INSTABILITA’

Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro
dell’anello, si ritrova lo stesso segnale che si
automantiene.
Se GH>1 il segnale di uscita, ad ogni giro nell,anello si
amplifica e quindi si ha una oscillazione che aumenta di
ampiezza anche senza alcun ingresso
U=UGH
G
H
INSTABILITA’

Qual è la situazione limite per l’instabilità?

si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo
sfasamento è uguale a -180o.
NB Sfasare di 180o corrisponde a moltiplicare per –1 , poiché il nodo di
confronto moltiplica a sua volta per –1, il segnale risulta uguale a se stesso
e si automantiene!!!!
Punto critico

modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a
-180o corrisponde al punto complesso
-1+j0
tale punto è detto
punto critico
Sistemi a sfasamento minimo



Una condizione necessaria, ma non sufficiente,
perché un sistema sia stabile è che i poli e gli
zeri della sua funzione di trasferimento ad
anello aperto G(s)•H(s) siano a parte reale non
positiva
Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo
La suddetta condizione si presenta molto
frequentemente nella pratica dei sistemi di
controllo
Margini di stabilità
Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello
aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più
grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del
sistema ad anello chiuso.
Si introducono pertanto due parametri detti margine di
guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità
relativa di un sistema di controllo retroazionato.
Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo
che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima
che si raggiunga la condizione di instabilità.
Margine di fase
R(s)
E(s)
+
Y(s)
G(s)
-
H(s)
c : L(ic )  1
m    arg L(ic )
L’angolo che manca alla fase della funzione
d’anello per raggiungere π in corrispondenza
della pulsazione di cross-over, cioè della
pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario.
m  0
Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico
m  0
Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico
Margine di guadagno
R(s)
E(s)
+
Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può
tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si
raggiunga la condizione di instabilità.
Y(s)
G(s)
-
H(s)
 : arg L(iωc )  
1
gm 
L(i )
Rappresenta di quanto l’ordinata sul
diagramma di Bode del modulo di L(iω)
sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenza
della pulsazione  .
L(i )  1 
Il sistema è stabile
Criterio di stabilità di Bode

gm


3
 
2
m
CNES affinché un sistema retroazionato sia
asintoticamente stabile è che il modulo della fdt
ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione
 sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in
db, minore di 0.
CNES affinché un sistema retroazionato sia
asintoticamente stabile è che la fase della fdt
ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di
cross over c , per cui il modulo di L(s) risulta
unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso
antiorario, sia in valore assoluto minore di π.
Criterio di stabilità di Bode
c
c

m

Criterio di stabilità di Bode
Un sistema a sfasamento
minimo è stabile se la funzione
di trasferimento ad anello
aperto G(s)•H(s), alla
pulsazione di taglio co, ha una
fase con valore assoluto
minore di 180°
Cos’è co?
co è la pulsazione (detta di
crossover) per la quale il
modulo del guadagno vale 1;
tale valore equivale a 0 dB e
quindi co è la pulsazione che si
individua nell’intersezione fra il
diagramma di Bode del modulo
e l’asse delle pulsazioni 
Cos’è co?
|G(s)•H(s)|
Cos’è la
pulsazione di
 crossover (o di
taglio) co?
Questo è il
valore di co

E questa è la
fase della
G(s)•H(s) alla
pulsazione

co
Condizioni di stabilità


In realtà, il criterio di Bode individua
condizioni di stabilità che spesso, nella
pratica, sono insufficienti a garantire una
adeguata stabilità dei sistemi di controllo
Nella pratica è quindi utile introdurre due
parametri che permettono una definizione più
adeguata delle condizioni di stabilità di un
sistema di controllo:


il margine di fase
il margine di ampiezza (o di guadagno)
Cos’è il margine di fase?



Il margine di fase può essere definito:
m = 180° + (co)
Il margine di fase è quindi un angolo che si
ricava dalla somma di 180° più la fase della
funzione di trasferimento ad anello aperto alla
pulsazione di crossover
L’individuazione del margine di fase è ancora
più semplice con i diagrammi di Bode, come
nell’esempio che segue
Cos’è il margine di fase?
che, in |G(s)•H(s)|
In
questo
corrispondenza
esempio,
di co
Si considerino i
vale
diagrammi Il
dimargine
Bode
di fase
-135°
di una generica
m dell’esempio
si trova
funzione G(s)H(s)
considerato, vale
(t)

dunque
180°-135°=+45°
-90°
-135°
-180°
(t)
m

Condizioni di stabilità


Si può dire in definitiva che il sistema di
controllo è sufficientemente stabile se il
margine di fase è maggiore di 30° (m > 30°)
Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se
il margine di fase è negativo (m < 0°)
Cos’è il margine di ampiezza?



Il margine di ampiezza può essere definito:
mgdB = 0 - |G(s)•H(s)|dB(=-180°)
Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza
fra 0 ed il valore in dB del modulo della
G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione
di trasferimento ad anello aperto è pari a -180°
L’individuazione del margine di ampiezza è
ancora più semplice con i diagrammi di Bode,
come nell’esempio che segue
Cos’è il margine di ampiezza?
|G(s)•H(s)|
si rileva il
modulo del
guadagno in dB
Si considerino i
diagrammi di Bode
|G(s)•H(s)|
dB(=-180°) 
mgdB
di unadigenerica
Il margine
che,
in
funzione
G(s)H(s)
ampiezza
m
gdB

questo
dell’esempio
esempio,
In
considerato, è

è negativo
corrispondenza
dunque positivo
di  = -180°
-180°
Condizioni di stabilità


Concludendo, si può dire che un sistema di
controllo (retroazionato) a sfasamento
minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad
anello aperto a parte reale non positiva) è
stabile se i margini di fase m e di ampiezza
mgdB sono entrambi positivi
Per avere una adeguata stabilità bisogna però
verificare che m sia maggiore di 30° e che
mgdB sia maggiore di 1020 dB