Sommario
 Non-linearità del materiale (confinamento)

Comportamento ciclico di acciaio e calcestruzzo
 Non-linearità
N li
ità geometrica
t i dell’elemento/sezione
d ll’ l
t / i

Grandi spostamenti/rotazioni; Effetti del secondo
ordine Effetto trave-colonna
ordine;
tra e colonna
 Non-linearità dell’elemento

Effetto del materiale
 Non-linearità della struttura e meccanismi di collasso
 Modellazione del comportamento anelastico

Modellazione a “plasticità concentrata” (vantaggi e
limiti); Modellazione a “plasticità
plasticità diffusa
diffusa” (vantaggi e
limiti); Codici di modellazione
 Analisi non-lineari
Dove siamo?
Cap. 7, Cap. 8 e Par. C.8 DM 14 Gennaio 2008
Punto C.8: Per qquanto riguarda
g
le costruzioni esistenti in c.a. e in acciaio,, è evidenziato come in esse p
possa essere attivata la
capacità di elementi con meccanismi resistenti sia “duttili” che “fragili”; a tale riguardo, l’analisi sismica globale deve utilizzare, per
quanto possibile, metodi di analisi che consentano di valutare in maniera appropriata sia la resistenza che la duttilità disponibile,
tenendo conto della possibilità di sviluppo di entrambi i tipi di meccanismo e adottando parametri di capacità dei materiali
diversificati a seconda del tipo di meccanismo.
Cemento armato ordinario
Modello a fibre
Izmit earthquake (Turkey), 19th August 1999
Loma Prietat earthquake (USA), 17th October
1999, San Francisco
Cemento armato ordinario
Bingol earthquake (Turkey), 1st May 2003
Boumerdes earthquake (Algery), 21st May
2003
San Fernando earthquake (USA),
February 1971 (Olive View Hospital)
9th
Strutture in acciaio
Grandi strutture
Kobe earthquake, 2005
Punto 7.3.1 L’analisi non lineare si utilizza per sistemi dissipativi e tiene conto delle non linearità
di materiale e geometriche […] I legami costitutivi utilizzati devono includere la perdita di
resistenza e la resistenza residua, se significativi.
Esempi di “non-linearità” come indicati da DM 14 Gennaio 2008:
Non-linearità geometrica
Non-linearità del materiale
Taglio alla base [kN]
Kobe Bridge Collection, E.E.R.C.,
University of California, Berkeley
Calvi, Pavese. Rasulo, Bolognini, 2005
Duttilità in spostamento
Errato rapporto capacità taglio/flessione 
meccanismo fragile a taglio
Insufficiente lunghezza di sovrapposizione 
riduzione della capacità flessionale
1. Non-linearità geometrica

effetti del secondo ordine

Non si può confondere la configurazione deformata con quella indeformata

Variazione degli spostamenti non proporzionale ai carichi

Si modificano le sollecitazioni

Sistema di riferimento locale solidale con il corpo
Amplificazione del momento a causa degli effetti del secondo ordine
1. Non-linearità geometrica
500
effetti del secondo ordine

0.057
M
3000
10050
Incastro
500
N
500
3000
Lineare
T
0.076
M
T
N
13434
4010
Nonlineare
4099
3000
2. Non-linearità geometrica

grandi spostamenti e rotazioni

Il carico F si decompone in 2 componenti  ora abbiamo anche un carico assiale

Il materiale è stato scelto in regime elastico
2. Non-linearità geometrica
grandi spostamenti e rotazioni

6m
Incastro
10000
Lineare
Non-lineare
M
60000
T
10000
58942
9991
N
427
9676
2525
3. Non-linearità geometrica

Azione assiale e
momento sono
accoppiati
Matrice rigidezza:
elastica + geometrica
effetto trave-colonna
3. Non-linearità geometrica

effetto trave-colonna
3. Non-linearità geometrica

effetto trave-colonna
6m
100
100
0 024
0.024
100
100
30000
0 035
0.035
0.004
30000
0.005
Lineare
Non-lineare
M
T
N
124
13
confinato con spirali
non confinato
+

