Meccanica dei FLUIDI
Densità
Portata
Pressione
Moto stazionario: equazione di continuità
Legge di Stevino
Pressione idrostatica
Spinta di Archimede
Teorema di Bernoulli
Viscosità
Moto laminare: equazione di Poiseuille
Moto turbolento
Applicazione al sistema circolatorio
Fluidi
pag.1
Caratteristiche di un fluido
FLUIDO sostanza senza “forma” propria
(assume la forma del recipiente che la contiene)
liquido volume limitato dalla superficie libera
gas diffusione nell’intero volume disponibile
Un fluido può essere:
omogeneo
caratteristiche fisiche costanti
per tutto il suo volume
disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti
Fluido “ideale”: non comprimibile, omogeneo, senza attrito
interno (non viscoso).
Sangue
Es.
sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche
omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico
Fluidi
pag.2
Massa, peso, densita’
MASSA
PESO
m
grandezza fondamentale
proprietà intrinseca dei corpi
kg
p = mg
N
forza con cui ogni corpo
dotato di massa viene
attirato dalla Terra
Unità di misura pratica: kgpeso = kgmassa•9.8 m/s2 = 9.8 N
DENSITA’
(o massa volumica)
densità =
massa
volume
relazione tra massa e dimensioni dei
corpi, utile soprattutto per liquidi e gas
ρ = m/V
kg/m3 (SI)
Def. simile: concentrazione v. Chimica
Fluidi
pag.3
Portata (di volume) di un fluido
volume di liquido
Portata (Q) =
intervallo di tempo
Q= V/∆
∆t
m3/s
V
v
S
∆x
v = ∆x/∆
∆t
∆t
SI
cgs
pratico
m3/s cm3/s l/min
V = S·∆
∆x → Q = V/∆
∆t = S·∆
∆x/∆
∆t
→ Q = S·v
Portata del sangue:
Es.
5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s
Definizione : Portata di massa = Q·ρ
ρ
Fluidi
(in Kg/s nel SI)
pag.4
Pressione
forza perpendicolare
pressione =
superficie
Unita’ di misura (SI): pascal (Pa)
→
n
→
F
Fn
∆S
ϑ
P = Fn /∆
∆S
Pa = N/m2
Non conta la forza in sè,
ma la sua componente
perpendicolare!
perpendicolare
SI
cgs
pratici
pascal baria atm, mmHg
Es.
Relazione tra pascal e baria:
1 Pa = 1 N/m2 = (105 dine)/(104 cm2) = 10 dine/cm2 = 10 barie
Fluidi
pag.5
Misure di pressione
Pressione atmosferica
Torricelli: a livello del mare la pressione esercitata dall’aria
equivale a quella di una colonna di mercurio alta 760 mm
Unità di misura pratiche di pressione:
1 atm = 760 mmHg
1 mmHg (torr) = (1/760) atm
Relazione tra atmosfera e pascal: (v. pressione idrostatica)
p = ρgh = (13.6 • 103 kg/m3) • (9.8 m/s2) • (0.76 m) ≈ 101200 Pa
1 atm = 1.012 • 105 Pa = 1.012 bar = 1.012 • 106 barie
1 bar = 105 Pa
Pressione sanguigna (sempre in mmHg):
Es.
120 mmHg = (120/760) atm = 0.158 atm =
= 0.158 • (1.012 • 105) Pa ≈ 16000 Pa = 160000 barie
Fluidi
pag.6
Pressione: alcuni esempi
(HRW)
Fluidi
pag.7
Pressione idrostatica
Legge di Stevino:
la differenza di pressione tra due punti in un
fluido in equilibrio è pari alla pressione esercitata
alla base da una colonna di fluido di altezza pari
al dislivello tra i due punti →
P(h2) = P(h1) + ρg(h1 – h2), con h2 < h1
Conseguenza (ponendo h1 = 0 m e P(h1) = 0 Pa):
su un corpo immerso in un fluido agisce una
pressione “addizionale” (pressione idrostatica)
dovuta al peso della colonna di liquido di altezza h
che sovrasta la sua superficie ∆S.
m
h
∆S
P = F/∆
∆S = mg/∆
∆S = (ρV)g/∆
∆S = ρ(∆
∆S·h)g/∆
∆S = ρgh
NB1: m = massa del liquido, non del corpo immerso!
NB2: P NON dipende dall’orientamento della superficie ∆s (se ∆ s << h)
Fluidi
pag.8
Principi legati alla Legge di Stevino
Legge di Stevino:
P(h2) = P(h1) + ρg(h1 – h2)
In un fluido all’equilibrio:
1) La pressione è costante in tutti i punti che si trovano
alla stessa quota (legge di Pascal).
