Onde elettromagnetiche
Le funzioni d’onda armoniche in una corda soddisfano all’equazione
differenziale alle derivate parziali detta equazione di propagazione per
onde o equazione delle onde.
∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 y ( x, t )
= 2
2
∂x
v
∂t 2
y(x,t) : funzione d’onda (spostamento della corda)
v: velocità di propagazione dell’onda (dipende dal mezzo), per una
corda in tensione v = √(F/µ) con F = tensione e µ = massa lineare
Le soluzioni dell’equazione lineare sono funzioni d’onda armoniche
y ( x, t ) = y0 sin( kx − ωt )
k = 2π/λ: numero d’onda
ω = 2πν: pulsazione
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1
Consideriamo ora il campo elettromagnetico. Le leggi di Maxwell
implicano un’equazione delle onde per questo campo e quindi implicano
l’esistenza di un campo elettrico E e di un campo magnetico B che si
propagano nello spazio con velocità c pari a quella della luce nel vuoto.
Supponiamo che sia E che B siano f(x,t) ⇒onde piane ( grandezze che
caratterizzano il campo sono costanti su piani ⊥ all’asse x).
Partiamo dalle seguenti equazioni
r r
d r r
nel vuoto ρ = 0 e j = 0
∫ E • dl = − dt ∫S B • un dS
r r
d r r
∫ B • dl = µ0i +µ0ε 0 dt ∫S E • un dS
Considero la componente Ey di E e la Bz di B, inoltre considero il
circuito chiuso rettangolare di lato ∆x e ∆y nel piano (xy)
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∆x e ∆y sono molto piccoli ⇒
∆x
y
Ey(x1)
x1
r r
∫ E • dl = E y ( x2 )∆y −E y ( x1 )∆y
Ey(x2)
x2
I contributi E y∆x lungo i lati ∆x si
elidono perché E non è funzione di
yez
∆y
x
∆x piccolo ⇒
z
E y ( x2 ) − E y ( x1 ) = ∆E y ≈
r r ∂E y
∫ E • dl ≅ ∂x ∆x∆y
∂E y
∂x
∆x
Il flusso di B concatenato con il percorso scelto vale all’incirca
∫
S
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r r
B • un dS = Bz ∆x∆y
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Allora la legge di Faraday-Henry mi dà
∂Bz Se ∃ Ey(x) ⇔ ∃ Bz(t)
=−
∂x
∂t
∂E y
In modo analogo considerando un percorso rettangolare di lati ∆x e ∆z
nel piano (xz) (senza correnti di conduzione)
y
x1
Bz(x1) B (x )
z 2
z
∆x
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x2
∆z
x
r r
d r r
∫ B • dl = µ 0ε 0 dt ∫S E • un dS
∂E y
∂Bz
= − µ 0ε 0
∂x
∂t
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Facciamo un’ulteriore derivata per eliminare Bz
∂  ∂E y 
∂  ∂B 

 = −  z 
∂x  ∂x 
∂x  ∂t 
∂2 Ey
∂x 2
∂2 Ey
∂x
2
∂E y 
∂  ∂Bz 
∂

=− 
 = −  − µ 0ε 0
∂t  ∂x 
∂t 
∂t 
= µ 0ε 0
∂ 2 Ey
∂t 2
L’ultima equazione rappresenta un’onda piana con velocità di
propagazione
1
c=
µ 0ε 0
Analogamente se elimino E y ottengo
∂ 2 Bz 1 ∂ 2 Bz
= 2
2
∂x
c ∂t 2
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Analogamente si trova
∂E z ∂By
=
∂x
∂t
e
∂B y
∂t
= µ 0ε 0
∂E z
∂t
Quindi anche Ez e By soddisfano l’equazione dell’onda piana e si
possono mettere in relazione le derivate temporali di Ex e Bx con le
derivate rispetto a y e a z delle componenti di E e B, nella nostra ipotesi
però E e B sono solo funzione di x.
In sostanza ci interessano solo le componenti di E e B che dipendono dal
tempo, quelle costanti non intervengono nell’equazione dell’onda.
In conclusione E e B sono vettori ⊥ all’asse delle x e sono tra di loro ⊥.
r
r
2
2
∂ E 1 ∂ E
= 2 2
2
∂x
c ∂t
r
r
2
2
∂ B 1 ∂ B
= 2 2
2
∂x
c ∂t
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Una soluzione di queste equazioni è la funzione d’onda armonica
E y = E0 y sin (kx − ωt )
Infatti sostituendo
∂E y
∂Bz
=−
= −kE0 y cos(kx − ωt )
∂t
∂x
k
Bz = E0 y sin (kx − ωt )
ω
E0 y
k
Bz = B0 z sin (kx − ωt )
B0 z = E0 y =
ω
c
ω 2πν
c
c= =
λ = νλ
ν=
k
2π
λ
E e B oscillano in fase con la stessa pulsazione quindi
E = cB
I moduli di E e di B sono proporzionali tramite la velocità c
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Suppongo che E abbia solo componente Ey (Ez = 0 ⇒ ∂By/∂t = 0) la
parte variabile di B è confinata lungo z.