Cls confinato..
=
Cls non
n confinato
o.
sezio
one in c.a.
c
calcestruzzo

+

accciaio.
Non-linearità materiale

confinato con staffe
c



Non-linearità materiale
calcestruzzo

90
f’cc
Calcestruzzo
non confinato
f’c
Ec
Esec
εco
2εco
εsp
fc0 = 54 MPa
Rottura della
prima staffa
εcc
εcu
εc
Deformazione di compressione
p
Kf = f’cc / f’c
Effetto di confinamento:
incremento di capacità resistente e deformativa
del calcestruzzo
In funzione di:
quantità disposizione e resistenza armatura
quantità,
trasversale, forma della sezione
80
Resistenza c
caratteristica a compression
ne [MPa]
Sforzo a com
S
mpressione f c
Calcestruzzo
confinato
70
60
Kf = 1.5
Kf = 1.5
50
Kf = 1.4
Kf = 1.3
40
Kf = 1.2
Kf = 1.1
Kf = 1.4
Kf = 1.3
Non
confinato Kf = 1.2
30
20
fc0 = 40 MPa
Kf = 1.1
Non
confinato
10
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Deformazione
0.012
0.014
0.016
0.018
Armatura di confinamento e legatura delle barre longitudinali
Calcestruzzo
non confinato
Nucleo
confinato
Park and
Paulay,
1975
Kf = resistenza calcestruzzo
confinato / resistenza iniziale
Non-linearità materiale
  E
i
  f ( ,  , )
Modello acciaio non lineare
“Model for Predicting Cyclic Behavior of Reinforcing Steel”
(J. Struct. Engrg. 121, 433 (1995))
(Dodd & Restrepo-Posada, 1995)
600
Resistenza media a snervamento
dell’acciaio:
dell
acciaio:
fys = 490 MPa
500
400
 [MPa]
acciaio

fsu = 570 MPa
su = 10%
fsx = 545
MPa
sx = 5%
sh = 1%
Resistenza media ultima a trazione:
fsu = 570 MPa
Deformazione di snervamento:
ys = 0.245%
300
fsy = 490 MPa
sy = 0.245%
200
Deformazione di incipiente incrudimento:
sh = 1.00%
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Deformazione ultima:
su = 10%
Deformazione
fs 
f sy
 sy
se  s   sy
s
se  syy   s   sh
f s  f sy
   
f s  f su   f y  f su   su s 
  su   sh 
p
se  sh   s   su
p


log  f su  f x   f su  f y 
log  su   x   su   sh 
 sx
e f sx : coordinate di un punto
intermedio nel tratto compreso fra 
sh
e
 su
Non-linearità materiale

Comportamento ciclico con dissipazione

Dipendenza da storia precedente  la

Midas Gen
storia di carico modifica la rigidezza del
Punto 7.2.6
materiale
DM. 14/01/2008
Non-linearità materiale

Fessurazione con accumulo di danno

Midas Gen
Non-linearità dell’elemento
Effetto(Paulay
del &materiale
Priestley, 1992

Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings)
100
Forza [kN]
Mmax
90
My 80
70
1. Fase elastica
60
Mcr
50
2. Fase fessurata
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-30
40
20
-20
-10
0
Spostamento [mm]
3. Fase p
post-elastica
30
S250
 Irreversibilità
4. Fase post-picco (softening)
10
p
 Dissipazione
0
0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
/
cr y
max
0.1
 Degrado
10
20
30
Non-linearità dell’elemento

F
F
Effetto del materiale


Lv
Mcr
cr
My
Mcr cr
My
y
cr
Mcr
Mmax
y
max
 Distribuzione dei momenti flettenti
=
y

+
 Distribuzione delle curvature
Regione
plastica
 y

y
Contributo Contributo
elastico plastico
Non-linearità della struttura e meccanismi di collasso

Legami costitutivi calcestruzzo e acciaio

Grandi spostamenti/rotazioni (deformazioni)

Sfilamento delle barre

Effetti del secondo ordine

Fessurazione (effetto spinotto,

Fenomeni di instabilità dell’equilibrio
interlock etc.)
interlock,
etc )

