Simulazione del palleggio di
una pallina da ping pong
Giulio Lapini
Si vuole implementare un modello
SIMULINK di una pallina da ping pong
che viene palleggiata tramite una
racchetta per farle così compiere una
traiettoria desiderata
Analisi del problema
La pallina presenta le seguenti caratteristiche:
• massa m=2,7 g
Fv
• raggio r=20 mm
• momento di inerzia baricentrico IG=2mr2/3 = 72*10-8
kgm2
La pallina è soggetta alle seguenti forze:
• forza peso mg diretta verso il basso
v
mg
• forza di resistenza dell’aria (attrito viscoso) Fv=-6πηrv,
sempre opposta al moto della pallina, dove η è il
coefficiente di viscosità, che per l’aria è pari a 17,1*10-6
Pa s
Modellazione dell’urto
L’impatto con la racchetta è stato implementato mediante
un modello molla-smorzatore, elementi caratterizzati dalle
ky
βvy
seguenti costanti (ipotizzate molto elevate per rendere l’urto
praticamente istantaneo):
• costante elastica della molla k=20000 N/m
• costante dello smorzatore β=20 Ns/m
Dinamica lungo l’asse delle x
v
Fv
max
Lungo l’asse delle x la pallina è
soggetta
solamente alla resistenza dell’aria,
che si
oppone al moto della stessa, e alla
propria forza di inerzia.
Quindi lungo tale direzione la pallina
ha
dinamica regolata dalla seguente
equazione:
6 rv x
ax  

m
Dinamica lungo l’asse delle y
Fv
may
v
mg
Lungo l’asse delle y la pallina è
soggetta
alla resistenza dell’aria, che si
oppone al
moto della stessa, alla forza peso,
diretta verso il basso, e alla propria
forza di inerzia.
Quindi lungo tale direzione la pallina
ha
dinamica regolata dalla seguente
equazione:
6 rv
ay  

m
y
g
Dinamica della rotazione
I G
Fv
La palla è inoltre caratterizzata da un
moto rotatorio attorno al proprio
centro,
definito dalla velocità angolare ω, cui
si
oppone anche in questo caso la
resistenza dell’aria.
La dinamica della rotazione è stata
modellata con la seguente relazione:
  k
in cui k è una costante positiva
Dinamica dell’urto
ma
L’urto con la racchetta andrà a
modificare, pressoché
istantaneamente,
le tre velocità caratterizzanti il moto
della pallina, in particolare:
I G
βvy
ky
•
mg
F
•
la forza di attrito F andrà a diminuire
sia la componente orizzontale della
velocità della pallina, sia la sua
velocità
angolare
la forza dovuta all’azione congiunta
della molla e dello smorzatore
agiranno in modo da invertire (al
netto
di qualche perdita) la componente
Il “controllore” racchetta
h
x1
g ( x  xx i )

 v x  2 2 gh

 v  2 gh
 y
2
Si suppone di usare la racchetta per far
rimbalzare la pallina fra i due punti x1 e
x2
ad un’altezza massima h dal piano
della
racchetta (supposta muoversi lungo
l’asse
delle x ad un’altezza costanze pari a
0).
Per soddisfare tali richieste si dovrà
imporre dopo ogni urto che la velocità
della pallina sia in componenti pari a:
Simulazione in SIMULINK
Dinamica lungo l’asse delle x
urto con la
racchetta
velocità
imposta
dalla
racchetta
resistenza
dell’aria
Dinamica lungo l’asse delle y
velocità
imposta
dalla
racchetta
urto con la
racchetta
resistenza
dell’aria
Dinamica della rotazione
urto con la
racchetta
resistenza
dell’aria
Il “controllore” racchetta
componenti della velocità
imposta dalla racchetta
rete sequenziale che sceglie il
prossimo punto di rimbalzo
Simulazione
Si vuole che la pallina rimbalzi tra i punti -1 e 4 ad un’altezza massima di 1.3 m