La geometria Analitica:
dalle origini alle prime
applicazioni
Cristina Camici, Cristina Ghezzi, Carla Michelini, Maria Grazia Marcheselli
ITC F.SEVERI
TEST N.1
Rispondi , in base alle tue conoscenze, alle seguenti
domande:

Che cos’è la geometria ? Di cosa si occupa ?

Che cos’è la geometria cartesiana?
occupa ?

Formalizzare il seguente ragionamento : “ Prolungare
un segmento AB = a di un tratto x e costruire un
rettangolo di diagonale AH, che sia composto da un
rettangolo di dimensioni a e x e di un quadrato di lato
x in modo che il grande rettangolo sia equivalente ad
un quadrato di lato b “
Di cosa si
TEST N.2
Rispondi, in base alle tue conoscenze, ai seguenti quesiti:

Prima del fischio di inizio partita i calciatori della squadra di calcio
CARTESIO devono occupare la metà-campo assegnata loro
dall’arbitro. Costruisci uno schema iniziale per schierare gli 11
calciatori nella propria posizione tenendo conto che il numero dei
difensori è compreso tra 3 e 5, al centro campo il numero dei
mediani è compreso tra 3 e 6 e il numero degli attaccanti è
compreso tra 1 e 3. Il loro numero totale è 10, oltre a questi è
presente il portiere.
Di cosa hai bisogno per costruire lo schema?

In una battaglia navale posiziona la tua flotta composta da 4 navi
semplici, 3 navi di dimensione doppia delle semplici, 2 navi di
dimensione tripla delle semplici e una nave di dimensione
quadrupla delle semplici.
Di cosa hai bisogno per rappresentare le posizioni?
ESITI DEL TEST 1
I TEST SONO STATI SOMMINISTRATI A 82 STUDENTI
Alla prima domanda hanno risposto tutti :

La maggioranza degli studenti ha risposto dicendo che la geometria
è una scienza che si occupa dello studio delle forme e delle figure.

Pochissimi hanno risposto dicendo che la geometria è una scienza
che si occupa dello studio delle misure degli oggetti.
Alla seconda domanda hanno risposto tutti:

La maggioranza degli studenti hanno risposto dicendo che la
geometria cartesiana si occupa dello studio delle figure nel piano
cartesiano.
ESITI DEL TEST 1
Ci sono state poi alcune risposte “fantasiose”:

“La geometria cartesiana si occupa dello studio delle figure nel piano
cartesiano utilizzando delle formule.”

“La geometria cartesiana” l’ha inventata Cartesio per costruire grafici.

“La geometria cartesiana si occupa anche di rappresentare equazioni
nel piano.”

“La geometria cartesiana” si occupa della misura delle figure nel piano
cartesiano.

“La geometria cartesiana” si occupa dello studio delle forme nel piano
cartesiano.
Alla terza domanda non tutti hanno risposto:
 Solo alcuni studenti hanno costruito correttamente la figura
 Un solo studente delle 4 classi ha formalizzato il ragionamento.
ESITI DEL TEST 2
Alla prima domanda hanno risposto tutti :

Molti studenti hanno risposto disegnando un campo
di calcio con i calciatori posizionati nei vari ruoli. Alla
domanda hanno risposto nei modi più strani:
occorrono il campo di calcio, i calciatori
l’allenatore…..la matita, la stecca, la gomma….

Un alunno ha risposto dicendo di aver bisogno di
conoscere la matematica (non si sa mai…
conoscere un po’ di matematica serve sempre !!!!)

Una alunna ha scritto di aver bisogno di un piano
per rappresentare la metà campo e dei punti per
rappresentare i calciatori.
ESITI DEL TEST 2
Alla seconda domanda non tutti hanno risposto:

La maggioranza degli studenti ha risposto dicendo
che serviva un piano cartesiano in cui rappresentare
le navi e lo hanno rappresentato tenendo conto
delle diverse dimensioni delle navi

4 studenti hanno rappresentato solo un reticolato

2 studenti hanno risposto dicendo di non conoscere
la battaglia navale.