Interazione non-lineare suolo-struttura


Inizio espulsione
copriferro
Fine espulsione
copriferro
V
Cerniere pplastiche
Prima cerniera plastica
Fessurazione
y
m
Instabilità barre/
crisi calcestruzzo
u

t 3
t=3s
t=3s
t=4s
t=4s
Engineering Structures 23 (2001) 1525–1543
Modellazione

Metodi di modellazione
 Modellazione avanzata ad elementi finiti (2D/3D)

Molto accurata

Permette di studiare i fenomeni locali

Troppo complessa ed onerosa per lo studio di un’intera struttura
(soprattutto in dinamica non-lineare)
 Modellazione ad elementi finiti con
elementi “trave-colonna” (2D/3D)

Meno accurata

Non permette di studiare nel dettaglio i fenomeni locali

P
Permette
di studiare
di in
i modo
d più
iù veloce
l
il comportamento globale
l b l
della struttura
Modello ad elementi finiti di un controvento
• Elementi
finiti
shell
a
comportamento nel piano e fuori
dal piano.
• Mesh size approssimativamente
25x25mm nelle zone plastiche.
• M
Modello
d ll bilineare
bili
add hardening
h d i isotropico:
i t i
carico ciclico.
• Coupon
p test: p
parametri del materiale.
• Imperfezione iniziale.
• Storia di spostamento.
Behaviour of a Brace
Compressione
Trazione
Forza assiale-spostamento
Ristporta isteretica
Andamento deformato dell’area instabilizzata
Zoom della zona plastica
(FELL et al. 2006)
Forza assiale vs. risposta in spostamento
2000
Midas
FEM Model
M d l
Experimental Data
3000
2500
1500
1000
FEM Model
M d l
Midas
Mid
2000
Experimental Data
1500
1000
500
500
0
-60
-40
-20
0
0
-500
-1000
-1500
20
40
-80
-60
-40
-20
-500 0
1000
-1000
-1500
-2000
-2500
2500
20
40
L
Local
l Performance
P f
Global Performance
Modellazione del comportamento anelastico con elementi trave-colonna
 Modellazione a “plasticità concentrata” (modello cerniera plastica)

A li i veloci
Analisi
l i

Difficile calibrazione delle cerniere

Esperienza dell
dell’operatore
operatore

Accuratezza delle analisi compromessa
 Modellazione a “plasticità diffusa” (modello a fibre)

Modellazione più semplificata

Analisi più lente

Nessuna calibrazione delle cerniere solo
caratteristiche reali del materiale
Modellazione a plasticità concentrata
Nelle strutture intelaiate soggette ad azioni orizzontali, quali quelle indotte da eventi sismici, le
sollecitazioni flettenti massime si verificano in corrispondenza
p
delle estremità di travi e
colonne. E’ dunque in questi punti che, una volta superata la soglia elastica, si concentrano le
deformazioni anelastiche.
queste considerazioni,, alcuni modelli di trave considerano la p
plasticità tutta
Partendo da q
concentrata in cerniere plastiche puntuali disposte alle estremità degli elementi. Tali modelli
vengono denominati modelli a plasticità concentrata.
Sotto sollecitazione sismica  diagramma “aa farfalla
farfalla” dei momenti  cerniere plastiche alle
estremità degli elementi (ed eventualmente vicino alla mezzeria).
In queste zone si dispongono elementi non
non-lineari
lineari (cerniere plastiche) mentre il resto
dell’elemento rimane lineare.
Modellazione a plasticità concentrata: localizzazione e tipo di rottura
Per definire gli elementi “cerniera” occorre:

Decidere la loro localizzazione e il corrispondente tipo di rottura
Rottura a flessione in mezzeria
Rottura a taglio
Rottura a flessione agli appoggi
Modellazione a plasticità concentrata: diagramma momento curvatura
N

Stimare nella sezione critica il
diagramma momento-curvatura in
presenza di azione assiale e
degrado nel tempo per scegliere
MxxS,d
fra i vari modelli proposti
Myy
MyyS,d
P
N
P (Mxx; Myy;Nmini )
Mxx
Diagramma Mxx - Myy
Diagramma N - Mxx - Myy
Modellazione a plasticità concentrata: isteresi del materiale