Abbiamo un’onda polarizzata in un piano o onda polarizzata
linearmente (o rettilineamente). Infatti in un piano qualsiasi ⊥ all’asse
delle x E e B sono rappresentati da una retta in funzione del tempo.
In generale la direzione di propagazione orientata (x) di un’onda e.m.
è la direzione del prodotto vettoriale (E x B).
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Energia e quantità di moto di un’onda
Un’onda di qualsiasi tipo trasporta energia. L’intensità energetica
media dell’onda (potenza media per unità di superficie attraversata) è
uguale al prodotto dell’energia media per unità di volume per la velocità
di propagazione dell’onda. Per i campi elettrico e magnetico abbiamo
1
r
uE = ε 0 E 2
2
2
1
B
u Br =
2 µ0
Per un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto abbiamo E = cB
2
2
1
B
1
E
1
2
uBr =
=
=
ε
E
= u Er
0
2
2 µ0 2 c µ0 2
2
2
1
B
1
B
EB
u = u Br + u Er =
+ ε0E2 = ε0E2 =
=
2 µ0 2
µ0 µ0 c
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Intensità energetica istantanea = potenza istantanea riferita all’unità
di area di superficie attraversata. È il prodotto dell’energia istantanea per
unità di volume per la velocità di propagazione dell’onda.
Intensità = energia che passa per l’area unitaria nell’unità di t.
I=
1 ∂W
= uc
A ∂t
I istantanea
2
B
EB
= uc = cε 0 E 2 = c
=
µ0 µ0
Vettorialmente possiamo scrivere
r r
r E×B
S=
µ0
vettore di Poynting
|S| = intensità istantanea dell’onda, S = direzione di propagazione onda
Il flusso di S attraverso una superficie A dà l’energia che attraversa A
nell’unità di tempo
r r
(
)
dE
r
2
= ∫ c ε 0 E × B • un dA
A
dt
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Considero un’onda piana armonica di pulsazione ω e numero d’onda k,
istantaneamente E e B valgono
E = E0 sin (kx − ωt )
u=
B = B0 sin (kx − ωt )
EB E0 B0
=
sin 2 (kx − ωt )
µ 0c
µ 0c
umedio
1 E0 B0 Eeff Beff
=
=
2 µ 0c
µ0c
Eeff =
E0
2
umedio rappresenta l’energia media per unità di volume; l’intensità
media dell’onda è
I media = u media c =
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Eeff Beff
µ0
r
E0 B0
=
=S
medio
2µ 0
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Un’onda elettromagnetica trasporta quantità di moto
Considero l’onda e.m. con E = Ey e B = Bz
che incide su di una carica q in quiete lungo
l’asse delle x (trascuraimo la dipendenza
temporale di E e B). La carica q è sempre
soggetta ad una forza F = qE in direzione
y che la accellera. Al generico istante t, è
F=qE
F=qvxB
qE
t
m
qE
v y1 = at =
t1
m
v y = at =
all' istante t1
2
1 2 1  qE 
1 q2 E 2 2
K 1 = mv y1 = m
t1  =
t1
2
2 m 
2 m
Adesso la particella risente anche della forza magnetica qvxB parallela
all’asse x
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q2E
F x1 = qv y1 B =
t1B
m
L’impulso di questa forza vale
∆p x = p x
(p
x0
=0
)
q2E
q 2 EB 2
p x = ∫ Fx dt = ∫
Btdt =
t1
0
0
m
2m
q 2 E 2 2 1  q 2 E 2t12  1
 = K1
p x1 =
t1 = 
2cm
c  2m  c
t1
t1
E = cB
Risultato generale: il modulo della quantità di moto trasportata da
un’onda e.m. è pari al prodotto di (1/c) per l’energia trasportata dall’onda
p=
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U
c
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Ricordando che l’intensità energetica dell’onda e.m. è un’energia per
unità di tempo e di area, ottengo (I/c) = quantità di moto per unità di
tempo e area. p nell’unità di tempo è una forza, ⇒ (I/c) rappresenta
una pressione, pressione di radiazione.
I E0 B0
E02
B02
Pr = =
=
=
2
c 2 µ0 c 2 µ0 c
2 µ0
Esempio
Una lampadina da 100 W emette onde e.m. sferiche uniformemente in
tutte le direzioni. Si trovino l’intensità energetica, la pressione di
radiazione, l’intensità del campo elettrico e quella del campo magnetico
B alla distanza d = 3 m dalla lampada, supponendo che 50 W si
convertano in radiazione elettromagnetica.
In generale a distanza r dalla lampada l’energia è distribuita in modo
uniforme su una superficie di area 4πr2.
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I=
50W
4πr 2
Quindi I (r = 3 m) = 50/(4π9) = 0.442 W/m2
Pr = I/c = 0.442W/m2/(3·108 m/s) = 1.47·10 -19 Pa
Pr è molto piccola rispetto alla pressione atmosferica che vale circa 1000
Pa. B assume il suo valore massimo dato che
B0 = (2µ0Pr)1/2 = ½ [(4π·10-7)(1.47·10-19)]1/2 = 6.08·10-8 T
E0 = cB0 = 18.2 V/m
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