DIDATTICA A DISTANZA
“CARRELLATA” SULLE
CONICHE CON ESERCITAZIONI

BREVE STORIA DELLE CONICHE

PROPRIETA’:

Circonferenza
Ellisse
Parabola
Iperbole
LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE
Circonferenza
ellisse
Parabola
iperbole
Come risolvere i problemi

ESERCIZI RISOLTI E NON
Mappa della presentazione
Classificazione
parabola
circonferenza
Storia
iperbole
ellisse
definizione
definizione
definizione
definizione
equazione
equazione
equazione
equazione
formule
casi particolari
formule
grafico
casi particolari
formule
i. equilatera
formule
i. traslata
ellisse traslata
concavità
matematici greci
Costruzione
Apollonio
parabola
pensiero
circonferenza
trattati di Apollonio
ellisse
iperbole
Quadro riassuntivo delle formule
Coniche Classificazione
.
Coniche Classificazione
Le curve non venivano definite come luoghi del
piano che soddisfano una certa condizione,
ma con il seguente ordine:
tre categorie
luoghi piani
rette
cerchi
luoghi solidi
sezioni coniche
luoghi lineari
tutte le altre curve
Coniche Classificazione
Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.),
matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto;
scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina
antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che
constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro
sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei
quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe.
Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca,
applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti.
Coniche Classificazione
Affermò che da un unico cono era possibile
ottenere tutte e tre le varietà di sezioni
coniche, semplicemente variando
l’inclinazione del piano d’intersezione.
Dimostrò che le proprietà delle curve non
cambiano, se intersecate in coni obliqui o in
coni retti.
Coniche Classificazione
(1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in
maniera più completa e generale di quanto fosse
stato fatto negli scritti degli altri autori.
(2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e
delle tangenti.
(3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la
sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei
limiti.
(4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni
coniche possono incontrarsi l’una con l’altra.
Coniche Classificazione
(5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono
tracciare rispetto a una conica.
(6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di
coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni
trascurate da altri autori.
(7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e
contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri
di sezione e le figure descritte su di esse.
(8°libro)Tratta problemi simili.
Coniche Classificazione
Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono
indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.
Indichiamo con  l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con  l’angolo
formato dall’asse con la retta generatrice del cono.
Se:
>
Ellisse
 = 90°
Circonferenza
=
Parabola
<
Iperbole
L’equazione generale di una conica è:
ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0
a,b,c,d,e,f  R
Coniche Classificazione
Circonferenza
 = 90
circonferenza
Parabola
=
parabola
Ellisse
>
ellisse
Iperbole
<
iperbole
Coniche Classificazione
LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA
• La circonferenza si ottiene sezionando
un cono con un piano perpendicolare
all’asse di rotazione del cono .
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Casi particolari
Formule
Coniche Classificazione
Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal
punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.
Coniche Classificazione
2
x +
2
y +
ax + by + c = 0
a,b,cR
Coniche Classificazione
x2 + y2 + ax + by + c = 0
a, b, c  R
centro: C (a/2  b/2)
raggio: r =
Coniche Classificazione
O
.
C(
C(
O
x2 + y2 = r2
x2 + y2 + ax + by = 0
x2 + y2 + ax + ay+c = 0
Coniche Classificazione
L’ ELLISSE
DA UNA SEZIONE CONICA
• L’ellisse si ottiene sezionando un
cono con un piano inclinato
rispetto all’asse di rotazione del
cono di un angolo maggiore di
quello della retta generatrice del
cono.