Scegliere il ciclo isteretico più opportuno (modelli utilizzabili in Ruaumoko aggiornati al 2010)
Momento-curvatura isteretico
M

Modellazione a plasticità concentrata: isteresi del materiale
Alcuni esempi di cicli isteretici:
IHYST = 4 (Modified Takeda)
IHYST = 2
IHYST = 9 (Wayne Stewart
degradating hysteresis)
IHYST = 22 (Li Xinrong
rc column)
Modellazione a plasticità concentrata: isteresi del materiale

Tener conto della ggrande variabilità del comportamento
p
non-lineare ciclico
Aumento della capacità flessionale
in presenza di sezioni a “T”
“Pinching”: deve essere introdotto
a priori, calibrando il legame
(Park & Paulay, 1975)
Modellazione a plasticità concentrata: lunghezza della cerniera plastica

Predire la lunghezza di cerniera plastica equivalente tale per cui il prodotto di questa per
la curvatura definisca una rotazione prossima a quella reale
((Eq.
q 8.7.2.1a DM 14/01/2008))
(Eq C8A.6.5
(Eq.
C8A 6 5 Circ.
Circ DM 14/01/2008)
u = y + p,u
p,u = 0.5(u –y)Lpl (1-0.5Lpl/Lv)
Non si considera il
passo delle staffe
F
shear
flex

Lv
=
+
slip Scorrimento
barre
+
Modellazione a plasticità concentrata: esempi di lunghezza di cerniera plastica
Provino con staffe passo 12
Provino con staffe passo 6
Distribuzione del
danno: concentrato
alla base
Modellazione a plasticità concentrata: esempi dei dati di input richiesti
 Definizione
D fi i i
d l legame
del
l
momento - rotazione
i
o
curvatura (Eurocodice 8, FEMA), interazione
P M M perfomance
P-M-M,
f
point
i t per ognii stato
t t limite
li it
Modellazione a plasticità concentrata
VANTAGGI:

Utili principalmente
Utilizza
i i l
t elementi
l
ti elastici,
l ti i in
i pochi
hi puntiti non-linearità
li
ità del
d l materiale
t i l
 minor onere computazionale

Permette con opportuna scelta del legame costitutivo della cerniera,
Permette,
cerniera di descrivere
diversi fenomeni oltre al comportamento flessionale (deformabilità a taglio, scorrimento
dell’armatura
dell
armatura, flessibilità del nodo trave-colonna,
trave-colonna interazione telaio-tamponamenti,
telaio-tamponamenti etc.)
etc )
 versatilità, adeguata modellazione del comportamento di strutture esistenti
LIMITI:

Richiede esperienza
p
dell’operatore
p
pper stabilire dove distribuire le zone non-lineari,, pper
scegliere lunghezze e curve caratteristiche
 l’accuratezza dell’intera analisi può essere facilmente compromessa
Modellazione a plasticità diffusa
Si considerano elementi tipo trave con comportamento anelastico
Gauss
Section b
node A

node B
Gauss
Section a
B

A
L/2 3
L/2




RC Section
Unconfined
Concrete Fibres
A l ti ità diffusa
Anelasticità
diff
i tutto
in
t tt l’elemento:
l’ l
t impiego
i i
di elementi
l
ti a fibre
fib
Confined
Concrete Fibres
Steel Fibres
Modellazione a plasticità diffusa
Modellazione a plasticità diffusa: confinamento
Due possibili tipi di modellazione:

Implicita: Definizione del fattore di confinamento (Kc = fcc / fc), costante ad ogni passo
dell’analisi
dell
analisi (σ-ε
(σ ε cambia)  constant confinement

Esplicita: Definizione del dettaglio delle staffe (es. diametro, passo, etc.) e calcolo del
confinamento ad ogni passo dell
dell’analisi
analisi  variable confinement
Kent & Park (1973)
esteso da Scott (1982)
Modellazione a plasticità diffusa

L’intero elemento trave/colonna è suddiviso in “elementi fibre” (elementi monodimensionali con
legame costitutivo non-lineare).

