Logica formale e logica
discorsiva
2° Lezione
L’implicazione materiale e il
modus ponens
Percorso di matematica a.s. 2009/2010
Prof.ssa Prete Chiara
Distanza tra logica formale e logica
discorsiva
• 1° lezione : La regola ben formata e i passi
di deduzione;
I giochi di logica
• 2° lezione : L’inferenza e la dimostrazione
geometrica;
Il modus ponens
• 3° lezione: I sillogismi ipotetici e categorici.
I diagrammi di Eulero
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Prof.ssa Prete C.
L’inferenza e la dimostrazione
geometrica
Risolvere i giochi di logica vuol dire
riconoscere e applicare la regola ben
formata che li sottende.
Ci si chiede allora se tale schema può essere riproposto nella logica
formale della matematica.
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Ma che cos’è la matematica?
• «La matematica è un gioco giocato
secondo certe semplici regole con dei
segni senza significato sul foglio» (David
Hilbert)
• «La matematica può essere definita come
la materia in cui non sappiamo mai di che
cosa parliamo, né se ciò che stiamo
dicendo è vero» (Bertrand Russell).
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• Il matematico H. Poincaré, in un suo articolo sulla genesi
della creazione matematica, fa le seguenti osservazioni:
• Un fatto dovrebbe sorprenderci, o piuttosto ci
sorprenderebbe se non ci fossimo così abituati. Come
succede che c’è gente che non capisce la matematica?
Se la matematica invoca soltanto le regole della logica
così come sono accettate da tutte le menti normali, se la
sua evidenza è basata su principi comuni a tutti gli
uomini, che nessuno potrebbe negare senza essere
matto, come può essere che tante persone sono così
refrattarie? Che non tutti siano in grado di inventare non
è certamente un fatto misterioso. Che non tutti possano
ricordare una dimostrazione una volta imparata, può
pure passare. Ma che non tutti possano capire il
ragionamento matematico, quando spiegato, appare
molto sorprendente quando ci si pensa. Eppure coloro
che possono seguire questo ragionamento solo con
difficoltà sono la maggioranza
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Qual è il punto?
• Secondo la teoria psico-retorica
“le difficoltà di soluzione dei problemi sono da
imputarsi alle difficoltà incontrate
nell’interpretare i testi dei problemi stessi, che,
pur usando la lingua naturale, adottano un
codice diverso da quello su cui si basano le
normali regole di comprensione del linguaggio.
La teoria si basa così sull’esistenza di un
"doppio codice" che determina conflitti di
interpretazione e confusioni.”
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Esempio di 1° Teorema di Euclide
Cos’è un triangolo rettangolo?
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Il ragionamento
• Argomentare:
- Proposizioni: sono prese
• Dimostrare
- Proposizioni: sono prese
in esame per il contenuto
retorico;
- Considera il valore
epistemico legato alla
comprensione dei
contenuti;
- Vincoli di pertinenza e
plausibilità labili
in esame per il contenuto
teorico;
- Considera il valore
epistemico legato allo
statuto operativo;
- Vincoli: principi base
della teoria
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Dall’argomentazione alla dimostrazione
1° Passo: Formazione di catene di deduzione
che, secondo una regola ben formata o un corpo
teorico, mi porti dall’inizio alla fine.
2° Passo: Esplicitare il singolo passaggio
l’ inferenza
L’ Inferenza è una sequenza finita di
proposizioni in cui l’ultima è ottenuta come
conclusione dalle rimanenti, che si assumono
come premesse
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Modus ponens (dal Latino: modo che afferma) è una
semplice e valida regola d'inferenza
Premesse
Se P, allora Q.
P.
Quindi, Q. ( tavola b e c)
Conseguenza
Se P allora Q
V
V
F
F
P
V
F
V
F
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Q
V
F
F
V
Attenzione
• L’unico caso in cui la proposizione è falsa
è quando da premesse vere si ottengono
conseguenze false.
• Mentre da una premessa falsa può
discendere qualsiasi cosa.
“ex falso sequitur quodlibet”
N.B Perchè sussista l’implicazione non è necessario che
esista alcun legame tra premessa e conseguenza:”Il
bimbo piange perché tre è numero primo”
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R. Duval, “Argomentare, dimostrare, spiegare: continuità o
rottura cognitiva?” Pitagora Editrice, Bologna, 1998
Duval ha suggerito l’identificazione della
dimostrazione con un prototipo, composto dalla
sequenza di schemi ternari (Modus Ponens)
concatenati attraverso la regola del riciclaggio,
in cui cioè l’ultimo sia il punto di inizio per il
successivo.
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Schema ternario
Proposizioni date per
Ipotesi o come conclusione
Passo precedente
Premessa
Verifica delle
condizioni
Termine medio
Inferenza
Regola di inferenza: assioma.
teorema, definizione.
Conclusione o target
Distacco
Nuova proposizione
ottenuta
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