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Grafici
Formule
Ellisse traslata
Coniche Classificazione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i
quali è costante la somma delle distanze da
due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.
k
PF1+ PF2= k
R+
y
x
Coniche Classificazione
x2
a2
+
y2
b2
=1
Caso in cui l’asse focale è l’asse x:
y
a: semiasse maggiore
b: semiasse minore
x
c: F1F2 / 2
Coniche Classificazione
Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e
traslata di vettore V(; ).
y
(x - )2+ (y - )2 =1
a2
b2
x
vettore V (; )  centro C (; )
vertici: A’(a ; )
B’( ; b)
fuochi:
a>b
F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2
a<b
F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2
Coniche Classificazione
y
y
x
x
C(0;0) a>b
C(0;0) b>a
Coniche Classificazione
a2 = b 2 + c2
Fuochi:a>b  F1(-a2-b2 ; 0)
F2(a2-b2 ; 0)
eccentricità:
c/a
a<b  F1(0 ; -b2-a2)
F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b
Intersezioni:  asse x  A (±a;0)
 asse y  B(0;±b)
L’eccentricità di un ellisse è il rapporto
costante tra la semidistanza focale e il
semiasse maggiore.
0<e<1  ellisse
Coniche Classificazione
LA PARABOLA
DA UNA SEZIONE CONICA
• La parabola si ottiene
sezionando un cono con un
piano inclinato rispetto all’asse di
rotazione del cono di un angolo
uguale a quello della retta
generatrice del cono.
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Formule
Casi particolari
concavità
Coniche Classificazione
Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei
punti P del piano equidistanti da F e da d.

y
F
x>
d
Coniche Classificazione
y=ax2+bx+c

y
x>
y
x>
x=ay2+by+c
Coniche Classificazione
.
L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circ
y=ax2+bx+c
Teorema di Archimede
L'area di un segmento parabolico è
uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo
circoscritto a tale figura
x=ay2+by+c
vertice V
(-b/2a ; -/4a)
(-/4a ; -b/2a)
fuoco F
(-b/2a ; (1-)/4a)
((1-)/4a ; -b/2a)
direttrice d
y=-((1+)/4a)
x=-((1+)/4a)
equazione asse
x=-b/(2a)
y=-b/(2a)
Coniche Classificazione
y= ax2+bx+c
y
y
x>
b=0
x>
y=ax2+c
c=0
y=ax2+bx
y
x>
c=0 e b=0
y=ax2
Coniche Classificazione
a>0
a<0
y
y
x
y
x
y
x
x
Coniche Classificazione
L’ IPERBOLE
DA UNA SEZIONE CONICA
Sezione iperbole
• L’iperbole si ottiene
sezionando un cono con un
piano inclinato rispetto
all’asse di rotazione del
cono di un angolo minore
di quello della retta
generatrice del cono.
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Formule
I. Equilatera
I. Traslata
Coniche Classificazione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante
la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti
fuochi.
PF1- PF2 = k
k
R+
Coniche Classificazione
I caso
x2
a2
y2
-
b2
= +1
c = semidistanza F1 -F2
asse focale: 2c
II caso
x2
a2
-
y2
b2
= -1
Coniche Classificazione
I caso: a > b
Vertici: ( a ;0)
fuochi: (a2+b2 ; 0)
II caso: a < b
Vertici: (0 ; b)
fuochi: (0 ; a2+b2)
asintoti: y= (b/a) x
eccentricità
e = c/a
e =0  circonferenza
0<e<1  ellisse
e>1  iperbole
Coniche Classificazione
Iperbole equilatera: a=b
x2 - y2 = -a2

o
x2 - y2 =a2

asintoti: y =  x
c = a2
e = 2
Coniche Classificazione
Iperbole traslata
Traslazione di vettore: v (  ; )
I caso: vertici: (  a ;  )
II caso: vertici: ( ;   b )
fuochi: (  c ; ) e = c/a
fuochi: ( ;   c) e = c/b
asintoti: y -  =  (b/a) (x- )
Coniche Classificazione
Proviamo a costruire le coniche usando un
pallone da basket, una torcia e un piano
bianco sul quale proiettare l’ombra del
pallone. Posizioniamo la torcia secondo
diverse angolazioni e osserviamo cosa
succede...