Lo stato di sforzo-deformazione di una sezione del generico elemento è ottenuto tramite
integrazione della risposta sforzo-deformazione uniassiale non-lineare di ciascuna fibra.

La distribuzione della non-linearità del materiale nella sezione è modellata accuratamente anche
in condizioni di elevata non-linearità se si utilizza un numero sufficiente di fibre  200-400 in
modello 3D

Una descrizione accurata di formazione e diffusione di cerniera plastica nell’elemento (senza
bisogno di supporla a priori) dovrebbe essere ottenuta tramite opportuna distribuzione di
sezioni di integrazione in ciascun elemento strutturale.
2 diverse formulazioni: Displacement-based
Displacement based e Force-based
Force based
Modellazione a plasticità diffusa: spostamenti vs. forze
Suddivisione degli elementi strutturali:
Elemento unico
È richiesta
una mesh
accurata
Telaio con elementi Displacement-based
Telaio con elementi Force-based
Modellazione a plasticità diffusa
VANTAGGI:

N
Non
richiede
i hi d esperienza
i
d ll’
dell’operatore:
t
è sufficiente
ffi i t conoscere le
l caratteristiche
tt i ti h
geometriche e il comportamento anelastico ciclico  accuratezza dell’intera analisi
LIMITI:

Utilizza legami costitutivi non-lineari in tutto ll’elemento
elemento  maggiore onere
computazionale
NOTA: Ancora pochi i codici che colgono tutti gli aspetti della risposta strutturale ad azione sismica, come
ad es. deformazione taglio.
Metodi non lineari
Punto 7.3.1
DM. 14/01/2008
ANALISI NON-LINEARI
“L’analisi non lineare si utilizza per sistemi dissipativi e tiene conto delle nonlinearità di
materiale
t i l e geometriche;
t i h […].
[ ] I legami
l
i costitutivi
tit ti i utilizzati
tili ti devono
d
i l d
includere
l perdita
la
dit di
resistenza e la resistenza residua, se significativi.” (Punto 7.3.1 DM. 14 Gennaio 2008)
 ANALISI DINAMICA NON-LINEARE
NON LINEARE
(NLTH)
 ANALISI STATICA NON-LINEARE
(PUSHOVER)
t=4s
Sommario
 Analisi dinamica non-lineare: Introduzione
 Definizione
D fi i i
d li accelerogrammi
degli
l
i

Accelerogrammi naturali, artificiali e sintetici; software per la selezione (REXEL)
 Metodologia di modellazione
 Smorzamento viscoso equivalente
 Metodi di integrazione e definizione del “time-step”
time-step

Algoritmi disponibili; Smorzamento numerico
 Confronti con risultati sperimentali

Prove pseudo-dinamiche su telai 2D, 3D e ponti; Prove cicliche su telai e nodi
Analisi dinamica non lineare: introduzione
La risposta della struttura è calcolata integrando direttamente l’equazione non-lineare del
moto del sistema utilizzando un modello tridimensionale ad elementi finiti e come azione di
input degli accelerogrammi.
  CU
  F(U)  MRx
MU
g
tipo di analisi più completa: rappresentazione diretta del fenomeno reale (sollecitazioni e
deformazioni dei membri della struttura nel tempo)
tipo di analisi più complessa:
Punto 7.3.4.2
DM. 14/01/2008
•
Scelta del modello isteretico
•
Calibrazione dello smorzamento
•
D fi i i
Definizione
d li accelerogrammi
degli
l
i
•
Scelta dei criteri di convergenza ottimali
z
Analisi dinamica non lineare: introduzione
5
  CU
  KU  MRx
MU
g
U 1x 
U 
 1y 
U 1 
 
 .. 
U  .. 
 
