrammare il rapporto tra il coefficiente di portanza dell’ala reale e quello dell’ala ellittica in funzione
della coordinata lungo lo span (y o θ)
ALA RETTANGOLARE
Alla radice il coefficiente di portanza dell’ala rettangolare è maggiore di quello
dell’ala ellittica, in questa zona quindi i vortici di estremità lavorano a favore della
portanza. Viceversa verso l’estremità la portanza scende in modo abbastanza
ripido, questo ha due importanti conseguenze:
• Poichè la parte con Cl più alto è la porzione d’ala che va in stallo per prima,
nell’ala rettangolare lo stallo parte alla radice. Se l’ala è quella di un aereo lo
stallo avviene prima nella zona lontana dai comandi, ed è quindi uno stallo
controllabile (safe stall) che si manifesta solo con perdita di quota.
• A bassi angoli di attacco il coefficiente di portanza diminuisce su tutta l’ala e di
conseguenza alle estremità può facilmente diventare nullo o addirittura
negativo. Questo può caricare in modo anomalo l’ala a flessione e riduce la
porzione di superficie che contribuisce alla portanza.
L’ala rettangolare viene quindi generalmente montata su aerei da turismo che non
hanno bisogno di elevata manovrabilità (elevati Cl anche a bassi angoli), inoltre
viene calettata ad elevati angoli di attacco per evitare i problemi a bassi angoli di
attacco.
40
cl (y) 4
 sin( )
CL,ell 
cl (y)
CL,ell
Ala Ellittica
Ala Rettangolare

Il Metodo di Schrenk
2 (c  c )
cl (y)
R
T
 
sin( )
C L,ell
c(y)
Ipotizziamo infine che l’ala effettiva sia RASTREMATA (A SEMPLICE RASTREMAZIONE), per la distribuzione di corda possiamo assumere la forma:
2y
c(y)  cR 
(cR  cT )
b
b
y  cos( )
2
in modo che valgano le uguaglianze:
 c(y)  cR  (cR  cT )cos( )
  0  c( )  cT


  2  c( )  cR
2 (c  c )sin( )
cl (y)
2 (1   )sin( )
R
T
 

CL,ell cR  (cR  cT )cos( )  1  (  1)cos( )
  cT c Taper Ratio
R
41
 y  0  c(y)  cR

b
 y  2  c(y)  cT
Imponendo per y una legge di
variazione cosinusoidale,
otteniamo:
Sostituendo questa espressione
nell’equazione
ricavata
eguagliando le distribuzioni di
portanza
tra
ala
ellittica
equivalente ed ala reale, si ha:
In questo modo posso determinare la distribuzione di
portanza di un ala rastremata in funzione della posizione
sull’ala e del rapporto di rastremazione β
Il Metodo di Schrenk
cl (y) 2 (1   )sin( )

C L,ell  1  (  1)cos( )
  cT c Taper Ratio
R
cl (y)
CL,ell
Ala Rettangolare
β=0,57
Ala Ellittica
β=0,3 ALA A FORTE RASTREMAZIONE
Per quanto riguarda gli effetti di ala finita i parametri δ e τ sono ai loro valori
minimi, questo significa bassi angoli indotti e bassi coefficienti di resistenza
indotta.
Tuttavia il massimo della distribuzione di portanza, all’aumentare del taper
ratio, tende a spostarsi verso l’estremità, cioè nella zona dei comandi. Poichè
le zone a più elevato Cl sono le prime porzioni dell’ala ad andare in stallo
all’aumentare dell’angolo di attacco, avrei per queste ali stallo sui comandi
(stallo in vite). Per ali a forte rastremazione ha senso lo svergolamento
negativo delle estremità alari geometrica o aerodinamica, nel senso di ridurre
la portanza in tali sezioni.
β=0,57 ALA A MEDIA RASTREMAZIONE
E’ la soluzione ottimale poiché permette una distribuzione di Cl quasi costante
su una grande porzione di ala. Questo consente di volare a bassi angoli senza
grossi problemi di distribuzione del carico, essendo piccola la zona che può
divenire deportante all’estremità. Inoltre il coefficiente di portanza è massimo
vicino alla radice, dunque non ho il problema dello stallo in vite. questo
rapporto di rastremazione è quello in genere scelto dagli aerei acrobatici,
poichè unisce sicurezza ad elevati angoli con capacità di mantenere portanza a
bassi angoli
42
β=0,3

Il valore 0,57 del taper ratio si ottiene imponendo che la distribuzione di
Cl dell’ala rastremata abbia alla radice lo stesso valore assunto da quella
dell’ala ellittica.
cl ( 2 )
C L,ell

2

(1   )  1    0, 57