2) Se più recipienti contengono lo stesso liquido e sono in
comunicazione tra di loro, allora le loro superfici libere
sono allo stesso livello qualunque sia la forma e la
capacità dei recipenti (principio dei vasi comunicanti).
3) Una pressione applicata in qualsiasi punto di un fluido
confinato è trasmessa inalterata ad ogni porzione del
fluido e alle pareti del recipiente che lo contiene
(principio di Pascal).
Fluidi
pag.9
Principio di Pascal: energia di pressione
Principio di Pascal: se ad un fluido confinato si
applica una pressione “esterna” P, in ogni punto del
fluido si avrà una variazione di pressione pari a P.
Applicazioni: martinetto idraulico.
l
→
F
P =
S
F
F = PS
→
S
Lavoro compiuto dalla forza di pressione:
→ →
L = F·ll = Fll = PSll = P∆
∆V
Energia di pressione: Epres = P∆
∆V
Es.
Lavoro cardiaco:
P = 100 mmHg = (100/760) •105 Pa ~ 1.3 •104 Pa
∆V = 60 cm3 = 6•10-5 m3 (gittata pulsatoria)
L = P ∆V = (1.3 •104 N/m2)• (6•10-5 m3) = 0.8 J
Fluidi
pag.10
Spinta di Archimede
Principio di isotropia:
la pressione in un punto di un fluido non
dipende dall’orientamento della superficie,
ma solo dalla quota in cui si trova il punto
Corpo immerso in un liquido
due pressioni diverse:
sulla superficie superiore P1= ρgh1 ↓
sulla superficie inferiore P2= ρgh2 ↑
h2>h1 P2>P1
Forza risultante verso l’alto:
F = F2-F1 = (P2-P1)S = ρg(h2-h1)S
= ρg∆
∆hS = ρgV = ρVg = mg
Fluidi
h2
→
h1 F1
V=S∆
∆h ∆h
S
→
F2
peso del liquido
“spostato”, non
del corpo immerso!
pag.11
Spinta di Archimede: esempi
(HRW)
(HRW)
Fluidi
pag.12
Fluidi in movimento: eq. di continuità
Nel caso generale di fluidi in movimento, si ha che la
velocità v del fluido dipende da x e da t: v = v(x,t).
MOTO STAZIONARIO: v(x) = cost. in t (dip. solo da x)
La portata Q è costante
nel tempo in ogni sezione
(conservazione della massa)
senza SORGENTI
senza BUCHI
densità = costante
v ∆t
S
Nello stesso intervallo di tempo ∆t:
v
v'∆
∆t
v'
S'
Sv∆
∆t = S’v’∆
∆t
Q = V = S v ∆t = S v = costante
∆t
∆t
Fluidi
Equazione di
continuità
pag.13
Equazione di continuità - 2
Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la
superficie totale. In ogni tratto n si avrà sempre Q = Sn·vn
A
C
B
Q = 100
cm3/s
S3 = 0.5 cm2
S2 = 1.25 cm2
S1 = 5 cm2
S1 = 5 cm2
v1 = 20 cm/s
S2 = 1.25 cm2
v2 = 80 cm/s
Fluidi
S3-tot = 2.5 cm2
v3 = 40 cm/s
pag.14
Equazione di continuità: esempio di
applicazione al flusso sanguigno
(Gia)
Fluidi
pag.15
Moto di un fluido in un condotto
Tipo di moto:
stazionario portata costante nel tempo
pulsatile
portata variabile in modo periodico
Tipo di condotto:
rigido
non cambia forma sotto qualunque forza
deformabile cambia forma sotto una forza
deformaz.elastica
deformaz.non elastica arterie e vene
Tipo di fluido:
ideale
reale
senza attriti (non viscoso)
con attriti (viscoso)
Fluidi
pag.16
L’energia nel moto di un fluido ideale
1 S1
Liquido in moto
sotto l’azione di:
- differenza di pressione
- forza peso
∆V1 →
v1
h1
p1
∆h
l2
S2
p1,v1,h1,S1 p2,v2,h2,S2
suolo
∆ V2
p2
2
→
v2
h2
fluido perfetto (attrito nullo: viscosità η=0)
condotto rigido
moto stazionario (Q=costante S1v1 = S2v2)
Fluidi
pag.17
Fluido ideale in condizioni stazionarie (v(x)
e P(x) = cost. in t): teorema di Bernoulli
Conservazione dell’energia totale:
Ecinetica + Epotenziale + Epressione = costante
Etot = ½ mv12 + mgh1 + p1∆V = ½ mv22 + mgh2 + p2∆V
Ponendo m = ρ∆
∆V e dividendo per ∆V:
Etot = ½ρ∆
∆Vv12 + ρ ∆Vgh1 + p1∆V = ½ρ∆
∆Vv22 + ρ∆
∆Vgh2 + p2∆V
∆V
∆V
∆V
∆V
∆V
∆V
∆V
Energia totale per unità di volume:
Etot/∆
∆V = ½ρv2 + ρgh + p = costante
termine cinetico + potenziale + piezometrico
Fluidi
pag.18
Teorema di Bernoulli: esempio
(Gia)
Fluidi
pag.19
Fluido reale: regime laminare
(stazionario) con attrito
Modello di liquido come
lamine che scorrono
le une sulle altre
A
→
v2
δ
→
v1
Forza di attrito:
si oppone al moto FA ∝ - v
→
FA
A
→
=–ηAv
δ
v=v1-v2 =
A
=
δ
=
η
=
velocità relativa tra lamine
area lamine
distanza tra lamine
coefficiente di viscosità
Fluidi
pag.20
Fluido reale: viscosità
→
FA
→
= – η Av
δ
η coefficiente di viscosità
Unita’ di misura cgs:
poise (P) = dyna·s/cm2 = g/(s••cm)
Unita’ di misura MKS:
N·s/m2 = Pa·s = 10P
La viscosita’ diminuisce al crescere della temperatura.