U 5 x 
U 
 5y
U 5  
4
vettore di influenza del terremoto:
spostamenti nella direzione dei
gradi di libertà del sistema per uno
spostamento unitario del terreno
3
2
1
y
x
U5=1
U4=1
U3=1
U2=1
U1=1
z
1
1
 
R  1
1

1

y
x
ug=1
ug=1
x
ug=1
cos 
 sin  


 0 


 .. 
R   .. 


cos 
 sin  


 0 
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
Il DM. 14 Gennaio 2008 al Punto 3.2.3.6 stabilisce che possono essere adottati
accelerogrammi appartenenti ad una delle seguenti categorie:
•
Accelerogrammi naturali: registrati durante eventi sismici passati
http://peer.berkeley.edu/smcat/search.html
•
Accelerogrammi artificiali: generati, partendo da uno spettro iniziale, mediante
algoritmi stocastici e basati sulla teoria delle vibrazioni casuali e delle “wavelets”.
•
Accelerogrammi sintetici: ottenuti mediante simulazioni numeriche complesse (sia
deterministiche che stocastiche) del problema sismologico di generazione di un
t
terremoto.
t
Punto 3.2.3.6
DM. 14/01/2008
In generale è preferibile utilizzare accelerogrammi naturali:
•
Più realistici in termini di contenuto in frequenza, durata, etc.
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
Il software REXEL,, sviluppato
pp
dall’Università degli
g Studi di Napoli
p Federico II e distribuito
gratuitamente su
http://www.reluis.it/index.php?option=com_content&view=article&id=118%3Arexel&catid=42%3Asoftware&Itemid=105&lang=it
permette la selezione automatica di combinazioni di accelerogrammi naturali compatibili con gli
spettri di risposta del DM. 14 Gennaio 2008 (e dell’EC8)
Sono necessari i seguenti quattro passi principali:
1.Definizione dello spettro
p
target
g
2.Ricerca nel database degli accelerogrammi da considerare nell’analisi
3.Definizione delle specifiche della selezione
4.Ricerca delle combinazioni
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
STEP 1: Definizione dello spettro target (Target Spectrum) in accelerazione
•
Longitudine
•
Latitudine
•
Categoria di
sottosuolo
•
Categoria
T
Topografica
fi
•
Vita nominale
•
Classe dd’uso
uso
•
Stato limite (SLD,
SLC SLV)
SLC,
•
Componente
dell azione
dell’azione
sismica
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
STEP 2: Ricerca nel database degli accelerogrammi da considerare nell
nell’analisi
analisi
(Preliminary database search)
•
Intervallo
magnitudo (Mmin,
Mmax) [momento]
[
t ]
•
Intervallo
distanza epic.
epic
(Rmin, Rmax) [km]
•
Database
•
Classe di suolo
(quella del sito in
esame o una
q
qualsiasi)
)
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
STEP 3: Definizione delle specifiche della selezione (Spectrum matching)
•
S
Sottostima
e
sovrastima
max rispetto
i tt
allo spettro di
riferimento
•
Intervallo di
periodi (T1, T2)
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
STEP 4: Ricerca delle combinazioni
•
1 component: 7
accelerogrammi
in una sola dir.
(orizz. o vert.)
•
2 components:
7 coppie di
accelerogrammi
( e y; oriz.)
(x
i )
•
3 components:
7 gruppi di
accelerogrammi
(x y e z; oriz
(x,
oriz. e
vert.)
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
VERSIONE AGGIORNATA
Analisi dinamica non lineare: metodologia di modellazione
 Definizione del modello geometrico tridimensionale della struttura
P
Punto
7.2.6
26
DM. 14/01/2008
 Calcolo delle masse sismiche (applicazione sotto forma di carichi gravitazionali)
 Definizione dello smorzamento della struttura
 Legame costitutivo non-lineare dei materiali (valori medi delle proprietà dei materiali)
 Input sismico (accelerazione alla base): modello sollecitato contemporaneamente da due
eventi sismici orizzontali ed eventualmente da un evento verticale
Punto 7.3.5
DM. 14/01/2008
Verifica della struttura (momenti, tagli, rotazioni alla corda, spostamenti)
Punto C7.3.4.2
DM. 14/01/2008
Analisi dinamica non lineare: smorzamento della struttura
Generalmente, nell’analisi dinamica non-lineare la maggior parte dell’energia generata dal
sisma viene dissipata grazie allo smorzamento isteretico che è implicitamente incluso
(i) nella formulazione del modello a fibre degli elementi non-lineari o (ii) nella
formulazione della curva di risposta non-lineare “forza-spostamento”.
Quando non si hanno dissipatori all
all’interno
interno della struttura,
struttura tutte le sorgenti di dissipazione
che non si possono quantificare (es. radiazione di energia attraverso le fondazioni,
calore etc.)
calore,
etc ) vengono considerate applicando uno smorzamento viscoso equivalente
(ξ) alla struttura. Valori tipici, in funzione della tipologia strutturale, sono i seguenti:
 ξ = 5%
per strutture in C.A.
CA
 ξ = 2%
per strutture in acciaio
eff
1 Apl

