CALCOLI NUMERICI
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
1
Calcoli numerici
Esprimere il volume di una capocchia di spillo
sferica di 1,0 mm di diametro nel SI.
Sapendo che 1 decimetro cubo di Fe ha la massa
di 7,8 kg, dare la massa della capocchia di spillo
in kg.
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Calcoli numerici

Troviamo anzitutto il volume della sfera
4 3 4 D  3
V  R      D
3
3 2 6
3

Ed ora introduciamo i dati numerici
V

6
D 
3

1, 0 10 

6
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3 3
 5, 2 10
10
m
3
3
Calcoli numerici

Ora calcoliamo la massa
 La massa di un metro cubo è
  7,8 10 kg
3
 questa
Glossa
è la densità, detta anche massa volumica
nel SI la densità dell’acqua è
1000
non
1
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4
Calcoli numerici

Ora calcoliamo la massa della capocchia di spillo
M  V    5, 2 10
10
   7,8 10 
3
 4,110 kg  4,1  g
6

le dimensioni si riportano solo alla fine
Glossa
 se siete nel SI è inutile riportarle nei passaggi intermedi
 il risultato va dato sempre col corretto numero di cifre
significative e con le unità di misura giuste
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Calcoli numerici
Quanto vale la densità della materia nucleare?
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Calcoli numerici
Ordine di grandezza della densità della materia
normale 103 kg m3
10
10
m mentre il
 Il diametro di un atomo è
diametro di un nucleo 1015 m
5
 un fattore 10
nelle dimensioni lineari
15
 Un fattore 10 nei volumi e quindi nelle densità

si tratta di un fattore gigantesco
 vediamo la situazione in scala?

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ca. 100 m
Atomo: pochi
kg
Nucleo da 1 mm
Non in scala!
Varie tonnellate
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Calcoli numerici
18
3
È prevista quindi una densità di circa 10 kg m
Ad esempio
 La massa di un mm cubo di materia ordinaria è
3 3
V  10   109 m3

m  106  105 kg
 E la massa di un mm cubo di materia nucleare...
m  109 1010 kg
 un
millimetro cubo ha quindi una massa da uno a 10 milioni
di tonnellate…
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Calcoli numerici

Questa è circa la densità di una stella di neutroni


E se la Terra ed il Sole fossero stelle di neutroni che diametro
avrebbero?
Le masse ed i raggi di Terra e Sole sono
24
M   5,98 10 kg
R  6378km  6,38 10 m
6
M  1,99 1030 kg
R  6,96 10 m
8
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Calcoli numerici

I raggi si riducono di un fattore 10
5
R  63,8m  64 m
R  6,96 10 m  7 km
3
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Calcoli numerici
Calcolate la seguente somma
1, 040  0, 2134
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Calcoli numerici

Occorre fare attenzione alle cifre significative
1, 040  0, 2134  1, 040 ? 0, 2134
 1, 253
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Calcoli numerici
Quanti secondi ci sono in un anno?
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Calcoli numerici
Giorni solari in un anno 365, 242  3,652 42 102
 I secondi in un giorno (solare medio) sono
4
 24 60 60  86400  8,6400 10
 Quindi in totale
2
4
7
 3, 65242 10   8, 64000 10   3,15569 10
 Con che precisione ci serve il risultato?

 Diciamo
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di un’ora?
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Calcoli numerici
Un’ora contiene...
3
7
3600 s  3,600 10  0,0003600 10 s
 …che confrontiamo con

2
4
7
3,
65242

10

8,
64000

10

3,15569

10



 quindi con l’approssimazione di un’ora
1y  3,156 107 s
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Calcoli numerici

Calcolate la differenza
1, 234567  1, 234556
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Calcoli numerici

Il calcolo è immediato: otteniamo
6
1, 234567  1, 234556  1,110
La precisione degli operandi è
7
1 10
 La precisione del risultato è invece

1 10 1
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Calcoli numerici
ATTENZIONE
IN OGNI DIFFERENZA
SI PERDE SEMPRE DIPRECISIONE,
QUANTO PIÙ “VICINI”
SONO GLI OPERANDI
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Calcoli numerici
Supponendo che la Terra segua un’orbita circolare
con raggio 149 milioni di km, calcolare la sua
velocità nell’orbita
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Calcoli numerici
Anzitutto ricordatevi, come prima cosa, di
passare le unità al SI
149 106 km  1, 49 102 106 103   1, 49 1011 m
 Ora calcoliamo la velocità

2 1, 49 10 
2 R
1
V

 29, 7 km s
T
 365, 242  24  60  60 
11
 circa
4 volte la velocità di esplosione del tritolo...
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Calcoli numerici
GLOSSA
e
CONSIGLIO PRATICO
 Effettuate i calcoli con la massima
precisione possibile
 Date il risultato finale con la precisione
dell’operando noto peggio
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Calcoli numerici
Sapendo che la Terra ruota con velocità costante,
calcolare la velocità periferica di un punto
dell’Equatore
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Calcoli numerici

Prima il raggio della Terra nel SI...
6
R  6378 km  6,378 10 m

…poi la circonferenza della Terra…
L  2 R  2  6,378 10  4, 007 10 m
6

7
Ora il numero di secondi in un giorno siderale
medio
365, 242
T   24    3600 
 86•164 s
366, 242
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24
Calcoli numerici

Infine la velocità: spazio diviso tempo
4, 007 10
1
V 
 465 m s
4
8, 6164 10
7
 Una
velocità rilevante:1.4 volte la velocità del suono.
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Calcoli numerici
Nel mondo microscopico si usa l’unità di massa
24
1
u

1,
660
54019

10
kg . Calcolate
atomica
la massa della molecola d’acqua in kg, sapendo
che essa ha una massa di 18, 0153u
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Calcoli numerici

Anche qui bisogna fare attenzione al corretto
numero di cifre significative
M H 2O  1, 660 540 19 1024   18, 0153
 2,991 511023 kg
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Ecco una molecola d’acqua
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Calcoli numerici
Luna e Sole vengono visti dalla Terra sotto un
angolo di 31’26” d’arco.
Conoscendo la loro distanza dalla Terra,
determinarne il diametro.
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Calcoli numerici

Anzitutto calcoliamo l’angolo dato in radianti
o
 31 26 
o
31'26"   
  0 ,524
 60 3600 
 9,144 103 rad

I sottomultipli dei gradi si esprimono normalmente in decimi,
centesimi e così via
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Calcoli numerici
Per angoli piccoli seni, angoli e tangenti si
possono confondere!
 Ecco quindi i diametri della Luna e del Sole

DL   9,144 10
3
  384 000 
•
•
 3 511 km  3,51110 m
D   9,144 10
6
3
  1, 49 10 
11
 1,362 106 km  1,362 109 m
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Calcoli numerici

Quindi il Sole rispetto alla Luna è
 387 volte più grosso in diametro...
 … e 58 milioni di volte più grosso in volume
 attenzione al
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cubo delle dimensioni lineari...
32