Acqua
a 0o ηacqua = 0.0178 poise
Es.
a 20o η acqua = 0.0100 poise
Sangue
Plasma ηplasma = 1.5 η acqua
Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% ηsangue = 5 η acqua
Fluidi
pag.21
Fluido reale in regime laminare:
Equazione di Poiseuille
Condizione per il moto di un liquido:
differenza di pressione
Q
P1
Equazione di Poiseuille:
π R4 (P – P )
Q=
1
2
8 ηL
La portata è direttamente proporzionale
alla differenza di pressione
asse del
condotto
→
v
Q ∝ ∆p
Q = ∆p/Rmec
La velocità è maggiore
al centro del condotto
(profilo parabolico)
Il moto è “silenzioso”
Fluidi
P1 > P2
L
P2
R
Rmec:
“Resistenza meccanica”
di un condotto dipende da:
raggio, lunghezza del tubo,
viscosità del liquido
pag.22
Fluido reale: regime turbolento
Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica (Vc),
il modello laminare non funziona più: il moto si fa disordinato, si
creano vortici. Vc dipende dal fluido (ρ, η) e dal raggio R del tubo:
Vc ~ 1200·(η/Rρ)
v>vc
velocità critica
La portata non è più direttamente proporzionale
alla differenza di pressione
Q ∝ ∆p
Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore!
La velocità non ha più un profilo regolare, il moto è
“rumoroso” e l’equazione di Poiseuille non è più valida
Fluidi
pag.23
Moto dei fluidi reali: sintesi
MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE
e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO
v < vc
approx.
iniziale
REGIME LAMINARE
v > vc
- lamine e profilo velocità parabolico
- Q ∝ ∆p
- “silenzioso” (~ conservazione dell’energia)
REGIME TURBOLENTO
- vortici
- Q ∝ ∆p
- “rumoroso” (alta dissipazione di energia per attrito)
Fluidi
pag.24
Esempio: sistema circolatorio (fluido non
ideale → diminuzione di pressione)
Vaso sanguigno a sezione costante (S1=S2)
in posizione orizzontale (h1=h2):
p1 v→ p2 →
1
v2
S1
S2
Eq. continuità: Q=Sv1=Sv2=cost.