Coniche Classificazione
Torcia a livello della sommità
della palla...
Coniche Classificazione
Proiettando un fascio di luce
perpendicolare alla palla...
Coniche Classificazione
Spostando la torcia verso destra...
Coniche Classificazione
Spostando la torcia al di sotto della
sommità della palla...
Coniche Classificazione
Quadro riassuntivo
PARABOLA
y=ax2+bx+c
CIRCONFERENZA
x=ay2+by+c
a, b, c  R
x2 + y2 + ax + by + c = 0
vertice V
(-b/2a ; -/4a)
(-/4a ; -b/2a)
C (a/2  b/2)
Centro:
fuoco F
(-b/2a ; (1-)/4a)
(a/2) 2 - (b/2) 2 - c
raggio: r =
((1-)/4a ; -b/2a)
direttrice d
y=-((1+)/4a)
ELLISSE
x=-((1+)/4a)
equazione asse
x=-b/(2a)
a2 = b2 + c2;
Intersezioni:  asse x A (±a;0)
 asse y B(0;±b)
y=-b/(2a)
vertici
IPERBOLE
(-a; 0),
a2 +b2= c2;
a>b
(a; 0),
a<b
(0 ; -b),
(0 ; b),
fuochi F
vertici
(-a; 0),
(a; 0),
(0 ; -b),
(0 ; b),
(0;- b2 - a2 ), (0;+ a2 - b2 )
(0;- b2 + a2 ), (0;+ a2 + b2)
Eccentricità 0<e<1
Eccentricità e>1
e=c/a
asintoti:
a<b
(- a2 - b2 ;0), (+ a2 - b2 ;0)
fuochi F
(- a2 + b2 ;0), (+ a2 + b2 ;0)
a>b
e= c/b
y= (b/a) x
e=c/a
e= c/b
Coniche Classificazione
CIRCONFERE NZA
x 2  y 2  ax  by  c = 0
C1)Come riconoscere se una equazione è quella di una circonferenza?
a)I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere uguali;
b)Non vi deve essere il termine misto in xy;
c)Il calcolo del raggio deve risultare positivo. tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.
C2)Come verificare se un punto P(x, y),del quale sono note le coordinate, è esterno, interno o appartenente alla circonferenza?
Se la somma dei quadrati delle coordinate di P(x,y) risulta minore del quadrato del raggio allora il punto è interno al cerchio;
se la suddetta somma è maggiore del quadrato del raggio allora il punto è esterno al cerchio;
se tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.
C3) Come si trovano i punti d’incontro (intersezione) tra una circonferenza e una retta? Come si determinano gli eventuali punti d’intersezione tra
due circonferenze?
E nel caso più generale?
Basta risolvere (come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dalle equazioni della circonferenza e retta o delle 2 circonferenze. In generale, con
il sistema, si trovano sempre le intersezioni. interno al cerchio;
C4) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una circonferenza?
I procedimenti possono essere due:
Si cerca la distanza del (punto) centro C(α,β), della circonferenza alla retta: se tale distanza è maggiore del raggio allora la retta è esterna; se tale distanza è
uguale al raggio allora la retta è tangente; infine se tale distanza è minore del raggio allora la retta è secante.
Si risolve il sistema tra l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il
discriminante(Δ = b2 -4ac).
Se Δ <0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione);
Se Δ =0 allora la retta è tangente(due intersezioni
coincidenti); Se Δ >0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.
C5)Come posso scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P(x0,y0), assegnato, e che sia tangente alla circonferenza?
Si premette che se il punto è esterno ad una circonferenza allora le tangenti sono due;
se il punto appartiene invece alla circonferenza allora vi è una sola tangente;
se infine il punto è interno alla circonferenza allora non esistono le tangenti.
Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della circonferenza e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y0= m(x- x0)]. Si troverà alla fine
un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il
punto appartiene alla circonferenza.
Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla circonferenza.
eC6)
Come trovare l’equazione di una circonferenza di centro C(α,β), noto, e passante per un punto P(x,y) noto?
Dopo aver trovato la distanza (raggio) si scrive l'equazione della circonferenza, in quanto sono noti centro e raggio
C7)
Come scrivere l’equazione di una circonferenza se conosco le coordinate di due punti, estremi del diametro?
Si determinano le coordinate del punto medio che sarà il centro C(α,β). La distanza tra il centro e uno dei due punti dati sarà il raggio.
Coniche Classificazione
C8)Come scrivere l’equazione di una circonferenza sapendo che essa passa per tre punti A(xA, yA), B(xB, yB) C(xC,yC) di coordinate note?
I procedimenti possibili sono due:
si scrivono le equazioni degli assi di AB e di BC. Si svolge il sistema tra questi 2 assi e si trova il centro della circonferenza; Si cerca quindi la distanza tra
centro e uno dei punti dati e si trova il raggio.
Si scrive l'equazione canonica della circonferenza; si risolve il sistema nelle tre 3 incognite (a,b,c, da porre nell’equazione della circonferenza). Infatti si
otterranno tre equazioni in queste incognite sostituendo nell’equazione canonica, per tre volte, le coordinate dei 3 punti A(xA, yA), B (xB, yB) C(xC,yC).
Poi si scriverà l’equazione della circonferenza ponendo i tre valori di a, b, c trovati.
PARABOLA
y = ax 2  bx  c;
x = ay 2  by  c
P1)Come riconoscere se una equazione canonica è quella di una parabola? I gradi delle variabili x e y devono essere diversi (1, 2)
P2) Come rappresentare graficamente una parabola? Necessita trovare almeno le coordinate del Vertice e le intersezioni con gli assi
P3) Come posso scrivere l’equazione di una parabola sapendo che essa passa per tre punti A(xA, yA), B(xB, yB) C(xC,yC) di coordinate note?
Si procede in modo simile a quanto detto per la circonferenza al punto C8. Si scrive l'equazione della parabola. Si sostituiscono in x e y le coordinate dei 3
punti e si ottiene un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Si trovano i valori e quindi si sostituiscono nell'equazione generica.
P4) Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate del vertice e quelle di un punto che le appartiene?
Si scrive l'equazione generica della parabola; creando un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Nella prima si sostituiscono in x e y le coordinate del
Vertice; nella seconda equazione le coordinate del punto e nella terza equazione si uguaglia l'ascissa(ordinata) del vertice alla relativa formula. Si ricorda
che se l’equazione della parabola è y=ax2+bx+c allora l'asse della parabola sarà verticale e il vertice avrà ascissa come da formula. Se invece l’equazione
della parabola è x=ay2+by+c allora l'asse sarà orizzontale e il vertice avrà ordinata come da formula.
P5) Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e l’equazione dell’asse ?
Si procede in modo simile al precedente punto: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle
quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone . Trovati a,b,c si sostituiscono nell'equazione generica.
P6)Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e l’equazione della direttrice?
Si procede in modo simile al precedente problema:Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle
quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone .
P7) Come posso trovare l’intersezione i punti d’incontro (intersezione) tra una retta e una parabola o tra la parabola e una qualunque altra curva?
Problema simile a quanto detto per la circonferenza al punto C3. Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della parabola e retta o delle 2 parabole,
o della parabola con la circonferenza, o della parabola con l’ellisse, ecc. ..
P8) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una parabola?:
Problema ' simile al punto C4 ) della circonferenza. Si risolve il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione della retta e si trova una equazione di
secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b2 -4ac). Se Δ <0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se Δ =0 allora la retta è tangente
(due intersezioni coincidenti); Se Δ >0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).
Coniche Classificazione
P9)
Come posso scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P(x0,y0), assegnato, e che sia tangente alla parabola?