1 studente ha risposto dicendo che occorreva una
unità di misura per rappresentare le navi di diversa
dimensione.
EQUAZIONE DELLA RETTA

Dopo aver discusso con i nostri studenti
campione degli esiti dei loro test, e dopo essere
arrivati alla conclusione dell’importanza e del
significato del sistema di riferimento, abbiamo
chiesto di pensare al tipo di legame che esiste
(se esiste) tra le seguenti coppie di punti
A (2,4) B(4,8)………
La maggioranza degli studenti è riuscita a scrivere
la seguente relazione :
y=2x

La geometria analitica, chiamata anche
geometria cartesiana, è lo studio della
geometria attraverso il sistema di coordinate
oggi dette cartesiane, ma già studiate nel
Medio Evo da Nicola d'Oresme.

Ogni punto del piano cartesiano o dello spazio
è determinato dalle sue coordinate, che
determinano un vettore rispettivamente del tipo
(x,y) oppure (x,y,z). Gli enti geometrici come
rette, curve, poligoni sono definiti tramite
equazioni, disequazioni o insiemi di queste,
detti sistemi.
Nella geometria antica non
sembrano esserci esempi in cui
sia stabilito a priori un sistema di
coordinate come sistema di
riferimento per la
rappresentazione grafica di
un'equazione o di una relazione
L’uso delle coordinate risale alla più remota antichità.

Gli architetti egiziani, per riportare in più grande scala un
disegno su una parete, lo riferivano ad un reticolato a
maglie quadrate.

Gli agrimensori egizi o "tenditori di corde", dopo le
periodiche inondazioni del Nilo, ricostruivano sul terreno
i limiti dei poderi usando mappe di tipo catastale.

I primi astronomi determinavano la posizione di una
stella sulla sfera celeste, mediante due numeri
(ascensione retta e declinazione); inoltre, l’astronomo
greco Ipparco introdusse coordinate geografiche per
determinare la posizione di un punto sulla superficie
terrestre.

I romani, fondando una città, usavano segnare sul posto
due solchi tra loro perpendicolari, ai quali riferivano la
posizione futura di case, piazze, strade. Lo stesso
metodo era usato nella preparazione dei piani di guerra.
Inoltre furono i Romani ad usare per primi le ascisse
curvilinee con l’uso delle pietre militari.
I geometri greci ricavarono sempre le
equazioni dalle curve, attraverso lo
studio delle loro proprietà, e mai le
curve dalle equazioni.
Le equazioni stesse non avevano il
significato algebrico astratto che noi
oggi attribuiamo loro, ma erano
sempre trasposizioni simboliche o
verbali di relazioni fra elementi della
curva geometrica.
E’ necessario premettere che i matematici greci
dividevano le curve in tre categorie:

i luoghi piani, formati da tutte le rette e da tutti i
cerchi;

i luoghi solidi, formati da tutte le sezioni solide;

i
luoghi
lineari,
che
comprendevano
indistintamente tutte le altre curve.
Il fatto stesso che Apollonio, il più grande
studioso di geometria dell’antichità, non sia
giunto a sviluppare una geometria analitica,
era probabilmente dovuto più ad una povertà
di curve che non ad una povertà di pensiero.
Qualcosa di più vicino al concetto di
coordinate nella moderna accezione si trova
in un disegno d'ignoto del X o XI secolo d.C.
che studia le traiettorie dei pianeti
riportandone latitudine e longitudine
rispettivamente come ordinata e ascissa.
La nascita della Geometria analitica (come
risoluzione geometrica di problemi algebrici o,
viceversa, come risoluzione algebrica di
problemi geometrici) è principalmente dovuta ai
matematici francesi René Descartes (15961650) e Pierre De Fermat (1601-1665).
Cartesio e Fermat fondarono la geometria analitica
contemporaneamente, ma separatamente, spinti
entrambi, anche se per motivazioni diverse, da
un desiderio di ritorno al passato, all’età d’oro
della geometria, ai problemi classici dei
matematici greci.
René Descartes introdusse le basi
della geometria analitica nel 1637
nel saggio intitolato
La Géométrie
incluso nel suo libro
Discorso sul metodo.
Questo lavoro scritto in francese e i
suoi principi filosofici, fornirono le
fondamenta per il calcolo differenziale,
che sarà successivamente introdotto
da
Isaac Newton e Gottfried Wilhelm
Leibniz, in maniera autonoma fra loro.
Cartesio prende le mosse dalla constatazione
della gran diversità dei procedimenti in uso
nelle ricerche scientifiche. Ebbene, egli
pensa che per porre fine a questo stato
caotico non vi è che un mezzo: scoprire un
fondamento assoluto, superiore a qualsiasi
dubbio, da cui siano derivabili tutte le verità
della scienza. La geometria analitica
riuscirebbe, per l’appunto, a risolvere il
problema ora accennato, per lo meno
nell’ambito della matematica.
Il piano cartesiano permette di
visualizzare funzioni di una variabile
oppure equazioni di due variabili più
complicate, come ad esempio le
coniche. Ciò permette di visualizzare la
"forma" di equazioni oppure risolvere
graficamente sistemi di più equazioni
come intersezioni tra le curve
corrispondenti.

