La sezione Aurea
Sara, Viola, Ilaria
Leonardo Fibonacci
Leonardo Fibonacci, detto “Fibonacci” perché figlio di Bonacci,
nacque Pisa nel 1175 circa e morì a Pisa, nel 1235 circa.
Il padre lavorava per i mercanti pisani, come impiegato di
dogana, e volle che il figlio apprendesse nuove forme di
numerazione, oltre quelle conosciute in Italia. Così lo portò a
vivere con sé a Bugia, presso Algeri, dove imparò ad usare la
numerazione araba nella quale era inserito il numero zero e che
solo in seguito venne inserito anche nella matematica europea.
Serie di Fibonacci
Nel 1223 a Pisa, partecipò ad una gara fra matematici indetta dall’imperatore Federico II che propose un
banale quesito: si rinchiude una coppia di conigli in un recinto: quante coppie di conigli si ottengono in
un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese, che le coppie più giovani
siano in grado di riprodursi dal secondo mese di vita e che la coppia non muore mai? Con sorpresa di
tutti Fibonacci, mentre gli altri si arrovellavano il cervello, risolse il quesito scrivendo la sua famosa “serie”
che scaturì facilmente dalla pratica di manipolare i numeri: in poco tempo scoprì che i conigli sarebbero
stati 377!
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… (Il gioco è semplice: all’inizio c’è solo una coppia di conigli,
il primo mese ce ne sono 2 di cui una fertile, quindi il secondo ce ne sono 3 di cui 2 fertili, quindi il terzo
mese ce ne sono 5 di cui 3 fertili, quindi il quarto mese ce ne
sono 8 di cui 5 fertili e così via. Fibonacci nota che ogni termine della sequenza è la somma dei due
precedenti. Nasce così la celebre successione di Fibonacci)
a) La coppia inizia a procreare dopo il
secondo mese;
b) Genera una nuova coppia ogni
mese;
c) Non muore mai;
d) In totale ci sono 377 conigli in un
anno.
La sezione Aurea
La sezione Aurea (o proporzione divina) nell’ambito della matematica, delle arti
figurative e della natura, è il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore
è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.
Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:
Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla
costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:
Il valore così definito, che esprime la sezione Aurea, è un numero irrazionale e algebrico.
La sezione Aurea ricorre frequentemente in geometria. Esistono inoltre dei poligoni detti
Aurei, poiché presentano il rapporto aureo: il rettangolo aureo e il triangolo aureo.
Il rettangolo Aureo e spirale
Un rettangolo è detto Aureo se i suoi lati sono in
rapporto aureo. I rettangoli aurei sono caratterizzati
da una particolare proprietà: se si scompongono in
un
quadrato e un rettangolo, quest’ultimo sarà a sua
volta necessariamente un rettangolo aureo,
simile al rettangolo di partenza.
Tale procedimento può quindi essere ripetuto, arrivando a costruire una successione di rettangoli aurei
e una di quadrati aventi i lati in rapporto aureo.
Tracciando un arco di circonferenza all’interno di ciascun quadrato si ottiene la spirale aurea.
La sezione aurea in natura - Nautilus
In natura diversi tipi di conchiglie,
ad esempio quella del Nautilus,
hanno una forma a spirale fatta secondo
i numeri di Fibonacci.
Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un
quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo,
il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo
aureo. Puntando la punta del compasso sul vertice del
quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo, e
tracciando l’arco che unisce gli estremi dei due lati che
formano l’angolo scelto. Ripetendo l’operazione per
ogni quadrato disegnato si crea una linea continua detta
spirale aurea appartenente al Nautilus.
La sequenza di Fibonacci in botanica
La sequenza di Fibonacci si trova in molte piante e fiori. Ne è un esempio l’Achillea
ptarmica:
La crescita di questa pianta segue questo schema:
ogni ramo impiega un mese prima di potersi
biforcare. Al primo mese quindi, abbiamo 1 ramo,
al secondo ne abbiamo 2, al terza 3, al quarto 5 e
così via (seguendo lo schema 1+1=2+1=3+2=5+3=8
addizionando sempre il risultato ottenuto dalla
somma dei precedenti, più il numero precedente)
I pistilli dei girasoli spesso sono messi secondo
uno schema preciso formato da spirali. I pistilli
sono disposti secondo questi schemi in modo
da essere uniformemente sparsi e non troppo
ammassati al centro. È possibile notare due
serie di spirali che si avvitano l’una in senso
orario l’altra in senso antiorario.
La sezione Aurea in arte
La sezione aurea, riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole ed armonioso,
è stata usata come base per la composizioni di quadri o di elementi architettonici. Gli
artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca,
Bernardino Luini, e Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea, allora
riconosciuta come divina proporzione e veniva considerata la “chiave” mistica dell’armonia
nelle arti e nella scienza.
Leonardo da Vinci
Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo in oltre scoprì che si poteva creare
un sentimento di ordine. In particolare Leonardo applicò il rapporto a tre dei suoi
capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L’Uomo di Vitruvio.
Nella Gioconda il
rapporto aureo è stato
individuato:
Nella disposizione del
quadro, nelle dimensioni
del viso, nell’area che va
dal collo alle mani, in
quella che va dalla
scollatura dell’abito fino
a sotto le mani
Nell’Uomo di Vitruvio,
Leonardo studia le
proporzioni della sezione
aurea che obbediscono ai
rapporti del numero
aureo. Leonardo stabilì
che le proporzioni umane
sono perfette quando
l’ombelico divide l’uomo
in modo aureo.
Il centro del corpo umano è in oltre per natura l’ombelico; infatti se si sdraia un uomo sul
dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, tracciando un cerchio si
toccherà l’estremità delle dita delle dita delle sue mani, e dei sui piedi (come rappresentato da
Leonardo attraverso l’Uomo di Vitruvio).
Pierre Mondrian
Importanti anche i dipinti del pittore
ottocentesco Pierre Mondrian, autore di
numerosi quadri astratti in cui domina l’uso di
figure geometriche. In questo dipinto è ben
visibile l’impostazione artistica dell’autore che
basa l’intero dipinto sull’accostamento di
quadri e rettangoli aurei.