Si premette che se il punto è esterno alla parabola allora le tangenti sono due;
se il punto appartiene invece alla parabola allora vi è una sola tangente;
se infine il punto è interno alla parabola allora non esistono le tangenti.
Si procede risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y0= m(x- x0)]. Si troverà alla fine
un’equazione parametrica di secondo grado (parametro m). S’impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se
il punto appartiene alla parabola. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla parabola.
ELLISSE
x2
a2

y2
b2
=1
E1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di un’ellisse?
I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere concordi nel segno ma diversi tra loro; x e y devono avere lo stesso grado 2.
Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado;
E2) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco la misura di un asse e le coordinate di un punto che le appartiene?
Sapendo che l'ellisse ha equazione canonica e che 2a e 2b sono le misure dei 2 assi (il primo sull'asse x e il secondo sull'asse y), si calcola a oppure b
dimezzando il valore dato; Si sostituiscono ad x e y le coordinate del punto P e quindi si trova il valore incognito b oppure a.
E3) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Se il vertice e il fuoco stanno sullo stesso
asse, per esempio sull'asse x, allora si conosce il valore del semiasse a e di c (op.di -c). Si calcola b con la formula relativa .
E4) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco la misura dell’eccentricità e le coordinate di un fuoco?
Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b.
E5) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?:
Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c
(che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a2-b2 (oppure b2- a2) e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b.
E6) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di due suoi punti?
Nell'equazione dell'ellisse si pone e . Si scrive un sistema sostituendo ad x e y di ogni equazione le coordinate di ogni punto. Ottenuto il sistema lineare di
2 equazioni nelle incognite u e v. Trovati i valori, si pone a=1/u e b=1/v e si può scrivere l'equazione dell'ellisse. Questo problema si può ripetere
identicamente per l'iperbole.
E7) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse in forma canonica se m’imbatto nella forma implicita mx2+py2=q ?
Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a2 e
q/p=b2 . In questo modo si trova l'equazione.
E8) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad un’ellisse?
Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto C5 della circonferenza o P9 della parabola.
Coniche Classificazione
Iperbole
x2
a
2

y2
b
2
=1
Equilatera rif. agli assi
Equilatera rif. ai propri asintoti
x2  y2 = a2
xy=k
I1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di un’iperbole?
I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere discordi nel segno. Se l’iperbole non è equilatera riferita ai propri asintoti allora
x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado;
I2)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate dei fuochi?
Sapendo che gli asintoti hanno equazione x e che dato un fuoco viene conosciuto il valore di c il cui quadrato è uguale ad tale che c2 = a2+b2, si risolve
un sistema ponendo in una equazione b/a= valore ottenuto dall’asintoto e nell'altra equazione a2+b2= c2.
I3) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate di un suo punto?
Si procede come nel caso precedente impostando un sistema di 2 equazioni ponendo nella prima b/a= valore ottenuto dall’asintoto e nella seconda
sostituendo nell'equazione,al posto di x e y, le coordinate del punto.
I4) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole equilatera (riferita agli assi) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione
dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli assi) è , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trovano i valori di a.
I5)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole equilatera(riferita agli asintoti) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione
dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) è xy=k , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trova il valore di k.
I6) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad un’iperbole?
Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto 5 della circonferenza o 9 della parabola.
I7)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Si calcolano a o b con la formula relativa .
I8)
Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco la misura dell’eccentricità e le coordinate di un fuoco?
Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b.
I9) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?:
Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c
(che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a2+b2 e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b.
I10) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole in forma canonica se m’imbatto nella forma implicita mx2-py2=q ?
Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a2 e q/p=b2 . In questo modo si trova l'equazione.
I11)
Come si trovano i punti d’incontro (intersezione) tra una iperbole e una retta? Come si determinano gli eventuali punti
d’intersezione tra due iperbole? E nel caso più generale?