4 Ael
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalente
modello di Rayleigh
y g
  CU
  KU  MRx
MU
g
C  K   M
T1T2  2T1  1T2

 T1 2  T22
  4
1T1   2T2
T1 2  T22
dove T e ξ sono, rispettivamente il periodo e lo smorzamento del primo (1) e dell
dell’ultimo
ultimo (2)
modo di interesse della struttura.
NOTA: Nelle strutture in C.A., però, la proporzionalità dello smorzamento rispetto alla massa
non è fisicamente giustificata.
2000
2000
1000
1000
Damping Fo
orce (kN)
Stiffness Fo
orce (kN)
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalente
C  K
matrice di rigidezza
g
0
-1000
-2000
-1000
-2000
-0.1
0
Displacement (m)
0.1
-0.1
(a)
2000
2000
1000
1000
Damping Force (kN)
Stiffness F
Force (kN)
I iti l stiffness
Initial
tiff
proportional
ti l ddamping
i
0
0
-1000
-2000
2000
0
Displacement (m)
0.1
 Non ha significato fisico
 Si sottostima
tt ti la
l risposta
i
t
Tangent stiffness proportional damping
0
-1000
-2000
2000
-0.1
0
Displacement (m)
0.1
-0.1
(b)
0
Displacement (m)
0.1
(Priestley & Grant, 2005)
Award of Excellence, 7 Ottobre 2010, predizione della risposta sperimentale su tavola vibrante di
una pila da ponte circolare in cemento armato in scala reale, U.C. San Diego.
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalente
comparazioni
p
sperimentali
p
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalente
comparazioni
p
sperimentali
p
0.15
Experiment
Displaceement (m))
0.1
Tangent-Stiffness
Initial Stiffness
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
2
4
6
Time (sec)
8
10
12
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalente
comparazioni sperimentali
0.15
Experiment
Displacem
ment (m)
0.1
No damping
p g
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
2
4
6
Time (sec)
8
10
12
Analisi dinamica non lineare: metodi di integrazione
definizione del “time step”
p
Type


Stability
Explicit
0
1/2
t 
T min
Newmark
(bilinear acceleration)
Implicit
1/6
1/2
t 
1 . 7  T min
Newmark
(constant acceleration)
Implicit
1/4
1/2
Unconditional
Hilber - Hughes – Taylor*
Implicit
1/4(1-)2
1/2-
Unconditional
Method
Newmark
(central differences)


La stabilità e l’accuratezza dell’analisi dipendono dal time-step adottato, così come la durata
dell’analisi. In generale si ottengono buoni risultati se:
Tmin
t 
 0.01
10
NOTA: L’introduzione di uno smorzamento numerico può essere opportuna.
Analisi dinamica non lineare: Full-scale RC Building – Pseudo-dynamic testing
((European
p
Joint Research Centre,, Ispra,
p , Italy)
y)
1:2 Modello numerico (telaio nudo)
1:2 Struttura Eucentre (2008)
1:1 Struttura Ispra (2003)
1:1 Modello numerico
1:2 Struttura Eucentre (2007)
1:2 Modello numerico (telaio tamponato)
Analisi dinamica non lineare: distribuzione del danno
C5
C1
C2
C9
C3
C4
C8
C6
C7
(Cosenza et al., 2005)
Analisi dinamica non lineare: modello a fibre (SeismoStruct)
(Lanese et al., 2008)
Analisi dinamica non lineare: confronto dei risultati numerici e sperimentali
4
Experimental
Roof disp
placement
3
Analytical
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
Time
(Lanese et al., 2008)
16