v1 = v2 = costante
v = costante
BERNOULLI
h = costante
forze di attrito viscoso
p = costante
dissipazione di energia
½ρv12 + ρgh1 + p1 = ½ρv22 + ρgh2 + p2 + A
p1 = p2 + A
p1-p2 = A
Fluidi
A: energia dissipata
per attrito nel
tratto 1 → 2
p2 < p 1
pag.25
Aneurisma e stenosi
Vaso sanguigno in posizione orizzontale (h1=h2):
Bernoulli
½ρv12 + ρgh1 + p1 = ½ρv22 + ρgh2 + p2
Eq.continuità Q = S1v1 = S2v2
S2
S1
S1
S2
v→1
→
→
v1
→
v2
v2
ANEURISMA
STENOSI
v2<v1 p2>p1
v2>v1 p2<p1
Fenomeni irreversibili, tendono a cronicizzare:
l’aneurisma tende a espandersi, la stenosi a restringersi
Fluidi
pag.26
Sistema circolatorio - 1
4
mmHg
100
mmHg
CUORE
AD VD
25
mmHg
5 litri/
min
AS VS
Circuito
chiuso
8
mmHg
5 litri/
min
POLMONI
GRANDE CIRCOLO
10
mmHg
40
mmHg
CAPILLARI
Fluidi
Portata
costante
(no immissioni,
no fuoruscite)
pag.27
Sistema circolatorio – 2
pressione media (nel tempo)
velocità media (nel tempo)
CUORE
AORTA
ARTERIE
ARTERIOLE
CAPILLARI
VENULE
VENE
VENA CAVA
velocità media
(cm/s)
50÷
÷40
40÷
÷10
10÷
÷0.1
<0.1
<0.3
0.3÷
÷5
5÷
÷25
Fluidi
deve sempre diminuire
diminuisce poi aumenta
pressione media
(mmHg)
100
100÷
÷40
40÷
÷25
25÷
÷12
12÷
÷8
8÷
÷3
2
pag.28
Velocita’ del sangue - 1
4 miliardi
140mila
160
300 milioni
200
ARTERIE
VENE
ARTERIOLE
VENULE
CAPILLARI
Dall’equazione di
continuità: la velocità
è bassissima nei capillari
perche’ il loro numero e’
altissimo!
cm2
5000
4000
3000
2000
1000
cm/s
S totale
4500+
25
400
cm2
4000
60
cm/s
v
50
40
30
20
10
CAPILLARI
VENE
ARTERIE
ARTERIOLE
VENULE
Fluidi
5000
4000
3000
2000
1000
50
40
30
20
10
pag.29
Velocita’ del sangue - 2
Portata del sangue:
Es.
Q= 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s
Es.
Velocita’ del sangue nei vari distretti:
AORTA (r=0.8 cm)
ARTERIOLE
CAPILLARI
VENA CAVA (r=1.1 cm)
S = π r2 ≈ 2 cm2
S ≈ 400 cm2
S ≈ 4000 cm2
S = π r2 ≈ 4 cm2
v = Q/S ≈ 40 cm/s
v = Q/S ≈ 0.2 cm/s
v = Q/S ≈ 0.02 cm/s
v = Q/S ≈ 20 cm/s
La bassissima velocita’ del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette
gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita.
Fluidi
pag.30
(HRW)
Esercizi (I)
(Gia)
Fluidi - Esercizi
pag.31
Esercizi (II)
(Gia)
(HRW)
Fluidi - Esercizi
pag.32
Esercizi (III)
Es. 1
Un contenitore chiuso sotto vuoto (Patm = 0) ha la forma di un cilindro di
raggio di base pari a 1 m e altezza 15 m e contiene 15 Kl di acqua. (a) Quale è
la pressione esercitata dall’acqua sulla base del cilindro? (b) Come cambia il
risultato se il contenitore è aperto superioremente (Patm = 1.01 bar)?
Es. 2
Determinare come varia la pressione nel mare in funzione della profondità.
Si consideri per l’acqua del mare ρ = 1.024·103 Kg/m3.
Es. 3
Un corpo di massa 1Kg e volume 500 cm3 viene completamente immerso in
acqua pura (ρ = 103 Kg/m3). Quale sarà il suo peso “apparente” in acqua?
Es. 4
Un rubinetto è aperto in modo che la portata d’acqua rilasciata sia Q = 10 l/min.
All’uscita del rubinetto la sezione del “filo” d’acqua sia A0 = 1.5 cm2..
Determinare la sezione del “filo” d’acqua ad una altezza posta 20 cm più in
basso rispetto a questo punto.
Fluidi - Esercizi
pag.33
Esercizi (IV)
Es. 5
Supponiamo che, a causa del colesterolo, il diametro di un tratto di un’arteria
si riduca da 0.8 a 0.78 cm. Quale deve essere la variazione della differenza
di pressione alle estremità di questo tratto affinché la portata del flusso
sanguigno rimanga invariata?
Es. 14.37 (HRW)
Calcolare il lavoro svolto su 1.4 m3 di acqua spinta in un tubo di diametro
interno 13 mm da una differenza di pressione tra le estremità di 1 bar.
Es. 10.54 (Gia)
Calcolare il calo di pressione per cm lungo l’aorta, sapendo che il suo raggio
è circa 1.2 cm, il sangue vi circola con velocità pari a circa 40 cm/s e che
la viscosità del sangue è circa 4·10-2 poise. Si trascurino gli effetti di attrito.
Es. 10.55 (Gia)
Considerando un gradiente di pressione costante, di quale fattore deve
decrescere il raggio di un capillare per ridurre la portata del flusso
sanguigno del 75% ?
Fluidi - Esercizi
pag.34