Basta risolvere(come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dall’ equazione dell’iperbole con le equazioni delle altre curve.
Coniche Classificazione
Problema 1
Determinare l'equazione della circonferenza passante per P(–1;0) e Q(0; –1).
Osservando la figura, si nota che la circonferenza è tangente agli assi cartesiani in A e in B. Dunque il centro della circonferenza si ottiene
dalla intersezione delle rette perpendicolari agli assi passanti per A e per B e quindi il centro risulta C (–1 ; –1).
Il raggio della circonferenza è r = 1. Dunque l'equazione della circonferenza è x2 + y2+2x +2y +1= 0 .
Problema 2
Determinare l'equazione della circonferenza avente centro nel punto di intersezione delle rette y = x e x + y + 2 = 0 e passante per
l'origine degli assi .
Risolvendo il sistema formato dalle due rette date, si trova il centro C(–1;–1). Il raggio della circonferenza è dato dal segmento CO .
Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene
Dunque l'equazione della circonferenza è x2 + y2+2x +2y =0
Problema 3
Data la circonferenza di equazione x2 + y2 – 4x – 6y = 0 determinare l'equazione della retta t tangente alla curva nel punto O ( 0 ; 0 )
Si scrive l'equazione y = mx del fascio proprio di rette di centro O. Si ricava il centro C della circonferenza ; si ha C (2 ;3).
Si trova il coefficiente angolare della retta CO; si ottiene m = 3/2.. Poiché la retta CO è perpendicolare alla tangente, in quanto il raggio della
circonferenza appartiene alla retta CO, imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, si ha m = –2/3.
Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y = (–2/3)x. Dunque l'equazione della retta è 2x + 3y = 0.
Problema 4
Determinare l'equazione della parabola di vertice V(–2;0) e passante per P(0;4).
Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c; basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del vertice
V alla parabola e 3)la coincidenza dell'ascissa del vertice della parabola con l'ascissa di V.
Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 4, c = 4.
Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 4x + 4
Problema 5
Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per P(0; 1), per B (–1 ; –1 ) e ivi tangente alla retta
y–x=0.
Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c, basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B
alla parabola e 3)la condizione di tangenza tra la parabola e la retta y = x.
Si ottengono le tre equazioni c = 1, , a – b + c = –1, (b–1)2– 4a c = 0
Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 3, c = 1.
Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 +3x + 1.
.
Coniche Classificazione
Problema 6
Determinare l'equazione della parabola passante per A (–4 ; 1 ), per B (–1 ; 4 ) e avente vertice V (–3 ; 0 ) .
Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c
basta imporre: 1)l'appartenenza del punto A alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B e 3)l'appartenenza del vertice V. Si ottengono le tre
equazioni : 16a–4b+c = 1, a–b+c = 4, 9a–3b+c = 0. Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 6,
c = 9. Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 6x + 9
Problema 7
Determinare l'equazione della parabola con asse coincidente con l'asse x, avente il vertice nel centro della circonferenza di equazione
x2+y2–4x=0 e passante per A(–2;1).
Essendo il vertice sull'asse x, si ha –b/2a = 0 da cui b = 0. Considerata l'equazione della parabola x = ay2+c
basta imporre: 1) l'appartenenza del centro della circonferenza C ( 2 ; 0 ) alla parabola e 2) il passaggio per il punto A .
Si ottengono le due equazioni: c = 2, –2 = a + c, Risolvendo il sistema formato da queste equazioni si ottengono i valori a = – 4 , c = 2.
Dunque l'equazione della parabola è : x = – 4y2 +2
Problema 8
Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola di equazione y = x2 – 4x nel punto A(1; –3)
Si scrive l'equazione y +3 = m(x – 1) del fascio proprio di rette di centro A. Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del
fascio e si impone la condizione di tangenza Δ = 0.
Si ottiene (4+m) 2 – 4(m+3) = 0 , cioè
2
m + 4m + 4 = 0 da cui m = –2. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y + 3 = – 2(x – 1).