La geometria (La Géométrie) fu pubblicata da René
Descartes nel 1637 come una delle tre appendici al
Discorso sul metodo. Le altre due erano La Diottrica (La
dioptrique) e Le Meteore (Les Météores). Descartes non
ha mai chiarito se i tre saggi (appendici) fossero esempi
di applicazione del metodo oppure se il metodo fosse
una introduzione ad essi.

L'opera in particolare discusse la rappresentazione di un
punto di un piano mediante una coppia di numeri reali e
la rappresentazione di una curva per mezzo di
un'equazione. In tal modo i problemi geometrici possono
venire tradotti in problemi algebrici e risolti con le regole
dell’algebra.
Spesso “La Géométrie” viene vista unicamente
come applicazione dell’algebra alla geometria,
ma lo scopo del suo metodo era duplice:

da un lato, di liberare la geometria dal ricorso
alle figure, di evitare la dipendenza dalle
differenze inessenziali tra figura e figura per
raggiungere risultati di più ampia generalità;

dall’altro di dare un significato alle operazioni
algebriche per mezzo di un’interpretazione
geometrica.
La Géométrie è divisa in tre libri:
 I.
I problemi che si possono costruire solo
con cerchi e linee rette
 II.
Sulla natura delle linee curve
 III.
La costruzione dei problemi solidi o più
che solidi.
Nel I libro, Descartes, dopo aver posto le
basi del metodo delle coordinate e aver
dato un’interpretazione delle operazioni
algebriche in termini di segmenti,
fornisce dettagliate istruzioni sul modo
di risolvere equazioni di secondo grado
per via geometrica, dando una
interpretazione in tal senso anche per
la loro soluzione.
Il II libro è forse quello che contiene i
risultati più importanti e più vicini alla
concezione moderna della geometria
analitica. Descartes espone la scoperta
che le equazioni indeterminate in due
incognite corrispondono a luoghi
geometrici.
Il III libro tratta della soluzione delle equazioni
di grado superiore al secondo mediante
intersezioni di curve. Descartes, partendo dal
presupposto che bisogna sapere se
l’equazione sia riducibile o meno, insegna
come passare da un grado superiore a uno
inferiore dell’equazione quando sia nota una
radice e che possono darsi tante radici
positive quante sono le variazioni di segno
nel primo membro e tante radici negative
quante volte i segni + e – si susseguono
(regola dei segni di Cartesio).
Cartesio introduce l'uso sistematico degli assi
coordinati (ancora oggi solitamente denominati
“assi cartesiani”) che permettono di rappresentare
i punti con coppie o terne di numeri e le relazioni
geometriche fra punti con relazioni algebriche.
Così i problemi geometrici possono venire tradotti
in problemi algebrici e risolti con le regole in certo
senso automatiche dell'algebra. Questa traduzione
presenta due notevoli vantaggi:

da un lato, di rendere pressoché uniforme la
trattazione di tutte le questioni geometriche;

dall'altro, di far scomparire d'un tratto le differenze
inessenziali tra figura e figura, permettendo così di
raggiungere risultati di amplissima generalità.
La geometria diviene, in tal
modo, una scienza
essenzialmente analitica nella
quale ogni problema ben
formulato diventa, se di grado
non superiore al quarto,
automaticamente risolubile.
Contributo di Fermat alla scoperta
della geometria analitica
Da una lettera del 1635 sappiamo che Fermat
sapeva rappresentare curve matematiche
tramite equazioni prima che Cartesio
pubblicasse La Geometrie. Questa scoperta
sta alla base della geometria analitica, che
quindi Fermat aveva sviluppato per primo
indipendentemente da Cartesio, al quale è di
solito attribuita.
Sappiamo però che i due guardavano alla loro
scoperta in modo del tutto diverso: Cartesio
infatti la considerava una rottura con la
matematica antica, mentre Fermat la vedeva
come una sorta di continuazione, e faceva
notare che anche Apollonio nelle sue Coniche
arrivava a concetti vicini alla geometria
analitica.