Dunque l'equazione della retta è 2x + y +1= 0.
Problema 9
Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola y = x2+ 2x + 1 e parallela alla retta 4x + y + 4 = 0.
Si scrive l'equazione 4x + y + k = 0 del fascio improprio di rette parallele a 4x + y + 4 = 0.
Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ= 0. Si ottiene 8 – k = 0 da cu i
k = 8. Sostituendo tale valore al posto di k nell'equazione del fascio si ottiene l'equazione della retta cercata: 4x + y + 8 = 0.
y = x2 + 4x + 4
Problema 10
Trovare le intersezioni della retta y = x + 4 con la parabola y = – x2 + 6x.
Si pongono a sistema le due equazioni y = x + 4 e y = -x2 + 6x
.
Coniche Classificazione
Problema 11
Una parabola con l’asse parallelo all’asse delle y, passa per il punto G(1,0) ed ha il vertice V(4,9). Scriverne l’equazione e
rappresentarla. La retta passante per (0,3), e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in A e B. Da A e B si conducono le
perpendicolari all’asse delle x che intersecano l’asse stesso in D e C. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero
ABCD.
Problema 12
Scrivere l’equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x = 2 e tangente nel punto A (4,0) ad una retta r parallela ad
r1 di equazione 4x + y – 10 = 0. Inscrivere un rettangolo nella parte di piano limitata dell’arco di parabola giacente nel I° quadrante e
calcolare le coordinate dei vertici B e C del rettangolo che stanno sulla parabola, conoscendo la lunghezza 2p = 10 del perimetro del
rettangolo. Scrivere le equazioni delle rette tangenti in B e C alla parabola e calcolare l’area del triangolo da essa formato con la
retta r1.
Problema 13
Nel piano cartesiano Oxy sono date le rette r) x + 2y – 4 = 0 ed s) x(√5 – 1) + 2y – 4√5 = 0. Detti A e B i punti in cui la retta r incontra
gli assi, si determinino le coordinate dei punti C e D che appartengono alla retta s e che con A e B formano triangoli rettangoli di cui
AB è l’ipotenusa. Determinare infine l’equazione di una parabola, con asse parallelo all’asse y, tale da avere il vertice in uno dei
punti A,B,C,D, opportunamente scelto e che passi per due degli altri punti.
Problema 14
Si consideri la parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A(2, – 1) ; B(8,2) e C(10,7). Determinare :
1) l’equazione della parabola ;
2) le coordinate del vertice
3) il grafico della parabola dopo averne
determinato alcuni punti
4) le equazioni delle tangenti alla parabola, passanti per il punto D(6, – 2)
5) le coordinate dei punti di tangenza
6) l’area del triangolo che ha per vertici il punto D e i punti di tangenza.
.
Coniche Classificazione
L’ELLISSE E LE SUE APPLICAZIONI
Problema 15
Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse maggiore di lunghezza 2a = 10 e fuochi nei punti
F’(– 4 ; 0) ed F(4 ; 0).
Essendo 2a = 10 si ottiene a = 5 e quindi a2 = 25. Dalla relazione c2 = a2 – b2, poichè c2 = 16 , si ottiene b2 = 25 – 16 = 9.
Dunque l'equazione
dell'ellisse è :9x2+25y2=225
Problema 16
Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente vertici nei punti A(4 ; 0) e B(0 ; – 2).
Essendo a = 4 e b = -2 si ottiene 4x2+16y2=64
Problema 17
Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente un fuoco nel punto F(– 3 ; 0) ed avente un vertice in V(0 ; 4).
Problema 18
Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse minore di lunghezza 2b = 8 e un fuoco nel punto F (– 4 ; 0)
Problema 19
Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, passante per A (0;2) e B(3;1).
Problema 20
Determinare l'equazione dell'ellisse avente l'asse maggiore sull'asse x, l'asse minore di lunghezza 2b = 8 e tangente alla circonferenza di
equazione x2 + y2 = 25.
Problema 21
Determinare l'equazione dell'ellisse avente asse maggiore sull'asse y, eccentricità e = 4/5 e un fuoco nel punto F(0 ;– 4).
Problema 22
Scrivere l’equazione dell’ellisse di fuochi F(0, ± 3) e di semiasse maggiore lungo 4. Trovare le intersezioni di essa con la
curva x2 + y2 = 16.
Problema 23
Trovare le equazioni delle tangenti all’ellisse 4x2 + y2 = 4 uscenti dal punto P(2,2).
Problema 24
Determinare i punti comuni all’ellisse, di semiassi lunghi 5 e 2, con la circonferenza di centro O(0,0) e raggio lungo 3.
Problema 24
Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi e l’eccentricità delle seguenti ellissi che soddisfano le seguenti condizioni :
a) Il semiasse maggiore è uguale a 5 e l’ellisse passa per il punto A( 0,-5 /4 )
b) Il semiasse minore è uguale a √2 e l’ellisse passa per il punto B(– 1,2)
c) Il semiasse minore è uguale a 5 e uno dei fuochi è il punto F(3,0)
Coniche Classificazione
L’IPERBOLE E LE SUE APPLICAZIONI
Problema 25
x2
y2
Stabilire per quali valori del parametro k l’equazione
rappresenta un ellisse ed in particolare una

=1
2k  4
k 1
circonferenza e per quale valori rappresenta una iperbole ed in particolare una iperbole equilatera.
Per stabilire quanto richiesto ci avvaliamo della definizione di eccentricità, cioè e=c/a. Studiamone il segno avremo :
e=c/a >1 iperbole
. e=c/a=1
circonferenza
. e=c/a<1. ellisse
2
2
2
Basterà studiare il primo caso con c = a + b e discutere il grafico, quindi in generale avremo:
c
=
a
a2  b2
>1
a
a2  b2
1> 0
a
nel nostro caso
k 1
>0
2k  4
il segno del numeratore e del denominatore sono discordi con – 1 < k < 0 questo comporta che nell’espressione dell’equazione uno dei
denominatori è negativo e saremo in presenza di una iperbole.
Inoltre saremo in presenza di una iperbole equilatera quando a = – b cioè :k = 1 il segno del numeratore e del denominatore sono concordi con:
k > 2 questo comporta che nell’espressione dell’equazione saremo in presenza di coefficienti entrambi positivi, cioè una ellisse
Inoltre saremo in presenza di una circonferenza quando a = b cioè :
2k – 4 = k + 1 2k – k = 4 + 1
k=5
k < – 1 non accettabile
Problema 26
Determinare l’equazione dell’iperbole avente come asse focale l’asse x, come asintoti le rette y =±3/4x
e passante per il punto A(2;1).
ESERCIZI IN CUI SONO PRESENTI PIU’ CURVE E LORO RELAZIONI
Problema 27
Scrivere l’equazione della parabola l con asse di simmetria parallelo all’asse delle y sapendo che ha vertice V(2;– 1), e passa per il punto
A(1,0). Indicare con B l’ulteriore punto di intersezione della parabola con l’asse delle x. Condurre la normale n (cioè la perpendicolare
alla tangente) in B alla curva, indicando con D l’ulteriore intersezione di n con la parabola. Determinare sull’arco BD un punto R in
modo che l’area del triangolo RBDsia 15/8
Scrivere l’equazione della circonferenza g sapendo che è tangente all’asse delle x, passa per E(– 1;2) e il suo centro appartiene alla retta
di equazione x + y – 3 = 0. Esistono due circonferenze che soddisfano queste condizioni: scegliere quella che giace nel semipiano positivo
delle ordinate. Una retta del tipo y = k interseca l in P e Q e g in M ed N. Determinare k in modo che sia MN = PQ.
Coniche Classificazione